北京工业大学实验学院高等数学(工)-1综合测试题一

北京 2023年历年真题考试：高等数学（一）历年真题汇编（共62题）1、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x^1/3D. y=2^x试题答案：C2、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D3、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D4、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B5、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C6、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D7、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x^1/3D. y=2^x试题答案：C8、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x</span><sup>2D. 2x²<br />试题答案：C9、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (e^x-e^-x)/2D. |x|试题答案：C10、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D11、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B12、微分方程2ydy-dx=0的通解为：（单选题）A.B.C. y²=-x+CD. y²=x+C试题答案：D13、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A14、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D15、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B16、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D17、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B18、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是: （单选题）A.B.C.D.试题答案：A19、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y²) (dx+2ydy)B. 1/(x+y²) (2dx+dy)C. 1/(x+y²) (2xdx+dy)D. 1/(x+y²) (dx+2dy)试题答案：A20、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D21、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A22、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x²sinx+C<br />B. 2xcosx-x²sinx<br />C. x²cosx+C<br />D. x²cosx<br />试题答案：C23、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D24、已知x=0是函数y=asinx＋1/3sin3x的驻点，则常数a=（单选题）A. -2B. -1C. 0D. 1试题答案：B25、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A26、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B27、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D28、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C29、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x^2/3+CB. 3/2x^2/3+CC. 2/3x^3/2+CD. 3/2x^3/2+C试题答案：C30、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A31、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A32、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B33、设函数y=x2+e2x,则二阶导数y"=2+2e2x（单选题）A. 2+2e²^xB. 2+4e²^xC. 2x+2e²^xD. 2x+4e²^x试题答案：B34、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A35、下列无穷限反常积分收敛的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A36、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C37、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C38、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B39、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e^-1)<br />C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D40、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D41、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D42、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x^2/3+CB. 3/2x^2/3+CC. 2/3x^3/2+CD. 3/2x^3/2+C试题答案：C43、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A44、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C45、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D46、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C47、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D48、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C49、函数y=(x-2)/(x2-3x+2)的间断点是:（单选题）A. x=1,x=-2B. x=-1,x=2C. x=-1,x=-2D. x=1,x=2试题答案：D50、极限=（单选题）A. 0B. 1C. eD. +∞试题答案：B51、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C52、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e^-1)<br />C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D53、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y²) (dx+2ydy)B. 1/(x+y²) (2dx+dy)C. 1/(x+y²) (2xdx+dy)D. 1/(x+y²) (dx+2dy)试题答案：A54、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (e^x-e^-x)/2D. |x|试题答案：C55、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A56、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A57、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A58、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D59、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x</span><sup>2D. 2x²<br />试题答案：C60、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B61、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x²sinx+C<br />B. 2xcosx-x²sinx<br />C. x²cosx+C<br />D. x²cosx<br />试题答案：C62、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A。

全国2007年4月高等教育自学考试高等数学（工专）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列各对函数中，互为反函数的是（ ） A ．y=sinx,y=cosx B ．y=e x ,y=e -x C ．y=tanx,y=cotxD ．y=2x,y=2x2．当x →+∞时，下列变量中为无穷大量的是（ ） A ．x1 B ．ln(1+x) C ．sinx D ．e -x3．级数++++43225252525（ ）A ．收敛B ．的敛散性不能确定C ．发散D ．的和为+∞4．设f(x)可微，则d(e f(x))=（ ） A ．f’(x)dx B ．e f(x)dx C ．f’(x)e f(x) dx D ．f’(x)de f(x)5．矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a 为非奇异矩阵的充要条件是（ ）A ．ad-bc=0B ．ad-bc ≠0C ．ab-cd=0D ．ab-cd ≠0二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为________. 7．设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-0x ,x 0x ,1x 2，则极限)x (f limx →________.8．设y=x(x+1)(x+2),则0x dxdy ==________.9．不定积分⎰=dx x1cosx12________.10．dxd ⎰x20)dt 2t sin(=________.11．设由参数方程x=dxdy ),x (y y t 1y ,2t2则确定的函数为=-==________.12.曲线y=1+2)3x (x 36+的铅直渐近线为________.13．无穷限反常积分⎰+∞-0x5dxe=________.14．矩阵310010011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=________.15．行列式631321111=________.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 16．求极限5x 4x 1lim 5x ---→.17.设y='y ,)3x (x 1x 3求--.18.求由方程y=1+xe y 所确定的隐函数y=y(x)的导数dxdy .19.确定函数f(x)=e x -x-1的单调区间. 20.求不定积分⎰-dx)x cot x (csc x csc.21.求微分方程(1+y)dx-(1-x)dy=0的通解. 22.计算定积分⎰--+1122dx)x1x (.23.λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++λ=+λ+=λ++1x x x 1x x x 1x x x 321321321有唯一解？四、综合题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）24．从一块边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个大小相等的方块，做成一个无盖的盒子，问截去的方块边长为多少时，所做成的盒子容积最大？25．求由曲线y=x3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.全国2007年7月高等教育自学考试高等数学（工专）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1．函数1)ln(4)(2-+-=x xx f 的定义域是（ ）A ．（-∞，+∞）B ．（-2，2）C ．（1，+∞）D ．(]2,12．下列函数中是偶函数的为（ ） A ．1+=x y B ．xey 2=C ．3ln =yD ．x y sin =3．=+⋯+++∞→)41414141(lim 32nn （ ）A ．41B ．31C ．21D ．344．设⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,3tte y e x 则=dxdy （ ）A ．te232 B ．te232-C ．yx -D ．-xy5．线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23,122121x x x x λ无解，则（ ）A ．6-≠λB ．6-=λC ．6=λD ．8=λ二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

“高等数学(工)-1”练习1-解答一、 单项选择题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将正确结果的字母写在括号内。

