高三数列强化训练三

2021年高三强化训练（三）数学理含答案一.选择题:(共60分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）1．已知R是实数集，，则( )A.（1，2）B. [0，2]C.D. [1，2]2．已知a＋2ii＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33.“”是“函数在单调递增”的（）A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．数列是公差不为0的等差数列，且为等比数列的连续三项，则数列的公比为（）A．B．4 C．2 D．6．已知向量a=(x－1，2)，b=(y，－4)，若a∥b，则向量与向量的夹角为（）A．45°B．60°C. 135°D．120°7．已知某个几何体的三视图如下，那么可得这个几何体的体积是（）A. B．C．D．8．若右边的程序框图输出的是，则条件①可为（）A．B．C．D．9.某铁路局近日对所属六列高速列车进行编组调度,决定将这六列高速列车编成两组,每组三列,且和两列列车不在同一小组,如果所在小组三列列车先开出,那么这六列列车先后不同的发车顺序共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种10、已知函数有两个不同的零点，且方程有两个不同的实根，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数的值为（）A B C D11.已知是直线上一动点，是圆：的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（）A. B. C. D.12.函数若方程有且只有两个不等的实数根,则实数a的取值范围为A.(-∞,0)B.[0,1)C.(-∞,1)D.[0,+∞)第Ⅱ卷二.填空题:( 每小题5分共20分)13.设函数，其中，则展开式中的系数为14．椭圆上有一个动点P，圆E ：，过圆心E任意作一条直线与圆E交于A，B两点。

