第四讲 解析函数与调和函数的关系

工程数学II 课程教案授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：§3.7 解析函数与调和函数的关系教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．理解调和函数与解析函数的关系． 教学重点及难点：重点：调和函数与解析函数的关系．难点：调和函数与解析函数的关系． 教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§3.7 解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义定义 (,) x y D ϕ如果二元实变函数在区域内具, 有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程22220, xyϕϕ∂∂+=∂∂(,) .x y D ϕ那末称为区域内的调和函数调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.二、解析函数与调和函数的关系定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数. 证 (),w f z u i v D ==+设为内的一个解析函数 , .u v u v xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂那末222222,.u v u v xy xyx y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂从而根据解析函数高阶导数定理, ,u v 与具有任意阶的连续偏导数22,vv y xx y∂∂=∂∂∂∂从而22220,u u xy∂∂+=∂∂22220,v v xy∂∂+=∂∂同理.u v 因此与都是调和函数 [证毕]2. 共轭调和函数的定义 (,) , u x y D 设为区域内给定的调和函数我 u iv +们把使 (,) (,) .D v x y u x y 在内构成解析函数的调和函数称为的共轭调和函数换句话,说 , u v u v D xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂在内满足方程,的两个调和函数中 v u 称为的共轭.调和函数区域D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. 3. 偏积分法如果已知一个调和函数 u , 那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v , 从而构成一个解析函数u +vi . 这种方法称为偏积分法.例1 32(,)3 , u x y y x y =-证明为调和函数并求 (,) v x y 其共轭调和函数和.由它们构成的解析函数解 6,uxy x ∂=-∂因为226,u y x∂=-∂2233,u y x y ∂=-∂226,u y y ∂=∂于是 22220,u u xy∂∂+=∂∂(,) .u x y 故为调和函数6,v u xy yx ∂∂==-∂∂因为6d v xy y =-⎰23(),xy g x =-+23(),v y g x x∂'=-+∂v u xy∂∂=-∂∂又因为2233,y x =-+23()y g x '-+2233,y x =-+( )c 为任意常数2 ()3d g x x x =⎰故3,x c =+32(,)3,v x y x xy c =-+得一个解析函数32323(3).w y x y i x xy c =-+-+这个函数可以化为3()().w f z i z c ==+课堂练习 3223(,)632 , .u x y x x yx y y =--+证明为调和函数并求其共轭调和函数 答案 2233(,)362.v x y x yx y y x c =--++( )c 为任意常数。

例2 (,)(c o s s i n ) x v x y e y yx yx y =+++已知为调, 和函数求一解析函数 (), (0)0f z u iv f =+=使解(cos sin sin )1,xv e y y x y y x∂=+++∂(cos sin cos )1,xv e y y y x y y∂=-++∂u v xy∂∂=∂∂由(cos sin cos )1,xe y y y x y =-++得[(cos sin cos )1]d x u e y y y x y x =-++⎰(cos sin )(),xe x y y y x g y =-++, v u xy∂∂=-∂∂由得(cos sin sin )1xe y y x y y +++(sin cos sin )(),xe x y y y y g y '=++-(),g y y c =-+故 (cos sin ),xu e x y y y x y c =-+-+于是()f z u iv =+(1)(1)xiyxiyxe e iye e x i iy i c =++++++(1),zze i z c =+++(0)0, f =由 0,c =得所求解析函数为()(1).zf z ze i z =++4. 不定积分法(,) (,), u x y v x y 已知调和函数或用不定积分求解析函数的方法称为不定积.分法不定积分法的实施过程:() () ,f z u iv f z '=+解析函数的导数仍为解析函数 且()x x f z u iv '=+x y u iu =-y x v iv =+,x y y x u iu v iv z -+把与用来表示()(),x y f z u iu U z '=-=()(),y x f z v iv V z '=+=将上两式积分, 得()()d ,f z U z z c =+⎰ ()()d ,f z V z z c =+⎰(),u f z 适用于已知实部求 (),v f z 适用于已知虚部求例3 22, . , () k u x ky v f z u iv =+=+求值使为调和函数再求使为解析函, 数() 1 ().f i f z =-并求的解 2,ux x ∂=∂因为 222,u x∂=∂2,u ky y∂=∂222,u k y∂=∂根据调和函数的定义可得1,k =-因为()()x y f z U z u iu '==-22x kyi =-22x kyi =-22x yi =+ 2,z =()2d f z z z =⎰根据不定积分法2,z c =+ ()1,f i =-由 0,c =得所求解析函数为222()2.f z x y xyi z =-+=例4 用不定积分法求解例1中的解析函数()f z 32(,)3. u x y y x y =-实部解 ()()x y f z U z u iu '==-223(2)i x xyi y =+-23,iz =2()3d f z izz =⎰31,iz c =+( () , f z 因为的实部为已知函数不可能包含, 实的任意常数所以1 c 常数为 )任意纯虚数，故3()().f z i z c =+( )c 为任意实常数例5 用不定积分法求解例2中的解析函数()f z 虚部 (,)(c o s s i n )xv x y e y y x y x y=+++ 解 ()()y x f z V z v iv '==+(c o s s i n c o s )x e y y y x y =-++ [(cos sin sin )1]xi e y y x y y ++++(cos sin )()sin ()cos 1xxxe y i y i x iy e y x iy e y i =+++++++ (cos sin )()[cos sin ]1xxe y i y x iy e y i y i =++++++ ()1x iy x iyex iy ei ++=++++1,z ze ze i =+++()()d f z V z z =⎰(1)d zzeze i z =+++⎰(1).zze i z c =+++( ) c 为任意实常数例6 22()(4)2(), ().u v x y x xy y x y f z u iv +=-++-+=+已知试确定解析函数 解 两边同时求导数22(4)()(24)2,x x u v x xy y x y x y +=+++-+-22(4)()(42)2,y y u v x xy y x y x y +=-+++-+-, ,u v u v xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂且所以上面两式分别相加减可得22332,y v x y =--6,x v xy =()y x f z v iv '=+223326x y xyi =--+232,z =-2()(32)d f z zz =-⎰32.z z c =-+( ) c 为任意实常数作业和思考题：第三章习题 23；302)．课后小结：本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是:1. 任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u +iv 不一定是解析函数.2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy , vx= –uy ,的v 称为u 的共轭调和函数, u 与v 注意的是地位不能颠倒.。