北师版八年级数学上册第二章实数教案实数21认识无理数29

北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。

本节内容是在学生学习了实数、有理数的基础上，引入无理数的概念，使学生了解无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生运用数学解决实际问题的能力。

教材通过丰富的实例和探究活动，让学生感受无理数的存在，体验数的概念的扩展，培养学生的数感。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数和有理数，对数的概念有一定的了解。

但是，学生对无理数的理解可能还比较模糊，需要通过具体的实例和实践活动来加深对无理数概念的理解。

此外，学生可能对无理数的存在感到困惑，需要教师通过讲解和引导，让学生逐渐接受无理数的存在。

三. 教学目标1.了解无理数的概念，理解无理数的存在和实际意义。

2.能够识别常见的无理数，如π、√2等。

3.能够运用无理数解决实际问题，提高运用数学解决实际问题的能力。

4.培养学生的数感，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.重点：无理数的概念和实际意义的理解。

2.难点：无理数的识别和运用。

五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，让学生感受无理数的存在和实际意义。

2.实践活动法：通过实践活动，让学生加深对无理数概念的理解。

3.问题驱动法：通过提问和引导，让学生主动探索无理数的性质和运用。

六. 教学准备1.教材和教案。

2.投影仪和教学课件。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示生活中的实例，如圆的周长和面积的关系，引出无理数的概念。

2.呈现（10分钟）讲解无理数的定义，通过具体的实例，让学生感受无理数的存在。

如π、√2等。

3.操练（10分钟）让学生进行练习，识别常见的无理数，加深对无理数概念的理解。

4.巩固（10分钟）讲解无理数的性质和运用，让学生通过实践活动，加深对无理数概念的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生的数感。

第二章实数第一节认识无理数教案一、教学目标1. 理解无理数的概念，掌握实数的概念及其性质。

2. 能够正确地进行无理数的运算，掌握实数大小的比较方法。

3. 培养学生对数学的兴趣和探究精神，提高逻辑思维能力。

二、教学重点和难点教学重点：1. 无理数的概念和实数的性质。

2. 无理数的运算和大小比较。

教学难点：1. 如何理解无理数的概念。

2. 如何正确进行无理数的运算。

三、教学过程1. 引入新知：通过问题导入，引导学生思考有理数无法表示的数，进而引出无理数的概念。

2. 概念讲解：详细讲解无理数的概念和实数的性质，让学生理解无理数的含义和特点。

3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，引导学生进行无理数的运算和大小比较，掌握无理数的运算法则和实数大小的比较方法。

4. 练习与检测：让学生进行课堂练习和自我检测，加深对无理数的理解和掌握。

5. 巩固知识：通过提问、小组讨论等方式，让学生回顾所学知识，巩固记忆。

6. 拓展延伸：介绍无理数在其他数学领域的应用，引导学生了解数学的实际应用价值。

四、教学方法和手段1. 讲解与演示：教师通过讲解和演示，让学生理解无理数的概念和性质。

2. 练习与讨论：学生进行课堂练习和小组讨论，加深对无理数的理解和掌握。

3. 多媒体辅助：使用多媒体设备展示无理数和实数的图形关系，帮助学生更好地理解概念。

五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：选取适当的练习题，让学生在课堂上进行无理数的运算和大小比较，检验学习效果。

2. 课后作业：布置适量的作业题，让学生在家中继续巩固无理数的知识和技能。

3. 互动评价：学生之间互相评价课堂练习和作业，互相学习和帮助，共同提高。

六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：提供详细的PPT讲解，帮助学生更好地理解无理数的概念和性质。

2. 数学软件：使用数学软件展示无理数和实数的图形关系，帮助学生更好地理解概念。

3. 参考资料：提供相关的数学参考资料，供学生自主学习和研究。

2.1.1认识无理数感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.【重点】感受无理数产生的背景.【难点】会判断一个数是不是无理数.【教师准备】两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.【学生准备】两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?探究活动1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方 ,并提出问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 -1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1:拼成后的正方形是什么样的呢?问题2:拼成后的大正方形面积是多少?问题3:若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a 可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[知识拓展]正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是 ()A.16B.25C.2D.4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为,长度不是有理数的线段为.答案:略2.1.1认识无理数1.拼接正方形.2.做一做.3.a,b存在,但不是有理数.一、教材作业【必做题】教材随堂练习及教材习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC 中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a ,b 是两个有理数,且a <b ,在a ,b 两数之间插入一个数为 .【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0. ·;(3)0. · ·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB ,BC ,AC 略(解析:AB 2=42+12=17,BC 2=22+32=13,AC 2=22+42=20.)2. (解析:答案不唯一,如插入a 和b 正中间的数.)3.解析:(1)0.6= ; (2)设0. ·=x ,则10x =7. ·,∴9x =7,从而x = ;(3)设0. · ·=x ,则100x =34. · ·,∴99x =34,从而x =. 解:(1)0.6= . (2) 0. · . (3) 0. · · .4.略大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.随堂练习(教材第21页)解:因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.习题2.1(教材第22页)1.解:答案不唯一.如图(1)所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;线段AC,CE,BE的长度都不是有理数.2.解:答案不唯一.如图(2)所示的是几个符合要求的直角三角形.一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?可能是整数吗?可能是分数吗?解:它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.。

八年级数学上册《实数2》教案北师大版一、教学内容本节课选自北师大版八年级数学上册《实数2》。

教学内容主要包括第四章实数的第一节“无理数的概念和性质”以及第二节“实数的分类和运算”。

详细内容涉及无理数的定义、性质、分类；实数的概念、分类及实数的四则运算。

二、教学目标1. 理解无理数的概念，掌握无理数的性质和分类。

2. 掌握实数的概念和分类，了解实数与有理数的关系。

3. 学会实数的四则运算，并能够熟练运用到实际问题中。

三、教学难点与重点教学难点：无理数的理解和实数的四则运算。

教学重点：无理数的性质、实数的分类和实数的运算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、计算器。

五、教学过程1. 导入：通过展示实际情景（如黄金分割、圆的周长与直径的比等），引出无理数的概念。

2. 新课讲解：① 无理数的概念、性质和分类；② 实数的概念、分类及实数与有理数的关系；③ 实数的四则运算规则及运算方法。

3. 例题讲解：讲解典型例题，分析解题思路和方法。

4. 随堂练习：让学生独立完成相关练习，巩固所学知识。

5. 小组讨论：针对练习中的难点和疑问，进行小组讨论，共同解决问题。

六、板书设计1. 无理数的概念、性质、分类；2. 实数的概念、分类、实数与有理数的关系；3. 实数的四则运算规则及运算方法；4. 例题及解题思路；5. 练习题目。

七、作业设计1. 作业题目：a. √2 + √3b. (3+√5)×(2√5)c. 1/√2 2/√3a. √3、√4b. 3/2、√2c. √9、32. 答案：八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：（1）探索更多关于无理数在实际生活中的应用；（2）学习实数的更多运算性质和技巧，提高运算能力。

