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巧用数形结合求最值

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C
生的.数与形常常根据一定的条件相互联系：每一个直观的几何图
B
形中都蕴含着一定的数量关系，而抽象的数量关系又常常可以用 形象和直观的几何图形来表示.因此，在解决数学问题时，常需分 析数学问题中条件与结论之间的内在联系.研究数量关系时，有时
O
A
x
要借助图形来观察，揭示其几何意义；而研究图形时，常借助数去 思考，分析其代数意义，使数量关系（数）和空间形式（形）巧妙地
4-
姨 3
7
，ymax=
4+
姨 3
7
一、转化为求斜率
二、构建三角形
例 1.如果实数 x，y 满足（x-4）2+（y-3）2=4，那么 y 的最大值是 x
多少？ y
B A（4，3） P
例 3.设 a，b，c 为正实数，求 y= 姨x2+a + 姨（c-x）2+b （x<c）的 极小值.
Q
PC O
AB
a
姨1+m2
6
6
故
1+
姨21 6
是y x
的最大值.
例
2.求
y=
2-sinx 2-cosx来自的最值.分析：仔细观察两个根式的几何特征：姨x2+a 和 姨（c-x）2+b 可以分别看作是以 x，姨 a 和 c-x ，姨 b 为两直角边的直角三角 形之斜边，据此，便可以构建相应的三角形.
解：在直线 l 上作 OA =x，AB =c-x，过 A 作 AP⊥OA 于点 A，在 AP 上取 AP =姨 a ，过 B 作 BQ⊥OB 于点 B，则 BQ =姨 a + 姨 b ，再过点 P 作 PC∥AB，交 BQ 于点 C.
秋冬交接时是孩子们最容易感冒的时候，在预防流感的工作 想，为他们插上飞翔的翅膀！
中，我除了做好晨、午检及日常的消毒工作外，还时时提醒、督促
（作者单位 河北省容城县大河镇大河小学）
的最小值.
y
A B
数方法来处理，而一些代数问题也可以用几何图形或函数图 形来化解.据此，我们应仔细挖掘出题目中数与形的结合点，认 真剖析题意中数中形与形中数的化解点，通过数形结合，构建 思路.
由于建立了直角坐标系平面上的点和有序实数对之间便 建立了一一对应关系,这就为数形结合创造了条件.从而通过 数的抽象性加深对形的认识，通过形的直观性加深对数的理 解，最终实现简化计算的目的.
a1
O
x
解：在直角坐标系 xOy 中，方程（x-4）2+（y-3）2=4 是一个圆的 方程，圆心为 A（4，3），P 点为圆 A 上任一点，则 y 是直线 OP 的斜
x 率.显然，切线 OB 的斜率就是 y 的最大值.则切线 OB 的方程为：
x y=mx（m>0），
则 4m-3 =2，解之 m= 6+ 姨21 =1+ 姨21 ，
儿。我所在的幼儿园覆盖周围几个村和附近的砖窑。由于生活环 掌握了正确的洗手方法，还养成了勤洗手的好习惯。
境的不同，砖窑里的外地幼儿常常是脸像花猫，浑身是土。由于语
不知大家是否读过《苹果里的星星》这篇文章，切苹果时，我
言不通，这些幼儿性格内向，不愿与人交流。我对他们总是给予特 们总是习惯竖着切，而横着切时，苹果里的籽就像是一颗颗的小
华罗庚指出：“数与形，本是两倚依，焉能分作两边飞？”“切莫忘，
［3］符平和.数思形，形觅数，数形结合百般好［J］.辽宁教
几何代数统一体，永远联系切莫分离.”实践告诉我们，数形结合思想 育学院学报，2001，18（10）：78-79.
是一种重要的解题思想，有这种思想的指导，一些几何问题可以用代
（作者单位 江苏省金坛市第四中学）
平方.
解：不等式表示的区域如图所示，
原点到直线 BC 的距离为 0+0-3 = 3 ，因此 z=x2+y2 的最小 姨5 姨5
有创新美;推导理由的充分,具有完全美. 参考文献： ［1］袁桂珍.关于数形结合的若干基本观点［J］.广西师范
大学学报：自然科学版，1998（6）.
值为 9 5
.
［2］陈金寿.数形结合法在解题中的应用［J］.中学数学教 学，1999（增刊）:70-71.
这时，有 BC =a，则 OQ = 姨 b ，于是 OP = 姨x2-a ， PQ = 姨（c-x）2+b ， y= 姨x2+a + 姨（c-x）2+b = OP + PQ ≥ OQ ， 即 OQ 是y= 姨x2+a + 姨（c-x）2+b 的极小值.
因为 OQ = 姨OB2+BQ2 = 姨C2+（姨 a + 姨 b ）2
解：把
y=