数学强化训练（数列）1. 等比数列{a n }中，a 4，a 8是关于x 的方程x 2+10x +4=0的两个实根，则a 2a 6a 10=（ ）A. 8B. −8C. 4D. 8或−82. 已知等差数列{a n }{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N ∗)若S nT n=2n−1n+1则实数a 12b 6( ) A. 154B. 158C. 237D. 33. 定义数列{a n }的“项的倒数的n 倍和数”为T n =1a 1+2a 2+⋯+na n(n ∈N ∗)，已知T n =n 22（n ∈N *），则数列{a n }是 （ ）A. 单调递减的B. 单调递增的C. 先增后减的D. 先减后增的4. 已知数列{a n }中，a 1=2，a n =-1an−1（n ≥2），则a 2010等于 （ ）A. −12B. 12C. 2D. −25. 数列{a n }满足a n +a n +1=（-1）n •n ，则数列{a n }的前20项的和为 （ ）A. −100B. 100C. −110D. 110 6. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=（ ）A. 1+log 35B. 2+log 35C. 12D. 10 7. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =2a n -2n +1（n ∈N +），则数列{a n }的通项公式为______． 8. 在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n +3(n ∈N ∗)，则数列的通项公式是______ ． 9. 已知数列{a n }满足a n +2-2a n +1+a n =0，且a 4=π2，若函数f （x ）=sin2x +2cos 2x2，记y n =f（a n ），则数列{y n }的前7项和为______．10. 已知数列{a n }的通项公式为a n =n +λn ，若{a n }为递增数列，则实数λ的取值 范围是________.11. 设{a n }是首项为a 1，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为______．12. 已知数列a 1，a 2-a 1，a 3-a 2，…，a n -a n -1，…是首项为1，公差为1的等差数列，则数列{a n }的通项公式a n =______．13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =a n +n 2−1(n ∈N ∗)． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）定义x =[x ]+＜x ＞，其中[x ]为实数x 的整数部分，＜x ＞为x 的小数部分， 且0≤＜x ＞＜1，记c n =＜a n a n+1S n＞，求数列{c n }的前n 项和T n ．14.设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n•（a n+1）}的前n项和T n．15.已知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2-na n+12=0设数列{b n}满足b n=a n2t n}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（1）求证：数列{n√n（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n-a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．答案和解析1.【答案】B解：根据题意，等比数列{a n}中，有a4a8=a2a10=（a6）2，a4，a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根，则a4a8=4，a4+a8=-10，则a4＜0，a8＜0，则有a6=a4q2＜0，即a6=-2，a2a6a10=（a6）3=-8；2.【答案】A解：由题意可设，，，（k≠0）．则a12=S12-S11=288k-12k-242k+11k=45k．b6=T6-T5=36k+6k-25k-5k=12k．∴实数=．3.【答案】A解：当n=1时，，解得a1=2．当n≥2时，，所以，综上有，所以a1＞a2＞a3＞…，即数列{a n}是单调递减的．（或用）．4.【答案】A解：数列{a n}中，a1=2，a n=-（n≥2），则a2=-=-，a3=-=2，a4=-=-，a5=-=2，…，则数列{a n}为最小正周期为4的数列，则a2010=a4×502+2=a2=-，5.【答案】A解：∵数列{a n}满足，∴a2k-1+a2k=-（2k-1）．则数列{a n}的前20项的和=-（1+3+……+19）=-=-100．6.【答案】D解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，∴a5a6=a4a7=9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1×a2×…×a10）=log3（a5a6）5==10．7.【答案】a n=（n+1）•2n解：∵S n=2a n-2n+1（n∈N+），∴n=1时，a1=2a1-4，解得a1=4；n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-2n+1-，化为：a n-2a n=2n，∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n-1）=n+1，∴a n=（n+1）•2n．8.