重点和难点解析1. 无理数的概念、性质和分类；2. 实数的四则运算规则及运算方法；3. 例题及解题思路；4. 作业设计。

一、无理数的概念、性质和分类1. 性质：a. 无理数是无限不循环的小数；b. 无理数与有理数的并集构成实数集；c. 无理数的平方是有理数。

第二章实数2.1 认识无理数 (1)2.2平方根 (5)第1课时算术平方根 (5)第2课时平方根 (8)2.3 立方根 (12)2.4 估算 (15)2.5 用计算器开方 (18)2.6 实数 (21)2.7 二次根式 (25)第1课时二次根式 (25)第2课时二次根式的四则运算 (29)第3课时二次根式的混合运算 (33)第二章归纳总结 (36)2.1 认识无理数【知识与技能】1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的必要性.2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数.3.会判断一个数是有理数还是无理数.【过程与方法】让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神，通过辨别一个数是有理数还是无理数，训练大家的思维判断能力.【情感态度】1.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.2.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.【教学重点】1.无理数的探索过程.2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.【教学难点】把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.一、创设情境，导入新课同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？在小学我们学过自然数、小数、分数.在初一我们还学过负数.对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.【教学说明】随着学习的深入，知识层次的提高，有理数的范围不能适应现代生活的需要，这就要对数进行扩充，为学生学习新知识作准备.二、思考探究，获取新知无理数的概念拼一拼：请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？【教学说明】通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，学生非常高兴地投入到活动中，调动了学生的积极性.同学们展示，拼图的结果.下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？【教学说明】探索拼图的过程，对于学生理解大正方形的边长是a是不是有理数很有帮助.【归纳结论】因为12=1，22=4，32=9，……整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数，又(1/2)2=1/4，(1/3)2=1/9，(2/3)2=4/9，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.做一做：大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.【教学说明】结合图形，让学生进一步理解面积为2的正方形边长不是有理数，而是一种新数.同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.还可以进行下去吗？a是有限小数吗？【教学说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步的认识，为下面引出无理数的概念打下了基础.【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数.如：圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数..，它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理而3，45，0.38，017数.三、运用新知，深化理解1.判断题（1）有理数与无理数的差都是有理数.（2）无限小数都是无理数.（3）无理数都是无限小数.（4）两个无理数的和不一定是无理数.2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，-23，4.9·6·，3.14159，-5.2323332…，123456789101112…（由相继的正整数组成）.在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.【教学说明】学生自主完成，加深了对无理数的理解以及有理数与无理数的区别所在，让学生的疑难及时得到矫正与强化.【答案】1.（1）；（2）；（3）√；（4）√；2. 0.351，-2/3，496.，3.14159；-5.2323332…，123456789101112…（由相继的正整数组成）.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你是如何判断一个数是有理数还是无理数？还有哪些困难？【教学说明】引导学生寻找知识点间的区别和联系，加深对易错点的理解，有助于学生正确解题.1.习题2.2第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有理数还是无理数.是数的范围的又一次扩充，是很重要的一节.培养了学生分类归纳的思想.但对概念的理解掌握一些同学还不是很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.2.2平方根第1课时算术平方根【知识与技能】1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.根据求一个数的算术平方根与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非正负数的算术平方根.【过程与方法】经历求一个数的算术平方根与平方的互逆关系，提高学生逆向思维方法.【情感态度】学生动脑、动口，积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.【教学重点】了解算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.【教学难点】理解算术平方根的概念、性质.一、创设情境，导入新课上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.【教学说明】从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他们对算术平方根的求法与开平方这种互逆的关系形成了初步认识.二、思考探究，获取新知算术平方根的概念和求法.下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x 2= ，y2= ，z2= ，w2=请大家分析一下，x、y、z、w中哪些是有理数？哪些是无理数？【教学说明】回忆勾股定理得到一个数的平方是一个正数，为下面给出算术平方根的概念作了开端.【归纳结论】因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x、y、w 不是有理数，而是无理数，即2，3，5 .因为22=4.所以z=2，是有理数.若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.a”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是00=0.下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.例1求下列各数的算术平方根：（1）900；（2）1；（3）49/64；（4）14.通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？【教学说明】学生很容易看出一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，有利于对算术平方根概念的理解.【答案】解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30，900；（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；（3）因为（7/8）2=49/64，所以49/64的算术平方根是7/8，即4964=7/8；（4）14的算术平方根是14 . 【归纳结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.三、运用新知，深化理解1.填空题.（1）若一个数的算术平方根是5，则这个数是 .（2）49的算术平方根是 .（3）正数 的平方为144/25，719的算术平方根为 . （4）（-1.44）2的算术平方根为 .（5）81 的算术平方根为 ，004. =2.求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：（1）（7.4）2；（2）(-3.9)2；（3）2.25；（4）124. 3.自由下落的物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为h=4.9t 2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？【教学说明】学生独立完成，加深对算术平方根概念的理解，强化了算术平方根的求法和表示方法.【答案】1.（1）5；（2）2/3；（3）12/5，4/3；（4）1.44；（5）3，0.2.2.（1）274（）.=7.4；（2）()239.-=3.9；(3)225. =1.5；（4）124=3/2. 3.解：将h=19.6代入公式h=4.9t 2得t 2=4，所以t=4 =2（秒）即铁球到达地面需要2秒.四、师生互动，课堂小结本节课你学习了哪些新知识？还有什么困难？请与同学们交流.【教学说明】教师引导学生回顾所学知识，加深印象.找出不足，共同提高.1.习题2.3第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课从一个数的平方入手，用逆向思维求一个数的算术平方根，学生容易接受，解决问题起来应该说是得心应手，但要注意算术平方根的符号表示方法.第2课时平方根【知识与技能】1.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算.2.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系.【过程与方法】经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养学生求同和求异的思维方法，能从相似的事件中找到它们的共同点和不同点.【情感态度】通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走向社会而做准备，使他们能在工作中保持严谨的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者.【教学重点】1.了解平方根、开平方的概念，会利用互逆运算关系求某些非负数的算术平方根与平方根.2.平方根与算术平方根的区别和联系.【教学难点】1.平方根与算术平方根的区别和联系.2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算.一、创设情境，导入新课上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作a，而且a也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是（-2）2=4，则-2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.【教学说明】通过回顾算术平方根是一个正数正的平方根，从而顺其自然引出还有一个负数的平方等于这个正数，为下面学习平方根做了心理准备.二、思考探究，获取新知1.平方根、开平方的概念请大家思考两个问题.（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？（2）平方等于4/25的数有几个？平方等于0.64的数呢？【教学说明】学生很容易看出有正负两个数的平方为一个正数，让他们对平方根的概念有了初步认识.【归纳结论】3的平方等于9，-3的平方也等于9，3是9的算术平方根，-3是9的平方根.平方等于4/25的数有两个，即2/5和-2/5，平方等于0.64的数也有两个，即0.8和-0.8.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根（square root），也叫二次方根，3和-3的平方都等于9，由定义可知3和-3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和-3，9的算术平方根只有一个是3.由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？【教学说明】让学生找出平方根和算术平方根的相同点与不同点，对于正确理解两个不同的概念和学生准确解题很有帮助.【归纳结论】联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.（3）0的平方根、算术平方根都是0.区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.（3）表示法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a.（4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.什么叫开平方呢？我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联系？【教学说明】使学生明白加与减、乘与除、平方与开平方都是互为逆运算.2. 平方根的性质请大家思考下面的问题：（1）一个正数有几个平方根？（2）0有几个平方根？（3）负数呢？【教学说明】通过前面的学习，学生不难得出一个正数有两个平方根，且它们互为相反数； 0有一个平方根是0；负数没有平方根，加深对平方根概念的理解.【教学说明】由平方根的定义，学生不难得出结果，对于平方根的求法再次加深，以达到熟练运用.三、运用新知，深化理解1.求下列各数的平方根.1.44，0，8，100/49，441，196，10-42.填空（1）25的平方根是；（2）（-5）2= ；（3）（5）2= .3.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.（1）（-3）2；（2）0；（3）-0.01；（4）-52；（5）-a2；（6）a2-2a+2【教学说明】学生自主完成，加深对平方根概念的理解和检测学生对平方根求法的掌握情况，及时点拨，得以强化.【答案】1.±1.2，0，±22，±107，±21，±14，±11002.（1）±5，（2）5，（3）53.有平方根的是：（-3）2，0，a2-2a+2，因为它们都是非负数；-0.01，-52没有平方根，因为它们都是负数；-a2，只有当a=0时它才有平方根.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾平方根和开平方的概念以及只有非负数才有平方根.2.本节课你有哪些收获？还存在哪些不足？【教学说明】引导学生回顾知识点，找出它们之间的联系与区别以及学习过程中存在的不足，便于进一步深化和查漏补缺.1.习题2.4第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这节主要是算术平方根与平方根的区别与联系，其中表示方法，求式子的值都是很容易混淆的.大部分的学生还是能勉强的掌握.但还是要在以后的教学过程中再多让学生分清他们.2.3 立方根【知识与技能】1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，明白开立方与立方互为逆运算.3.正确区分立方根与平方根的不同.【过程与方法】在学习平方根的基础上，用类比的方法学习立方根的有关知识.【情感态度】结合本节课的特点，训练学生类比思想的养成，发展他们求同求异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非.【教学重点】1.立方根的概念.2.会求一个数的立方根.【教学难点】区分立方根与平方根的不同之处.一、创设情境，导入新课上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=a正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那么a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a 的什么呢？【教学说明】学生比较容易由平方根的定义类推得出立方根的定义，他们心目中已经对立方根有了初步认识.二、思考探究，获取新知1.立方根的概念及求法下面大家能不能根据平方根的定义和记法来类推立方根的定义和记法呢？【教学说明】由于学生在前面对于立方根的由来有了初步接触，应该来说学生接受比较快，容易掌握.【归纳结论】若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cube root；也叫三次方根）.记为3a，读作x等于三次根号a，如2是8的立方根，-2/3是-8/27的立方根，0是0的立方根.大家能否由开平方的定义，再类推开立方的定义呢？【教学说明】学生在已学的开平方的基础上不难得出开立方的定义，有利于加深立方根概念的理解.【归纳结论】求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.2.立方根的性质（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？（2）-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是-27？（3）0的立方等于多少？0有几个立方根？【教学说明】从立方入手，让学生对立方根的求法再次得到加深.【归纳结论】正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.3.平方根与立方根的区别与联系我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.【教学说明】让学生找出平方根与立方根的联系与区别.对于正确理解两个不同而又容易混淆的概念和准确解题有很大帮助.【归纳结论】联系：（1）0的平方根、立方根都有一个是0.（2）平方根、立方根都是开方的结果.区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.（3）表示法不同正数a，a（4）被开方数的取值范围不同a.例1求下列各数的立方根：（1）-27，（2）8/125；（3）0.216；（4）-5.请大家思考下列问题：a3例2求下列各式的值：【教学说明】由立方根的定义，学生不难得出结果，对于立方根的求法再次加深，以达到熟练运用.三、运用新知，深化理解【教学说明】学生独立完成，加深对立方根概念的理解和检测学生对于立方根求法的掌握情况，及时指导、点拨，得以强化提高.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾立方根和开立方的概念以及立方根的性质.2.本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？【教学说明】引导学生回顾所学知识，找出它们的相同点和不同点以及学习过程中存在的疑惑，便于进一步深化提高.1.习题2.5第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节的内容最好在学生熟练掌握平方根的内容的前提下进行.这样就能让学生用类推的方法得出立方根的相关结论.很容易理解与掌握.从学生上课的反映来看，这节课应该是比较成功的.2.4 估算【知识与技能】1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小.2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感.【过程与方法】通过一系列实际问题的解决让学生逐步掌握估算的基本方法.【情感态度】培养学生把数学应用于日常生活中的能力，对结果合理性的觉察能力，近似估算能力.【教学重点】掌握估算的方法，能通过估算检验计算结果的合理性.【教学难点】掌握估算的方法，形成估算的意识.一、创设情境，导入新课在前面我们已经了解了估算一个根号表示的无理数一般是采用夹逼的方法.例如要估算20的大小，首先要找出20邻近的完全平方数.在日常生活中，往往要遇到估算一个比较大的数的平方根或立方根，我们怎么办呢？通过下面的学习你就明白了.【教学说明】由于第二章第一节内容已经初步接触到估算，为他们后面学习估算比较大的数作好了铺垫.二、思考探究，获取新知估算和数的大小比较某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米21.公园的宽大约是多少？它有1000米吗？2.如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？与同伴交流.3.该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？（误差小于1米）【教学说明】从实际问题出发，关注学生能否主动从事估算等活动.对于较复杂的计算可用计算器.议一议：（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流.（239001）.【教学说明】通过估算检验计算结果的合理性，在活动过程中能否向同伴清晰的解释自己的想法，并从中得到启发.例1根据生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的1/3，则梯子比较稳定.现在有一个长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？例2在公园两侧分别有一柱状雕塑，高度分别是512（米）与12（米），通过估算，试比较它们的高矮.你是怎么样想的？与同伴交流.【教学说明】让学生体验生活中无处不在的数学，用数学语言有条理地表达自己估算思考过程.三、运用新知，深化理解1.估算下列数的大小：（1）589. （精确到0.01） （2）31285- （精确到-1）2.通过估算，比较下面各组数的大小；（1）14 ，3.85；（2）512+，7/8. 3.下列估算正确吗？说说你的理由.（1）8956 ≈9.5；（2）312345 ≈232.4.如图，一旗杆高10米，旗杆顶部A 与地面一固定点B 之间要拉一笔直的铁索，已知固定点B 到旗杆底部的距离是7米，一工人准备了长约12.5米的铁索，你认为这一长度够吗？【教学说明】教师可以引导学生先猜想然后再验证，让他们逐步掌握精确估算的方法.教学中宜采用分析法，不同的学生可能有不同的做法.四、师生互动，课堂小结通过本课的学习，你有什么收获？我们一起共享；你有什么问题？我们一起解决.【教学说明】引导学生回顾所学知识，总结得出，便于及时矫正强化，达到共同提高.1.习题2.6第1、2、5题.2.完成练习册中本课时相应练习.计算器的缺乏使这节课上的比较困难.不过问题与实际结合的很好，学生思考比较积极，大胆猜想，最终还是较好的完成了学习任务.2.5 用计算器开方【知识与技能】1.会用计算器求平方根和立方根.2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力.【过程与方法】通过使用计算器求一个数的平方根与立方根操作过程，弄清计算器的操作方法.【情感态度】让学生亲自使用计算器，培养他们的动手能力，激发他们的求知欲望，调动他们学习的兴趣.【教学重点】用计算器求平方根和立方根；运用计算器探求数学规律.【教学难点】探求规律，发展合情推理的能力.一、创设情境，导入新课出示科学计算器教学模板.利用科学计算器怎样进行开方运算呢?【教学说明】使用科学计算器教学模板这一教学用具，直观、易于操作，调动了学生学习的兴趣，为这一节课的学习做了个良好的开端.二、动手操作，获取新知用计算器进行开方运算下面给大家说明一下开平方、开立方运算的方法.（1）开方运算要用到乘方运算键x2第二功能“”和∧第二功能“x”（2）对于开平方运算，按键顺序为：2nd x2被开方数 =（3）对于开立方运算，按键顺序为：3 2nd∧被开方数 =【教学说明】用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序可能有所不同.如用有些计算器进行开平方运算时，先按被开方数，然后按“”.1.让学生跟随教师按步骤利用计算器计算下列各数：【教学说明】让学生跟随教师尝试着使用计算器进行开平方或立方运算，达到熟练掌握使用计算器的方法和步骤.2.做一做.利用计算器，求下列各式的值.（结果精确到0.01）（1800；（23225；（3058.；（430432.【教学说明】教师让学生交流完成上述各题，加深他们使用计算器的操作方法的理解，使所学知识得到强化.【展示结果】（1）28.28；（2）1.64；（3）0.76；（4）-0.76.例332的大小.（1）让学生讨论得出如何比较两数大小的方法.（2332的过程在教学模板上演示.（3）教师演示P37例题的解答过程.【教学说明】通过学生多次使用计算器，以提高他们的运算速度和正确率.【归纳结论】我们利用计算器不仅可以进行开方运算，还可以比较两个无理数的大小.三、运用新知，深化理解。

