七年级数学《2.5相似变换》学案苏科版

苏科版数学七年级上册5.2《图形的变化1》教学设计一. 教材分析《苏科版数学七年级上册5.2》这一节的内容主要包括平移、旋转和轴对称的概念，以及它们在实际问题中的应用。

本节内容是学生在学习了基本的图形知识后，对图形进行进一步的变换和操作。

通过本节的学习，学生能够理解平移、旋转和轴对称的性质，能够运用这些性质解决实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，他们对图形的认识已经有了一定的基础。

但是，对于平移、旋转和轴对称的概念，以及它们在实际问题中的应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，观察和分析图形的变化，从而理解和掌握这些概念。

三. 教学目标1.知识与技能：理解平移、旋转和轴对称的概念，能够运用这些概念解决实际问题。

2.过程与方法：通过实际操作，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生能够积极主动地参与数学学习。

四. 教学重难点1.重点：平移、旋转和轴对称的概念及其性质。

2.难点：如何运用平移、旋转和轴对称的概念解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实际操作和观察，引导学生理解和掌握平移、旋转和轴对称的概念。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探索，培养学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，以便于学生更直观地理解图形的变化。

2.教学素材：准备一些实际的例子，以便于学生更好地理解平移、旋转和轴对称的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的图形变换游戏，引导学生进入本节课的主题——图形的变化。

2.呈现（10分钟）通过课件展示平移、旋转和轴对称的定义和性质，让学生直观地感受这些概念。

3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，通过观察和分析，验证平移、旋转和轴对称的性质。

4.巩固（10分钟）通过一些实际例子，让学生运用平移、旋转和轴对称的概念解决问题，巩固所学知识。

“体验型课堂”学习方案数学（七年级下册）班级：姓名：学号：2.5相似变换编写人：施玲玲审核人：任纪勋[学习导言]感受现实生活中图形的相似，图形相似变换的概念和相似变换的一些简单实际应用；知道图形的相似变换的性质：不改变图形中每个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数。

会按要求作出简单平面图形相似变换后的图形。

课前学习:尝试体验(对话课文、记下重点与问题、尝试练习)[对话课文]:通读教材§2.5[记下重点与问题]：1．由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上的所有点都保持____________（大小可以_______），这样的图形改变叫做图形的__________，图形的________和________都是相似变换。

_________和经过相似变换后得到的______，我们称它们为____________。

2．图形的相似变换的性质：相似变换不改变图形的__________；图形中的每条线段都扩大（或缩小）______的倍数。

3．写明根据哪一句话或哪一段内容所想到的问题。

[尝试练习]：1．在方格纸中作下列相似变换，并画出经变换所得的像。

（1）把图形F的每条边放大到原来的3倍；（2）把把ABC的每条边缩小到原来的12。

2．把如图所示的直角三角形ABC作相似变换，放大到原来的2倍。

放大后所得的图形面积是原图形的多少倍？课内学习：合作体验（检评预习、审视问题、尝试例题、独立练习）[检评预习]：同桌交换学案，检查评价批语：[审视问题]：审视下面的学习要点，思考提出的问题3cm[尝试例题]例 如图,把方格纸中的图形作相似变换,放大到原来的2倍,并在提供的方格纸中选一张画出经变换后所得的新图象.[独立练习]：A 组1．可以改变图形大小的变换是（ ）(A)平移变换 (B)轴对称变换 (C)相似变换 (D)旋转变换 2．把如图所示的圆O 的半径缩小到原来的12，画出变换后的图形。

2.5 相似变换【教学目标】一、知识和技能1、了解现实生活中图形的相似。

2、了解图形相似变换的概念。

3、了解图形相似变换的性质：不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数。

二、过程与方法会按要求作出简单平面图形经相似变换后的图形。

三、情感、态度与价值观了解相似变换的一些简单实际应用。

【教学重点】本节教学的重点是图形相似变换的概念和性质。

【教学难点】相似变换的性质的发现需要较强的观察能力，而且在现阶段还很难说明理由，是本节教学的难点。

【教学过程】一、创设情境，导入新课师：前面我们已经学了几种图形变换？生：3种，分别是轴对称变换、平移变换、旋转变换。

（等学生回答完整后进入下一个问题）。

师：请你用学过的知识解决下面的练习。

（几何画板出示练习题）析：通过3位学生的回答再得出3种变换的异同析：小组交流后，请3名小组代表回答相关以往知识：_______________________ _______________________ __________________________________________ 教学内容和方法：_______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _________________个性化教学思路及改进建议：_______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________________________ _______________________ _______________________ _______________________ _________________________________________师：这两幅图形属于前面3种变换中的哪一种？（几何画板出示两幅相似变换的图形）析：独立观察思考，请一名学生回答。

