浙江省2019高考数学精准提分练解答题通关练3数列

绝密★启用前2019届浙江省高三新高考优化提升卷（三）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N ⋃=（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞答案：A解：试题分析：{}{}2|0,1M x x x ===,{}{|lg 0}|01N x x x x =≤=<≤,所以，故选A.2．已知12z i =-+，在复平面内，复数z 与1z 所对应的点关于虚轴对称，则1zz =（） A ．3455i + B ．3455-i C ．3455i -+ D ．3455i -- 答案：A由题意求出z 对应的点为()1,2-，从而可求出1z 对应的点()1,2，即可求出112z i =+，结合复数的除法运算可求出1zz 的值.解：依题意得112z i =+，z 对应的点为()1,2-，所以1z 对应的点()1,2，即112z i =+，所以112(12)(12)3412(12)(12)55z i i i i z i i i -+-+-===+++-. 故选:A. 点评：本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算，考查了复数对应的点.本题的易错点在于计算，应注意21i =-而不是1.3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．43B ．83C ．163D ．323答案：B 解：该几何体的直观图如图所示，是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，据此可得该几何体的体积为：221118(2)2(2)2.2323V =⨯⨯+⨯⨯⨯= 本题选择B 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 4．已知向量(1,3)a =-r ，向量(2,1)=r b ，若()a kb b +⊥r r r，则实数k 的值为（） A ．0 B ．15C ．45D ．1答案：B先求得a kb +r r的坐标，再根据()a kb b +⊥r r r ，由()0a kb b +⋅=r r r 求解.解：因为向量(1,3)a =-r，向量(2,1)=r b ，所以(12,3)a kb k k +=+-r r ， 因为()a kb b +⊥r r r ，所以()2(12)30a kb b k k +⋅=++-=r r r ，解得15k =.故选：B . 点评：本题考查平面向量的数量积及坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．函数()cos y x x x ππ=-≤≤的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：A试题分析：由题意得，函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B ，C ，又∵2x π=，0y =，排除D ，故选A.【考点】函数的性质及其图象.6．已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（）A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂且n ⊂α，则l α⊥B ．若αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥，则m α⊥C ．若//m β，//n β，m α⊂且n ⊂α，则//αβD ．若//αβ，l α⊥，//m l 且n β⊂，则m n ⊥答案：D由题意，A 中，根据线面垂直的判定定理，只有当直线m 与直线n 相交时，才能得到l α⊥，所以不正确；B 中，根据面面垂直的性质定理可知，只有当m β⊂时，才能得到m α⊥，所以不正确；C 中，当//m n 时，此时平面α与平面β可能是相交平面，所以不正确；D 中由//,l αβα⊥，则l β⊥，又//m l ，则m β⊥，又因为n β⊂，所以m n ⊥，所以是正确的，故选D.7．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，以坐标原点O 为圆心，以OF 为半径的圆与该双曲线的渐近线在y 轴右侧的两个交点记为,A B ，且120AFB ︒∠=，则双曲线的离心率为（） ABC ．2D答案：C设点A 在第一象限，由222,b y x ax y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩和0x >，求得(,)A a b ，同理得(,)B a b -，然后根据120AFB ︒∠=，得到||||AB AF =，即2b =.解：设点A 在第一象限，由222,b y x ax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩和0x >， 解得,,x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)A a b ，同理得(,)B a b -，因为120AFB ︒∠=，所以|||AB AF =，即2b =22223()c a b c a -==-，化简得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==， 故选：C . 点评：本题考查双曲线的几何性质、圆的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则（） A ．()5,()3E X D X => B ．()5,()3E X D X =< C ．()5,()3E X D X <> D ．()5,()3E X D X <<答案：B分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得(),()E X D X 的值，进而得到正确的选项.详解：根据题意可知，58559EX ⨯+==（）， 238(55)8()393D X ⨯+-==<，故选B.点睛：该题考查的是离散型随机变量的期望和方程的有关问题，在解题的过程中，注意正确理解离散型随机变量的期望和方差的意义，正确使用其运算公式，从而得到确切的值，得到正确的答案.9．若存在实数a ，对任意(0,]x m ∈，不等式()212ln 0ax x a x---⋅≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,2]B ．10,2⎛+ ⎝⎦C ．30,2⎛- ⎝⎦D ．30,2⎛+ ⎝⎦答案：B将条件等价转化为函数2()2f x x x =-的图象和函数()1g x x =-的图象分别位于直线y a =的两侧，然后结合图象求出答案即可.解：对任意(0,]x m ∈，不等式()212ln0ax x a x---≤恒成立， 等价于不等式()22[ln(1)ln ]0x x a a x ----≤恒成立， 等价于)2(2(1)0x x a a x ----≤恒成立，等价于()22[(1)]0a x x a x ⎡⎤--⋅--≤⎣⎦恒成立， 等价于函数2()2f x x x =-的图象和函数()1g x x =-的图象分别位于直线y a =的两侧在直角坐标系内画出函数2()2f x x x =-和函数()1g x x =-的图象如图所示，由221y x x y x ⎧=-⎨=-⎩解得35A x -=,所以两个函数图象的横坐标较小的交点坐标为3515,22A ⎛⎫--+⎪⎝⎭， 由图易得当152a -+=时，m 取得最大值，令21522x x -+-=，解得max 152m +=， 所以m 的取值范围为150,⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦，故选：B 点评：本题考查不等式恒成立问题、函数的性质，将题中的不等式恒成立问题转化为函数图象的问题是解题的关键.10．如图，二面角BC αβ--的大小为6π，,AB CD αβ⊂⊂，且2AB =，2BD CD ==，4ABC π∠=，3BCD π∠=，则AD 与β所成角的大小为（）A ．4π B ．3π C ．6π D ．12π答案：C取BC 的中点为E ，连接,AE DE ，根据2BD CD ==，3BCD π∠=，得到DE BC ⊥，由222AE BE AB +=，得到AE BC ⊥，从而AED ∠为二面角BC αβ--的平面角，则BC ⊥平面AED ，6AED π∠=，平面β⊥平面AED ，则ADE ∠即为AD 与平面β所成的角，然后在AED V 中由余弦定理求解. 解： 如图所示：设BC 的中点为E ，连接,AE DE ， 因为2BD CD ==，3BCD π∠=，所以DE BC ⊥，2BC =，则22113241,--=====B BE BC DE D BE 又因为2AB =，4ABC π∠=，所以1AE =，222AE BE AB +=， 所以,AE BC AE DE E ⊥⋂=，所以AED ∠为二面角BC αβ--的平面角， BC ⊥平面AED ，所以6AED π∠=，因为BC β⊂，所以平面β⊥平面AED ， 过A 作AF DE ⊥， 所以AF ⊥平面β，所以DE 为AF 在平面β内的射影， 所以ADE ∠即为AD 与平面β所成的角， 在AED V 中，由余弦定理得:222cos +-⋅∠AD AE DE AE DE AED ，31321312=+-⨯⨯⨯= 所以1AD AE ==，所以AED V 是等腰三角形， 所以6ADE AED π∠=∠=，故选：C. 点评：本题只有考查线面角、二面角的求法及应用，还考查了空间想象和推理论证，运算求解的能力，属于中档题. 二、双空题11．已知a 为实数，直线1:660l ax y +-=，直线2:2350l x y ++=，若12l l //，则a =__________；若12l l ⊥，则a =__________．答案：4-912//,326, 4.l l a a ∴=⨯∴=Q 12,2360,9.l l a a ⊥∴+⨯=∴=-Q12．将函数sin 2()y x x x R =+∈的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为______，此时函数的最大值为______. 答案：12π2由两角和的正弦化简sin 22sin 23y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,平移后由函数为偶函数得到2,32m k k Z πππ+=+∈,由此可求最小正数m 的值;根据化简2cos2y x =,可得此时函数的最大值为2. 解：解:sin 22sin 23y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，其函数图象向左平移m 个单位长度后得到的函数图象的解析式为2sin 2()3y x m π⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦2sin 223x m π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称，所以2,32m k k Z πππ+=+∈，解得,122k Z m k ππ=+∈. 又因为0m >，所以m 的最小值为12π，此时函数2sin 22123y x ππ⎛⎫=+⨯+= ⎪⎝⎭2cos2x ，数的最大值为2.故答案为:(1)12π;(2)2点评：本题考查三角函数的图象和性质,考查了()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的平移,考查了三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的奇偶性的性质,是基础题.13．若实数x 、y 满足x ＞y ＞0，且log 2x +log 2y ＝1，则21x y+的最小值是__，22x y x y -+的最大值为__． 答案：214先根据对数的运算性质可得xy ＝2，再根据基本不等式即可求 解：解：实数x 、y 满足x ＞y ＞0，且log 2x +log 2y ＝1，则xy ＝2，则21x y +≥=2，当且仅当21x y =，即x ＝2，y ＝1时取等号， 故21x y+的最小值是2， ()2222114()2()44x y x y x y x y x y xy x y x y x y---===≤=+-+-+-+-，当且仅当x-y 4x y=-，即x ﹣y ＝2时取等号 故22x y x y -+的最大值为14，故答案为2，14． 点评：本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题．14．若6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-L ，则123456a a a a a a +++++=______，3a =____.答案：6320观察等式右边特点，含有1x -的各次幂，所以先变形，再用赋值法及二项式展开式特定项的通项公式求解. 解：由666016[1(1)](1)(1)x x a a x a x =+-=+-++-L ，令1x =，得01a =，令2x =，得63126036263,20a a a a a C +++=-===L . 故答案为：63；20. 点评：本题主要考查二项式定理的应用，解题的关键是赋值，本题属于基础题. 三、填空题15．由1,1,2,2,3,3,4,4可组成不同的四位数的个数为__________． 答案：204根据所选的数字的情况将此问题可以分为以下三种情况：i ）选取的4个数字是1,2,3,4；ii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取两组；iii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一组，再从剩下的3组中的不同的三个数字中任取2个不同的数字，利用排列与组合的计算公式及其乘法原理即可得出. 解：详解：i ）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成44A 个不同的四位数；ii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取两组有24C 种取法，如假设取的是1，1，2，2四个数：得到以下6个四位数：1122，2211，1212，2121，1221，2112．