《高等数学》(同济六版上)期末模拟试题答案

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11. 设A=(-, -5)(5, +), B=[-10, 3), 写出A B, A B, A\B及A\(A\B)的表达式.解A B=(-, 3)(5, +),A B=[-10, -5),A\B=(-, -10)(5, +),A\(A\B)=[-10, -5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A B)C=A C B C.证明因为x(A B)C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C,所以(A B)C=A C B C.3. 设映射f : X Y, A X, B X . 证明(1)f(A B)=f(A)f(B);(2)f(A B)f(A)f(B).证明因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y(因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B )y f (A )f (B ), 所以 f (AB )=f (A )f (B ). (2)因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A )f (B ), 所以 f (A B )f (A )f (B ).4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的yY , 有x =g (y )X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)g [ f (x 1)]=g [f (x 2)]x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y X , 因为对每个y Y , 有g (y )=x X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X Y , A X . 证明:(1)f -1(f (A ))A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x A f (x )=y f (A ) f -1(y )=x f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))A . (2)由(1)知f -1(f (A ))A .另一方面, 对于任意的xf -1(f (A ))存在y f (A ), 使f -1(y )=x f (x )=y . 因为y f (A )且f 是单射, 所以x A . 这就证明了f -1(f (A ))A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ; 解 由3x +20得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 20得x 1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3)211x xy --=; 解 由x0且1-x 20得函数的定义域D =[-1, 0)(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 20得 |x | 2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x 0得函数的定义D =[0, +¥).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, 1, 2, )得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, 1, 2, ). (7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x 0且x 0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +10得函数的定义域D =(-1, +¥). (10)x e y 1=.解 由x0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x 0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, j (-2), 并作出函数y =j (x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-, 1); (2)y =x +ln x , (0, +).证明 (1)对于任意的x 1, x 2(-, 1), 有1-x 10, 1-x 20. 因为当x 1x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2(0, +), 当x 1x 2时, 有0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于"x 1, x 2Î(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2Î(0, l )且-x 1-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以 f (-x 2)f (-x 1), -f (x 2)-f (x 1), f (x 2)f (x 1),这就证明了对于"x1, x2Î(-l, 0), 有f(x1)f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2p .(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin px ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =p .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

