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§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00x f x f xx =→一、连续函数的概念函数连续要满足三个条件(1) 在x =x 0有定义；(2)存在；(3))(lim 0x f x x →)()(lim 00x f x f xx =→例1.2sin 21,0(),0axx e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(-∞，+ ∞)上连续，求的值a 解：定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续;定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数ƒ(x) 在闭区间[a , b]内连续.一个函数在定义域上连续，从图像上看是连续不断的，“一笔”可以画出来的。
二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义；(2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.)(lim 0x f xx →)(lim 0x f x x →)()(lim 00x f x f x x ≠→x 1A 2A 0x 0x 1A 2A 0x Ax 1A 2A 0x 1A 0x间断点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：例3.解：三、利用零点定理讨论方程的根.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧x x x f y =几何解释:a b 3ξ2ξ1ξxyo)(x f y =123()0,()0,()0f f f ξξξ===定理3(零点定理) 设函数)(x f 在闭区间 []b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号(即0)()(<⋅b f a f ),那末在开区间()b a ,内至少有函数)(x f 的一个零点,即至少有一点ξ)(b a <ξ<，使0)(=ξf .§2 导数的概念一、导数概念的引例例1变速直线运动的速度?)(0=t v )(t s s =0s-)(0t t s ∆+tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00时，0→∆t ()000000()()lim lim limt t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆)(0t v v →)(0t s -例2平面曲线的切线斜率x xxo y)(x f y =C 如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0→∠→NMT MN ).,(),,(00y x N y x M 设的斜率为割线MN 00tan x x y y --=ϕ,)()(00xx x f x f --=,,0x x M N C→−−−→−沿曲线的斜率为切线MT 000()()tan lim .x x f x f x k x x α→-==-αTϕN M二、导数的定义,)()(0);()()(00000000x x y x x f y x x f y x x y x f x x f y y x x x x x x x f y ='==→∆∆∆-∆+=∆∆+∆=记为处的导数,在点并称这个极限为函数处可导,在点则称函数时的极限存在,比当之与如果增量取得相应地函数仍在该邻域内)时,点(处取得增量在当自变量内有定义,的某个邻域在点设函数定义x x dxdy =,)(0x x dxx df =或xx f x x f x yy x x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆=)()(limlim 00000即其它形式.)()(lim )(0000x x x f x f x f x x --='→.)()(lim )(0000hx f h x f x f h -+='→例3.0000()()()lim =x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆已知在处可导，则？000()()2lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆解：'02()f x =例4.证明：三、可导和连续的关系及应用1.可导和连续的关系定理凡可导函数都是连续函数，反之不一定.证明：设函数f (x )在点x 0处可导()()0000lim ()x x f x f x f x x x →-'=-则()()0000lim[]()lim()x x x x f x f x f x x x →→'-=-()()0lim x x f x f x →=即.连续在点函数0)(x x f ∴从图像上看，可导函数除了要求像连续函数那样“一笔”画完外还要求曲线是光滑的！2.左右导数（单侧导数）右导数:左导数:0000000()()()()()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x ---→∆→-+∆-'==-∆0000000()()()()()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x+++→∆→-+∆-'==-∆函数)(x f 在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且相等. ★3.利用函数可导或连续解题例5.