所以此时共有246C 个不同的四位数；iii ）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一组有14C 种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有23C 种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有24A 种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有12224342C C A C ⋅⋅⋅个不同的四位数；综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是4212224443426204A C C C A C +⋅+⋅⋅⋅=，故答案为：204 点评：本题考查了排列与组合的计算公式及其乘法原理、分类讨论等基础知识与基本方法，属于难题．16．正四面体ABCD 的棱长为2，的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅u u u u v u u u v的最小值是__________．答案：4-很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且：()()()2420,AM AN AD DM AD DN AD AD DM DN DM DN AD DO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v当向量,AD DO u u u v u u u v 反向时，AM AN ⋅u u u u r u u u r取得最小值：4224-⨯=-.17．已知,,()a b c R a c +∈>，关于x 的方程2x ax b cx -+=恰有三个不等实根，且函数()f x =2x ax b cx -++的最小值是2c ，则ac=_______． 答案：5由条件可得直线y cx =与2y x ax b =-+-相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得a b c ，，的方程，再由函数()f x =2x ax b cx -++的单调性，可得()f x 的最小值，化简变形即可得到a c ，的关系式，可得所求值． 解：关于x 的方程2x ax b cx -+=恰有三个不等实根，可得直线y cx =与2y x ax b =-+-相切，设切点为m n （，），2y x a '=-+， 则22m a c cm m am b -+==--+，，消去m ，可得214b ac （），=-设2y x ax b =-+与x轴的两个交点的横坐标为：12x x ==()f x =2x ax b cx -++， 当1x x =时，()f x 取得最小值是2c ，即有2c c =，可得2242a b a c -=-（），即为2222a a c a c --=-（）（）， 化为50a c a c （）（）--=， 可得5a c =或a c =， 由a c ＞，可得5a c =， 即5ac=． 故答案为5． 点评：本题考查二次函数的图象和性质，以及导数的概念和应用，考查函数的最值的求法，以及运算能力，属于中档题． 四、解答题18．设函数2()sin 2cos cos 6f x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若||4x π…，求函数()f x 的最大值.答案：（1）最小正周期T π=；单调递增区间是,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）52（1）利用三角恒等变换，将函数化简为1()2sin(2)62f x x π=++，然后利用整体代换的方式，求得函数的最小正周期及单调递增区间；（2）利用整体代换，结合正弦函数的性质，求解函数在给定区间的最大值. 解：解：（1）11cos2()2cos2222x f x x x x +=+++Q 12cos22x x =++12sin(2)62x π=++，∴函数()f x 的最小正周期T π=，由222()262k x k k Z πππππ-++∈剟，得()36k x k k Z ππππ-+∈剟，∴函数()f x 的单调递增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈.（2）||4x πQ …，22363x πππ∴-+剟， 3sin(2)16x π∴-+剟， ∴函数()f x 的最大值为52. 点评：本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A x k w j ++或cos()A x k w j ++的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.19．如图，在三棱锥A BCD -中，BCD V 是正三角形，E 为其中心.面ABC ⊥面BCD ，30ACB ∠=o，2AB BC ==，M 是BD 的中点，2AN NM =u u u r u u u u r.（1）证明：//EN 面ABC ；（2）求BC 与面ANE 所成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）77（1）连接CM ，由重心的性质可得在AMC V 中有AN CENM EM=，则//EN AC ，结合线面平行的判定定理可得//EN 平面ABC ；（2）解法一：作AF BC ⊥交CB 的延长线于F ，作//FH BM 交CM 的延长线于H ，由题意可得FCG ∠为BC 与面ANE 所成角，7sin FG FCG FC ∠==； 解法二：以BC 中点为原点，建立空间直角坐标系.可得()2,0,0CB =u u u r，面ANE 的法向量为()1,3,3n =-r ，则所求角的正弦值7sin cos<,>7n CB θ==r u u u r .解：（1）连接CM ，因为E 是正三角形BCD V 的中心，所以E 在CM 上且2CE EM =，又2AN NM =u u u r u u u u r ，所以在AMC V 中有AN CENM EM=， 所以//EN AC ，又EN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//EN 平面ABC ； （2）解法一：作AF BC ⊥交CB 的延长线于F ，作//FH BM 交CM 的延长线于H ，Q 面ABC ⊥面BCD ，面ABC I 面BCD BC =，AF BC ⊥，AF ⊂面ABC ，AF ∴⊥面BCD ，CH ⊂Q 平面BCD ，所以AF CH ⊥，又//FH BM ，所以FH CH ⊥，所以CH ⊥面AFH ，CH ⊂Q 平面ACH ，所以，面ACH ⊥面AFH ， 作FG AH ⊥，则FG ⊥面ACH ，连接CG ，则FCG ∠为BC 与面ANE 所成的角， ∴7sin FG FCG FC ∠==，即BC 与面ANE 所成角的正弦值为7； 解法二：以BC 中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.2AB BC ==Q ，30ACB ∠=o ，(A ∴，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()0,D，1,2M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，(CA =u u u r，3,2CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,0,0CB =u u ur .设面ANE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n CA n CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v，即303022x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取(n =r，sin cos<,>n CB n CB n CBθ⋅∴===⋅r u u u r r u u u r r u u u r ，因此，BC 与面ANE. 点评：本题考查线面平行的证明，同时也考查了线面角正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知数列{}n a 中，()110,2*n n a a a n n N +==+∈， （1）令+11n n n b a a =-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值. 答案：（I ）见解析（2）3,n n c =最大，即3k =（1）由题可得121221n n n n a a n a a n +++=+=++，两式相减，得()211121n n n n a a a a +++-+=-+，即12n n b b +=，求出120b =≠，即可得证；（2）由（1）可知，2n n b =即121n n n a a +-=-，通过累加可得21nn a n =--则213n n n n c --=，而112123n n n n n c c +++--=，令()212nf n n =+-，讨论()()122n f n f n +-=-的符号可得n c 的最大值，进而得到n .解：（1）121221n n n n a a n a a n +++=+=++Q ， 两式相减，得211221n n n n a a a a +++-=-+ ∴()211121n n n n a a a a +++-+=-+即：12n n b b +=21120a b ==≠Q 又，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，2n n b =即121nn n a a +-=-2121a a -=-23221a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11212n n n a a n ---=-≥()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=--2,21n n n a n ∴≥=--11,0n a ∴==也满足上式 21n n a n ∴=--111212233n n n n n n n n c c +++----=∴= 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=令()212nf n n =+-，则()11232n f n n ++=+-，()()122n f n f n ∴+-=-()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅> ()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<Q123345...c c c c c c ∴>，∴3,n n c =最大，即3k = 点评：本题考查等比关系的证明，以及数列的综合应用，属中档题.21．已知点F 是抛物线22,(0)x py p =>的焦点，点A 是抛物线上的点，且(2,0)AF =u u u v，点,B C 是抛物线上的动点，抛物线在,B C 处的切线交于点D .（1）求抛物线的方程；（2）设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，若BCD ∆的面积为32，求证：21k k -为定值.答案：（1）24x y =；（2）证明见解析 试题分析：（1）设()00,,0,,2p A x y F ⎛⎫⎪⎝⎭结合()00,2,02p AF x y ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭u u u v 可得抛物线的方程为24x y =（2）设()221212,,,,2,144x x B x C x A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则过点B 的切线方程为21124x x y x =-，过点C 的切线方程为22224x x y x =-，则BC 中点221212,28x x x x P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由面积公式121·322BCD S DP x x ∆=-=,得：128x x -=故212124x x k k --==为定值.试题解析：（1）设()()0000,,0,,,2,022p p A x y F AF x y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v ，得02,2x p =-=所以抛物线的方程为24x y =；（2）设()221212,,,,2,144x x B x C x A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 过点B 的切线方程为()211142x x y x x -=-，即21124x x y x =-，同理过点C的切线方程为22224x xy x=-，由2 112 22 24 24 x xy xx xy x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得，1212·,24D Dx x x xx y+==,即1212·,24x x x xD+⎛⎫⎪⎝⎭，取BC中点221212,28x x x xP⎛⎫++⎪⎝⎭，322121212121211··32228416BCDx xx x x xS DP x x x x∆-+=-=--==,得：128x x-=，由21121211224,244xx xk kx---===+，212124x xk k--==为定值.点睛：直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知函数1()(ln1)f x a xx=-+.（1）讨论函数()f x的单调区间；（2）若函数()f x的图象与x轴相切，求证：对于任意的2(1)(0,1],()xm f xmx-∈…. 答案：（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；（1）先对函数进行求导，然后根据实数a的取值情况进行讨论，结合导数的正负，判断求解函数的单调性与单调区间；（2）因为函数()f x 的图象与x 轴相切，由（1）可知，0a >且10f a ⎛⎫=⎪⎝⎭，可求出()f x ，当(0,1],(0,)m x ∈∈+∞时，22(1)(1)x x mx x --…恒成立，为证明对于任意的2(1)(0,1],()x m f x mx -∈„成立，只要证明2(1)()x f x x -„即可，令2(1)()()x g x f x x-=-，然后在利用导数在函数最值中的应用，即可证明()(1)0g x g =„，由此即可证明不等式成立.解：解：（1）函数的定义域是21(0,),()ax f x x'-+∞=， 当0a „时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，10,,()0x f x a '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,,()0x f x a '⎛⎫∈+∞> ⎪⎝⎭，()f x ∴在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）证明：因为函数()f x 的图象与x 轴相切，设切点为0(,0)x ，0002011()00ax f x x x a'-==∴=> 11ln 10f a a a a ⎛⎫⎛⎫∴=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a =，1()ln 1f x x x∴=-+， 又当(0,1],(0,)m x ∈∈+∞时，22(1)(1)x x mx x --…恒成立， 令2(1)()()ln 1x g x f x x x x-=-=+-，由1()0xg x x'-==，得1x =， (1)g ∴是()g x 的最大值， ()(1)0g x g ∴=…，22(1)(1)()x x f x xmx--∴剟成立. 点评：本题考查导数在研究函数中的应用、导数在不等式中的应用，属于中档题.。