1．数列极限[]n n n n -+∞→1lim 是 【 C 】． ()A ．1 ； ()B ．1-； ()C ．∞； ()D ．不存在但非∞2．若)1ln()(x x x f +=，2sin )(x x g =，则当0→x 时，)(x f 是)(x g 【 C 】（A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶，但不是等价无穷小3．)(x f 在点0x 可导，则=-+→xx f x x f x )()(lim 000 【 A 】 （A ）)('0x f （B ）)('0x f - （C ）)('20x f （D ）04．=⎰→3020sin lim x dt t x x 【 D 】（A ）1 （B ）1- （C ）13- （D ）135．函数xx x f 1)(-=在区间),1[∞上 【 A 】 （A ）单调增加 （B ）单调减少 （C ）非增非减 （D ）无极值二、填空题：（本大题共6小题，每题4分，共24分）6．函数 x e y = 在点)1,0(处的切线方程为 1+=x y7．设 =++→x x x sin 10)1(lim (e )，8．设 )1l n (3x y +=，则 3213x x dx dy += 9．⎰dx xx ln 1 （C x +ln ln ） 10． 广义积分 dx x ⎰∞+∞-+)1(12= （π） 11． 函数2332x x y -=在区间41≤≤-x 上的最大值为 （ 80）三、计算下列各题：（本大题共7小题，每题8分，共56分）12．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-=-<-=1arccos 1112x x a x bx x x f ，试确定a 、b 之值，使得函数()x f 在点1-=x 处连续． 解：()b f =-1，()()01lim lim 0120101=-==----→--→x x f f x x ， ()()()π+=+==+-+-→+-→a x a x f f x x a r c c o s lim lim 010101，所以，由()()101-=--f f ，得0=b ；由()()101-=+-f f ，得π-=a ． 因此，当π-=a ，0=b 时，函数()x f 在点1-=x 处连续。

北京工业大学 2009-2010 学年第一学期高等数学 （经） -1重考试卷一、 填空题 （每小题2分， 共20分）1、 无穷小与有界变量的乘积是2、 设函数f (x )可导， 则lim f (−x ) − f (−2) =x →2 2− x3、 函数f (x )在点x 0 处连续是在该点处可微的 条件4、 设y = ln sin x ， 则y ′ =5、 设y = f (ln x )且函数f (x )可导， 则dy =6、 ∫ cos(ax + b )dx = ___________________7、 ∫dx = ______________________ 8、 ∫ a −ϕ( x ϕ′(x )dx = _____________________9、 ∫ dx = ________________ 10、 lim x sin 1 = x →0 x 二、 计算下列极限 （每小题 2 分， 共 10 分） x →0 ln(1+ x ) x →∞ 2x + 1x →014、 lim =x →0xx →0 x sin x 三、 计算下列导数和微分 （每小题 3 分， 共 21 分）16、 （arcsin x + arccos x )′ = 17、 (x tan x − cot x )′ =18、 (x 3 ln x )′ = 19、 (ln (a 2 + x 2 ))′ = 20、 darcsin = 21、 设y = x sin x ， 求 dy=dx dx sin x − xe x − 1sin x 15、 lim 2 =12、 lim = 13、 lim = 2x + 2x11、 lim =22、 设xy = e x +y ， 求 dy dx 四、 计算下列积分 （每小题 4 分， 共 40 分） 23、 ∫（2 + 3x )2dx =25、 ∫ cos x sin 2 xdx = 27、 ∫dx = 29、 ∫dx = 31、 ∫cos 2x cos 3xdx =24、 ∫ dx = 26、 ∫ dx = 28、 ∫ dx = 30、 ∫ sin x ⋅ ln tan xdx = 32、 ∫ dx =五、 求函数f (x ) 的极值 （9 分） 33、 设f (x ) = 3x 4 − 8x 3 +6x 2 附表:sin α⋅ sin β= − 1 [cos(α+β) − cos(α− β)] cos α⋅ cos β= [cos(α+β)+cos(α− β)]∫sec xdx = lnsec x + tan x + c∫ csc xdx = lncsc x − cot x + c2 12。

北京工业大学实验学院高等数学（工）-2综合测试题一一、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）1、设2()z f x y =，其中()f t 具有二阶导数，则22z x∂∂＝ 。

2、曲线L ：22291x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在XOY 面上的投影的方程： 。

3、曲面22:6()z x y ∑=-+在点M 0(1,3,-4)处的切平面方程为: 。

4、微分方程2x y y e '''-=的特解应设为*y ＝ 。

5、幂级数212(2)1n n n x n ∞=-+∑收敛开区间为 。

二、单项选择题（共5个小题，每小题3分，共15分）6、若(,)z f x y =的全微分为d d d z x x y y =+，则点(0,0)（ ）。

A 、不是(,)f x y 的连续点B 、不是(,)f x y 的极值点C 、是(,)f x y 的极大值点D 、是(,)f x y 的极小值点7、级数∑∞=1n n u 与1n n v ∞=∑都发散，1()n n n u v ∞=+∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。

A 、1n n n v u∞=∑必发散 B 、1n n n v u ∞=∑必收敛 C 、1()n n n vu ∞=-∑必收敛 D 、1()n n n v u ∞=-∑必发散 8、下列级数中绝对收敛的是（ ）。

A、1n n ∞= B 、21(1)n n n ∞=-∑ C、1n n ∞=、1(1)ln(1n n ∞=-∑ 9、设{}22(,,)|1,01x y z x y z Ω=+≤≤≤，则2d x v Ω⎰⎰⎰＝（ ）。

