高二数学最新教案-§9.7直线和平面所成角与二面角(5) 精品

直线与平面所成的角教案教学目标：1.理解直线与平面所成角的概念。

2.学会通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。

3.能够应用直线与平面所成角的性质解决相关问题。

教学重点：教学难点：通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。

教学准备：投影仪、PPT等教具。

教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾直线与直线所成角的概念及性质。

2.提问：直线与平面之间有什么关系？学生回答。

3.引导学生思考，直线与平面所成角有什么特点？学生讨论。

Step 2：定义及性质1.展示PPT，介绍直线与平面所成角的定义：在平面内，以一条线段与平面的法线为边，从线段的其中一端点起，可以画出一个角，称为直线与平面所成角。

2.介绍直线与平面所成角的性质：a.直线与平面所成角的大小只取决于直线与平面的夹角，与直线的长度无关。

b.直线与平面所成的角等于这条直线在平面上的投影与这条直线的夹角。

c.直线与平面所成角的度数范围是0°~180°。

Step 3：例题讲解1.案例一：已知一条直线与一个平面的夹角为60°，求直线在平面上的投影与这条直线的夹角。

解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。

所以，所求的角度为60°。

2.案例二：一根竖直的路灯杆上蜘蛛丝斜依在路灯杆上，它与平地成45°的角，它离地面高度为5米，求蜘蛛丝的长度。

解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。

所以，设蜘蛛丝的长度为x米，根据三角函数的定义，我们有tan 45°=5/x，解方程得x=5米。

Step 4：让学生自主探究1.将学生分成小组，每个小组选择一个与我们日常生活密切相关的例子，让学生尝试计算直线与平面所成角的大小，并讲解解题思路和方法。

Step 5：归纳总结1.学生回答问题：直线与平面所成角的度数范围是多少？直线与平面所成角的大小只与直线与平面的夹角有关吗？2.引导学生归纳总结直线与平面所成角的定义及性质。

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(一)教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣 教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学难点：直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质 要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了 教学过程： 一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课： 1斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角 直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角证明：设平面α的一条斜线l 在α内的射影为l '，角θ是l 与l '所成的角 直线OD 是平面α内与l '不同的任意一条直线，过点l 上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C 因为AB<AC ， 所以AOACAO AB <，即AOC ∠<sin sin θ,因此AOC ∠<θ 4．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=OCBAα用几何法研究：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B连接OB ，则OB ⊥b.在直角△AOP 中，AP AO=1cos ϕ. 在直角△ABC 中，AO AB=2cos ϕ.在直角△ABP 中，APAB=θcos .所以 θϕϕcos cos cos 21==⋅=APABAO AB AP AO 所以θϕϕcos cos cos 21=成立用向量运算研究：如图，AP 是平面α的斜线，A 是斜足，PO 垂直于平面α，O 为垂足，则直线AO 是斜线在平面α内的射影设AB 是平面α内的任意一条直线，且OB AB ⊥，垂足为B ，又设AP 与AO 所成角为1θ，AB 与AO 所成角为2θ，AP 与AB 所成角为θ，则易知：1||||cos AO AP θ=，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==又∵||||cos AB AP θ=，可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 三、讲解范例：例1如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α所成角解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α所成角， 又∵12cos cos cos θθθ=⋅，ODCBA1A∴cos cos601cos cos cos 45222ABC ABO CBO ∠∠===÷=∠， ∴45BAO ∠=，即斜线AB 和平面α所成角为45．例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角解法一：连结11AC 与11B D 交于O ，连结OB ， ∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 在1Rt A BO ∆中，1112A O A B =，∴130A BO ∠=． 解法二：由法一得1ABO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 又∵112cos cos 45A BB∠==，11cos B B B BO BO ∠== ∴1111cos cos cos A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=． 说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则3CO a =，C A∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，∴cos3ACO ∠=，所以，AC 与平面BCD 例4 如图，已知AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC中点，求AD 与平面PBC 所成角的余弦值.解：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，∴PD=BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31217cos ==∠AD PD PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为31217四、课堂练习：1选择题（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º)（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 .E1A （2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条线段与平面α所成的角是 .（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 . 答案：（1）θcos l （2）030 （3）101arcsin3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且PA =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心.分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由PA =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影 六、课后作业：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：（1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC 所成的角．解：（1）设正方体的边长为a ，则在1Rt D BD ∆中，1,DB D B ==. ∴1cos D BD ∠==. （2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略） 八、课后记：在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影。