2019高考数学浙江精准提分练解答题通关练2.立体几何1．如图，已知正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，点M 在线段ED 上，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝1. (1)当M 为线段ED 的中点时，求证：AM ∥平面BEC ；(2)求直线DE 与平面BEC 所成角的正弦值．(1)证明 取EC 的中点N ，连接MN ，BN ，如图．在△EDC 中，M ，N 分别为ED ，EC 的中点，所以MN ∥CD ，且MN ＝12CD . 又AB ∥CD ，AB ＝12CD ， 所以MN ∥AB ，且MN ＝AB .由此可知四边形ABNM 为平行四边形，所以BN ∥AM ，又BN ⊂平面BEC ，且AM ⊄平面BEC ，所以AM ∥平面BEC .(2)解 在正方形ADEF 中，ED ⊥AD ，因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，所以ED ⊥平面ABCD ，而BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC .在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，CD ＝2，易得BC ＝2，连接BD ，在△BCD 中，BD ＝BC ＝2，CD ＝2，所以BD 2＋BC 2＝CD 2，所以BC ⊥BD ，又BD ∩ED ＝D ，BD ，ED ⊂平面BDE ，所以BC ⊥平面BDE ，而BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BCE .过点D 作DH ⊥EB ，交EB 于点H ，则DH ⊥平面BCE ，所以∠DEH 为直线DE 与平面BEC 所成的角．在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝3，S △BDE ＝12BD ·DE ＝12BE ·DH ， 所以DH ＝BD ·DE BE ＝2×13＝63， 所以sin ∠DEH ＝DH DE ＝63. 所以直线DE 与平面BEC 所成角的正弦值为63. 2．如图，在所有棱长均相等的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1，AB 的中点．(1)证明：BE ∥平面CDF ； (2)求直线EF 与平面CDF 所成角的正弦值．(1)证明 方法一 连接AE 交CD 于G ，连接GF ，如图1.因为D ，E 分别是棱AA 1，CC 1的中点，所以G 是AE 的中点．。

高考模拟试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝R ，A ＝{y |y ＝2x ＋1}，B ＝{x |ln x <0}，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．∅B ．{x |0<x <1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1 D ．{x |x <1}答案 B解析 因为A ＝{x |x >1}，所以∁U A ＝{x |x ≤1}，又因为B ＝{x |0<x <1}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0<x <1}．故选B. 2．双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±32xD ．y ＝±52x答案 B解析 由双曲线x 2－y 24＝1，得a ＝1，b ＝2，所以渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．64B ．72C ．80D ．112 答案 C解析 由三视图可知，该几何体为一个正方体与一个四棱锥的组合体，故体积为43＋13×42×3＝80.故选C.4．已知α为锐角，且tan α＝34，则sin 2α等于( )A.35B.45C.1225D.2425答案 D解析 sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×34916＋1＝2425，故选D.5．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，y －2≤0，z ＝y ＋1x，则( )A ．z 有最大值，有最小值B ．z 有最大值，无最小值C ．z 无最大值，有最小值D ．z 无最大值，无最小值 答案 C解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，y －2≤0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝y ＋1x表示平面区域内的点与点(0，－1)的连线的斜率，故z 有最小值，无最大值．故选C.6．在二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 25的展开式中，含x 2的项的系数是( ) A ．－80 B ．－40 C ．5 D ．10 答案 A解析 二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 25的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5·(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x 2k ＝C k 5·25－k ·(－1)k ·x 5－3k ，由5－3k ＝2，得k ＝1，所以含x 2的项的系数是C 15·24·(－1)1＝－80.故选A. 7．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )等于( )A.18B.516C.58D.916 答案 D解析 由题意知，取到次品的概率为14，∴X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，∴D (X )＝3×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝916.8．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线C 上三点，当F A →＋FB →＋FC →＝0时，称△ABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( ) A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．无数个 答案 D解析 如图，由F A →＋FB →＋FC →＝0得F 为△ABC 的重心，设点A 坐标为(x 0，y 0)，AM →＝－3MF →，则点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0－32，－y 02，只要满足点M 在抛物线内部，即⎝⎛⎭⎫－y 022<4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0－32，当0≤x 0<2时，直线l ：y ＝－4y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 0－32－y 02与抛物线C ：y 2＝4x 的交点B ，C 关于点M 对称，此时△ABC 为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”．故选D.9．已知向量a ＝(3，－1)，向量b ＝⎝⎛⎭⎫1＋t cos π5，t sin π5(t >0)，则向量a ，b 的夹角可能是( ) A.218π B.518π C.718π D.1118π 答案 B解析 如图，向量a 与x 轴正半轴夹角为π6，若向量b ＝⎝⎛⎭⎫1＋t cos π5，t sin π5(t >0)的起点为原点，则其终点在射线y ＝(x －1)tan π5(x >1)上，故向量a ，b 的夹角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π6，1130π.故选B.10．已知函数f (x )＝2x 2x ＋1，x ∈[0,1]，函数g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，43 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤23，43 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 A解析 当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 2x ＋1的值域是[0,1]，g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)的值域是⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ， 因为存在x 1，x 2∈[0,1]使得f (x 1)＝g (x 2)成立， 所以[0,1]∩⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ≠∅， 若[0,1]∩⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ＝∅，则2－2a ＞1或2－32a ＜0， 即a <12或a ＞43，所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，43，故选A. 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上) 11．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z z ＝________. 答案 1－2i 1解析 z ＝1－2i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z z ＝|z ||z |＝1.12．设等比数列{a n }的首项a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则公比q ＝________；数列{a n }的前n 项和S n ＝__________. 答案 2 2n －1解析 由4a 1,2a 2，a 3成等差数列得4a 2＝4a 1＋a 3，即4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，S n ＝1·1－2n 1－2＝2n－1.13．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，则圆C 的半径是________；圆C 关于直线l ：x －y －1＝0对称的圆的方程是______________________________． 答案 5 (x －5)2＋(y －2)2＝25解析 由圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25得圆心坐标为(3,4)，半径为5，圆心(3,4)关于直线l ：x －y －1＝0的对称点的坐标为(5,2)，所以圆C 关于直线l ：x －y －1＝0对称的圆的方程是(x －5)2＋(y －2)2＝25. 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≤0，2x 2－ln x ，x >0，则f (f (－1))＝________；若函数y ＝f (x )－a 有一个零点，则a 的取值范围是____________． 答案 2 ⎣⎡⎭⎫0，12＋ln 2 解析 f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1－1＝1，则f (f (－1))＝f (1)＝2，由f (x )＝2x 2－ln x 得f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，因此y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋ln 2，函数y ＝f (x )的图象如图所示，当x >0时，f (x )min ＝f (x )极小值，所以当a ∈⎣⎡⎭⎫0，12＋ln 2时，函数y ＝f (x )－a 有一个零点．15．将3个1,11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有________种不同的排法． 答案 120解析 符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，设每一段分别有x 1，x 2，x 3，x 4个0，则x 1≥0，x 2≥2，x 3≥2，x 4≥0且x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝11，令x 2′＝x 2－2，x 3′＝x 3－2，则x 1＋x 2′＋x 3′＋x 4＝7.因此原问题等价于求方程x 1＋x 2′＋x 3′＋x 4＝7的自然数解的组数，将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有C 310＝120组自然数解，故共有120种不同的排法． 16．设a ，b 为正实数，则a a ＋2b ＋ba ＋b 的最小值是________．答案 22－2解析 令⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝x ，a ＋b ＝y ，显然x ，y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2y －x ，b ＝x －y ，所以a a ＋2b ＋ba ＋b ＝2y －x x ＋x －y y ＝2y x ＋x y －2≥22－2，当且仅当x ＝2y ，即a ＝2b 时，等号成立．17．如图，平面ABC ⊥α，且平面ABC ∩α＝BC ，AB ＝1，BC ＝3，∠ABC ＝56π，平面α内一动点P 满足∠P AB ＝π6，则PC 的最小值是________．答案52解析 如图，因为射线AP 的轨迹为以AB 为轴，母线与轴夹角为π6的圆锥面，且平面α平行于该圆锥面的一条母线，所以平面α截该圆锥面所得的截线即P 点的轨迹为以BC 为对称轴的抛物线．以BC 为x 轴，抛物线的顶点为原点O 建立直角坐标系，则△AOB 为底角为π6的等腰三角形，所以OB ＝33AB ＝33，当PB ⊥平面ABC 时，PB ＝AB ·tan π6＝33，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫33，33，因此抛物线的方程为y 2＝33x ，点C的坐标为⎝⎛⎭⎫433，0，所以抛物线上的点到点C 的距离的平方为⎝⎛⎭⎫x －4332＋y 2＝x 2－733x ＋163＝⎝⎛⎭⎫x －7632＋54，故PC 的最小值是52.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 的度数成等差数列，b ＝13. (1)若3sin C ＝4sin A ，求c 的值； (2)求a ＋c 的最大值．解 (1)由角A ，B ，C 的度数成等差数列，得2B ＝A ＋C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.由正弦定理，得3c ＝4a ，即a ＝3c4.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即13＝⎝⎛⎭⎫3c 42＋c 2－2×3c 4×c ×12，解得c ＝4. (2)由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝1332＝2133，所以a ＝2133sin A ，c ＝2133sin C .所以a ＋c ＝2133(sin A ＋sin C )＝2133[sin A ＋sin(A ＋B )]＝2133⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝2133⎝⎛⎭⎫32sin A ＋32cos A ＝213sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 由0＜A ＜2π3，得π6＜A ＋π6＜5π6.所以当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，(a ＋c )max ＝213.19．(15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，P A ＝1，P A ⊥平面ABCD ，点E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．(1)求证：BE ∥平面PDF ；(2)求直线BE 与平面P AD 所成角的正弦值．(1)证明 取PD 的中点为M ，连接ME ，MF . ∵E 是PC 的中点， ∴ME 是△PCD 的中位线， ∴ME ∥CD 且ME ＝12CD .∵F 是AB 的中点且ABCD 是菱形，AB ∥CD 且AB ＝CD ， ∴ME ∥AB 且ME ＝12AB .∴ME ∥FB 且ME ＝FB .∴四边形MEBF 是平行四边形，∴BE ∥MF . 又BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ， ∴BE ∥平面PDF . (2)解 由(1)得BE ∥MF ，∴直线BE 与平面P AD 所成角就是直线MF 与平面P AD 所成角． 取AD 的中点G ，连接BD ，BG . ∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是正三角形， ∴BG ⊥AD ，∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BG ⊥AD ，BG ⊂平面ABCD ， ∴BG ⊥平面P AD ，过F 作FH ∥BG ，交AD 于H ，则FH ⊥平面P AD ，连接MH ，则∠FMH 就是MF 与平面P AD 所成的角． 又F 是AB 的中点， ∴H 是AG 的中点．连接MG ，又M 是PD 的中点， ∴MG ∥P A 且MG ＝12P A .在Rt △MGH 中，MG ＝12P A ＝12，GH ＝14AD ＝12，∴MH ＝22. 在正三角形ABD 中，BG ＝3， ∴FH ＝12BG ＝32.在Rt △MHF 中， MF ＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫322＝52， ∴sin ∠FMH ＝FH FM ＝3252＝155，∴直线BE 与平面P AD 所成角的正弦值为155. 20．(15分)已知函数f (x )＝5x 2＋a x ＋14(x >0)，g (x )＝ln x ＋4，曲线y ＝g (x )在点(1,4)处的切线与曲线y ＝f (x )相切．(1)求实数a 的值；(2)证明：当x >0时，f (x )>g (x )．(1)解 由g ′(x )＝1x 得g ′(1)＝1，所以曲线y ＝g (x )在点(1,4)处的切线方程为y ＝x ＋3.设曲线y ＝f (x )与直线y ＝x ＋3切于点(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x 0)＝x 0＋3，f ′(x 0)＝1，得⎩⎨⎧5x 20＋a x 0＋14＝x 0＋3，10x 0－a x 20＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，a ＝1.(2)证明 令F (x )＝f (x )－(x ＋3)＝5x 2＋1x －x －114，则F ′(x )＝10x －1x 2－1＝(2x －1)(5x 2＋2x ＋1)x 2，令F ′(x )>0，解得x >12，令F ′(x )<0，解得0<x <12，所以函数y ＝F (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， 所以当x >0时，F (x )≥F ⎝⎛⎭⎫12＝0，因此当x >0时，f (x )≥x ＋3，当且仅当x ＝12时等号成立．令G (x )＝(x ＋3)－g (x )＝x －1－ln x ， 则G ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令G ′(x )>0，解得x >1， 令G ′(x )<0，解得0<x <1，所以函数y ＝G (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >0时，G (x )≥G (1)＝0，因此当x >0时，x ＋3≥g (x )，当且仅当x ＝1时等号成立．因为f (x )≥x ＋3，x ＋3≥g (x )，且等号成立的条件不同，所以f (x )>g (x )．21．(15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以椭圆的2 个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2 2. (1)求椭圆的方程；(2)如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线x ＝1所得的弦的长度为5，求直线l 的方程．解 (1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，得c ＝63a ，b ＝33a ， 由S ＝12·2c ·b ＝23a 2＝22，得a ＝6，b ＝2，所以椭圆的方程为x 26＋y22＝1.(2)由(1)知，焦点F 坐标为(2,0)，设直线l AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 2＋3y 2－6＝0，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0， x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2，所以x 0＝x 1＋x 22＝6k 21＋3k 2，|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝26·()1＋k 21＋3k 2.点M 到直线x ＝1的距离为d ＝|x 0－1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 21＋3k 2－1＝|3k 2－1|1＋3k 2.由以线段AB 为直径的圆截直线x ＝1所得的弦的长度为5得，⎝⎛⎭⎫|AB |22－d 2＝⎝⎛⎭⎫522，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6·()1＋k 21＋3k 22－⎝⎛⎭⎪⎫3k 2－11＋3k 22＝⎝⎛⎭⎫522， 解得k ＝±1，所以直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.22．(15分)设数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1＝a n ＋a 2nn 2，n ∈N *.(1)求a 2，a 3；(2)证明：数列{a n }为递增数列； (3)证明：n2n ＋1≤a n ≤2n －12n ＋1，n ∈N *.(1)解 a 2＝a 1＋a 2112＝13＋19＝49，a 3＝a 2＋a 2222＝49＋⎝⎛⎭⎫292＝4081.(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝13>0；②假设当n ＝k 时，a k >0，2019高考数学浙江精准提分练2019高考数学浙江精准提分练 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋a 2k k 2>0； 由①②得a n >0，n ∈N *.所以a n ＋1－a n ＝a 2n n 2>0，即a n ＋1>a n ， 所以数列{}a n 为递增数列．(3)证明 由0<a n ＋1－a n ＝a 2n n 2<a n a n ＋1n 2， 得1a n －1a n ＋1<1n 2<1n 2－14＝1n －12－1n ＋12， 所以1a 1－1a n ≤2－1n －12，故a n ≤2n －12n ＋1(n ∈N *)． 由a n ≤2n －12n ＋1<1，得a n ＋1＝a n ＋a 2n n 2<a n ＋a n n 2， 所以a n >n 2n 2＋1， 故a n ＋1－a n ＝a 2n n 2>a n a n ＋1n 2＋1， 所以1a n －1a n ＋1>1n 2＋1≥1n 2＋n ＝1n －1n ＋1， 因此1a 1－1a n ≥1－1n ，故a n ≥n 2n ＋1. 所以n 2n ＋1≤a n ≤2n －12n ＋1.。

解答题滚动练41．已知△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足a ＋1a ＋4cos C ＝0，b ＝1. (1)若△ABC 的面积为32，求a ； (2)若A ＝π6，求△ABC 的面积． 解 (1)由S ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32，得a sin C ＝3，即sin C ＝3a. 又a ＋1a＝－4cos C ， 那么⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝16cos 2C ＝16(1－sin 2C )＝16－48a2， 即a 4－14a 2＋49＝0，得到a 2＝7，即a ＝7.(2)由题意有a ＋1a ＝－4cos C 及余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 则a ＋1a ＝－4·a 2＋b 2－c 22ab ＝－2()a 2＋1－c 2a， 即a 2＋1＝23c 2，① 又由b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，可知c 2－a 2＋1＝3c ，②由①②得到c 2－33c ＋6＝0，亦即()c －3()c －23＝0，可知c ＝3或c ＝2 3.经检验知，c ＝3或c ＝23均符合题意．那么△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝32或34. 2．已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于一点O ，∠A ＝60°，将△BDC 沿着BD 折起得△BDC ′，连接AC ′.(1)求证：平面AOC ′⊥平面ABD ；(2)若点C ′在平面ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直线CD 与平面ADC ′所成角的正弦值．(1)证明因为C′O⊥BD，AO⊥BD，C′O∩AO＝O，所以BD⊥平面C′OA，又因为BD⊂平面ABD，所以平面AOC′⊥平面ABD.(2)解方法一设C′在平面ABD上的投影为H，即C′H⊥平面ABD，过点H作HP∥CD交AD于点P，过点H作HK⊥AD于点K，连接C′K，并过H作HQ⊥C′K于点Q，因为C′H⊥平面ABD，即AD⊥C′H，且有HK⊥AD，HK∩C′H＝H，HK，C′H⊂平面KC′H，所以AD⊥平面KC′H，又QH⊂平面KC′H，所以AD⊥QH，又因为HQ⊥C′K，且AD∩C′K＝K，AD，C′K⊂平面ADC′，故HQ⊥平面ADC′，从而知∠HPQ是PH与平面ADC′所成的角，设AB＝a，则在Rt△HPQ中有PH＝a3，HQ＝69a，所以sin∠HPQ＝63，所以PH与平面ADC′所成角的正弦值为63，故CD与平面ADC′所成角的正弦值为63.方法二如图，以点O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系．。