2-sinx 2-cosx
看作点 C（2，2）与点（cosx，sinx）连线的斜率，
结合起来，并充分利用这种结合，常常可以使所要研究的问题化 要求其最大值和最小值.
难为易，化繁为简，使问题得到解决.简而言之，就是把数学问题中
因为 sin2x+cos2x=1，所以点（cosx，sinx）可以看作是单位圆上
心、更体贴的照顾。早晨，我会用微笑迎接每一张纯真的小脸，和 题的孩子给予肯定，然后组织他们进行讨论：“小动物们能不能把
他们亲切地问好。对每一位幼儿进行晨检：做到一摸、二看、三问、 大灰狼赶走？如果能赶走，怎样赶？如果不能赶走，那小动物们该
四查。午睡起床后，我会用梳子给幼儿梳理头发，并时时给女孩子 怎么办？”真没想到，孩子们讨论的还很热烈，思维和语言的组织
释；反之，数的简练又常使形中某些难以表达的性质得以展现. 数学中很多求最值的问题，用普通的方法求解往往很困难，
则由 2-2k =1， 姨k2+1
但如果我们善于利用所给的代数式构造图形，把数量关系转化为 相应的图形关系，就可以利用几何知识加以解决，使问题得到快 速地解答.
可得
k=
4±
姨 3
7
，
所以
ymin=
殊“照顾”。离园时，我耐心地叮嘱他们要讲究卫生，来园后，稍有 星星。由此，我想到同一个孩子，站在不同的角度，运用不同的教
变化，就大加赞扬。自由活动时，鼓励他们多与其他幼儿进行交 育方法，就会出现不同的教育效果。我在讲《好朋友》这个童话故
流，并有意将他们与性格外向的幼儿结为一组，尽量给他们创造 事时，当讲到小白兔、小花猫和小刺猬齐心协力把大灰狼赶跑时，
128 治学之法
新课程·下旬
2012 年 1 月 28 日
巧用数形结合求最值
文/王亚娟
摘 要：介绍了数形结合思想，并且通过例题探讨了数形结合在解决最值问题中的巧妙运用。 关键词：数形结合；最值；数学问题
数学研究的两大对象分别是数与形. 数与形是数学海洋中最
y
耀眼的两颗珍珠. 数学中几乎所有的问题都是围绕着数与形而产
变换她们喜欢的发型。我时时注意每一个幼儿的细微变化，嘱咐
能力都超出了我的预想，幼儿在讨论中获得了知识。 他们要多喝水，随时增减衣服。有付出就会有回报，孩子们星期一
来园后说得最多的一句话就是：老师，我想你了！听到这句话时，
世界上本没有“笨”孩子，让我们用不变的爱心、美丽的语言
我的心里甜甜的。
把孩子带入一个神奇的世界，用五彩的积木，搭起他们未来的梦
的数量关系和空间形式结合起来加以考查，这种处理数学问题的 的一个动点，过 C 点作这个圆的切线 CA，CB，A，B 为切点，而 C
方法，称之为数形结合的思想方法.
（2，2）是一个定点，从而只要求 kCA，kCB 的值.
“形”的直观常可以给出“数”的性质，并以最生动说明或诠
为此，设切线方程为 y-2=k（x-2），即 kx-y+2-2k=0，
2012 年 1 月 28 日
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治学之法 129
所以，y= 姨x2+a + 姨（c-x）2+b2 ，的极小值为姨C2+（姨 a +姨 b ）2 .
三、转化为求距离
≤≤x-2y+7≥0
≤
例 4.已知 x，y 满足线性约束条件 ≤≤≤4x-3y-12≤0 ，求函数 z=x2+y2 ≤ ≤ ≤≤≤x+2y-3≥0
数形结合思想造化神奇,妖娆多姿,深邃精美,魅力无穷.它 突出地反映在使用数形结合思想解题的过程中:语言表达的简
C
x
练,具有简约美;取材组合的匹配,具有和谐美;层次结构的严密,
分析：求函数 z=x2+y2 的最小值，即求动点（x，y）与原点的距离的 具有严整美;解题过程的有序,具有逻辑美;求解思路的奇妙,具
表现自我的机会。经过一段时间的努力，他们有了明显的变化，不 一个孩子突然站起来大声地说：“老师，那是骗人的！它们几个太
只是干净了，脸上也有了灿烂的笑容。
小了，根本赶不走大灰狼。”听完这话，活动室里一下子就乱了，孩
幼儿年龄小，身体各器官发育尚不成熟，需要教师给予更细 子们开始七嘴八舌地争起来。面对这突发情况，我首先对提出问
插上天使的翅膀
文/王凤茹
世上有一种美好的东西，那就是爱！
幼儿勤洗手。为了让幼儿尽快掌握正确的洗手方法，我将洗手的
作为幼儿教师，要用无私的爱去关心、爱护每一个幼儿。每一 要领编成易记的儿歌：“先用肥皂抹一抹，小手交叉搓一搓，小手
天，我都会在心中默默地提醒自己：公正、平等地对待每一个幼 握拳揉一揉，前前后后洗一洗，干干净净香又香。”现在，幼儿不仅

