一种改进的隐枚举法

0-1整数规划与隐枚举法-感受剪枝的魅力作者：llhthinker整数规划是线性规划的特殊情况，即当约束条件是变量为整数时，线性规划就变成了整数规划。

若要求所有变量都为整数，即为纯整数规划；若允许存在一部分变量不一定为整数，则称为混合整数规划。

而本文要讨论的0-1整数规划则是纯整数规划的特殊情况，即所有变量要么等于0，要么等于1，故这种变量又成为逻辑变量。

0-1整数规划在生活中还是很常见的，通常可以总结为“是”“否”问题。

例如，有n个产品销地x1,...,xn可供选择，为使得利润最大，那么每一个销地都面临是否选择的问题，通常还会有一些限制条件，由于销地xi与销地xj距离较近，所以规定若选择xi就不能选择xj等。

那么如何求解0-1规划问题？最朴素的方法是枚举，即将所有销地是否被选择的情况都考虑，那么就是从{0, ... ,0}枚举到{1, ... ,1}，需要2的n次方的枚举次数。

显然，当n较大时，这种方式的效率就非常低。

本文要介绍的隐枚举法就可以提高求解出最优解的效率。

所谓隐枚举法，从字面上理解，就是隐去一些不需要枚举的情况，下面从一个例子出发，来给出隐枚举法的步骤。

【例】求解下列规划问题max z = 8*x1 + 2*x2 - 4*x3 - 7*x4 -5*x5;s.t.{3*x1 + 3*x2 + x3 + 2*x4 + 3*x5 <=>5*x1 + 3*x2 - 2*x3 - x4 + x5 <=>xi = 0或1，i = 1, ..., 5}1. 预处理首先需要对原问题进行预处理，至于为什么后文将会解释。

预处理的步骤如下：1) 将目标函数统一为求最小值，即'min', 同时将约束条件都化为'>='。

•若原约束条件为'<>•若原约束条件为'Ai * X = bi'，则化为'Ai * X >= bi' 和'-Ai * X >= -bi'，其中Ai为系数行向量，X为变量列向量。

整数规划知识点总结一、整数规划基本概念整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。

数学形式可以表示为：\[\min c^Tx\]\[ s.t. Ax \leq b\]\[x\geq0 \]\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。

当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。

当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）。

二、整数规划解法整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。

下面将对常用的整数规划解法进行简要介绍。

1.分支定界法分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。

具体步骤如下：1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。

2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。

3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。

2.割平面法割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。

这些割平面是通过分析整数规划问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。

3.隐枚举法隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。

该方法可以高效地求解整数规划问题，是一种常用的整数规划求解算法。

以上是整数规划常用的三种求解方法，通过不同的算法可以解决不同种类的整数规划问题。

三、整数规划应用领域整数规划在实际决策问题中有着广泛的应用，如生产计划、运输调度、项目投资、资源配置等诸多领域。

下面将对整数规划在不同应用领域的具体案例进行介绍。

2013—2014（2）专业课程实践论文题目：0-1规划的隐枚举法一、算法理论 0—1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0-1规划等价，用0—1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致力于这个方向的研究.求解0—1规划的常用方法是分枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法.线性模型中，当变量的取值只能是“0”或“1”时，称之为“0-1规划问题”。

有种极其简单的解法，就是将变量取值为0或1的所有组合列出，然后分别代入目标函数,选出其中能使目标函数最优化的组合,即为最优解。

但是真的这样会做很多无用功,浪费大量资源，所以，需要改进方法.本文主要介绍隐枚举法的应用原理，意在剖析其“隐"在何处.从而帮助读者更好地应用这种方法。

和线性规划问题一样，首先需要将模型标准化。

标准化对0-1规划问题提出四点要求：1。

目标函数为最小优化2.目标函数中变量的系数都为正3。

在目标函数中，变量按系数值从小到大排列，则约束函数中，变量的排列次序也做相应改变。

4.所有变量均为0或10-1线性规划的基本形式是1min nj jj Z c x ==∑011,2,,..1,2,,j ij j j x j m s t a x b i n ==⋅⋅⋅⎧⎪⎨≤=⋅⋅⋅⎪⎩∑或function [intx,intf］ = ZeroOneprog（c，A,b，x0）%目标函数系数向量,c％不等式约束矩阵,A%不等式约束右端向量，b％初始整数可行解,x0％目标函数取最小值时的自变量值，intx%目标函数的最小值，intfsz = size(A);if sz(2) < 3［intx,intf] = Allprog（c，A，b)；％穷举法else[intx，intf］ = Implicitprog（c，A,b，x0）; ％隐枚举法endfunction [intx,intf］ = Allprog（c,A,b）sz_A = size（A）;rw = sz_A(1）;col = sz_A(2)；minf = inf；for i=0：(2^(col)-1) %枚举空间x1 = myDec2Bin(i,col)；%十进制转化为二进制if A*x1 >= b %是否满足约束条件f_tmp = c＊x1;if f_tmp 〈 minfminf = f_tmp;intx = x1；intf = minf;elsecontinue;endelsecontinue；endendfunction［intx,intf] = Implicitprog（c，A，b,x0)%隐枚举法sz_A = size（A）;rw = sz_A(1);col = sz_A（2)；minf = c＊x0；A = ［A;—c］；b = [b;-minf]；%增加了一个限制分量for i=0:（2^(col）—1)x1 = myDec2Bin（i,col);if A*x1 >= bf_tmp = c＊x1;if f_tmp 〈 minfminf = f_tmp;b(rw+1，1） = —minf；%隐枚举法与穷举法的区别在于此句 intx = x1；intf = minf;elsecontinue;endelsecontinue;endendfunction y = myDec2Bin（x,n) ％十进制转化为二进制str = dec2bin(x,n);for j=1:ny(j） = str2num（str(j)）；endy = transpose(y）；四、算法实现例1．求解下面0—1规划()⎪⎩⎪⎨⎧=≥++++≥++++++++=105224287453232min 54321543215432154321或,x ,x ,x ,x x x x x x x x x x x x ,s.t.x x x x x x f解:在MATLAB 命令框在输入下列命令:〉〉 c=［1 2 3 1 1];>> A=［2 3 5 4 7；1 1 4 2 2];>〉 b=[8；5］;>〉 x0=［1；1;1；1;1];>> ［intx,intf]=ZeroOneprog （c ，A,b,x0）所得结果如下：1231231231213123max 3252244..346,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x x x =-++-≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪⎩为或 解:在MATLAB 命令框在输入下列命令：>> c=［—3，2，—5］;〉> A=[—1，—2,1；-1，—4,—1;-1，—1,0；—4，0,-1］; >> b=［-2；-4；—3；-6］;〉> x0=[1;0;0］;>〉 [intx,intf]=ZeroOneprog （c ，A ，b,x0)123412341234124min 3721648..53501,1,2,3,4j z x x x x x x x x x x x x s t x x x x j =+-+-+-≥⎧⎪-++≥⎪⎨++≥⎪⎪==⎩或 解：在MATLAB 命令框在输入下列命令: >〉 c=[3，7,-1,1]；A=［2，-1,1,-1;1,—1，6,4；5，3，0，1]； b=[1;8;5］;>> x0=[1;1;1;1］；〉〉 [intx,intf]=ZeroOneprog （c,A,b ，x0)123123123123max 62323352..2401,1,2,3j z x x x x x x x x x s t x x x x j =++++≤⎧⎪-+≥⎪⎨++≤⎪⎪==⎩或解：在MATLAB 命令框在输入下列命令： 〉> c=［-6,—2,-3］；A=［-1,-2，—1；3，—5,1；—2，-1,—1]； b=［-3;2;-4］；x0=［1;0；0]；[intx ，intf ］=ZeroOneprog （c ，A ，b,x0）。