解答题通关练1.三角函数与解三角形1．已知函数f (x )＝m cos x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若f (α)＝33，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，求sin α的值． 解 (1)由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3， 即3m 2＋32＝3， 解得m ＝1.所以f (x )＝cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝32cos x ＋32sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 令－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )． (2)由f (α)＝33，得3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝33. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13<32， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝13×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×32＝1＋266. 2．已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B . (1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值． 解 (1)因为A ＝2π3， 所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ，即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6， 所以AB ＝AC ＝2.(2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334， 所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC · CD cos C ＝74，即AD ＝72， 由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin∠ADC ， 故sin∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＋32＝2cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．解 (1)根据倍角公式cos 2x ＝2cos 2x －1，得2cos 2A ＋12＝2cos A ， 即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12， 又因为0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )， 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3， 所以l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6， 因为0＜B ＜2π3，所以l ∈(2,3]． 4．已知函数f (x )＝12sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12. (1)求ω和φ的值；(2)求函数y ＝f (2x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域． 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx cos φ＋1＋cos 2ωx 2sin φ－12sin φ ＝12(sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ)＝12sin(2ωx ＋φ)． 由题意可知，T ＝2π＝2π|2ω|，则ω＝±12， 当ω＝12时，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入f (x )＝12sin(2ωx ＋φ)中，可得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，而0＜φ＜π，解得φ＝π3. 当ω＝－12时，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入f (x )＝12sin(2ωx ＋φ)中， 可得φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ， 而0＜φ＜π，解得φ＝2π3. (2)由题意可知，当ω＝12时，f (2x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，0≤x ≤π2， ∴π3≤2x ＋π3≤4π3， 则函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12. 当ω＝－12时，f (2x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋2π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∵0≤x ≤π2， ∴π3≤2x ＋π3≤4π3， 则函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12. 综上，函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12. 5.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值． 解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2]．(2)由题意知，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝22， ∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正弦、余弦定理及三角形的面积，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.6．已知函数f (x )＝cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋1. (1)求f (x )在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，若角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f (B )＝54，sin A sin C ＝sin 2B ，求a －c 的值．解 f (x )＝cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋1 ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＋1 ＝34sin 2x －12×1＋cos 2x 2＋1 ＝34sin 2x －14cos 2x ＋34 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34. (1)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)由f (B )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋34＝54， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1. 又B 是△ABC 的内角，∴2B －π6＝π2，B ＝π3. 由sin A sin C ＝sin 2B 及正弦定理可得ac ＝b 2， 在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得ac ＝(a －c )2＋2ac －ac ，则a －c ＝0.。

高考模拟试卷(三)(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知∁R M ＝{x |ln|x |>1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x，x >0，则M ∪N 等于( ) A ．(0，e]B ．[－e ，＋∞)C ．(－∞，－e]∪(0，＋∞)D ．[－e ，e]答案 B解析 由ln|x |>1，得|x |>e ， ∴M ＝[－e ，e ]，N ＝(0，＋∞)， ∴M ∪N ＝[－e ，＋∞)． 故选B.2．已知a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log0.32，则( ) A ．b <c <a B ．b <a <c C ．c <a <b D ．c <b <a答案 D解析 因为a ＝20.3>1，b ＝0.32∈(0,1)，c ＝log 0.32<0，所以c <b <a ，故选D.3．已知⎝⎛⎭⎫5x 2－1x n 的二项展开式的系数和为1 024，则展开式中含x 项的系数是( ) A ．－250 B ．250 C ．－25 D ．25 答案 A解析 令x ＝1，得⎝⎛⎭⎫5x 2－1x n 的二项展开式的系数和为(5－1)n ＝1 024，∴n ＝5， ∴⎝⎛⎭⎫5x 2－1x 5的展开式中，通项公式为 T k ＋1＝C k 5(5x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·55－k ·C k 5·x 10－3k，令10－3k ＝1，解得k ＝3， ∴展开式中含x 项的系数是(－1)3·52·C 35＝－250.故选A.4．已知平面α与两条不重合的直线a ，b ，则“a ⊥α且b ⊥α”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由垂直于同一平面的两条直线平行得充分性成立；当a ∥b 时，直线a ，b 不一定与平面α垂直，如a ∥b 且a ⊂α，b ⊂α时，必要性不成立，所以“a ⊥α且b ⊥α”是“a ∥b ”的充分不必要条件，故选A. 5．已知函数y ＝cos ax ＋b (a >0)的图象如图所示，则函数y ＝a x＋b的图象可能是( )答案 A解析 由图象可得34T <π，即34×2πa <π，解得a >32，0<b <1，故函数y ＝a x ＋b ＝a b ·a x 的图象单调递增，当x ＝0时，y ＝a b >1，与y 轴的交点在(0,1)的上方，故选A.6．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，每个数被取到的可能性相同，则这3个数的和恰好能被3整除的概率是( ) A.120 B.110 C.310 D.720 答案 D解析 从10个数中任取3个，共有C 310＝120(种)取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1,4,7,10中取，共有C 34＝4(种)取法；第二类：这3个数从2,5,8中取，共有C 33＝1(种)取法；第三类：这3个数从3,6,9中取，共有C 33＝1(种)取法；第四类：这3个数从1,4,7,10中取1个数，从2,5,8中取1个数，从3,6,9中取1个数，共有4×3×3＝36(种)取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除的概率是4＋1＋1＋36120＝720，故选D.7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≥x ＋b ，若z ＝x －y 的最大值为1，则实数b 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 D解析 作出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分含边界)所示，观察可知目标函数在点(1，0)处取到最大值为1，因此y ＝x ＋b 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≥x ＋b表示的可行域外，故0≥1＋b ，解得b ≤－1，故选D.8．已知在△ABC 中，CA ＝2，O 为△ABC 的外心，OC →＝OA →＋OB →，CD →＝mCA →＋nCB →(m ∈R ，m ≠0，n ∈R )，则|CD →||m |的最小值为( ) A.33 B.13C. 3 D ．3 答案 C解析 由题意可知四边形OACB 为菱形，∠ACB ＝2π3，CB ＝CA ＝2.所以|CD →|2|m |2＝4(m 2－mn ＋n 2)m 2＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n m 2－n m ＋1≥3， 当n m ＝12时，等号成立，所以|CD →||m |的最小值为3，故选C. 9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点P ，作与y 轴平行的直线，交两渐近线于A ，B 两点，若P A →·PB→＝－a 24，则该双曲线的离心率为( )A.103 B. 3 C.62 D.52答案 D解析 设P (x 0，y 0)，则由双曲线的对称性， 不妨令A ⎝⎛⎭⎫x 0，b a x 0，B ⎝⎛⎭⎫x 0，－ba x 0，从而P A →＝⎝⎛⎭⎫0，b a x 0－y 0，PB →＝⎝⎛⎭⎫0，－b a x 0－y 0， 则P A →·PB →＝y 20－b 2a 2x 20＝－a 24.又点P 在双曲线上，所以x 20a 2－y 20b 2＝1，故有－a 24＝y 20－b 2a 2·x 20＝－b 2，即有4b 2＝a 2，又c 2＝a 2＋b 2，得4c 2＝5a 2，即e ＝52，故选D. 10．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －a )x ＋c －b (其中a >b >c )，且a ＋b ＋c ＝0，x 1，x 2为f (x )的两个零点，则|x 1－x 2|的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，23 B ．