枚举法的四种方法

小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题（含答案）

知识要点

我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。我们可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。

解题指导1

1.枚举法在数字组合中的应用。

按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。

【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？

【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。

第一类：百位上为1的有：123 132

第二类：百位上为2的有：213 231

第三类：百位上为3的有：312 321

答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。

【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？

解题指导2

2. 骰子中的点数

掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。

【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。

【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。

出现7的情况共有6种，它们是：

1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。

出现8的情况共有5种，它们是：

2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。

所以，小明获胜的可能性大。

第七讲 枚举法初步

新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28元8角。

小昊发现，可以有多种付钱方法：

（1）2张10元，1张5元，3张1元，1张5角，3张1角；

（2）1张10元，3张5元，3张1元，1张5角，1张2角，1张1角；

（3）1张20元，4张2元，8张1角；

（4）3张10元，收30元找回1元2角；

等等。

一般的，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便把问题分成不遗漏不重复的优先种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题解决问题的方法，称之为枚举法。

注意：运用枚举法解决问题时，必须注意无重复，无遗漏。为此必须要求有次序有规律的进行枚举。

把一个整数表示成若干个小于它的自然数值和，叫做整数的拆分。整数4有多少种不同的拆分方法？

解：分拆时，将自然数按从达到小的顺序出现，一共有4种不同的分拆方法：4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1。

用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物品当砝码），当砝码只能放在同一个盘内时，可以称出的重量有多少种？

分析：共有三个重量不同的砝码，可以取出其中的一个，两个，三个来称量。一一来列举这三种情况

解：取一个砝码可称：1克、3克、9克。有3种。

取两个砝码可称：1+3=4（克）、1+9=10（克）、3+9=12（克），3种。

取三个砝码可称：1+3+9=13（克），有1种。

注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，所以可以称出： 3+3+1=7（种）

挑战例题

例1

例2

课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。第一次报数后，单号全部站出来，然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一人站出来一个人，到第几次这些人全部站出来？最后站出的人应该是第几号？