直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。

教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。

教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。

教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。

2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。

2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。

3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。

三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。

2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

3. 分析实例：墙角的直角。

4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。

五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。

2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。

教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。

结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。

六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。

ED B Aβα【课 题】直线与平面所成的角与二面角（4） 【教学目标】1．两个平面垂直的定义、画法．2．两个平面垂直的判定定理． 3．两个平面垂直的性质定理．【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、二面角、二面角的平面角.2、求作二面角的平面角的途径及依据.二、讲解新课（一）两个平面垂直的判定1、两个平面互相垂直的定义：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.2、画法：那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图.平面α和β垂直，记作α⊥β 3、两个平面垂直的判定定理：两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.已知：直线AB ⊂平面α，AB ⊥平面β，垂足为B ， 求证：αβ⊥．（线面垂直⇒面面垂直）DCBA 证明：如图所示，令CD αβ=，则B CD ∈，在β内过B 作BE CD ⊥，∵,AB CD ββ⊥⊂，∴AB CD ⊥， ∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角， 又∵AB BE ⊥，∴ABE ∠是直角，所以，α与β所成的二面角是直角，即αβ⊥．实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂线来检查所砌的墙是否和水平面垂直（三）两个平面垂直的性质两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.已知：α⊥β、α∩β=a , AB ⊂α,AB ⊥a 于B . 求证：AB ⊥β.证明：在平面β内作BE ⊥CD 垂足为B 则∠ABE 就是二面角α—CD —β的平面角 由α⊥β可知，AB ⊥BE又AB ⊥CD ，BE 与CD 是β内两条相交直线 ∴AB ⊥β.三、例题讲解【例1】（课本例2）已知在一个60的二面角的棱长有两点,A B ，,AC BD 分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段AB ，又知4,6,8AB cm AC cm BD cm ===，求CD 的长.解法1：分别过点D 、A 做的平行线DE //AB 、AE //BD ，E DE AE = ，连结CE ，POABC则cm AB DE 4==，cm BD AE 8==． ∵ AB BD ⊥，∴ AB AE ⊥． 而 AC AB ⊥，∴ AB ⊥平面CAE ．∴ CAE ∠是二面角的平面角， 60=∠CAE ． 在△CAE 中， 60=∠CAE ，cm AC 6=，cm AE 8=， ∴ 132cos 222=∠⋅⋅-+=CAE AE AC AE AC CE （cm ） 又∵ DE //AB ， AB ⊥平面CAE ， ∴ DE ⊥平面CAE ，DE ⊥CE ．在△CED 中， 90=∠CED ，cm CE 132=，cm ED 4=， ∴ 17222=+=ED CE CD （cm ）解法2：∵ AC AB ⊥，AB BD ⊥， 12060180,=->=<， ∴ 22)(||++=120cos ||||2||||||222⋅⋅+++= 6821862846222=⨯⨯⨯-++=， ∴172||=（cm ）．【例2】如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．解：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥， 又∵PA 垂直于O 所在的平面，∴PA BC ⊥， ∴BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 中， 所以，平面PAC ⊥平面PBC ．【说明】由于平面PAC 与平面PBC 相交于PC ，所以如果平面PAC ⊥平面PBC ，则在平面PBC 中，垂直于PC 的直线一定垂直于平面PAC ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法【例3】已知,,a αβαγβγ=⊥⊥，求证：a γ⊥．证明：设,AB AC αγβγ==，NMPCBA aγβα在γ内取点P ，过P 作PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于点N ， ∵αγ⊥，∴PM α⊥， 又∵a αβ=，∴PM a ⊥，同理可得PN a ⊥， ∴a γ⊥．【注】上述结论即为定理：若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面。

直线和平面所成的角与二面角（2）——二面角一、课题：直线和平面所成角与二面角（2）——二面角二、教学目标：1．掌握二面角、二面角平面角的概念并能正确判断图形中已知二面角的平面角；2．掌握一些简单图形的二面角的平面角的作法．三、教学重点、难点：二面角的概念和二面角的平面角的作法． 四、教学过程： （一）复习：1．空间两直线所成角及其范围；2．直线与平面所成角的概念及其范围． （二）新课讲解：1．二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半 平面叫做二面角的面。

