第二章___概念

第二章函数第1讲函数的概念及其表示课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.求函数的定义域2022北京T11本讲是函数部分的基础，命题热点为分段函数的求值、含参和解不等式问题，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏易.在2025年高考的备考中，要掌握函数的三要素和以分段函数为载体的有关应用.求函数的解析式分段函数2022浙江T14；2021浙江T12学生用书P0181.函数的概念及表示函数的定义一般地，设A ，B 是①非空的实数集，如果对于集合A 中的②任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有③唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f （x ），x ∈A .三要素④定义域，⑤对应关系，⑥值域.定义域自变量x 的取值范围A .值域函数值的集合{f （x ）｜x ∈A }，是集合B 的⑦子集.相等函数⑧定义域相同，⑨对应关系完全一致.函数的表示法⑩解析法，⑪列表法，⑫图象法.注意（1）与x 轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；（2）解决函数问题时，优先考虑定义域.常用结论求函数的定义域时常用的结论（1）分式型1（）要满足f （x ）≠0；（2）偶次根式型2（）（n ∈N *）要满足f （x ）≥0；（3）[f （x ）]0要满足f （x ）≠0；（4）对数型log a f （x ）（a ＞0，且a ≠1）要满足f（x）＞0；（5）正切型tan f（x）要满足f（x）≠π2＋kπ，k∈Z.2.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.注意（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.1.下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（B）A.f（x）＝2－1与g（x）＝－1·+1B.f（x）＝x与g（x）＝3＋2+1C.f（x）＝x与g（x）＝（）2D.f（x）＝2与g（x）＝332.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是（D）A.y＝xB.y＝lg xC.y＝2xD.y3.[教材改编]已知函数f（x 1，≤1，>1，则f（f（－2））＝（B）A.8B.12C.－34D.－109解析因为f（x）1，≤1，>1，所以f（－2）＝（－2）2－1＝3，所以f（f（－2））＝f（3）＝13－1＝12，故选B.4.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.学生用书P019命题点1求函数的定义域例1（1）[2022北京高考]函数f（x）＝1＋1－的定义域是（－∞，0）∪（0，1].解析因为f（x）＝1＋1－，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，1].（2）若函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，则函数f（x）的定义域为[－3，3].解析因为函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，所以－1≤x≤2，所以－3≤1－2x≤3.所以函数f（x）的定义域为[－3，3].命题拓展若函数f（x）的定义域为[－1，2]，则函数f（1－2x）的定义域为[－12，1].解析由－1≤1－2x≤2，得－12≤x≤1，所以函数f（1－2x）的定义域为[－12，1].方法技巧1.求具体函数的定义域的策略根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.2.求抽象函数的定义域的策略（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.注意无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量x的取值集合.训练1（1）[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，则函数y＝（2r1）r1的定义域是（A）A.[－32，－1）∪（－1，1]B.[－3，－1）∪（－1，7]C.（－1，7]D.[－32，－1）解析因为函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x＋1≤3，且x＋1≠0，解得x∈[－32，－1）∪（－1，1].故选A.（2）[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f（x）＝3－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4，＋∞）.解析要使函数f（x）＝3－2＋（x－4）0有意义，则有3－2≥0，－4≠0，解得x≥23且x≠4，所以函数f（x）＝3－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4，＋∞）.命题点2求函数的解析式例2（1）[2024河南省内乡高中模拟]已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，则f（x）＝4x－5或－4x＋253.解析设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴2=16，B＋＝－25，∴=4，＝－5或＝－4，＝253，∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋253.