浅谈枚举法——精选推荐
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INTELLIGENCE
（上接第１２２页）浅谈“枚举法”
徐州市苏山中学张允
在中学数学课本中、高考数学试卷及竞赛试题中，都不同程度的出现了用枚举法求解的问题。为了使学生对此有一个深刻了解，掌握其解法步骤，并能正确地用之求出问题的解来，笔者认为有必要谈“枚举法”，以期对学生所帮助。所谓枚举法，就是根据问题的要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复不遗漏的有限种情况，一一列举这各种情况加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析、解决问题的办法叫枚举法。例１要把一张面值１角的人民币换成零钱，现有足够的面值５分、２分、１分的人民币，问有多少种换法（初一《代数》上题目）？解：设换的面值为５分，２分，１分人民币的张（枚）数分别为ｘ，ｙ，ｚ，由题意可列出方程５ｘ＋２ｙ＋ｚ＝１０，根据这个方程可得出下列十种情况：（１）ｘ＝０，ｙ＝０，ｚ＝０；（２）ｘ＝０，ｙ＝１，ｚ＝８；（３）ｘ＝０，ｙ＝２，ｚ＝６；（４）ｘ＝０，ｙ＝３，ｚ＝４；（５）ｘ＝０，ｙ＝４，ｚ＝２；（６）ｘ＝０，ｙ＝５，ｚ＝５；（７）ｘ＝１，ｙ＝０，ｚ＝５；（８）ｘ＝１，ｙ＝１，ｚ＝３；（９）ｘ＝１，ｙ＝２，ｚ＝１；（１０）ｘ＝２，ｙ＝０，ｚ＝０；答：共有十种换法。例２使得ｍ２＋ｍ＋７是完全平方数的所有这样的整数ｍ的积是。解析：分五种情况：（１）当ｍ２＋ｍ＋７＝ｍ２时，则ｍ＝－７；（２）当ｍ２＋ｍ＋７＝（ｍ＋１）２时，则ｍ＝６；（３）当ｍ２＋ｍ＋７＝（ｍ－１）２时，则ｍ＝－２；（４）当ｍ２＋ｍ＋７＝（ｍ＋２）２时，则ｍ＝１；（５）当ｍ２＋ｍ＋７＝（ｍ－２）２时，有－５ｍ＋４＝７，此时无整数解；那么得出符合题意要求的所有整数ｍ为１，－２，６，－７，其积为８４，故应填上８４。例３四条线段的长分别为９，５，ｘ，１（其中ｘ为正实数），用它们拼成两个真角三角形且ＡＢ与ＣＤ是其中的两条线段，则ｘ可取值的个数为（）。（Ａ）２个；（Ｂ）３个；（Ｃ）４个；（Ｄ）６个解：显然ＡＢ是四条线段中最长的，故ＡＢ＝９，或ＡＢ＝ｘ，分两种情况考虑：１．若ＡＢ＝９，（１）当ＣＤ＝ｘ时，有９２＝ｘ２＋（１＋５）２，求出ｘ＝３５姨。（２）当ＣＤ＝５时，有９２＝５２＋（１＋ｘ）２，求出ｘ＝２１４姨－１。（３）当ＣＤ＝１时，有９２＝１２＋（５＋ｘ）２，求出ｘ＝４５姨－５。２．若ＡＢ＝ｘ，（１）当ＣＤ＝９时，有ｘ２＝９２＋（１＋５）２，求出ｘ＝３１３姨。（２）当ＣＤ＝５时，有ｘ２＝５２＋（１＋９）２，求出ｘ＝５５姨。（３）当ＣＤ＝１时，有ｘ２＝１２＋（５＋９）２，求出ｘ＝１９７姨。综合以上情况可知ｘ可取值为６个，故选Ｄ。例４袋中装有５个红球，６个黑球，７个白球，从袋中摸出１５个球，摸出的球中恰好有３个红球的概率是（）Ａ．１／１０Ｂ．１／５Ｃ．３／１０Ｄ．２／５（２００７年全国初中数学联赛试题）解设摸出的１５个球中有ｘ个红球，ｙ个黑球，ｚ个白球，则ｘ，ｙ，ｚ都是正整数。且ｘ≤５，ｙ≤６，ｚ≤７，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１５。因为ｙ＋ｚ≤１３，所以ｘ可取值范围为２，３，４，５。