16级高等数学1(2)期中试卷
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数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1。
正方形绕某一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是( ) A .圆柱 B .圆锥 C .圆台 D .两个圆锥 2.若直线1x =-的倾斜角为α,则α=( )A .0︒B .45︒C .90︒D .不存在 3.平面α与平面β平行的条件可以是( ) A .α内有无数条直线都与β平行 B .直线a α⊂,直线b β⊂,且//,//a b βα C .α内的任何直线都与β平行D .直线//,//a a αβ,且直线a 不在α内,也不在β内4。
设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )①若,m ααβ⊥⊥,则//m β; ②若,//,m n ααββ⊥⊂,则m n ⊥; ③若,,//m n m n αβ⊂⊂,则//αβ; ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥,则m α⊥. A .①② B .③④ C. ①③ D .②④5.三角形ABC 的斜二侧直观图如图所示,则三角形ABC 的面积为( )A .1B .2 C.22D .26.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .16B .26 C. 32 D .252034+7.已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切,且与直线1ax y -+垂直,则a =( )A .12- B .1 C 。
2 D .128.设P 是圆()()22314x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上的动点,则PQ 的最小值为( )A .6B .4 C. 3 D .29.一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点1C 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )A .①②B .①③C 。
2262016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(Ⅰ)参考答案第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题 (60分) 1—12 DBCBA ADCCB AB 第Ⅱ卷(非选择题 90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.2- 14.10 15.64 16.216000三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分为12分) 解:(I )由已知及正弦定理得, ()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =, 即()2cosCsin sinC A+B =.∴2sinCcosC sinC =.可得1cosC 2=,所以C 3π=. (II)由已知,1sin C 2ab =.又C 3π=,所以6ab =.由已知及余弦定理得, 222cosC 7a b ab +-=.∴2213a b +=,从而()225a b +=.∴C ∆AB的周长为5.18.(本小题满分为12分) 解:(I )由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E . 又F A ⊂平面F ABE ,∴平面F ABE ⊥平面FDC E .(II )过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由(I )知DG ⊥平面F ABE .以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -. 由(I )知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则DF 2=,DG =可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D .由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E . 又平面CD AB 平面FDC DC E =, ∴//CD AB ,CD//F E . 由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,∴C F ∠E 为二面角C F -BE-的平面角,C F60∠E =.从而可得(C -.∴(C E =,()0,4,0EB =,(C 3,A =--,()4,0,0AB =-.设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩,即040x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩, ∴可取(3,0,n =. 设m 是平面CD AB 的法向量,则C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩, 同理可取()0,3,4m =.则219cos ,19n m n m n m ⋅==-∴二面角C E -B -A 的余弦值为19-. 19.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ;22716.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ;24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ; 24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ; 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ; 08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ; 04.02.02.0)22(=⨯==X P . 所以X 的分布列为(Ⅱ)由(Ⅰ)知44.0)18(=≤X P ,68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19. (Ⅲ)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当19=n 时,192000.68(19200500)0.2EY =⨯⨯+⨯+⨯(192002500)0.08+⨯+⨯⨯+(192003500)0.044040⨯+⨯⨯=; 当20=n 时,202000.88(202002500)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯⨯(202002500)0.044080+⨯+⨯⨯=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n .20.