高等数学(上)期末考试试卷试 题一、填空、选择题1．函数)(x f 在],[b a 上可积是)(x f 在],[b a 上连续的 条件，函数)(x f 在],[b a 上可导是)(x f 在],[b a 上连续的 条件．2．曲线(ln y x =在点(),ln(1处的切线方程是 ．3．函数()(1)cos sin f x x x x =−−在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．4．曲线()x x y x −=2e 上有 个拐点．5．设可导函数()g x 满足(0)0g =，()00≠′g ，设())(sin 2x g x G =，则当0x →时， ．（A ）()G x 与()g x 是等价无穷小． （B ）()G x 与()g x 是同阶的无穷小． （C ）()G x 是比()g x 高阶的无穷小．（D ）()G x 是比()g x 低阶的无穷小．6．极限nnn nnn 333lim 21+++∞→"= ．7．如果一物体沿直线运动，物体的运动速度的变化曲线如图3所示（单位省略），则物体在这段位移过程中的平均速度为 ．8．微分方程x x y x y sind d =+的通解为 ． 二、1．设函数ln sec y x =，,22x ππ⎛⎞∈−⎜⎟⎝⎠．(1)讨论函数的单调区间与该函数的图形的凹凸性； (2)该曲线在哪点处的曲率半径为2？2．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∫,0,,0,d e 22x a x x t x x xt ϕ 求a 的值，使得()x ϕ在0=x 处连续，并用导数定义求(0)ϕ′．三、1．求定积分I =∫−π22d sin 1x x x ．2．若()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=,0,11,0,112x x x x xx f 对于(,)x ∈−∞+∞，求()()∫∞−=xt t f x F d ．四、1．设曲边梯形由曲线1y x x=+（0x >）与直线0y =，x a =，1x a =+所围成（其中0a >），问：当a 为何值时，曲边梯形的面积为最小，最小面积是多少？2．设一平板浸没在水中且垂直于水面(水的密度为1000kg/m 3)，平板的形状为双曲四边形，即图形由双曲线2244x y −=，直线1y =与1y =−所围成(如图4所示，单位：m)．(1)如果平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的水的总压力是多少？(2)如果水位下降，在时刻t ，水面位于y =()h t 处，且水面匀速下降，速率为0.01（m/s ），问：当水面下降至平板的中位线(即x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率是多少？五、设函数()f x 满足方程x x f u u f x u x 2cos )(d )()(0+=−∫，求()f x ．参考答案一、1．必要，充分．2．|1x y ′，因此所求切线是ln(1y x =．3．()(1)sin f x x x ′=−−，在区间(0,)2π内有唯一驻点1x =且为极大值点，因此所求最大值是(1)sin1f =−．4．()x x y x 3e 2+=′′有2个零点3x =−与0x =，且y ′′在这2个零点的左、右两侧邻近异号，因此该曲线上有2个拐点．5．2222000(sin )(0)()(sin )sin (0)sin lim lim lim 00()(0)()()(0)x x x g x g G x g x x g x g x g g x g x x g x→→→−′==⋅=⋅=−′，因此当0x →时，()G x 是比()g x 高阶的无穷小，故选（C ）．6．利用定积分的定义，得3ln 2d 3333lim1021==+++∫∞→x n x nn n n n "． 7．1011()d 101v v t t =−∫，根据定积分的几何意义，其中的定积分101()d v t t ∫是图中的图形面积，即10111118()d [4(61)4(86)(24)(108)]1019223v v t t ==⋅⋅−+⋅−++⋅−=−∫． 8．通解为()11d d sin 1cose e d sin d x x x x x x Cy x C x x C x xx−⎛⎞−+∫∫=+=+=⎜⎟⎝⎠∫∫． 二、1．(1)tan y x ′=，在,02π⎛⎞−⎜⎟⎝⎠内，0y ′<；在0,2π⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0y ′>．故,02π⎛⎤−⎜⎥⎝⎦是单调减少区间，0,2π⎡⎞⎟⎢⎣⎠是单调增加区间；而由2sec 0(,)22y x x ππ⎛⎞′′=>∈−⎜⎟⎝⎠得，该函数的图形是凹的． (2)322|||cos |(1)y K x y ′′==′+．由12K =，得3x π=±，故曲率半径为2的点是(,ln 2)3π±．2．11e e 2lim d e lim2224020=−=→→∫xx x xxt x xt ，因此1=a 时，()x ϕ在0=x 处连续． 22020d e lim1d e lim)0()(lim)0(22x x t xx t xx x xt x x xt x x −=−=−=′∫∫→→→ϕϕϕ02e 2e 16lim 21e e 2lim 22224040=−=−−=→→xx x x x x x x x ．三、 1．I =∫∫∫−=ππππ222022d cos d cos d |cos |x x x x x x x x x[][]πππ22202sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin xx x x xxx x x x −+−−+=4222−+=ππ．2．当0x <时，()2arctan d 112π+=+=∫∞−x t t x F x ； 当0x ≥时，()2arctan 2]arctan 2[2d )1(1d 11002ππ+=+=+++=∫∫∞−x t t t t t t x F xx ． 因此()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=.0,2arctan 2,0,2arctan x x x x x F ππ 四、1．曲边梯形的面积1111()()d ln2a a a A a x x a x a ++=+=++∫， 11()11A a a a ′=+−+．令()0A a ′=，解得在0a >范围内的唯一驻点12a −=，易知该点为极小值点，因此必为最小值点．而其最小面积min 1)ln 22A A −==+ 2．(1)水压力111000(1)2000F g y y g y −=−=∫∫10120002ln(10004ln 2g y g +⎤=++=+⎥⎦．(2)在时刻t ，水面位于()y h t =，平板一侧所受到的水压力为()(()1111000[()]1000()1000h t h t h t F g h t y y gh t y g y −−−=−=−∫∫∫，上式两边对t 求导，得(1d d 1000d d h t F hg y t t−=∫， 由于d 0.01d ht=−，因此，当水面下降至平板的中位线(即x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率为01d 10102ln(d F g y g y t −−⎤=−=−++⎥⎦∫154ln 2g =−+． 五、原方程为x x f u u f x u u f u xx 2cos )(d )(d )(0+=−∫∫，代入0x =，得(0)1f =−．上式两端对x 求导，得x x f u u f x2sin 2)(d )(0−′=−∫，代入0x =，得(0)0f ′=．上式两端再对x 求导，得x x f x f 2cos 4)()(−′′=−．故()y f x =满足初值问题⎩⎨⎧=′−==+′′==.0|,1|,2cos 400x x y y x y y 解得124cos sin cos 23y C x C x x =+−，代入初始条件解得113C =，20C =．故14()cos cos 233f x x x =−．。