八年级数学第二章《实数》教案（1）北师大版教学过程一、创设情境，导入新课师：用课件出示下列内容：你能独立完成吗？1. _________和_________统称为有理数，如__________________,_________等都是有理数。

2.无理数是_________的小数，如_________，_________，_________等都是无理数。

3.把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）生：独立思考并完成。

二、师生互动探究互动一、在实数概念基础上对实数进行不同分类师：上面的一系列数，它们都可以填进这两个圆中，你认为我们学过的数字，有没有不属于上面两种类型的呢？生：没有。

师：那么这节课的课题是实数，那么我们就把这两种类型就叫实数。

即有理数和无理数统称为实数。

生：也就是说实数可分为有理数和无理数。

师：对！你说的太对啦！实数从定义可分为有理数和无理数。

无理数和有理数一样，也有正负之分，那么按正负分实数还可以怎样分类？生：实数按正负分还可以分为正实数和负实数。

师：正数和负数能构成实数吗？还有别的数吗？生：还有0.师：所以实数还可以怎么分？生：实数可以分为正实数、0、负实数。

师：很好，在这里要特别提示大家分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏。

互动二、了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义：师：－2的相反数是什么？生：（齐声）2师：的相反数是什么？生: 是-师：实数a的相反数是什么？生：思考并讨论后回答是-a。

师：同学们回答的非常好，－2的倒数是什么？生：是－。

师：的倒数是什么？生：思考回答。

师：实数a的倒数是什么？生：是。

师：－2的绝对值是什么？生：是2师：的绝对值是什么？生：是师：实数a的绝对值是什么？生：思考、交流，然后回答。

是|a|师：通过以上问题我们可以得哪些结论？生：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

2.1.2认识无理数掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.【重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【难点】无理数概念的建立.【教师准备】计算器、立方体、多媒体课件.【学生准备】计算器、复习有理数的分类.导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数整数如-…分数如-…2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图]通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.一、数的小数表示面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?【思考】a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.二、有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一:请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么?3, , ,- ,. 【答案】 3=3.0, =0.8, =0. ·,- =-0.1 ·,=0. · ·. 分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】你能找到其他的无理数吗?[设计意图]通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.三、例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,- , 0. · ·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,- ,0. · ·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为 =6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.数 有理数 有限小数或无限循环小数 整数分数无理数 无限不循环小数1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是( ) A .面积为25的正方形B .面积为的正方形 C .面积为8的正方形D .面积为1.44的正方形解析:52=25, ,(1.2)2=1.44.故选C . 3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数.4.已知- ,5,-1. · ·,π,3.1416, ,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:- ,5,-1. · ·,3.1416, ,0,42,(-1)2n .(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).2.1.2认识无理数1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.一、教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题2.2第2,4题.二、课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x ()A.1<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<52.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是()A.整数B.分数C.有限小数D.无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是,则斜边长是数.【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20 π.(1)a是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5. (3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.随堂练习(教材第24页)解:有理数有:0.4583,3. ·,- ,18.无理数有:-π.习题2.2(教材第25页)1.解:- ,3.9 ·,-234.10101010…(相邻两个1之间有1个0)是有理数,0.12345678910111213…(小数部分由相继的正整数组成)是无理数.2.提示:(1)x 不是有理数. (2)x ≈3.2. (3)x ≈3.16.3.(1)✕ (2) (3)✕ (4)✕4.解: ,π-1,3.4141141114…(相邻两个4之间1的个数逐次加1)等,答案不唯一.由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设(或相同类型)的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.一根长为5米的电线杆竖立于地面,为保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?它是有理数吗?大概是多长?〔解析〕每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.解:由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.。

