八年级数学下册 2《四边形》综合训练题(无答案)(新版)湘教版

《四边形》测试卷一．选择题（共8小题）1．已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．3．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是14，则DM等于（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）A．12 B．14 C．16 D．185．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C 重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是（）A．4≥x＞2.4 B．4≥x≥2.4 C．4＞x＞2.4 D．4＞x≥2.46．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（）A．平行四边形B．对角线相等的四边形C．矩形D．对角线互相垂直的四边7．如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．45°第3题图第4题图第5题图8．将五个边长都为2cm 的正方形按如图所示摆放，点A 、B 、C 、D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（ ）A ．2cm 2B ．4cm 2C ．6cm 2D ．8cm 2二．填空题（共8小题）9．己知正多边形的每个外角都是45°，则从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作 条对角线10．在▱ABCD 中，∠A+∠C=260°，则∠C= ，∠B= ．11．在等边三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、正方形中，一定是中心对称图形的有 ________个．12.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 、AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连结DH ，则线段DH 的长为 ．13．如图所示，已知▱ABCD ，下列条件：①AC=BD ，②AB=AD ，③∠1=∠2，④AB ⊥BC 中，能说明▱ABCD 是矩形的有（填写序号） ．14．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是 ．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m 和8m ，则这个花园的面积为 ．15．如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H ．若AB=2，AG=1，则EB= ．16．如图，两个完全相同的三角尺ABC 和DEF 在直线l 上滑动．要使四边形CBFE 为菱形，还需添加的一个条件是 （写出一个即可）．第7题图 第8题图第12题图 第13题图第15题图第16题图三．解答题（共7小题）17. 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（１）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图（１），使AB=CD,EF=CH；（２）摆成如图（２）的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是；（３）将直角尺靠紧窗框的一个角，如图（３），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图（４），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是 .18. 已知□错误!未找到引用源。

湘教版2017—2018学年八年级数学下学期期末复习(二) 四边形考点一多边形的内角和与外角和【例1】小杰在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1 290°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？【分析】由少算的内角处在0°到180°之间列出关于边数不等式，再求整数解即可得边数.【解答】设这个多边形的边数为n，少算的这个内角为α，则有：(n-2)·180°-α=1 290°.α=(n-2)·180°-1 290°.显然：0°＜α＜180°，∴0°＜(n-2)·180°-1 290°＜180°.解得916<n<1016.因此n=10.α=(10-2)·180°-1 290°=150°.答：这个内角是150°，这个多边形的边数是10.【方法归纳】通过列不等式求整数解是解决多边形中漏加角或多加角问题的常用方法.变式练习1.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=( )A.90°-12α B.90°+12α C.12α D.360°-α2.如果一个多边形的每个内角都相等，每个内角与每个外角的差是90°，求这个多边形的内角和.考点二中心对称和中心对称图形【例2】随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是( )【分析】在A选项中，图形绕其中心旋转180°后能与原图重合，是中心对称图形，而其他三项都绕其中心旋转180°后不能与原图重合，所以不是中心对称图形，故选择A.【解答】A【方法归纳】识别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形，这个点是对称中心.最简单的方法是把图形倒置过来看，如果看到的图形与原图形完全相同，就是中心对称图形，否则不是.3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )考点三三角形的中位线【例3】如图所示，点D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q.求证：AP=AQ.【分析】取BC的中点H，连接MH，NH.根据中位线性质可证MH=NH，进而证明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，∠HNM=∠APQ，∴∠APQ=∠PQA，∴AP=AQ.【解答】取BC的中点H，连接MH，NH.∵M，H分别为BE，BC的中点，∴MH∥EC，MH=12EC.∵N，H分别为CD，BC的中点，∴NH∥BD，NH=12BD.∵BD=CE，∴MH=NH.∴∠HMN=∠HNM.∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA.同理∠HNM=∠QPA.∴∠APQ=∠PQA，∴AP=AQ.【方法归纳】已知中点时，常取另一中点，构造三角形的中位线.4.如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.求证：△EFG是等腰三角形.考点四特殊四边形的性质与判定【例4】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形.【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=BE，再由ASA 得△EBD≌△CBD，从而有BC=BE，结合已知BC=CD可得四边形BCDE的四边都相等，∴四边形BCDE是菱形.【解答】∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形.∵E是AB的中点，∴BE=DE=12AB.∴∠EDB=∠EBD.∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD.∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB.∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD.又∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD(ASA). ∴BE=BC.又∵BE=DE，BC=CD，∴CB=CD=BE=DE.∴四边形BCDE是菱形.【方法归纳】要判定一个四边形是菱形，若条件集中于“边”，可以证四边都相等；若先能说明这个四边形是平行四边形，可以证有一组邻边相等，或证对角线互相垂直.5.