数形结合求最值

，数学・解题研究　

数形结合与最值问题的有效整合及应用　

广东惠州市博罗县福田中学（５１６１３１）　张志光　

［摘要］数学来源于生活，并服务于生活，数学也是探寻世界本质的最有力工具．在实际生产生活中，我－ｆ］常常会应用数学知　识来解决一些实际问题，例如用最省的材料制作体积最大的容器；寻找最恰当的地方使得路程最短、周长最小或面积最大；求函数　的最大（小）值等．这类问题，是初中数学竞赛中的常见问题，也是中考常考的一类压轴题．这类问题综合性强，难度大，但其内容丰　富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，是初中数学教学的重点，也是难点．解决这类问题往往需要借助几何图形，利用数形结合　思想，帮助学生更直观、形象地发现问题，使抽象思维与形象思维相结合，把复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到有效整合　解题思路与优化解题途径的目的，提高学生的数学素养与综合能力．　［关键词］数形结合；最值问题；整合；应用　［中图分类号］Ｇ６３３．６　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１６７４—６０５８（２０１７）３２—００２２—０２　

恩格斯说过，数学是研究现实生活中数量关系和空　

间形式的科学．数与形反映了事物两个方面的属性，在　内容上互相联系，方法上相互渗透．当遇到最值问题时，　我们通常将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通　过“数”与“形”之间的对应和转换解决问题．在解题过程　

中以形变数，以数化形，数形结合，使抽象思维与形象思　维结合起来，达到直观又人微的教学效果．下面我们就　通过实例来分析最值问题与数形结合的整合及应用．　

一、在函数中的应用　

用数形结合思想研究最值问题就是借助函数图像　进行直观分析，从而把最值问题转化为函数问题解决，　这是一种常用的方法．　

【例１１求函数　一、／／ｚ。一４：ｃ－４－５＋￣／ｚ　一２ｚ＋１０　

本题的两个研究对象是Ａ、Ｂ两件服装，先假设服装　

Ａ的成本为ｚ元，可列出下表：　

成本（元）　利润率　利润（元）　

例谈“数”、“形”求最值问题

初中数学中的求最大（小）值是一类较为常见的问题，是重要的内容之一，这类问题所涉及的知识面非常宽，并且它的题型也是灵活多变，要求同学们有较强的数学转化思想和创新意识。这些问题不但在生活实践中有一定的实用意义，也是历年来数学竞赛和各类考试中经常出现的。而对于最值问题的求解，方法多种多样，它没有通用的方法，随着题型的不同，求最值的方法也有一些差异，这些方法主要通过例题去领悟。

最值问题可以分为两大类：一大类是代数中某些量、式子的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等。我们可把这一大类统称为代数类最值问题，它可分为代数式的最值、有关数论的最值、有关方程未知数与函数变量的最值等三小类，一大类是几何图形中按一定规律运动的元素，在一定的范围内变化而与它有关的某个量也随之变化，有时，这个变化的量存在最大值或最小值。我们可把这一大类统称为几何类最值问题，它可分为有关角度的最值、有关线段（距离）的最值、有关面积的最值、某些几何量的统计最值等四小类。

数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实的打好数学基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。本文对“数”、“形”以及数形结合等方法在中学数学的教学中的应用作一些探讨。

一、用“数”的方法求最值问题

用配方法求代数式的最值，通常是对一个一元二次多项式而言的，即满足ax2+bx+c（a、b≠0）的形式。基本思路就是根据完全平方公式用配方法配成一个完全平方式，然后根据任何一个数的平方是非负数0来求它的最值。举一个简单的例子说明：