第二章实数1 认识无理数教师备课素材示例●复习导入提问：同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们在小学阶段以及七年级阶段都学过哪些数呢？在小学我们学过自然数、小数、分数；在七年级我们还学过负数．我们在小学学了非负数，在七年级发现数不够用了，引入了负数，即把数从小学学过的正数、零扩充到了有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题．【教学与建议】教学：通过设疑让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数也不是分数的数，激发学生的求知欲．建议：学生口答完成，体会和感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．●置疑导入(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？__22＋12＝5(cm2)__．(2)设该正方形的边长为c，则c应满足什么条件？c是有理数吗？老师：请大家先回忆一下勾股定理的内容．学生：在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边长为c，则有a2＋b2＝c2.老师：在这题中，两条直角边长分别为1和2，斜边长为c.根据勾股定理得c2＝12＋22，即c2＝5，则c是有理数吗？请举手回答．学生：因为22＝4，32＝9，4<5<9，所以c不可能是整数；没有两个相同的分数相乘得5，故c不可能是分数；因为没有一个整数或分数的平方为5，所以c不是有理数．经过大家的讨论可知，在等式c2＝5中，c既不是整数，也不是分数，所以c不是有理数，今天我们来探究像这样的无理数．【教学与建议】教学：利用勾股定理的探究过程发现无理数，一来为之前学生的疑惑进行解释，二来能够进一步激发学生的求知欲和好奇心．建议：在新课引导过程中，老师一定要在每一个设问环节紧紧扣住问题的核心内容，然后汇总出学生们的结论再进行总结．无限不循环小数是无理数，理解无理数的概念来辨别无理数．【例1】(1)下列数中属于无理数的是(B)A ．1B ．πC ．45D ．－1 (2)半径是2的圆的周长的值是一个(D)A ．整数B ．分数C ．有理数D ．无理数通过动手拼图、观察、计算、思考、交流，感受线段的长度是有理数还是无理数.【例2】如图，图中是16个边长为1的小正方形拼成的一个大正方形，则图中四条线段中长度既不是整数也不是分数的线段是__AB ，AE__．明确无理数的概念，并能正确判断无理数在哪两个有理数之间．【例3】(1)a ，b 为连续正整数，且a ＜13＜b ，则a 2＋b 2的值为__25__．(2)已知直角三角形两直角边分别是9cm 和5cm ，斜边长是xcm ，则x 在整数__10__和整数__11__之间．高效课堂 教学设计1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．2．通过计数器探究无理数是无限不循环小数．3．能判断出不能用有理数表示的数．▲重点了解无理数与有理数的区别，并能正确判断．▲难点把两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形的动手操作过程．◆活动1 创设情境 导入新课(课件)老师：同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们在小学阶段以及七年级阶段都学过哪些数呢？学生：在小学我们学过自然数、小数、分数．学生：在七年级我们还学过负数． 老师：对，我们在小学学了非负数，在七年级发现数不够用了，引入了负数，即把数从小学学过的正数、零扩充到了有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题．◆活动2 实践探究 交流新知【探究】阅读课本P 21，已知两个正方形的边长均为1，将这两个正方形进行裁剪，然后重新拼接成一个大正方形，假设新拼接后的大正方形的边长为a ，则a 是多少？又是怎样一个数？(1)首先我们知道a 是正方形的边长，所以从正负性来讲，a 肯定是__正__数．(2)再来看看拼接后的正方形的面积，因为两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，所以可以计算出新拼接后的大正方形的面积为__2__．(3)结合12＝1，22＝4，那么由a 2＝2我们来猜测一下，a 的取值范围应该是__1<a<2__．【归纳】无理数无法用整数或者分数来表示，它是一个无限不循环小数．◆活动3 开放训练 应用举例【例1】(教材P 23例题)下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．14，－43，0.57··，0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)．【方法指导】无限不循环小数叫做无理数．解：有理数有：3.14，－43，0.57··； 无理数有：0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)．【例2】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0．351，－54，4.96··，π，－6.2323332…，0.123456789101112…(由相继的正整数组成)．【方法指导】任何一个有理数都可以化成分数，无理数不能化成分数．答案：有理数集合：0.351，－54，4.96·· 无理数集合：π，－6.2323332…，0.123456789101112…(由相继的正整数组成)◆活动4 随堂练习1．如图，正三角形ABC 的边长为2，一边上的高为h ，h 是整数吗？h 是分数吗？解：易得h 2＝22－12＝3，∴h 不是整数和分数．2．已知直角三角形的两条直角边分别是9cm 和5cm ，斜边长是xcm ，斜边x 在哪两个整数之间？解：10<x<11.3．如图，阴影部分是正方形，求出此正方形的面积．此正方形的边长是有理数吗？为什么？解：正方形的面积为122－72＝95，所以边长是无理数.4．有下列四个结论：①任何一个有理数都可以用分数或整数表示；②无理数化为小数形式后一定是无限小数；③无理数与无理数的和是无理数；④有理数与有理数的积是无理数．其中说法正确的有__①②__(填序号)．◆活动5 课堂小结与作业学生活动：1.通过拼图活动，结合实际背景，让学生感受有理数又不够用了.2．能判断一个数是不是有理数．教学说明：梳理和判断有理数和无理数．作业：课本P24随堂练习，P25习题2.2中的T1、T2、T3.本节课在无理数特征探讨过程中注意概念的引导，问题设问尽量简单，靠近学生所学知识点展开，循序渐进，让学生在老师的指导下得出结论．。