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为点F.求证：DF=DC.6.如图，在□ABCD中，AE=CG，DH=BF，顺次连接E，F，G，H，E.求证：四边形EFGH是平行四边形.复习测试一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( )A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形2.下列命题中，错误的是( )A.平行四边形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直平分C.矩形的对角线相等且互相垂直平分D.角平分线上的点到角两边的距离相等3.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为( )A.4B.32C.4.5D.55.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为( )A.10°B.15°C.20°D.12.5°6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有( )A.4对B.6对C.8对D.10对7.四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )A.OA=OC，OB=ODB.AD∥BC，AB∥DCC.AB=DC，AD=BCD.AB∥DC，AD=BC8.如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA.以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC=BD；④四边形ABCD是中心对称图形.其中正确的有( )A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④9.如图所示，下列条件中：①BD⊥AC；②OA=OC，OB=OD；③AC=BD；④AB∥CD，AB=BC.能说明四边形ABCD是菱形的组合是( )A.①B.①②C.②D.③④10.如图，在□ABCD中，∠A＝70°，将□ABCD折叠，使点D，C分别落在点F,E处(点F,E都在AB所在的直线上)，折痕为MN，则∠AMF等于( )A.70°B.40°C.30°D.20°二、填空题(每小题3分，共18分)11.若一个正多边形的一个内角等于135°，则这个多边形是正__________边形.12.如图，在□ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是__________.13.已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是__________(填“矩形”“菱形”或“正方形”).14.(2014·扬州)如图，△ABC的中位线DE=5 cm，把△ABC沿DE折叠，使点A 落在边BC上的点F处，若A，F两点间的距离是8 cm，则△ABC的面积为__________cm2.15.以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A,B两点，则线段AB的最小值是__________.16.(2013·厦门)如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点.若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF ＝__________厘米.三、解答题(共52分)17.(8分)如图所示模板，按规定AB,CD的延长线相交成80°的角，因交点不在板上不便测量，工人师傅测得∠BAE=122°，∠DCF=155°，此时AB,CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？18.(8分)如图，在□ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC 的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论.19.(12分)如图，已知在△ABC中，O是边BC的中点，E是线段AB延长线一点，过点C作CD∥BE，交线段EO的延长线于点D，连接BD，CE.(1)求证：CD=BE；(2)如果∠ABD=2∠BED，求证：四边形BECD是菱形.20.(12分)如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE.(1)求∠CAE的度数；(2)取AB边的中点F，连接CF，CE，试证明四边形AFCE是矩形.21.(12分)如图甲，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题.(1)探究1：小强看到图甲后，很快发现AE=EF.这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等(一个直角三角形，一个钝角三角形).考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证明△AEM≌△EFC就行了.随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图乙，取AB的中点M，连接EM.∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°.又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC.∵点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点，∴AM=EC.∵△BME是等腰直角三角形，∴∠AME=135°.又∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=135°.∴△AEM≌△EFC(ASA).∴AE=EF.(2)探究2：小强继续探索，如图丙，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立.请你证明这一结论.(3)探究3：小强进一步还想试试，如图丁，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立，请你完成证明过程给小强看；若不成立，请你说明理由.参考答案变式练习1.C2.设每一个外角为x°，则每一个内角为(x+90)°，根据题意，得x+x+90=180.解得x=45.∴360÷45=8，(8-2)×180°=1 080°.3.C4.证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.∴GF=12AD，GE=12BC.又∵AD=BC，∴GF=GE，即△EFG是等腰三角形.5.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=90°.∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°.∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.又∵AD=AE，∴△ADF≌△EAB（AAS）.∴DF=AB.∴DF=DC.6.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∠B=∠D.∵AE=CG，DH=BF，∴AH=CF，BE=DG.∴△AEH≌△CGF(SAS)，△EBF≌△GDH(SAS).∴EF=HG，EH=FG.∴四边形EFGH是平行四边形.复习测试1.B2.C3.B4.A5.B6.C7.D8.C9.B 10.B11.八12.3＜x＜11 13.矩形14.40 15.2 16.3 17.不符合.∵五边形的内角和是540°，∴∠G=540°-122°-155°-180°=83°.∴不符合规定.18.BE=DF，BE∥DF.∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=OF.∴BFDE是平行四边形.∴BE=DF，BE∥DF.19.证明：(1)∵CD∥BE，∴∠CDE=∠DEB.∵O是边BC的中点，∴CO=BO.在△COD和△BOE中，∠CDO=∠BEO，∠COD=∠BOE，CO=BO，∴△COD≌△BOE（AAS）.∴CD=BE.(2)∵CD∥BE，CD=BE，∴四边形BECD是平行四边形.