课题：锐角三角比复习(一)

锐角的三角比》全章复习与巩固(提高)知识讲解学习目标】1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA 、cos A 、 tanA 、 cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30°、 45°、 60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个 角的度数 .2．能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受 . 知识网络】【要点梳理】 要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义要点诠释：(1) 正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个 数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关 .(2) sinA 、 cosA 、 tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠ A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成 sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应 写成sin ∠BAC ，而不能写出 sinBAC.如右图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=900，如果锐角 A 确定 ∠ A 的对边与斜边的比值是∠ A 的正弦，记作 sinA ＝ ∠ A 的邻边与斜边的比值是∠ A 的余弦，记作 cosA ＝ ∠ A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作 tanA ＝ ∠ A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作 cotA ＝ ∠A 的对边 (1) (2)(3) (4) 斜边 ∠A的邻边 斜边 ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ∠A 的邻(3) sin 2A 表示 (sinA) 2，而不能写成 sinA 2.(4) 三角函数有时还可以表示成 等 . 2. 锐角三角函数的定义锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠ A 的锐角三角函数 . 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角 A 的每一个确定的值， sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是∠ A 的函数 .同样， cosA 、tanA 、 cotA 也是∠ A 的函数，其中∠ A 是自变量， sinA 、 cosA 、 tanA 、 cotA 分别是对应的函数 . 其中自变 量∠ A 的取值范围是 0°<∠ A <90°，函数值的取值范围是 0<sinA <1，0<cosA <1，tanA >0， cotA>0.2．锐角三角函数之间的关系： 余角三角函数关系：“正余互化公式”那么： sinA=cosB ； cosA=sinB ；tanA=cotB, cotA=tanB.30°、 45°、 60°角的三角函数值和解 30°、 60°直角三角形和解 45°直角三角形为本章重中之重， 是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练 .要点二、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠ A+∠ B=90°；如∠ A+∠ B=90°，同角三角函数关系： sin 2A ＋ cos 2A=1；sin A tanA= ,cot AcosAcosA,tanA sinA1 cot A∠A30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即a sinA ,cosA b,tanAa,cot Abc c b ab sinB ,cosB a,tanB b,cot B ac c a b要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1) 已知两条边( 一直角边和一斜边；两直角边) ；(2) 已知一条边和一个锐角( 一直角边和一锐角；斜边和一锐角) ．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1. 解这类问题的一般过程(1) 弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2) 将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3) 根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形(4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2. 常见的应用问题(1) 坡度：；坡角: .(3) 仰角与俯角：要点诠释：12把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用 用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角 形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