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)因为||||AC AD =,AC EB //,∴ADC ACD EBD ∠=∠=∠, ∴||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:13422=+y x (0≠y ). (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x . ∴34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m :)1(1--=x ky ,A 到m 的距离为122+k , ∴1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .∴四边形MPNQ 的面积341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12.综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)()(1)2(1)x f x x e a x '=-+-(1)(2)x x e a =-+.(i )设0a =,则()(2)xf x x e =-,()f x 只有一个零点. (ii )设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <;当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >.∴()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->,228∴()f x 存在两个零点.(iii )设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-.若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,∴当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增. 又当1x ≤时,()0f x <, ∴()f x 不存在两个零点.若2ea <-,则ln(2)1a ->,∴当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <; 当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >. ∴()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增. 又当1x ≤时,()0f x <, ∴()f x 不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,)+∞. (Ⅱ)不妨设12x x <,由(Ⅰ)知 12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1)-∞上单调递减,∴122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<. 由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,∴222222(2)(2)x x f x x e x e --=---.设2()(2)xx g x xex e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--.∴当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =, ∴当1x >时,()0g x <. 从而22()(2)0g x f x =-<,∴122x x +<.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 解:(Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE , ∵,120OA OB AOB =∠=︒, ∴OE AB ⊥,60AOE ∠=︒. 在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径, ∴直线AB 与⊙O 相切.(Ⅱ)∵2OA OD =,∴O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO .由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上, ∴'OO AB ⊥.同理可证,'OO CD ⊥. ∴//AB CD . 23.(本小题满分10分)解:(I )由cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩ (t 均为参数)消去参数t 得1C 的普通方程为 ()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01,为圆心,a 为半径的圆. 方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程(II )24cos C ρθ=:,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=,224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C :化为普通方程为2y x =.229由题意:1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C .①—②得:24210x y a -+-=,即为3C ,∴210a -=∴1a =或1a =-(舍去).24.(本小题满分10分)解:(I )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩,≤,,≥()y f x =如图所示:(II )由⑴及()1f x >得当1x -≤时,由41x ->,解得5x >或3x <, 1x -∴≤;当312x -<<时,由321x ->,解得1x >或13x <,113x -<<∴或312x <<.当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <,332x <∴≤或5x >. 综上,13x <或13x <<或5x >, ()1f x >∴的解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,,,.2302016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(Ⅱ)参考答案 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题 (60分)1—12 ACDAB CBCDC AB第Ⅱ卷(非选择题 90分)二、填空题13.211314.②③④ 15.1和3 16.1ln2-三.解答题17.(本题满分12分) 解:(I )设{}n a 的公差为d ,72874S a ==,∴44a =,∴4113a ad -==,∴1(1)n a a n d n =+-=. ∴[][]11lg lg10b a ===, [][]1111lg lg111b a ===, [][]101101101lg lg 2b a ===.