(2,23) C ．(1,2) D ．(1,23)答案 A解析 由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，知a >0>c .由题意得x 1，x 2是方程ax 2＋(b －a )x ＋c －b ＝0的两个根，故x 1＋x 2＝－b －a a ，x 1x 2＝c －b a ，则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a a 2－4·c －b a ＝(b －a )2－4a (c －b )a ＝(b ＋a )2－4aca＝(－c )2－4aca ＝c 2－4aca＝⎝⎛⎭⎫c a 2－4·c a＝⎝⎛⎭⎫c a －22－4. 因为a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，所以a >－(a ＋c )>c ，所以－2<c a <－12.所以|x 1－x 2|的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，23，故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上) 11．已知复数z 满足z ·(－3＋4i)＝1－2i ，则z ＝________，|z |＝________. 答案 －1125＋225i 55解析 由题意知，z ＝1－2i －3＋4i＝(1－2i )(－3－4i )25＝－11＋2i25，∴|z |＝|z |＝⎝⎛⎭⎫－11252＋⎝⎛⎭⎫2252＝55. 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______；体积为______．答案 16＋23＋25203解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体是一个四棱锥A —CDEF 和一个三棱锥F —ABC 构成的组合体，底面直角梯形ABCD 的面积为6，侧面CDEF 的面积为4，侧面ABF 的面积为23，侧面BCF 的面积为2，侧面ADE 的面积为4，侧面AEF 的面积为25，所以这个几何体的表面积为16＋23＋25，四棱锥的体积V ＝13×2×2×4＋13×2×12×2×2＝203.13．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为_____．答案 3n －1解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )·(a n ＋1＋2a n )＝0， ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝3a n .又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.14．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，2x －y ≥－2，2x －3y ≤3，则2x ＋y 的最小值为______．若4x 2＋y 2≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 答案 23 45解析 设s ＝2x ，t ＝y ，则问题等价为“实数s ，t 满足⎩⎪⎨⎪⎧s ＋2t ≥2，s －t ≥－2，s －3t ≤3，求s ＋t 的最小值，若s 2＋t 2≥a 恒成立，求实数a 的最大值”． 作出可行域如图所示，易求A ⎝⎛⎭⎫－23，43，易知当(s ，t )＝⎝⎛⎭⎫－23，43时，目标函数z ＝s ＋t 取得最小值，且最小值为23. s 2＋t 2的几何意义为可行域内的点到坐标原点的距离的平方，显然O 到直线s ＋2t ＝2的距离为可行域内的点到坐标原点的最短距离，且最短距离为212＋22＝25，故s 2＋t 2的最小值为45，所以a ≤45，故实数a 的最大值为45.15．在平面直角坐标系中，已知点F (3,0)在圆C ：(x －m )2＋(y －2)2＝40内，动直线AB 过点F 且交圆于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为20，则实数m 的取值范围是______________． 答案 (－3，－1]∪[7,9)解析 由题意可得C (m,2)，点F 在圆内， 所以有(3－m )2＋4<40，解得－3<m <9. 因为△ABC 的面积的最大值为20，所以S ＝12|CA ||CB |·sin ∠ACB ＝20sin ∠ACB ≤20，当∠ACB ＝π2时，△ABC 的面积取得最大值20，所以|CF |≥22×40＝25， 所以(m －3)2＋4≥20， 解得m ≤－1或m ≥7.所以满足条件的实数m 的取值范围是(－3，－1]∪[7,9)．16．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则实数m 的值为______；动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________. 答案 0或2 27解析 由两直线垂直的充要条件得m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0，∴m ＝0或m ＝2；圆的半径为3，当圆心(1,0)到直线的距离最长，即d ＝(1－0)2＋[0－(－1)]2＝2时，弦长最短，此时弦长为232－(2)2＝27.17．若正数a ，b ，c 满足b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1，则a ＋b c 的最小值是________．答案1＋172解析 由a ，b ，c 为正数，且b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1，得b c ＋1a c ＋a c ＋1b c ＝a c ＋bc＋1，设m ＝a c ，n ＝bc ，则有m >0，n >0，上式转化为n ＋1m ＋m ＋1n ＝m ＋n ＋1，即m 2＋n 2＋m ＋n mn＝m ＋n ＋1，又由基本不等式得m 2＋n 2≥(m ＋n )22，mn ≤(m ＋n )24，所以有m ＋n ＋1＝m 2＋n 2＋m ＋n mn ≥(m ＋n )22＋m ＋n (m ＋n )24，令t ＝m ＋n ，则t >0，上式转化为t ＋1≥t 22＋t t 24，即t 2－t －4≥0， 解得t ≥1＋172，所以t ＝m ＋n ＝a c ＋b c ＝a ＋bc 的最小值为1＋172(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. (1)求φ的值；(2)若函数F (x )＝f (x )·f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－m 在⎝⎛⎭⎫－π12，π6上存在零点，求实数m 的取值范围． 解 (1)由f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝1， 得cos φ＝12，又－π2<φ<0，所以φ＝－π3.(2)F (x )＝f (x )·f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3·2sin 2x －m ＝4sin 2x ⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x －m ＝2sin 22x －23sin 2x cos 2x －m ＝1－cos 4x －3sin 4x －m ＝1－m －2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6， 由F (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，π6上有零点，得m ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6在⎝⎛⎭⎫－π12，π6上有解， 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6， 则－π6<4x ＋π6<5π6，则－12<sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6≤1， 则－1≤1－2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6<2， 所以实数m 的取值范围为[－1,2)．19．(15分)如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠ADC ＝120°，AD 的中点M 是顶点P 在底面ABCD 的投影，N 是PC 的中点．(1)求证：平面MPB ⊥平面PBC ；(2)若MP ＝MC ，求直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值．(1)证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝120°，且M 是AD 的中点， ∴MB ⊥AD ， ∴MB ⊥BC .又∵P 在底面ABCD 内的投影M 是AD 的中点， ∴PM ⊥平面ABCD ，又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PM ⊥BC ，又PM ∩MB ＝M ，PM ，MB ⊂平面PMB ， ∴BC ⊥平面PMB ，又BC ⊂平面PBC ， ∴平面MPB ⊥平面PBC .(2)解 方法一 过点B 作BH ⊥MC ，连接HN ，∵PM ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ， ∴BH ⊥PM ，又∵PM ，MC ⊂平面PMC ，PM ∩MC ＝M ， ∴BH ⊥平面PMC ，∴HN 为直线BN 在平面PMC 上的投影， ∴∠BNH 为直线BN 与平面PMC 所成的角， 在菱形ABCD 中，设AB ＝2a ， 则MB ＝AB ·sin 60°＝3a ， MC ＝DM 2＋DC 2－2DM ·DC ·cos 120°＝7a .又由(1)知MB ⊥BC ，∴在△MBC 中，BH ＝2a ·3a 7a ＝2217a ，由(1)知BC ⊥平面PMB ，PB ⊂平面PMB ， ∴PB ⊥BC ， ∴BN ＝12PC ＝142a ，∴sin ∠BNH ＝BH BN ＝2217a 142a ＝267.方法二 由(1)知MA ，MB ，MP 两两互相垂直，以M 为坐标原点，以MA ，MB ，MP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz ，不妨设MA ＝1，则M (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0，7)，C (－2，3，0)， ∵N 是PC 的中点， ∴N ⎝⎛⎭⎫－1，32，72， 设平面PMC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 又∵MP →＝(0,0，7)，MC →＝(－2，3，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·MP →＝0，n ·MC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7z 0＝0，－2x 0＋3y 0＝0，令y 0＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎫32，1，0，|n |＝72，又∵BN →＝⎝⎛⎭⎫－1，－32，72，|BN →|＝142，∴直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值为|cos 〈BN →，n 〉|＝|BN →·n ||BN →||n |＝267.20．(15分)设函数f (x )＝4x 3＋1(1＋x )2，x ∈[0,1]．证明： (1)f (x )≥1－2x ＋3x 2； (2)23<f (x )≤174. 证明 (1)令函数g (x )＝(1＋x )2(1－2x ＋3x 2－4x 3)，x ∈[0,1]，则g (x )的导数g ′(x )＝－20(1＋x )x 3≤0(当且仅当x ＝0时，等号成立)， 故g (x )在[0,1]上单调递减，于是g (x )≤g (0)＝1， 即当x ∈[0,1]时，(1＋x )2(1－2x ＋3x 2－4x 3)≤1， 亦即f (x )≥1－2x ＋3x 2.(2)一方面，由(1)知，当x ∈[0,1]时，f (x )≥1－2x ＋3x 2＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋23≥23， 但上述两处的等号不能同时成立，故f (x )>23； 另一方面，f ′(x )＝12x 2－2(1＋x )3＝2[6x 2(1＋x )3－1](1＋x )3， 显然函数h (x )＝6x 2(1＋x )3－1在[0,1]上单调递增，而h (0)＝－1<0，h (1)＝47>0，故h (x )在(0,1)内存在唯一的零点x 0，即f ′(x 0)＝0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0,1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0,1)上单调递增，因此在[0,1]上，f (x )≤max{f (0)，f (1)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，174＝174. 综上，23<f (x )≤174. 21．(15分)如图，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，以A (x 1，y 1)(x 1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线C 上．(1)过Q (0，－3)作抛物线C 的切线l ，切点为R ，点F 到切线l 的距离为2，求抛物线C 的方程；(2)求△ABC 面积的最小值．解 (1)过点Q (0，－3)的抛物线C 的切线l ：y ＝kx －3，联立抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，得x 2－2pkx ＋6p ＝0，Δ＝4p 2k 2－4×6p ＝0，即pk 2＝6.