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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x AB ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的11Z i =-模为（A ）12 （B （C （D ）2 （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50（C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2 （8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49B ．67C ．89D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A B ． C ．132 D ．（11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为 （A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的11Z i =-模为（A ）12（B ）2 （C （D ）2（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A B ． C ．132D ． （11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为（A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
文科数学答案解析
第Ⅰ卷
当0a ＞时，y ax ＝与()y f x ＝恒有公共点，所以排除()
若0x ≤，则以y ax ＝与22||y x x ＝－＋相切为界限，
由2
,2,
y ax y x x =⎧⎨=-⎩得22()0x a x －＋＝． ∵22()0a ∆＝＋＝，∴2a ＝－． ∴,0[]2a ∈－；故选D ．
第Ⅱ卷
0=b c ，a 1112⨯⨯＝a b 1(0[]t ＝＋－＝b c a b b ，即1()t t ＋－a b b 2
【解析】画出可行域如图所示。
画出直线20x y －＝，并平移，当直线经过点15.【答案】9π2
【解析】如图，
设球O 的半径为R ，则AH ＝又∵2π·πEH ＝，∴1EH ＝．
123n +
+
-
从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有
710的叶集中在茎叶集中在茎0，1上，由此可看出A 药的疗效更好． 19.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）3
【解析】（Ⅰ）证明：取AB 的中点
因为CA CB ＝，所以OC AB ⊥．
由于1AB AA ＝，160BAA ∠︒＝，故
由弦切角定理得，ABE BCE ∠∠＝又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，
所以原不等式的解集是|0
{x＜
（Ⅱ）当
1
,
22
x
a
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭
∈时，(f x。
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=0,1,{}2,3,4A ，{||=2|<}B x x ，则=A B ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2} 2.复数1=i 1z -的模为( )A .12BCD .23.已知点(1,3)A ，1(4,)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为( )A .34(,)55-B .43(,)55-C .34(,)55-D .43(,)55-4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： 1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列； 3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A .12p p ,B .34p p ,C .23p p ,D .14p p ,5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 ()A .45B .50C .55D .606.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若s i n c o s s i n c o s =12a cb B C BA+，且a b >，则B ∠=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67.)3)1(x f x ＝+，则1(lg2)(lg )2f f +=( )A .1-B .0C .1D .28.执行如图所示的程序框图，若输入8n =，则输出S = ( )A .49 B .67 C .89 D .10119.已知点(0,0)O ，()0,A b ，3(),B a a .若OAB △为直角三角形，则必有 ( )A .3=b aB .31b a a=+C .331()()0b a b a a---=D .331||||0b a b a a-+--=10.已知直三棱柱111ABC A B C －的6个顶点都在球O 的球面上.若=3AB ，=4AC ，AB AC ⊥，112=AA ，则球O 的半径为( )AB.C .132D.11.已知椭圆2222=1(0)x y a C ba b :+>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若||=10AB ，||=8BF ，os =45c ABF ∠，则C 的离心率为 ( )A .35B .57C .45D .6712.已知函数22(()22)f x x a x a +-=+，22((2))28g x x a x a =---++.设1()H x =max ()(){}f x g x ,，2mi (){)(n (,)}H x f x g x =（{},max p q 表示p ，q 中的较大值，min{},p q 表示p ，q 中的较小值）.记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -=( )A .2216a a --B .2216a a +-C .16-D .16--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ，3a 是方程2540x x +=-的两个根，则6S = .15.已知F 为双曲线22=1916x y C :-的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为 .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量a )=,sin x x ，b (,=cos s )in x x ，2[]π0,x ∈.（Ⅰ）若|a |=|b |，求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a ·b ，求()f x 的最大值.18.（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设Q 为PA 的中点，G 为AOC △的重心， 求证：QG ∥平面PBC .19.（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求： （Ⅰ）所取的2道题都是甲类题的概率； （Ⅱ）所取的2道题不是同一类题的概率.20.（本小题满分12分）如图，抛物线214C x y :=，222()0C x py p :-=>.点00(,)M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为A ，B （M 为原点O 时，A ，B 重合于O ）.当0=1x MA 的斜率为12-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ，B 重合于O 时，中点为O ）.21.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：当[0,1]x ∈si n x x ≤≤； （Ⅱ）若不等式23()222cos 4ax x x x x ≤++++对[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为O 直径，直线CD 与O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明： （Ⅰ）=FEB CEB ∠∠； （Ⅱ）2=EF AD BC .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为=4sin ρθ，πcos(4ρθ- （Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为33,1,2x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数），求a ，b 的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|(|)f x x a =-，其中1a ＞.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()4||4f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式|()22()|2f x a f x ≤-+的解集为2|}1{x x ≤≤，求a 的值.{01}A B =，【解析】1i 1z ==-【提示】利用2i =-【试题解析】(3AB =-，，则与其同方向的单位向量3,5ABe AB ⎛== ⎝【提示】同方向的单位向量求法，向量除以模长即可【解析】根据等差数列的性质判定.d n 是假命题.a又sin a 32a b a -=-【解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中∠AB BF ABFcos，点数学试卷 第16页（共33页）【解析】a ）又x ）3sin =a b）AB PA 又PAAC A =，连接OG 并延长交，G Q PA 中点，∴又O QM MO M =BC PC C =，平面PBC QG ⊂平面QMO ）抛物线点N点又F）解法一：当数学试卷第22页（共33页）)又）直线AB又EF）BC又在AF BF，∴EF AD BC. （步骤【提示】根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形的全等和线段间的关系求解【考点】弦切角及圆的有关性质，三角形全等，直角三角形性质数学试卷第28页（共33页）又（11 / 11。