第二章实数1认识无理数1．通过拼图活动，让学生感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性．2．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近思想．3．会判断一个数是不是无理数．重点理解无理数的概念．难点判断一个数是不是无理数．一、情境导入师：把边长为1的两个小正方形，通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？课件出示教材第21页图2－1.图2－1图2－1是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形．问题1：拼成后的大正方形面积是多少？问题2：若新的大正方形边长为a，a2＝2，则a可能是整数吗？a可能是分数吗？总结：没有两个相等的整数的积等于2，也没有两个相等的分数的积等于2，因此a不可能是有理数．二、探究新知1．有理数表示不了的数．课件出示教材第21页“做一做”．提示学生根据三角形的三边关系判断b的取值范围．解：(1)由勾股定理可知，直角三角形的斜边的平方为5，所以正方形的面积是5.(2) b2＝5.(3)没有一个整数或分数的平方为5，也就是没有一个有理数的平方为5，所以b不是有理数．2．无理数．师：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？(1)如图所示，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由．(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索．(3)小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？师：a ，哪个更接近正方形的实际边长？总结：a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，所以a 一定不是有理数．师：如果写成小数形式，它是有限小数吗？事实上，a ＝1.414 213 56…它是一个无限不循环小数．课件出示教材第23页“做一做”．事实上，b ＝2.236 067 978…它是一个无限不循环小数． 提示：精确到0.1，b ≈2.2，精确到0.01，b ≈2.24.同样，对于体积为2的正方体，借用计算器，可以得到它的棱长c ＝1.259 921 05…它也是一个无限不循环小数.课件出示教材第23页“议一议”．事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．无限不循环小数称为无理数． 3．常见的无理数．课件出示教材第23页“想一想”．除了像上面所述的数 a, b, c 是无理数外， 我们十分熟悉的圆周率π＝3.141 592 65…也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数．再如0.585 885 888 588 885…(相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1)也是无理数．三、举例分析课件出示教材第23页例题．解：有理数有：3.14，－43，0.57··；无理数有：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)． 强调：(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． (2)任何一个有理数都可以化成分数的形式，而无理数不能．四、练习巩固1．教材第21页“随堂练习”． 2．教材第24页“随堂练习”．五、小结1．通过生活中的实例，证实了确实存在不是有理数的数．2．有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．3．无限不循环小数叫做无理数．六、课外作业1．教材第22页习题2.1第1，2题．2．教材第25页习题2.2第1，2，3题．大量事实证明，与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣，更能激发学生学习的积极性．为此，本节课通过拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆质疑．2平方根1．了解数的算术平方根与平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根和平方根．2．了解开平方与平方是互逆运算，会利用平方运算求某些非负数的算术平方根和平方根．3．理解算术平方根与平方根的联系和区别．重点算术平方根与平方根的概念．难点利用开平方与平方的互逆关系求某些非负数的算术平方根和平方根．一、复习导入师：上节课我们学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．上一节课我们由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有a2＝2，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过：若x2＝a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习．二、探究新知1．算术平方根．师：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2＝________，y2＝________，z2＝________，w2＝________．(板书)师：在七年级学习有理数的乘方时，我们掌握了自然数的平方运算，比如12＝1，22＝4，32＝9，…但是，你能找到哪个数的平方是2吗？哪个数的平方是3吗？哪个数的平方是5吗？你能估计一下吗？一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”．特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即0＝0.2．平方根的性质．师：回忆在七年级学习有理数的平方时，我们是如何找到平方等于9和49的数的？ 生：根据平方的定义，32＝9，(－3)2＝9，72＝49，(－7)2＝49.课件出示题目：填空： 32＝9(－3)2＝9( )2＝9；02＝0； ⎝⎛⎭⎫252＝⎝⎛⎭⎫425⎝⎛⎭⎫－252＝⎝⎛⎭⎫425( )2＝425； (不存在)2＝－4.一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)．一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 正数a 的两个平方根，一个是a 的算术平方根a ，另一个是－a ，它们互为相反数．这两个平方根合起来可以记作±a ，读作“正、负根号a ”．例如：(±4)2 ＝16，则＋4和－4都是16的平方根，即16的平方根是±4.4是16的算术平方根．求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，a 叫做被开方数． 3．平方根与算术平方根的联系与区别．联系：(1)包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种． (2)只有非负数才有平方根和算术平方根． (3)0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：(1)个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．(2)表示法不同：平方根表示为 ±a ，而算术平方根表示为 a. 三、举例分析1．课件出示教材第26页例1.分析：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示．2．课件出示教材第26页例2.分析：用算术平方根的知识解决实际问题．利用等式的性质将s ＝4.9t 2进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．教师强调实际问题t 是正数，求的是算术平方根． 3．课件出示教材第28页例3.分析：体验求一个正数的平方根的过程，利用平方运算求一个正数的平方根．四、练习巩固1．教材第27页“随堂练习”第1，2题．2．教材第28页“想一想”．3．教材第29页随堂练习第1，2，3题．五、小结1．算术平方根的概念中的双重非负性：一是a≥0，二是a≥0.2．算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．3．求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．4．平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根，x＝±a.5．平方根的性质：正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．六、课外作业1．教材第27页习题2.3第1，2，3题．2．教材第29页习题2.4第1～6题．本节课注重概念的形成过程，让学生在概念的形成过程中，逐步理解所学的概念．经过分析，掌握其本质特征和概念的形成过程，有利于提高学生的思维水平．在学习平方根的概念时，学生对正数有两个平方根的概念不太容易理解，往往丢掉负的平方根．为此，在平方根的引入时，多提了一些具体的问题，引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出平方根的概念.3立方根1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．2．了解开立方与立方运算互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根．重点立方根的概念和性质．难点区别立方根和平方根．一、情境导入师：面积为2的正方形的边长是多少？体积为2 的正方体的棱长是多少？请同学们回忆求解a2＝2时的情境，那么a3＝2呢？(板书课题)二、探究新知1．立方根的概念．课件出示题目：某化工厂使用半径为1 m的一种球形储气罐储藏气体．现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？(球的体积公式为V＝πR3，R为球的半径．) 师：怎样求出半径R ?师：为了解决题目中的问题，需要引入一个新的运算，类似于平方根的概念．我们定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根( 也叫做三次方根)．2．立方根性质和开立方运算．(1)课件出示教材第30页“做一做”．①2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8?②－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27?小结：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．(2)课件出示教材第30页“议一议”．①正数有几个立方根？②0有几个立方根？③负数有几个立方根？小结：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0.师：类比开平方的概念，你能总结出开立方的概念吗？生：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．3．平方根与立方根的区别与联系．区别：(1)在用根号表示平方根时，根指数2可以省略，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；(2)平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，并且每个数都只有一个立方根；(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．联系：(1)开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究；(3)0的平方根和立方根都是0.三、举例分析1．课件出示教材第31页例1.先指名学生上台板演，再集中讲评，注意规范书写格式．2．课件出示教材第31页“想一想”．分析：类比平方根(a)2＝a(a≥0)和a2＝|a|得出结论：(3a)3＝a，3a3＝a.3．课件出示教材第31页例2.指名学生读题，使学生理解各式的读法．四、练习巩固教材第31页“随堂练习”第1～2题．五、小结1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求一个数的立方根．2．在学习中应注意以下5点：(1)符号3a中的根指数“3”不能省略；(2)对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；(3)平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；负数没有平方根，但有一个立方根；(4)灵活运用公式：(3a)3＝a，3a3＝a，3－a＝－3a；(5)立方与开立方也互为逆运算．我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．六、课外作业教材第32页习题2.5第1～6题．本节课注意渗透类比的思想方法，通过类比思想方法的使用让学生省时省力，在学习新知的同时巩固已学的知识，通过新旧对比更好地掌握知识．4估算1．能通过估算检验计算结果的合理性．2．能估计一个无理数的大致范围；通过估算比较两个数的大小．3．通过教学过程的参与，培养学生学习数学的主动性，发展学生数感．重点估计一个无理数的大致范围．难点通过估算比较两个数的大小．一、情境导入师：自从“第一次数学危机”，即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来，人们对无理数的探究就从来没有停止过，而比较两个无理数的大小，对无理数的估算，则是其中重要内容之一．无理数是无限不循环小数，所以无法写出某个无理数，人们想到了用符号准确地表示一个无理数，如π等，但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难，那么如何通过估算来比较两个无理数的大小呢？这节课我们就来研究它们．(板书：估算．)二、探究新知1．估算的方法．课件出示题目：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2.此公园的宽是多少？长是多少？解：设公园的宽为x m，则它的长为2x m，由题意得x·2x ＝400 000，2x2＝400 000，x2＝200 000.所以公园的宽x就是200 000的算术平方根．师：(1)如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流．(2)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，如何估计它的半径？(结果精确到1 m)分析：(1)我们可以把这个长方形看成是由两个正方形拼接成的，那么，每个正方形的面积为200 000 m2，大家估计一下，哪个数的平方是200 000？100的平方为10 000，1 000的平方为1 000 000，所以公园的宽大约几百米，没有1 000 m宽，精确到10 m，我们可以计算一下450的平方．(2)圆形花圃的面积是800 m2，800除以3.14约等于255，大约为16的平方，所以圆形花圃的半径大约是16 m.2．比较大小．课件出示教材第33页“议一议”．学生分组讨论，教师深入到各组中指导学生讨论．三、举例分析1．课件出示教材第33页例题．分析：根据题意作示意图，数形结合，再利用勾股定理列方程求解．2．课件出示教材第34页“议一议”．学生分组讨论后回答．拓展：确定无理数近似值的方法(估算法)．(1)当被开方数在1～1 000以内时，可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分，然后根据所要求的精确度大小确定小数部分．(2)当被开方数是正的纯小数或比1 000大时，利用方根与被开方数的小数点之间的规律，移动小数点的位置，将其转化到被开方数在1～1 000以内进行估算，即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动2n (n是正整数)位，其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位；立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动3n(n是正整数)位，其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位．四、练习巩固教材第34页“随堂练习”第1～2题．五、小结1．确定无理数近似值的方法——估算法．2．比较无理数大小的方法：(1)估算法；(2)作差法；(3)平方法；(4)移动因式法；(5)倒数法；(6)作商法．六、课外作业教材第34～35页习题2.6第1～6题．这节课的内容是让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力．由于学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，学习起来难度就比较大，因此在教学中选取学生熟悉的问题，激发学生的学习兴趣．比如，本节课的教学中选取了“新建环保公园”的问题，与学生平时的生活密切联系，容易把学生的积极性调动起来.5用计算器开方1．会用计算器求平方根和立方根．2．会根据实际问题用计算器求平方根和立方根．重点掌握计算器按键的使用．难点掌握用计算器求平方根和立方根的按键顺序．一、情境导入课件出示题目：你知道飞船在太空绕地球飞行所需要的速度吗？要使飞船能绕地球运转，必须使它的速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，第一宇宙速度的计算公式是v1＝gR，第二宇宙速度的计算公式为v2＝2gR，其中g＝9.8 m/s2，R＝6.4×106m，你能根据公式计算出第一宇宙速度和第二宇宙速度吗？师：这个题用笔计算是很难做出来的，如果我们用计算器来计算就非常容易了，下面我们一起来探究一下计算器的用法．(板书课题)二、探究新知用计算器开方：师：请同学们仔细阅读计算器使用说明书，找到相关开方运算的说明，并按说明书上的范例操作，然后与组内成员进行讨论，说一说利用计算器怎样进行开方运算．利用计算器，求下列各式的值．(1) 5.89；(2)327；(3)3－1 285；(4) 5＋1；(5)6×7－π.学生在小组内自我纠错，自我更正，教师在教室里巡视，关注学生学习活动的开展情况，提供相应的帮助．2．课件出示教材第36页“做一做”．师：哪一位同学能用计算器快速计算出上面各式的值呢？(用计算器操作求值后，指名回答．)解：(1)800≈28.284 27.(2) 3225≈1.638 64.(3)0.58≈0.761 58；(4)3－0.432≈－0.755 95.三、举例分析1．课件出示教材第37页例题．学生独立完成，指名板演．2．课件出示教材第37页“议一议”第(1)题．师：请大家每人找一个很大的正数，不同的人的数不要相同，按要求去做然后总结．学生操作，交流自己的发现．小结：任何一个大于1的正数，不管它有多大，一直进行开平方运算，结果越来越接近1.3．课件出示教材第37页“议一议”第(2)题．生：和上面的结果一样．师：既然结果相同，能否把它们合起来总结一下规律是什么？生：任何一个正数，不管它是大于1的数，还是小于1的数，一直进行开平方运算，运算的结果越来越接近1.四、练习巩固教材第37页“随堂练习”．五、小结1．如何使用计算器进行开方运算？2．利用计算器比较数的大小，寻找数的变化规律．六、课外作业教材第37页习题2.7第1～4题．根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要．这一节的内容，学生可以通过自己阅读计算器的使用说明书学会操作步骤，所以采用了学生自学，小组内交流的学习方式．6实数1．了解实数的概念和意义，并能按要求对实数进行分类．2．了解实数与数轴上的点是一一对应的，知道实数的绝对值、相反数的意义，会求已知数的绝对值和相反数．重点实数的意义及分类． 难点理解实数和数轴上的点的一一对应的关系．一、复习导入(1)什么是有理数？有理数怎样分类？(2)什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 二、探究新知 1．实数的概念．课件出示题目：把下列各数分别填入相应的集合内： 32，14，7，π，－52，2，203，－5，－38，49，0，0.373 773 777 3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)．错误! 错误!,无理数集合)引导学生得出实数概念并板书：有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数．师：无理数和有理数一样，也有正负之分．你能把上面各数填入下面相应的集合内吗？,正数集合),负数集合)从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数． 2．实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义．师：2的相反数是什么？35的倒数是什么？3，0，－π的绝对值分别是什么？ 小结：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．课件出示教材第39页“想一想”．指名回答后，板书：实数a 的相反数为－a ，绝对值为|a|，若a ≠0，它的倒数为1a .总结：(1)相反数：a 与－a 互为相反数；0的相反数仍是0. (2)倒数：当a ≠0时，a 与1a互为倒数(0没有倒数)．(3)绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 3．实数的运算．(1)在有理数范围内，能进行哪些运算？适用哪些运算律？ (2)判断下列各式是否成立． 2×5＝5×2，3×5×15＝3×⎝⎛⎭⎫5×15＝3，432＋732＝(4＋7)32＝1132.总结：实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用．4．实数与数轴上的点的一一对应关系．课件出示教材第39页“议一议”．总结：(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数与数轴上的点是一一对应的．(2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．拓展：(1)无理数是指无限不循环小数，并不是带根号的数都是无理数．(2)数的范围从有理数扩充到实数后，要注意有理数与无理数的区别．三、练习巩固教材第39页“随堂练习”第1～3题．四、小结1．在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样．2．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用．3．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的．4．在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．五、课外作业教材第40页习题2.8第1～4题．本节课作为有理数的扩张，关注前后知识之间的内在联系，关注运用类比的思想学习新的知识，这样学生比较容易接受．根据学生的认知状况，借助类比学习实数的有关知识，如果学生整体认知水平较高，教学过程可以更加开放，在讨论了实数的两个分类标准之后，引导学生尝试自主地进行实数的分类，再进行交流.7二次根式第1课时二次根式和最简二次根式1．了解二次根式和最简二次根式的概念．2．探究二次根式的性质，并能利用性质将二次根式化为最简二次根式．重点正确判断最简二次根式．难点利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．一、复习导入1．什么是平方根、算术平方根？2．课件出示题目：观察下列代数式：5，11，7.2，49121，（c＋b）（c－b）(其中b＝24，c＝25)．上述式子有什么共同特征？生：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数．二、探究新知二次根式的概念．一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．强调条件：a≥0.师：二次根式有些什么性质呢？课件出示教材第41页“做一做”．师：观察上面的结果，你得出了什么结论？从上面得出的结论中，你发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？板书：ab＝a·b(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0, b>0)．积的算数平方根，等于算数平方根的积；商的算数平方根，等于算数平方根的商．三、举例分析1．课件出示教材第42页例1.师：化简以后的结果中，被开方数有什么特征？例1的化简结果56，53中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数．一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．2．课件出示教材第42页例2.分析：例2是在学习了最简二次根式之后设计的，学生已经能分辨出哪些二次根式是最简的，哪些不是最简的，旨在利用所学公式将非最简二次根式化为最简二次根式．3．课件出示教材第42页“议一议”．分析：对于较大的数，我们一般采取小学学过的短乘法的形式来判断，如50＝2×5×5，从而发现含有开得尽方的因数，14＝2×7，故判断是最简二次根式．含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略乘号．以上化简过程的规律是：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽方的因数，一般需要进行化简．拓展：对于二次根式应注意以下几点：(1)二次根式从形式上看，必须含有二次根号“”．(2)在二次根式中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数，这是定义的一个重要组成部分，不可省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．(3)在二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是代数式．(4)二次根式a(a≥0)是非负数a的算术平方根，即a(a≥0)是非负数，也就是说，式子包含两个非负数：①被开方数a，即a≥0(这是使式子有意义的条件)；②本身，a≥0(这是由算术平方根的意义所决定的)．(5)要使ab有意义，则被开方数ab≥0，因此a与b同号或至少有一个为零．四、练习巩固教材第42页“随堂练习”．。