《锐角的三角比》全章复习与巩固（基础） 巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．如图所示，在Rt △ABC 中，tan B =，BC =AC 等于（ ）．A ．3B ．4C ．．6 2．已知α为锐角，则sin cos m αα=+的值（ ）． A ．m ≥1 B ．m ＝1 C ．m ＜1D ．m ＞13．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的值是( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．9第1题图 第3题图 第4题图 4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE ＝2，cot ∠DBE 的值是( )．A.125．如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tanC 等于( )．A ．34 B ．43 C ．35 D ．45第5题图 第7题图6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin 2B =，则cosA 的值为（ ）．A ．12 B ．2C 7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )．A ．5cos α米B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|245| 1.41)3-⎛⎫--+= ⎪⎝⎭°________．10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图 第11题图 第12题图12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB ＝_______米．13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图 第15题图 14．一次函数经过(cot 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________． 161是方程2(3tan )0x x θ-的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cos θ的值 为________．三、解答题17. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB 高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB ME CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB，求⊙O的半径及DF的长．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】由tan AC B BC =知tan 32AC BC B ===． 2.【答案】D ；【解析】在Rt △ABC 中，设α所对的边为a ，斜边为c ，邻边为b ．则sin a c α=，cos bcα=， ∴sin cos a b a bm c c cαα+=+=+=，而a b c +>，∴m ＞1 3.【答案】B ；【解析】因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA ，又∵ AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB ．在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠BCA ＝41085⨯=，则6AB ==．4.【答案】A ；【解析】∵DE ⊥AB ，∴在Rt △ADE 中，cosA ＝35． ∴设AD ＝5k ，则AE ＝3k ，DE ＝4k ，又BE ＝2，AD ＝AB ， ∴5k ＝3k+2，∴k ＝1．∴DE ＝4． ∴cot ∠DBE ＝2142BE DE ==． 5.【答案】B ；【解析】如图所示，连结BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4，又BC ＝5，CD ＝3，∴CD 2+BD 2＝BC 2．∴△BDC 是直角三角形．且∠BDC ＝90°，∴4tan 3BD C CD ==．6.【答案】C ；【解析】∵sin B =，∴∠B ＝60°，∠A ＝90°－60°＝30°，∴cos A =． 7．【答案】B ；【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB α=．∴5cos AB α=． 8．【答案】D ；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°；当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】2【解析】原式＝3|21422--+=-= 10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos AD CAD B AC =∠=，∴45AD AC =， 又∵AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13； 【解析】如图，过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B ′D=x ，BC=2x,BD=x+2x=3x,∴tan ∠A BC ''='A D BD =13.12．【答案】4 ； 【解析】由3cos 4AC BAC AB ∠==，知334AB =，AB ＝4．13．【解析】由题意知BD BD '==Rt △ABD ′中，tan 2BD BAD AB ''∠===14．【答案】y =【解析】cot45°＝1， tan60-cos60°＝12-，-6tan30°＝-．设y ＝kx+b 经过点、1,2⎛-- ⎝，则用待定系数法可求出k =b =15．【答案】45； 【解析】∵ CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴ AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC 8=，∴ 84sin 105BC A AB ===．16．【答案】2；【解析】由方程解的意义，知21)3tan (21)0θ-+=，故tan 1θ=，从而45θ=°，则cos cos 452θ==°． 三、解答题17.【答案与解析】∵在R △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3，∴DA ＝3．在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°，∴tan 60CAAD=°，∴CA ＝BC ＝CA －BA ＝(3)m ．答：路况显示牌BC 的高度是(3)m ．18.【答案与解析】(1)如图所示，作AE ⊥BC 于E ，则BE ＝AB ·cos B ＝8cos 60°＝1842⨯=．AE ＝AB ·sin B ＝8sin 60°＝8= ∴EC ＝BC －BE ＝12—4＝8．∴在Rt △ACE 中，tan ∠ACB ＝AE EC == (2)作DF ⊥BC 于F ，则AE ∥DF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是矩形．AD ＝EF ． ∵AB ＝DC ，∴∠B ＝∠DCF ．又∵∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∴△ABE △≌△DCF(AAS)． ∴FC ＝BE ＝4，∴EF ＝BC －BE —FC ＝4．∴AD ＝4．∴MN ＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【答案与解析】(1)证明：∵BE ＝FC ，∴BC ＝EF ． 又∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ≌△DEF ．∴AB ＝DE ．(2)解：∵∠DEF ＝∠B ＝45°，∴DE ∥AB ．∴∠CME ＝∠A ＝90°．∴AC ＝AB MC ＝ME CG ＝CE ＝2．在Rt △CAG 中，cos AC ACG CG ∠==，∴∠ACG ＝30°． ∴∠ECG ＝∠ACB －∠ACB ＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】(1)连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴ OD ⊥CD ，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE ＝90°．又∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠DEC ＝90°，∴∠EOD+∠ODE ＝90°． ∴∠CDE ＝∠EOD ．又∵∠EOD ＝2∠B ； ∴ ∠CDE ＝2∠B ． (2)连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠B ＝90°．∵BD:AB ，∴在Rt △ADB 中，cos 2BD B AB ==， ∴∠C ＝30°，∵∠AOD ＝2∠CDO ＝60°．又∵∠CDO ＝90°，∴∠C ＝30°， ∵在Rt △CDO 中，CD ＝10，∴ OD ＝10tan 30O 在Rt △CDE 中，CD ＝10，∠C ＝30°，∴DE ＝CDsin 30°＝5．∵弦DF ⊥直径AB 于点E ，∴DE ＝CDsin30°＝5． ∵弦DF ⊥直径AB 于点E ， ∴DE ＝EF ＝12DF ， ∴DF ＝2DE ＝10．。

