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（艺术生专用）2020版高考数学总复习第十一章选修模块第1节选修4-4坐标系与参数方程课时冲关何编辑）选修4-4坐标系与参数方程课时分组冲关索能提升规范演壕1. (2020 •太原市质检)已知曲线G：x+书y =错误!和Q：错误！(0为参数).以原点0为极点，"轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1) 把曲线&和Q的方程化为极坐标方程；(2)设G与x, y轴交于饥〃两点，且线段例的中点为R若射线〃与G, G交于P, 0两点，求P,。
两点间的距离。
解：(1)曲线G化为QCOS &+护Qsin & =护。
・•• psin错误！=错误!.曲线Q化为错误!+错误!=1。
(*)将x= QCOS &, y= p s i n & 代入(*)式得错误!cos'& + 错误!sin'& = 1,即p2 (cos20 +3sin26) =6.・•・曲线G的极坐标方程为，=错误!.(2) •・•〃(错课！，0), N (0.1),・■•借课!，・•・〃的极坐标方程为&=错误!，把&=错误!代入Qsin错误!=错误!得0 = 1,疇误!.把&=*代入Q2 =错误！得处=2,储误!。
・•・ I P0| = I p2— Pi|=1,即只0两点间的距离为1.2. (2018 •全国II卷)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为错谋!( e为参数），直线/的参数方程为错误！（十为参数）.（1）求C和/的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为（1, 2）,求/的斜率.解：（1）曲线6•的参数方程为错谋!（&为参数），・••错误！+错误! = 1。
直线/的参数方程为错误!（上为参数）・••错误! =tan a（ a =#90°）,即tan a• x—y4-2—tan a =0,当a = 90°时,x=1.综上：/：错误！（2）当Q=90°，点（1,2）不为中点，・••不成立.当a *90° ,把/代入曲线C中得：4,+ [tan a・（xT）+2] 2=16,化简得：（4 + tan2a） H+（4tan a—2tan2a） x+tan2a —4tan a—12 = 0,•・•点（1, 2）为弦的中点，••‘+ X2=2,即错谋!=2, •••tan a = -2,直线 /的斜率k=-2。
第74讲 参数方程夯实基础 【p 168】【学习目标】1．了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关的问题．2．掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知给出的参数，依据条件建立参数方程． 【基础检测】1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)【解析】消去参数，转化为普通方程得y ＝x －2，其中x∈[2，3]，y∈[0，1]．故选C . 【答案】C2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是________． 【解析】由x ＝t ＋1t知x≥2或x≤－2，∴曲线方程为y ＝2(x≥2或x≤－2)，表示两条射线． 【答案】两条射线3．在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________． 【解析】椭圆的普通方程为x 24＋y23＝1，则右焦点的坐标为(1，0)．直线的普通方程为x －2y ＋2＝0，过点(1，0)与直线x －2y ＋2＝0平行的直线方程为x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x －2y －1＝0得4x 2－2x －11＝0，所以所求的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－114＝154. 【答案】1544．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，求k 的值．【解析】直线l 1的普通方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的普通方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2. ∵l 1与l 2垂直，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2×(－2)＝－1⇒k ＝－1.【知识要点】 1．参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）__，并且对于t 的每一个允许值，由该方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x ，y)＝0叫做普通方程．2．参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：__消去参数__，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等．如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g(t)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．3．直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程典例剖析 【p 168】考点1 参数方程与普通方程的互化例1已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝4＋2t 3(t 为参数)． (1)将曲线C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)求曲线C 1上的点到曲线C 2的距离的最大值和最小值．【解析】(1)曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则cos θ＝x2，∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， 可得x 24＋y 2＝1，∴曲线C 1的普通方程是x 24＋y 2＝1；曲线C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝4＋2t 3(t 为参数)，消去参数t ，t ＝3－x ，代入y ＝4＋2（3－x ）3，即2x ＋3y －10＝0，∴曲线C 2的普通方程是2x ＋3y －10＝0.(2)设点P (2cos θ，sin θ)为曲线C 1上任意一点，则点P 到直线2x ＋3y －10＝0的距离为d ，则d ＝|4cos θ＋3sin θ－10|13＝|5sin （θ＋φ）－10|13，∵sin (θ＋φ)∈[－1，1]，∴d∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤51313，151313，∴d max ＝151313，d min ＝51313.【点评】(1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法．(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响． 考点2 直线与圆的参数方程及应用例2在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3的交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值． 【解析】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.【点评】(1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即|t |＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．考点3 参数方程与极坐标方程的综合问题例3在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (－4，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4ρ2sin 2θ＋ρ2cos 2θ－4＝0.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，当|PA|·|PB|最大时，求出直线l 的直角坐标方程．【解析】(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程可得(4sin 2α＋cos 2α)t 2－(8cos α)t ＋12＝0，因为有两个交点，所以Δ＝64cos 2α－48(4sin 2α＋cos 2α)>0， 解得0≤sin 2α＜113，∵|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝124sin 2α＋cos 2α＝123sin 2α＋1， ∴当sin α＝0时，|PA|·|PB|最大，此时k ＝tan α＝0， 所以直线l 的直角坐标方程为y ＝0.