若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图 形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：CFH I J第二种是立式法，也称为直立式：2．二面角的平面角：立体几何的基本转化途径为立几问题平面化，对于二面角的研究我们怎样衡量呢？——平 面角lB'O'A'B O A βα（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角（l αβ--）．（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角．说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直． 3．例题分析：例1．在正四面体ABCD中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小． 解：取BC 的中点E ，连接,AE DE ，∵正四面体ABCD ，∴,BC AE BC ED ⊥⊥于E ， ∴AED ∠为二面角A BC D --的平面角，（法一）：设正四面体的棱长为1，则122AE DE AD ===则1cos 3AED ∠=（法二）：（向量运算）令AB a =，,AC b AD c ==，棱长为1，∵1111[()][]2224EA ED a b c a b ⋅=-+⋅--=， 又∵3||||2EA ED ==， ∴1cos 3AED ∠=即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为1arccos 3． 例2．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小。

的树》教学教案一、教学目标【知识与能力】学会本课4个生字，理解文章所讲的故事。

【过程与方法】学生通过自主读文、讨论、交流等过程，感受课文情感。

【情感态度与价值观】培养学生珍惜友谊，信守承诺的良好品质，体会人和物之间的相互依存、和谐发展。

二、教学重难点【重点】理解课文内容，感受童话的趣味以及体会鸟与树的友谊。

【难点】感受鸟儿对树的真挚情谊，体会鸟儿对树的情感。

三、教学过程(一)创设情境，导入新课导入时，让学生们畅所欲言，讲一讲他们熟悉或喜欢的童话故事，这样做一方面是为了激发学生学习童话故事的兴趣;另一方面是为了锻炼学生的口语表达能力。

(板书标题)(二)初读课文，整体感知1.初读课文，解决生字词。

(屏幕出示生字词，指名学生读)(一两个即可)2.学生朗读课文思考：主要讲了一件什么事?可以分为几部分?每部分主要讲了什么内容?明确：①写了一只鸟儿为了实现自己去年的诺言，去寻找好朋友“树”并为它歌唱的事情。

②可分为三个部分，第一部分(第1自然段)树与鸟儿是好朋友，鸟儿天天为树唱歌;第二部分(第2~4自然段)鸟儿离开树到南方过冬，答应明年春天继续为树唱歌;第三部分(第5~17自然段)写鸟儿飞回时不见树的踪影，四处寻找，最终实现了自己的诺言。

(三)抓住重点，理解道理1.这篇童话一共有几次对话?怎样通过对话推动故事的发展的?(小组讨论)明确：共出现四次对话。

第一次对话，鸟与树，约定明年春天相见时鸟再唱歌给树听，第二次对话是鸟与树根，鸟向树根询问树到什么地方去了，树根告诉鸟“伐木人用斧子把他砍倒了，拉到山谷里去了”。

第三次对话是鸟向门打听树的去处，门先生告诉她树根切成细条条儿做成火柴卖到村子里去了。

第四次对话是鸟与小姑娘打听火柴的下落，小姑娘告诉她“火柴已经用光了”，只剩下用火柴点燃的灯光。

这四次对话，分别就是本篇童话的起因、经过和结果。

2.在小鸟与大门的对话中出现了哪些动词?表达了作者怎样的感情?明确：作者运用了“切、做、运、卖”四个动词描述了树的动向。

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(二)教学目的：1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法:(1)根据定义;(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理 教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法 教学难点：二面角的平面角的一般作法及其寻求 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC ⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角.直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=.二、讲解新课：1二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：J第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角DC BAE1A 说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 三、讲解范例：例1在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小 解：取BC 的中点E，连接,AE DE ，∵正四面体ABCD ，∴,BC AE BC ED ⊥⊥于E ， ∴AED ∠为二面角A BC D --的平面角， 方法一：设正四面体的棱长为1， 则1AE DE AD ===，由余弦定理得1cos 3AED ∠=方法二：（向量运算）令AB a =，,AC b AD c ==，棱长为1， ∵1111[()][]2224EA ED a b c a b ⋅=-+⋅--=， 又∵3||||EA ED ==，∴1cos 3AED ∠=即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为1arccos 3． 例2．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小 解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ， ∵正方体1AC ，∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥， ∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角，1A在AOC ∆中，112AO CO AC ===， 可以求得11cos 3AO C ∠=即二面角11A B D C --的大小为1arccos 3．（2）过1C 作1C O BD ⊥于点O ，∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小为说明：求二面角的步骤：作——证——算——答例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小解：作AO l ⊥于点O ，AB ⊥平面β于点B ，连接BO ， ∵AB β⊥于点B ，AO l ⊥于点O ，∴l OB ⊥，∴AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角， 易知，4AB AO ==，∴60AOB ∠=即二面角l αβ--的大小为60．说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线则已经有三种作二面角的平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角lBOAβαD CBPAB ACD --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ， 则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角， ∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ，∴DF EF ⊥，DF BC ⊥， 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在Rt BCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴2DF =， 同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin DF FED DE ∠=== 所以，二面角B AC D --四、课堂练习： 1如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A--的平面角为θ， 求证：cos S S '⋅=证明：过P 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PD ⊥ ∴BC AD ⊥∴PDA ∠为二面角P BC A --的平面角， 即PDA θ∠=∵PA ⊥面ABC ∴PA AD ⊥ ∵PAD ∆是直角三角形 ∴cos ADPAD PD∠=A BC D E FD CFHBAE 又∵11,22PBC ABC S BC PD S S BC AD S ∆∆'=⋅==⋅= ∴cos S PAD S '∠= ∴cos S Sθ'=即cos S S θ'⋅=说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法2．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CDB --的大小解：过A 作AH BD ⊥于H∵二面角A BD C --为直二面角 ∴AH ⊥面BCD取CD 中点E ，F 为DE 中点，连接,HF AF ∵BE CD ⊥ ∴//HF BE ∴EF CD ⊥ ∴HF CD ⊥∴AFH ∠为二面角A BD C --的平面角 令ABa =，则,2AH a BE a ===∴HF a =∴在Rt AHF ∆中tan AH AFH HF ∠==∴AFH ∠= 即二面角A CD B --的大小为arctan33．设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD的中点O ，1,AC BC CD ===1）AC 与平面BCD 所成角的大小；（2）二面角A BC D --的大小；（3）异面直线AB 和CD 的大小解：（1）∵AO ⊥面BCD ∴AO CO ⊥ ∴ACO ∠为AC 与面BCD所成角∵1,BC CD ==∴BD∴12CO BD ==∴cos ACO ∠=O EDCFBA∴6ACO π∠=即AC 与平面BCD 所成角的大小为6π（2）取BC 中点E ，连接,OE AE ∴//OE CD ∵CD BC ⊥ ∴OE BC ⊥ 又∵AO ⊥面BCD ∴AE BC ⊥∴AEO ∠为二面角A BC D --的平面角又∵1122OE CD AO === ∵AO OE ⊥∴tan AO AEO OE ∠==∴arctan AEO ∠=即二面角A BC D --的大小为arctan2（3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠=即异面直线AB 和CD 所成角为45 五、小结 ：1.二面角的定义、画法.2.二面角的平面角的定义、作法.3.求简单的二面角的大小. 六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：。

【课 题】直线与平面所成的角与二面角（7） 【教学目标】1、进一步理解二面角及其平面角的概念；2、重点掌握利用向量的方法求二面角的平面角【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、 复习引入二、 讲解新课【例1】在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝a ，AD ＝3a ，sin ∠ADC ＝55， PA ⊥平面ABCD ，PA ＝a ，求二面角P －CD －A 的正切值。

xy解法1：在梯形ABCD 中，过A 作CD 的垂线AE ，连接PE ，∵ PA 是底面ABCD 的垂线，AE 是PE 在底面的射影， ∴ PE ⊥CD ，∠AEP 是二面角P －CD －A 的平面角，∵ 在△AED 中，AD ＝3a ，sin ∠ADC =55, ∴AE =AD ·sin ∠ADC =553a , 在Rt △PAE 中，PA ＝a ，∴ t g ∠AEP ＝AE PA =35. 解法2：以A 为原点，AP AD AB ,,所在的单位向量为基向量，建立直角坐标系。

过C 作AD CE ⊥于E ，则a ADCCECD a AB CE 5sin ,=∠===，所以a AE BC a DE 2,===从而)0,3,0(),0,,(),,0,0(a D a a C a P ，且)0,3,0(),,(a a a a =-=， 又易知AP 为平面ABCD 的法向量。