∵∠ABD=2∠BED，∠ABD=∠BED+∠BDE，∴∠BED=∠BDE.∴BD=BE.∴四边形BECD是菱形.20.(1)∵△ABC是等边三角形，且D是BC中点，∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°.∵△DAE是等边三角形，∴∠DAE=60°.∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°；(2)证明：∵△BAC是等边三角形，F是AB中点，∴CF⊥AB.由(1)知：∠CAE=30°，∠BAC=60°.∴∠FAE=90°.∴AE∥CF.∵△BAC是等边三角形，且AD，CF分别是BC，AB边的中线，∴AD=CF.又AD=AE，∴CF=AE.∴四边形AFCE是平行四边形.∵∠AFC=∠FAE=90°，∴四边形AFCE是矩形.21.(2)探究2：在AB上截取AM=EC，连接ME.由(1)知∠EAM=∠FEC.∵AM=EC，AB=BC，∴BM=BE.∴∠BME=45°.∴∠AME=∠ECF=135°.∴△AEM≌△EFC(ASA).∴AE=EF.(3)探究3：成立.证明如下：延长BA到M，使得AM=CE，连接ME.∴BM=BE.∴∠BME=45°.∴∠BME=∠ECF.又∵AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA.∴∠MAE=∠CEF.∴△MAE≌△CEF（ASA）.∴AE=EF.。

湘教版八年级数学下册第2章四边形单元测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．2．下列命题中正确的有()(1)等边三角形是中心对称图形；(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个3．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．84．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB//DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）A．53B．35C．73D．546．已知菱形的周长为6，则菱形的面积为( )A．2 B C．3 D．47．如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A．6.5 B．6 C．5.5 D．58．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为()A．5 B．6 C．7 D．89．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9 D．二、填空题10．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是度．11．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．12．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为________．13．如图矩形ABCD中，AD=√2，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=__．14．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m．三、解答题15．如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：B C=BF．16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．17．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．18．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由．参考答案1．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.2．A【分析】根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．【详解】(1)、因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；(2)、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；(3)、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；(4)、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．故选A．【点睛】本题考查了正方形的判定；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；命题与定理，属于中等难度的题型．解题的关键是熟练掌握平行四边形、正方形、菱形的各种判定定理．3．C【解析】试题分析：多边形的外角和为360°，由题可知该多边形内角和为360°×=900°，根据多边形内角和公式=（n-2）×180°=900°，解得n=7.故选C.考点：1.多边形的内角和；2.外角和的计算.4．B【解析】试题解析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1.平行四边形的判定；2.矩形的判定；3.正方形的判定．5．A【分析】由矩形的性质可得AB=CD=4，BC=AD=6，AD∥BC，由平行线的性质可折叠的性质可得∠DAC=∠ACE，可得AF=CF，由勾股定理即可得求DF的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=4，BC=AD=6，AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，根据折叠的性质得：∠ACB=∠ACE，∴∠DAC=∠ACE，∴AF=CF，，设DF=x，则CF=AF=AD-DF=6x在Rt △CDF 中，222CF CD DF =+，∴()22264x x -=+， 解得：53x =， 即DF=53， 故选：A ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求DF 的长是本题的关键． 6．D【解析】如图四边形ABCD 是菱形，AC+BD=6，AO=12AC ，BO=12BD ， ∴AO+BO=3，∴AO 2+BO 2=AB 2，（AO+BO ）2=9，即AO 2+BO 2=5，AO 2+2AO•BO+BO 2=9，∴2AO•BO=4，∴菱形的面积=12AC•BD=2AO•BO=4； 故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直．7．C【解析】试题分析：根据题意可得四边形AEOF 和四边形CGOH 为菱形，且OH=EB ，设AE=x ，则BE=8－x ，根据菱形的周长之差为12，可得两个菱形的边长之差为3，即x －（8－x ）=3，解得：x=5．5考点：菱形的性质8．A【解析】【分析】由于D 、E 分别是AB 、BC 的中点，则DE 是△ABC 的中位线，那么DE=12AC ，同理有EF=12AB ，DF=12BC ，于是易求△DEF 的周长． 【详解】解：如上图所示，∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12AC ，同理有EF=12AB ，DF=12BC ， ∴△DEF 的周长=12（AC+BC+AB ）=12×10=5． 故答案为5．【点睛】本题考查三角形中位线定理．解题关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 9．A【解析】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P ′，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P ′D =P ′B ，∴P ′D +P ′E =P ′B +P ′E =BE 最小．即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE最小，为BE 的长度．∵直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =9，CE =13CD =3，∴BE=故选A ．