第6章双变量回归

第三章
双变量回归模型：估计问题
简单的线性回归模型
Yi = 1 + 2 X i + ui
Yi = 每周家庭支出 X i = 每周家庭收入
对于给定的 xi的水平, 预期的食物支 出将是: E(Yi|X i) = 1 + 2 X i
参数
1和 2是未知常数.
^ ^ ) 的公 产生样本估计量 b1 (或 1)和 b2(或 2 式就是 1 和 2的估计。
b1 和b2的预期值
简单线性回归下的估计量的公式:
b2 =
nXiYi - XiYi nX2 -(Xi)2 i
xiyi = xi2
b1 = Y - b2X
这里
Y = Yi / n 和 X = Xi / n
将 Yi = 1 + 2xi + 替代到 b2 公式中并得:
ui
nxi ui - xi ui b2 = 2 + 2 2 nxi -(xi)

)2
=
yi
i
2
=
^

xi2 yi2
Sx2 Sy2
xiyi)2 xiyi 2 xi2 = = 2 2 xi2yi2 xi yi
Y
当R2 = 0 SRF
哪个是SRF ?Leabharlann X Y当 R2 = 1
SRF
SRF 通过所有点
X
高斯马尔可夫定理
在经典的线性回归模型条件下, 最小二乘 (OLS) 估计量 b1 和 b2 是1和 2 的最优线 性无偏估计量 (BLUE). 这意味着 b1和 b2 在1 和2所有线性无偏估计量中拥有 最小 方差.
错误的模型设定 先前的无偏结果假定使用了正确 的设定形式

验地知道。通常用概率分布来描述。
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条件分布
条件分布：以X取定值为条件的Y的条件分布 注：给定收入X，支出Y并不确定，而是取不同的值。 问：给定收入X，支出Y取什么值？ 例：给定X=80，Y取5个不同的值：55、60、65、70、75
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第6章：双变量线性回归
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本章主要内容
双变量线性回归模型： 回归的含义 总体回归函数 随机误差项的性质和设定 参数估计-普通最小二乘法 参数最小二乘估计量的统计性质 （小结）
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复习：
计量经济学“四大过程”
模型设计：
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回归系数
b0，b1为参数parameters, 也称回归系数（regression coefficients) b1为截距(intercept); b0为斜率（slope) ui是随机误差项（stochastic, random error term)或随机干扰项。其值不能先
100
150
Y
线性 (Y)
计量经Y︱Xi)意为：在给定X值的条件下Y值分布的均值，即回归。 这就是Y的条件期望（conditional expectation）或条件均值（conditional
expected value)。 意味着Y依赖于X，一般称之为Y对X的函数。一般称为Y对X的回归。 换句话说，总体回归直线经过Y的条件期望值。
1和2也分别称为截距和斜率系数。 上述方程也称为线性总体回归函数。
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βˆ2 分别是α ，β2 的最优线性无偏估计量。
双对数模型的一个最大的优点是，斜率β
β2
=
d (lnY ) d (ln X )
=
1 dY Y 1 dX
=
dY /Y dX / X
2就是Y对X的弹性：
如果Y代表商品需求量Q，XX代表商品价格P，可见β2 就表示该商品
的需求价格弹性。而弹性在经济学中具有广泛的运用：
对数——线性模型有两个特点：
①Y对X的弹性在整个研究范围内是常数，一直为 β2 ，因此这种模
型也称为不变弹性模型（constant elasticity model）。
②虽然αˆ 和 βˆ2 是无偏估计量，但是进入原始模型的参数
β1 的估计值βˆ1 却是有偏估计， ∵ β1 = anti logαˆ （ βˆ1等于αˆ 的反对数）
第二，对有截距项的模型，判定系数 r 2 ≥ 0 ；但是，对无截距模
型来说，有时可能出现负值。
∑ ∑ ∑ ∑ 对于有截距的模型： RSS = ui 2 = yi 2 − βˆ22 xi 2 ≤ yi 2
∑ ∑ ∑ 对于无截距的模型： RSS = ui 2 = Yi 2 − βˆ22 X i 2
∑ ∑ TSS = yi2 = Yi2 − NY 2
∑∑ βˆ2 =
X iYi Xi2
下面求 βˆ2 的方差：
（6.1.6）
将PRF： Yi = β 2 X i + ui
代入（6.1.6）式得：
∑ ∑ ∑∑ βˆ2 =
X i (β2 X i
Xi2
+ ui )
=
β2
+
X iui Xi2
∑ ∑ E(βˆ2 ) = β 2 ∵ E( X iui ) = E(ui ) X i = 0

倒数模型
Yi
1
2(
1 Xi
)
ui
这一模型的特点：关于参数是线性的，但关
于变量是非线性的，所以从回归的角度看，这是
一个线性回归模型；当X趋于无穷大时，1/X趋于0，
而 Y则趋于β2。
一个例子：菲利普斯曲线
其中Y为通胀变化率，X为失业率，上半部 （较陡）表明，当失业率低于自然失业率时， 失业的单位变化（下降）引起的工资的变化率 （通胀）上升，其速度快于对应的在失业率高 于自然失业率时，失业的同样变化所引起的工 资下降（下半部较上半部平缓）。
yt 1 2 xt ut (绝对变化) R 2 0.67 ln yt 1 2 xt u（t 相对变化） R2 0.8
对数－线性模型
Yi 1 2 ln X i ui
X 变化一个百分比，Y的绝对变化量
2
Y X / X
Y
2 X
/
X
含义：Y的绝对变化（Y）等于2乘以X的相对变化。
（参数线性）
Yi
X e 2 ui 1i
ln Yi
ln 1
2
ln
Xi
ui
（参数线性）
Yi
X 2 1i
ui
ln Yi
ln(
1
X
i
2
ui )
（参数非线性）
运用OLS估计，假定：ln ui ~ i.i.d.N (0, 2 )
因此，在检验残差是否为正态时时，是对估计的残差 lnˆ ui
进行诊断，而不是对原始的残差。
要点与结论 1．有时一个回归模型并不明显包含截距项。 这样的模型被称为过原点回归。虽然估计这种模型 的代数方法很简单，但应小心使用这些模型。对于 这种模型，残差和是非零的；此外，通常计算的r2 不一定有意义。除非有很强的理论原因，否则还是 在模型中明显地引入一个截距为好。 2．因为单位和尺度是回归系数赖以解释的关 键，所以用什么单位和尺度来表达回归子和回归元 是很重要的。在经验研究中，研究者不仅要注明数 据的来源，还要声明变量是怎样度量的。