设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =， 则⊥⊥,，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-+⇒⎩⎨⎧=-⋅=-⋅zy zx az ay az ay ax a a z y x a a a z y x 31320300),3,0(),,(0),(),,(取,3=z 则⎪⎩⎪⎨⎧==-=312z y x ，所以)3,1,2(-=n则1414314314),0,0()3,1,2(,cos =⋅⋅-==〉〈a a ， 所以所求的二面角为14143arccos，即正切值为35【注】二面角的两个平面的法向量的夹角就是所求的二面角或是其补角设θ表示二面角l αβ--的平面角的值，12,n n 分别表示平面,αβ的法向量，当其中一个半平面绕着棱l 转动到与另一个半平面重合时，如果两个法向量的方向相同，则θ角就是二面角的平面角的大小，否则就是πθ-。

高中数学直线与平面的教案一、教学目标：1. 知识与技能：掌握直线和平面的性质与相关定理，能够应用相应知识解决问题。

2. 过程与方法：培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勤奋好学的品质。

二、教学重点与难点：1. 理解直线与平面的定义与性质。

2. 掌握直线与平面相关定理的应用。

三、教学内容：1. 直线的定义与性质：直线的概念、直线的性质、平行线的判定、直线的倾斜度等。

2. 平面的定义与性质：平面的概念、平面的性质、平行平面的判定、平面与直线的关系等。

四、教学方法：1. 讲授法：通过教师讲解直线与平面的定义、性质和相关定理进行知识传授。

2. 练习法：通过给学生一些直线与平面的练习题，让学生巩固所学知识。

3. 实验法：通过实验让学生观察直线与平面的性质，从实践中学习。

五、教学过程：1. 直线与平面的定义与性质的讲解。

2. 直线与平面相关定理的讲解与应用。

3. 练习题的讲解和课堂练习。

4. 教师对学生进行针对性的辅导和答疑。

六、教学资源：1. 教科书：《高中数学》等相关教材。

2. 多媒体课件：通过PPT等多媒体工具展示直线与平面的相关知识。

七、教学评估：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的表现，包括回答问题、参与讨论等。

2. 练习题评价：对学生的课后练习进行评价，检测学生对知识的掌握程度。

3. 测试评价：进行小测验或考试来评价学生对直线与平面知识的掌握情况。

八、教学后记：通过这节课的教学，学生对直线与平面的概念与性质有了更深的理解，能够运用相关知识解决问题。

同时，激发了学生对数学学习的兴趣，提高了他们的学习积极性和自信心。

【课 题】直线与平面所成的角与二面角（5） 【教学目标】1、进一步巩固两个平面垂直的判定定理与性质定理．2、面面垂直的判定与性质的应用。

【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、平面与平面垂直的定义、判定和性质二、 讲解新课【例1】 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.已知：α⊥β，P ∈α，P ∈a ，a ⊥β。

求证：a ⊂α.证明：设α∩β=c ，过点P 在平面α内作直线b ⊥c ， ∵α⊥β∴b ⊥β，而a ⊥β，P ∈a因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直. 所以直线a 应与直线b 重合. 那么a ⊂α.【例2】 如图，ABC ∆为正三角形，EC ABC ⊥平面，//BD CE ，且2CE CA BD ==，N 为AC 的中点，求证：（1）DE DA =；（2）DBN ECA ⊥平面平面；（3）EDA ECA ⊥平面平面。

证明：（1）取EA 的中点M ，连MN ，MD ，DMEMN 为ECA ∆的中位线，1//2MN EC ∴， 又1//,//2DB EC MN DB ∴，则MNBD 为平行四边形 ,EC ABC BN EC ⊥∴⊥平面又,,AC BN ECAC C BN ECA ⊥=∴⊥平面//,,DM BN DM ECA DM EA ∴⊥⊥平面则 ,M EA DE DA ∴=为的中点（2）,,BN ECA BN DBN DBN ECA ⊥⊂∴⊥平面平面平面平面 （3）,,DM ECA DM EDA EDA ECA ⊥⊂∴⊥平面平面平面平面【例3】 已知如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°求证：平面ABC ⊥平面PBC证明1：取BC 中点D 连结AD 、PD ∵PA=PB ；∠APB=60°∴ΔPAB 为正三角形 同理ΔPAC 为正三角形 设PA=a在Rt ΔBPC 中，PB=PC=a ，，∴在ΔABC 中，∵AD 2+PD 2=2222a AP ⎫⎫+==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴ΔAPD 为直角三角形，即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面PBC ∴平面ABC ⊥平面PBC证明2：过A 点作AD ⊥平面PBC ，连PD 、BD 、CD∵PA=PB ，∠APB=60°，∴ΔPAB 为正三角形，同理ΔPAC 为正三角形 ∴PA=AB=AC ，∴AD ⊥平面PBC ，∴PD=BD=DC ，∴D 点为ΔPBC 的外心 ∵ΔPBC 为直角三角形且∠BPC=90°，∴D 在直线BC 上 ∵BC ⊂平面ABC ，A ∈平面ABC ，∴AD ⊂平面ABC∴平面ABC ⊥平面PBC证明3：取BC 中点D ，连AD 、PD ∵PA=PB ，∠APB=60°∴ΔPAB 为正三角形，同理ΔPAC 为正三角形 ∵AC=AD ，DB=DC ，∴AD ⊥BC ，同理PD ⊥BC ∴∠ADP 为二面角A-BC-P 的平面角 在Rt ΔBPC 中，BD=DC ，∴PD=BD又∵AD=AD ，AP=AB ，∴∠ADP=∠ADB=90°，∴二面角A-BC-P 为90° 即平面AB ⊥平面PBC【例4】 如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是菱形，∠ABC =60°，E 、F 分别为CC 1、BB 1上的点，且BC =EC =2FB.（1）求证：平面AEF ⊥平面ACC 1A 1； （2）求平面AEF 与平面ABCD 所成角. 证明：(1)⇒⎭⎬⎫⊥⊥1CC BD AC BD BD ⊥平面ACC 1A ……①设AC 的中点为O ，AE 的中点为M ，连OM ， 则OM =21CD =FB∴FB ∥C E ∥OM∴BOMF 为平行四边形 ∴FM ∥BO 即FM ∥BD由①，知⇒⎭⎬⎫⊂⊥AEF FM A ACC FM 平面平面11面AEF ⊥面ACC 1A 1(2)∵AC ⊥BD ,平面AEF ∩平面ABCD =l ，l 过A 且l ∥BD∴AC ⊥l ,又AD ⊥平面ACC 1A 1∴l ⊥平面ACC 1A 1，∴l ⊥AE ∴∠EAC 为所求二面角的平面角θ∵∠ABC =60°,∴AC =BC =CE ∴θ=45°三、课堂练习（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直； （2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直. 证明：（1）在平面α内任取一点P ∵l ∥α,∴P ∉l P 、l 可确定一平面γ 设α∩γ=l ′则l ∥l ′// l l l l l ββαβα⊥⎫⎫'⇒⊥⎬⎪'⊥⎬⎭⎪'⊂⎭（2）设α⊥β,β∥γ过β内一点P 作直线l ,使l ⊥α则l ⊂βl 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ=l ′,则l ∥l ′ l ′⊥α，因此γ⊥α.2、 （课本练习）求证：（1）如果三条共点直线两两互相垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两互相垂直；（2）三个两个垂直的平面的交线两两垂直. 证明：（1）a 、b 可确定平面α a 、c 可确定平面β因c ⊥a ,c ⊥b ，a 、b 是α内两相交线 ∴c ⊥α而c ⊂β故有 α⊥β同理可证α⊥γ,β⊥γ.3、 求证：如果平面α和不在这个平面内的直线l 都垂直于平面β，那么l ∥α. 证明：∵α⊥β,α内有β的垂线l ′ 而l 、l ′都垂直于β知l ∥l ′ 又l 在平面α外 因此l ∥α.βαlP CB图1AD'B'C'A'O五、课外练习1、 如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为求二面角的大小分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能在外部，应区别处理解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时，∵PA α⊥ ∴PA l ⊥ ∵AC l ⊥ ∴面PAC l ⊥ 同理，面PBC l ⊥ 而面PAC面PBC PC =∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，则ACB ∠是二面角l αβ--的平面角在Rt APC ∆中，1s i n 2PA ACP PB ∠===∴30ACP ∠=在Rt BPC ∆中，sin PB BCP PC ∠===∴45BCP ∠= 故304575ACB ∠=+=（图1）或453015ACB ∠=-=（图2） 即二面角l αβ--的大小为75或15说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角2、 如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=，求：（1）AO 与A C ''所成角；βαlPCB图2A（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）平面AOB 与平面AOC 所成角解：（1）∵//A C AC '' ∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠ ∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC ' ∴OC OA ⊥（三垂线定理）在Rt AOC ∆中， 2OC AC == ∴30OAC ∠= （2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角在Rt OAE ∆中，1,22OE AE ===∴tan 5OE OAE AE ∠== （3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为90。