A 、π B 、0 C 、14π D 、12π。

10、如果L 为圆周122=+y x ，则2d L x s ⎰＝（ ）。

A 、π2 B 、π C 、π31 D 、π32。

三、（本题7分）设222x y z e+=，求22x z ∂∂、22yz ∂∂、2z x y ∂∂∂。

北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．假定函数f (x,,y )在点),(00y x 处取得极大值，此时下列结论正确的是 【 】 （A ）0(,)f x y 在0x x =处导数等于零. （B ）0(,)f x y 在0x x =处导数大于零. （C ）0(,)f x y 在0x x =处导数小于零. （D ）0(,)f x y 在0x x =处导数未必存在.2． 222222ln()1z x y z dxdydz x y z Ω+++++⎰⎰⎰(其中Ω为2222x y z ++≤)的值等于 【 】 （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） -1 3．级数21(1)ln nn n∞=-∑ 的敛散情况是 【 】 （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不能确定4．将三重积分dv z y xI ⎰⎰⎰Ω++=)(222，其中1:222≤++Ωz y x ，化为球面坐标下的三次积分为 【 】 （A ）⎰⎰⎰120dr d d ππϕθ （B ） ⎰⎰⎰12020rdr d d ππϕθ（C ）⎰⎰⎰104020sin dr r d d ϕϕθππ（D ） ⎰⎰⎰12020sin dr r d d ϕϕθππθϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素5．定义在[,]ππ-上的函数()||f x x =展开为以2π为周期的傅立叶级数，其和函数记为)(x S ，则=)(πS 【 】（A ）0 (B) π （C ）π- （D ）2π二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线32,,t z t y t x ===在点),1,1,1(--P 处的切线方程为___________________ ， 法平面方程为 ______________ .7．设∑为球面2222x y z a ++=的表面,则⎰⎰∑++dS z y x)(222=________.8．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为 _______ ，收敛域为 _______ . 9．已知函数(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)，则____________， 此时函数(,)f x y 的极大值为 .10．33z xyz x y z -=++确定了隐函数),(y x z z =，则),(y x z z =在点(0,0,1)处的全微分为 _________ .三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11．设函数(),xz f y x ye =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求z x ∂∂，yx z∂∂∂2．12．计算二次积分2()a xy aI a dx e dy -=⎰⎰,其中实数0a >，并求极限lim ()a I a →+∞13．利用高斯公式计算曲面积分 ⎰⎰∑+-=,2dxdy z xdzdx ydydz I 其中∑是锥面22y x z +=介于平面0z =与平面3z =之间部分的外侧.14．已知曲线积分 ()[]⎰'+-=),()0,0()()(,y x xdy x ydx x ey x I ϕϕ与积分路径无关，其中()x ϕ是二阶可导函数，且(0)0ϕ=，0)0(='ϕ. 1.求()x ϕ； 2.求)1,1(I .15． 求（1）幂级数112n nn nx ∞-=∑的收敛域；（2）幂级数112n nn n x ∞-=∑的和函数； （3）级数1(1)2n n n n∞=-∑的和. 16．函数)(x f 具有连续的导数，满足0()()d 1x axx f x e f at t ae +=+⎰，且(0)2f a =， 求a 的值及函数)(x f .12()(2)x xe x e xf x e e e e --+-+=-+四、 证明题: 本题共1题，6分. 17. 已知无穷级数2nn u∞=∑满足 22222ln 1x y n x y a nu ndxdy π--+≤=-⎰⎰, 其中实数0a >, 证明:级数2nn u∞=∑ 当1a >时收敛; 当1a ≤时发散, 但2(1)nnn u∞=-∑ 总收敛.北京工业大学2006-2007学年第二学期 《高等数学》期末试卷 参考答案一、单项选择题1． D 2． C 3．A 4． C （θϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素）5． B二、填空题6．312111+=--=+z y x 0632=++-z y x7． 44a π8．544x - )4,4(-9．3,2==b a 310．dy dx dz 2121+=三、计算题11． 解：设 ,xu y x v ye =-=， 则''x u v zf ye f x∂=-+∂ ()()2'''''''''''''''2'''()1x x u v uu uvx x x vu vv v x x x uu uv vv v z f ye f f e f x y yye f e f e f f e y f ye f e f ∂∂=-+=--∂∂∂+++=-+-++12． 解：()2222211.2a xaaayy y y a xa y a dx edy dx edy dy edxyedy e -----=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而1lim ()2a I a →+∞=-。

一. 填空题（每小题3分，共30 分. 注意：所有题目需给出计算结果； a a =型答案无效）1. 100121201224680011111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 记12111323154917827----第二列四个位置的代数余子式分别是12223242,,,A A A A .若23122232420A aA a A a A +++=，且0a >，则a =3. 在行列式223121xx x x x -的完全展开式中，合并同类项后，3x 的系数是4. 3阶实方阵A 和非零向量123,,ααα满足：112233,2,A A A αααααα===-.若记以123,,ααα为列向量组的矩阵为()123P ααα=，则1P AP -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（写出具体的矩阵）.5. 若32⨯型、23⨯型实矩阵,A B 满足112211817AB ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则,A B 的秩之和()()R A R B +=6. A 是2阶实方阵. 若齐次线性方程组()0A E X -=和(2)0A E X -=均有非零解，则行列式*12A A E -++=7. 若12,,,m ααα是齐次线性方程组123112301012012700x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解空间中的线性无关向量组，则m 能取到的最大值是8. 若3阶实方阵123()A ααα=的列向量组123{,,}ααα与线性无关向量组12{,}ββ满足112212312325αββαββαββ=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩ ，则A 的阶梯化矩阵中非零行的行数是 9. 方程12342680111x x x+-+=--的根123,,x x x 之和123x x x ++= 10. 若Q 是n （1n >）阶实方阵，且齐次线性方程组0QX =只有零解，T A Q Q =，则A的特征值 0（填“,,><=”之一）.二（10分）. 计算行列式0152313110183810113132510D ----=------（要求出具体数值）.三（10分）. 用初等变换的方法，解方程101110110011101110X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.四（10分）.a 取何值时，线性方程组12341234123422320574x x x x x x x x x x x x a-++=⎧⎪+-+=⎨⎪-+-=⎩ 有解？有解时，写出其通解.五（12分）. 已知288828882A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 求一个可逆矩阵P ，使得1P AP -是对角矩阵；并求出这一对角矩阵.六（12分）. 给定列向量组12345(0,1,2,1,0),(1,1,1,0,3),(1,0,2,1,2),(5,2,3,7,11),(9,5,5,14,19).T T T Tααααα=-=-=-=--=--1 求该向量组的秩；2 求该向量组的一个极大线性无关组；3 把其余向量用问题2中求出的极大线性无关组线性表出.七（8分）.八（8分）.。

15届北京工业大学 《高等数学》期中试卷一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确结果的字母写在括号内。