分析：根据题目的特点，先用排列法把题中的条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。

眦｝ｘＥ解题方法与技巧　‘‘　枚举法”解题举隅　江苏徐州市铜山县新区中学（２２１１４０）　张金凤路昌田　在中学数学课本和中、高考数学试卷及竞赛试题　中，都不同程度地出现了用枚举法求解的问题．为了　使学生对此有一个深刻了解，掌握其解法步骤，并能　正确地用之求出问题的解来，笔者认为有必要谈一谈　“枚举法”，以期对学生有所帮助．　所谓枚举法，就是根据问题的要求，一一列举问　题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不　重复不遗漏的有限种情况，一一列举这各种情况加以　解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析、解决　问题的办法叫枚举法．　【例１】要把一张面值ｌ角的人民币换成零钱，　现有足够的面值５分、２分、１分的人民币，问有多少　种换法？（初一《代数》上题目）　解：设换的面值为５分，２分，１分人民币的张　（枚）数分别为　，ｙ．　．由题意可列出方程５　＋２　＋　—１０，根据这个方程可得出下列十种情况：　（１）　—ｏ，　＝ｏ，　—ｌＯ；（２）　：０，　一１，　一８；（３）　一ｏ。　＝２，ｚ一６；（４）　—ｏ，　一３，　一４；（Ｓ）　一ｏ，　一　４，　—２；（６）　’一０．　一５，　一０；（７）　一１．Ｙ一０，　—５；　（８）　ｒ一１，　＝１，。＝３；（９）＿丁一１，　一２，　一１；（ｉ０）　一　２，ｙ＝Ｏ．　＝０．　答：共有十种换法．　【例２】使得ｍ　＋ｍ＋７是完全平方数的所有这　样的整数　的积是　．　解析：分五种情况：　（１）当ｍ０十ｍ＋７一Ⅲ　时，则　：一７；　（２）当，　０＋”２＋７＝（，　＋１）　时，则ｍ一６；　（３）当，　＋，ｎ＋７一（ｍ～Ｉ）　时，则ｍ一一２；　（４）当朋０＋　＋７一（　＋２）　时，则　一１；　（５）当ｍ　＋”ｉ＋７一（Ⅲ一２）　时，有一５ｍ＋４＝７，　此时无整数解；　那么得出符合题意要求的所有整数”　为１，一２．　６，～７，其积为８４，故应填上８４．　【例３】四条线段的长分　别为９，５，　，１（其中　为正实　数），用它们拼成两个直角三角　形（如图１）且ＡＢ与ＣＤ是其　中的两条线段，则　可取值的　个数为（　）．　Ａ．２个　Ｂ．３个　Ｃ．４个　Ｉ）．６个　解：显然ＡＢ是四条线段中最长的，故ＡＢ＝９或　ＡＢ＝ｘ，分两种情况考虑：　１．若ＡＢ＝９　（１）当ＣＤ＝ｘ时，有９　一　。＋（１＋５）。，求出　一　３，／ｇ；　（２）当ＣＤ＝５时．有９　一５　＋（１＋　）　，求出　一　２￣／１４—１；　（３）当ＣＤ＝１时，有９　：１　＋（５＋　）？，求出　：　４　一５．　２．若ＡＢ＝ｘ　（１）当ＣＤ＝９时，有　。一９　＋（１＋５）　．求出　一　３　ｖ厂　：　（２）当ＣＤ＝５时，有　。＝５　＋（１十９）　，求出Ｔ一　５　：　（３）当ＣＤ＝１时，有　！一１　＋（５＋９）　，求出　一　萌一　综合以上情况可知　可取值为６个，故选Ｄ．　【例４】袋中装有５个红球，６个黑球，７个白　球，从袋中摸出１５个球，摸出的球中恰好有３个红球　的概率是（　）．　八　Ｂ｛　ｃ．斋　ｎ詈　（２００７年全国初中数学联赛试题）　解：设摸出的１５个球中有ｚ个红球，Ｙ个黑球，ｚ　个自球，则　，Ｙ，　都是正整数，且　≤５，　≤６，　≤７，　＋ｖ＋ｚ一１５．因为　＋ｚ≤ｌ３，所以３３可取值范围为２，　３．４，５．　当　一２时，只有～种可能，即　一６，　—７；　当　一３时，　＋　一１２，有两种可能：Ｙ一５，　一７　或　一６。　一６；　当ｘ＝４时，Ｙ＋　：１１，有三种可能：Ｙ＝４，　一７　或　＝５，　一６或　一６，　一５；　当　一５时，Ｙ＋　一１０，此时有四种可能：　＝３，ｚ　一７或　：４，　一６或３Ｉ一５，　一５或　一６，ｚ：４．　因此共有ｌ＋２十３＋４—１０种可能的摸球结果，　其中摸出的球中恰好有３个红球的结果有２种，故所　求概率为　２一ｉ１，选Ｂ．　现给出以下几题，供读者思考．　１．已知　＋　＋　＝２Ｏ，向此方程有多少组正整数解．　２．以】９９５的质因数为边的三角形共有——　个．　３．设２１ｘ　＋ｎ　＋２１能分解为两个一次因式的　积，且各因式的系数都是正整数，则满足条件的整数　“有　个．　４．如图２，直线ｚ　：Ｙ一　一　＋ｌ与两直线　２：　一　，　￡３：Ｙ—ｚ分别相关于Ｍ、Ｎ　点，设Ｐ为ｚ轴上的一点，　过点Ｐ的直线ｚ：　一一　＋ｂ　与直线　ｚ、　ｓ分别交于Ａ、Ｃ　两点，以线段ＡＣ为对角线　作正方形ＡＢＣＤ．　（１）写出正方形ＡＢＣＤ　各顶点的坐标（用ｂ表示）；　（２）当点Ｐ从腺点出发，役看．３２轴的正方向运动　时，设正方形ＡＢＣＤ与ＡＯＭＮ重叠部分的面积为　Ｓ．求Ｓ与ｂ之间的函数关系式，并写出相应自变量ｂ　的取值范围．（２００７年徐州市中考试卷）　参考答案：１．１７１组；２．６０；３．５；　４．（１）Ａ（号６，号６），Ｂ（｛６，吉６），Ｃ（￣－ｂ，吉６），　Ｄ　１　６号　（２）当点Ｄ在直线ｆ　上时，ｂ—　６；当点Ｂ在直　线　上时，６一　６；①当ｏ＜６＜号时，ｓ　去６。；②当　１时，Ｓ＝１Ｅ一　１‘　６　６—１）　一一　４７　６２＋　舌６一　１；③当１≤６≤＿詈Ｉ时，ｓ—　１（１一音６）。一　２５６　一百５扫十．　ｉ；④当　＞詈时，Ｓ—ｏ．

第三讲 枚举法

在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。

运用枚举法要注意：

1、做到不重补漏，把复杂的问题简单化；

2、按照一定的规律、特点去枚举；

3、从思想上认识到枚举的重要性。

1、 了解运用字典排列的方法来解决问题；

2、 学习审题和确定分类的标准；从思想上认识枚举的重要性；

3、培养学员解决问题的能力，提高学员的学习信心。

用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个去称重（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？

【解析】共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个，两个或者是三个来称不同的重量。

取出一个：1克，3克，9克

取出两个：（1克和3克，4克）（1克和9克，10克）（3克和9克，12克）

取出三个：（1克3克9克，13克）

解答：共有7种不同的重量。

课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一个人。到第几次这些人全部站出来了？最后站出来的人应该是第几号？

【解析】根据题目的特点要求一一列举出来。第一次站出来的是：（1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29）；第二次站出来的是：（2，6，10，14，18，22，26，30）；第三次站出来的是：（4，12，20，28）；第四次站出来的是：（8，24）；第五次站出来的是：（16）。

解答：到第5次所有的人都能站出来，最后站出来的是：16号。