求解非线性方程组的改进粒子群算法

明显 提 高 ， 且实用性和通用性都 很强． 关键 词 ： 粒子群算法 ； 非线性方程组 ； 蒙 特 卡 罗 算 法
中 圈分 类 号 ： Ｏ２ ４ １ ． ７ 文 献标 识 码 ： Ａ
Ｏ 引 言
非线 性方 程组 求解 是 一个具 有 重要 实践 意义
为 函数 优化 问题 ， 在 Ｐ Ｓ Ｏ 算法 的基 础 上融 合 蒙 特
其 当前 搜 索 到 的最 好 位 置 记 为 ｐ ｂ ｅ ｓ ｔ ， 所 有 为 ｇ ｂ ｅ ｓ ｔ ． 对 第 ｋ＋ １次
迭代 ， 第ｉ 个 粒子 的第 维状态 （ １ ≤ ≤ ） 根 据式
（ １～ ４ ） 更 新．
一 删 ＋
服 经典 算法 的 缺点 ， 文献 ［ ２ ］ 利用 遗传 算法 的全局 搜 索 能力 ， 结合 经 典 算 法 的 快 速局 部 搜 索 设 计 了 求 解非 线性 方 程组 的混 合 遗 传 算 法 ， 使 得 算 法 具 有 较 高 的收敛 速 度 和求 解 精 度 ， 但 依 然 对 方 程 组
程 度 上依赖 于 初 始 点 的选 择 ， 对 于某 些 非 线 性 方 程 组容 易 导致 求解 失败 ， 有效 性 较低 ， 同时对 于性
态 较差 的非 线 性 方 程 组 收 敛 效果 很 差 ［ １ ］ ． 为 了克
ｔ ｉ ｏ ｎ Ａｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ） ． 实 验证 明 了该 算 法 的有 效 性 ， 求
第２ ７卷 第 ３ 期
２ ０ １ ３年 ５月
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｓ ｕ Ｌ ｉ ａ ｎ ｈ ｅ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
卡 罗算 法设 计 了一种 求解 非线 性方 程组 数值 解 的
通 用算 法 ＭＰ Ｓ Ｏ（ Ｍｄ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ Ｐ ｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ Ｓ ａ ｒ ｍ Ｏｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ —
的 问题 ， 许 多 工程 实 践 问题 最 后 都 归 结 为 求取 非 线 性 方程 组 的解． 长期 以来 ， 人们 在 理论 和数 值计 算 方 面对 非线 性 方 程组 作 了 大量 的研 究 ， 但 是 非 线 性 方程求 解 仍 然 是 困扰 人 们 的一 个 难 题 ． 求 解 非 线性 方程 组 方法 有经 典算 法 以及 近年 来流 行 的 遗 传 算法 ． 牛 顿法 及 其 改 进 形 式 （ 修正牛顿法 ， 拟 牛顿 法等 ） 是 目前 应 用 最 广 泛 的 非 线性 方程 组 求 解 的 经典算 法 ， 该类 算 法具 有较 快 、 与迭代 初 值有 关 的 局部 收敛 性 ， 但 是 此 类 算 法 的 收敛 性 在 很 大
解 的精 度高 ， 而且 无需 方程 组 的各种 信 息．
１ 基 础 知 识
１ ． １ 标 准粒 子群 算法 设 在 Ｄ 维 的搜索 空 间 中 ， 种群规 模 Ｎ， 第ｉ 个 粒 子 的 当前 位 置 和 速 度 分 别记 为 黾 一 （
…
，
，
） 且 ≤ Ｘ ≤ ｂ 和Ｉ ， ｉ 一（ ｎ ， ｆ ２ ， …， ＂ Ｕ ／ Ｄ ） ，
【
＜ Ｘ ￣ ／ １
ａ ｊ
ｆ ｚ ＞ ｂ ｊ ． ｚ 一６ Ｊ ， ｉ ＞ ．
其中ｉ 一１ ， ２ ， …， Ｎ， ＝ ＝ ＝ １ ， ２ ， …， Ｄ． 参数说明： 称为 惯性 权重 ， 它决 定 了粒 子 历
数要 求较 少 （ 例 如无 需 梯 度 信 息 ） 等特点 ， 因此 近
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Ｍ ａｙ ２ ０１ ３
文 章 编 号 ：１ ６ ７ ２ — ６ ９ １ Ｘ（ ２ ０１ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ０ １ — ０ ５
求 解 非 线性 方程 组 的 改进 粒 子 群 算 法
任 燕， 王 洪 涛
（ 河南理工大 学 数学与信息科学学 院， 河南 焦作 ４ ５ ４ ０ ０ Ｏ ）
和 编码 方法 有 很高 要求 ． 粒子群优 化 Ｐ Ｓ Ｏ 算 法， 是 由 Ｋｅ ｎ ｎ ｅ ｄ ｙ和
ｃ １ Ｒ１ （ ｐ ｂ ｅ ｓ ｔ 一 硝 ） ＋Ｃ ２ Ｒ ２ （ ｇ ｂ ｅ ｓ ｔ 一ｚ ） ，
（ １ ）
． ｚ 一硝 ＋
，
… ， ＜ 一 … ，
（ ２ ）
ｌ
： 一 一 Ｖ ｍ ａ ｘ ９ ， 讦 ｉ ｆ ＜ ＞ 一 Ｖ ｍ ａ ｘ
一 一 ，
ｃ ３ ㈤
Ｅ ｂ ｅ ｒ ｈ ａ ｒ ｔ 基 于 一 种 社 会 心 理 学 模 型 中 的社 会 影 响 和社 会学 习 而提 出的 ． 由于该算 法通 用 性强 、 原 理 简单 、 收敛 速 度 快 、 参 数 设 置少 ， 并 且 对 目标 函
年来 受 到学 术界 的广 泛 重 视 ， 已成 为 一 种 重 要 的
史 速度 信 息 对 当前 速 度 信 息 的影 响． Ｃ ， Ｃ 。称 为
学 习 因子 ， 表示 粒 子 受 个 体认 知 和社 会 认 知 的影
优化 工具 ． 本 文将 求 解 非 线 性 方 程 组 的 问题 转 化
摘 要 ： 针 对 传 统 非 线 性 方 程组 求 解 方 法 易 导 致 求 解 失 败 和 精 确 度 、 有 效 性 偏 低 的 问题 ， 提 出 了 一 种 改 进 粒 子
群优化算法 ． 该算法在进化初期 采用线性 递减权 重粒 子群进 行粗 略搜索 ， 后 期 利 用 蒙 特 卡 罗 算 法 进 行 随 机 搜 索， 提高了求解精度 ， 对 ５个 典 型 算 例 的测 试 结 果 表 明 ， ＭＰ Ｓ Ｏ在 求解 精 度 、 稳 定 性 和 全 局 搜 索 能 力 等 方 面 都 有