当ｘ＝２时，只有一种可能，即ｙ＝６，ｚ＝７；当ｘ＝３时，ｙ＋ｚ＝１２，有两种可能：ｙ＝５，ｚ＝７或ｙ＝６，ｚ＝６；当ｘ＝４时，ｙ＋ｚ＝１１，有三种可能：ｙ＝４，ｚ＝７或ｙ＝５，ｚ＝６或ｙ＝６，ｚ＝５；当ｘ＝５时，ｙ＋ｚ＝１０，此时有四种可能：ｙ＝３，ｚ＝７或ｙ＝４，ｚ＝６或ｙ＝５，ｚ＝５或ｙ＝６，ｚ＝４。因此共有１＋２＋３＋４＝１０种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有３个红球的结果有２种，故所求概率为２／１０＝１／５，选Ｂ。现给出以下几题，供读者思考。１．已知ｘ＋ｙ＋ｚ＝２０，问此方程有多少组正整数解。２．以１９９５年质因数为边的三角形共有＿＿＿＿＿＿个。（Ａ）４（Ｂ）７（Ｃ）１３（Ｄ）６０３．设２１ｘ２＋ａｘ＋２１能分解为两个一次因式的积，且各因式的系数都是正整数，则满足条件的整数ａ有＿＿＿＿＿＿＿个。４．如图２，直线ｌ１∶ｙ＝－ｘ＋１与两直线ｌ２∶ｙ＝ｘ分别相关于Ｍ、Ｎ点，设Ｐ为ｘ轴上的一点，过点Ｐ的直线ｌ∶ｙ＝－ｘ＋ｂ与直线ｌ２、ｌ３分别交于Ａ、Ｃ两点
，以线段ＡＣ为对角线作正方形ＡＢＣＤ。（１）写出正方形ＡＢＣＤ各顶点的坐标（用ｂ表示）：（２）当点Ｐ从原点出发，沿着ｘ轴的正方向运动时，设正方形ＡＢＣＤ与△ＯＭＮ重叠部分的面积为Ｓ，求Ｓ与ｂ之间的函数关系式，并写出相应自变量ｂ的取值范围。（２００７年徐州市中考试卷）参考答案：１、１７１组２．选Ｄ，３．填５４．（１）Ａ（ｂ／３，２ｂ／３），Ｂ（ｂ／３，ｂ／２），Ｃ（ｂ／２ｂ，ｂ／２），Ｄ（ｂ／２ｂ，２ｂ／３）（２）当点Ｄ在直线ｌ１上时，ｂ＝６／７；当点Ｂ在直线ｌ１上时，ｂ＝６／５；①当０＜ｂ＜６／７时，Ｓ＝ｂ２／３６；②当６／７≤ｂ＜１时，Ｓ＝ｂ２／３６－１（７ｂ／６－１）２／２＝－４７ｂ２／７２＋７ｂ／６－１／２；③当１≤ｂ≤６／５时，Ｓ＝（１－５ｂ／６）２／２＝２５ｂ２／７２－５ｂ／６＋１／２；④当ｂ＞６／５时，Ｓ＝０．ＡＣＤＢＯ
ｙ
ｘｏＬ２Ｌ３ＭＮＡＤＣＢＬＬ１
他们学习英语的兴趣。因此，我们可以改编教材，自创“ｃｈａｎｔ”，让英语教材的内容充满韵律感。比如，上课伊始，用朗读儿歌引导学生进入轻松愉快的学习状态Ｎｏｄｙｏｕｒｈｅａｄ，ｙｅｓ，ｙｅｓ，ｙｅｓＳｈａｋｅｙｏｕｒｈｅａｄ，ｎｏ，ｎｏ，ｎｏＲａｉｓｅｙｏｕｒｈａｎｄ，ｏｎｅ，ｔｗｏ，ｔｈｒｅｅＰｕｔｙｏｕｒｈａｎｄｓｄｏｗｎ，ｌｏｏｋａｔｍｅ再如，在学完ｆａｍｉｌｙ之后，自编一首歌谣给学生ＦａｔｈｅｒａｎｄｍｏｔｈｅｒＨｅｌｐｅａｃｈｏｔｈｅｒＳｉｓｔｅｒａｎｄｂｒｏｔｈｅｒＰａｌｙｔｏｇｅｔｈｅｒ实践也证明，在小学英语教学中运用歌谣是一种有效的教学方法。课堂是落实教学的主阵地，教师在使用教材的过程中，以全新的观念正确处理和灵活运用教材，是提高课堂效率的前提。从形式上看，把握教材是一种强烈的优化意识。从内涵上看，构建教材可以体现自我，发挥自身优势，使教师的个性魅力得以张扬，有助于教师形成稳定与成熟的教学风格。如何突破固有的思维模式，敢于创新，勇于探索，使教材焕发活力，使学生得到全面发展，这是对小学英语教师的挑战。我想：只有真正把握好教材，才能做到基于真实情景的师生互动，才能构建精彩的课堂教学。教师多听、多想、多做，通过反思，感悟和行动来增进对教材的理解和把握，提高实施新课程的能力和水平。教材教法
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