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“数形结合”巧计算

“数形结合”巧计算

“数形结合”巧计算数形结合使“代数问题几何化，几何问题代数化”。

比如列方程解应用题时常画线段图、有理数用数轴上的点来表示等等，都是数形结合的典型例子。

对于一些较难的数学问题，采用由形思数、由数想形，结合具体问题，灵活进行数形转化，往往可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

下面就以举例谈谈“数形结合”解问题。

例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．分析：对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对正整数n是奇数，还是偶数进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下．方案一：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为21）（+nn，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝21）（+nn．图1方案二：设计图形如图2所示．图2因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2．（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）【分析】这是一道通过材料阅读，从中得出“解题方法型”的试题；试题中渗透了运用“数形结合”的思想。

例说数形结合解决求函数最值问题

例说数形结合解决求函数最值问题

例说数形结合解决求函数最值问题数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。

在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。

求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。

例1：求函数的值域。

分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。

解：令则原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。

作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。

评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。

例2：已知，求的最小值。

【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。

解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即例3.求函数的最值。

分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。

如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。

令则则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。

分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。

解：由题意得：的解为x=2故其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。

例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元（1）把全程运输成本y（元）表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可根据实际问题抽象出函数模型，然后根据不等式性质、最值等知识，结合函数的图像，即可求解。

利用数形结合求函数的最大值和最小值

利用数形结合求函数的最大值和最小值

求函数 的最大值和最小值． 22
22 17 ()(cos 1)(sin 1)cos sin 55 f t t t t t æö
æö
=-+++
++- ç÷ç÷ èøèø
文件名
解 因为cos 2 t ＋sin
2 t =1 (0≤t <2p )，所以，f (t )可以看成是坐 标平面xOy 内单位圆x 2 ＋y 2 =1上的点P (cos t ，sin t )到两定点A (1， －1)、B 的距离之和．
17
(,) 55 - 注意到点A 、B 均在单位圆x 2 ＋y 2 =1外，
且线段AB 与单位圆x 2 ＋y 2 =1相交(如图)，
所以，函数f (t )的最小值就是线段AB 的长
度，即[f (t )] min 65 || 5
AB ==
又当点P 不在线段AB 上时，
视点P 是以A ，B 为焦点；|PA |+|PB |
为长轴长的椭圆上的点，而线段
AB 的垂直平分线l 的方程为 ， 此直线经过坐标原点，所以直线l
既是以A ，B 为焦点的椭圆的对称
轴，也是单位圆x 2 ＋y 2 =1的对称
轴．
1 2
y x =
max 2 [()]|'||'|||75105 5
f t P A P B MN =+==+ 所以，当此椭圆与单位圆x 2 ＋
y 2 =1相切于点P ' 时， 所求函数f (t )取得最大值，(如右图)．
255 (,) 55
-- 因此，所求函数f (t )的最小值为 ，最大值为 ． 655 2 75105 5 +。

巧用数形结合思想求函数最值

巧用数形结合思想求函数最值

巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。

er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。

J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。