2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第26讲 平面向量的数量积

→ (2)当OX＝(4,2)，即 y＝2 时， → → 有XA＝(－3,5)，XB＝(1，－1)， → → 所以|XA|＝ 34，|XB|＝ 2， → XB → XA· 4 17 所以 cos∠AXB＝ ＝－ 17 . → |· | → |XA |XB
【点评】(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因 此解题关键在于寻找变量，以构造函数．而(2)中即为数量积 定义的应用．
备选例题Βιβλιοθήκη → MN PM PN → → 已知两点 M(－1,0)， N(1,0)， 且点 P 使MP· ，→ · ， → NP → NM· 成公差小于零的等差数列． (1)点 P 的轨迹是什么曲线？ → → (2)若点 P 的坐标为(x0，y0)，记 θ 为PM与PN的夹角， 求 tanθ.
【解析】(1)设 P(x，y)，由 M(－1,0)，N(1,0)，得 → → PM＝－MP＝(－1－x，－y)， → → → → PN＝－NP＝(1－x，－y)，MN＝－NM＝(2,0)． → MN → → PN → → NP → 所以MP· ＝2(1＋x)，PM· ＝x2＋y2－1，NM· ＝ 2(1－x)． → MN → PN → NP → → → 于是，MP· ，PM· ，NM· 是公差小于零的等差 数列，
数量积的性质：
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a ________ ________( 1 e a ⑦ ×e ⑧ |a| e是与a同方
向的单位向量)； ________ ； 2 a 2 ⑨ ________ 3 a b 0 ⑩⊥b ； a ab ________________ ； 4 cos ⑪ | a | | b | ________ a | b | . 5 | a b | ⑫
a
2
x1 x2 y1 y2 若a ( x1，y1 )，b ( x2，y2 )，则a b ⑬_____________.
3．定理
a b 向量a在b上的投影为⑭ ________ . |b|
2．向量数量积的坐标运算
x1 x2 y1 y2 __ 两个向量a、b垂直的充分必要条件是⑮ __________ 0 .
→ 【解析】(1)设OX＝(x，y)． → → 因为点 X 在直线 OP 上，所以向量OX与OP共线． → 又OP＝(2,1)，所以 x－2y＝0，即 x＝2y. → → → → → 所以OX＝(2y，y)．又XA＝OA－OX，OA＝(1,7)， → 所以XA＝(1－2y,7－y)．
→ → → 同样XB＝OB－OX＝(5－2y,1－y)． → XB → 于是XA· ＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y) ＝5y2－20y＋12 ＝5(y－2)2－8. → XB → → 所以当 y＝2 时，XA· 有最小值－8，此时OX＝(4,2)．
【解析】(1)由(2a－3b)(2a＋b)＝61， 得 4|a|2－4a· b－3|b|2＝61. 因为|a|＝4，|b|＝3，代入上式，求得 a· b＝－6， －6 1 a· b 所以 cosθ＝ ＝ ＝－2. |a||b| 4×3 因为 0° ≤θ≤180° ，所以 θ＝120° .
(2)因为 a，b 的夹角 θ 为钝角， 所以 a· b<0，且 a 与 b 不共线，
素材2
→ → → 平面内有向量OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，OP＝(2,1)，点 X 为 直线 OP 上的一个动点． → XB → → (1)当XA· 取最小值时，求OX的坐标； (2)当点 X 满足(1)的条件和结论时，求 cos∠AXB 的值．
→ → 【分析】 因为点 X 在直线 OP 上，向量OX与OP共线，可以 → → XB → 得到关于OX坐标的一个关系式，再根据XA· 的最小值，求 → → → 得OX的坐标，而 cos∠AXB 是XA与XB夹角的余弦，利用数量 积的知识易解决．
2 1 x ＋y2－1＝ [21＋x＋21－x] 2 等价于 21－x－21＋x<0
x2＋y2＝3 即 x>0
，
.
所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心， 3为半径的右半 圆(不包括与 y 轴的交点)．
→ PN 0 0 → (2)点 P 的坐标为(x0，y0)，PM· ＝x2＋y2－1＝2， → |PN |PM|·→ |＝ 1＋x02＋y2· 1－x02＋y2 0 0 ＝ 4＋2x04－2x0＝2 4－x2. 0 → PN → PM· 1 所以 cosθ＝ ＝ 2. → |PN 4－x0 |PM|·→ |
素材1
已知点 O 是△ABC 所在平面上的一点，CA＝CB，设 a → → → ＝OA，b＝OB，c＝OC，若|a|＝4，|b|＝2，求 c· (a－b)．
→ → → → 【解析】因为|CA|＝|CB|，所以CA2＝CB2， → → → → 所以(OA－OC)2＝(OB－OC)2， → → OC → → → → → OC → 即OA2－2OA· ＋OC2＝OB2＋OC2－2OB· ， 16－2a· c＝4－2b· c，所以 c· (a－b)＝6.