方法总结 【p 169】1．选取参数时的一般原则是：(1)x ，y 与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一确定x ，y 的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P (x ，y )；(2)选择适当的参数；(3)找出x ，y 与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略)．3．根据直线的参数方程标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)若M 1，M 2为l 上任意两点，M 1，M 2对应t 的值分别为t 1，t 2，则|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；(2)若M 0为线段M 1M 2的中点，则有t 1＋t 2＝0；(3)若线段M 1M 2的中点为M ，则M 0M ＝t M ＝t 1＋t 22.一般地，若点P 分线段M 1M 2所成的比为λ，则t P ＝t 1＋λt 21＋λ.4．直线的参数方程的一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，是过点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程．当且仅当a 2＋b 2＝1且b≥0时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt 化为标准方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0±|a|a 2＋b 2t′，y ＝y 0＋|b|a 2＋b2t′(t′∈R )，式中“±”号，当a ，b 同号时取正；当a ，b 异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x ，y 的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．走进高考 【p 170】1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 【解析】(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 【解析】(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α.所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4. 考点集训 【p 278】A 组题1．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝32t (t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长．【解析】直线方程可化为3x ＋y －3＝0， 曲线方程可化为x 2＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y 23＝1，得x 2－x ＝0，∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1，0)． ∴AB ＝1＋3＝2. ∴所截得的弦长为2.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．【解析】直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，直线与圆相切，则圆心(2，0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝b a，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3. 3．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．【解析】∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.∴原点到直线的距离r ＝22＝1. ∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t (t 为参数)，l与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．【解析】直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322. 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322. 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.5．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值． 【解析】(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1，C 1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0， M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|－5sin(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值855.6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为9ρ2cos 2θ＋16ρ2sin 2θ＝144，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； (2)在(1)的条件下，若||AP ·||AQ ＝9，求直线l 的普通方程．【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C ：x 216＋y 29＝1.直线l 恒过的定点为A (2，0)．(2)把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中得：(9＋7sin 2α)t 2＋36t cos α－9×12＝0.由t 的几何意义知|AP |＝|t 1|，|AQ |＝|t 2|.因为点A 在椭圆内，这个方程必有两个实根， 所以t 1t 2＝－36×39＋7sin 2α，因为||AP ·||AQ ＝||t 1t 2＝9，即36×39＋7sin 2α＝9， 所以sin 2α＝37，因为α∈(0，π)，所以tan α＝±32，因此，直线l 的方程为y ＝±32(x －2)． B 组题1．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，曲线C 1经过坐标变换⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′得到曲线C 2，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 1的直角坐标方程； (2)若P 为曲线C 2上的点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【解析】(1)直线l 的普通方程为x －y －2＝0，曲线C 1的直角坐标方程为3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1. (2)由题意知，曲线C 2的方程为x ′2＋y ′2＝1，其圆心C 2(0，0)，半径r ＝1， 所以圆心C 2到直线l 的距离d ＝22＝2，所以点P 到直线l 的距离的最大值为d ＋1＝2＋1.2．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 1＋k 2，y ＝2（1－k 2）1＋k2(k 为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos θ，y ＝1＋t sin θ(t 为参数)．(1)将曲线C 的方程化为普通方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且P (2，1)为弦AB 的中点，求弦AB 所在直线的方程．【解析】(1)由y ＝2（1－k 2）1＋k 2，得y 2＝－1＋21＋k2，即y 2＋1＝21＋k2. 又x ＝8k 1＋k 2，所以k ＝x 2y ＋4，代入8k1＋k2＝x ，得8×x2y ＋41＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2y ＋42＝x ，整理得x 216＋y 24＝1，即曲线C 的普通方程为x 216＋y 24＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos θy ＝1＋t sin θ代入x 216＋y 24＝1，整理得(4sin 2θ＋cos 2θ)t 2＋(4cos θ＋8sin θ)t －8＝0. 由P 为AB 的中点，得4cos θ＋8sin θ4sin 2θ＋cos 2θ＝0，所以cos θ＋2sin θ＝0，即tan θ＝－12，故直线AB ：y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.