锐角三角比复习课导学案（一）夏庄初中韩勇刚一、教学目标：1．理解锐角三角比的定义，熟记特殊角的三角比并能熟练进行有关计算。

2．掌握直角三角形中边、角关系，并熟练地解直角三角形。

二、教学重点、难点：能熟练地解直角三角形，会把矩形、梯形、非直角三角形的图形进行分解划归为直角三角形问题。

三、教学过程：（一）知识回顾1、锐角三角比的定义：sinA=角A的对边/斜边cosA＝角A的邻边/斜边tgA角A的对边/邻边ctgA=角A的邻边/对边2、同角的三角比关系：tgA×ctgA=13、互为余角的三角比关系：sinA=cos(90-A)cosA=sin(90-A),tgA=ctg(90-A)ctgA=tg(90-A)4直角三角形边、角关系：边与边a2+b2=c2角与角∠A+∠B=90°边与角：锐角三角比概念5、解直角三角形：已知一边一角已知二边6、特殊角的锐角三角比的值：见书（全班熟记）（二）巩固练习：1、填空（1）已知在△ABC中,∠C＝90°AB=17，AC=8，则sinA=____,cosA=_____,tgA=____,ctgA=_____.（2）△ABC中AB=AC=3,BC=4.则tgB=___.3则（3）已知△ABC中，∠C＝90°sinA=4cosA=____,tgA=____,ctgA=______12，则较（4）矩形周长17cm，对角线与边的夹角的正弦值为13短边为_____.说明：1、在没有直角三角形的图形中求锐角三角比可适当添垂线段构造直角三角形。

2、已知一个锐角的一个三角比要会求它的其余三个三角比。

2、比较大小：（1）sin37°___sin49°; cos22°____cos67°;tg46°_____tg78°；ctg47°____ctg65°（2）sin57°___cos34°; tg48°___ctg76°（3）sin56°___tg46°; cos89°___ctg44°说明：这类比较大小主要利用四个锐角三角比的递增递减性来解决。