(II )记{}n b 的前n 项和为n T ,则 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+.当0lg 1n a <≤时,129n =⋅⋅⋅,,,;当1lg 2n a <≤时,101199n =⋅⋅⋅,,,; 当2lg 3n a <≤时, 100101999n =⋅⋅⋅,,,; 当lg 3n a =时,1000n =.∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18.(本题满分12分) 解:(I )设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ,()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=. (II )设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ,()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===.(Ⅲ)设本年度所交保费为随机变量X .平均保费0.850.300.15 1.250.20EX a a =⨯++⨯1.50.20 1.750.1020.05a a a +⨯+⨯+⨯0.2550.150.250.3a a a a =+++0.1750.1 1.23a a a ++=,∴平均保费与基本保费比值为1.23. 19.(本小题满分12分)解:(I )证明:∵54AE CF ==,∴AE CF AD CD =,∴EF AC ∥.∵四边形ABCD 为菱形, ∴AC BD ⊥,∴EF BD ⊥, ∴EF DH ⊥,∴EF D H '⊥. ∵6AC =,∴3AO =; 又5AB =,AO OB ⊥,∴4OB =,∴1AEOH OD AO=⋅=, ∴3DH D H '==,∴222'OD OH D H '=+,∴'D H OH ⊥.又∵OH EF H =I ,∴'D H ⊥面ABCD . (II )建立如图坐标系H xyz -. ()500B ,,,()130C ,,,()'003D ,,,()130A -,,, ()430AB =uu u r ,,,()'133AD =-uuur,,,()060AC =uuu r,,,设面'ABD 法向量()1n x y z =,,u r,由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩,取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴()1345n =-u r ,,. 同理可得面'AD C 的法向量 ()2301n =u u r,,,∴1212cosn nn nθ⋅==u r u u ru r u u r,∴sinθ.20.(本小题满分12分)解:(I)当4t=时,椭圆E的方程为22143x y+=,A点坐标为()20-,.由已知条件及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为4π,直线AM的方程为2y x=+.将2x y=-代入22143x y+=,并整理得27120y y-=,解得0y=或127y=,∴1127y=.∴AMN△的面积为11212144227749AMNS∆=⨯⨯⨯=.(II)由已知条件知,3,0,(t k A>>,直线AM的方程为(y k x=.联立(2213x yty k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理,得()222223230tk x x t k t+++-=,解得x=x=∴AM=+=由已知条件知,直线AN的方程为(1y xk=-,∴同理可得AN=.由2AM AN=得22233ktk k t=++,即23632k ktk-=-.∵椭圆E的焦点在x轴,所以3t>,即236332k kk->-,整理得()()23122k kk+-<-2k<.21.(本小题满分12分)解:(I)()f x的定义域为()()22,-∞--+∞,.()()()22224ee222xxx xf xx x x⎛⎫-' ⎪=+=⎪+++⎝⎭.∵当x∈()()22,-∞--+∞,时,()0f x'>,∴()f x在()()22,-∞--+∞,和上单调递增,∴0x>时,()2e0=12xxfx->-+,∴()2e20xx x-++>.(II)()()()24e2ex xa x x ax ag xx----'=()4e2e2x xx x ax ax-++=()322e2xxx axx-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=,[)01a∈,.由(I)知,当0x>时,()2e2xxf xx-=⋅+的值域为()1-+∞,,只有唯一解使得2e2ttat-⋅=-+,(]02t∈,.当(0,)x t∈时()0g x'<,()g x单调减;当(,)x t∈+∞时()0g x'>,()g x单调增.()()()222e1ee1e22t tt ttta t th at t t-++⋅-++===+.记()e2tk tt=+.231232在(]0,2t ∈时,()()()2e 102t t k t t +'=>+,∴()k t 单调递增,∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦,.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22.(本小题满分10分) 解:(I )∵DF EC ⊥, ∴,DEF CDF ∆~∆∴GDF DEF FCB ∠=∠=∠,DF DE DGCF CD CB ==, ∴,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠由此0180,CGF CBF ∠+∠= ∴,,,B C G F 四点共圆.(II )由,,,B C G F 四点共圆,CG CB ⊥知FG FB ⊥.连结GB .由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点,知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ ∴四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍,即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=23.(本小题满分10分)解:(I )由c o s ,s i nx y ρθρθ==可得C的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= (II )在(I )中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-= 12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==,所以l 的斜率为3或3-.24.(本小题满分10分)解:(I )12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时,由()2f x <得22,x -<解得1x >-,∴112x -<≤-;当1122x -<<时,()2f x <恒成立;当12x ≥时,由()2f x <得22,x <解得1x <, ∴112x ≤<.综上可得,()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.