1.4：矢量的线性关系与矢量的分解

(一) 矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。

表示法定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度）AB ，a。

特殊的向量零矢量：长度为0的向量。

零向量的方向是不确定的。

单位矢量：长度为1的矢量。

向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。

反矢量：长度相同，方向相反的矢量。

共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。

共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。

关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。

(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA，b AB 得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c 。

矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b a c。

一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...运算规律：1） 1） 交换律：a b b a； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a。

矢量的差若a c b，则称c 为矢量a与b的差，并记作b a c。

由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a（2）||||||b a b a（3）||||||（4） ||||||2121a a a a a n ||n a（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数 与矢量的乘积 是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ；（2） （2） 其方向由下列规则决定：当0 时， 与方向相同；当0 时， 与方向相反；当0 或0 时，是零向量，方向不定。

定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0a为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。

由定义，0|| ||0a数量乘法的运算规律 1）结合律：)()(2）第一分配律：a a a )(3）第二分配律：b a b a )(由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。

矢量的运算法则范文矢量是一种具有大小和方向的物理量。

矢量可以表示为有序的数对或者有序的数组，其中包含了各个方向上的分量。

矢量的运算法则指的是矢量在进行加法、减法、数量乘法和点乘等运算时需要遵循的规定和方法。

下面将详细介绍几种常见的矢量运算法则。

1.矢量的加法法则：矢量的加法是指将两个矢量相加，得到一个新的矢量。

矢量的加法具有交换律和结合律。

设有两个矢量A和B，它们的和为C，可以表示为A+B=C。

其中，C的大小等于A和B大小之和，方向等于从A指向B的连线的方向。

2.矢量的减法法则：矢量的减法是指将一个矢量从另一个矢量中减去，得到一个新的矢量。

设有两个矢量A和B，它们的差为C，可以表示为A-B=C。

其中，C的大小等于A和B大小之差，方向等于从A指向B的连线的反方向。

3.矢量的数量乘法法则：矢量的数量乘法是指将一个矢量乘以一个实数，得到一个新的矢量。

设有一个矢量A和一个实数k，它们的数量乘积为B，可以表示为k*A=B。

其中，B的大小等于A的大小与k的乘积，方向与A的方向相同（当k>0）或者相反（当k<0）。

4.矢量的点乘法则：矢量的点乘是指将两个矢量的对应分量相乘，并将结果相加。

设有两个矢量A和B，它们的点乘为C，可以表示为A·B=C。

其中，C等于A和B的对应分量乘积之和。

5.矢量的叉乘法则：矢量的叉乘是指将两个矢量的对应分量按照特定规则相乘，并得到一个新的矢量。

设有两个矢量A和B，它们的叉乘为C，可以表示为A×B=C。

其中，C的大小等于A和B大小之积乘以它们之间的夹角的正弦值，方向与A和B所在的平面垂直，并遵循右手法则。

除了上述基本的矢量运算法则，还有一些其他的衍生法则，如矢量的分解、矢量的投影等。

矢量的分解是指将一个矢量分解成两个或多个部分，使它们的合成等于原矢量。

矢量的投影是指将一个矢量投影到另一个矢量上，得到一个新的矢量。

这些法则都是矢量运算的重要基础，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

矢量的分解原理及应用1. 矢量的概念矢量是描述物理量的有向量，具有大小和方向两个属性。

在坐标系中，矢量可以用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。

2. 矢量的分解原理矢量的分解是将一个矢量分解为两个或多个矢量的过程。

分解的目的是将一个复杂的矢量问题简化为若干个简单的矢量问题，从而更容易进行计算和分析。

矢量的分解原理可以总结为以下几个步骤： - 根据问题给出的条件和要求，确定需要分解的矢量和分解的方向。

- 将需要分解的矢量在坐标系中画出，并确定分解的方向。

- 根据几何图形的性质，根据需要分解的方向，确定分解的方法。

- 根据分解的方法，将矢量分解为两个或多个简单的矢量。

- 对分解后的简单矢量进行计算和分析。

3. 矢量的分解应用矢量的分解在物理学、工程学以及其他学科中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：3.1 速度分解在运动学中，速度可以用矢量表示，速度的分解可以将一个物体的速度分解为水平方向和垂直方向的速度。