所以所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.3．将圆x 2＋y 2＝1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝32，且直线l 在直角坐标系中与x ，y 轴分别交于A ，B 两点． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)问在曲线C 上是否存在点P ，使得△ABP 的面积S △ABP ＝3，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)曲线C ：x 216＋y 29＝1，故曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝3sin α(α为参数)，直线l 的普通方程为：x ＋y －6＝0.(2)设曲线C 上点P (4cos α，3sin α)，点P 到直线l 的距离为d ，则d ＝||4cos α＋3sin α－62＝||5sin （α＋φ）－62≥22， 故S ΔABP ≥12×62×22＝3，当sin(α＋φ)＝1时取等号，即sin α＝35，cos α＝45，此时P ⎝⎛⎭⎪⎫165，95. 4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos β，y ＝a sin β(a >0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32.(1)若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1，求实数a 的值； (2)若A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的周长的最大值．【解析】(1)曲线C 是以()a ，0为圆心，以a 为半径的圆； 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0. 若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1，则有||a －32＝a ＋1，解得a ＝13.故所求实数a 的值为13.(2)由题意，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，π2，设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则：||OA ＝||2a cos θ，||OB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 由正弦定理得：||AB sinπ3＝2a ，所以||AB ＝3a ，所以△ABO 的周长为C △ABO ＝||OA ＋||OB ＋||AB ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2||cos θ＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋cos θ＝－32sin θ＋32cos θ ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3≤3，所以当θ＝－π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋cos θ取得最大值 3.所以△OAB 的周长的最大值为33a .。
名师导学高考数学总复习第十一章坐标系与参数方程第73讲坐标系练习理含解析新人教A版选修44 知识体系【p165】第73讲坐标系夯实基础【p165】【学习目标】1．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．【基础检测】1．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′y ＝13y′B .⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x y′＝13yC .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′y ＝3y′D .⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x y′＝3y 【解析】将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y′＝sin x′，横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的13倍，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝13y.【答案】B2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1B ．x ＝1C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】由题得ρ(ρcos θ－1)＝0，∴ρ＝0或ρcos θ＝1， ∴x 2＋y 2＝0或x ＝1. 【答案】C3．圆ρ＝r 与圆ρ＝2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rC .2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD .2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r【解析】圆ρ＝r 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝r 2，圆ρ＝2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的直角坐标方程为x 2＋y 2－2rx －2ry ＝0，∴圆ρ＝r 与圆ρ＝2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为2x ＋2y ＝r ，即圆ρ＝r 与圆ρ＝2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为2ρ(sin θ＋cos θ)＝r.【答案】C4．若直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．【解析】直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max ＝|0＋0－6|2＋1＝32＋1.【答案】32＋15．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 1、曲线C 2的交点为A ，B ，则弦AB 的长为________．【解析】由ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx，将曲线C 1与C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程为C 1：x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9，故C 1为圆心为(3，0)，半径为3的圆，C 2：θ＝π4，即y ＝x ，表示过原点倾斜角为π4的直线，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝6x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3，所以|AB |＝3 2. 【答案】3 2 【知识要点】1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：__⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λx（λ>0）y′＝μy（μ>0）__的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．设M 是平面上任意一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边、射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对__(ρ，θ)__称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M 的__极径__，θ称为点M 的__极角__．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．3．坐标之间的互化点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ__，__⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x≠0)__． 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ<2π.4．