(II )由(I )知,当,a b M ∈时, 11,11a b -<<-<<,∴222222()(1)1a b ab a b a b +-+=+-- 22(1)(1)0a b =--<, ∴|||1|.a b ab +<+2332016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(Ⅲ)参考答案 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(60分)1—12 DCADA ABCBB A C第Ⅱ卷(非选择题 90分)二、填空题:本大题共3小题,每小题5分 13.32 14.32π 15.21y x =-- 16.4 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由题意得1111a S a λ==+,∴1≠λ,λ-=111a ,01≠a .由n n a S λ+=1,111+++=n n a S λ得 n n n a a a λλ-=++11,即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ,0≠λ得0≠n a , ∴11n n a a λλ+=-. ∴}{n a 是首项为λ-11,公比为1-λλ的等比数列, ∴1)1(11---=n n a λλλ. (Ⅱ)由(Ⅰ)得n n S )1(1--=λλ, 由32315=S 得3231)1(15=--λλ,即=-5)1(λλ321,解得1λ=-.18.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得4=t ,28)(712=-∑=i i t t ,55.0)(712=-∑=i iy y,=40.1749.32 2.89=-⨯=,99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r .因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(Ⅱ)由331.1732.9≈=y 及(Ⅰ)得103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb, 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a. ∴y 关于t 的回归方程为: t y10.092.0ˆ+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得:82.1910.092.0ˆ=⨯+=y. ∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由已知得232==AD AM . 取BP 的中点T ,连接TN AT ,. 由N 为PC 中点知BC TN //,221==BC TN .又BC AD //,∴TN AM ,四边形AMNT 为平行四边形,∴AT MN //.∵⊂AT 平面PAB ,⊄MN 平面PAB ,∴//MN 平面PAB .(Ⅱ)取BC 的中点E ,连结AE . 由AC AB =得BC AE ⊥,从而 AD AE ⊥,且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE .234以A 为坐标原点,AE 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -,由题意知,)4,0,0(P ,)0,2,0(M ,)0,2,5(C ,)2,1,25(N , (0,2,4)PM =-,)2,1,25(-=PN ,)2,1,25(=AN .设(,,)n x y z =为平面PMN 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x , 可取(0,2,1)n =,∴2558|||||,cos |==><AN n AN n . 20.解:由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且221(,0),(,),(,),222a b A B b P a - 11(,),(,)222a b Q b R +--.记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. ∴FQ AR ∥.(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ,则1111222ABF S b a FD b a x ∆=-=--,2PQF a bS ∆-=.由题设可得221211ba x ab -=--,∴01=x (舍去),11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2,所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.∴所求轨迹方程为12-=x y . 21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---. (Ⅱ)当1a ≥时,'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f = ∴32A a =-.当01a <<时,将()f x 变形为2()2c o s (1)c o s 1f x a x a x =+--. 令2()2(1)1g t at a t =+--,则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值, (1)g a -=,(1)32g a =-,且当14a t a -=时,()g t 取得极小值,极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a --++=--=-. 令1114a a--<<,解得13a <-(舍去),15a >.235(ⅰ)当105a <≤时,()g t 在(1,1)-内无极值点,|(1)|g a -=,|(1)|23g a =-,|(1)||(1)|g g -<,所以23A a =-.(ⅱ)当115a <<时,由(1)(1)2(1)0g g a --=->,知1(1)(1)()4ag g g a-->>.又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a --+--=>,∴2161|()|48a a a A g a a-++==. 综上,2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩. (Ⅲ)由(Ⅰ)得'|()||2sin 2(1)sin |f x a x a x =--- 2|1|a a ≤+-.当105a <≤时,'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当115a <<时,131884a A a =++≥, ∴'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时,'|()|31642f x a a A ≤-≤-=,∴'|()|2f x A ≤.22.(本小题满分10分) 解:(Ⅰ)连结BC PB ,,则,BFD PBA BPD ∠=∠+∠ PCD PCB BCD ∠=∠+∠.∵AP BP =,∴PCB PBA ∠=∠, 又BCD BPD ∠=∠, ∴PCD BFD ∠=∠.