【答案】a n=2n+1-3解：∵a n+1=2a n+3，两边同时加上3，得a n+1+3=2a n+6=2（a n+3）∴=2数列{a n+3}是一个等比数列，首项a1+3=4，公比为2故数列{a n+3}的通项公式是a n+3=4•2n-1=2n+1，∴a n=2n+1-3，9.【答案】7解：根据题意数列{a n}满足a n+2-2a n+1+a n=0则数列{a n}是等差数列，又由a4=，则a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4=π，函数f（x）=sin2x+2cos2=sin2x+cosx+1，f（a1）+f（a7）=sin2a1+cosa1+1+sin2a7+cosa7+1=sin2a1+cosa1+1+sin2（π-a1）+cos（π-a1）+1=2，同理可得：f（a2）+f（a6）=f（a3）+f（a5）=2，f（a4）=sinπ+cos+1=1，则数列{y n}的前7项和f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）+f（a7）=7；10.【答案】（-∞，2）解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n+（n=1，2，3，…），数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n=(n+1)-n+=＞0恒成立所以=∴当n=1时，有最小值2，即实数λ的取值范围是（-∞，2）．11.【答案】-1解：由题意可得，a n=a1+（n-1）（-1）=a1+1-n，S n==2，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1-6），解得a1=-12.【答案】1n（n+1）解：因为a1，a2-a1，a3-a2，…，a n-a n-1，…是首项为1、2公差为1的等差数列，所以当n≥2时a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=n+，又因为a1=1满足上式，所以，13.解：（Ⅰ）∵S n=a n+n2−1(n∈N∗)，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=a n +n 2−1−[a n−1+(n −1)2−1]， 整理得：a n -1=2n -1，∴a n =2n +1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，S n =n 2+2n ， ∴a n a n+1S n=(2n+1)(2n+3)n 2+2n =4n 2+8n+3n 2+2n=4+3n 2+2n ．∴当n =1时，c 1=＜4+1＞=0，当n ≥2时，有0＜3n 2+2n ＜1．∴c n =3n 2+2n =32(1n −1n+2)（n ≥2）． ∴T n =c 1+c 2+…+c n=0+32(12−14+13−15+14−16+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2) =32(12+13−1n+1−1n+2)=5n 2+3n−84n 2+12n+8．验证n =1成立，∴T n =5n 2+3n−84n 2+12n+8． 14.（1）证明：a 1=1，a n +1=2a n +1．可得：a n +1+1=2（a n +1）．∴数列{a n +1}是等比数列，公比为2，首项为2．∴a n +1=2n ，可得a n =2n -1．（2）解：n •（a n +1）=n •2n ．数列{n •（a n +1）}的前n 项和T n =2+2×22+3×23+…+n •2n ， ∴2T n =22+2×23+…+（n -1）•2n +n •2n +1， ∴-T n =2+22+…+2n -n •2n +1=2(2n −1)2−1-n •2n +1=（1-n ）•2n +1-2，故T n =（n -1）•2n +1+2．15.（1）证明：数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2-na n +12=0，∴2√n +1a n =√n a n +1，即n+1√n+1=2n √n ，∴数列{n√n }是以a 1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得：n √n =a 1×2n−1，∴a n 2=n a 12•4n -1．∵b n =a n 2tn，∴b 1=a 12t，b 2=a 22t2，b 3=a 32t3， ∵数列{b n }是等差数列，∴2×a 22t2=a 12t+a 32t3，∴2×2a 12×4t=a 12+3a 12×42t2， 化为：16t =t 2+48，解得t =12或4．（3）解：数列{b n }是等差数列，由（2）可得：t =12或4． ①t =12时，b n =na 12⋅4n−112n=na 124×3n，S n =n(a 1212+na 124×3n)2，∵对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n -a 14n 2=16b m 成立，∴8a 12×n(a 1212+na 124×3n )2-a 14n 2=16×ma 124×3m，∴a 12(n3+n 23n −n 2)=4m 3m ，n =1时，化为：-13a 12=4m3m ＞0，无解，舍去． ②t =4时，b n =na 12⋅4n−14n=na 124，S n =n(a 124+na 124)2，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n -a 14n 2=16b m 成立，∴8a 12×n(a 124+na 124)2-a 14n 2=16×ma 124，∴n a 12=4m ，∴a 1=2√m n．∵a 1为正整数，∴√m n=12k ，k ∈N *．∴满足条件的所有整数a 1的值为{a 1|a 1=2√mn，n ∈N *，m ∈N *，且√m n=12k ，k ∈N *}．。