例1：求代数式x2-4x+5的最小值。

分析：代数式x2-4x+5这是一个一元二次多项式，可以通过配方，再根据一个数的平方是非负数，便可以求得最值。

例说数形结合解决求函数最值问题

数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。

例1：求函数的值域。

分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。

解：令则

原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。

评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。

例2：已知，求的最小值。

【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。

解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即

例3.求函数的最值。

分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。

令则

则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又

例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。

分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。

解：由题意得：的解为x=2

故

其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。

例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元

２Ｏ１４年１１月　第４７期　教育教学论坛　ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ　ＴＥＡＣＨＩＮＧ　ＦＯＲＵＭ　Ｎｏｖ．２Ｏ１　４　Ｎ０．４７　数形结合法求函数最值策略　吴水成　，陈国华　（１．湖南省涟源市第一中学，湖南涟源４１７１００；　２．湖南人文科技学院数学与计量经济系，湖南娄底４１７０００）　摘要：求函数最值是中学数学教学中的一个重要问题，是学生必须掌握的内容之一，在本文中我们综述了　利用数形结合求函数最值的八种方法，对教师对求最值问题的教学、学生对求最值问题的学习的一个有意义　的总结。　关键词：数形结合；函数最值；策略　中图分类号：Ｇ６３３．６　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—９３２４（２０１４）４７—０２６０—０２　函数的最值问题是高考的热点问题，也是数学竞赛　的热点问题，而解决函数最值问题涉及的知识面较广，　往往要综合运用很多知识，且需要较强的解题技巧。因　此，在高考或数学竞赛中，求函数最值问题是出题的热　点，利用数形结合法求函数最值具有较强的灵活性，许　多学者与教师对这一问题进行了研究与总结，如［１】［２］【３】　［４］，本文是我们在对学生辅导时对数形结合法求函数最　值策略进行的研究供同行参考或学生学习。．　１借助两点间的距离公式　例１．求函数“ｘ）：Ｖｘ４－３ｘ２＋６ｘ＋１３一、／　一ｘ　＋１的最大　值。　解：“　）：、／（］（２—２）　＋（　一３）　一、／（　一１）。＋（　一０）　故ｆ（ｘ）是抛物线ｙ＝ｘ　上的点Ｐ（ｘ，ｘ。）到Ａ（３，２）与Ｂ　（０，１）的距离之差。　显然ＩＰＡＩ—ＪＰＢＩ≤ＩＡＢＩ，而ＩＡＢＩ＝俪＝、／而，　故ｆ（ｘ）　＝　。　２借助点到直线的距离公式　例２．求ｕ＝ｌ　２ｔ－２￣＋７　ｌ的最大值。　ｆｘ＝ｔ　解：令Ｉ　、／　砑　整理得（ｘ一２）　＋ｙ‘＝４（ｙ≥０）（ｘ，ｙ以（２，０）为圆心，２为　半径的圆上部分）　ｕ＝　１２ｔ一２￣Ｖ／４一（ｔ一２）　＋７Ｉ　＝２　ｘ／２　ｌ　２ｔ一２、／４一（ｔ一２）　＋７　Ｉ　孺　：２　二　：２　ｄ　、／２‘＋　以（２，０）为圆心，２为半径的上半圆上点到直线　２ｘ－２ｙ＋７：０的距离最大—　～一２≤ｄ≤—　一　１１—４　２、／　２＼／　、／　≤ｕ≤１５　３利用平行线间的距离公式　例３．已知ｘ，Ｙ，ａ，ｂ∈Ｒ且ａ＋２ｂ＋４＝０，ｘ＋２ｙ＝ｌ，求（ａ—ｘ）　＋（ｂ—ｖ）。的最小值。　解：ａ—ｘ）　＋（ｂ—ｙ）‘可视为点（ａ，ｂ）与（ｘ，ｙ）Ｚｌ￣－］的距　离的平方。　由已知条件知（ａ，ｂ）在直线ｌ　：ｘ＋２ｙ＋４＝０　Ｉ－＿，（ｘ，ｙ）在　直线１２：ｘ＋２ｙ一１＝０上，　显然ｌ。／ｎ　，且ｌ　，ｌ：上任意两点间距离不小于ｌ　与ｌ：的　距离。而ｌ　与ｌ，的距离为：、／了（上ｌ二　）　、ｖ／５　４利用直线的斜率　例４．求ｙ＝　的最值。　解：ｙ＝　为点（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）与（－２，一１）的斜　ＣＯＳＸ—ｔ—　，　率，　）△１０或　：１　ｘ＋ｙ　１　、／ｋ　＋１　４ｋ　一４ｋ＋１：ｋ２＋１　ｋ＝Ｏ￣ｋ：—４—０≤ｋ≤　３　ｌｊ　５利用直线的截距　例５．求函数ｙ＝、／　＋　的最值（技巧较　高）。　解：令ｘ＋２：ｔ‘，贝０ｙ＝、／　ｔ＋、／１０一ｔ‘（０≤ｔ≤、／Ｔ　）　ｖ一、／了ｔ：、／１０一ｔ‘　令ｙ一、／了ｔ：　２一：ｖ，　则　ｆ　Ｖ＝ｙ一％／３－ｔ＝一、厂　ｔ＋ｙ　１，＿—　【ｖ＝、／１０一ｔ‘（０≤ｔ≤、／而）　（１）　（２）　（１）表示斜率为一、／了的直线系，ｙ为其截距，（２）为　圆的第一象限部分，包括边界，结合直线与圆的位置关　系，直线过（０，、／而）时，截距最小，直线与圆在第一象限　相切时截距最大，ｙｍｉ　＝、／１０，ｙｍ￣＝２、／１０。　６利用直线与圆锥曲线的位置关系　例６．求函数ｖ：、　一３、　的最大值。　一