又180PFD BFD ∠+∠=, 2PFB PCD ∠=∠,∴1803=∠PCD , ∴ 60=∠PCD .(Ⅱ)∵BFD PCD ∠=∠, ∴ 180=∠+∠EFD PCD ,由此知E F D C ,,,四点共圆,其圆心既在CE 的垂直平分线上,又在DF 的垂直平分线上,∴G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心, ∴G 在CD 的垂直平分线上, ∴CD OG ⊥.23.(本小题满分10分)解:(I )1C 的普通方程为2213x y +=, 2C 的直角坐标方程为40x y +-=.(Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为,sin )αα,因为2C 是直线,所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值,()d α=sin()2|3πα=+-.当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时,()d α,此时P 的直角坐标为31(,)22.24.(本小题满分10分) 解:(Ⅰ)当2a =时,()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤,得13x -≤≤. ∴()6f x ≤的解集为236 {|13}x x -≤≤.(Ⅱ)当x R ∈时,()()|2||12|f x g x x a a x +=-++- |212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+, 当12x =时等号成立, ∴当x R ∈时,()()3f xg x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时,①等价于13a a -+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥.∴a 的取值范围是[2,)+∞.。
高等数学考试试卷一、选择题(每题3分,共30分)1. 函数f(x)=x^2-1在x=2处的导数是:A. 2B. 4C. 3D. 52. 函数y=sin(x)的周期是:A. πB. 2πC. π/2D. 4π3. 若f(x)=2x+3,g(x)=x^2-1,求f(g(x))的导数:A. 2xB. 4x-1C. 2x^2D. 2x+14. 以下哪个级数是收敛的?A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 1 + 1 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 2 + 4 + 8 + ...5. 微分方程dy/dx + 2y = 6x的通解是:A. y = 3x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x^2 + CD. y = 6x^2 + C6. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. 3D. 47. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是:A. x=1B. x=2C. x=3D. x=48. 以下哪个是二阶偏导数连续的充分条件?A. 函数f(x,y)在点(x0, y0)处可微B. 函数f(x,y)在点(x0, y0)处连续C. 函数f(x,y)在点(x0, y0)处一阶偏导数存在D. 函数f(x,y)在点(x0, y0)处二阶偏导数存在9. 以下哪个积分是发散的?A. ∫(0,1) 1/x dxB. ∫(0,1) x dxC. ∫(0,1) e^x dxD. ∫(0,1) sin(x) dx10. 以下哪个是泰勒级数展开的公式?A. f(x) = Σ[a_n * (x - x0)^n]B. f(x) = Σ[a_n * x^n]C. f(x) = Σ[a_n * (x - 1)^n]D. f(x) = Σ[a_n * (1 - x)^n]二、填空题(每题2分,共20分)11. 若f(x)=x^2+1,则f'(x)=________。
高等数学期中考试试卷及答案XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷一、判断题(每题2分,共10分)1、若数列{x_n}收敛,数列{y_n}发散,则数列{x_n+y_n}发散。
(×)2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。
(×)3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.(√)4、limx→∞ sinx/x = 0.(√)5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内连续,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有零点。
(√)二、填空题(每题2分,共10分)1、已知f'(3)=2,则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.(答案为2)2、y=π+xn+arctan(x),则y'|x=1 = n+1.(答案为n+1)3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。
(答案为(1.e^1))4、函数y=ln[arctan(1-x)],则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。
(答案为-1/(x^2-2x+2))5、当x→0时,1-cosx是x的阶一无穷小。
(答案为x^2/2)三、单项选择题(每题2分,共10分)1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。
2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。
3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1),则limx→1 f(x)≠f(1)。
(以上等式都不成立)4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。
5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。
四、计算下列极限(每题6分,共18分)1、lim(x+1-x^-1) = 2.2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0.3、lim(x→0) ln(1+x^2)/x = 0.五、计算下列各题(每题6分,共18分)1、y=e^(sin^2x)。