第二章实数1认识无理数第1课时感受无理数教学目标1.感受无理数存在的必要性和合理性.2.能判断一个数是否为有理数.教学重难点重点：有理数、无理数的判断.难点：有理数、无理数的判断.教学过程导入新课回忆有理数的定义及分类.提出问题：除了有理数外还有没有其他的数呢？（引出本课课题）探究新知【探究1】把两个边长为1的小正方形通过剪、拼的方式，设法得到一个大正方形.思考：（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？（2）a可能是整数吗？（3）a可能是分数吗？（学生动手操作，小组交流讨论）学生讨论会发现：12=1,22=4，整数的平方越来越大，2在1和4之间，所以a应在1和2之间，故a不是整数.两个相同分数的乘积为分数，而a2=2是整数，所以a不是分数.【结论】a既不是整数，也不是分数a不是有理数..思考：（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？（3）b是有理数吗？（引导学生根据探究1的方法判断b是不是有理数）【结论】没有一个整数或分数的平方为5，也就是没有一个有理数的平方为5，所以b 不是有理数.老师总结：在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数.【例题讲解】【例1】在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10 cm，BC=8 cm.（1）求以AD的长为边长的正方形的面积；（2）判断AD是否为有理数，并说明理由.（教师引导，学生分析）根据等腰三角形三线合一的性质求出CD=4 cm，根据勾股定理可得AD2=84,84 cm2即以AD的长为边长的正方形的面积；AD既不是整数也不是分数，即AD不是有理数.【解】（1）∵AB=AC=10cm，BC=8cm，AD⊥BC，∴BD=CD=4cm，∴AD2=AB2-BD2=102-42=84，∴以AD的长为边长的正方形的面积为84 cm2.（2）∵AD2=84，∴AD既不是整数也不是分数，即AD不是有理数.【点评】此题第一问考察了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，第二问考察了有理数的判断，难度不大，主要让学生活学活用，感受无理数的重要性.【例2】你会在下面的正方形网格中画出面积为10的正方形吗？试一试.（教师引导，学生分析）没有一个整数或分数的平方为10，但在直角三角形中，若两条直角边分别为1,3，则斜边的平方为10.所以可以构造直角三角形，进而找到面积为10的正方形.【解】如图，构造直角三角形AEB，使两条直角边AE=3，EB=1，以斜边AB为边向外作正方形ABCD，正方形ABCD就是所求的正方形.理由：在直角三角形AEB中，由勾股定理得，AB2=AE2+EB2=32+12=10，正方形ABCD 的面积=AB2=10.【点评】本题是有关代数计算作图类型的题目，解决本题的关键是构造直角三角形.课堂练习1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3，则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.为42.下列面积的正方形，边长不是有理数的是()A. 16B. 25C. 8D. 43.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均不是有理数，满足这样条件的点C共_____个.参考答案1.B2.C3.解：如图，满足这样条件的点C共4个，C1，C2，C3，C4.课堂小结在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即不是有理数的数.有理数不够用了！布置作业习题2.1板书设计1认识无理数第1课时感受无理数在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即不是有理数的数.。

第二章实数2.1.1 认识无理数（第1课时）一、教学目标：①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；②能判断三角形的某边长是否为无理数；③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；二、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．第一环节：质疑内容：【想一想】⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用第二环节：课题引入内容：1．【算一算】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？2．【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．第三环节：获取新知内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】a ，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【议一议】：已知22【释一释】：释1．满足22a =的a 为什么不是整数？ 释2．满足22a =的a 为什么不是分数？【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a 不是整数也不是分数，那么a 一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性．第四环节：应用与巩固内容：【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段： 1．长度是有理数的线段 2．长度不是有理数的线段【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 （右1）2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数 【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x解： （右2）仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！（右3）目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上效果：加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．第五环节：课堂小结内容：1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结．本节课的教学目标是:1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.2.1.2 认识无理数（第2课时）三 、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置.第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？1-，0，2，3，…) 有理数(如31，52-，119，0.5，… )2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”.第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念.第三个环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.第四个环节：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数. 例1填空:0.351，4.96∙∙-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ）有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数无理数集合…(3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形；(D ） 面积为1.44的正方形.例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a 是有理数吗?解:由勾股定理得: 22235a =+，即2=34a .因为34不是完全平方数，所以a 不是有理数.强调:1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.2. 任何一个有理数都可以化成分数qp形式（q ≠0， p ，q 为整数且互质），而无理数则不能.练一练：1.课本P 23 随堂练习.2.已知：在数43-，5， 1.42∙∙-，π，3.1416，32，0，24，2n (1)- ，－1.424224222…中， （1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.目的：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类.效果：通过学生练习，更加明确了有理数、无理数的概念，及它们之间的区别与联系，激发学生学习兴趣，巩固了对概念的理解.第五个环节：课堂小结内容：本节课你有哪些收获?51．无理数的定义.2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？3．请把已学过的数怎样分类？目的：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识体系，培养学生良好的学习习惯，提高其归纳总结能力.效果：师生共同总结补充，形成完整的知识体系.第六个环节：布置作业习题2.2 1.2.3.2.2.1 平方根（第1课时）一、教学目标：①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．二、教学过程设计本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．本节课教学流程为：第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22=a ，a ＝ ，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习．方法二：问题导入内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：=2x ，=2y ，=2z ，=2w ．目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．效果：能表示22=x ，32=y ，42=z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值．说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．第二环节：初步探究内容1：情境引出新概念22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数但无法表示x ，y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？”内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=．目的：对算术平方根概念的认识．效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．内容3：简单运用 巩固概念例1 求下列各数的算术平方根：(1) 900； (2) 1； (3) 6449； (4) 14． 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．答案：解：(1)因为900302=，所以900的算术平方根是30，即30900=；(2)因为112=，所以1的算术平方根是1，即11=；(3)因为6449)87(2=，所以 6449的算术平方根是87， 即876449=； (4)14的算术平方根是14．内容4：回解课堂引入问题22=x ，32=y ，52=w ，那么2=x ，3=y ，5=w ．第三环节：深入探究内容1：例2 自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题．效果：学生多能利用等式的性质将29.4t h =进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．解：将6.19=h 代入公式29.4t h =，得42=t ，所以正数24==t (秒)．即铁球到达地面需要2秒．说明：强调实际问题t 是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a 中的a 是一个非负数，a 的算术平方根a 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．第四环节：反馈练习一、填空题：1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；2．9的算术平方根是 ；3．2)32(的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则=+2)2(m ．二、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.64，410-，225，0)65(． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？答案：一、1．7；2．3；3．32；4．16；二、6；1211；15；0.8；210-；15；1．三、解：由题意得 AC ＝5.5米，BC ＝4.5米，∠ABC ＝90°，在R t △ABC 中，由勾股定理得105.45.52222=-=-=BC AC AB (米)．所以帐篷支撑竿的高是10米．目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．第五环节：学习小结内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：(1)算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：一是a ≥0，二是a ≥0．(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．第六环节：作业布置习题2.3、2.2.２ 平方根（第2课时）一、教学目标①了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．教学重点是①了解平方根、开平方的概念．②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．③了解平方根与算术平方根的区别与联系．教学难点是①平方根与算术平方根的区别和联系．②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．二、教学过程设计:本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节 第一环节 复习旧知 引入新知；第二环节 形成概念，辨析概念；第三环节 例题和巩固练习；第四环节 课堂小结；第五环节 思维拓展；第六环节 布置作业． 第一环节 复习旧知 引入新知内容:方法一 复习引入1．什么叫算术平方根?3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 3 ． 52的平方等于 254 ，那么254 的算术平方根就是_____52_________． 展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_ 7_米．2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？乘方有没有逆运算?平方与算术平方根之间的关系？已知折叠着的正方形ABCD 面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n 倍，则边长为____n ____．方法二 复习引入问题 平方等于9，254，49的数还有吗？目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash 情景引入，增加动画效果．效果 借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．说明 数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．第二环节 : 新课学习内容 （一）探究新知填空32=(9 ) (－3)2=(9 ) ( )2=9 02=0(12)2=(14))214= (不存在)2=－4 (12-)2=(（二）形成概念(1)一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a 的算术平方根．表达式为:若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根． 记作 a ±．例如:(±4)2=16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．（三）探索平方与开平方的关系:给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．（四）概念辨析平方根与算术平方根的联系与区别联系 1．包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．2．只有非负数才有平方根和算术平方根．3． 0的平方根是0，算术平方根也是0．区别 1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．2．表示法不同：平方根表示为 a ± ，而算术平方根表示为a ．目的 形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．效果 由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．说明 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．第三环节 例题和新知巩固（一）例题示范求下列各数的平方根:(1)64；(2)49121；(3) 0.0004；(4)()225-；(5) 11解 （1）()2648=±，648∴±的平方根是，8=±即；（2）()24949771211211111,=∴±±的平方根为，711±=±即；（3）()20.0004,0.00040.020.02=∴±±的平方根是，0.02=±即；（4）()()()22,25252525=∴±±--2的平方根是， 25±=±即；（5）11的平方根是目的 这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数．效果 通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言．（二）思考提升1．()25-的平方根是 ，的算术平方根是_____，49的平方根是_____；2．2= ，= ，= ，=_______；3= ，20a≥=当 ．（三）巩固练习1 ．下列说法正确的是①3-②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．2．下列说法不正确的是( ) ．(A)0的平方根是0 (B)22-的平方根是2±(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数3．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）．(A) a +1(C) 2a +1(D)4．x为何值，有意义？ 答 因为02x -≥，所以0x ≤ 目的 围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．效果 学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达． 第四环节 课堂小结内容 引导学生总结本课时的知识、方法．目的 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．效果 在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如平方根的概念 若2x a =，则x 叫a的平方根，x =平方根的个数 正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．平方与开方之间的关系；求平方根的方法 求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．第五环节 提高训练内容1.5的小数部分为a，5b ，求a b +的值．2．已知实数a ，b满足296b b =①若a ，b 为ABC ∆的两边，求第三边c 的取值范围；②若a ，b 为ABC ∆的两边，第三边c 等于5，求ABC ∆的面积．目的 安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．第六环节 作业布置 习题2．４2.３．立方根一 、教学目标①了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；区分立方根与平方根的不同；②经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略，培养逆向思维能力和分类讨论的意识．学生在经历用类比的方法学习立方根的有关知识过程中，领会类比思想；③立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神；二、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：复习引入、类比学习；第三环节：初步探究；第四环节：尝试反馈，巩固练习；第五环节：深入探究；第六环节：课时小结；探究与思考；第七环节：作业布置及课外探究．第一环节：创设问题情境内容：某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？ （球的体积公式为334R ＝v ，R 为球的半径） 提问：怎样求出半径R ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 ．目的：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望．效果：在思考问题的同时，学生既感受了数学的应用价值，激发了学生的学习热情，又很快将问题归结为如何确定一个数，它的立方等于4，从而顺利引入新课．第二环节：复习引入、类比学习内容：提问：（1）什么叫一个数a 的平方根？如何用符号表示数a （a ≥0）的平方根?（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？（3）平方和开平方运算有何关系？（4）算术平方根和平方根有何区别与联系？强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0．（5）为了解决前面情景中的问题，需要引入一个新的运算，你将如何定义这个新运算？1．一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）．2．一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，的立方根是－－273，0是0的立方根．目的：学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．效果：复习引入既复习了平方根的知识，又利于学生用类比学习法学习立方根知识．第三环节：初步探究内容：1做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？（1）001.0 3＝）（ ； （2）6427 3＝－）（ ； （3）0 3＝）（．。