1、下列关于多元函数连续性、偏导数与全微分存在性之间的关系命题中不正确的是（ ）（A ）若偏导数连续则必可微分 （B ）若可微分则必连续（C ）若可微分则偏导数必存在 （D ）若偏导数存在则必连续2、函数y x y x z 4222--+=在点（1，2）处 （ ） （A ）取极大值 （B ）取极小值 （C ）无极值 （D ）无法判定3、设dy e yxdx e x yx y x )1()2(-++是函数),(y x u 的全微分，则其中一个),(y x u 为（ ） （A ）yx ye xy ++2（B ）12++yx e x（C ）12-+yx ye x （D ）yxe x yx -+24、设区域}1|),{(22≤+=y x y x D ，则二重积分⎰⎰=++-Ddxdy y x y x )(22（ ）（A ）3π （B ）2π（C ）π2 （D ）π5、设L 是圆周422=+y x 的正向，则曲线积分=++⎰L yx dydx 222 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）π （D ）π2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。

6、设),(y x z z =是方程333a xyz z =-所确定的二元函数，则=dz __________________________________7、由22y x z +=与22y x z +=所围成立体的体积为_____________8、将二次积分⎰⎰+-=2111),(y ydx y x f dy I改变积分次序后为__________________________________________ 9、曲线t u e z t t y udu e x 311,cos sin 2,cos :+=+==Γ⎰在点（1，2，3）处的切线方程为____________________________________________ 10、设曲线221:y x z ---=∑，则曲线积分⎰⎰∑=++dS z y x )(222______________ 三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题8分，共48分，解答应写出主要过程或演算步骤 11、设),(2x ye x y f z -=其中函数f具有二阶连续偏导数，求x z∂∂，yx z ∂∂∂212、计算二次积分dy y x dx dy y x dx a x a aa x⎰⎰⎰⎰-+++2222222213、计算曲线积分dx y x I L⎰+=22，其中L 是圆周x y x 222=+14、将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(分别化为直角坐标、柱面坐标、球面坐标下的三重积分，其中2,:22222≤+++≥Ωz y x y x z15、计算曲面积分zdxdy y x zdzdx x dydz yz )(2222+++⎰⎰，其中∑是曲面)21(222≤≤--=z y x z 部分的上侧16、计算曲面积分⎰++-++Ldy y x x dx y x y )](cos [)](sin [2222，其中L 是沿曲线122=+y x 从点)0,1(A 到点)1,0(B 的最短一段弧四、解答题：本题12分，要求写出详细解答过程 17、（1）试求函数z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++=在球面)0,0,0(52222>>>=++z y x r z y x 上的最大值 （2）证明对任意的正实数c b a ,,不等式33)3(27c b a abc ++≤成立15届北京工业大学《高等数学》期中试卷 参考答案一、选择题1、D2、B3、C4、B5、A二、填空题 6、dy xyz xzdx xy z yz dz -+-=227、6π 8、⎰⎰--=1121),(x xdy y x f dx I9、32211-===z y x 10、π三、计算题11、xx ye f f ye f f xz ⋅+-=⋅+-⋅=∂∂''')1('2121 xx x ye f e y f e f y f yx z yx z22222112122''2''''2'')(+⋅+⋅-⋅-=∂∂∂∂=∂∂∂12、令⎰⎰+=222ax dy y x dx M dy y x dx N aa x a ⎰⎰-+=22222M ，N 合积分区域，利用极坐标 3024012a dr r d aπθπ==⎰⎰原式13、θcos 2:=r L θθθθd d r r dS 2)'()(22=+=θθcos cos 2=x θθsin cos 2=yθcos 222=+y x⎰-==228cos 4ππθθd I14、⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1122222222y x z z y x yx z 直角坐标：⎰⎰⎰--+----=22222221111),,(y x y x x x dz z y x f dy dx I柱面坐标：⎰⎰⎰-=22120),,(r rdz z y x f rdr d I πθ球面坐标：⎰⎰⎰=2243420),,(sin dp z y x f p d Iπππϕθ15、2yz P = z x Q2= z y x R )(22+=22y x zR y Q x P +=∂∂+∂∂+∂∂ 1=z 时，122=+y x122212120πθπ==⎰⎰⎰-r dz r rdr d 原式16、)(sin 22y x y P ++= )(cos 22y x x Q +--=)cos()sin(22y x y x x xQ+++-=∂∂ )cos()sin(22y x y x y y P +++=∂∂ y x yPx Q 22--=∂∂-∂∂ ⎰⎰⎰⎰----=OABODxydxdy y x )22(原式⎰⎰⎰⎰-----=120121020sin cos )sin 2cos 2(xdx ydy dr r r r d θθθπ37134-=--=四、17、（1）22225r z y x F -++=构造)ln 3ln (ln 52222z y x r z y x G +++-++=λ27152000''''⋅-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====λλG z G y G x G 此时1),,(=z y x f 最大值为1。

北京工业大学2007-2008学年第二学期期末线性代数(工) 课程试卷（A ）考试方式：闭卷 考试时间：2008年06月25日 学号 姓名 成绩 注：本试卷共8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写）一. 填空题（每小题3分，共30 分）.1. 矩阵乘积100123401056783019101112⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 设n 阶方阵A B 、满足AB A B =+，则A E -可逆，且1()A E --= 3. 如果2阶方阵A 的特征值是1,1-，*A 为其伴随矩阵，则行列式*2A E -=4. 设3维列向量组321,,ααα和21,ββ满足122123123αβαββαββ=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，则由向量组321,,ααα构成的矩阵123()ααα的行列式等于 （写出具体数值）5. 如果211110139p p =-，而且0p >，则p = 6.如果实系数方程组112233100b xc y b x c y b x c y +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩有实数解，则行列式2233b c b c =7. 设121,0λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值，(2,2,1),(1,1,2)T Tt t αβ=+=+--8. 如果(1,1,1)T α=-是实方阵A 的一个特征向量，则223A E -必有一个特征向量等于9.如果1313a ⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪⎭是正交矩阵，则a = 10. 二次型112323233(,,)112341x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭的正惯性指数与负惯性指数之和是二. 单项选择题（每小题3分，共15分）。

将正确答案的字母填入括号内。

1. 如果n 阶实矩阵A 满足30A =，E 是n 阶单位矩阵，则 【 】（A ）A E +可逆，但A E -不可逆 （B ）A E +不可逆，但A E -可逆 （C ）A E +、A E -都可逆 （D ）A E +、A E -都不可逆2. 如果向量组1234,,,αααα线性无关，而且其中的每一个向量都与向量β正交，则向量组1234,,,,ααααβ 【 】 (A) 一定线性相关 （B ） 一定线性无关 （C ） 可能线性相关，也可能线性无关 （D ） 前三个选项都不正确 3. 设A 是n 阶方阵，则下列选项中不正确的是 【 】 （A ） 当线性方程组b AX =无解时，行列式0A =。

北京工业大学2006-2007学年第一学期“高等数学(工)-1”课程期末试卷答案本试卷共6页，16道题。

考试时间95分钟。

考试日期：2007年1月10 日一．单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 极限20300limx x tdt x→+=⎰【 A 】（A ）23（B ）13（C ）2 （D ）16(2) 函数31()3f x x x =+在 【 A 】（A ）(,)-∞+∞内单调增加 （B ）(,)-∞+∞内单调减少 （C ）0>x 时单调增加，0<x 时单调减少 （D ）非单调函数(3) )(x f 在点0x 可导，则000(2)(3)lim 5h f x h f x h h→+--= 【 A 】 （A ）)('0x f （B ）)('0x f - （C ）05'()f x （D ）0 (4) 广义积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛是指 【 D 】 （A ）⎰-+∞→aaa dx x f )(lim存在 （B ）⎰+∞→bc b dx x f )(lim 与⎰+∞→c a a dx x f )(lim都存在（C ）⎰--∞→aa a dx x f )(lim 存在 （D ）⎰+∞→bc b dx x f )(lim 与⎰-∞→ca a dx x f )(lim 都存在(5) 若224lim 2x ax x →+-有极限A ， 则 【 A 】（A ）1,4a A =-=- （B ）1,4a A =-= （C ）1,4a A ==- （D ）1,4a A ==二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中的横线上。

(6) 若2,0(),0a x e a x f x x xb x -⎧+≤=⎨++>⎩在0=x 可导，则=a -1 ，=b 0 .(7) 121(cos 1)3x x x dx -++=⎰ 8/3 .(8) 设1t >-时，有2ln(1)x ty t =⎧⎨=+⎩，则 =xy d d )1(21t +=22d d ,xy 2)1(41t +-.(9) 2ln(1),'y x x y =+=211x+-,='')0(y 0 .(10) 设)(x y y =是由y e xy e -=确定的隐函数，则)0('y =e1，)0(''y =21e .三．简答题：本大题共4小题，每小题8分，共32分。

北京工业大学2008-2009学年第一学期“高等数学(工)-1”课程期末试卷答案(A)一． 单项选择题： (5*5=25)(1) 设 f (x ) 是区间 [a , b ]上连续函数，则在开区间 (a , b ) 内 f (x ) 必有 （A ）导函数 （B ）原函数 （C ）驻点 （D ） 极值 (2) 设 f (x ) 在 x 0 处可导，则lim 0 0 = x →x 0 x − x 0【】（A ） 2f ′(x 0 ) （B ） x 0f ′(x 0 ) （C ） x 0f ′(x 0 ) − f (x 0 ) (3）当 x →0 时， 下列无穷小中与 x 2 等价的是 （A ） tan x − sin x （B ） sin（C ） ln(1 − x 2 ) （D ） 1 −(4) 下列广义积分收敛者是 （A ）∫e dx （B ）∫e dx （C ）∫edx (5) 设 I n = +πx sin dx ，则I n =（D ） f ′(x 0 ) − x 0f (x 0 )【 】【 】（D ）∫dx【 】（A ） −π （B ） π （C ） − 1 （D ） 1二． 填空题： (5*5=25)x + c x(7) lim 2 = _____________.(8) ∫1x dx = _______________.x = 2 arctan t dydx 2 _____________+∞ln x +∞ +∞d 2y =x(9) 2 ，则 = _______， y = 1+ ln(1+ t ) dx x →0 x(6) 已知x − c= 4 ，则常数 C = _____________ .∫ c 1os x e − t2dt】x f (x ) − xf (x ) 【(15)设 函数 f (x ) =+∫f (x )dx .(10)设 y = y (x ) 是由 e y + xy = e x 确定，则 y ′(0) = _____三． 简答题： 4*8=322 sin x1+ 3x1）求 f (x ) 的间断点并判断类型 2） 能否使 f (x ) 在间断点处连续.(12) 求不定积分 ∫dx .e 2x+ bx ≤ 0, x > 0,问： a , b 为何值时， f (x ） 在x = 0处可导并求f ′(0）.(14) 直线 x = 0, x = 2, y = 0 与抛物线 y = −x 2 +1围成的一平面图形 D 。