【解析】a· b＝4×2×cos120° ＝－4， 所以|a＋b|＝ a＋b2 ＝ a2＋b2＋2a· b ＝ 16＋4＋2×－4 ＝2 3. (a－2b)(a＋b)＝a2－a· b－2b2＝16＋4－2×4＝12.
一
平面向量数量积的运算
【例 1】已知 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a 与 b 的 夹角为 60° ，求： (1)(a＋2b)(2a－b)； (2)|a－b|.
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们
0 规定：零向量与任一向量的数量积为③ ______ .
向量的数量积满足的运算律：
a b b a 1 ④ ____________________ ； ( a) (a ) a b) b b ( 2 ⑤ ____________________ ； a b c ac bc 3 ⑥ ____________________ .
【点评】关于几何图形上点，要把握点所满足的条件，并 将条件转化为向量式，结合向量运算与模运算的转化公式 |a|2＝a2 来解．
二
平面向量夹角的问题
【例 2】(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)· (2a＋b)
＝61，求 a 与 b 的夹角 θ； (2)若 a＝(－1,2)，b＝(3，x)，且 a，b 的夹角 θ 为 钝角，求 x 的取值范围．
1 3 1 2 (3)由(2)知，f(t)＝4(t －3t)，f ′(t)＝4(3t －3)， 令 f ′(t)>0 得 t>1 或 t<－1， 令 f ′(t)<0 得－1<t<1，且 t≠0. 所以函数 k＝f(t)的单调递增区间为(1，＋∞)和(－∞， －1)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)．
→ · ＝0，得－1＋1y＝0， → 【解析】由AB AC 2 所以 y＝2.
3.在平面直角坐标系中，O 是原点，已知 A(－3，－1)， → 在OC方向上的投影是 －22 . B(4,1)， C(4， －3)， 则向量BA → 5
→ 【解析】BA＝(－3，－1)－(4,1)＝(－7，－2)， → OC 4×－7＋－3×－2 → BA· 22 → 在OC上投影为 → BA ＝ ＝－ 5 . 5 → |OC|
－3＋2x<0 3 即 ，解得 x<2，且 x≠－6. －x－6≠0
3 故 x 的取值范围为(－∞，－6)∪(－6，2)．
【点评】(1)本题中数量积运算，从形式上看，实数中的乘法分 配律依然成立，但在展开式中应注意带上点乘符号，同时要熟 a· b 练运用公式 cosθ＝ ；(2)当夹角为钝角时，要注意 a 与 b 不 |a||b| 共线．
理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解 平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的 坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用 数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平 面向量是否具有垂直关系．
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1.向量的数量积
a b cos 把数量① ____________ 叫做a与b的数量积(或内积)， a b a | b | cos 记作② _______________________ .
1 3 【解析】(1)证明：因为 a· b＝ 3×2－1× 2 ＝0， 所以 a⊥b. (2)因为 c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且 c⊥d， 所以 c· d＝[a＋(t2－3)b]· (－ka＋tb) ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a· b＝0. 又 a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a· b＝0， 所以 c· d＝－4k＋t3－3t＝0， t3－3t 所以 k＝f(t)＝ 4 (t≠0)．
2
所以 b 与 a＋tb 垂直．
【点评】本题为向量与二次函数的综合题，解题时要注意向量 的数量积为数，充分利用二次函数的对称轴求解．
素材3
1 3 已知平面向量 a＝( 3，－1)，b＝(2， 2 )． (1)证明：a⊥b； (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 c＝a＋(t2－3)b，d ＝－ka＋tb，且 c⊥d，试求函数关系式 k＝f(t)； (3)对(2)的结论，讨论函数 k＝f(t)的单调性．
1 π 因为 0<x0≤ 3，所以2<cosθ≤1,0≤θ<3， sinθ＝ 1－cos θ＝
2
1 1－ ， 4－x2 0 1 1－ 4－x2 0 ＝ 3－x2＝|y0|. 0 1 4－x2 0
sinθ 所以 tanθ＝cosθ＝
【点评】(1)本题是关于平面向量的一道综合创新题，它考查 了平面向量的基本概念及其运算，是一个向量与平面解析几 何、三角函数及不等式的综合题，是在知识网络的交汇点处 设计的一个优秀试题，但解决这一问题的基本知识却是向量 中最基本也是最重要的知识． (2)平面向量的数量积将角度和长度有机地联系在一起， 因此，涉及角度与距离有关的问题，可优先考虑用向量的数 量积进行处理．