直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程：(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：__ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)__．5．半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程：(2)一般位置圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程是ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.典例剖析【p166】考点1平面直角坐标系下图形的伸缩变换例1将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1. 由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.【点评】(1)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的P (x ，y )与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．(2)求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 代入转化．考点2 极坐标与直角坐标的互化例2以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4acos θ(a>1)． (1)请分别写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，设M ()0，－23，且|PQ|2＝|MP|·|MQ|，求实数a 的值．【解析】(1)直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3，所以12ρcos θ－32ρsin θ＝3，化为直角坐标方程12x －32y ＝3，即x －3y －6＝0.曲线C 的极坐标方程为ρ＝4acos θ，所以ρ2＝4aρcos θ， 化为直角坐标方程x 2＋y 2＝4ax ，即x 2＋y 2－4ax ＝0. (2)因为点M (0，－23)在直线l 上，所以可取直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ，y ＝－23＋12t(t 为参数)．设点P ，Q 分别对应参数t 1，t 2，则|MP|＝|t 1|，|MQ|＝|t 2|，|PQ|＝|t 1－t 2|， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并化简得t 2－23(1＋a )t ＋12＝0. 因为a>1，所以Δ＝[23(1＋a )]2－4×12＝12[(1＋a )2－4]>0. 且t 1＋t 2＝23(1＋a )，t 1t 2＝12， 因为|PQ|2＝|MP|·|MQ|，所以|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|＝t 1t 2，所以(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，即(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2， 则有(1＋a )2＝5，得a ＝5－1或a ＝－1－ 5.因为a>1，所以a ＝5－1.【点评】(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x≠0)．(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，注意ρ，θ的取值范围及其影响；善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；灵活运用代入法和平方法等技巧． 考点3 极坐标方程的应用例3在平面直角坐标系中，圆C 的方程为：x 2＋y 2－23x －2y －1＝0，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，过极点的直线l 过点C.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 绕极点按逆时针方向旋转π6得l′，求l′被圆截得的弦长．【解析】(1)由x 2＋y 2－23x －2y －1＝0得圆C 的极坐标方程ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ－1＝0， 圆C 的圆心C 的直角坐标为(3，1)，tan θ＝33，所以直线l 的方程为θ＝π6(ρ∈R )， (2)由题意可知直线l ′的方程为θ＝π6＋π6＝π3(ρ∈R )，设圆C 与l ′的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3， ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ－1＝0，θ＝π3，得：ρ2－23ρ－1＝0， 则⎩⎨⎧ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－1，|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝4， 直线l ′被圆截得的弦长为4.【点评】(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．方法总结 【p 167】1．点M (ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．如果限定ρ>0，0≤θ<2π或－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应．2．极坐标和直角坐标的互化公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x 轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同．极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以ρn时，方程增了一个n 重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解．3．极坐标方程的应用及求法(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单．(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题．(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝．(4)极坐标系内点的对称关系：①点P (ρ，θ)关于极点的对称点为P ′(ρ，θ±π)；②点P (ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点为P ′(ρ，－θ)；③点P (ρ，θ)关于直线θ＝π2的对称点为P ′(ρ，π－θ)；④点P (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点为P ′⎝⎛⎭⎪⎫ρ，π2－θ.4．极坐标系下A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)间的距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.走进高考 【p 167】1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解析】(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆． 由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线． 设y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2， 所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2， 所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．【解析】(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)， 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32 ≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.考点集训 【p 276】A 组题1．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．【解析】设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程． 可见仍是双曲线，则焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)．2．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．