苏科版数学七年级上册5.2《图形的变化2》教学设计一. 教材分析《图形的变化2》是苏科版数学七年级上册第五章第二节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了图形平移、旋转的基础上，进一步探究图形的缩放和平移、旋转在实际中的应用。

通过本节课的学习，使学生能够理解图形的缩放、平移、旋转的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和抽象思维能力，对图形平移、旋转有了初步的认识。

但学生在实际应用中，可能会对图形的缩放和平移、旋转的理解产生混淆。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对图形变化的理解。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解图形缩放、平移、旋转的性质，能够运用这些性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究的精神。

四. 教学重难点1.重点：图形缩放、平移、旋转的性质。

2.难点：图形缩放、平移、旋转在实际中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，理解图形变化的特点，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题，以便在课堂上进行分析和讨论。

2.准备多媒体教学设备，以便进行图形变化的演示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如建筑设计图的缩放、服装设计图的旋转等，引导学生思考这些问题背后的数学原理，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体演示，呈现图形缩放、平移、旋转的定义和性质，引导学生直观地理解这些概念。

3.操练（10分钟）教师提出一些有关图形缩放、平移、旋转的实际问题，让学生分组进行讨论和操作，引导学生通过实践加深对图形变化的理解。

4.巩固（10分钟）教师针对学生讨论和操作的结果，进行讲解和总结，使学生对图形缩放、平移、旋转的性质有更清晰的认识。

52 图形的变化2教学目标1、通过对图案设计的“实验”，进一步了解图形的旋转、平移、对称、拼合等变化，初步探索图形之间的变换关系，发展空间观念，培养创新能力；2、通过学生之间的合作、交流，培养学生的集体观念；3、经历“观察——思考——探究——实践——创作”过程，培养学生观察、分析问题以及认识美、欣赏美、创造美的能力。

教学的重点、难点1、引导学生运用旋转、平移、对称、拼合等方式，设计出富有创意的图案；2、在动手实验中领会图形的平移、旋转、翻折等变化。

教学过程一、预习展示1、准备“七巧板”，你可以拼出什么图形，请拼出。

2、你能用其中的3块板拼成一个三角形吗？4块呢？5块呢？6块呢？3、你能用其中的哪些板拼成正方形、长方形、平行四边形？4、你能构思并拼出新的图案吗？请给拼成的图案加上恰当的解说词。

二、探索学习交流作品三、练习反馈1．如图中按左侧三个图形阴影部分的特点，将右侧的图形补充完整。

2．已知：图（1）、图（2）分别是6×6正方形网格上两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为S A、S B（网格中最小的正方形面积为一个平方单位），请观察图形并解答下列问题（1）填空：S A ∶S B 的值是 ；（2）请你在图（3）的网格上画出一个面积为8个平方单位的图形，要求图形可以看作由其中的一个基本图形经过平移、翻折或旋转形成的。

3请你构造一些图案，使每一个图案中含有2个三角形、2个圆形和一组平行线，并给图案加上适当的解说词。

4．用两种颜色不同的等腰直角三角形木板各四块，拼出各种图案。

5．如下是七种图形：圆 线段 正方形 长方形 三角形 五边形 六边形 请你选用这七种图形中的若干种（不少于两种）构造一幅图案，并用一句话说明你构想的是什么，例如下图就是符合要求的一个图案。

请你在右边构造出两个与之不同的图案，并加以说明。

一辆汽车6小明用如下图所示的胶滚沿从左到有的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案是（）课堂作业：补充习题。

浙江省湖州市练市镇七年级数学《2.5相似变换》学案（无答案）苏科版课型：新授课主备人审核人（教研组）班级姓名学习组长学习目标：（教师确定）1、了解现实生活中图形的相似。

2、了解图形相似变换的概念。

3、了解图形相似变换的性质：不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数。

4、会按要求作出简单平面图形经相似变换后的图形。

5、了解相似变换的一些简单实际应用。

【教学重点、难点】1、本节教学的重点是图形相似变换的概念和性质。

2、相似变换的性质的发现需要较强的观察能力，而且在现阶段还很难说明理由，是本节教学的难点。

学习过程：一、预习·导学1. 请填下表，比较前面我们学过的三种图形的变换。

变换性质形状大小方向连结对应点的线段特有名称轴对称变换/平移变换/ 旋转变换/观察下面两图，哪些改变了？哪些没有改变？结论：3.观察下面两个图形，哪些改变了？哪些没有改变？结论：4. 图中有哪些是相似图形？答：5. 根据以上三道题目的练习，你能回答下列问题吗？（1）将一个图形作相似变换时,图形的各个角的大小改变吗?请举例说明,你是怎样验证的? (2) 将一个图形作相似变换时,图形的各条线段长改变吗?请举例说明,你是怎样验证的?你的结论是：家长签名二、预习·疑问星级评定三、学习·研讨（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）例1.如下图，把方格纸中的图形作相似变换，使各边长放大到原图形的2倍，并在同一张方格纸上画出经变换所得的像。

（直接画在图形中）（三）合作学习：1. 如下图，画一个三角形，使它与已知三角形相似，且原三角形与所画的相似比为2：1？并思考下列问题：(1). 放大后所得的图形周长是原图形周长的多少倍？(2). 放大后所得的图形面积是原图形面积的多少倍？由此请填写下面问题：相似变换的基本性质（１）相似变换不改_________________________________（２）图形中的每条线段都____________________________________-．经相似变换所得的图形和原图形在形状、大小、周长、面积等方面都有何关系吗?形状___________________大小______________________周长___________________面积______________________星级评定四、巩固·延伸1.把圆O（如图）的半径缩小到原来一半，画出缩小后的圆。

2.5相似变换
本节由洪建蕊老师撰写
一、教材内容分析
相似变换是图形的一种基本变换，通过学生所熟悉的实际生活的现象，认识相似图形，了解相似变换，进而探索相似变换的一些基本性质；并能认识相似变换的现实生活中的一些简单应用，为今后进一步学习相似三角形打下基础。

教材尽可能多地让学生主动参与，动手操作，拓展学生思考与探索的空间，在直观感知，操作确认的基础上，努力探索图形之间的变化关系。

二、教学目标
1、认识相似图形和相似变换。

2、了解相似变换的基本性质，会按要求作出简单的图形（经过相似变换后的图形）。

3、结合教材和联系生活实际，培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。

三、教材的重点和难点
1、教材重点：认识相似图形和相似变换，会按要求作出简单的图形（经
过变换后的图形）。

2、教学难点：了解相似变换的基本性质
四、〔教学过程〕
（学生可能会从图形的形状上去描述，例如图形的
A
B C
A
B ．大家来试一试
（1） （
2） （3（4（5（（（（） （（（
3）
设计思路：
1、本设计按“问题情境——数学活动——概括——巩固应用和拓展”的模式呈现教学内容的，这种方式符合学生的认知规律和学习规律，同时也是课堂教学和设计的立足点。

2、体现了学生动手实践、自主探索、合作学习的数学学习方式，充分调动学生的学习积极性，提高学生的参与度。

3、首先引导学生从原有的知识经验中，生成新的知识经验，然后运用它解决问题，形成数学能力。

5.2 图形的转变
【学习目标】
1．经历图形的平移、旋转、翻折转变，探讨图形之间的变换关系，提高操作、探讨能力；
2．学习图形的变换关系，培育空间想象能力，增强用数学的意识．
【学习重点】通过探讨图形之间的转变关系，进展空间观念，增强用数学的意识． 【问题导学】 问题1
．如左图，你能说明△ABC 通过如何的移动能够取得△BAD 吗？
将△ABC 能够取得△BAD． 如右图，能够看做是一个菱形通过______次旋转
取得的，每次旋转______ 度．
发觉： 图形有三种大体变换 ， ， ．
问题2．如下图，按要求涂色：
（1）将图形A 平移到图形B ；
（2）将图形B 沿图中虚线翻折到图形C ；
（3）将图形C 沿其右下方的极点旋转180°到图形D ．
体会各类变换的操作方式
．
问题3．如图的四个图形，既能够通过翻折变换、又能够通过旋转变换取得的图形是 ．
A ．①②③④
B ．①②③
C ．①③
D ．③
【问题探讨】
问题1．以下图形绕虚线旋转一周，形成一个几何体，在对应图形下，写出几何体的名称．D E C B
A A
B
C D
问题2．如图，一块直角三角形ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到△'''A B C 的位置．假设AC 的
长为30cm ，那么极点A 从开始到终止所通过的途径是什么图形？途径的长度是多少？
小结：当直接求解困难时，考虑 方式求解．
B'C A。

2．2.5 投影变换1．投影变换将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换． 2．投影变换矩阵 像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵．3．常见的投影变换矩阵(1)将坐标平面内的图形垂直投影到x 轴上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000； (2)将坐标平面内的图形垂直投影到y 轴上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 001；(3)将坐标平面内的图形沿垂直于y 轴方向投影到y ＝x 上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 101； (4)将坐标平面内的图形沿垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010.[说明] 投影变换虽然是映射，但不是一一映射．[对应学生用书P17][例1] 已知变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000和N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，平面上三个点A (3,1)，B (2,3)，C (0,4)．(1)分别求直线AB ，BC 在T 1，T 2变换下得到的直线方程； (2)变换T 1，T 2有什么不同？[思路点拨] 二阶非零矩阵对应的变换将直线变为直线，所以只要求出A ，B ，C 在T 1，T 2变换下得到的点A ′，B ′，C ′的坐标，就可以求出直线AB ，BC 在T 1，T 2变换下得到的直线方程．[精解详析] (1)A ，B ，C 在T 1变换下变为A ′(3,0)，B ′(2,0)，C ′(0,0)，A ，B ，C 在T 2变换下变为A ″(3，－1)，B ″(2，－3)，C ″(0，－4)．∴直线A ′B ′的方程为y ＝0，直线B ′C ′的方程为y ＝0， 直线A ″B ″的方程为2x －y －7＝0， 直线B ″C ″的方程为y ＝12x －4.(2)由(1)可知，直线AB ：2x ＋y －7＝0，直线BC ：y ＝－12x ＋4，在T 1变换下得到的图像均为y ＝0，在T 2变换下得到两个不同的图像，所以T 2是一一映射，T 1不是一一映射．投影变换不仅依赖于投影的目标直线(或点)，还依赖于投影的方向．这很好理解，以树木在太阳下形成影子为例，我们把太阳光看似平行光，当在正午的时候，树木的影子会投影到树根，但在清晨或者黄昏时分，投影到大地上的树木的影子就变斜了．正午时候太阳光所作的垂直投影变换对应的矩阵形式为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，下面我们考察太阳光所作的斜投影变换的矩阵形式，如图所示．在这样的斜投影变换下，P (x ，y )→P ′(x ′，y ′)，记k ＝cot α，则P ′的坐标为(x ＋ky,0)，即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ky 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 00 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 0即为这样的斜投影变换的矩阵形式，特别地，当k ＝0时，即为垂直投影变换．1．已知△ABC 三顶点坐标分别为A (－1,1)，B (2,0)，C (1,2)，此三角形在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010作用下得到怎样的图形？解：因⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故A 、B 、C 三点在M 作用下的象为A 1(－1，－1)，B 1(2,2)，C 1(1,1)，而A 1、B 1、C 1三点都在直线y ＝x 上且C 1点在线段A 1B 1上，故△ABC 在矩阵M 作用下的象是线段y ＝x (－1≤x ≤2)．2．研究直线3x －2y ＋1＝0在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义．解：任取直线3x －2y ＋1＝0上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1对应的变换作用下变为P ′(x ′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′0x 0－y 0＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′0y 0＝x ′0－y ′.又因为点P 在直线3x －2y ＋1＝0上， 所以3x 0－2y 0＋1＝0，即有3x ′0－2(x ′0－y ′0)＋1＝0，即x ′0＋2y ′0＋1＝0.从而直线3x －2y ＋1＝0在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1作用下变成直线x ＋2y ＋1＝0.其几何意义是：把直线3x －2y ＋1＝0上的每一点沿垂直于直线x ＋2y ＋1＝0的方向投影到该直线上．[例2] 已知直线x ＋y ＝5在矩阵M 对应变换作用下得到点(5,5)，求矩阵M . [思路点拨] 先设出变换矩阵，利用变换公式列方程求解即可．[精解详析] 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则由题意得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤55， 即恒有ax ＋by ＝5，cx ＋dy ＝5，又因为x ＋y ＝5，比较得a ＝b ＝c ＝d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111.根据变换的形式或变换对应的矩阵找出对应的关系，寻找变换后图形上点的横、纵坐标关系来理解投影变换具有的特点．3．已知变换T 是将平面图形投影到直线y ＝3x 上的变换，试求它所对应的矩阵M . 解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3x ，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 030.4．求直角坐标系内关于直线l ：y ＝kx (k ≠0)的投影变换的坐标变换公式及其矩阵． 解：设平面内点P (x ，y )在l 上投影为P ′(x ′，y ′)，据题意⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′＝－1k ，y ′＝kx ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1k 2＋1x ＋kk 2＋1y ，y ′＝k k 2＋1x ＋k2k 2＋1y .