解：连续可导§3 函数微分的概念一、微分的定义定理：y =f(x )在可微的充分必要条件是f (x )在处可导，且当f (x )在点可微时，其微分一定是0x 0x 0x xx f dy ∆'=)(0(1) 必要性,)(0可微在点x x f ),(x o x A y ∆+∆⋅=∆∴,)(x x o A xy ∆∆+=∆∆∴xx o A x yx x ∆∆+=∆∆→∆→∆)(lim lim 00则.A =).(,)(00x f A x x f '=且可导在点即函数证明),()(0x x x f y ∆⋅α+∆⋅'=∆从而,)(0α+'=∆∆x f xy 即,)(0可导在点函数x x f ),(lim00x f xyx '=∆∆∴→∆),0(0→∆→αx ),()(0x o x x f ∆+∆⋅'=.)(,)(00A x f x x f ='且可微在点函数 ).(.0x f A '=⇔∴可微可导(2) 充分性()()dy d x x x x'==∆=∆?y x dy ==已知函数，求例1处的微分和在求函数312===x x x y 解：处的微分在函数12==x x y 1()2;x dy x x x ='=∆=∆处的微分在3=x xx x dy x ∆=∆'==6)(32例2解：由例2我们把微分常记为0()x x dyf x dx='=()dy f x dx'=二、可微与可导的关系两者是等价的三、微分的几何意义.,,MN MP M x 可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当∆xyo)(x f y =0x MT）αN xx ∆+0y∆x ∆PQ0()dy f x x '=∆tan x α=∆PQ=dy)(x o ∆§4 导数的计算(1) (C)'=0,(2) (xμ)'=μxμ-1,(3) (sin x)'=cos x,(4) (cos x)'=-sin x,(5) (tan x)'=sec2x,(6) (cot x)'=-csc2x,(7) (sec x)'=sec x⋅tan x,(8) (csc x)'=-csc x⋅cot x,(9) (a x)'=a x ln a,(10) (e x)'=e x,(11)axx aln1)(log=',(12)xx1)(ln=',(13)211)(arcsinxx-=',(14)211)(arccosxx--=',(15)211)(arctanxx+=',(16)211)cotarc(xx+-='.一、基本初等函数的导数公式211(17)()x x'=-1(18)()2xx'=二、反函数求导法则)(1])([1y f x f '='-.1(),()x f y y f x -==设函数其反函数为定理则.log 的导数求x y a =,0ln )(≠='a a a yy 且)(1)(log '='y a a x a a y ln 1=.ln 1a x = 是y a x =的反函数x y alog =.的导数求xa y =,0ln 1)(log ≠='ay y a 且)(log 1)('='y a a x ay ln 11=.ln a a x= y 是a x log =的反函数xa y =arctan y x =求的导数tan arctan x y y x ==是的反函数2(tan )sec 0,y x '=≠且1(arctan )(tan )x y '='21sec y =21sec (arctan )x =tan(arctan )x x=22sec (arctan )1tan (arctan )x x =+21x =+21(arctan )1x x'=+三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固例1解：例2解：四、隐函数的求导1. 函数的表示法直接表示:解析式y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.一般地,如果变量x 和y 满足一个方程F (x ,y )=0,在一定条件下当x 取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程F (x ,y )=0在该区间内确定了一个隐函数2. 隐函数定义极其求解有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数都可以显化的，如：sin 0xy xy +=虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是方程两边同时关于x （或y ）求导，一般来说，导函数往往是含有x 和y 的解析式。
走进中考数学专题复习讲座：走进中考数学专题复习第二讲函数应用（含答案）【专题剖析】函数的运用是中考每年必考题型,成为卷中的亮点标题,方式设置繁复流利,背景鲜活,表达初高中数学知识的衔接.尤其对函数的实践运用题,应留意第一步由实践效果笼统出数学效果;第二步处置数学效果,从而使实践效果失掉处置.其间应留意对转化、数形结合、方程、待定系数法等思想方法的灵敏运用函数的实践运用题是近年中考的热点试题,这类题来源于生活和消费实际,贴近生活,具有较强的操作性和实际性,所以参考条件多,思想有一定的深度,解答方法灵敏多样,处置效果时要慎于思索.题型主要包括:依据实践意义建模;应用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实践效果中的方案停止比拟等.中考试卷往往以实践生活为背景命制标题,表达数学与生活的联络.把数学效果转化在生活背景中是近年来经常出现的命题方式,无不表达数学在实践生活中的运用.纯函数型情境运用题:处置这类效果的关键是针对背景资料,设定适宜的未知数,找出相等关系,树立方程(组)、不等式、函数型模型来处置.几何背景下的函数情境运用题:处置这类效果的关键是在了解题意的基础上,对效果停止恰当的笼统与概括,树立恰当的几何模型,从而确定某种几何关系,应用相关几何知识来处置.几何求值效果,当未知量不能直接求出时,普通需设出未知数,继而树立方程(组),用解方程(组)的方法去求结果,这是解题中罕见的具有导向作用的一种思想.