高中数列强化练习题及讲解在这个阳光明媚的午后，让我们来一场数学的奇幻之旅，探索数列的奥秘。

数列，就像是一串珍珠，每一颗都闪耀着智慧的光芒。

而我们今天要玩的，就是把它们串起来，变成一串美丽的项链。

首先，让我们来点“倒装”修辞，把问题倒过来看。

比如说，数列\( a_n = n^2 \)，如果我们倒过来看，就是 \( a_n = 2^n \)，这是不是有点像把苹果倒过来看，变成了橙子呢？哈哈，开个小玩笑，数学可不会这么调皮。

接下来，我们来点“排比”，让数列的项排成一队，像是在排队买票。

比如，数列 \( a_n = 2n - 1 \)，它的前几项就是 1, 3, 5, 7... 看，它们排得多整齐，一个接一个，像是在说：“我比前一个多2哦！”再来点“设问”，让我们自问自答。

比如，有人问：“数列 \( a_n = n \) 是等差数列吗？”我们回答：“是的，它的公差是1，所以每一项都比前一项多1，就像我们每天比昨天多活了一天。

”现在，让我们来点“夸张”，给数列加点料。

比如，数列 \( a_n = 100n \)，如果我们说：“这个数列的项，每一项都比前一项多100倍！”是不是感觉这个数列的增长速度像是坐火箭一样快？最后，我们来点“反问”，让我们的数列自己说话。