第二十五章锐角三角比的复习课普陀区课题组教学目标：1．进一步理解锐角三角比和坡比的概念并会运用．2．在解直角三角形的应用中，学会将实际问题数学化．3．在解直角三角形的过程中感受方程的数学思想．教学重点：锐角三角比在直角三角形中的运用．教学难点：实际问题数学化．教学过程：教师活动学生活动教学设计意图一、概念复习1.锐角三角比的概念问：如图，在ABCRtΔ中，锐角A的正弦、余弦、正切、余切的意义是什么？师归纳：锐角三角比表示的是在直角三角形中边与边之间数量关系，其结果是一个比值.2.坡度、坡角的概念问：坡度、坡角的概念及两者间的关系？下面将通过具体的例题来理解.二、例题讲解（一）锐角三角比的意义例1.如图，ABCΔ中，8=AB，15=BC，17=AC，则.________sin=A答：caABBCAA===斜边的对边锐角sin；cbABACAA===斜边的邻边锐角cos；baACBCAAA===的邻边锐角的对边锐角tan；abBCACAAA===的对边锐角的邻边锐角cot.答：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即lhi=；坡度通常写成1：m的形式；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.坡度i与坡角α的关系：αtan==lhi.通过概念的复习帮助学生明确锐角三角比的意义.分析：问1：这是一个什么三角形？ 问2：为什么？例2．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:2，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，求物体所经过的路程（精确到0.1米）. 分析：问1：1:2是那两段线段的比？ 问2：图中那段线段等于9？ 问3：求的是哪段线段? 问4：如何求？例3．如图，在ABC Δ中，︒=∠90C ，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 平分ABC ∠，AB DE ⊥，8=AE ，.54cos =A（1）求CD 的长； （2）求DBC ∠tan 的值. 分析： 问1：可以直接求出CD 的长吗？答：是直角三角形.答：因为222BC AB AC +=，根据勾股定理的逆定理. 解：ABC Δ中 答1：是BC 与AC 的比. 答2：是BC . 答3：是AB . 米），中，在解：(1.2059918,18,2192222≈=+=+=∴=∴===∆BC AC AB AC AC BC i BC ABC Rt 答：物体所经过的路程约为20.1米. 答1：不可以.可以求出DE 的长，因为角平分线上的点到角两边距离相等，CD =DE . 例1和例2的设计目的是帮助学生理解锐角三角比和坡度、坡比的意义，即它表示的是在直角三角形中两条边的比，揭示了两条边的数量关系.通过例3的分析，学生对锐角三角比的意义有更进一步的理解，并在此基础上对在直角三角形中，运用相似三角形对应边成比例和锐角三角比的意义解决问题有更深刻的理解.1715sin 90 289158 28917 222222222===∠∴+=∴=+=+==AC BC A B AC AB AC BC AB AC οΘ（二）解直角三角形的应用例4（1）如图，在电视塔AD的正东方向有两个地面观察点B、C，在B、C两点测得塔顶A的仰角分别为︒=︒=30β,45α，B、C两地相距200米，则AD的高为__________米.分析：问1：本题的关键是什么？问2：列出怎样的方程？（2）如图，在电视塔AD的正东方向有两个地面观察点B、C，在B、C两点测得塔顶A的仰角分别为β,α，B、C两地相距a米，则AD的高为_______米.例5．如图，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m 的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为︒30时，（1）超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？问1：本题的关键是求出什么？BD CAαβ答1：关键是利用BCDBDC=-列方程.解：由题意得：设AD=x米，,2003,3,2,3090,,4590R=-∴==∴︒==∠∆==∴︒==∠∆xxxCDxACADBACDRtxADBDADBABDtβαΘΘοο，中在，，中，在.1003100)13(10013200-=-=-==∴xAD答：用AD的代数式表示DB、DC，得到关于AD的方程.Θαcot⋅=ADDB，βcot⋅=ADDCBCDBDC=-，aADAD=⋅-⋅∴αβcotcot，∴.cotcotαβ-=aAD答1：关键是先在Rt△AEF中求出AE的长.例4的第（1）问是特殊角，可用几何方法解决，第（2）问是一般角，可用锐角三角比解决.要把这两个问题中最关键的联系揭示出来，即BCDBDC=-，再运用方程的思想解决问题.通过例题5的讲解，一方面帮助学生学会根据实际问题的条件建立数学模型，把实际问题中已知和所求转化为数学问题中的已知和所求；另一方面熟练运用解直角三角形的问2：是否影响采光是由哪段线段长决定？（2）要使超市的采光不受到任何影响，两楼应至少相距多少米？问：本题的关键是求出什么？（3）要使超市以上的居民住房采光不受到任何影响，两楼应至少相距多少米？（732.13取）问：本题的关键是求出什么？三、课堂小结谈谈这节课你有什么收获、体会或想法?四、布置作业练习册：第二十五章习题答2：由FC决定.解：米6米9.0210.98203520米，而35tan3015中，Rt在>=-≈-=︒⋅=∆AEAEF米所以，超市以上的居民住房采光受到影响.答：关键是在Rt ABC∆中求出BC的长.解：米，米，而中，在64.3432032030cot20≈=︒⋅=∆BCABCRt所以，要使超市的采光不受到任何影响，两楼至少应相距34.64米.答：关键是在Rt△AEF中求出EF的长.解：米米中，在248.2431430cot)620(≈=︒⋅-=∆EFAEFRt答：要使超市的采光不受到任何影响，两楼至少应相距24.248米.预设：1．运用锐角三角比、坡度和坡比的意义解题；2．在解直角三角形的应用中，将实际问题数学化；3．解直角三角形的过程中，运用方程思想．方法解决不同的实际问题.学生对本节课的知识进行梳理.。