《高等数学(Ⅰ)》试卷学院:______ 班级:_____学号:________姓名:________任课教师:_____一、选择题(每题2分,共16分)1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( ) (A )xx 21l i m ∞→(B ) 1310lim -→x x (C ) e x 1l i m ∞→ (D ) xx 3lim ∞→2、0)(lim =→x f ax ,∞=→)(lim x g ax ,则下列不正确的是…………………………( )(A ) ∞=+→)]()([lim x g x f ax (B ) ∞=→)]()([lim x g x f ax(C ) 0][lim )()(1=+→x g x f ax (D ) 0)](/)(lim[=→x g x f ax3、,0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax 则下列正确的是…………………………( )(A ) f (x )>0, (B ) g(x )<0, (C ) f (x )>g (x ) (D )存在a 的一个空心邻域,使f (x )g (x )<0。
4、已知, ,2lim)(0=→xx f x 则=→)2x (sin3x 0limf x ………………………………………………( )(A ) 2/3, (B ) 3/2 (C ) 3/4 (D ) 不能确定。
5、若函数在[1,2]上连续,则下列关于函数在此区间上的叙述,不正确的是……( ) (A ) 有最大值 (B ) 有界 (C ) 有零点 (D )有最小值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述,正确的一个是………………………………………( ) (A )有界,且是当x 趋于无穷时的无穷大,(B )有界,但不是当x 趋于无穷时的无穷大, (C ) 无界,且是当x 趋于无穷时的无穷大,(D )无界,但不是当x 趋于无穷时的无穷大。
2016年普通高等学校全国统一考试理科数学(全国卷I )注意事项:1.本试卷分第I 卷(阅读题)和第II 卷(表达题)两部分。
2.考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
3.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求)1.1.设集合A x x x =-+<2{|430},{|230}B x x =->,则A B ⋂=( )A B C D 3333.---.1.32222(3,) .(3,) (,) (,)2.设(1i )x1yi +=+,其中x ,y 是实数,则|x +yi |=( ).12.3.2A B C D .3.已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a ( ).10099.98.97A B C D .4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )1123 (3234)A B C D . 5.已知方程22221-x y m n m n-=+表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 ( ).(1,3)(1,3).(0,3).(0,3)A B C D -- .6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是( ).1718.20.28A B C D ππππ.7.函数2||2x y x e=-在[–2,2]的图像大致为( ).A.B.C.D8.若1,01a b c >><<,则( )...log log .log log c c c c b a a b A a b B ab ba C a c b c D c c <<<<9.执行右面的程序图,如果输入的0,1,1x y n ===,则输出x ,y 的值满足( )A.B.C.D.10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB|=,|DE|=,则C 的焦点到准线的距离为( ).24.6.8A B C D .11.平面a 过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ,a//平面CB 1D 1,平面ABCD=m ,平面ABA1B1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为( )3241...2233A B C D . 12.已知函数()sin()(0,||),24f x x x ππωϕωϕ=+>≤=为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在5,1836ππ()单调,则ω的最大值为(.119.7.5A B C D .第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.设向量a=(m ,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________________.14.52x x +()的展开式中,x 3的系数是_____________.(用数字填写答案)15.设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为________。
诸城一中2016级高一数学试卷(试卷满分为150分,考试时间为120分钟) 试卷分为两卷,卷(I )80分,卷(II )70分卷(I )一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分 1.集合{1,2,3}的非空真子集的个数为( )A .5B .6C .7D .82.已知集合A 到B 的映射f :21x y x →=+,那么集合A 中元素2在B 中的象是( ) (A) 2 (B) 5 (C) 6 (D) 83.函数()x x x f ln =的大致图象是 ( )4.与函数y x =相同的函数是( ).(A)y =2x y x= (C)2y = (D)log (01)x a y a a a =>≠且5.函数()26ln f x x x =-+的零点一定位于下列哪个区间( ).(A)(1,2) (B)(2,3) (C)()3,4 (D)()4,5 6.下列函数中的值域是(0,)+∞的是( ) A .2()log f x x = B .2()1f x x =- C .1()12f x x =+D .()2x f x = 7.下列函数中,在区间()0,2上为增函数的是( )A .1y x =-+B .y =C .245y x x =-+D .2y x=8.函数38()2()log x f x g x x ==与的图象关于( ) A .y 轴对称B . 直线x y -=对称C . 坐标原点对称D . 直线x y =对称9.42ln 2366312log 2log 9log 89e +---=( )A .12B .12-C .16-D .4- 10.函数111y x -=+-的图象是下列图象中的( )A .B .C .D .11.设2()f x x bx c =++且(0)(2)f f =,则( )A .3(2)()2f c f -<<B .3()(2)2f c f <<-C .3()(2)2f f c <-<D .3()(2)2c f f <<-12.已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若实数0x 是函数()f x 的零点,且100x x <<,则()1f x 的值( )A. 恒为正值B. 等于0C.恒为负值D.不大于0 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.设函数[](lg )0.1,100()2xf x f 的定义域是,则函数的定义域为____________。