比如，数列\( a_n = 1/n \)，如果我们问：“这个数列的项，是不是越到后面越小？”它可能会回答：“当然，我可是越来越谦虚的。

”好了，数列的奇幻之旅就到这里。

希望这些幽默风趣的修辞手法，能让你在数学的世界里找到欢乐。

记住，数学不仅仅是冰冷的公式和数字，它也可以是充满乐趣和惊喜的冒险。

下次再见，别忘了带上你的数学魔杖，我们一起去探索更多的数学奥秘！。

高三数学 提高题专题复习数列多选题练习题含答案一、数列多选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”.则以下结论正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”B ．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则数列{}n a 是“T 数列”C ．若12(1)2n n n a n n ++=+，则数列{}n a 是“T 数列”D ．若2241n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列 【答案】BC 【分析】写出等差数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断A ；写出等比数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断B ；利用裂项相消法求和判断C ；当n 无限增大时，n S 也无限增大判断D ． 【详解】在A 中，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 错误. 在B 中，因为{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <， 所以()11111112111111n nn n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确. 在C 中，因为11211(1)22(1)2n n n n n a n n n n +++==-+⋅+⋅，所以122311111111111||122222322(1)22(1)22n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅∣∣.所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 正确.在D 中，因为22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222111114342143141n S n n ⎛⎫=+++++⎪⨯-⨯--⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk k S k +=--【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k k S k ++=--结论计算即可.【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2, 则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=，60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.4．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．18181103354kk i a =⨯+=∑C ．(31)3ij ja i =-⨯ D ．()1(31)314n S n n =+- 【答案】ABD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得181kki a=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），A 正确； ∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误； ∴()1313i ii a i -=-⋅，0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯①12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,①-②化简计算可得：1818103354S ⨯+=,B 正确；S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++---()()231131.22nn n +-=- ()1=(31)314n n n +-，D 正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.5．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.6．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122...2212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,7．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r +-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-.选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即p q ==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11n n q S q-=-，11p q =-，1nn a q +=知，1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中， 因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；二、平面向量多选题9．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。

（数列综合训练）1、数列{}n a 是公差不为零的等差数列，并且5813,,a a a 是等比数列{}n b 的相邻三项，若25b =，则n b =255()3n -⋅.2、三个实数a ,b ,c 成等比数列，若有a +b +c =1成立，则b 的取值范围是[)⎥⎦⎤⎝⎛-31,00,1 .3、在数列{}n a 中，若1111,30(2,N)n n n n a a a a a n n --=+-=≥∈，则通项n a 是132n -. 4、等差数列{}n a 中，若7320a a -=，则20092001a a -= 40 . 5、在数列{}n a 中，2*1254,,2n n a n a a a an bn n N =-+++=+∈其中,a b 为常数，则ab =1-.6、数列{}n a 满足11(*)2n n a a n N ++=∈,11a =,n S 是{}n a 的前n 项和,则21S ＝ 6 .7、已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为nS （n N *∈）.若1431,3,9a a S >>≤，则通项公式n a =1n +.8、已知命题：“在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为18 .9、数列{}n a 满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中p 为常数．若存在实数p ,使得数列{}n a 为等差数列或等比数列,则数列{}n a 的通项公式n a =2n ． 10、已知数列{}n a 满足11a =， )()41(*1N n a a n n n ∈=++，12321444-⋅++⋅+⋅+=n n n a a a a S ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得54n n n S a -=n .11、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）则数列{}n a 的通项公式为11()3n n a -=.12、已知函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足*(),n a f n n N =∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 （2，3）. 13、已知数列{}n a *()n N ∈满足1,,2,,n n n n n a t a t a t a a t +-≥⎧=⎨+-<⎩，且11t a t <<+，其中2t >，若*()n k n a a k N +=∈，则实数k 的最小值为 4 . 14、若数列}{n a 满足k a a a a nn n n =++++112（k 为常数），则称数列}{n a 为等比和数列，k 称为公比和．已知数列}{n a 是以3为公比和的等比和数列，其中2,121==a a ，则=2009a 10042．。

一、数列多选题1．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦答案：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然，，，，，所以且，即B 满足条件； 由， 所以 所以数列解析：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项，12+为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭()11515()n F F n n -+=++， 令1nn n F b-=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=-， 所以n b⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列，所以1n n b -+，所以()11152n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．2．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列答案：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对;选项C: ,,当时也成立，是等比数列解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.3．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.答案：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >D ．若67S S >则56S S >.答案：BC 【分析】根据等差数列的前项和性质判断． 【详解】A 错：；B 对：对称轴为7；C 对：，又，；D 错：，但不能得出是否为负，因此不一定有． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列解析：BC【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 5．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数）B ．数列{}n a -是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项答案：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数解析：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 6．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-答案：AC 【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与． 【详解】等差数列的前项和为．，， ， 解得，， ．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <答案：AD 【分析】先根据题意得，，再结合等差数列的性质得，，，中最大，，即：.进而得答案. 【详解】解：根据等差数列前项和公式得：，所以，， 由于，， 所以，， 所以，中最大， 由于， 所以，即：解析：AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.9．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ） A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值答案：AC 【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列中， 由，得，又，联立解得，， 则，． ．故正确，错误；可得数列的解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．10．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -答案：BD 【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确. 【详解】因为，所以，所以， 因为公差，所以，故不正确；，故正确； ，故不正确； ，故正确. 故选：BD.解析：BD 【分析】 由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；13518351835()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。

高三数列专题练习30道带答案高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且1116S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n满足1n a =+.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ） 求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =．（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{}nnS S +的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+． （1）求数列{}n a的通项公式；（2）若2n a n b =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T ．13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。

2024届高考数学数列进阶训练——（3）等比数列1.已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=()A.21B.42C.63D.842.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3.若等比数列的前4项和为1，前8项和为17，则这个等比数列的公比为().A.2B.-2C.2或-2D.2或14.在等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 中，10115a b =，3716b b ⋅=，则{}n a 的前2021项和为()A.2021B.4042C.6063D.80845.设等差数列{}n a 的公差0d ≠，14a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k 的值为()A.3或6B.3或-1C.6D.36.已知等差数列{}n a 的首项和公差均不为0，且满足2a ，57,a a 成等比数列，则36111810a a a a a a ++++的值为()A.1314B.1213C.1112D.137.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22414S S S =+，则224a a a =+()A.13B.14C.12D.38.已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且满足()*122n n a S n ++=∈N ，则满足2100111100010n n S S <<的n 的最大值为()A.7 B.8 C.9D.109.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14639,94a a S S +==，若2log n nb a =，则数列{}n b 的前10项和是()A.-35B.-25C.25D.3510.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m ∈N ，满足228m m S S =，22212m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为()A.12B.13C.2D.311.（多选）已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是()A.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.{}22log n a C.{}1n n a a ++ D.{}12n n n a a a ++++12.（多选）在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是().A.2q =B.数列{}2n S +是等比数列C.8510S = D.数列{}lg n a 是公差为2的等差数列13.（多选）设n S 是单调的等比数列{}n a 的前n 项和，若23511,264a a a ==，则()A.418a =-B.公比为12-C.n n a S +为常数D.{}2n S -为等比数列14.已知数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，若数列{}n b 满足11b a =，1n n n b a b +=，则{}n b 的通项公式n b =_____________.15.一个等比数列中，前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有________项.16.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9362S S S =+，则当631S S +取得最小值时，9S 的值为____________.17.若数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则1223341n n a a a a a a a a +++++= ____________.18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1S ，3S ，2S 成等差数列.（1）求{}n a 的公比q ；（2）若133a a -=，求n S .答案以及解析1.答案：B解析：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =，所以4260q q +-=，解得22q =，所以()235713542a a a a a a q ++=++⋅=，故选B.2.答案：B解析：本题考查等比数列的定义和求和、充要条件.若10a <，0q >，则{}n S 是递减数列.若{}n S 是递增数列，则1110n n n n S S a a q ++-==>，一定可得0q >.故甲是乙的必要条件但不是充分条件.3.答案：C解析：由448811S q S q-=-，得4117q +=，2q =±.4.答案：D解析：在正项等比数列{}n b 中，237516b b b ⋅==，解得54b =，即10114a =，所以数列{}n a 的前2021项和()12021202110112021202180842a a S a +===，故选D.5.答案：D解析：因为k a 是1a 与2k a 的等比中项，所以212k k a a a =，所以[][]2111(1)(21)a k d a a k d +-=+-.又14a d =，所以22(3)4(23)k d d k d +=⋅+，所以3k =.6.答案：A解析：已知等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 均不为0，且满足257,,a a a 成等比数列，257a a a ∴=⋅，()()()211146a d a d a d ∴+=++，2110d a d ∴=-.0d ≠Q ，110d a ∴-=，3611118101317301713316301614a a a a d d d a a a a d d d +++-+∴===+++-+.故选A.7.答案：A解析：设{}n a 的公比为q ，由22414S S S =+，得423S S =，显然1q ≠±，则()()421113111a q a q qq--=--，所以213q +=，所以222224221113a a a a a a q q ===+++.故选A.8.答案：C解析：因为122n n a S ++=，所以122(2)n n a S n -+=≥，两式相减，得12(2)n n a a n +=≥.又11a =，212a =，所以{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，即1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9.9.答案：C解析：设等比数列{}n a 的公比为q .由题意知1q ≠，则()()()31631191,4911,11a q a a q q q q ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪--⎩解得11,42,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以131224n n n a --=⨯=，所以3n b n =-，所以数列{}n b 的前10项和()11010105(27)252b b T +==⨯-+=.故选C.10.答案：D解析：设等比数列{}n a 的公比为q .当1q =时，2228mmSS =≠，不符合题意.当1q ≠时，228m m S S = ，()()2111112811m m m a q q q q a q --∴⋅=+=--，得27m q =.又22212m m a m a m +=-，221272m m q m +∴==-，解得3m =，327q ∴=，3q ∴=，故选D.11.答案：AD 解析：A 项，设1n n b a =，则111n n n n b a b a q ++==，即{}n b 是以11a 为首项，1q为公比的等比数列，故A 项正确；B 项，取2nn a =，则()()2222log log 22n n a n ==，即(){}22log n a 是等差数列而不是等比数列，故B 项错误；C 项，取(1)nn a =-，则10n n a a ++=，{}1n n a a ++不是等比数列，故C 项错误；D 项，设12n n n n c a a a ++=++，则1123c a a a =++()2211131024a q qa q ⎡⎤⎛⎫=++=++≠⎢ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，且112312n n n n n n n n c a a a q c a a a ++++++++==++，所以{}n c 是等比数列，故D 项正确.12.答案：ABC解析：由1418a a +=，2312a a +=，得()31118a q +=，()2112a q q +=，由公比q 为整数，解得12a q ==，2nn a ∴=，()12212221n n n S +-==--，122n n S +∴+=，∴数列{}2n S +是公比为2的等比数列，9822510S ∴=-=，又lg lg 2n a n =Q ，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列.故选ABC.13.答案：CD解析：设等比数列{}n a 的公比为q .由数列{}n a 为等比数列，35164a a =，得24164a =，又2242102a a q q ==>，所以418a =，因此A 项错误.又212a =，所以24214a q a ==，解得12q =或12q =-.若12q =-，则234111,,248a a a ==-=，显然不满足数列{}n a 是单调数列，因此B 项错误.由上述可知12q =，则11a =，所以111111()112(),2()12212nn n n n na a q S ----=⋅===--，则2n n a S +=，因此C 项正确.因为111122(2()22n n n S ---=--=-，所以{}2n S -是首项为1-，公比为12的等比数列，因此D 项正确.故选CD.14.答案：(1)(2)223n n n --⨯解析：由题设可得12b =，1123n n n nb a b -+==⨯，所以当2n ≥时，2111n n n b b b b b b -=⨯⨯⨯=L ()()()0122232323n -⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=L (1)(2)01(2)22323n n n n n --+++-⨯=⨯L .当1n =时，12b =也满足上式.故(1)(2)223n n n n b --=⨯.15.答案：12解析：设该等比数列为{}n a ，由已知123212,4n n n a a a a a a --==及等比数列的性质，得()318n a a =，所以12n a a =.又因为()661231642n n a a a a a a ===L ，所以该数列有12项.16.答案：733解析：设等比数列{}n a 的公比为q .由9362S S S =+可知1q ≠，所以()()()9361111112111a q a q a q qqq---=+⨯---，化简得()9361121q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即()()63120q q --=，得32q =，()()6116331113111111a q a qq S S q q a a q ---∴+=+=+---，当且仅当11311a q q a -=-，即1a =631S S +取得最小值，此时()()991911113a q q S q q --===--.17.答案：2423n ⨯-解析：当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，1122n n n n n a S S --=-=-，1n =时也适合，则12n n a -=，则1112242n n n n n a a -+=⋅=⨯，()()12233412142412421433n n n n n a a a a a a a a +--⨯-++++===- .18.（1）答案：12q =-解析：依题意有()21111112)(a a a q a a q a q ++=++，由于10a ≠，故220q q +=，又0q ≠，从而12q =-.（2）答案：81132nn S ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解析：由已知可得211132a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故14a =，从而141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭.。