∵F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，F 到切线l 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪p 2＋3k 2＋1＝2， 化简得(p ＋6)2＝16(k 2＋1)，∴(p ＋6)2＝16⎝⎛⎭⎫6p ＋1＝16(p ＋6)p ，∵p >0，∴p ＋6>0，得p 2＋6p －16＝(p ＋8)(p －2)＝0， ∴p ＝2.∴抛物线方程为x 2＝4y .(2)已知直线AB 不会与坐标轴平行，设直线AB ：y －y 1＝t (x －x 1)(t >0)，联立抛物线方程， 得x 2－2ptx ＋2p (tx 1－y 1)＝0，则x 1＋x B ＝2pt ，则x B ＝2pt －x 1，同理可得x C ＝－2p t－x 1. ∵|AB |＝|AC |， 即1＋t 2|x B －x 1|＝1＋1t2|x C －x 1|， ∴t (x B －x 1)＝x 1－x C ，即x 1＝p ⎝⎛⎭⎫t 2－1t t ＋1. ∴|AB |＝1＋t 2|x B －x 1| ＝1＋t 2(2pt －2x 1) ＝2p 1＋t 2(t 2＋1)t (t ＋1). ∵t 2＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，等号成立)， t 2＋1t ＋1＝t 2＋1t 2＋2t ＋1≥t 2＋1t 2＋1＋(t 2＋1)＝22(当且仅当t ＝1时等号成立)，故|AB |≥22p ，△ABC 面积的最小值为4p 2.22．(15分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝1n(n ∈N *)． (1)证明：a n ＋2n ＝a n n ＋1； (2)证明：2(n ＋1－1)≤12a 3＋13a 4＋…＋1(n ＋1)a n ＋2≤n . 证明 (1)∵a n ＋1·a n ＝1n，①∴a n ＋2·a n ＋1＝1n ＋1，② 而a 1＝1，易得a n >0，由②÷①得a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝a n ＋2a n ＝n n ＋1，∴a n ＋2n ＝a n n ＋1. (2)由(1)得(n ＋1)a n ＋2＝na n ，∴12a 3＋13a 4＋…＋1(n ＋1)a n ＋2＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n . 令b n ＝na n ，则b n ·b n ＋1＝na n ·(n ＋1)a n ＋1＝n ·(n ＋1)n＝n ＋1，③ ∴当n ≥2时，b n －1·b n ＝n ，④由b 1＝a 1＝1，b 2＝2，易得b n >0，由③－④得1b n＝b n ＋1－b n －1(n ≥2)． ∴b 1<b 3<…<b 2n －1，b 2<b 4<…<b 2n ，得b n ≥1. 根据b n ·b n ＋1＝n ＋1得b n ＋1≤n ＋1，∴1≤b n ≤n ，∴1a 1＋12a 2＋…＋1na n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝1b 1＋(b 3－b 1)＋(b 4－b 2)＋…＋(b n －b n －2)＋(b n ＋1－b n －1) ＝1b 1＋b n ＋b n ＋1－b 1－b 2＝b n ＋b n ＋1－2. 一方面，b n ＋b n ＋1－2≥2b n ·b n ＋1－2＝2(n ＋1－1)， 当且仅当b n ＝b n ＋1时取等号，另一方面，由1≤b n ≤n 可知b n ＋b n ＋1－2＝b n ＋n ＋1b n －2≤max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1＋n ＋1－2，n ＋n ＋1n －2＝n . 故2(n ＋1－1)≤12a 3＋13a 4＋…＋1(n ＋1)a n ＋2≤n .。

2019高考数学（理）通用版二轮精准提分解答题通关练数列（解析版）1.数列{a n }中，a 1＝0且a n ＋1＝3a n ＋2.(1)求数列{a n }的前5项；(2)求证数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式.解 (1)由a 1＝0且a n ＋1＝3a n ＋2，得a 2＝3a 1＋2＝3×0＋2＝2，a 3＝3a 2＋2＝3×2＋2＝8，a 4＝3a 3＋2＝3×8＋2＝26，a 5＝3a 4＋2＝3×26＋2＝80，所以数列{a n }的前5项为0，2，8，26，80.(2)由a n ＋1＝3a n ＋2得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，而a 1＋1＝1≠0，所以数列{a n ＋1}是一个首项为1，公比为3的等比数列.所以a n ＋1＝3n －1，故a n ＝3n －1－1(n ∈N *).2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n＋2(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. (1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n＝2＋(n －1)×2＝2n ， 故a n ＝12n (n ∈N *).(2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n <14×2＝12.故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5，3a 5＋a 9＝S 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5，3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)， 当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式， 所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.(2018·东莞模拟)已知等比数列{a n }与等差数列{b n }，a 1＝b 1＝1，a 1≠a 2，a 1，a 2，b 3成等差数列，b 1，a 2，b 4成等比数列.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设S n ，T n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，若S n ＋T n >100，求n 的最小值. 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2q ＝2＋2d ，q 2＝1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝0，q ＝1(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2， ∴a n ＝2n －1，b n ＝n .(2)由(1)易知S n ＝1－2n1－2＝2n －1，T n ＝n (n ＋1)2. 由S n ＋T n >100，得2n ＋n (n ＋1)2>101， ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋n (n ＋1)2是单调递增数列，且26＋6×72＝85<101，27＋7×82＝156>101， ∴n 的最小值为7.。

(三)数列2taSaanSat．R＋(1)＋2(＝1．已知正项数列{)}的前＋项和为3，∈＝1，且nnnnn1a的通项公式；}(1)求数列{n1??Tbbanbb.－项和＝1，的前(2)若数列{满足}，求数列＝??nnnnn1＋1＋1nb7＋2??n2aStSaa＋2，＋1，且(3＋1)解 (1)因为＝＝＝nnn112taatS5. ＝＋＋1)2＝，所以＋所以(31112aaS＋3所以6＋2.①＝nnn2anSa 6＋＝2＋3当，②≥2时，有nnn11－－1－22aaaaa－36①－②得－＝，＋3nnnnn1－－1aaaa－3)＝所以(0＋)(，－nnnn1－－1aaa＝3－因为，>0，所以nnn1－a＝1又因为，1daa＝，公差所以{3}是首项的等差数列，＝1n1*nna )所以∈＝3N－2(．n bbba－＝＝1(2)因为，，nnn1＋＋11*nnabb≥2，，＝∈(N所以)－nnn1－n所以当时，≥2bbbbbbbb ())＋(－－＋)＝(＋…＋－nnnnn11－－12－122nn－3baaa.＋…＋＝＝＋＋nn112－22nn－3*nbb N)1也适合上式，所以＝(．又∈＝n1211 所以＝2nnbnn7－32＋7＋n11111????－，·＝·＝nn??nn2＋632??＋111111????T－＋－＋…＋1－·所以＝n nn??2＋32462nn311513＋????－－＝. ＝·nn??nn2＋12＋?6＋12?2＋1??S5aaSanSSa2.，成等差数列，3＝2＋－，的前{2．设等差数列}项和为，且nn123542a (1)求数列的通项公式；{}na??nn1－Tnb.的前项和设，求数列＝2(2)??nn b??n aad，，公差为}的首项为解 (1)设等差数列{n1S5SS，，成等差数列，由432dSSSa＋＝＝0，得2，①可知－1543aaa－由2＝3，②＋2125da＝0得4，－－21da ＝由①②，解得2＝1，，1*nan 2)－1(．∈因此，N＝n a1??nn－1??nc，－(2)令1)＝＝(2n??b2n Tccc，＋则＝＋…＋nn21111????n－12????nT，③＋5·－1)·＋…＋(2∴＝1·1＋3·n????22211111??????n32??????nT，④＋…＋(2＋5·＝1·＋3·－1)·n??????22222③－④，得11111????????nn1－2????????nT＋…＋＋ 2－1)·－(2＝1＋n??????222??2211??????nn1－??????n 1－－(2－1)·＝1＋2??????22n＋32＝ 3－，n2n＋32*Tn∈N)．(＝6－∴nn1－22kknnana. R＋满足(＋1)∈＝2，3．已知等差数列{＋}nn a }(1)求数列{的通项公式；n2n4bnbS.＝项和}的前，求数列{(2)设nnn aa nn1＋2nannk， 1)＝2＋方法一解 (1) 由(＋＋n n＝1,2,3，令kkk＋＋2110＋3aaa＝，＝，得到，＝312234aaaa，是等差数列，∴2＋＝∵{}n312kkk＋2120＋23＋＝＋即，423．k＝－1.解得2nnnnna，(2＋－＝21)(＋1)－1由于(＝＋1)n*nann)1(．又∵∈＋1≠0，∴2＝N－n da∵{，}是等差数列，设公差为方法二n ddnaaadn(＋)(－－1)＝则，＝＋n11ddnanan) ＋＋1)1)(＝(－＋∴(n12dadnna＝，＋－＋11*22nkdnanadnn∴对于任意＋均成立，＋＋∈－＋＝2N11d，＝2??a*?，1＝nank )．，∴则∈＝2N－解得1(＝－11n??kda，－＝122nn44b＝(2)由＝n naan?21?2＋－1??nn1＋2n14 ＋＝＝122nn14－－411111????－＋＝1＋＝1，nn??nn11－22＋21??21＋?2?－bbbbS＋＝＋…＋得＋nn31211111111111????????????????－1－－－1＋＋1＋＝1＋…＋＋＋1＋nn????????12237－＋3515222211111111????n＋…＋＋－－1－＋－＋＝nn??12－＋5335721211????n－1 ＋＝n??1＋222nnn2＋2*nn)＝(．∈N＝＋nn 11＋22＋x ?1e *nxxxa N ＝当＋∈，－已知数列4．(2018·绍兴市柯桥区模拟){1}满足：＝1，证明：n nnn 1＋1 时，xx <；(1)0<nn 1＋xxxx －(2)2；>nnnn 11＋＋11????nn －1????x . ≤≤(3) n ????22x >0，(1)用数学归纳法证明 证明 n nx ＝1>0，时，＝1 当1*kkx ，≥1，成立，假设>0，∈N k xkn ≤0，1当＝＋时，若k1＋ x ?1e xxx >0＋，＝－1≤0，矛盾，故则 k kkk 1＋＋1*xn ∈N )，因此 >0(n x ?10e xxxx 1＝所以1>＝＋，＋e －－n nnnn 1＋＋11＋xx >0.综上，>nn 1＋x ?1x ?1x ?12eee xxxxxxxxxx －－1)＝＋(＋＋1＝1－1)＋2＋－(－(2)， ＋2nnn nnnnnnnnnn 1＋＋111＋1＋1＋11＋＋＋x 2xxxxf 1((≥0)，设－(1))＝＋＋e x xxxf ≥0，＋则e ′(·)＝2xf [0(，＋∞)上单调递增，)所以在ffx 0)≥，因此(0)(＝x ?12e xfxxf (0)＝0()>因此(＋，－1)＋1＝ n nnn 1＋1＋1＋xxxx . －>2故nnnn 1＋＋111????n 1＋>1时， 得＋1<2，所以当(3)由(2) x ??x nn 1＋111????nn 1－????11＋＋ 2＋1<2<…<2，＝ xx ????x n 1－1n 111nn nx ≥， ，所以≤2，即1时，＋1＝当2＝ nn xx 2nn x ?1e xxxxx ， 1又由于＝＝＋＋(2＋1)－1≥－n nnnnn 1＋1＋＋＋1111xxx ≤，，所以易知 ≤ nnnn 1＋1－2211????nn －1????x .≤综上，≤ n ????22a 33naaan ＝1,2，…，.{5．(2018·浙江省台州中学模拟)已知数列＝}的首项，＝ nn 11＋a 12＋5na }的通项公式；{ (1)求n 211??x ??nax －＝1,2，…；－(2)证明：对任意的·>0，，≥nn 2??xx 3??1＋1＋2naaa . ＋＋…＋>(3)证明： n 21n 1＋a 1113??n ??a 1－， ＝，∴－1＝(1)解 ∵n 1＋a ??aa 3＋12nnn 1＋n 13122*na ．∈N )∴－1＝·＝，∴(＝nnnn 1－a 233＋33nn 3a ＝>0(2)证明 由(1)知， nn 2＋3122111111??????xxx ???????＋－1－－?－1＋1 ＝－－＝－ nn 222a ??????xxxxxx 33??1＋＋1＋1??1?＋＋1?1＋n11112??2a ??aa － ≤＝－·＋＝－＋， n nn 2x ??aaxx ＋1＋?1＋1?nn ∴原不等式成立．x >0知，对任意的，(3)证明 由(2)222111111??????xxx ??????aaa －－－＝＋－≥有－＋－＋…＋…＋nn 221222??????xxxxxx 333?1＋11?1＋＋?＋?11＋＋??n 2221??nx ??－＋＋…＋ －，n 22??xx 333?＋?＋11212211????????x －1＋＋…＋ ＝＝，∴取 nn 2????nn 333322nnnaaa …＋，≥则＋＝> n 21n 1＋111??n ??－1－＋1＋1 nn ??n 33 ∴原不等式成立．a 1＋1n naaSaa 的前＝，，记项和．．已知在数列6{为}中，满足＝ nnnn 11＋22aa >(1)证明：；nn 1＋πa ；(2)证明：＝cos nn 1－3·22π＋27nS . －(3)证明：> n 54a 证明(1)由题意知{的各项均为正数，}n 222aaaaaa 2．2－)＝－＋12＝(1－)(1＋因为2nnnnnn 1＋aaa 所以，要证>，只需要证明即可．<1nnn 1＋a <1. 下面用数学归纳法证明n 1an <1时，＝1成立，＝①当 12akn 成立，时，②假设当<1＝k a 1＋11＋k ank ＝＝1＋时，＝1. <那么当k 1＋22aaa . >综上所述，<1成立，所以nnn 1＋πa ＝cos .(2)用数学归纳法证明 nn 1－3·21πna ＝＝cos 成立，＝1时， ①当 123πakn . ＝②假设当cos ＝时， kk 1－3·2kn 时，1＋＝那么当．πcos ＋1k 1－3·2a π1＋k a ＝＝cos ＝， kk 1＋223·2πa ＝cos .综上所述， nn 1－3·2(3)由题意及(2)知， aa ＋－11nn 1－－1＝1－ 22π22a －1－cos ＝1＝ nn 1－3·2ππ??22??n <≥2)，(＝sin n 1－n 1－??3·23·222πan ≥2)，(得 >1－nn 1－1－9·42π27＋1Sn ；>1＝故当－＝1时， 15422π21n ????Sn －1 >≥2时，＋ 当∑ in ??9·42i 2＝211π412????n －1 －－＝×× n 1－??4163292π27＋n .－> 542π27＋nS . >综上所述，－ n 54．。

4.圆锥曲线1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点P (1,2)． (1)求抛物线C 的方程；(2)设点A ，B 在抛物线C 上，直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，|PM |＝|PN |.求直线AB 的斜率．解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 由抛物线C 经过点P (1,2)，得a ＝4， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)因为|PM |＝|PN |，所以∠PMN ＝∠PNM ，所以∠1＝∠2，所以直线PA 与PB 的倾斜角互补，所以k PA ＋k PB ＝0.依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)， 将其代入抛物线C 的方程，整理得k 2x 2－2(k 2－2k ＋2)x ＋k 2－4k ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，则1×x 1＝k 2－4k ＋4k 2，y 1＝k (x 1－1)＋2＝4k－2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫(k －2)2k 2，4k －2，以－k 替换点A 坐标中的k ， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫(k ＋2)2k 2，－4k －2. 所以k AB ＝4k －(－4k)(k －2)2k 2－(k ＋2)2k2＝－1.所以直线AB 的斜率为－1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (1,0)和直线l ：x ＝4，圆C 与直线l 相切，并且圆心C 关于点F 的对称点在圆C 上，直线l 与x 轴相交于点P . (1)求圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过点F 且与直线l 不垂直的直线m 与圆心C 的轨迹E 相交于点A ，B ，求△PAB 面积的取值范围．解 (1)设圆心C (x ，y )，则圆心C 到点F 的距离等于它到直线l 距离的一半， ∴(x －1)2＋y 2＝12|4－x |，化简得圆心C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线m 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝ky ＋1，得(3k 2＋4)y 2＋6ky －9＝0，Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6k 3k 2＋4，y 1y 2＝－93k 2＋4，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12k 2＋19k 4＋24k 2＋16， △PAB 的面积S ＝12×|y 1－y 2|×|PF |＝18k 2＋19k 4＋24k 2＋16. 设t ＝k 2＋1≥1，则k 2＋19k 4＋24k 2＋16＝t (3t ＋1)2＝19t ＋1t＋6， 设f (t )＝9t ＋1t ＋6，t ≥1，则f ′(t )＝9－1t2＞0，∴f (t )在[1，＋∞)上单调递增，f (t )≥f (1)＝16， ∴S ≤18116＝92， 即△PAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，92. 3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且C 过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值．(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， ∵直线l 与椭圆交于两点，∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. ∵直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴k 2＝y 2x 2·y 1x 1＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 又m ≠0，∴k 2＝14，结合图象(图略)可知k ＝－12，故直线l 的斜率为定值．4．已知抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝4 3.(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且MN 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值．解 (1)由x 2＝2py ，令y ＝2，得x ＝±2p ，所以4p ＝43，解得p ＝3，所以x 2＝6y ，由y ＝x 26，得y ′＝x 3，故|x y =′＝233.所以在A 点的切线方程为y －2＝233(x －23)，即2x －3y －23＝0，同理可得在B 点的切线方程为2x ＋3y ＋23＝0.(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0， 故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6y ，y ＝kx ＋m ，得x 2－6kx －6m ＝0，Δ＝36k 2＋24m >0， 所以x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－6m ，故|MN |＝1＋k 2·36k 2＋24m ＝23·1＋k 2·3k 2＋2m .又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝23·1＋k 2·4－3k 2，由Δ＝36k 2＋24m >0，得－233<k <233且k ≠0.因为MN 的中点坐标为(3k,2)，所以MN 的垂直平分线方程为y －2＝－1k(x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2， 所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1<u <73，故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ).设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2， 结合1<u <73，令f ′(u )>0，得1<u <149；令f ′(u )<0，得149<u <73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473. 5.如图，A ，B 是焦点为F 的抛物线y 2＝4x 上的两动点，线段AB 的中点M 在定直线x ＝t 上. (1)求|FA |＋|FB |的值；(2)若t ＝1，设△ABF 的面积为S ，求S 的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (t ，m )， 则x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝2m .由抛物线的定义知|FA |＝x 1＋1，|FB |＝x 2＋1. 所以|FA |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋2t .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． 所以x 1－x 2y 1－y 2＝y 1＋y 24＝m2. 故可设直线AB 的方程为m2(y －m )＝x －1，即x ＝m 2y －m 22＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m 2y －m 22＋1，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－2my ＋2m 2－4＝0， 则Δ＝16－4m 2>0，即m 2<4.y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2－4.|y 1－y 2|＝24－m 2.|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 2y 1－m 22＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2y 2－m 22＋1＝|m |2|y 1－y 2|＝|m |4－m 2. 所以△ABF 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝12m 24－m 2＝124m 4－m 6.令0<g ＝m 2<4，u ＝4g 2－g 3， 则u ′＝8g －3g 2， 令8g －3g 2＝0，得g ＝83.当0<g <83时，u ′>0，当83<g <4时，u ′<0， 所以u 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，83上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫83，4上为减函数． 所以当g ＝m 2＝83时，S max ＝12×83×4－83＝839. 6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在椭圆上(异于椭圆C 的左、右顶点)，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线L 的垂线F 2Q ，交L 于点Q ，且|OQ |＝2(O 为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：x ＝my ＋4(m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′，直线A ′B 交x 轴于点D ，求当△ADB 的面积最大时，直线l 的方程．解 (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×12ab ＝43，得ab ＝2 3.延长F 2Q 交直线F 1P 于点R ，因为F 2Q 为∠F 1PF 2的外角平分线的垂线， 所以|PF 2|＝|PR |，Q 为F 2R 的中点，所以|OQ |＝|F 1R |2＝|F 1P |＋|PR |2＝|F 1P |＋|PF 2|2＝a ，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，x 24＋y23＝1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，所以Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)＝144(m 2－4)>0，即m 2>4. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)， 由根与系数的关系， 得y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4， 直线A ′B 的斜率k ＝y 2－(－y 1)x 2－x 1＝y 2＋y 1x 2－x 1，所以直线A ′B 的方程为y ＋y 1＝y 1＋y 2x 2－x 1(x －x 1)， 令y ＝0，得x D ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝(my 1＋4)y 2＋y 1(my 2＋4)y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4，故x D ＝1，所以点D 到直线l 的距离d ＝31＋m2，所以S △ADB ＝12|AB |·d ＝32(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝18·m 2－43m 2＋4.令t ＝m 2－4(t >0)，则S △ADB ＝18·t3t 2＋16＝183t ＋16t≤1823×16＝334， 当且仅当3t ＝16t ，即t 2＝163＝m 2－4，即m 2＝283>4，m ＝±2213时，△ADB 的面积最大，所以直线l 的方程为3x ＋221y －12＝0或3x －221y －12＝0.。