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A ｝，则A∩B= ( ) （A ）｛1，4｝ （B ）｛2，3｝ （C ）{9，16} （D ）｛1，2}（2） 1＋2i(1－i)2＝ ( )（A ）－1－12i （B ）－1＋12i （C ）1＋12i （D ）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16（4）已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x（5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是：（）（A ） p ∧q（B ）￢p ∧q（C ）p ∧￢q（D ）￢p ∧￢q （6）设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则 （）（A ）S n =2a n －1 （B ）S n =3a n －2 （C ）S n =4－3a n （D ）S n =3－2a n（7）执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于 ( ) （A ）[－3,4] （B ）[－5,2] （C ）[－4,3] （D ）[－2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=42，则△POF 的面积为( ) （A ）2 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）4 （9）函数f (x )=(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )（10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则 b=( ) （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 （A ）16+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π（12）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1)x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1](C)[－2，1](D)[－2，0]侧视图俯视图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）复数的模长为（）A．B．C．D．23．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p45．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C． D．7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a ﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16二、填空题13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12分）（1）证明：当x∈[0，1]时，；（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2013高考数学辽宁卷解析大连市红旗高级中学 王金泽一．选择题1.【答案】B【解析】 由已知{|22}B x x =-<<，所以{0,1}A B ⋂=，选B 。
2. 【答案】B【解析】由已知111,(1)(1)22i Z i i i -+==-----+所以||2Z = 3【答案】A【解析】(3,4)AB =- ，所以||5AB = ，这样同方向的单位向量是134(,)555AB =- 4【答案】D【解析】设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1P 正确；如果312n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2P 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n=+，是递减数列，所以3P 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4P 正确 5【答案】B【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m ，则150.3m=，50m =。
6【答案】A 【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=。
7【答案】D【解析】()3)1f x x -=++所以()()2f x f x +-=，因为lg 2，1lg2为相反数，所以所求值为2.8【答案】A 【解析】211s s i =+-的意义在于是对211i -求和。
因为21111()2111i i i =--+-，同时注意2i i =+，所以所求和为1111111[()()()]2133579-+-++- =49 【易错点拨】i 的值容易错想成i=2,3,4,5,6,7,8。
9【答案】C【命题意图】本题考察斜率的定义、两条直线相互垂直的条件的利用，意在考察考生恰当利用分类讨论思想的解题能力。
【解析】若A 为直角，则根据A 、B 纵坐标相等，所以30b a -=；若B 为直角，则利用1OB AB K K =-得310b a a--=，所以选C 10【答案】C 【解析】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M 。
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x AB ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的11Z i =-模为（A ）12 （B ）2（C （D ）2 （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．2B ．C ．132D ．（11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为 （A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
1.doc 及答案2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第I卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共40 分.（1）已知集合A 0,1,2,3,4 , B x||x| 2 ，则A B （）。
（A）0 （B）0,1 （C）0,2 （D）0,1,21（2）复数的Zi 1模为（）。
（A）12 （B）22（C） 2 （D）2（3）已知点A 1,3 ,B 4, 1 ，则与向量AB 同方向的单位向量为（）。
（A）3 4，- （B）5 54 3，- （C）5 53 4，（D）5 54 3，5 5（4）下面是关于公差 d 0 的等差数列 a 的四个命题：np1 :数列a n 是递增数列；p2 :数列na n 是递增数列；p3 :an数列是递增数列；np4 :数列a n 3nd 是递增数列；其中的真命题为（）。
（A）p1, p2 （B）p3, p4 （C）p2, p3 （D）p1, p4（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20,40 , 40,60 ,60,80 , 80,100 .若低于60 分的人数是15 人，则该班的学生人数是（）。
（A）45 （B）50 （C）55 （D）60第 1 页共13 页（6）在ABC 中，内角A，B，C所对的边长分别为a, b, c. a sin B cosC c sin B c os A12b, 且a b,则 B （）。
（A）（B）（C）6 3 23（D）56（7）已知函数 2 1f x ln 1 9x 3x 1,.则f lg 2 f lg （）。
2（A） 1 （B）0 （C）1 （D）2 （8）执行如图所示的程序框图，若输入n 8,则输出的S （）。
（A）49 （B）67（C）89（D）1011（9）已知点 3O 0,0 , A 0,b ,B a, a .若OAB 为直角三角形，则必有（）。
（A） 3b a （B）3 1b aa（C） 3 3 1b a b aa 0 3 31 （D）b a b aa（10）已知A BC A B C的6 个顶点都在球O的球面上。
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2答案 B解析 B ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{0,1}．2．复数z ＝1i －1的模为( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 答案 B解析 z ＝1i －1＝－1－i 2，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22.3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45.4．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0，∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1)， 当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a n n}递增， 但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.5．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60答案 B解析 由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n ＝150.3＝50.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12， 依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12， ∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12， 又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.7．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 D解析 设g (x )＝lg(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝lg(1＋9x 2＋3x )＝lg 11＋9x 2－3x＝－g (x )． ∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12－1＝g (lg 2)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 12＝0， 因此f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝2.8．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝8，则输出S 等于( )A .49 B.67 C.89 D.1011答案 A解析 执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4； 执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10； 此时i ＝10＞8，输出S ＝49.9．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 答案 C解析 易知A B →＝O B →－O A →＝(a ，a 3－b )，且b ≠0，a ≠0，若A 为直角，OA →·AB →＝(0，b )·(a ，a 3－b )＝b (a 3－b )＝0，∴b －a 3＝0，若B 为直角，O B →·A B →＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝0，∴a 2＋a 3(a 3－b )＝0，则b －a 3－1a＝0， 故(b －a 3)·⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0，选C.10．