两点之间的距离公式及中点坐标公式

y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问
• P71练习A：1－4. 2－1A：1－4.
• 选做：B组题
P72：习题
(0,y) M 2
M
A
A2
x x1 x2 Байду номын сангаасx
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
AD2 b a2 c2,
AC2 b2 c2,
x
O A(0,0) B(a,0)
BD 2 b 2a2 c2
AC2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab, 2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BD2 2 AB2 AD2 .
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
x2 35
则
2
2
M
C(5,2
y2 02
O
A(-3,0)
x
2
2
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
A(x1，y1) A2
o

复习
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图：有序实数对 与点P对 如图：有序实数对（ x,y）与点 对 与点 这时（ 称为点P的坐标 应，这时 x,y）称为点 的坐标， 这时 称为点 的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标，y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2

两点之间的距离公式及中点坐标公式在一个平面直角坐标系中，设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则点A和点B之间的距离d为：
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
中点坐标公式：
在一个平面直角坐标系中，设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则点A和点B的中点坐标为：
中点的x坐标(x)为：x=(x1+x2)/2
中点的y坐标(y)为：y=(y1+y2)/2
两点之间的距离，可以看作是两点所在直线的长度。

根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两直角边平方和的平方根。

因此，可以利用勾股定理来求两点之间的距离。

假设直角边分别为(x2-x1)和(y2-y1)，则根据勾股定理有：
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
中点坐标公式解析：
中点是指连接线段的两个端点的中心点。

假设需要求解的两点的横坐标分别为x1和x2，纵坐标分别为y1和y2、则中点的横坐标为两点横坐标之和的一半，即(x1+x2)/2；中点的纵坐标为两点纵坐标之和的一半，即(y1+y2)/2、因此，中点的坐标为(x,y)=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。

总结：
两点之间的距离公式是通过勾股定理来计算两个点之间的直线距离，利用两点的横纵坐标的差值进行计算。

中点坐标公式是通过将两个点的横纵坐标相加后除以2来求两点连线的中点坐标。

这两个公式在几何学和计算机图形学中非常常用，可以用来计算任意两点之间的距离和得到两点连线的中点坐标。

求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标：
A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标． 解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同．
设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x 2 3 5 2 2 1 y2 02 1 2 2
解得
x 0 y 4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，
求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称．
设点d的坐标为xy则??????????????122022125322yx?????40yx解得已知平行四边形abcd的三个顶点a00b24c62求顶点d的坐标
圆
直线 圆
直线
8.1.2平面直数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
C B1
（3）|BC| 等于多少？
x （4）在直角三角形中，如何求 |AB| ？
（5）你能表示出 |AB| 吗？
平面上两点间的距离公式
y B(x2，y2)
设点 A(x1，y1)，B(x2，2 ( y2 y1 ) 2．
A(x2 ，y2)
O x
必做题：P 70 练习 A 第 1 题，第 2 题； 选做题：P 70 练习 B 第 3 题．
A2
C B1 x
AA2，BB2，垂足分别为 A2，B2 ；