北师大版数学八年级上册《认识无理数》教案教学目标：1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数．2.通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，发展学生的抽象概括能力. 3．让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的积极作调学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神. 教学重点与难点：重点：无理数概念的建立过程；了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.难点：无理数概念的建立及估算；会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别．教法与学法指导：本节课是在上一节课对无理数定性分析的基础上，借助于计算器，采用估算等方法，对无理数的产生进行定性的研究.在教学中要强调让学生探究概念形成的过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调小组之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力.学生要借助工具多动手、动口、动脑，自主探究，提高学习的兴趣，进一步体会数学的地位和作用. 课前准备:多媒体课件、计算器. 教学过程：一、创设情境，导入新课教师：同学们还记得有理数是如何分类的吗？教师：很好！上节课我们了解到一些数，如a 2=2，b 2=5中的a ，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来探究这些数的真面目．设计意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.实际效果：激发学生的好奇心和求知欲，吸引学生注意力，引出本节课题“数怎么又不够用了”. 二、合作探究，发现新知探究一：计算器探索面积为2的正方形的边长a ．（课件展示） 教师：大家还记的我们上节课是怎样得到面积为2的正方形的吗？学生：有理数 整数（如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数.分数 (如-13，25，911，… )：可不可能都化成有限小数或无限小数?学生：把两个边长为1的小正方形，通过剪切、拼图拼成一个大的正方形，它的面积就是2.教师：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？你能不能估计大正方形的边长a在什么范围内？学生：（观察课件后回答）通过图形可以看出1＜a＜2.因为12=1，22=4，而a的平方等于2，所以1＜a＜2.教师：非常好！既然1＜a＜2，那么a是1点几呢？为什么？学生：（探究后回答）1.4＜a＜1.5．因为1.42=1.96，1.52=2.25，而a的平方等于2，所以1.4＜a＜1.5．教师：你能精确到它的百分位吗？千分位呢？万分位呢？下面给大家几分钟的时间，借助计算器进行探索.（学生小组合作，探索交流）教师：谁能说一下小组探索的结果？学生：a=1.4142．教师：恰好是1.4142吗？学生：约等于1.4142，在1.4142与1.4143之间.教师：还有几位小数？学生：无数位.它是一个无限小数.教师：对，大家可以看一下小明同学的探索过程.（展示课件）边长a面积S1＜a＜2 1＜S＜41.4＜ a＜1.5 1.96＜S＜2.251.41＜ a＜1.42 1.9881＜S＜2.01641.414＜ a＜1.415 1.999396＜S＜2.0022251.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449教师：如果继续探索下去，你会有什么发现？学生：这个数是无限小数而且不循环.教师：对，事实上，它是一个无限不循环小数.探究二：计算器探索面积为5的正方形的边长b（课件展示）教师：模仿上一个探索过程，你能探索面积为5的正方形的边长b吗？如果能，把探究的结果填入下表.边长b面积S保留整数＜b ＜＜S ＜保留十分位＜ b ＜＜S ＜学生：（小组合作，交流探索）把探究结果填入表格. 教师：谁能说一下你能得到什么结论？学生：b =2.23606…，它也是一个无限不循环小数.教师：同学们探索的非常好. 模仿刚才的探索方法，我们也可以探索体积为2的正方体的棱长.借助计算器，可以得到它的棱长为1.25992105…，它也是一个无限不循环小数.设计意图：借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是一个无限不循环小数，并从中感受无限逼近的数学思想.实际效果：通过探究让学生真切感受到无理数确实是无限不循环的，为无理数概念打下基础. 议一议（课件展示）：把下列有理数表示成小数，你发现了什么？ 3，45，59，845，211． 学生1：3=3.0，54=0.8，95=•5.0，•=71.0458，••=818.1112．学生2：我发现3，54是有限小数，112,458,95是无限循环小数．教师：好！上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，但是又不是循环的,是无限不循环小数.你能给这类数取个名字吗？生：无理数.教师：很好，哪位同学给无理数下个定义？ 学生：无理数就是无限不循环小数.教师：好，圆周率π=3，14159265…也是一个无限不循环小数,目前π值已精确计算到了将近65亿位，但是仍然不是一个精确的数值.故π是无理数.像上面研究过的a 2=2，b 2=5中的a ，b 是无限不循环小数都是无理数．教师：理解无理数的概念一定要抓住哪两方面？ 学生：一是无限小数；二是不循环小数．教师：同学们一定要抓住这两点，只要有一点不符合，它就不是无理数.你能举出其他的无理数例子吗？保留百分位 ＜ b ＜ ＜ S ＜ 保留千分位 ＜ b ＜ ＜ S ＜ 保留万分位＜ b ＜＜ S ＜学生：(学生踊跃的)1.2345678987…，2π等等. 教师：无理数多不多？ 学生：多．教师：在我们生活中除了π以外，还有非常多的无理数.下面我们看例1，你能分清有理数和无理数吗？ 设计意图：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.教学效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性,建立了无理数的概念.三、例题示范，应用概念 （课件展示）例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，34-，••75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，-π．学生：有理数有3.14，34-，••75.0；无理数有0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1), -π.教师：回答得很好，大家鼓励一下.只要你抓住了无理数的两个特征，你就能把它识别出来. 跟踪练习： 1．填空:0.351，π+1，.68.4，23-, 3.14159, -5.2323332…, -3π ，1.234567891011…(由相继的正整数组成).有理数有： ； 无理数有： ． 2．判断下列说法是否正确:(1)有限小数是有理数； （ ） (2)无限小数都是无理数； （ ） (3)无理数都是无限小数； （ ） (4)有理数是有限小数. （ ） 教师强调:1．无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2．任何一个有理数都可以化成分数形式，而无理数则不能．例2 （1）设面积为10的正方形的边长为x ，x 是有理数吗？说说你的理由． (2)估计x 的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计． （3）如果结果精确到百分位呢？解：(1)由题意得x2=10，因为32=9，42=16，而 32 <x2<42．故3<x<4，所以x不是整数，没有一个分数的平方等于10，所以x不是分数．因为x即不是整数也不是分数，故x不是有理数．(2) 估计x≈3.2．(3) x≈3.16．设计意图：通过例1及练习的讲解，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类，培养学生总结归纳的能力.而例2属于数的估算.，进一步发展学生的思维判断能力.实际效果：通过师生的共同探究，形成对中学阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.四、课堂总结，盘点收获教师：通过本节课的学习你有哪些收获呢？你还存在疑问吗？学生：我的主要收获是认识了无理数，并且能把无理数与有理数区别开.有理数包括整数和分数，能够化成有限小数或者是无限循环小数,而无理数是无限不循环小数.教师：还有要补充的吗？学生：我还学会了π是无理数以及利用估算的方法探索无理数的范围.教师：大家总结的很全面.以后我们还会学到很多关于无理数的知识,希望同学们继续努力.设计意图：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成良好的学习习惯，提高学生的归纳总结能力，进一步发展学生的思维判断能力。