这样可以简化问题的计算和分析，使得问题更加容易理解。

3.2 力的分解在力学中，力也可以用矢量表示，力的分解可以将一个复杂的力分解为若干个简单的力，从而便于问题的计算和分析。

例如，在斜面上滑动的物体受到的重力可以分解为垂直于斜面的力和平行于斜面的力，这样可以更好地理解物体在斜面上的行为。

3.3 矢量的合成与矢量的分解相反，矢量的合成是将两个或多个矢量合成为一个矢量的过程。

矢量的合成有两种常见的情况，即平行四边形法则和三角形法则。

矢量的合成在物理学、工程学中经常用于计算合力、合速度等问题。

3.4 其他应用矢量的分解还有很多其他的应用，例如在导航系统中，可以将速度矢量分解为东西向速度和南北向速度，以便更准确地确定位置；在力学中，可以将斜面上的力分解为法向力和切向力，以便更好地分析物体在斜面上的运动等。

4. 总结矢量的分解是将一个复杂的矢量分解为若干个简单的矢量的过程，具有重要的理论和应用价值。

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解一、矢量的分解1. 线性运算: 矢量的加法和数与矢量的乘法统称为矢量的线性运算.2. 线性组合: 由矢量,,…,与数量λ1，λ2，…，λn所组成的矢量＝λ1+λ2+…+λn叫做矢量,,…,的线性组合.我们也说矢量可以用矢量,,…,线性表示，或者说，矢量可以分解成矢量,,…,的线性组合.3. 矢量在直线上的分解：定理1 如果矢量≠，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝x，且系数x被，唯一确定. 称为用线性组合来表示共线矢量的基底.证明如果＝x成立，那么由数乘矢量的定义立刻知与共线. 反过来，如果与非零矢量共线，那么一定存在实数x，使得＝x. 显然，如果＝，那么＝0，即x=0. x的唯一性：如果＝x＝，那么（x－＝，而≠，所以x＝ .4. 矢量在平面上的分解：定理 2 如果矢量, 不共线，那么矢量与, 共面的充要条件是可以用矢量x+y，且系, 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, 的线性组合，即＝数x, y被, , 唯一确定. , 称为平面上矢量的基底.证明因为矢量, 不共线，所以≠, ≠.设与, 共面，如果与(或)共线，那么根据定理1有＝x+y，其中y=0(或x=0)；如果与，都不共线，则把它们归结到共同的始点O，并设=，＝（i=1，2），那么过的终点分别作OE2，OE1的平行线依次与OE1，OE2交于A，B. 因为∥,∥,那么根据定理1可设= x，＝y，根据平行四边形法则得=+，即＝x+y.反过来，设＝x+y，如果x, y有一个是零，那么与(或)共线，则与,共面.如果xy≠0，那么x∥,y∥,根据平行四边形法则得与 x，y共面，因此与, 共面.最后证明x, y被, , 唯一确定. 假设＝x+y=+,那么 ( x－)＝（y－）＝,如果x≠，那么=－,x=. 同理y =,因此x, y被唯一确定.即∥, 这与定理条件矛盾，所以5. 矢量在空间的分解：定理3 如果矢量, , 不共面，那么空间任意矢量可以由矢量, , 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, , 的线性组合，即＝x+y+z，且系数x, y, z被, , , 唯一确定. , , 称为空间矢量的基底.证明因为矢量, , 不共面，所以≠（i=1，2，3），且被此不共线.如果与, ，之中的两个矢量, (，或，)共面，那么根据定理2有＝x+y+0(＝x+0+z或＝0+y+z).如果与, ，之中的任意两个矢量都不共面，则把它们归结到共同的始点O，并设=，＝（i=1，2，3），那么过的终点分别作三个平面分别与平面OE2E3，OE3E1，OE1E2平行，且分别与直线OE1，OE2，OE3相交于A，B，C三点，从而作成了以、、为三棱，=为对角线的平行六面体，于是得到：=++，由定理1可设= x，= y，= z，所以＝x+y+z.下面证明x, y, z被, , , 唯一确定. 假设＝x+y+z＝++，那么 ( x－)＝（y－）＝( z－)＝,如果x≠，那么＝－＝－,有定理2可知, , 共面，这与定理条件矛盾，所以x=. 同理，y=，z=.因此x, y, z被, , , 唯一确定.二、矢量的线性关系1.定义对于n (n≥1)个矢量, , …, ，如果存在不全为零的n个数λ1, λ2，…, λn, 使得λ1+λ2+…+λn=,那么n个矢量, , …, 叫做线性相关. 矢量, , …, 线性无关是指，只有当λ1＝λ2＝…＝λn＝0时，上式才成立.2.判断方法推论1 一个矢量线性相关的充要条件是=.证明：由矢量线性相关的定义即得.定理 4 矢量, , …,(n≥2)线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.证明：设, , …, 线性相关，则λ1+λ2+…+λn=,且λ1, λ2，…, λn不全为零，不妨设λn≠0，那么=－－－…－，即是其余矢量的线性组合.反过来，设n个矢量, , …, 中有一个矢量，不妨设是其余矢量的线性组合，即=λ1+λ2+…+λn-1，即λ1+λ2+…+(－1)=,且λ1, λ2，…, (－1)不全为零,因此, , …, 线性相关.定理5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关.证明：设一组矢量, , …, ，…, (s≤r)中，有一部分矢量, , …,线性相关，那么存在不全为零的n个数λ1, λ2，…, λs, 使得λ1+λ2+…+λs=,即λ1+λ2+…+λs+0+…+λr=,且λ1, λ2，…, λs不全为零.所以这一组矢量, , …, ，…, 线性相关.推论2 一组矢量中如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关.证明：由推论1和定理5即得.根据矢量的分解定理和线性相关概念，可得如下定理：定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关.定理8 空间任何四个矢量总是线性相关.推论3 空间四个以上矢量总是线性相关.证明：由定理5和定理8即得.例1. 设一直线上三点A, B, P满足＝λ(λ≠－1),O是空间任意一点，求证：＝证明：如图1-11，因为＝－,＝－,所以－＝λ(－),(1+λ)＝+λ,所以＝.例2. 在△ABC中，设＝，＝，AT是角A的平分线（它与BC交于T点），试将分解为,的线性组合.分析：如图1-12，利用三角形的角平分线定理.解：因为＝,且与方向相同，所以＝.由上题结论有＝＝.例3. 用矢量法证明：P是△ABC重心的充要条件是++＝.分析：如图1-13，利用三角形重心的性质.证明：) 若P为△ABC的重心，则＝2＝+, 从而+－=,即+＋=.) 若+＋=, 则+＝－＝,取E，F，G分别为AB，BC，CA之中点，则有＝(+).从而＝2. 同理可证＝2, ＝2.故P为△ABC的重心.例 4. 证明三个矢量＝－+3+2, ＝4－6+2，＝－3+12＋11共面，其中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.证明：题中的矢量, , 不共面，即它们线性无关. 考虑表达式λ+μ+v＝，即λ (－+3+2)+μ (4－6+2)+v (－3+12＋11)＝,或 (－λ+4μ－3v) +(3λ－6μ＋12v) +(2λ+2μ＋11v) ＝.由于, , 线性无关，故有解得λ＝－10，μ＝－1，v＝2.由于λ＝－10≠0，所以能用,线性表示＝－＋.例5. 如图1-14，, 是三个两两不共线的矢量，且＝λ+μ，试证A, B, C三点共线的充要条件是λ+μ＝1.证明：) 因为A，B，C共线，从而有//,有m≠－1, 使＝m,－＝m (－),(1+m)＝＋m,＝＋.但已知＝λ＋μ. 由对, 分解的唯一性可得λ＝, μ＝从而λ+μ＝+＝1.) 设λ+μ＝1. 则有＝λ＋μ＝λ＋(1－λ)=+λ(－),－＝λ(－),所以＝λ,从而//.所以A，B，C三点共线.例6. 梅尼劳(MeneLaus)定理：如图1-15，A'，B'，C'分别是△ABC三边BC，CA，AB上的定比分点，如果它们把△ABC的边分成定比λ＝, μ＝, v＝,那么A'，B'，C'三点共线的充要条件是λμv＝－1.证明：由λ＝, μ＝, v＝,可知＝λ, ＝μ, ＝v,由第1题有＝,＝＋=μ,从而＝(1+μ),＝v＝v(+),所以＝,＝+.由上题结论知三点A'，B'，C'共线的充要条件是+＝1，化简即得λμv＝－1.作业题：1. 在平行四边形ABCD中，(1) 设对角线＝,＝，求, , , ;(2) 设边BC和CD的中点为M和N，且＝, ＝,求, .2. 在△ABC中，设＝, ＝, D、E是边BC的三等分点，将矢量,分解为, 的线性组合.3. 用矢量法证明: 三角形三中线共点.4. 设G是△ABC的重心，O是空间任意一点，试证＝(+).5．设＝ (i＝1, 2, 3, 4)，试证P1, P2, P3, P4四点共面的充要条件是存在不全为零的实数λi (i＝1, 2, 3, 4)使λ1+λ2+λ3+λ4=, 且.。