已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3 172 B ．2 10 C.132D ．3 10 答案 C解析 ∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l ＝32＋42＋122＝2R ，R ＝132.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( ) A.35 B.57 C.45 D.67答案 B解析 在△ABF 中，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ，∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF .∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5， 利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.12．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B 等于( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．16答案 C解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚线部分)．∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16.第Ⅱ卷二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案 16π－16解析 由三视图知，该几何体是由一个底面半径r ＝2的圆柱内挖去了一个底面边长为2的正四棱柱，又该几何体的高h ＝4，∴V ＝(π×22－22)×4＝16π－16.14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1，∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63.15．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．答案 10解析 把5个班中参加该小组的人数从小到大排列，记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，(x i ∈N ，且x 1，x 2，x 3，x 4，x 5各不相同)，由题意(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20.∵x 1，x 2，x 3，x 4，x 5∈N ，且各不相同． 若使x 5－7最大，只需(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小，显然(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小值为0＋1＋1＋4＝6.∴(x 5－7)2≤14，因此(x 5－7)2≤9，则x 5≤10，x 5∈N ，经验证x 5＝10时，x 1＝4，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8满足，所以样本数据中的最大值为10.三、解答题17．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.18. 如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC .证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ，MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .19．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解 (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25. (2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815.20. 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12. (1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x 2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .② 由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2， 由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④ 切线MA 、MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤ y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥ 由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24. 因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦ 由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0. 当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y . 因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y . 21．(1)证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x ； (2)若不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 记F (x )＝sin x －22x ， 则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，F ′(x )＞0，F (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，F ′(x )＜0，F (x )在⎣⎡⎦⎤π4，1上是减函数． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0，即sin x ≥22x . 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0，所以，H (x )在[0,1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x . 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]． (2)解 方法一 因为当x ∈[0,1]时， ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫24x 2＝(a ＋2)x . 所以，当a ≤－2时， 不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立． 下面证明，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4 ＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2 ≥(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x 22 ＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x ⎣⎡⎦⎤x －23(a ＋2). 所以存在x 0∈(0,1)⎝⎛⎭⎫例如x 0取a ＋23和12中的较小值满足 ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4＞0. 即当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．方法二 记f (x )＝ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4，则 f ′(x )＝a ＋2x ＋3x 22＋2cos x －2(x ＋2)sin x . 记G (x )＝f ′(x )，则G ′(x )＝2＋3x －4sin x －2(x ＋2)cos x .当x ∈(0,1)时，cos x ＞12，因此 G ′(x )＜2＋3x －4×22x －(x ＋2)＝(2－22)x ＜0.于是F ′(x )在[0,1]上是减函数，因此，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜f ′(0)＝a ＋2.故当a ≤－2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在[0,1]上是减函数，所以f (x )≤f (0)＝0. 即当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]恒成立． 下面证明：当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋ 2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]不恒成立．由于f ′(x )在[0,1]上是减函数，且f ′(0)＝a ＋2＞0，f ′(1)＝a ＋72＋2cos 1－6sin 1. 当a ≥6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)≥0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0. 因此f (x )在[0,1]上是增函数，故f (1)＞f (0)＝0；当－2＜a ＜6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)＜0. 又f ′(0)＞0.故存在x 0∈(0,1)，使f ′(x 0)＝0，则当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＞f ′(x 0)＝0，所以f (x )在[0，x 0]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f (x )＞f (0)＝0. 所以，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．22. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2； 又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .同理可证，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .23．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.24．选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.。