数学分析-1样题(二)一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=. 三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导.七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.数学分析-1样题(二)参考答案一. 证 显然21.a a > 设1n n a a +>，则21.n n a a ++=>= (4分)于是{}n a 严格增加. 下面用归纳法证明{}n a有上界1.显然11a <，设1n a <，则11n a +=<<， (7分)即{}n a 有界. 综上{}n a 收敛，设极限为s .在1n a +=n →∞得:s =0s ≥得：1(12s =+. (10分) 二. 证 由0lim ()x x f x b →=知，0 0, 0, : 0x x x εδδ∀>∃>∀<-<，有 于是0 : 0x x x δ∀<-<，有211()2()()b f x f x b bf x bε--=<. (10分) 即011lim()x x f x b→=. 三. 由 1lim1n n n a l a →∞+=>，存在1N , n , 1n n aN N a ++∈∀>>，因而1n n a a >+，(4分).又0n a >，故{}0n a >单调递减有下界，因而收敛. (6分) 令lim n n a a →∞=. 在11nn n n a a a a ++=中令n →∞得a la =，于是0a =. (10分) 四．证 ""⇒ 设f 在(, )a b 一致连续，则 0, 0εδ∀>∃>，12 , (, ):x x a b ∀∈12x x δ-<，有12()()f x f x ε-<. (2分)特别地，当1212, (, ), , x x a b a x x a δ∈<<+时，有12x x δ-<，于是12()()f x f x ε-<. 据柯西收敛准则，lim ()x af x +→存在有限. 同理，lim ()x bf x -→也存在有限. (5分)""⇐ 定义(), ,()lim (), , (8)lim (), .x a x b f x a x b F x f x x a f x x b +-→→⎧<<⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩分则F 在[, ]a b 连续，从而一致连续. 注意到()() ((, )).f x F x x a b =∈ 故f 在(, )a b 一致连续. (10分)五. 确界定理: 非空有上界(下界)的数集必存在唯一的上确界(下确界).设f 在[, ]a b 连续，()()0.f a f b < 下面证明存在(, )c a b ∈，使()0.f c = 不妨设()0, ()0.f a f b >< 定义{()0, [, ]},A x f x x a b =>∈则,a A ∈ 从而A 非空有上界. 由此知sup A 存在，记sup c A =. (8分)结合f 的连续性及()0, ()0f a f b ><知：(, ),c a b ∈且()0.f c ≥ (9分) 若()0f c >，则存在'x c >，使'()0f x >，与sup A c =矛盾，于是()0.f c = 六. 证 由f 在a 连续，且()0f a ≠知： 0, 0, x δδ∃>∀<< 有()()0, f a x f a +∆>从而()()0f a x f a +∆+≠. (4分)设2[()] f x 在a 的导数为A . 当0x δ<∆<时,22()()[()][()]1.()()f a x f a f a x f a x x f a x f a +∆-+∆-=⋅∆∆+∆+ (8分)于是22000()()[()][()]1lim lim lim . (11)()()2()x x x f a x f a f a x f a Ax x f a x f a f a ∆→∆→∆→+∆-+∆-=⋅=∆∆+∆+分故'(). (12)2()Af a f a =分 七. 解 '1()(1)f x x αα-=-. (2分)由'()0f x =得唯一稳定点1x =. (4分) 当(0, 1)x ∈时，'()0f x <，而当1x >时，'()0f x <. (8分) 由此得极大点1x =就是()f x 的最大点，于是最大值为(1)f ，而(1)0f =，故函数f 在(0, )+∞的最大值为0. (12分)八. 证 设1212, (, ), x x a b x x ∈<. 对任意12(, )x x x ∈，有21122121. (2)x x x x x x x x x x x --=+--分 由f 的凸性，21122121()()(), (4)x x x x f x f x f x x x x x --≤+--分 于是1212()()()(). (6)f x f x f x f x x x x x≤--－－分分别令12, x x x x +-→→，则有 '21121()()(), (8)f x f x f x x x ≤-－分'21221()()(). (10)f x f x f x x x ≤-－分于是''12()(). (12)f x f x ≤分.九. 解 2()()(0)(). (4)00g x f x f g x x x x x-==--－分 由洛比塔法则，''2000()()1()lim lim lim . 22x x x g x g x g x x x x→→→== (8分) 再由导数定义得'''''00()()(0)limlim (0) 3. 0x x g x g x g g x x →→===－－ (10分) 综上，'0()(0)3(0)lim.02x f x f f x →==-－ (12分).。

