第五十九讲导数的应用

名师作业•练全能
第五十九讲导数的应用
班级 _______ 姓名__________ 考号 _________ 日期_________ 得分_________ 括号内.)
1.如果函数y=M的图象如图所示，那么导函数y=f (x)的图象可能是()
D
解析：由y=./U)的图象可知其单调性从左向右依次为增减增滅，所以其导数y=f (A)的函数值依次为正负正负，由此可排除B、C、D.
答案：A
2.如图，在同一坐标系中函数〉=.心)的图象(实线)和它的导函数y=f ⑴的图象(虚线) 其
中一左不正确的一组是(
答案:A
3.函数ZU)在泄义域R内可导，若用)=戏2 — X),且当炸(一8, 1)时，(A—(%)<0, 设"=A0), b=/£), c=./(3),贝I J()
y
D 解析：对于选项A,若_/u)的图象在某一区间单调递增，则f (x)在该区间应大于零, 故A 不正确.
/
X
B
C・c<h<a D ・b<c<a
A ・a<b<c
B ・c<a<b
解析：由心)=./(2 — x)可得对称轴为
x=l,故,A3)=
y(l+2)=Al — 2)=/(—1),又XG( —8, 1)时，(A-ir(A-XO,可知f (x)>0, 即心)在(一8, 1)上单调递增，./<一1)彳0)勺(£),即c<ci<b.
答案:B
4.已知y=|?+b"+(b+2)x+3是R上的单调增函数，则b的范围是()
A. TWbW2
B. bW — 1 或心2
C. 一1VX2
D. X-1 或h>2
解析：由y=|?+加2+(b+2)x+ 3得=x2+%x+b+2•又因为函数在R上是单调增函数，所以有一阶导数y' 20恒成立.则有』=4夕一4(b+2)W0.求得一\WbW2.故选A.
答案：A
5.已知沧)=2?—W+"(“是常数)在［一2,2］上有最大值是3,那么在［一2,2］上心)的最小值是()
A. —5 B・—11
C・一29 D・一37
解析：f (A)=6.V2—12A-,
若f (x)>0,则一2V.Y V0,
乂.ZU)在x=0处连续，
•Jx)的增区间为［-2,0］,同理f (x)V0得减区间［0.2］,
••J(0)=“ 最大，•••“=3.即7U)=23—6W+3,
比较.A-2), .A2),得戏一2)= — 37为最小值.
答案：D
6.方程0—6/+弘一4=0的实数根的个数为()
A. 0 B・ 1
C・2 D・3
解析：令几¥)=_?—6"+9x-4,
则f (x) = 3x2- 12v4-9 = 3(x-l)(x-3)・
由f (x)>0 得.v>3 或x< 1,
由f⑴vO得l<r<3.
••JU)的单调递增区间为(3, +~), (一8, 1)；
单调递减区间为(13),
：.fix)在x=l取极大值，在A=3处取极小值，又••7U)=0. ./(3)= — 4<0,
•••函数7U )的图象与兀轴有两个交点，
即方程卫一6*+9尤一4=0有两个实数根.
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.)
7. ________________________________________________________________ 函数_/U)=X 3+Q 2+(“+6)X +I 有极大值和极小值，则实数“的取值范围是 __________________ .
解析：f (A )=3x 24-2ar+t/+6,令f (A )=0,即 3.V +2<M +</4-6=0,因为./U)有极大 值和极小值，所以丿=(加)2—4X3X(“+6)>0,解得a<-3或“>6・
答案：(—8, —3)U(6, +8)
8. 若函数y (A )=y 3-A-在(仏10—B )上有最小值，则实数"的取值范围为 _________ • 解析：f (x)=x 2
— 1,函数 心尸卜一x 在(“,10—“2)上有最小值，则1 G(a,10—a 2)=^ — —2W0 = —20“W 1,故一2Wavl ・
答案：［-2,1)
9. 如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，给岀下列判断:
① 函数y=Av)在区间(一
3，
② 函数y=/lx)在区间(一£ 3)内单调递减:
③ 函数y=/U)在区间(4,5)内单调递增：
④ 当A =2时，函数y=f(x)有极小值；
⑤ 当x=—为寸，函数y=f(x)有极大值.