【解析】依题可知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4的直角坐标表示法为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522. 3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．【解析】圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程为2x ＋4y ＋a ＝0.因为圆与直线相切，所以|2×32＋4×0＋a |22＋42＝32， 解得a ＝－3±3 5.4．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．【解析】在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 则ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2x ， 故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.5．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，求|PQ |的最大值．【解析】将曲线C 1的极坐标方程化为直角坐标方程： ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36.将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程： ∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴|PQ |max ＝6＋6＋（33）2＋32＝18.6．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，并求出点D 的直角坐标．【解析】(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0，1)为圆心、1为半径的圆，易知曲线C 与直线l 相离．设点D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行． 即直线CD 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2＝1， 可得x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，所以y 0＝32，即点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，32. B 组题1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 【解析】(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．在极坐标系中，已知直线l 过点A (1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求：(1)直线l 的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离．【解析】(1)如图，由正弦定理得ρsin 2π3＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ. 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝sin 2π3＝32，∴直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32.(2)作OH ⊥l ，垂足为H ，在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3，则OH ＝OA sin π3＝32，即极点到该直线的距离等于32. 3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |＝42，求实数α的值．【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)得曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4，其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则|AB |＝|ρ1－ρ2|＝4|sin α－cos α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝42， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1， ∴α－π4＝π2＋k π(k ∈Z )，∵0<α<π，∴α＝3π4.4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 【解析】(1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4. (2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－43≥23＝233， 当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，Q 点到直线l 距离的最小值为233.。
选修4-4极坐标系与参数方程一、极坐标系与极坐标1、极坐标系的概念：在平面内取一个定点o,叫做极点；自极点0引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2、点M的极坐标：设M是平面内一点，极点0与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为以以极轴Ox为始边，射线0M为终边的ZXOM叫做点M的极角，记为0。
有序数对___________ 叫做点M的极坐标，记为 __________ ・极点0的坐标为(0,0)(& G R)・3、若p<0,则- /9>0,规定点(-Q, 0)与点(Q, 0)关于极点对称,即(-Q, &)与(Q,兀+ &)表示同一点。
女口果规定°>0,03&5 2兀，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(/?,&)表示；同吋，极坐标(°,&)表示的点也是唯一确定的。
4、 _________________________________________________ 极坐标与直角坐标的互化：, ________________________________________________5、圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是___________________在极坐标系中，以C(a,O) (a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程__________________ 在极坐标系中，以C(a,彳)@>0)为圆心,a为半径的圆的极坐标方程是 ________________ 6、直线的极坐标方程在极坐标系屮，& = 口(°»0)表示以极点为起点的一条射线( )在极坐标系中，过点A(a,b)(a>0),且垂直于极轴的直线I的极坐标方程是_____________________________________________________________________________ ・在极坐标系中，过点A(a"),且平行于极轴的直线I的极坐标方程是 ____________________ 二、参数方程1、参数方程的概念：在平面直角坐标系屮，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数/X = f(t)，并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y) 〔y = g(t),都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数。
第1节 选修4－4 坐标系与参数方程1．极坐标系与点的极坐标9(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取 逆时针 方向)，这样就建立了一个极坐标系．图1(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的 极角 .2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ ρsin θρ2＝ x 2＋y 2 tan θ＝yx(x ≠0)3.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos θ ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π24.直线的极坐标方程(1)直线l 过极点，且极轴与此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是 θ＝α (ρ∈R )． (2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为 ρsin_θ＝b (0＜θ＜π)． 5．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做 参变数 ，简称 参数 .6．常见曲线的参数方程和普通方程温馨提示：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.( ) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )(4)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(5)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√ [小题查验]1．(教材改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π2 B.⎝⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1,0)D ．(1，π)解析：B [方法一 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 方法二 由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2，故选B.] 2．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t ，(t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)得直线方程为4x ＋3y －10＝0，且斜率为k ＝－43，令直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－43，所以cos α＝－35.]3．在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1解析：C [由过点(1,0)与x 轴垂直的直线方程为x ＝1可知，过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程为ρcos θ＝1，选C.]4．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为 ________ .解析：由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ， 消去t ，得x －y ＝1， 即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝05．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为 ________ .解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝b a ，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3.答案：π3或2π3考点一 极坐标与直角坐标的互化(师生共研)[典例] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝4⎪⎪⎪⎪cos αsin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2|cos αsin α－3cos 2α|＝2⎪⎪⎪⎪12sin 2α－3cos 2α2－32 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.1．极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的非负半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．极坐标与直角坐标互化的策略(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．[跟踪训练](2019·合肥检测)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值．解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，即圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )的对称直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点，故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2， 所以实数m 的最大值为5－2.考点二 极坐标方程的应用(师生共研)[典例] (2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43，经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．[跟踪训练](2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解：(1)因为M (ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝⎛⎭⎫2，π3在曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2上． 所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2. (2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ， 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π2. 所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2.考点三 参数方程与普通方程的互化(师生共研)[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．[解] 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ ①y ＝2tan θ ②，由y ＝2tan θ，得tan θ＝y 2，代入①得y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．[跟踪训练]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t ，(t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917 .由题设知a ＋917＝17，所以a ＝8； 当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16. 综上，a ＝8或a ＝－16.考点四 参数方程的应用(师生共研) [典例] (2019·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2y ＝4t1＋t2，(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．解：(1)曲线C 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2①y ＝4t1＋t 2②由①2＋⎝⎛⎭⎫②22得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，又∵－1＜1－t 21＋t 2≤1， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得直线l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0. (2)C 上的点(cos θ，2sin θ)到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋23sin θ＋11|4＋3＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋117当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝－1时，d min ＝7. 即C 上的点到l 距离的最小值为7.一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单了．[跟踪训练]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.1．(2020·太原市质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.解：(1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32. 曲线C 2化为x 26＋y 22＝1.(*)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ.(2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝⎛⎭⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1， 即P ，Q 两点间的距离为1.2．(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，∴x 24＋y 216＝1. 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)∴y －2x －1＝tan α(α≠90°)，即tan α·x －y ＋2－tan α＝0，当α＝90°时，x ＝1.综上：l ：⎩⎪⎨⎪⎧tan α·x －y ＋2－tan α＝0(α≠90°)x ＝1(α＝90°).(2)当α＝90°，点(1,2)不为中点，∴不成立．当α≠90°，把l 代入曲线C 中得：4x 2＋[tan α·(x －1)＋2]2＝16， 化简得：(4＋tan 2α)x 2＋(4tan α－2tan 2α)x ＋tan 2α－ 4tan α－12＝0，∵点(1,2)为弦的中点，∴x 1＋x 2＝2，即2tan 2α－4tan α4＋tan 2α＝2，∴tan α＝－2，∴直线l 的斜率k ＝－2.3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρcos θ＝3，曲线C 2：ρ＝4cos θ(0≤θ≤π2)．(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设点Q 在C 2上，OQ →＝23OP →，求动点P 的极坐标方程．解：(1)联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得cos θ＝±32，∵0≤θ＜π2，∴cos θ＝32，∴θ＝π6，∴ρ＝23，∴所求交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. (2)设P (ρ，θ)，Q (ρ0，θ0)且ρ0＝4cos θ0，θ0∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 由已知OQ →＝23OP ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝25ρ，θ0＝θ，∴25ρ＝4cos θ(θ∈[0，π2)，故点P 的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈[0，π2)． 4．(2020·石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得y ＝2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝2x ，得ρsin θ＝2ρcos θ， ∴直线l 的极坐标方程为sin θ＝2cos θ. (2)∵ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ.∴曲线C 的方程可化为x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 圆C 的圆心C (0，－1)到直线l 的距离d ＝55， ∴|AB |＝24－d 2＝2955.5．(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)根据⊙O 的参数方程，可得⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1， 当α＝π2时，直线l 与圆⊙O 交于两点．当α≠π2时，tan α＝k设过点(0，－2)的直线为y ＝kx －2，要使直线与⊙O 相交于两点，则d ＝|－2|k 2＋1<1.故k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞) ∴α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)设P 点的坐标为(x ，y )，联立方程⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝kx －2，得(k 2＋1)x 2－22kx ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22k 2＋1，x 1·x 2＝1k 2＋1，故x ＝x 1＋x 22＝2k k 2＋1，y ＝2k 2k 2＋1－ 2.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k 2＋1，2k 2k 2＋1－2.∵k ＝tan α，∴点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan α1＋tan 2α，y ＝－21＋tan 2α，⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4.6．(2020·桂林联考)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数，α为l 的倾斜角)，曲线E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，射线θ＝β，θ＝β＋π6，θ＝β－π6与曲线E 分别交于不同于极点的A ，B ，C 三点．(1)求证：|OB |＋|OC |＝3|OA |；(2)当β＝π3时，直线l 过B ，C 两点，求y 0与α的值．解：(1)证明：依题意知，|OA |＝4sin β， |OB |＝4sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6， |OC |＝4sin ⎝⎛⎭⎫β－π6， 则|OB |＋|OC |＝4sin ⎝⎛⎭⎫β＋π6＋4sin ⎝⎛⎭⎫β－π6 ＝43sin β＝3|OA |.(2)当β＝π3时，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4sin π2，π2＝⎝⎛⎭⎫4，π2， 点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4sin π6，π6＝⎝⎛⎭⎫2，π6， 故B 、C 化为直角坐标为B (0,4)，C (3，1)， 所以直线l ：y ＝－3x ＋4， ∴y 0＝4，α＝2π3.。
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题74坐标系与极坐标方程最新考纲1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.基础知识融会贯通1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程重点难点突破【题型一】极坐标与直角坐标的互化【典型例题】曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标为（ ） A ．x 2+（y +2）2＝4 B ．x 2+（y ﹣2）2＝4 C ．（x ﹣2）2+y 2＝4D ．（x +2）2+y 2＝4【解答】解：曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ 即 ρ2＝4ρsin θ，即 x 2+y 2＝4y ， 化简为x 2+（y ﹣2）2＝4， 故选：B ．【再练一题】 点M 的直角坐标为（，﹣1）化为极坐标为（ ）A．（2，）B．（2，）C．（2，）D．（2，）【解答】解：∵点M的直角坐标为（，﹣1），∴ρ2，再根据此点位于第三象限，且tanθ，∴可取θ，故选：B．思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．【题型二】求曲线的极坐标方程【典型例题】过点（4，0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为（）A．ρsinθ＝4 B．ρ＝4sinθC．ρcosθ＝4 D．ρ＝4cosθ【解答】解：因为过点（4，0），与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝4，所以过点（4，0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcosθ＝4，故选：C．【再练一题】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线m与直线l平行，且过坐标原点，圆C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线m和圆C的极坐标方程；（2）设直线m和圆C相交于点A、B两点，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的斜率为1，∵直线m与直线l平行，且过坐标原点，∴直线m的直角坐标方程为y＝x，∴直线m的极坐标方程为；∵圆C的参数方程为（φ为参数），∴圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，∴圆C的极方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0；（2）把直线m的极坐标方程代入ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0中，得，则，ρ1ρ2＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，∴△ABC的周长为．思维升华求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．【题型三】极坐标方程的应用【典型例题】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝3，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）判断：直线l与曲线C是否相交？若相交，请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．【解答】解：（1）由（x﹣1）2+（y+1）2＝3，得x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0．∴ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0．即曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0；（2）把代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0，得．∵△0，∴方程有两不等实数根，则直线l与曲线C相交．且，ρ1ρ2＝﹣1．∴弦长为．【再练一题】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 2：ρ＝4cos θ的圆心为C 2．（Ⅰ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）过原点且与直线（t 为参数，0≤α＜π）平行的直线C 3与C 2的交点为M ，N ，且△C 2MN 的面积为2，求α的值．【解答】解：（Ⅰ）消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2+（y ﹣1）2＝1， 故C 1是以（0，1）为圆心，1为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ＝0或ρ＝2sin θ，而当θ＝0时得ρ＝0，故C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ．（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ＝α，与C 2的交点分别为M （cos α，α），N （0，α），，得|sin2α|＝1（0≤α＜π），得或．思维升华 极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．基础知识训练1．把圆2sin ρθ=绕极点按顺时针方向旋转4π而得圆的极坐标方程为（ ） A ．2sin()4πρθ=− B ．2cos()4πρθ=+C ．2cos()4πρθ=−D ．2sin()4πρθ=+【答案】D 【解析】因为圆2sin ρθ=的半径为1r =，圆心极坐标为(1,)2π，所以，将圆2sin ρθ=绕极点按顺时针方向旋转4π所得圆的圆心极坐标为(1,)4π，半径不变；因此，旋转后的圆的圆心直角坐标为()22，所以，所求圆的直角坐标方程为221x y ⎛⎛−+−= ⎝⎭⎝⎭，即220x y +=，化为极坐标方程可得2cos sin 0ρθθ−=， 整理得2sin()4πρθ=+.故选D2．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是（ ） A ．,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,0【答案】B 【解析】圆2sin ρθ=化为22sin ρρθ=,222x y y +=，配方为22(1)1x y +−= ，因此圆心直角坐标为(0,1)，可得圆心的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭故选：B3．在极坐标系中，4sin ρθ=表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．圆【答案】D 【解析】因为4sin ρθ=，即24sin ρρθ=，所以224yx y +=，因此原曲线为圆.故选D. 4．极坐标方程2sin 22ρθ=表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】C 【解析】由2sin22ρθ=，得2sin cos 1ρθθ=，又由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，则xy=1,即1y x =，所以表示的曲线是双曲线.故选C.5．在极坐标系中，曲线1C ：4cos()3πρθ=−上恰有3个不同的点到直线2C sin cos m θρθ+=的距离等于1，则m =（ ） A ．2 B ．2或6 C ．-6 D ．-2或-6【答案】B 【解析】曲线1C 的直角坐标方程为()(2214x y −+=，曲线2C 的直角坐标方程为0x m +−=，由题意知直线与圆相交，且曲线1C 的圆心(到直线2C 的距离为1，1=，故2m =或6.故选B.6．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中,与圆交于两点，则的长为（ ） A ．B ．1C ．D ．【答案】B 【解析】 把代入圆.所以|OA|=1. 故选：B7．在极坐标系中，曲线1C ：4cos()3πρθ=−上恰有3个不同的点到直线2C sin cos m θρθ+=的距离等于1，则m =（ ） A ．2或6 B ．2C ．-6D ．-2或-6【答案】A 【解析】224cos()(1)(43x y πρθ=−⇒−+=，圆心为1C ，半径为2，sin cos 0m x m θρθ+=⇒+−=，由题意可知：圆心1C 到直线2C 的距离为1，所以11+326m m =⇒−=⇒=或2m =，故本题选A.8．设点P 在曲线 sin 2ρθ=上，点Q 在曲线 2cos ρθ=−上，则PQ 的最小值为( )． A ．2 B ．1 C ．3 D ．0【答案】B 【解析】根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线sin 2ρθ=的直角坐标方程为2y =，曲线2cos ρθ=−，则22cos ρρθ=−，所以直角坐标方程为2220x y x ++=，即22(1)1x y ++=，表示圆心为(1,0)−，半径1r =的圆，则圆心到直线2y =的距离为2，所以PQ 的最小值为2211r −=−=，故选B ． 9．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ−=被曲线ρ=截得的线段长为（ ）AB．2CD ．2【答案】C 【解析】直线sin cos 1ρθρθ−=的直角坐标方程为1y x −=，即10x y −+=，ρ=化为22ρ=，直角坐标方程为222x y +=，圆心为原点，半径为r =圆心到直线10x y −+=的距离为2d ==，10x y −+=被圆222x y +=截得的弦长为==，故选C.10．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=− D ．8sin ρθ=−【答案】A 【解析】设点(),B ρθ，则点,2A πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入8sin ρθ=，得8sin 8cos 2πρθρθ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭.故选A. 11．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．4πρθ⎛⎫=−⎪⎝⎭C ．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．4πρθ⎛⎫=−⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由题意，圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程，可得22(4)16x y +−=，直线():4l R πθρ=∈化为直角坐标方程，可得y x =，由直线与圆交于,A B 两点，把直线y x =代入圆22(4)16x y +−=，解得00x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩，所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为， 则圆的方程为22(2)(2)8x y −+−=，即22440x y x y +−−=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可得24cos 4sin 0ρρθρθ−−=，即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，故选A ． 12．在极坐标中，O 为极点，曲线C ：=2cos ρθ上两点A B 、对应的极角分别为63，ππ，则AOB ∆的面积为A ．4B ．34C ．2D ．32【答案】A 【解析】依题意得：6A π⎫⎪⎭、1,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，366AOB πππ∠=−=，所以111=sin 126224AOB S OA OB π∆⋅⋅=⋅=，故选：A 。