【知识归结】关于几何图形与函数图象结合的综合题型,解题的关键是应用几何图形的有关性质确定点的坐标,联想到点的坐标和线段长之间的转化关系,普通作垂直于坐标轴的线段,构建直角三角形,应用勾股定理、相似、三角函数等相关知识求出点的坐标,应用待定系数法求出函数解析式,结合图象也可进一步处置几何图形的其他效果.【题型解析】题型1:一次函数与正比例函数的综合运用例题:〔2021重庆B〕如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b〔a≠0〕的图象与正比例函数y=〔k≠0〕的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=4，cos∠ACH=，点B的坐标为〔4，n〕〔1〕求该正比例函数和一次函数的解析式；〔2〕求△BCH的面积．【剖析】〔1〕首先应用锐角三角函数关系得出HC的长，再应用勾股定理得出AH 的长，即可得出A点坐标，进而求出正比例函数解析式，再求出B点坐标，即可得出一次函数解析式；〔2〕应用B点坐标的纵坐标再应用HC的长即可得出△BCH的面积．【解答】解：〔1〕∵AH⊥x轴于点H，AC=4，cos∠ACH=，解得：HC=4，∵点O是线段CH的中点，∴HO=CO=2，∴AH==8，∴A〔﹣2，8〕，∴正比例函数解析式为：y=﹣，∴B〔4，﹣4〕，∴设一次函数解析式为：y=kx+b，那么，解得：，∴一次函数解析式为：y=﹣2x+4；〔2〕由〔1〕得：△BCH的面积为：×4×4=8．方法指点：此题主要考察了正比例函数与一次函数解析式求法以及三角形面积求法，正确得出A点坐标是解题关键．题型2:二次函数图象的实践运用(抛物线型)(2021湖北襄阳)如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为〔10，0〕，抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D〔﹣2，0〕，点P 是线段CB上的动点，设CP=t〔0＜t＜10〕．〔1〕请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；〔2〕过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，衔接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？〔3〕点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ 于点N，当四边形PMQN为正方形时，央求出t的值．【考点】HF：二次函数综合题．【剖析】〔1〕由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，应用待定系数法可求得抛物线解析式；〔2〕可设P〔t，4〕，那么可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，应用相似三角形的性质可失掉关于t的方程，可求得t的值；〔3〕当四边形PMQN为正方形时，那么可证得△COQ∽△QAB，应用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，那么可用t区分表示出PM 和PN，可失掉关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：〔1〕在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，∴C〔0，4〕，∵四边形OABC为矩形，且A〔10，0〕，∴B〔10，4〕，把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；〔2〕由题意可设P〔t，4〕，那么E〔t，﹣ t2+t+4〕，∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴=，即BP•OD=CO•PE，∴2〔10﹣t〕=4〔﹣t2+t〕，解得t=3或t=10〔不合题意，舍去〕，∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；〔3〕当四边形PMQN为正方形时，那么∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠CQO+∠AQB=90°，∵∠CQO+∠OCQ=90°，∴∠OCQ=∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴=，即OQ•AQ=CO•AB，设OQ=m，那么AQ=10﹣m，∴m〔10﹣m〕=4×4，解得m=2或m=8，①当m=2时，CQ==2，BQ==4，∴sin∠BCQ==，sin∠CBQ==，∴PM=PC•sin∠PCQ=t，PN=PB•sin∠CBQ=〔10﹣t〕，∴t=〔10﹣t〕，解得t=，②当m=8时，同理可求得t=，∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．题型3:二次函数的实践运用例题：〔2021贵州安顺〕如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴区分交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕在该抛物线的对称轴上能否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？假定存在，请直接写出所契合条件的点M的坐标；假定不存在，请说明理由；〔3〕当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值〔图乙、丙供画图探求〕．【考点】：二次函数综合题．