（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（1）＝3x－1，则f（x）＝2x－1－13.解析已知2f（x）＋f（1）＝3x－1①，以1代替①中的x（x≠0），得2f（1）＋f（x）＝3－1②，①×2－②，得3f（x）＝6x－3－1，故f（x）＝2x－1－13.方法技巧求函数解析式的常用方法（1）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），则可用待定系数法求解.（2）换元法：若已知复合函数f（g（x））的解析式求解函数f（x）的解析式，可令g（x）＝t，解出x，然后代入f（g（x））中即可求得f（t），从而求得f（x）.此时要注意新元的取值范围.（3）配凑法：配凑法是将函数f（g（x））的解析式配凑成关于g（x）的形式，进而求出函数f（x）的解析式.（4）构造方程组法（消元法）：若已知f（x）与f（1），f（－x）等的表达式，则可通过赋值（如令x为1，－x等）构造出另一个等式，通过解方程组求出f（x）.注意求函数解析式时，若定义域不是R，一定要注明函数定义域.训练2（1）已知f（x2＋12）＝x4＋14，则f（x）的解析式为f（x）＝x2－2，x∈[2，＋∞）.解析因为f （x 2＋12）＝（x 2＋12）2－2，所以f （x ）＝x 2－2，x ∈[2，＋∞）.（2）[2024安徽淮南模拟]已知f （x ）是二次函数，且f （x ＋1）＋f （x －1）＝2x 2－4x ＋4，则f （x ）＝x 2－2x ＋1.解析因为f （x ）是二次函数，所以设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则有a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c ＋a （x －1）2＋b （x －1）＋c ＝2x 2－4x ＋4，即2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x＋4，所以2=2，2＝－4，2+2=4，所以=1，＝－2，=1，所以f （x ）＝x 2－2x ＋1.（3）[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知f （x ）满足3f （x ）＋2f （1－x ）＝4x ，则f （x ）的解析式为f （x ）＝4x －85.解析3f （x ）＋2f （1－x ）＝4x①，用1－x 代替①中的x 可得3f （1－x ）＋2f （x ）＝4（1－x ）②，由3×①－2×②可得f （x ）＝4x －85.命题点3分段函数角度1分段函数的求值（求参）问题例3（1）[山东高考]设f （x ）＝，0<<1，2（－1),≥1.若f （a ）＝f （a ＋1），则f （1）＝（C）A.2B.4C.6D.8解析作出f （x ）的图象，如图所示，因为a ＜a ＋1，所以要使f （a ）＝f （a ＋1），则有＝2（a ＋1－1），0＜a ＜1，所以解得a ＝14，所以f （1）＝f （4）＝6.（2）[2022浙江高考]已知函数f （x ）＝－2+2，≤1，＋1－1，>1，则f （f （12））＝3728；若当x ∈[a ，b ]时，1≤f （x ）≤3，则b －a 的最大值是3＋3.解析由题意知f （12）＝－（12）2＋2＝74，则f （f （12））＝f （74）＝74＋174－1＝74＋47－1＝3728.作出函数f （x ）的大致图象，如图所示，结合图象，令－x 2＋2＝1，解得x ＝±1；令x ＋1－1＝3，解得x ＝2±3，又x ＞1，所以x ＝2＋3.所以（b －a ）max ＝2＋3－（－1）＝3＋3.角度2分段函数的解不等式问题例4[全国卷Ⅰ]设函数f （x ）＝2－，≤0，1，>0，则满足f （x ＋1）＜f （2x ）的x 的取值范围是（D）A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）C.（－1，0）D.（－∞，0）解析解法一当x ≤0时，函数f （x ）＝2－x 是减函数，则f （x ）≥f （0）＝1.作出f （x ）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f （x ＋1）＜f （2x ），则需+1<0，2<0，2＜+1或+1≥0，2<0，所以x ＜0，故选D.解法二当x ＝－12时，f （x ＋1）＝f （12）＝1，f （2x ）＝f （－1）＝2－（－1）＝2，满足f （x ＋1）＜f （2x ），排除A ，B ；当x ＝－1时，f （x ＋1）＝f （0）＝20＝1，f （2x ）＝f （－2）＝22＝4，满足f （x ＋1）＜f （2x ），排除C.故选D.方法技巧1.解分段函数的求值问题的思路：一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式求解，当出现f （f （a ））形式时，一般由内向外逐层求值.2.解分段函数的解不等式问题的思路：（1）若图象易画，可画出函数图象，数形结合求解；（2）根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集.注意解得值或范围后，要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.训练3（1）[2024河南郑州外国语模拟]已知实数a ＜0，函数f （x ）＝2＋，<1，－－2，≥1，若f （1－a ）＝f （1＋a ），则a 的值为（A ）A.－34B.－32C.－35D.－1解析因为a＜0，所以1－a＞1，1＋a＜1.因为f（1－a）＝f（1＋a），所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－34.故选A.（2）[2024四川达州外国语模拟]已知函数f（x）＝e－1，≤2，2（－2),>2，则f（7）＝8.解析由题意得f（7）＝2f（5）＝2×2f（3）＝4×2f（1）＝8e1－1＝8.（3）[2023江苏南通模拟]已知函数f（x）＝max{1－x，2x}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者.则不等式f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.解析作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知f（x）＝1－，≤0，2，>0.当x≤0时，由1－x＞4，得x＜－3.当x＞0时，由2x＞4，得x＞2，所以f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.1.[命题点1/2023黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学模拟]函数f（x－log3（1－2）的定义域是（A）A.[0，12）B.（－∞，12）C.（－∞，12]D.（－∞，1）解析由题意得1－>0，－log3（1－2）≥0，1－2>0，解得0≤x＜12，所以函数f（x）的定义域是[0，12），故选A.2.[命题点2]定义在（－1，1）上的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）.解析当x∈（－1，1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）①.以－x代替x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）②.由①②消去f（－x）得，f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）.3.[命题点3角度1]设函数f（x，≤1，>1，则满足2f（f（a））＝f（a）的a的取值范围是（D）A.（－∞，0]B.[0，2]C.[2，＋∞）D.（－∞，0]∪[2，＋∞）解析作出f（x）的图象（图略），可得f（x）的最小值为12，令t＝f（a），则t≥12，考虑f（t）＝2的解，作出y＝f（t）与y＝2在[12，＋∞）上的图象，如图1中实线所示，由图可知，当t≥1时，f（t）＝2，故t≥1.下面考虑f（a）≥1的解集，作出y＝f（a）与y＝1的图象如图2所示，由图可得a≤0或a≥2.故选D.图1图24.[命题点3角度2/2023山东济南模拟]已知函数f（x）＝－2+2B－2，≤，－，＞，若f（a2－4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（B）A.（－1，4）B.（－∞，－1）∪（4，＋∞）C.（－4，1）D.（－∞，－4）∪（1，＋∞）解析由题意知f（x）＝－（－）2，≤，－，＞，易知函数f（x）在（m，＋∞），（－∞，m]上单调递增，且m－m＝－（m－m）2，所以函数f（x）在R上单调递增.则由f（a2－4）＞f（3a），得a2－4＞3a，解得a＞4或a＜－1，所以实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选B.学生用书·练习帮P2641.函数f（x）＝3－1＋1ln（2－）的定义域为（C）A.[13，1）∪（1，＋∞）B.[13，2）C.[13，1）∪（1，2）D.（0，2）解析要使函数f（x）＝3－1＋1ln（2－）有意义，则3－1≥0，2－>0，2－≠1，解得≥13，<2，≠1，故函数的定义域为[13，1）∪（1，2）.故选C.2.下列各组函数表示相同函数的是（C）A.f（x）＝2和g（x）＝（）2B.f（x）＝1和g（x）＝x0C.f（x）＝｜x｜和g（x）＝，≥0，－，<0D.f（x）＝e ln x和g（x）＝lg10x解析对于选项A，f（x）＝2＝｜x｜的定义域为R，g（x）＝（）2＝x的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项B，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x｜x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项C，f（x）＝｜x｜＝，≥0，－，＜0，函数f（x），g（x）的定义域都是R，且对应法则相同，是相同函数；对于选项D，f（x）＝e ln x的定义域为（0，＋∞），g（x）＝lg10x的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相同函数.故选C.3.[2023重庆模拟]已知函数f（＋1）＝x＋2，则f（x）的解析式为（C）A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x2－1，x∈（1，＋∞）C.f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞）D.f（x）＝x2－1，x∈[0，＋∞）解析解法一（配凑法）f（＋1）＝x＋2＝（＋1）2－1，令t＝＋1（t≥1），则f（t）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.解法二（换元法）令t＝＋1（t≥1），则＝t－1（t≥1），f（t）＝（t－1）2＋2（t －1）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.4.已知函数f（x）＝ln，≥1，0，0≤<1，，<0，若f（2a－1）－1≤0，则实数a的取值范围是（D）A.[e+12，＋∞）B.（－∞，－12]∪[0，e+12]C.[0，e+12]D.（－∞，e+12]解析因为f（2a－1）－1≤0，所以f（2a－1）≤1.作出函数y＝f（x）及y＝1的图象，如图所示，设两函数图象交于点P，则由图可知，2a－1≤x P＝e，所以a≤e+12，即a的取值范围是（－∞，r12]，故选D.5.