沪教版六年级数学第一学期 第十三讲 专题——圆和扇形

第十三讲圆和扇形的面积一、圆面积1、圆面积的定义及公式的推导。

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

利用割补法把一圆等分成若干份，然后拼接成一个近似长方形（或三角形或梯形）的图形，再通过求拼后的图形面积得出圆的面积，根据无限逼近的思想等分的份数越多，那么拼接后的图形越接近圆。

在硬纸上画一个圆，把圆分成若干等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼，可以拼成一个近似的平行四边形，如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。

如图所示。

2、圆的面积公式已知圆的半径r ,可得出圆的面积S=πr 2；或已知圆的直径d, 可得出圆的面积S=π(2d )2 3、圆的周长与面积之间的关系若已知圆的周长C ，可通过先出C=2πr,再用公式求面积S=πr2 二、扇形面积1、扇形的概念如图所示，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

图中的扇形记作扇形OAB ，圆心角α，也叫做扇形的圆心角。

在同一个圆，弧的长短，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。

2、扇形的面积公式扇形面积：所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n:360,也就是说，扇形面积是所在圆面积的360n ，于是推得扇形的面积公式S=2r 360n π 公式一：S 扇=360r n 2π（其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径）；公式在应用时可变形为圆扇S S =360n ，即扇形面积与它所在的圆面积之比等于它的圆心角与周角的比。

公式二：S 扇=lr 21（其中l 为扇形的弧长，r 为扇形的半径。

） 扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式。

3、 扇形统计图扇形统计图是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图。

一般我们记为：P=发生的结果数所有等可能的结果数【例题1】【基础题】把一根长25.13厘米的铁丝围成一个圆（接头处共计0.01厘米），问这个的面积是多少？【分析】铁丝的长度除去接头处重叠部分0.01厘米，就是圆周长。

根据C=2πr ，已知圆周长，可求出半径r 。

解：C=25.13-0.01=25.12（厘米），C=2πr ，r=π2C =428.612.25=（厘米）， S=442⨯⨯=ππr =16π=50.24（平方厘米）。

答：这个圆的面积是50.24平方厘米。

【延伸题】一个零件的截面如图中的阴影部分。

它是一个半圆环形，它的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米。

求这个零件的截面是多少？【分析】圆环面积是两个圆面积的差，阴影部分面积是圆环面积的一半。

解：由R=15厘米，得外圆面积为1S =5.7061514.322=⨯=r π（平方厘米）由r=10厘米，得内圆面积为31410014.322=⨯==r S π（平方厘米）圆环面积为5.3923145.70621=-=-S S (平方厘米）阴影部分的面积为：392.5÷2=196.25（平方厘米）答：这个零件的截面积是196.25平方厘米。

【变形题】一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下多少平方厘米的纸没用？【分析】在解决这一问题时我们要能先画出图形，长方形的面积减去圆的面积就是剩下部分的的面积，其中长方形的宽就是圆的直径。

解：30×20=600（平方厘米）314)220(14.322=÷⨯==r S π（平方厘米）286314600=-（平方厘米）答：还剩下186平方厘米的纸没用。

【拓展题】一块正方形的草地，边长为4米，在两个相对的角上各有一棵树，树上各拴一只羊，绳长4米，问两只羊都能吃到草的草皮有多少？【分析】由于栓羊的绳长是4米，所以一只羊能吃到的草的面积正好是以树为圆心，4米长为半径的圆的四分之一，所以求出它们的重叠部分即可。

解：πππ41641412=⨯⨯=r （平方米） 21阴影部分面积：)84(44214-=⨯⨯-ππ（平方米） 阴影部分面积：12.916814.3)84(2=-⨯=-⨯π（平方米）答：两只羊都能吃到草的草皮有9.12平方米。

【例题2】【基础题】如图所示，图中的等边三角形的边长为6厘米，求阴影部分的面积。

【分析】阴影部分为一扇形，由公式3602r n S π=扇可知，找准n 与r 是计算的关键。

这里r=6厘米，而圆心角由等边三角形的特征得到。

解：由等边三角形的特性可知：扇形的圆心角n=180°-60°=120°所以，68.373614.33601203602=⨯⨯==r n S π扇（平方厘米） 答：阴影部分的面积为37.68平方厘米。

【延伸题】求图中阴影部分的面积。

（单位：分米）【分析】阴影部分是一个不规则的图形，求其面积没有现成的公式可用。

但其中有一个半圆的面积是可求的，另一部分可以用直角三角形的面积减去扇形面积。

解：）（扇半圆阴S S S S -+=∆6825-6892-64321=++=++==⨯⨯=πππ大三角形小中两个月牙三角形，S S S S S S =224360454421221⨯-⨯⨯+⨯ππ =8（平方分米）。

答：阴影部分的面积为8平方分米。

【拓展题】有一个著名的希波拉蒂月牙问题，如图所示，以AB 为直径作半圆，C 是圆弧上一点（不与B 重合），以AC 、BC 为直径分别作半圆，围成两个月牙1和2（阴影部分）。