【剖析】〔1〕由直线解析式可求得B、C坐标，应用待定系数法可求得抛物线解析式；〔2〕由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种状况，可区分失掉关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；〔3〕过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，应用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．【解答】解：〔1〕∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴区分交于点B、点C，∴B〔3，0〕，C〔0，3〕，把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；〔2〕∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P〔2，﹣1〕，设M〔2，t〕，且C〔0，3〕，∴MC==，MP=|t+1|，PC==2，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种状况，①当MC=MP时，那么有=|t+1|，解得t=，此时M〔2，〕；②当MC=PC时，那么有=2，解得t=﹣1〔与P点重合，舍去〕或t=7，此时M〔2，7〕；③当MP=PC时，那么有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M〔2，﹣1+2〕或〔2，﹣1﹣2〕；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为〔2，〕或〔2，7〕或〔2，﹣1+2〕或〔2，﹣1﹣2〕；〔3〕如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E〔x，x2﹣4x+3〕，那么F〔x，﹣x+3〕，∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣〔x2﹣4x+3〕=﹣x2+3x，∴S△CBE =S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3〔﹣x2+3x〕=﹣〔x﹣〕2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为〔，〕，即当E点坐标为〔，〕时，△CBE的面积最大．题型4:二次函数背景下的复杂的几何动点效果例题：〔2021山东烟台〕如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延伸DC交抛物线于点E．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式〔不用写出m的取值范围〕，并求出l的最大值；〔3〕假设点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上能否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？假定存在，直接写出一切满足条件的点M 的坐标；假定不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【剖析】〔1〕由条件可求得A、B的坐标，应用待定系数法可求得抛物线解析式；〔2〕可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m 可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再应用二次函数的性质可求得其最大值；〔3〕分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，那么可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．【解答】解：〔1〕∵矩形OBDC的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A〔﹣3，0〕，B〔1，0〕，把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；〔2〕在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E〔﹣2，2〕，∴直线OE解析式为y=﹣x，由题意可得P〔m，﹣ m2﹣m+2〕，∵PG∥y轴，∴G〔m，﹣m〕，∵P在直线OE的上方，∴PG=﹣m2﹣m+2﹣〔﹣m〕=﹣m2﹣m+2=﹣〔m+〕2+，∵直线OE解析式为y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=PG= [﹣〔m+〕2+]=﹣〔m+〕2+，∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；〔3〕①当AC为平行四边形的边时，那么有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，那么∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中∴△MFN≌△AOC〔AAS〕，∴MF=AO=3，∴点M到对称轴的距离为3，又y=﹣x2﹣x+2，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M点坐标为〔x，y〕，那么|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，∴M点坐标为〔2，﹣〕或〔﹣4，﹣〕；②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A〔﹣3，0〕，C〔0，2〕，∴K〔﹣，1〕，∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M点横坐标为x，∴x+〔﹣1〕=2×〔﹣〕=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，∴M〔﹣2，2〕；综上可知点M的坐标为〔2，﹣〕或〔﹣4，﹣〕或〔﹣2，2〕．