[2024广东名校联考]已知函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数y 的定义域是（2，5].解析由题意知0≤－1≤4，－2>0，解得2＜x≤5，即y2，5].6.[2024山东省部分学校阶段监测]已知函数f（x）＝3，≤0，l4，>0，则f（f（116））＝19.解析因为f（x）＝3，≤0，log4，>0，所以f（116）＝log4116＝－2，f（－2）＝3－2＝19，所以f（f（116））＝19.7.[2024惠州市一调]已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋2，则f（x）的解析式可以是f（x）＝2x（答案不唯一）.（写出满足条件的一个解析式即可）解析由f（x＋1）＝f（x）＋2知，函数f（x）的图象上移2个单位长度后得到的图象，与左移1个单位长度后得到的图象重合，f（x）＝2x＋k（其中k可取任意实数）满足要求.本题为开放题，答案可为f（x）＝2x，f（x）＝2x＋1等.8.[2024浙江名校联考]已知函数f（x）＝（12），∈（－∞，1),log4，∈（1，＋∞),则f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.解析由题意可得，f（0）＝（12）0＝1，结合指数函数y＝（12）x在定义域内单调递减可知，当x＜1时，f（x）＞1的解集为（－∞，0）；f（4）＝log44＝1，结合对数函数y＝log4x在定义域内单调递增可知，当x＞1时，f（x）＞1的解集为（4，＋∞）.所以不等式f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.9.[2023福建漳州联考]已知函数f（x）＝log2，>0，2+4+1，≤0，若实数a满足f（f（a））＝1，则实数a的所有取值的和为（C）A.1B.1716－5C.－1516－5D.－2解析作出y＝f（x）及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f（x）与y＝1的图象有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得x A＝－4，x B＝0，x C＝2.令f（a）＝－4，则由图可得log2a＝－4，解得a＝2－4＝116；令f（a）＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或log2a＝0，解得a＝－2－3或a＝－2＋3或a＝1；令f（a）＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2（a≤0）或log2a＝2，解得a＝－2－5或a＝22＝4.所以实数a的所有取值的和为116＋（－2－3）＋（－2＋3）＋1＋（－2－5）＋4＝－1516－5，故选C.10.[2023西北工业大学附属中学模拟]设函数f（x）＝，0<<1，eln，≥1，若f（a）＝f（e a），则f（1）＝解析根据题意作出函数f（x）的图象，如图所示.由f（x）的定义域知，a＞0，所以e a＞1.易知y＝e x的图象与y＝x的图象无交点，所以e a≠a，所以要使f（a）＝f（e a），则0＜a＜1＜e a，所以＝e ln e a，变形可得＝e a，解得a＝1e，则f（1）＝f（e）＝e ln e＝e.11.[情境创新]德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数f（x）＝1，为有理数，0，为无理数被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x），下列说法正确的是（D）A.f（x）的定义域为{0，1}B.f（x）的值域为[0，1]C.∃x∈R，f（f（x））＝0D.对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立解析由题意知f（x）的定义域为R，值域为{0，1}，故A，B错误；因为f（x）＝0或f（x）＝1，所以当f（x）＝0时，f（f（x））＝f（0）＝1，当f（x）＝1时，f（f（x））＝f（1）＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f（x）＝f（x＋T）＝1，若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f（x＋T）＝f（x）＝0，综上可得，对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立，故D正确.故选D.12.[探索创新/多选/2024江西名校联考]若存在M，使得f（x）≥M对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中M为函数f（x）的一个下界，若存在N，使得f（x）≤N对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有上界，其中N为函数f（x）的一个上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是（ABD）A.2是y＝x＋1（x∈（2，＋∞））的一个下界B.y＝ln有上界无下界C.y＝x e x有上界无下界D.y＝cos2+1有界解析对选项A，y＝x＋1在（2，＋∞）上单调递增，故y＞2＋12＝52≥2，A正确；对选项B，y＝ln，则y'＝1－ln2，当x∈（0，e）时，y'＞0，函数单调递增，当x∈（e，＋∞）时，y'＜0，函数单调递减，故函数在x＝e时有最大值为1e，无最小值，即y≤1e恒成立，B正确；对选项C，当x趋近于＋∞时，y＝x e x趋近于＋∞，C错误；对选项D，y＝Hs2+1，则｜y｜＝｜Hs｜2+1≤12+1≤1，即－1≤y≤1恒成立，D正确.故选ABD.。