则上述判断中正确的是 _________ .
解析：当xG(4,5)时，恒有f (x)>0.
答案：③
10. 直线〉，=“与函数./(力=/一3*的图象有相异的三个公共点，则“的取值范围是 3<a<\, 且 “vlO—a.
_1+回 = <a< ---- — 且 几”刃⑴今（么—1 ）（6/2+—2）0 =^a 2+a
解析：令f Cv)=3W—3=0=x=±l,可求得・/U)的极大值为y(-l)=2, 极小值为*1)=一2,如图所示，由图可知一2vx2时，恰有三个不同公共点.
答案：—2<“<2
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤•)
11.设1和x=2是函数_f(x)=x5+ax3+bx-\-1的两个极值点.
(1)求“和b的值：
(2)求的单调区间.
解析：⑴f' (x)=5x4+3"F+b,
由假设知f (l)=5+3“+b=0,
f (2)=24X5 + 22X3t/+Z?=0,
25
解得a= —■ , b=20・
(2)由⑴知
f (x)=5F—25/+20=5(”一1)3—4)
= 5(x+1 )(x+2)(x-1 )(x-2),
当xG(-oo, -2)U(-1,1)U(2, +8)时，f (x)>0:
当xe(-2, 一1)U(1,2)时，f (A-xo.
因此・心)的单调递增区间是(一8, -2), (-1J), (2, +8)；心)的单调递减区间是(一2, -1), (1,2).
12.已知函数Av)=x3+ar2+/zr+c在兀=0处取得极大值2,其图象在屮=1处的切线与直线x-3y+2=0垂直.
⑴求7U)的解析式；
(2)当XW(—8,羽］时，不等式.护(x)W加一6W+9X恒成立，求实数加的取值范囤. 解
析：⑴厂(力=3/+2^+〃・由已知
：A0)=27?=0a=—3
'f d)=-3 ,即＜。

=2 ,得“b=0
f (0)=0・3+2“= 一3c=2
于是fix) =x^ —3AT+2.
(x) W m—6A2+9x
<=>x(3x2—6A)W m—6A2+9x<=^m 2 3A3—9x
当xG(—萌]时，xf r—6X2+9X恒成立，
o当A£(—萌]时，m^3x3—9x恒成立.
设g(x) = 3.?-9.r,則* (x)=9(x+l)(x-l)
£(X)在(一8, —1)及(1,羽)上是增函数，在(一1,1)上是滅函数，从而g(x)在X= — 1处取得极大值g(—1)=6,
乂g(羽)=0,所以g(x)的最大值是6,故加$6.
13.(2019-全国II )已知函数/(x)=A J-3t/x2+3x+l.
(1 )设“=2,求几¥)的单调区间：
⑵设兀)在区间(2,3沖至少有一个极值点，求“的取值范圉.
解析：⑴当a=2时，.心)=«?—6”+3.卄1・
f (x)=3(x—2+-\/3)(A— 2 ~y[3).
当A G(-OO, 2-W)时，f (x)>0,沧)在(一oo, 2—⑴)上单调递增：
当入€(2—羽，2+羽)吋，f(A)<0,用)在(2—萌，2+羽)上单调递城；
当xG(2+V3, +8)时，f (x)>0,兀)在(2+伍 +8)上单调递增.
综上，沧)的单调增区间是(一8, 2—萌)和(2+W，+8),单调减区间是(2—书，2+ <3).
(2)f (x)=3[(x—“)2+1 —B].
当1一0鼻0时• f ⑴20,.心)为增函数，故几巧无极值点：
当1—启<0 时，f (x) = 0 有两个根，xi=a—yja2— 1, X2—a+y[a2+ I・由題意知，2<ii —yja2— 1<3,①
或2<u4-y[a2— 1 <3.②
①式无解.解②式得|<«<|.
因此“的取值范围是G，|).。