第二章实数1.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.一、本章主要内容及要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.掌握必要的运算(包括估算)技能.3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.4.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.5.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.8.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.二、教材分析从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础.因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要.学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性.本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入——无理数的表示——实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终.具体地,教材首先通过拼图活动和计算器探索活动,给出无理数的概念;然后通过具体问题的解决,引入平方根、立方根的概念和开方运算.由于在实际生活和生产中,人们常常通过估算来求无理数的近似值,为此教材安排了一节“估算”,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等.接着,教材用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等,最后,介绍了二次根式的概念及其化简和运算.在呈现具体内容时,教材关注现实性,力求从学生实际出发,以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主题.但考虑到本章内容的特点,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此本章在关注现实性的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,为此提供了许多有趣而富有数学含义的问题,如a可能是整数吗?a可能是分数吗?……让学生进行数学的思考,进一步提高学生的抽象思维水平.【重点】1.经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义.2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等.4.了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.5.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.6.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用.1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?……旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.2.鼓励学生自主探索和合作交流.本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积为2的正方形的边长a是什么数?教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则也是通过类比得出的.1认识无理数2课时2平方根2课时3立方根1课时4估算1课时5用计算器开方1课时6实数1课时7二次根式3课时回顾与思考1课时1认识无理数1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.3.会判断一个数是不是无理数.1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.【重点】理解无理数的概念.【难点】判断一个数是不是无理数.第课时感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.【重点】感受无理数产生的背景.【难点】会判断一个数是不是无理数.【教师准备】两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.【学生准备】两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?探究活动1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方,并提出问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1拼成后的正方形是什么样的呢?问题2拼成后的大正方形面积是多少?问题3若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[知识拓展]正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是()A.16B.25C.2D.4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为,长度不是有理数的线段为.答案:略第1课时1.拼接正方形.2.做一做.3.a,b存在,但不是有理数.一、教材作业【必做题】教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC 中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a ,b 是两个有理数,且a <b ,在a ,b 两数之间插入一个数为 . 【拓展探究】3.把下列小数化成分数. (1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB ,BC ,AC 略(解析:AB 2=42+12=17,BC 2=22+32=13,AC 2=22+42=20.)2.a+b2(解析:答案不唯一,如插入a 和b 正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x ,则10x =7.7·,∴9x =7,从而x =79;(3)设0.3·4·=x ,则100x =34.3·4·,∴99x =34,从而x =3499. 解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499. 4.略大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.随堂练习(教材第21页)解:因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.习题2.1(教材第22页)1.解:答案不唯一.如图(1)所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;线段AC,CE,BE的长度都不是有理数.2.解:答案不唯一.如图(2)所示的是几个符合要求的直角三角形.一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?可能是整数吗?可能是分数吗?解:它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.第课时掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.【重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【难点】无理数概念的建立.【教师准备】计算器、立方体、多媒体课件.【学生准备】计算器、复习有理数的分类.导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如-1,0,2,3,…)分数(如13,-25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图]通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.一、数的小数表示面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a面积S1<a<2 1<S<41.4<a<1.5 1.96<S<2.251.41<a<1.42 1.9881<S<2.01641.414<a<1.415 1.999396<S<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<S<2.00024449【思考】a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图]让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356…,b=2.2360679…,c=1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.二、有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么? 3,45,59,-845,211.【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况? 思路二回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数) 【想一想】 你能找到其他的无理数吗?[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.三、例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类. [知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法: 1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数 答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( ) A .面积为25的正方形 B .面积为425的正方形 C .面积为8的正方形 D .面积为1.44的正方形 解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C .3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数. 4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1). (1)写出所有有理数; (2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n .(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第2课时1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.一、教材作业【必做题】教材第24页随堂练习.【选做题】教材第25页习题2.2第2,4题.二、课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x()A.1<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<52.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是()A.整数B.分数C.有限小数D.无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是,则斜边长是数. 【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20 π.(1)a是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5.(3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.随堂练习(教材第24页)解:有理数有:0.4583,3.7·,-17,18.无理数有:-π. 习题2.2(教材第25页) 1.解:-559180,3.97·,-234.10101010…(相邻两个1之间有1个0)是有理数,0.12345678910111213…(小数部分由相继的正整数组成)是无理数. 2.提示:(1)x 不是有理数. (2)x ≈3.2. (3)x ≈3.16. 3.(1)✕ (2) (3)✕ (4)✕4.解:5π,π-1,3.4141141114…(相邻两个4之间1的个数逐次加1)等,答案不唯一.由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设(或相同类型)的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.一根长为5米的电线杆竖立于地面,为保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?它是有理数吗?大概是多长?〔解析〕每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.解:由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.2平方根1.了解数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.了解开方与平方是互逆运算,会利用平方运算求某些非负数的算术平方根和平方根.通过教学过程的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.。

第二章 实 数1 认识无理数第2课时 认识无理数教学目标1.让学生理解无理数的定义，并会判断一个数是否为无理数.2.让学生分清有理数与无理数的区别.3.引导学生借助计算器，利用无限逼近的思想，探索无理数是无限不循环小数，会求一个无理数的近似值.教学重难点重点：理解无理数的定义并分清有理数与无理数的区别. 难点：求无理数的近似值.教学过程导入新课1.回忆有理数的分类.2.除了有理数，还学习过哪些不同的数？圆周率π，0.020 020 002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），如a 2=2，b 2=5中的a ，b .探究新知【探究1】 面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?（1）如图所示，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ （2）边长a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索.教学反思【探究2】(1)估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1)，并用计算器验证你的估计.（2）如果结果精确到0.01呢？（学生自主完成，教师指导）【结论】b =2.236 067 978…,它是一个无限不循环小数.【探究3】 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3,485,,5945-,211. 学生将分数表示成有限小数或无限循环小数.【结论】任何有限小数或无限循环小数都是有理数.无理数的概念：无限不循环小数称为无理数.【例题讲解】【例】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14,43-,0.57 ，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). （教师引导，学生分析） 整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数，无限不循环小数是无理数，根据有理数和无理数的特点很容易将这组数区分出来.【解】有理数有3.14,43- , 0.57. 无理数有0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【归纳】1.无理数是无限不循环小数，有限小数或无限循环小数是有理数.2. 无理数的三种常见形式：（1）开方开不尽的数的方根；（2）化简后含π的式子； （3）有规律但不循环的无限小数. 3.任何一个有理数都可以化成分数pq的形式(q ≠0，p ，q 为整数且互质)，而无理数不能.4.确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法：（1）确定正数x 的整数部分.根据平方的定义，把x 夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分.例如：求x 2=5中的正数x 的整数部分，因为22<5<32，即22<x 2<32，所以2<x <3，因此x 的整数部分为2.（2）确定x 的小数部分十分位上的数字.①将这两个整数平方和的平均数与a 比较，预测十分位上数字的取值范围，如两个整数2和3的平方和的平均数为22232+= 6.5>5，所以x 的十分位上的数字一定比3小，不妨设x ≈ 2.2.教学反思②设误差为k(k必为一个纯小数，且k可能为负数)，则x=2.2+k，所以教学反思(2.2+k)2 =5，所以4.84+4.4k+k2 =5.因为k是小数，所以k2很小，把它舍去，所以4.84+4.4k =5，所以k ≈ 0.036，所以x=2.2+k ≈ 2.2+0.036=2.236.实际估算中，整数部分的数字容易估计，十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计，即2.122≈4.41，2.222≈4.84，2.322≈5.29，因为4.84<5<5.29，所以2.22<x2<2.32，所以2.2<x<2.3，所以十分位上的数字为2.课堂练习1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，2-，4.96，3.141 59，-5.232 333 2…(相邻两个2之间3的个数3逐次加2)，123 456 789 101 112…(由相继的正整数组成).2.判断题：(1)有限小数是有理数. （）(2)无限小数都是无理数. （）(3)无理数都是无限小数. （）(4)有理数是有限小数. （）3.以下各正方形的边长是无理数的是()A.面积为25的正方形B.面积为4的正方形25C.面积为32的正方形D.面积为1.44的正方形4.若一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边长a是有理数吗？参考答案1.解：有理数有0.351，2-，4.96，3.141 59；3无理数有－5.232 333 2…(相邻两个2之间3的个数逐次加2)，123 456 789 101 112…（由相继的正整数组成）.2.（1）√ （2）× （3）√ （4）×3.C4.解：由勾股定理得a2=32+52，即a2=34.因为不存在有理数的平方等于34，所以a不是有理数.课堂小结教学反思布置作业习题2.2板书设计1认识无理数第2课时认识无理数1.无理数的概念：无限不循环小数称为无理数.2.实数的分类：实数分为有理数和无理数.整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数，无限不循环小数是无理数.3.无理数的三种常见形式：（1）开方开不尽的数的方根；（2）化简后含π的式子；（3）有规律但不循环的无限小数.。

第二章《实数》——2.1认识无理数（义务教育课程标准北师大版八年级数学上册第四章）一、教材内容和内容解析（一）教学内容本节课是北师大版教材八年级数学（上）第2章《实数》部分第一节第一课时，主要是在学生学习了《勾股定理》、《有理数》等概念，应用的基础上，更进一步向学生渗透建立数学模型解决数学问题，不断培养学生的数感。

学生学习了勾股定理之后，学生对某些直角三角形的边不能开方开得尽，使学生感到疑惑，所以学生对“无理数”有一个模糊不清晰的了解，再接着研究“无理数”，使学生对数的分类有个全面的知识结构。

（二）教学内容解析《认识无理数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．二、教学目标和目标解析（一）教学目标教学目标：1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引人的必要性.2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想，3.能判断三角形的某边长是否为无理数；4.会判断一个数是有理数还是无理数.教学重点：1.遵循历史顺序，通过实际活动让学生感受到认识无理数的必要性；2.会判断一个数是有理数还是无理数。

（二）教学目标解析①通过拼图讨论活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；让学生意识到无理数是如何产生的，通过讨论让学生知晓无理数是的确存在的。

②能判断三角形的某边长是否为无理数；在直角三角形中，利用勾股定理求解第三边，充分让孩子们知道“勾股定理”与“无理数”之间的联系。

③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；每次上课教师在学生探究的路上应该是促进者和协作者，只有这样我们的教学才有价值。