基础物理学教程目录•引言•第一章：力和运动– 1.1 力的概念– 1.2 运动的描述•第二章：能量和功– 2.1 能量的概念– 2.2 功的概念•第三章：热学– 3.1 温度和热量– 3.2 热传递•第四章：力学波动– 4.1 波动的特性– 4.2 波动现象的应用引言基础物理学是自然科学中的核心学科之一，主要研究物质和能量的基本性质及其相互关系。

掌握基础物理学的理论和方法，有助于我们更好地理解自然现象、解决实际问题，甚至推动科学技术的发展。

本教程将系统介绍基础物理学的核心概念和基本原理，帮助读者建立起扎实的物理学知识基础。

第一章：力和运动1.1 力的概念力是基础物理学的核心概念之一，指导物体发生运动并改变其状态。

本节将详细介绍力的概念及其相关性质。

力可以通过力的三要素来描述，即大小、方向和作用点。

力的大小用牛顿（N）作为单位，在物理学中，力的大小通常用矢量表示，矢量的方向表示力的方向。

同时，力还有一个重要的特性：力的作用点。

力的作用点是指力作用的具体位置，不同的作用点可能会导致不同的物体运动。

例如，沿着物体的中心点施加力和沿着物体的边缘施加力，可产生不同的运动效果。

因此，了解力的作用点是理解物体运动的关键。

1.2 运动的描述运动是物理学中的基本概念之一，指物体在空间中随时间变化的位置。

本节将介绍运动的描述方法以及与运动相关的重要物理量。

在描述运动时，我们通常使用位移、速度和加速度等物理量。

位移是指物体从初始位置到最终位置所经过的路径长度，用矢量表示。

速度是指物体在单位时间内移动的位移，用矢量表示，常用的单位有米每秒（m/s）。

加速度是指物体在单位时间内速度的变化率，用矢量表示，常用的单位有米每二次方秒（m/s²）。

根据位移、速度和加速度之间的关系，我们可以通过数学方程进行运动描述。

例如，当物体做匀速运动时，位移与速度成正比，可以用简单的数学公式表示。

当物体做变速运动时，加速度的不断改变会导致速度的变化，因此需要使用更复杂的数学模型。