题型5:一次函数、正比例函数和二次函数的综合运用例题：如下图，Rt△PAB的直角顶点P〔3，4〕在函数y=〔x＞0〕的图象上，顶点A、B在函数y=〔x＞0，0＜t＜k〕的图象上，PA∥x轴，衔接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA ，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．①求k的值以及w关于t的表达式；②假定用wmax 和wmin区分表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin．【考点】G5：正比例函数系数k的几何意义；G6：正比例函数图象上点的坐标特征．【剖析】〔1〕由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB=•PA•PB=〔4﹣〕〔3﹣〕，再依据正比例系数k的几何意义知S△OPA =S△OPC﹣S△OAC=6﹣t，由w=S△OPA ﹣S△PAB可得答案；〔2〕将〔1〕中所得解析式配方求得wmax =，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．【解答】解：〔1〕∵点P〔3，4〕，∴在y=中，当x=3时，y=，即点A〔3，〕，当y=4时，x=，即点B〔，4〕，那么S△PAB=•PA•PB=〔4﹣〕〔3﹣〕，如图，延伸PA交x轴于点C，那么PC⊥x轴，又S△OPA =S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t，∴w=6﹣t﹣〔4﹣〕〔3﹣〕=﹣t2+t；〔2〕∵w=﹣t2+t=﹣〔t﹣6〕2+，∴wmax=，那么T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+=〔a﹣〕2+，∴当a=时，Tmin=．【提升训练】1. 〔2021江西〕如图，是一种斜挎包，其挎带由双层局部、单层局部和调理扣构成．小敏用后发现，经过调理扣加长或延长单层局部的长度，可以使挎带的长度〔单层局部与双层局部长度的和，其中调理扣所占的长度疏忽不计〕加长或延长．设单层局部的长度为xcm，双层局部的长度为ycm，经测量，失掉如下数据：单层局部的长度x〔cm〕... 4 6 8 10 (150)双层局部的长度y〔cm〕…73 72 71 …〔1〕依据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出y关于x的函数解析式；〔2〕依据小敏的身高和习气，挎带的长度为120cm时，背起来正适宜，央求出此时单层局部的长度；〔3〕设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．【考点】FH：一次函数的运用．【剖析】〔1〕观察表格可知，y是x使得一次函数，设y=kx+b，应用待定系数法即可处置效果；〔2〕列出方程组即可处置效果；〔3〕由题意当y=0，x=150，当x=0时，y=75，可得75≤l≤150．【解答】解：〔1〕观察表格可知，y是x使得一次函数，设y=kx+b，那么有，解得，∴y=﹣x+75．〔2〕由题意，解得，∴单层局部的长度为90cm．〔3〕由题意当y=0，x=150，当x=0时，y=75，∴75≤l≤150．2. (2021湖北襄阳)为了〝创立文明城市，树立美丽家园〞，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地停止绿化，一局部种草，剩余局部栽花，设种草局部的面积为x〔m2〕，种草所需费用y1〔元〕与x〔m2〕的函数关系式为，其图象如下图：栽花所需费用y2〔元〕与x〔m2〕的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000〔0≤x≤1000〕．〔1〕请直接写出k1、k2和b的值；〔2〕设这块1000m2空地的绿化总费用为W〔元〕，请应用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；〔3〕假定种草局部的面积不少于700m2，栽花局部的面积不少于100m2，央求出绿化总费用W的最小值．【考点】HE：二次函数的运用．【剖析】〔1〕将x=600、y=18000代入y1=k1x可得k1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y1=k2x+b可得k2、b．〔2〕分0≤x＜600和600≤x≤1000两种状况，依据〝绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用〞结合二次函数的性质可得答案；〔3〕依据种草局部的面积不少于700m2，栽花局部的面积不少于100m2求得x的范围，依据二次函数的性质可得．【解答】解：〔1〕将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：，解得：；〔2〕当0≤x＜600时，W=30x+〔﹣0.01x2﹣20x+30000〕=﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01〔x﹣500〕2+32500，∴当x=500时，W取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，W=20x+6000+〔﹣0.01x2﹣20x+30000〕=﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x=600时，W取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W取最大值为32500元；〔3〕由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，那么700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x=900时，W取得最小值27900元．