2023-2024学年北京工业大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．命题“∃x ∈R ，使得x 2≥1”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1 B ．∃x ∈R ，使得x 2＜1C ．∀x ∈R ，都有x 2≥1D ．∃x ∈R ，使得x 2≤13．下列每组函数是同一函数的是（ ） A ．f(x)=x −1，g(x)=(√x −1)2 B ．f(x)=|x −3|，g(x)=√(x −3)2C ．f(x)=x 2−4x−2，g(x)=x +2D ．f(x)=√(x −1)(x −3)，g(x)=√x −1⋅√x −34．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝x 3D ．y =1x5．如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．1a＜1bB ．a 2＞b 2C ．a |c |＞b |c |D ．a c 2+1＞bc 2+16．已知a =2−13，b=log 213，c =log 1213，则下列关系式中正确的（ ）A ．c ＞a ＞bB ．a ＞c ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数f （x ）＝2|x |的单调递减区间是（ ） A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）C ．（﹣∞，1）D ．（1，+∞）8．已知函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f(x)x＞0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）9．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y =log √22x ，y =x 12，y ＝（√22）x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则的D 的坐标为（ ）A ．（12，14）B ．（13，14）C ．（12，13）D ．（13，12）10．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|f （x ）﹣g （x ）|≤1成立，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若f （x ）＝x 2﹣3x +4与g （x ）＝2x ﹣3在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ） A ．[1，4]B ．[2，4]C ．[3，4]D ．[2，3]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填写在答案卷上） 11．函数f （x ）=√x+3x的定义域是 ．12．已知a ＞0，则a −1+4a的最小值为 ．13．已知函数f （x ﹣1）＝x 2+1，那么f （2）等于 ． 14．计算：1.10+√2163−0.5−2+lg 25+2lg 2＝ ．15．若函数f(x)={−2x 2+ax −2，x ≤1，x −1，x ＞1的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设全集U ＝R ，A ＝{x ∈R |3a ＜x ＜2a +5}，B ＝{x ∈R |x 2+x ﹣2≤0}． （1）求∁U B ；（2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围． 17．（12分）求下列关于x 的不等式的解集： （1）x+12x−1≥0；（2）x 2﹣2ax ＜3a 2．18．（12分）已知y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ． （1）求f （1），f （﹣2）的值； （2）求f （x ）的解析式；（3）画出y＝f（x）简图；写出y＝f（x）的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）．19．（13分）已知函数f（x）=2x−3x+1．（Ⅰ）判断函数f（x）是否具有奇偶性？并说明理由；（Ⅱ）试用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1，4]上的值域．20．（13分）已知函数f（x）＝2x|x﹣a|+x．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）当a＝1时，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（3）若∀x∈[12，1]，函数f（x）的图象恒在g（x）＝2x图象下方，求实数a的取值范围．21．（13分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）＝x2与h（x）＝2x﹣b是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．2023-2024学年北京工业大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}解：A ＝{x |x 2＜4}＝{x |﹣2＜x ＜2}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝{﹣1，0，1}， 故选：C ．2．命题“∃x ∈R ，使得x 2≥1”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1 B ．∃x ∈R ，使得x 2＜1C ．∀x ∈R ，都有x 2≥1D ．∃x ∈R ，使得x 2≤1解：“∃x ∈R ，使得x 2≥1”的否定是：∀x ∈R ，都有x 2＜1． 故选：A ．3．下列每组函数是同一函数的是（ ） A ．f(x)=x −1，g(x)=(√x −1)2 B ．f(x)=|x −3|，g(x)=√(x −3)2C ．f(x)=x 2−4x−2，g(x)=x +2D ．f(x)=√(x −1)(x −3)，g(x)=√x −1⋅√x −3解：A 选项中，f （x ）的定义域是R ，g （x ）的定义域是[1，+∞），定义域不同，它们的对应法则也不同；故不是同一函数；B 选项中两个函数的定义域相同，f （x ）的定义域是R ，g （x ）的定义域是R ，g(x)=√(x −3)2=|x −3|，两个函数的对应法则相同，是同一函数；C 选项中两个函数的定义域不同，f （x ）的定义域是（﹣∞，2）∪（2，+∞），g （x ）的定义域是R ；故不是同一函数；D 选项的定义域不同，f （x ）的定义域是（﹣∞，1]∪[3，+∞），g （x ）的定义域是[3，+∞），故不是同一函数；只有B 选项符合同一函数的要求， 故选：B ．4．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝x 3D ．y =1x解：对于A ，f （x ）＝x 2定义域为R ，但是f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝f （x ），∴f（x）是偶函数，故A错误，对于B，f（x）＝2x﹣1，f（2）＝3，f（﹣2）＝﹣5，所以f（x）是非奇非偶函数，B错误，对于C，f（x）＝x3定义域为R，但是f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，且值域为R，故C正确，对于D，y=1x中，由于y≠0，故值域不为R，故D错误．故选：C．5．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．1a ＜1bB．a2＞b2C．a|c|＞b|c|D．ac2+1＞bc2+1解：若a＞0＞b，则1a ＞1b，故A错误；取a＝﹣1，b＝﹣2，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误；若c＝0，a|c|＝b|c|，故C错误，因为c2+1＞0，a＞b，∴ac2+1＞bc2+1，故D正确．故选：D．6．已知a=2−13，b=log213，c=log1213，则下列关系式中正确的（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a解：a=2−13＜20=1，所以0＜a＜1，c=log1213＞log1212=1，所以c＞1，b=log213＜log21=0，所以b＜0，故c＞a＞b．故选：A．7．函数f（x）＝2|x|的单调递减区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）解：由于f（﹣x）＝2|﹣x|＝f（x），故f（x）为定义域R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x，故f（x）在（0，+∞）单调递增，故f（x）在（﹣∞，0）单调递减．故选：B．8．已知函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f(x)x＞0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）解：由f(x)x＞0，得{x ＞0f(x)＞0①，或{x ＜0f(x)＜0②，由图，解①可得x ＞1； 解②可得﹣1＜x ＜0； 综上所述，不等式f(x)x＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）．故选：B ．9．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y =log √22x ，y =x 12，y ＝（√22）x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则的D 的坐标为（ ）A ．（12，14）B ．（13，14）C ．（12，13）D ．（13，12）解：由题意得，A ，B ，C 分别在函数y =log √22x ，y =x 12，y ＝（√22）x 的图象上，把y ＝2代入y =log √22x 得，2=log √22x ，即x =(√22)2=12，所以A （12，2），由四边形ABCD 是矩形得，B 点的纵坐标也是2， 把y ＝2代入y =x 12得，2=x 12，即x ＝4，所以B （4，2）， 则点C 的横坐标是4，把x ＝4代入y ＝（√22）x 得，y =14，所以点D 的坐标是（12，14），故选：A ．10．