《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]一、选择题（本题共5小题；每小题3分；共15分）1、若函数xx x f =)(；则=→)(lim 0x f x （ ）.A 、0B 、1-C 、1D 、不存在 2、下列变量中；是无穷小量的为（ ）. A 、1ln(0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.A 、极大值点B 、极小值点C 、驻点D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）.A 、必要但非充分条件B 、充分但非必要条件C 、充分必要条件D 、既非充分又非必要条件5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、⎰+∞sin xdx B 、dx ex⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞1D 、dx x⎰+∞01二、填空题（本题共5小题；每小题3分；共15分）6、当k= 时；2,0(),x e x f x x k x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在0=x 处连续.7、设x x y ln +=,则_______________dxdy=. 8、曲线x e y x-=在点（0；1）处的切线方程是 .9、若⎰+=C x dx x f 2sin )(；C 为常数；则()____________f x =10、定积分dx x xx ⎰-+554231sin =____________.三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）11、求极限 xx x 2sin 24lim 0-+→.12、求极限 2cos 12limxt x e dtx-→⎰.13、设)1ln(25x x e y +++=；求dy .14、设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2所确定；求dy dx 和22dx yd .15、求不定积分212sin 3dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰.16、设,0()1,01x e x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩；求20(1)f x dx -⎰.四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分）17、证明：dx x x n m )1(1-⎰=dx x x m n )1(1-⎰ (N n m ∈,).18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0a b <<时；ln b a b b ab a a--<<.五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分）19、要造一圆柱形油罐；体积为V ；问底半径r 和高h 各等于多少时；才能使表面积最小？20、设曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形为A ；求 （1）平面图形A 的面积；（2）平面图形A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积.《高等数学》试卷（同济六版上）答案一．选择题（每小题3分；本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分；本题共15分）6、17、1xx+ 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）11、解：x x x 2sin 24lim-+→x →= 3分01128x →== 6分12、解：2cos 12limxdt e x tx ⎰-→2cos0sin lim 2xx xe x-→-= 3分12e=-6分 13、解：)111(1122xxx y ++++=' 4分211x +=6分14、解：t t t t dx dy 21121122=++= 3分222232112()241d y t d dydxt dtt dt dxdx t t -+===-+ 6分15、解：212122sin(3)sin(3)(3)23dx d x x x +=-++⎰⎰ 3分 12cos(3)2C x=++ 6分 16、解：⎰⎰⎰⎰--+==-011112d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 0110d 1xxe dx x -=++⎰⎰ 3分1010|ln(1)x e x -=++11ln 2e -=-+ 6分四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分） 17、证明：11(1)(1)m n m n x x dx t t dt -=--⎰⎰ 4分11(1)(1)m nm nt t dt x x dx=-=-⎰⎰ 8分18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈；0a b <<显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分由于1()f x x'=, 因此上式即为 l n l n b a b a ξ--=.又由.a b ξ<< b a b a b ab aξ---∴<< 当0a b <<时；ln b a b b a b a a--<< 8分五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π=∴表面积2222222222V V S r rh r rr r rππππππ=+=+=+ 4分令22'40VS r r π=-= 得r =2h =答：底半径r =2h = 8分 20、解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1；1）； 2分于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为31]3132[)(10210232=-=-=⎰x x dx x x A 6分A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：()πππ10352)(10521042=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰y y dy y y V 10分。

1
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )