等价转化的几种常见方法

高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。

本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。

难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。

一、高次不等式1．概念：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0（其中x1, x2, ……,x n是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。

2．解题思路：作出相应函数的图象草图。

具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。

然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。

3．例题：例1．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。

解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。

所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。

(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。

作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。

注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。

例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。

分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞)。

数学思想方法——等价转化解决数学问题时，我们常会遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如函数与方程的转化，未知向已知转化，数与形的转化，空间向平面的转化，正面与反面的转化等，都是转化思想的体现.我就平时遇到的一些题目进行归类、剖析.题型一函数与方程的转化例1、已知函数在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_______.解析：f(x)在定义域内为增函数即等价于,对恒成立.解题回顾：(1)f(x)在区间（a,b）上为增函数（减函数）常转化为对恒成立(注意验证) .(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题，本题中采用分离参数法，问题就明朗化了.解析：建立如图所示的平面直角坐标系解题回顾：（1）解决向量的问题我们有三种方法：一线性运算、二向量数量积的定义、三向量的坐标运算.本题采用第三种方法将向量的问题转化为函数的最值问题.（2）本题也体现了数与形的转化.例3、中，角A的对边长等于2，向量向量（1）求取得最大值时的角A的大小；（2）在（1）的条件下求面积的最大值.解析：故取得最大值时的角. .（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，由余弦定理，得即，当且仅当b＝c＝2时取等号,又，当且仅当a=b＝c＝2时，的面积最大为.解题回顾：(1)本题中求的最大值转化为求关于的二次函数的最大值.在解题时应注意的取值范围即角A的范围.(2)为了求bc的取值范围只要将由余弦定理得到的等式转化为不等式即可.即运用不等式.例4、若关于x的方程cos2x＋4asinx＋a－2=0在区间［0,π］上有两个不同的解，求实数a的取值范围.可知：解得：解题回顾：本题涉及多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.题型二未知与已知的转化例1、已知则解析：由已知可得所以把变形成点评：在三角求值中，我们一定要注意已知角与未知角的关系，实现未知与已知的转化.当然本题中也涉及三角函数名的转化.例2、在R上定义运算：若不等对任意实数x都成立，则实数a的取值范围解析：由定义可知即恒成立点评：定义信息型创新题是近年高考出现频率较高的试题之一，对定义信息的提取和转化是求解的关键，也是一个难点.例3、已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有且的最大值为1，则满足的解集为_______.解析：解决本题的关键是对的理解.从代数的角度看：当时，，当时，所以此函数在定义域内为增函数，从几何的角度看：此函数上任意两点连线的斜率均大于0，所以此函数为增函数.解题回顾：未知与已知的转化，方法二也体现了数与形的转化.例4、已知o为原点，向量（2）求的最大值及相应x的值.（2），所以的最大值为相应的解题回顾：本题涉及三角函数名的转化、未知角向已知角的转化、数与形的结合、利用不等式求函数的最值等问题.题型三变量与常量的转化例、若不等式对一切均成立，则实数x的取值范围____.解析∵∴，令g(p)=，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有∴x>3或x<－1点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.题型四正面与反面的转化例、已知命题：使为真命题，则a的取值范围是_____.解析：原命题等价于若从反面考虑：原命题的否定为使解题回顾：正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可转化考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.题型五空间与平面的转化例、如图所示，在单位正方体的面对角线上存在一点P使得最短，则的最小值_______.解析：将面A1AB绕轴A1A旋转到与面A1BCD1共面，如右图所示，D1A 为所求最小值，最小值为.解题回顾：立体图形中最短路径的问题常通过图形的翻折转化到平面来解决.等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性，在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个固定统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；也可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；也可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

收稿日期:2012-01-12作者简介:杨全发(1962-),男,湖南蓝山人,中学高级教师,研究方向:初等数学及数学竞赛培训.不等式恒成立问题的等价转换策略杨全发(郴州市第一中学,湖南郴州　423000)摘　要:不等式恒成立问题是高中数学教学和数学竞赛培训中的一个难点.处理好不等式恒成立问题,是即将参加高考和数学竞赛的同学获得高分的有力保证,而等价转换是解决此类问题的重中之重.关键词:高考;不等式;等价转换中图分类号:O122.3 文献标识码:A DOI :10.3969 j .jssn .1672-8173.2012.02.017在一定的条件下,给出一个带有参数的不等式,要求使不等式恒成立的参数的取值范围或最值,这是近年来在数学竞赛和高考中的热门问题之一,它经常出现在高考压轴题和高中数学竞赛试题中,也是高中数学教学的难点之一,面对此类问题学生往往束手无策.此类问题涉及到函数、数列、不等式诸多内容,解决此类问题就论证过程而言,是应用函数的性质及不等式的证明的一些常用方法,如比较法、放缩法、反推法、归纳法等.本文结合实例谈谈几类恒成立问题的等价转换策略.类型一:对 x ∈A 都有f (x )≤(或≥)Mx ∈A ,都有f (x )≤M f (x )max ≤M ; x ∈A ,都有f (x )≥M f (x )min ≥M .例1　(2011年浙江高考题)　设函数f (x )=a 21nx -x 2+ax ,a >0.(Ⅰ)求f (x )的单调区间;(Ⅱ)求所有实数a ,使e -1≤f (x )≤e 2对x ∈[1,e ]恒成立.解:(Ⅰ)因为f (x )=a 21nx -x 2+ax .其中x >0,所以f ′(x )=a 2x -2x +a =-(x -a )(2x +a )x .由于a >0,所以f (x )的增区间为(0,a ),减区间为(a ,+∞).(Ⅱ)证明:由题意得,f (1)=a -1≥c -1,即a ≥c ,由(Ⅰ)知f (x )在[1,e ]内单调递增,故f (x )min =f (1),f (x )max =f (e ).要使e -1≤f (x )≤e 2对x ∈[1,e ]恒成立,只要f (1)=a -1≥e -1,f (e )=a 2-e 2+ae ≤e 2,解得a =e .类型二:至少存在一个x 0∈A 使得f (x 0)≤(或≥)M至少存在一个x 0∈A ,使得f (x 0)≤M f ≤(x )min ≤M ;至少存在一个x 0∈A ,使得f (x 0)≥M f (x )max ≥M .例2　已知a ≠0,函数.f (x )=13a 2x 3-ax 2+23,g (x )=-ax +1.若在区间(0,12]上至少存在一个实数x 0,使f (x 0)>g (x 0)成立,试求正实数a 的取值范围.解:设F (x )=f (x )-g (x )=13a 2x 3-ax 2+ax -13,x ∈(0,12].对F (x )求导,得F ′(x )=a 2x 2-2ax +a =a 2x 2+a (1-2x ),因为x ∈(0,12],a >0,所以F ′(x )=a 2x 2+a (1-2x )>0,F (x )在区间(0,12]上为增函数,则F (x )max =F (12).　依题意,只需F (x )max >0,即·68·2012年4月第33卷第2期 湘南学院学报Journal of Xiangnan University Apr .,2012Vol .33No .213a 2×18-a ×14+a ×12-13>0,即a 2+6a -8>0,解得a >-3+17或a <-3-17(舍去).所以正实数a 的取值范围是(-3+17,+∞).类型三:对 x 1∈A , x 2∈B 都有f (x 1)≤(或≥)g (x 2)对 x 1∈A , x 2∈B ,都有f (x 1)≤g (x 2) f (x )max ≤g (x )min ;对 x 1∈A , x 2∈B ,都有f (x 1)≥g (x 2) f (x )min ≥g (x 2)max .例3　已知函数f (x )=8x 2+16x -k ,g (x )=2x 3+5x 2+4x ,其中k ∈R ,对任意x 1∈-3,3,x 2∈-3,3,都有f (x 1)<g (x 2)成立,求k 的取值范围.解:对任意x 1∈-3,3,x 2∈-3,3,都有f (x 1)<g (x 2)成立等价于f (x )max <g (x )min (x ∈-3,3).g ′(x )=6x 2+10x +4=2(3x +2)(x +1).x -3(-3,-1)-1(-1,-23)-23(-23,3)3g ′(x )+0-0+g (x )-21增函数-1减函数-2827增函数111由上表可知g (x )在[-3,3]内的最小值为-21.又f (x )=8x 2+16x -k =8(x +1)2-8-k 在[-3,3]内的最大值为f (3)=120-k ,故120-k <-21,即k >99.类型四: x 1∈A 对 x 2∈B 恒有f (x 1)≤(或≥)g (x 2)x 1∈A 对 x 2∈B ,恒有f (x 1)≥g (x 2) f (x )max ≥g (x )max ; x 1∈A 对 x 2∈B ,恒有f (x 1)≤g (x 2) f (x )min ≤g (x )min .例4、已知函数f (x )=1nx -a x,g (x )=f (x )+ax -61nx ,其中a ∈R .设函数h (x )=x 2-mx +4,当a =2时,若 x 1∈(0,1), x 2∈[1,2],总有g ′(x 1)≥h (x 2)成立,求实数m 的取值范围.解:当a =2时,g (x )=2x -2x -51nx ,g ′(x )=2x 2-5x +2x2,由g ′(x )=0得x =12或x =2,当x ∈(0,12)时,g ′(x )≥0;当x ∈(12,1)时,g ′(x )<0.所以在(0,1)上,g (x )max =g (12)=-3+51n2,而“ x 1∈(0,1), x 2∈[1,2],总有g (x 1)≥h (x 2)成立”等价于“g (x )在(0,1)上的最大值不小于h (x )在[1,2]上的最大值”,而h (x )在[1,2]上的最大值为max {h (1),h ()2},所以有g (12)≥h (1)g (12)≥h (2) -3+51n2≥5-m -3+51n2≥8-2m m ≥8-51n2m ≥12(11-51n2) m ≥8-51n2,从而实数m 的取值范围是[8-51n2,+∞).许多不等式恒成立问题,在形式上不属以上所列的类型,但可以通过等价变形转化为其中之一.例5　(2010年江苏高考题)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,已知2a 2=a 1+a 3,数列{S n }是公差为d 的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式(用n ,d 表示);(2)设c 为实数,对满足m +n =3k 且m ≠n 的任意正整数m ,n ,k ,不等式S m +S n >cS k 都成立.求证:c 的最大值为92.解:(1)由题意知:d >0,S n =S 1+(n -1)d =a 1+(n -1)d ,2a 2=a 1+a 3 3a 2=S 3 3(S 2-S 1)=S 3,3[(a 1+d )2-a 1]2=(a 1+2d )2,化简,得:a 1-2a 1d +d 2=0,·69·杨全发:不等式恒成立问题的等价转换策略a 1=d ,a 1=d 2,S n =d +(n -1)d =nd ,S n =n 2d 2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2d 2-(n -1)2d 2=(2n -1)d 2,适合n =1情形.故所求a n =(2n -1)d 2.(2)S m +S n >cS k m 2d 2+n 2d 2>ck 2d 2 m 2+n 2>ck 2,∴c <m 2+n 2k2恒成立.又m +n =3k 且m ≠n ,2(m 2+n 2)>(m +n )2=9k 2 m 2+n 2k 2>92,故c ≤92,即c 的最大值为92.本题是关于变量取整数的不等式的最值问题,关于这类问题的求解策略,有兴趣的读者可以去参考文献[1].例6　(2010年辽宁高考题)　已知函数f (x )=(a +1)1nx +ax 2+1.(I )讨论函数f (x )的单调性;(II )设a <-1.如果对任意x 1,x 2∈(0,+∞), f (x 1)-f (x 2)≥4 x 1-x 2 ,求a 的取值范围.解:(Ⅰ)f (x )的定义域为(0,+∞).f ′(x )=a +1x +2ax =2ax 2+a +1x.当a ≥0时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)单调增加;当a ≤-1时,f ′(x )<0,故f (x )在(0,+∞)单调减少;当-1<a <0时,令f ′(x )=0,解得x =-a +12a.则当x ∈(0,-a +12a )时,f ′(x )>0;x ∈(-a +12a .+∞)时,f '(x )<0.故f (x )在(0,-a +12a )单调增加,在(-a +12a .+∞)单调减少.(Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2,而a <-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而 x 1,x 2∈(0,+∞), f (x 1)-f (x 2) ≥4 x 1-x 2 等价于 x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 2)+4x 2≥f (x 1)+4x 1　………　①令g (x )=f (x )+4x ,则g ′(x )=a +1x+2ax +4,①等价于g (x )在(0,+∞)单调减少,即a +1x +2ax +4≤0.从而a ≤-4x -12x 2+1=(2x -1)2-4x 2-22x 2+1=(2x -1)22x 2+1-2,故a 的取值范围为(-∞,-2].参考文献:[1]单　土尊.数学奥林匹克高中版新版·竞赛篇[M ].北京:北京大学出版社,1993.Strategy of the Equivalent Transformation forInequality Constant EquationYang Quanfa(No .1Middle School of Chenzhou City ,Chenzhou 423000,C hina )Abstract :Inequality constant equation is a difficult point in the teaching and contest training of senior middle school students 'mathematics .A good master y of it can ensure students 'success in university entrance examina -tions or math contests .Equivalent transfor mation is the key to this problem .Key words :university entrance examination ;inequality ;equivalent transformation ·70·湘南学院学报(自然科学版) 2011年4月(第33卷)第2期。

五年级上册数学运用转化思想的地方数学的核心在于数学思维，不在于计算过程，计算是一种不需要创造性的体力活。

如果你发现自己的学习过程中大多数精力都花在了计算器都可以解决的问题上，那明显就是用错力了。

转化思想是数学学习过程中常用的思想方法，是数学问题解决的基本思路和途径之一，传颂千古的司马光砸缸、曹冲称象等故事，都成功地运用了转化的策略。

1转化思想方法转化与化归是中学数学最基本的数学思想之一，是一切数学思想方法的核心。

转化是客观存在，转化思想是主观对客观的反映。

转化思想在数学上比比皆是，数学解题的过程，其实就是一个通过转化获得问题解决的过程。

数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

运用转化思想要注意的是形变、量变而质不变，以保证转化只是恒等变形或等价变形、一旦转化造成制约条件变化，从而引起取值范围变化时，就要及时进行检验.2解决哪些问题除了一些基本题，直接运用有关定义、定理、法则求解外，通常都要对条件和结论进行转化，把隐性转化为显性，把分散转化为集中，把多元转化为一元，把高次转化为低次，把未知转化为已知或通过一般与特殊转化；数与形相互转化，动与静相互转化，部分与整体相互转化，从陌生到熟悉，把所要解决的问题转化为已经解决的问题，求得问题的解决。

在研究数学问题时，转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题；将抽象的问题转为具体的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。

转化的内涵非常丰富，等价转化和非等价转化、已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

转化的思想启迪我们在解决数学问题上，要用多角度，多方位的目光来看问题。

3具体应用方法常见的转化方法：①直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；②换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；③数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径；④等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；⑤特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题；⑥构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；⑦坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。

数学等价代换公式数学中的等价代换公式是一种重要的数学工具，它可以用来简化计算过程、转化复杂的表达式、证明定理等。

等价代换公式有很多种，下面我将介绍几个常见的等价代换公式，并说明它们的应用。

1. 分配律分配律是最基本的等价代换公式之一，用于展开括号。

它可以表示为：a(b+c) = ab+ac。

这个公式的应用非常广泛，可以用于化简多项式的乘法运算，展开括号后进行合并同类项等。

2. 合并同类项合并同类项是指将具有相同变量的项合并在一起，它可以用于简化代数表达式。

例如，对于表达式2x+3x，我们可以使用等价代换公式2x+3x = (2+3)x = 5x，将两个相同变量的项合并为一个。

3. 幂运算法则幂运算法则是用于计算幂运算的等价代换公式。

它包括以下几个规则：- a^m * a^n = a^(m+n)：两个相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

- (a^m)^n = a^(m*n)：一个幂的指数再次取幂，底数不变，指数相乘。

- (a*b)^n = a^n * b^n：幂的底数为两个数的乘积，指数不变，分别对底数取幂后再相乘。

- (a^n)*(b^n) = (a*b)^n：幂的底数为两个数的乘积，指数不变，先分别对底数取幂，再将结果相乘。

4. 对数运算法则对数运算法则是用于计算对数运算的等价代换公式。

它包括以下几个规则：- log_a(x*y) = log_a(x) + log_a(y)：对数的底数为两个数的乘积，底数不变，分别对两个数取对数后再相加。

- log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)：对数的底数为两个数的商，底数不变，分别对两个数取对数后再相减。

- log_a(x^n) = n*log_a(x)：对数的底数为一个数的幂，底数不变，将幂移到对数的前面。

5. 三角函数的等价代换公式三角函数的等价代换公式有很多种，常见的有：- sin^2(x) + cos^2(x) = 1：三角函数sin和cos的平方和等于1，这是三角函数的基本等式之一。

方法六等价转化法著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”.数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.常见的转化方法有以下几种类型：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题.1．由等与不等引起的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．例1【2018届河北省定州中学高三下学期开学】定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，∵函数是区间上的双中值函数，∴区间上存在，满足∴方程在区间有两个不相等的解，令，则，解得∴实数的取值范围是.故答案为．例2【2018届湖北省宜昌市高三年级元月调研】已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是_____________.【答案】点睛：本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题。

转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想是一种通过变形、等价转化等方法，使题目更易于理解、计算和解答的思考方式。

在初中数学解题中，转化思想应用广泛，可以减少计算量、简化问题、得出更精确的答案。

以下是几个例子：
1. 化简式子
化简式子是数学中经常出现的问题，例如化简分式、化简式子等。

这时可以运用转化思想，将式子变形成更简单的形式，使得计算更方便。

2. 转化为几何问题
在解决几何题时，转化思想也非常有用。

可以将几何题转化为代数问题或者反过来，根据具体情况来选择合适的表达方式，从而更好地解决问题。

3. 设变量
在解决问题中，遇到一些具有变量的题目，可以将问题中所含量先假设为变量，根据实际情况推导出该变量的取值，从而得出问题的答案。

4. 分解因式
分解因式也需要运用转化思想，将表达式按照特定的规则进行转化，使其因式分解更加得心应手。

同时，因式分解也可以被视为一种概括和转化的思想方法。

总之，转化思想在初中数学解题中的应用非常广泛，可以巧妙地化简问题、提高解题效率、得出更精确的答案。

高三数学等价转换知识点高三数学学习中，等价转换是一个非常重要的知识点。

等价转换是指将一个数学问题或表达式转化为与之等价的形式，以便更好地理解和解决问题。

本文将介绍高三数学中的一些常见等价转换知识点。

1. 符号的等价转换在数学中，我们经常会遇到一些特殊符号，通过对这些符号的等价转换，可以简化问题的处理。

比如：- 等号的等价转换：如将一个含有等号的方程通过变形转化为另一种等价形式，使得问题的解更易求得。

- 不等号的等价转换：如在不等式中可以进行加减乘除等操作，将不等式转化为等价但更易处理的形式。

2. 基本等价变形在数学中，有一些基本的等价变形是常见且常用的。

比如：- 分数的等价转换：如将一个分数化简为最简形式，或将一个分数转化为小数形式。

- 百分数的等价转换：如将一个百分数转化为小数或分数形式，或将小数或分数转化为百分数形式。

- 幂数和根号的等价转换：如将一个含有幂数或根号的表达式通过变形转化为等价形式，使问题更易处理。

3. 几何图形的等价转换在几何学中，我们常常遇到一些几何图形，通过等价转换，可以得到与之等价但更易处理的几何图形。

比如：- 三角形的等价转换：如通过三角形的边长和角度等特征，将一个复杂的三角形转化为与之等价但更易处理的简单三角形。

- 直线和曲线的等价转换：如通过平面几何中的线性变换，将一个复杂的曲线问题转化为直线问题，使问题的求解更加方便。

4. 数学表达式的等价转换在数学中，我们经常会用到各种各样的数学表达式，通过等价转换，可以将一个复杂的数学表达式转化为与之等价但更易处理的形式。

比如：- 代数式的等价转换：如将一个代数式通过合并同类项、提取公因式、配方法等变形，转换为更简洁或更易计算的形式。

- 级数的等价转换：如将一个级数通过换元、分部积分等变换转化为与之等价但更易求和的形式。

综上所述，等价转换是高三数学学习中的一个重要知识点。

通过等价转换，我们可以将原问题转化为与之等价但更易处理的形式，从而更好地理解和解决数学问题。

数学思想方法——等价转化解决数学问题时，我们常会遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如函数与方程的转化，未知向已知转化，数与形的转化，空间向平面的转化，正面与反面的转化等，都是转化思想的体现.我就平时遇到的一些题目进行归类、剖析.题型一函数与方程的转化例1、已知函数在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_______.解析：f(x)在定义域内为增函数即等价于,对恒成立.解题回顾：(1)f(x)在区间（a,b）上为增函数（减函数）常转化为对恒成立(注意验证) .(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题，本题中采用分离参数法，问题就明朗化了.解析：建立如图所示的平面直角坐标系解题回顾：（1）解决向量的问题我们有三种方法：一线性运算、二向量数量积的定义、三向量的坐标运算.本题采用第三种方法将向量的问题转化为函数的最值问题.（2）本题也体现了数与形的转化.例3、中，角A的对边长等于2，向量向量（1）求取得最大值时的角A的大小；（2）在（1）的条件下求面积的最大值.解析：故取得最大值时的角. .（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，由余弦定理，得即，当且仅当b＝c＝2时取等号,又，当且仅当a=b＝c＝2时，的面积最大为.解题回顾：(1)本题中求的最大值转化为求关于的二次函数的最大值.在解题时应注意的取值范围即角A的范围.(2)为了求bc的取值范围只要将由余弦定理得到的等式转化为不等式即可.即运用不等式.例4、若关于x的方程cos2x＋4asinx＋a－2=0在区间［0,π］上有两个不同的解，求实数a的取值范围.可知：解得：解题回顾：本题涉及多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.题型二未知与已知的转化例1、已知则解析：由已知可得所以把变形成点评：在三角求值中，我们一定要注意已知角与未知角的关系，实现未知与已知的转化.当然本题中也涉及三角函数名的转化.例2、在R上定义运算：若不等对任意实数x都成立，则实数a的取值范围解析：由定义可知即恒成立点评：定义信息型创新题是近年高考出现频率较高的试题之一，对定义信息的提取和转化是求解的关键，也是一个难点.例3、已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有且的最大值为1，则满足的解集为_______.解析：解决本题的关键是对的理解.从代数的角度看：当时，，当时，所以此函数在定义域内为增函数，从几何的角度看：此函数上任意两点连线的斜率均大于0，所以此函数为增函数.解题回顾：未知与已知的转化，方法二也体现了数与形的转化.例4、已知o为原点，向量（2）求的最大值及相应x的值.（2），所以的最大值为相应的解题回顾：本题涉及三角函数名的转化、未知角向已知角的转化、数与形的结合、利用不等式求函数的最值等问题.题型三变量与常量的转化例、若不等式对一切均成立，则实数x的取值范围____.解析∵∴，令g(p)=，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有∴x>3或x<－1点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.题型四正面与反面的转化例、已知命题：使为真命题，则a的取值范围是_____.解析：原命题等价于若从反面考虑：原命题的否定为使解题回顾：正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可转化考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.题型五空间与平面的转化例、如图所示，在单位正方体的面对角线上存在一点P使得最短，则的最小值_______.解析：将面A1AB绕轴A1A旋转到与面A1BCD1共面，如右图所示，D1A 为所求最小值，最小值为.解题回顾：立体图形中最短路径的问题常通过图形的翻折转化到平面来解决.等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性，在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个固定统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；也可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；也可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

化学平衡中常用的几种解题方法一.等价转化(等效平衡)法(一)等效平衡的概念和含义体积为1L的两个密闭容器中均发生反应:CO(g)+ H2O(g)≒CO2(g)+ H2(g),在一个容器中充入0.01molCO(g)和0.01molH2O(g),在另一个容器中充入0.01molCO2(g)和0.01molH2(g),在温度为800℃，均达到化学平衡。

恒温恒容 CO(g) + H2O(g) ≒ CO2(g) + H2(g)途径1:起始 0.01mol 0.01mol 0 0 平衡 0.004mol 0.004mol 0.006mol 0.006mol 途径2:起始 0 0 0.01mol 0.01mol 平衡 0.004mol 0.004mol 0.006mol 0.006mol恒温恒压可逆反应N2(g)+3H2(g)≒2NH3(g)第一种投料开始 1mol 3mol 0 平衡态Ⅰ第二种投料开始 1.5mol 4.5mol 1mol 平衡态Ⅱ在每个平衡状态中,NH3在平衡混合物中都有个百分含量,这两个百分含量在平衡Ⅰ和平衡Ⅱ中相等。

在相同条件下,同一可逆反应,不管从正反应开始,还是从逆反应开始或从正反应和逆反应同时开始达到平衡时,同种物质的百分含量．．．．(体积分数、质量分数或物质的量分数)相同的化学平衡互称等效平衡,(二)建立等效平衡应满足的条件以及等效平衡的特征可逆反应mA(g)+nB(g)≒ pC(g)第一种投料开始 a b 0 平衡态Ⅰ第二种投料开始 x y z 平衡态Ⅱx+mz/p y+nz/p 0采用极限转化法,将两种不同起始投料,根据化学计量,转换成方程式同一边物质的用量. 第一种类型,恒温恒容条件,对于不等体积(反应前后气体化学计量数和不等)的可逆反应。

(1)建立等效平衡,两种起始投料应满足的条件:若同种物质的用量相等即x+mz/p=a 同时,y+nz/p=b,可逆反应达到的两个平衡属于等量平衡。

【高中数学解题常用思想方法】四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。

在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。

由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。

例析几种等价转换方法在数学中，等价转换是指通过一系列变换将一个数学问题转化成另一个等价的问题。

等价转换的方法主要有以下几种：代数等价转换、几何等价转换、逻辑等价转换和数论等价转换。

1.代数等价转换是通过代数运算和恒等式的变化来实现的。

常见的代数等价转换方法有：a.同类项合并：将多个具有相同变量的项进行合并，如2x+3x=5x。

b.提公因式：将一个多项式中的公因式提取出来，如2x+4y=2(x+2y)。

c.分配律的运用：将一个因式与一个和或差相乘，如2(x+y)=2x+2y。

d.等式两边同时乘以一个非零数：等式两边同时乘以一个非零数，等式仍然成立，如3x=2，等式两边同时乘以2/3得到x=2/32.几何等价转换是通过几何运算和几何定理的变化来实现的。

常见的几何等价转换方法有：a.平移：将一个图形沿指定的方向和距离移动一段距离，保持图形的形状和大小不变。

b.旋转：将一个图形绕着一个点旋转一定角度，保持图形的形状和大小不变。

c.缩放：将一个图形按照比例因子进行放大或缩小。

d.相似变换：通过平移、旋转和缩放将一个图形变形到与另一个图形相似。

3.逻辑等价转换是通过逻辑运算和逻辑规则的变化来实现的。

常见的逻辑等价转换方法有：a.否定的否定律：对于任意命题p，p与非非p等价，即p≡¬(¬p)。

b.同一律：对于任意命题p，p与p∨真等价，即p≡p∨真。

c.恒等律：对于任意命题p，p与p∧真等价，即p≡p∧真。

d.排中律：对于任意命题p，p∨¬p为真，即p∨¬p≡真。

4.数论等价转换是通过数论运算和数论定理的变化来实现的。

常见的数论等价转换方法有：a. 同余：对于整数a、b和正整数m，如果(m，(a - b))，即a ≡ b (mod m)，则称a与b模m同余。

b. 同余的性质：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则有a +c ≡ b +d (mod m)和ac ≡ bd (mod m)。

高三数学思想、方法、策略专题第三讲 转化与化归思想一．知识探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

1．转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

2．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。

3．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

浅谈转化思想在解方程中的运用转化思想是数学学习中一个重要的思维方法,尤其在解方程中转化思想更重要。

解方程的过程就是不断的通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。

总结起来,应用转化思想解方程的方法一般有两种:1. 等价转化,使“未知”逐渐转化为“已知” 解一元一次方程时,在保持方程的左右两边恒等的前提之下,使“未知”逐步等价变形最终是方程变形为x﹦a的形式,从而求出方程的解。

例如:解方程3x-12-2=3x-210-2x+35解:3x-12-2=3x-210-2x+35↓去分母5(3x-1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)↓去括号15x-5-20=3x-2-4x-6↓移项15x-3x+4x=-2-6+5+20↓合并同类项16x=17↓系数化为1x= 1716在此要提醒学生的是,等价转换中一定要使方程的定义域不发生转化,否则可能出现错误的结果。

2. 条件转化一般来讲,解分式方程的思想是把分式方程转化为整式方程,然后求解。

而转化时必须利用等式性质给方程两边同乘以最简公分母去掉分母,但是如果没有合理运用条件就是方程的增根。

例如:解方程1x-5=1x2-5错解:方程两边同乘以(x 2 -25)得:x+5=10解得:x=5∴方程的解为x=5x=5时,方程两边的分式无意义,因此,此解是错误的。

正解:方程两边同乘以(x 2 -25)得:x+5=10解得:x=5检验:当x=5时,x 2 -25=0∴x=5是原方程的增根,原方程无解。

由以上求解过称不难看出,解此类方程时,利用等式性质转化时,必须有一个条件——方程两边所乘最简公分母不为0。

因此解分式方程必须检验,这也是解分式方程的一个重要步骤。

掌握转化思想,还可以解决很多其他方程问题,如高次方程转化为一元一次方程或一元二次方程、无理方程转化为有理方程、二元二次方程组转化为二元一次方程组等,其本质都是利用转化思想,把方程逐步变形或降次而最终求解的。

极限等价代换条件
极限等价代换条件是数学中的一个重要概念，它在极限的求解中起着至关重要的作用。

在数学中，极限是一种重要的概念，它可以用来描述一个函数在某一点的趋势。

而极限等价代换条件则是一种用来简化极限求解的方法，它可以将一个复杂的极限问题转化为一个更简单的问题，从而更容易求解。

极限等价代换条件的基本思想是将一个复杂的极限问题转化为一个更简单的问题，从而更容易求解。

具体来说，它是通过将一个函数与一个等价的函数进行比较，从而得到它的极限值。

这个等价的函数通常是一个更简单的函数，它与原函数在某一点处的极限值相同。

极限等价代换条件的应用非常广泛，它可以用来简化各种类型的极限问题。

例如，在求解无穷小量的极限时，可以使用极限等价代换条件来简化问题。

此外，在求解复杂的函数极限时，也可以使用极限等价代换条件来简化问题。

极限等价代换条件的具体应用方法如下：
1. 找到一个与原函数等价的函数，使得它在某一点处的极限值相同。

2. 将原函数与等价函数进行比较，得到它们在某一点处的差值。

3. 利用差值的性质，将原函数的极限值转化为等价函数的极限值。

4. 求解等价函数的极限值，从而得到原函数的极限值。

需要注意的是，极限等价代换条件只适用于一些特定的情况，例如在求解无穷小量的极限时。

在其他情况下，可能需要使用其他的方法来求解极限。

总之，极限等价代换条件是数学中一个非常重要的概念，它可以用来简化各种类型的极限问题。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解极限，从而得到正确的结果。

极限等价代换条件1. 引言在数学中，极限是一个重要的概念。

极限等价代换条件是一种用于简化计算极限的重要工具。

通过等价代换条件，我们可以将复杂的极限问题转化为较为简单的形式，从而更方便地求解。

本文将介绍极限等价代换条件的概念、基本原理以及使用方法。

2. 极限等价代换条件的概念极限等价代换条件是指当一个函数在某一点的极限存在时，我们可以用一个等价的函数来代替它，从而求得原函数在该点的极限。

如果两个函数在某一点附近的性质非常相似，那么它们的极限也应该相同。

3. 极限等价代换条件的基本原理极限等价代换条件的基本原理是利用两个函数的性质相似来进行等价代换。

在选择等价函数时，通常可以采用以下几种方式：•泰勒级数展开：将一个函数展开成无穷级数的形式，选择合适的级数截断后，即可得到一个等价的函数。

•变量代换：将原函数中的变量替换为一个与之相似的变量，使得新的函数在某一点的极限存在。

•函数组合：将原函数与一个已知的函数进行组合，构造出一个新的函数。

通过研究新函数的性质，可以得到原函数在某一点的极限。

4. 极限等价代换条件的使用方法使用极限等价代换条件时，需要注意以下几个步骤：1.确定原函数在某一点的极限存在。

2.找到一个与原函数性质相似的等价函数。

3.研究等价函数在某一点的极限。

4.利用等价函数的极限求解原函数的极限。

5. 实例分析下面通过几个实例来演示极限等价代换条件的使用方法。

实例1：求解极限lim x→0e x−xx2。

首先，我们可以将原函数进行泰勒级数展开：e x=1+x+x22+O(x3)代入原函数，得到：e x−x x2=1+x+x22+O(x3)−xx2=12+O(x)当x趋近于0时，e x−xx2的极限为12。

实例2：求解极限lim x→∞(1+1x )x 。

将原函数进行变量代换：令t=1x，当x趋近于无穷大时，t趋近于0。

则原函数可以表示为：(1+1x)x=(1+t)1t当t趋近于0时，(1+t)1t的极限为e。

等价无穷小替换极限的计算等价无穷小替换是一种常用的极限计算方法，它可以将一个极限问题转化为一个更简单的等价形式，从而更容易求解。

在处理极限问题时，我们常常会遇到无穷小的概念，无穷小是指当自变量趋于一些值时，函数值趋于零，且比自变量的变化幅度小得可以忽略不计的函数。

而等价无穷小则是指具有相同极限的无穷小。

等价无穷小替换的基本思想是用一个等价无穷小替换原来的无穷小，从而得到一个与原无穷小具有相同极限的极限问题。

具体来说，我们有以下几种常见的等价无穷小替换方法。

1.正比无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个非零常数k，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于k那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。

2.同阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。

3.高阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个正整数n，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值的n次幂趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。

通过使用等价无穷小替换，我们可以简化极限的计算过程。

例如，对于形如lim(x→0) sin(x)/x的极限，我们可以利用正比无穷小替换将sin(x)替换为x，从而得到lim(x→0) x/x=1的等价极限。

同理，对于形如lim(x→∞) (x+1)/x的极限，我们可以利用同阶无穷小替换将(x+1)替换为x，从而得到lim(x→∞) x/x=1的等价极限。

需要注意的是，等价无穷小替换方法只适用于具有相同极限的无穷小，要求在等价无穷小替换后的函数极限仍然存在。

等价转化思想在充要条件中的应用在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想。

例如互为逆否命题的两个命题（原命题与逆否命题或逆命题与否命题）一定同真或同假，它们都是等价的。

但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真。

【规律总结】命题的充要关系的判断方法①定义法：即判断原命题与其逆命题的真假性。

②等价法：p是q的什么条件等价于⌝q是⌝p的什么条件。

③利用集合间的包含关系判断：建立命题p、q的相应集合：p：A＝{x|p（x）成立}，q：B＝{x|q（x）成立}，转化为判定A与B间的关系。

练习：已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件。

思路分析：p和q中都含有否定词语，直接判断较为困难，可采用间接判断。

答案：∵p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，∴⌝p：x＋y＝2，⌝q：x＝1且y＝1。

∵⌝p⌝q，但⌝q⇒⌝p，∴⌝q是⌝p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件。

技巧点拨：由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p⇒q较困难时，可利用等价转化，先判断由⌝q⇒⌝p，从而得到p⇒q。

例题已知p：2x2－9x＋a<0，q：22430680x xx x⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且⌝p是⌝q的充分条件，求实数a的取值范围。

思路分析：先解p和q中的不等式，把条件间的关系转化为集合间的关系。

答案：由22430680x xx x⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，得1324xx<<⎧⎨<<⎩，即2<x<3。

∴q：2<x<3。

设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，∵⌝p⇒⌝q，∴q⇒p，∴B⊆A。

∴2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0。

设f（x）＝2x2－9x＋a，要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，须使(2)0(3)0ff≤⎧⎨≤⎩，即818018270aa-+≤⎧⎨-+≤⎩，∴a≤9。