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|f （x ）﹣g （x ）|≤1成立，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若f （x ）＝x 2﹣3x +4与g （x ）＝2x ﹣3在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ） A ．[1，4]B ．[2，4]C ．[3，4]D ．[2，3]解：若f （x ）＝x 2﹣3x +4与g （x ）＝2x ﹣3在[a ，b ]上是“密切函数”， 可得|f （x ）﹣g （x ）|＝|x 2﹣3x +4﹣（2x ﹣3）|＝|x 2﹣5x +7|≤1， 即为﹣1≤x 2﹣5x +7≤1，由x 2﹣5x +7＞0恒成立，可得上式等价为x 2﹣5x +7≤1，解得2≤x ≤3， 则其“密切区间”可以是[2，3]． 故选：D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填写在答案卷上） 11．函数f （x ）=√x+3x的定义域是 {x |x ≥﹣3且x ≠0} ．解：要使函数有意义，则{x +3≥0x ≠0，得{x ≥−3x ≠0，即x ≥﹣3且x ≠0，即函数的定义域为{x |x ≥﹣3且x ≠0}． 故答案为：{x |x ≥﹣3且x ≠0}．12．已知a ＞0，则a −1+4a的最小值为 3 ．解：由a ＞0，得4a ＞0，故a +4a−1≥2√a ⋅4a−1=3，当且仅当a =4a，即a ＝2时，等号成立．故答案为：3．13．已知函数f （x ﹣1）＝x 2+1，那么f （2）等于 10 ． 解：在f （x ﹣1）＝x 2+1中取x ＝3，则f （2）＝32+1＝10． 故答案为：10．14．计算：1.10+√2163−0.5−2+lg 25+2lg 2＝ 5 ．解：1.10+√2163−0.5−2+lg 25+2lg 2＝1+6﹣4+2＝5，故答案为：5．15．若函数f(x)={−2x 2+ax −2，x ≤1，x −1，x ＞1的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） ．解：当x ＞1时，f （x ）＞0，因为函数f(x)={−2x 2+ax −2，x ≤1x −1，x ＞1的值域为R ，所以当x ≤1时，f （x ）＝﹣2x 2+ax ﹣2≤0的值域为（﹣∞，0]， 所以Δ＝a 2﹣16≥0，解得a ≤﹣4或a ≥4， 所以实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设全集U ＝R ，A ＝{x ∈R |3a ＜x ＜2a +5}，B ＝{x ∈R |x 2+x ﹣2≤0}． （1）求∁U B ；（2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解：（1）全集U ＝R ，B ＝{x ∈R |x 2+x ﹣2≤0}＝{x |﹣2≤x ≤1}，故∁U B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}． （2）∵A ∩B ＝∅，当A ＝∅时，3a ≥2a +5，解得a ≥5．当A ≠∅时，{3a ＜2a +52a +5≤−2或{3a ＜2a +53a ≥1，解得a ≤−72或13≤a ＜5，综上，实数a 的取值范围是(−∞，−72]∪[13，+∞)． 17．（12分）求下列关于x 的不等式的解集： （1）x+12x−1≥0；（2）x 2﹣2ax ＜3a 2．解：（1）原不等式等价于{(x +1)(2x −1)≥02x −1≠0，所以x ≤﹣1或x ＞12，故不等式的解集为{x |x ≤﹣1或x ＞12}． （2）原不等式可化为（x ﹣3a ）（x +a ）＜0，当a ＝0时，不等式为x 2＜0，显然不成立，所以无解； 当a ＞0时，3a ＞﹣a ，所以﹣a ＜x ＜3a ； 当a ＜0时，3a ＜﹣a ，所以3a ＜x ＜﹣a ， 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＞0时，不等式的解集为{x |﹣a ＜x ＜3a }； 当a ＜0时，不等式的解集为{x |3a ＜x ＜﹣a }．18．（12分）已知y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ．（1）求f （1），f （﹣2）的值； （2）求f （x ）的解析式；（3）画出y ＝f （x ）简图；写出y ＝f （x ）的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）．解：（1）当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，f （﹣x ）＝f （x ）， ∴f （1）＝﹣1，f （﹣2）＝f （2）＝0； （2）∵y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数， 当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ， 当x ＜0时，﹣x ＞0，f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ， ∴f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ， ∴f （x ）={x 2−2x ，x ≥0x 2+2x ，x ＜0．（2）∵f （x ）={x 2−2x ，x ≥0x 2+2x ，x ＜0，∴当x ≥0时，y ＝x 2﹣2x ，抛物线开口向上，对称轴方程为x ＝1，顶点坐标（1，﹣1）， 当y ＝0时，x 1＝0，x 2＝2；当x ＝0时，y ＝0．当x ＜0时，y ＝x 2+2x ，抛物线开口向上，对称轴方程为x ＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1）， 当y ＝0时，x ＝﹣2．由此能作出函数f （x ）的图象如下：结合图象，知f（x）的增区间是（﹣1，0），（1，+∞）．19．（13分）已知函数f（x）=2x−3x+1．（Ⅰ）判断函数f（x）是否具有奇偶性？并说明理由；（Ⅱ）试用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1，4]上的值域．解：（I）函数f（x）不具有奇偶性，理由如下：定义域：{x|x≠﹣1}，因为定义域不关于原点对称，（或者因为f（2）=13，f（﹣2）＝7，所以f（﹣2）≠f（2），且f（﹣2）≠﹣f（2））所以函数f（x）不具有奇偶性；（Ⅱ）证明：f（x）=2x−3x+1=2(x+1)−5x+1=2−5x+1，任取x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2f（x1）﹣f（x2）＝（2−5x1+1）﹣（2−5x2+1）=5x2+1−5x1+1=5(x1+1)−5(x2+1)(x1+1)(x2+1)=5(x1−x2)(x1+1)(x2+1)，又由﹣1＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣1，+∞）是增函数；（III）由（Ⅱ）知，f（x）在[1，4]单调递增，所以f（x）min＝f（1）=−12，f（x）max＝f（4）＝1，故f（x）在[1，4]上的值域是[−12，1]．20．（13分）已知函数f（x）＝2x|x﹣a|+x．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）当a＝1时，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（3）若∀x∈[12，1]，函数f（x）的图象恒在g（x）＝2x图象下方，求实数a的取值范围．解：（1）由于f （x ）为奇函数，则f （1）＝﹣f （﹣1），∴2|1﹣a |+1＝﹣（﹣2|﹣1﹣a |﹣1），解得a ＝0，经检验，a ＝0符合题意，故实数a 的值为0；（2）当a ＝1时，f(x)=2x|x −1|+x ={2x 2−x ，x ≥1−2x 2+3x ，x ＜1， 当x ∈[0，1）时，f （x ）＝﹣2x 2+3x ，此时的最大值为f(34)=98，当x ∈[1，4]时，f （x ）＝2x 2﹣x 在[1，4]上单调递增，此时的最大值为f （4）＝2×42﹣4＝28， 综上，函数f （x ）在区间[0，4]上的最大值为28；（3）依题意，对∀x ∈[12，1]，2x |x ﹣a |+x ≤2x 恒成立，即|x −a|≤12恒成立，由|x −a|≤12得a −12≤x ≤a +12， ∴{a −12≤12a +12≥1，解得12≤a ≤1， ∴实数a 的取值范围为[12，1]．21．（13分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f （x ）称为G 函数． ①对任意的x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0；②当x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1时，总有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立．已知函数g （x ）＝x 2与h （x ）＝2x ﹣b 是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g （x ）是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数h （x ）是G 函数，求实数b 组成的集合．解：（1）是，理由如下：当x ∈[0，1]时，总有g （x ）＝x 2≥0，满足①，当x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1时，g （x 1+x 2）＝（x 1+x 2）2＝x 12+x 22+2x 1x 2≥x 12+x 22＝g （x 1）+g （x 2），满足②（2）h （x ）＝2x ﹣b 为增函数，h （x ）≥h （0）＝1﹣b ≥0，∴b ≤1，由h （x 1+x 2）≥h （x 1）+h （x 2），2x 1+x 2−b ≥2x 1−b +2x 2−b ，即b ≥1﹣（2x 1−1）（2x 2−1），∵x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，∴0≤2x 1−1≤1，0≤2x 2−1≤1，x 1，x 2不同时等于1∴0≤（2x1−1）（2x2−1）＜1；∴0＜1﹣（2x1−1）（2x2−1）≤1，当x1＝x2＝0时，1﹣（2x1−1）（2x2−1）的最大值为1；∴b≥1，则b＝1，综合上述：b∈{1}。