已知直径AC 为4，直径BC 为3，直径AB 为5.（结果保留π）（1）分别求出三个半圆的面积。

（2）请你猜想：这两个月牙的面积与三角形ABC 的面积之间有什么等量关系。

【分析】要说明两个月牙的面积与三角形ABC 的面积之间有什么等量关系，我们首先要求出两个月牙的面积和三角形的面积。

月牙的面积和就是中半圆的面积加上小半圆的面积再加三角形面积减去大半圆的面积。

解：（1）πππ825)25(212122=÷⨯⨯==r S 大 πππ224212122=⨯÷⨯==）（中r S πππ89)23(212122=÷⨯==r S 小 （2）因为所以两个月牙三角形S S =。

【例题3】【基础题】一所中学准备搬迁到新校舍，在迁入新校舍之前就该校500名学生如何到新校舍的问题进行了一次调查，得到数据：步行90人，骑自行车160人，做公共汽车220人，其他30人。

请算出各部分学生占学生总数的百分比，并用扇形统计图表示。

【分析】先计算出各部分学生占学生总数的百分比,再算出各部分学生的四个扇形圆心角的度数，最后画出扇形统计图。

解：90÷500=18%，160÷500=32%，220÷500=44%，30÷500=6%扇形圆心角的度数：步行：360°×18%=64.8°骑自行车：360°×32%=115.2°坐公共汽车：360°×44%=158.4°其他：360°×6%=31.6°。

【延伸题】某学校六年级学生共450人报名参加课外拓展兴趣活动，本学期共开设手工制作、网页制作、影视欣赏与空中口语四门课程。

右图表示这四门课程报名人数的统计图。

请据图回答：（扇形A 、B 、C 、D 分别表示手工制作、网页制作、影视欣赏与空中口语的报名人数）（1）报名参加空中口语的人数占学生总数的几分之几？（2）参加手工制作与影视欣赏的学生人数分别是多少？（3）由于参加影视欣赏的学生过多，受场地限制，必须分出45人去参加空中口语课程，请你画出此时学生报名情况的扇形统计图。

【分析】在扇形统计图中，圆代表整体，扇形代表整体中的不同部分，扇形的大小反映部分占整体的百分比。

各个扇形与圆面积之比即为扇形圆心角与周角之比，故要求出表示参加空中口语学生人数的扇形图的圆心角。

解：（1）扇形D 的圆心角为108°，故参加空中口语的人数占学生总数的103360108= （2）扇形C 的圆心角为360°-60°-72°=120°所以，参加手工制作的人数：7536060450=⨯（人） 参加影视欣赏的人数：150360120450=⨯（人） （3）因为10145045=，而36101360=⨯︒°， 故此时扇形C 的圆心角：120°-36°=84°扇形D 的圆心角：108°+36°=144°【拓展题】如图是新华初级中学六年级数学精彩获奖人数的扇形统计图。

（1）求三等奖占获奖总数的百分之几？（2）已知有24人获得三等奖，那么共有多少人获奖？（3）获二等奖有多少人？获一等奖有多少人？解：三等奖转获奖总数的百分比为：100%-15%-25%=60%总人数为：24÷60%=40（人）二等奖人数：40×25%=10（人）一等奖人数：40×15%=6（人）一、填空1、 一个扇形的半径是2厘米，圆心角所对的弧长是8厘米，则这个扇形的面积是_______。

2、 已知圆心角为120°的扇形弧长为12.56厘米，则扇形的面积是________。

3、一个圆环的面积是小圆面积的8倍，则大圆半径是小圆半径的_________倍。

4、甲圆的半径是乙圆半径的45，那么乙圆面积是甲圆面积的________。

5、一个圆的面积扩大到原来的9倍，那么圆的周长扩大到原来的_________倍。

6、一个扇形的面积是15.7平方厘米，圆心角是90°，则这个扇形所在圆的面积是_______平方厘米。

7、把一个圆分成两个不等的扇形，且大扇形的面积是小扇形面积的411倍，则小扇形的圆心角是________。

8、在一个面积为10平方厘米的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是______。

二、选择1、若扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径是原来的21，则扇形的面积为原来的（ ） A 、7倍 B 、4倍 C 、21 D 、41 2、如果一个圆的周长和一个正方形的周长相等，那么它们的面积的大小关系是（ ）A 、面积相等B 、圆面积大C 、正方形面积大D 、无法确定3、某校对学生早上的来校方式进行了调查，结果如图所示：已知乘公共汽车上学的同学75人，则以下说法中错误的是（ ）A 、被调查的同学共有300人B 、乘地铁上学的同学有100人C 、走路和乘地铁的同学各占60%D 、骑车上学的同学所占扇形的圆心角是60° 三、简答题1、求右图中阴影部分的面积3、如图，已知OC=4cm,OD=2cm ；∠AOC=60°，求阴影部分的周长和面积。