则相应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1k 2＋1 kk 2＋1k k 2＋1 k 2k 2＋1.[对应学生用书P18]1．求点A (3,1)，B (2,3)，C (3,2)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000对应的变换下变成的点的坐标，并回答下列问题：(1)该矩阵把直线AB 变成什么图形？ (2)该矩阵把线段AC 变成什么图形？解：设点A ，B ，C 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000变换作用下的点分别是A ′(x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2)，C ′(x 3，y 3)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30， ∴点A ′的坐标为(3,0)，同理B ′(2,0)，C ′(3,0)． (1)易知该矩阵把直线AB 变成x 轴；(2)易知该矩阵把线段AC 变成了一个点(3,0)． 2．直线x ＋y ＝3在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 0对应的变换作用下变成什么图形？ 解：直线x ＋y ＝3在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 100对应变换下变成了点(3,0)，如图所示．3．正方形ABCD 分别在M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 0，M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12，M 4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12对应的变换作用下的图形是什么？请画出示意图，这里点A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．解：如图所示，根据矩阵对应变换的几何意义，可知在M 1，M 2，M 3，M 4对应变换下，正方形ABCD 分别变成线段A ′B ′，A ″E ，FG ，A C ′.4．直线x －y ＝2分别在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1与矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111对应的变换作用下变成什么图形？解：设P (x ，y )是直线x －y ＝2上任意一点，P ′(x ′，y ′)是矩阵M 对应变换下P 对应的点，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －y ，y ′＝－x ＋y ，代入x －y ＝2，得直线x －y ＝2在矩阵M 对应变换下变为点(2，－2)．同理可得直线x －y ＝2在矩阵N 对应变换下变为直线y ＝x .5．已知变换T 是将平面图形沿y 轴方向投影到直线y ＝2x 上的变换，试求它的变换矩阵M .解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020.6．圆x 2＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤000 1变换作用下得到什么图形？解：圆x 2＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001对应的变换作用下得到的图形是线段x ＝0(－1≤y ≤1)．7．已知变换T 把平面上的所有点都垂直投影到直线y ＝x 上． (1)试求出变换T 所对应的矩阵M ；(2)求直线x ＋y ＝2在变换T 下所得到的图形．解：(1)因为点P (x ，y )在直线y ＝x 上的投影为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2，于是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y 2x ＋y 2. 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y 2x ＋y 2，x ＋y ＝2，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即直线x ＋y ＝2在变换T 下所得到的图形是一个点(1,1)． 8．已知直线l ：x ＋y ＝5. (1)求直线l 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 011对应的变换作用下得到的图形；(2)是否存在矩阵N ，使直线l 在矩阵N 对应的变换作用下得到点(5,0)?解：(1)设P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝5上的任一点，该点在矩阵M 变换作用得到的点P ′的坐标为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 011 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0x 0＋y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝x 0＋y 0.又x 0＋y 0＝5，∴P ′(0,5)，即直线l ：x ＋y ＝5在矩阵M 对应变换作用下变为一个点(0,5)．(2)假设存在适合题意的矩阵N ，设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1c 1d 1，P (x 0，y 0)是直线l 上任一点，该点在矩阵N 对应变换作用下对应的点为P ′(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1x 0＋b 1y 0c 1x 0＋d 1y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤50. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1x 0＋b 1y 0＝5，c 1x 0＋d 1y 0＝0.此方程组对任意x 0∈R ，y 0∈R 恒成立， 且x 0＋y 0＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＝1c 1＝d 1＝0，∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1100.即存在矩阵N ，使直线l 在此矩阵对应的变换作用下得到点(5,0)．。