3. 〔2021浙江义乌〕某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙〔墙足够长〕，方案中的修建资料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x〔m〕，占空中积为y〔m2〕．〔1〕如图1，问饲养室长x为多少时，占空中积y最大？〔2〕如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占空中积最大，小敏说：〝只需饲养室长比〔1〕中的长多2m就行了．〞请你经过计算，判别小敏的说法能否正确．【考点】HE：二次函数的运用．【剖析】〔1〕依据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算，再依据二次函数的性质剖析即可；〔2〕依据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算，再依据二次函数的性质剖析即可．【解答】解：〔1〕∵y=x•=﹣〔x﹣25〕2+，∴当x=25时，占空中积最大，即饲养室长x为25m时，占空中积y最大；〔2〕∵y=x•=﹣〔x﹣26〕2+338，∴当x=26时，占空中积最大，即饲养室长x为26m时，占空中积y最大；∵26﹣25=1≠2，∴小敏的说法不正确．4.〔2021青海西宁〕如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C区分在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，假定抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标区分为〔3，0〕，〔0，1〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕猜想△EDB的外形并加以证明；〔3〕点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问能否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？假定存在，央求出一切契合条件的点M的坐标；假定不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【剖析】〔1〕由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，应用待定系数法可求得抛物线解析式；〔2〕由B、D、E的坐标可区分求得DE、BD和BE的长，再应用勾股定理的逆定理可停止判别；〔3〕由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式，那么可求得F点的坐标，当AF 为边时，那么有FM∥AN且FM=AN，那么可求得M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标；当AF为对角线时，由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心，可设出M点坐标，那么可表示出N点坐标，再由N点在x轴上可失掉关于M点坐标的方程，可求得M点坐标．【解答】解：〔1〕在矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴A〔4，0〕，C〔0，3〕，∵抛物线经过O、A两点，∴抛物线顶点坐标为〔2，3〕，∴可设抛物线解析式为y=a〔x﹣2〕2+3，把A点坐标代入可得0=a〔4﹣2〕2+3，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣〔x﹣2〕2+3，即y=﹣x2+3x；〔2〕△EDB为等腰直角三角形．证明：由〔1〕可知B〔4，3〕，且D〔3，0〕，E〔0，1〕，∴DE2=32+12=10，BD2=〔4﹣3〕2+32=10，BE2=42+〔3﹣1〕2=20，∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，∴△EDB为等腰直角三角形；〔3〕存在．理由如下：设直线BE解析式为y=kx+b，把B、E坐标代入可得，解得，∴直线BE解析式为y=x+1，当x=2时，y=2，∴F〔2，2〕，①当AF为平行四边形的一边时，那么M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，∴点M的纵坐标为2或﹣2，在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，∵点M在抛物线对称轴右侧，∴x＞2，∴x=，∴M点坐标为〔，2〕；在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，∵点M在抛物线对称轴右侧，∴x＞2，∴x=，∴M点坐标为〔，﹣2〕；②当AF为平行四边形的对角线时，∵A〔4，0〕，F〔2，2〕，∴线段AF的中点为〔3，1〕，即平行四边形的对称中心为〔3，1〕，设M〔t，﹣ t2+3t〕，N〔x，0〕，那么﹣t2+3t=2，解得t=，∵点M在抛物线对称轴右侧，∴x＞2，∴t=，∴M点坐标为〔，2〕；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为〔，2〕或〔，﹣2〕．。
一、教学目标1. 知识目标：（1）理解极限的概念，掌握极限的性质和运算法则。
（2）了解连续函数的概念，掌握连续函数的性质。
（3）学会运用极限和连续性解决实际问题。
2. 能力目标：（1）培养学生运用数学语言描述问题的能力。
（2）提高学生分析问题和解决问题的能力。
（3）培养学生逻辑思维和抽象思维能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对高等数学的兴趣，提高学习热情。
（2）培养学生严谨的学术态度和团队协作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）极限的概念及性质。
（2）连续函数的概念及性质。
（3）极限和连续性在解决实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）理解极限的概念，掌握极限的性质和运算法则。
（2）掌握连续函数的性质，并能灵活运用。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾初等数学中极限的思想，引导学生思考高等数学中极限的定义。
（2）提出问题：如何定义函数在某一点的极限？2. 新课讲解（1）极限的定义：介绍极限的定义，结合实例讲解。
（2）极限的性质：介绍极限的性质，并通过例题展示。
（3）极限的运算法则：介绍极限的运算法则，结合例题讲解。
（4）连续函数的定义：介绍连续函数的定义，结合实例讲解。
（5）连续函数的性质：介绍连续函数的性质，并通过例题展示。
3. 课堂练习（1）让学生完成课本上的习题，巩固所学知识。
（2）教师巡视指导，解答学生疑问。
4. 应用实例（1）展示极限和连续性在实际问题中的应用实例。
（2）引导学生分析问题，运用所学知识解决问题。
5. 总结与回顾（1）总结本节课所学内容，强调重点和难点。
（2）回顾课本上的相关内容，加深学生对知识的理解。
四、课后作业1. 完成课本上的习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解极限和连续性在其他领域的应用。
五、教学反思1. 本节课通过实例讲解，使学生更好地理解了极限和连续性的概念及性质。
2. 在课堂练习中，注重培养学生的实际操作能力，提高学生解决问题的能力。
3. 在教学过程中，关注学生的学习状态，及时调整教学策略，提高教学效果。
二方连续和四方连续的概念二方连续和四方连续是数学中常用的两个概念，其分别描述了函数的连续性质。
在深入探讨这两个概念之前，我们需要先了解函数连续性的基本概念。
函数连续性是指当自变量x在某一区间内发生改变时，函数值y也在相应的区间内变化，并且这个变化是平滑的，没有断点或跳跃现象。
一般来说，可以将函数连续性分为点连续和区间连续两种情况。
点连续是指函数在某一点处连续，即该点左右两侧的函数值无限接近于该点函数值。
而区间连续是指函数在某一区间内的所有点都满足点连续性的条件。
以上是对函数连续性的一般描述，接下来我们来具体讨论二方连续和四方连续的概念。
一、二方连续二方连续是指函数在某一点处连续，并且其左导数和右导数都存在、有限，并且相等。
简单来说，函数的二方连续是要求函数在某一点的左右两侧的斜率存在且相等。
具体地说，设函数f(x)在点x=a处有定义，二方连续是指以下三个条件同时成立：1. 函数f(x)在点x=a处连续，即f(a)存在，且左右极限lim(x→a-)〖f(x)〗=lim(x →a+)〖f(x)〗=f(a)；2. 函数f(x)在点x=a处可导，即左导数f'(a-)和右导数f'(a+)都存在，且有限；3. 左导数f'(a-)和右导数f'(a+)相等，即f'(a-)=f'(a+)。
二方连续的概念是对函数在某一点内“可导”的进一步要求，它要求函数在该点的“斜率”存在且相等。
二方连续的函数在该点具有光滑的特点，如图1所示。
图1 二方连续的示意图二、四方连续四方连续是指函数在某一区间上的每个点的左、右四个方向的导数都存在、有限，并且相等。
简单来说，函数的四方连续是要求函数在某一区间内所有点的四个方向的斜率都存在且相等。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b]内有定义，四方连续是指以下三个条件同时成立：1. 函数f(x)在区间[a,b]内连续，即f(x)在区间[a,b]上的每个点都连续；2. 函数f(x)在区间(a,b)内可导，即函数f(x)在区间(a,b)上的每个点都可导；3. 函数f(x)在区间[a,b]的端点a和b上的左、右侧方向的导数都存在且相等，即f'(a-)=f'(a+)=f'(b-)=f'(b+)。
一、 计算下列各题（每小题4分，共16分） （1） 已知8)()(20=⋅'⎰dx x f x f ，且0)0(=f 求)(x f .（2） 设函数)1sin(sin 1cos )1(2cos )sin(-++--+=y x x y y xy z ，求)1,0(|dz（3） 设函数),(y x z 满足222=∂∂yz及x x z x z y ='=)0,(,1)0,(，求),(y x z . （4） 交换二重积分的次序⎰⎰11-||1),(x dy y x f dx .（5） 设曲面4:222=++∑z y x ，求第一类曲面积分⎰⎰∑++dS y x xy )2(22.一、（1）令C dx x f =⎰2)(,则x Cx f C x f 8)(8)(=⇒='，两端求定积分得 Cxdx C dx x f C 168)(220===⎰⎰，则4±=C ，故x x f 2)(±=. （2）3cos )sin 1(cos 3cos )sin 13cos sin ()1,(0200)1,0(=+=+==∂∂===x x x x xx x dx d dx x dz x z1)]1sin(1[)1cos()1()]1sin(1[))1sin(11(),0(1211)1,0(-=-+----+-=-+--==∂∂===y y y y y y y y y dy d dyy dz yzdy dx dy y z dx x z dz -=∂∂+∂∂=3cos |)1,0()1,0()1,0( （3）由)(2222x y yzy z ϕ+=∂∂⇒=∂∂，再由x x z y =')0,(得x x =)(ϕ， x y y x z y +='2),(，)()2(),(2x xy y dy x y y x z φ++=+=⎰，再由1)0,(=x z 得 1)(=x φ，因此1),(2++=xy y y x z .厦门大学第十一届“景润杯”数学竞赛试卷（理工类）竞赛日期 2014年6月7日(4) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=-=1011-1||11-||1),(),(),(yyx x dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx .(5)ππ64244)(0)2(222222=⨯⨯=+++=++⎰⎰⎰⎰∑∑dS z y x dS y xxy .二、（10分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=+0)1(0)(222x x b x e x f xa ax 在点0=x 处连续，问常数)0(,>b b a 取何值时，定积分⎰-21)(ln dx x f 取最小值，并求最小值.解：由)(x f 在点0=x 处连续可得)0()(lim 0f x f x =+→,即1)1(lim 20=-+→x b x ， 由此可得1=b .于是⎩⎨⎧≠>-≤+=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=+1,0|1|ln 20)(ln ,0)1(0)(22222x x x x x a ax x f x x x e x f xa ax ，从而⎰⎰⎰-++=--20012221|1|ln 2)()(ln dx x dx x a ax dx x f)(|1|ln 23121202a I dx x a a 记⎰-++-=令03221)(=+-='a a I 得驻点43=a ，且032)43(>=''I ，故在43=a 处，积分取最小值。
第九节函数的延续与延续客不雅天下的很多景象跟事物不只是活动变更的，并且其活动变更的进程每每是绵延不时的，比方日月行空、光阴流逝、动物成长、物种变更等，这些绵延不时开展变更的事物在量的方面的反应确实是函数的延续性.本节将要引入的延续函数确实是描写变量延续变更的数学模子.16、17世纪微积分的酝酿跟发生，直截了当起始于对物体的延续活动的研讨.比方伽利略所研讨的自在落体活动等基本上延续变更的量.但直到19世纪往常，数学家们对延续变量的研讨仍停顿在多少何直不雅的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为延续函数.19世纪中叶，在柯西等数学家树破起严厉的极限实际之后，才对延续函数作出了严厉的数学表述.延续函数不只是微积分的研讨工具，并且微积分中的要紧不雅点、定理、公式法那么等，每每都请求函数存在延续性.本节跟下一节将以极限为根底，引见延续函数的不雅点、延续函数的运算及延续函数的一些性子.散布图示★函数的延续性★例1 ★例2★阁下延续★例3 ★例4★例5★延续函数与延续区间★例6★函数的延续点★例7 ★例8★例9★例10 ★例11 ★例12★例13 ★例14 ★例15★内容小结★讲堂训练★习题1-9 ★前往内容要点一、函数的延续性：函数的增量延续性的三种界说方式二、阁下延续的不雅点定理1函数在处延续的充要前提是函数在处既左延续又右延续.三、延续函数与延续区间四、函数的延续点及其分类：第一类延续点腾跃延续点可去延续点；第二类延续点无量延续点振荡延续点；例题选讲函数的延续性例1(E01)试证函数在处延续.证又由界说2知，函数在处延续.例2(E02)设是界说于[a,b]上的枯燥添加函数,假如存在,试证实函数在点处延续.证设因为枯燥添加，那么事先，事先，由此可见，即因而在延续.例3探讨函数在跟处的延续性.解如下图〔图示见零碎〕，因为，因而然而故在处不延续.在处：因为，因而不存在，在处不延续.阁下延续例4(E03)已经知道函数在点处延续，求的值.解因为点处延续，那么即例5设为使在处延续，与应怎样取值？解因为为使在处延续，只需而要使存在，须即得代入即事先，在延续.延续函数与延续区间例6(E04)证实函数在区间内延续.证事先，即函数对恣意基本上延续的.函数延续点例7(E05)探讨在处的延续性.〔图示见零碎〕解因为右延续但不左延续，故函数在点处不延续.例8探讨函数在处的延续性.〔多少何演示见零碎〕解为函数的腾跃延续点.例9(E06)探讨函数在处的延续性.〔多少何演示见零碎〕解为函数的可去延续点.例10(1)(E07)探讨函数在处的延续性.解为函数的第二类延续点(无量延续点).例10(2)(E08)探讨函数在处的延续性.解在处不界说，且不存在.为第二类延续点.例11取何值时，在处延续.解要使必需故当且仅事先，函数在处延续.注：一个函数的延续点也能够有无量多个.比方，狄利克雷函数在界说域内每一点处都延续，且基本上第二类延续点.例12(E09)设求的延续点，并判不出它们的范例.解的界说域为且在中基本上初等函数，因而的延续点只能够在处.因为因而是的第二类延续点(无量延续点)；因为且在处无界说，因而是的可去延续点；又因而是的延续点.例13求以下函数的延续点，并推断其范例.假设为可去延续点，试弥补或修正界说后使其为延续点.解因为在处无界说，因而是的延续点.又因因而为的第一类弗成去延续点(腾跃延续点).在处有界说，然而，因而为的无量延续点.在处有界说，并且然而故为的可去延续点，假设令那么在处延续.例14(E10)研讨在处的延续性.解当且仅事先，在处延续.因为而因而，当且即时，在处延续，当或时，在处延续.例15探讨的延续性.解右真个极限与的取值范畴有关，时，时，故时，时，时，因而，不好看出，在全部界说域上延续.讲堂训练1.假设在处延续，在处能否延续？又假设在处延续，在处能否延续？2.试断定的值，使(1)有无量延续点(2)有可去延续点。