点睛：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键．10．120．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B：∠C=1：2，∴∠C=23×180°=120°，故答案为120．11．12【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积解答．【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=12×6×8=24，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=12×24=12．故答案是：12．【点睛】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．12．【分析】由正方形的性质和已知条件得出，∠BCD=90°，CE=CF=12，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长,即可得出正方形EFGH的周长．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为1，∴=1，∠BCD=90°，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=12BC=12，CF=12CD=12，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×2；故答案为【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解题关键．13．√6【解析】试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF-∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．试题解析：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，∵∠ACG=∠AGC，∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°，∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°，在Rt △ABC 中，AC=2BC=2AD=2√2，由勾股定理，AB=√AB 2−BC 2=√(2√2)2−(√2)2=√6．【考点】1.矩形的性质；2.等腰三角形的判定与性质；3.含30度角的直角三角形；4.直角三角形斜边上的中线；5.勾股定理．14．4600【解析】小敏走的路程为AB+AG+GE=1500+（AG+GE ）=3100，则AG+GE=1600m ，小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF ）.连接CG ，在正方形ABCD 中，∠ADG=∠CDG=45°，AD=CD ， 在△ADG 和△CDG 中，090AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ADG ≅△CDG ，∴AG=CG.又∵GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，∠BCD=90°， ∴四边形GECF 是矩形，∴CG=EF.又∵∠CDG=45°， ∴DE=GE ，∴小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（GE+AG ）=3000+1600=4600m.点睛：本题主要考查了正方形的性质，解决本题从两人的行走路线得到他们所走的路程和，可以得到AG+GE=1600m ，小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF ），即要求出DE+EF，通一系列的证明即可得到DE=GE，EF=CG=AG，从而解决问题.15．证明见解析．【解析】试题分析：首先由平行四边形的性质可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS可证明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，进而可证明BC=BF．试题解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．在△ADE与△BFE中，∵∠DEA=∠FEB，∠1=∠2，AE=BE，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴AD=BF，∴BC=BF ．点睛：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．16．（1）证明见解析；（2）四边形ACEF是菱形，理由见解析.【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=12AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【详解】试题解析：（1）∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=12AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质等，结合图形，根据图形选择恰当的知识点是关键． 17．（1）证明见解析；（2）AB =AD （或AC ⊥BD 答案不唯一）．【解析】试题分析：（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA =OC ，OB =OD ，根据等角对等边可得OB =OC ，然后求出AC =BD ，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；（2）根据正方形的判定方法添加即可．试题解析：解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵∠OBC =∠OCB ，∴OB =OC ，∴AC =BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形；（2）AB =AD （或AC ⊥BD 答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AB =AD ，∴四边形ABCD 是正方形．或：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是正方形．18．（1）证明见解析；（2）EG 必过BD 中点这个点，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA ，证出AH=BE=CF=DG ，由SAS 证明△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG ，得出EH=FE=GF=GH ，∠AEH=∠BFE ，证出四边形EFGH 是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）直线EG 经过正方形ABCD 的中心， 连接BD 交EG 于点O ，易证△EOB ≌△GOD ．可得BO=DO 即点O 为BD 的中点．所以直线EG 经过正方形ABCD 的中心．试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形．∴90BAD ABC BCD CDA ∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD DA ===．∵AE BF CG DH ===．∴AH BE CF DG ===．∴EAH ≌FBE ≌GCF ≌HDG ． ∴EH EF FG HG ===，AEH BFE ∠=∠． ∴四边形EFGH 是菱形．∵90BEF BFE ∠+∠=︒，AEH BFE ∠=∠． ∴90BEF AEH ∠+∠=︒．∴90HEF ∠=︒．∵四边形EFGH 是菱形，90HEF ∠=︒． ∴四边形EFGH 是正方形．（2）直线EG 经过正方形ABCD 的中心，理由如下： 连接BD 交EG 于点O ．∵四边形ABCD 是正方形．∴AB DC ．∴EBD GDB ∠=∠．∵EOB GOD ∠=∠，EBD GDB ∠=∠，BE DG =． ∴EOB ≌GOD ．∴BO DO =，即点O 为BD 的中点．∴直线EG 经过正方形ABCD 的中心．。