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《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]

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1 / 7 《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]

一、选择题（本题共5小题；每小题3分；共15分）

1、若函数xxxf)(；则)(lim0xfx（ ）.

A、0 B、1 C、1 D、不存在

2、下列变量中；是无穷小量的为（ ）.

A、1ln(0)xx B、ln(1)xx C、cos(0)xx D、22(2)4xxx

3、满足方程0)(xf的x是函数)(xfy的（ ）.

A、极大值点 B、极小值点 C、驻点 D、间断点

4、函数)(xf在0xx处连续是)(xf在0xx处可导的（ ）.

A、必要但非充分条件 B、充分但非必要条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

5、下列无穷积分收敛的是（ ）.

A、0sinxdx B、dxex02 C、dxx01 D、dxx01

二、填空题（本题共5小题；每小题3分；共15分）

6、当k= 时；2,0(),0xexfxxkx在0x处连续.

7、设xxyln,则_______________dxdy.

8、曲线xeyx在点（0；1）处的切线方程是 .

9、若Cxdxxf2sin)(；C为常数；则()____________fx 得分 评卷人

得分 评卷人

2 / 7 10、定积分dxxxx554231sin=____________.

三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）

11、求极限 xxx2sin24lim0.

12、求极限 2cos120limxtxedtx.

13、设)1ln(25xxey；求dy.

14、设函数)(xfy由参数方程tytxarctan)1ln(2所确定；求dydx和22dxyd.

得分 评卷人

3 / 7

15、求不定积分212sin3dxxx.

16、设,0()1,01xexfxxx；求20(1)fxdx.

四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分）

17、证明：dxxxnm)1(10=dxxxmn)1(10 (Nnm,).

得分 评卷人

4 / 7

18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0ab时；lnbabbabaa.

五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分）

19、要造一圆柱形油罐；体积为V；问底半径r和高h各等于多少时；才能使表面积最小？

20、设曲线2xy与2yx所围成的平面图形为A；求

（1）平面图形A的面积；

（2）平面图形A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积.

得分 评卷人

5 / 7

《高等数学》试卷（同济六版上）答案

一．选择题（每小题3分；本题共15分） 1-5 DBCAB

二．填空题（每小题3分；本题共15分）

6、1 7、1xx 8、1y 9、2cos2x 10、0

三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）

11、解：xxx2sin24lim00limsin2(42)xxxx 3分

0121lim28sin2(42)xxxx 6分

12、解： 2cos102limxdtextx2cos0sinlim2xxxex 3分

12e 6分

13、解：)111(1122xxxy 4分

211x 6分

14、解：ttttdxdy21121122 3分

6 / 7 222232112()241dytddydxtdttdtdxdxtt 6分

15、解：212122sin(3)sin(3)(3)23dxdxxx 3分

12cos(3)2Cx 6分

16、解：01101120d)(d)(d)(d)1(xxfxxfxxfxxf0110d1xxedxx 3分

1010|ln(1)xex

11ln2e 6分

四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分）

17、证明：1001(1)(1)mnmnxxdxttdt 4分

1100(1)(1)mnmnttdtxxdx 8分

18、、证明：设f(x)lnx [,]xab；0ab

显然f(x)在区间[,]ab上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 有

()()'()(),.fbfafbaab 4分

由于1()fxx 因此上式即为 lnlnbaba

又由.ab babababa

当0ab时；lnbabbabaa 8分

五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分）

19、解：2Vrh

表面积2222222222VVSrrhrrrrr 4分

7 / 7 令22'40VSrr

得 32Vr 322Vh

答：底半径32Vr和高322Vh；才能使表面积最小。 8分

20、解：曲线2xy与2yx的交点为（1；1）； 2分

于是曲线2xy与2yx所围成图形的面积A为

31]3132[)(10210232xxdxxxA 6分

A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：

10352)(10521042yydyyyV 10分

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总习题六高等数学同济大学第六版本

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总 习 题 六

1 一金属棒长3m 离棒左端xm处的线密度为11)(xx

(kg/m) 问x为何值时 [0 x]一段的质量为全棒质量的一半?

解 x应满足300112111dttdttx

因为212]12[1100xtdttxx 1]12[2111213030tdtt

所以 1212x

45x(m)

2 求由曲线asin a(cossin)(a>0)所围图形公共部分的面积

解

432222)sin(cos21)2(21daaS

24322241)2sin1(28adaa

3 设抛物线cbxaxy2通过点(0 0) 且当x[0 1]时 y0

试确定a、b、c的值 使得抛物线cbxaxy2与直线x1 y0所围图形的面积为94 且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小

解 因为抛物线cbxaxy2通过点(0 0) 所以c0 从而

bxaxy2

抛物线bxaxy2与直线x1 y0所围图形的面积为

23)(102badxbxaxS

令9423ba

得968ab

该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

)235()(221022abbadxbxaxV

)]968(2)968(315[22aaaa

令0)]128(18181863125[aaaddV

得35a 于是b2

4 求由曲线23xy与直线x4 x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积

高等数学复习题(同济六版)下册

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1 / 4

一、 选择题(本大题共20分,每小题2分)

1.设a与b为非零向量，则0ab是( )

(A) ab的充要条件 (B) ab的充要条件

(C) //ab的充要条件 (D) //ab的必要但不充分条件

2.准线为xoy平面上以原点为圆心，半径为2的圆周，母线平行于z轴的圆柱面方程是( )

(A) 220yx (B) 224yx

(C) 2240yx (D) 2224yxz

3.向量=(,,)xyzAAA，=(,,)xyzBBB垂直的充分必要条件是( )

(A) 0 (B) 0 (C) yxzxyzAAABBB (D) 0

4.设ecosxzy，则2zxy（ ）

(A) esinxy (B) eesinxxy (C) ecosxy (D) esinxy

5.函数zxy在点(0,0) ( )

(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值

6.(,)fxy在点(,)xy处的偏导数(,)xfxy和(,)yfxy连续是(,)fxy可微分的（ ）

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件

(C) 必要非充分条件 (D) 非充分又非必要条件

7.设积分区域D是由11,22xy所围成，则Dxydxdy（ ）

同济版高数第二学期试题

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1 《高等数学》课程期末考试第Ⅰ套试题

一、填空题：（请将正确答案填在横线上。每小题2分，共10分）

1. 点(2,1,0)到平面3450xyz的距离d2.

2. 设1yzxy，则xz21(1)yyxy.

3. 函数),(yxf=2yxyxe在1 ,0处方向导数的最大值等于5.

4. 交换二次积分的次序 1

0 1 dy (,) dyfxyx=010(,)xdxfxydy.

5. 函数xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是 !)2(lnnn.

二、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内. 每小题2分，共20分）

1. 2R的任意点集的全部边界点所组成的集合 ( B ).

（A）是开集； （B）是闭集；

（C）既是开集又是闭集； （D）两者都不是 .

2. (,)fxy在点00(,)xy处两个偏导数存在是(,)fxy在00(,)xy处可微的( A ).

（A）必要条件； （B）充分条件；

（C）充分必要条件； （D）以上都不是.

3. 非齐次线性微分方程 "2'5sin2txxxtet 的特解形式x ( D ).

(A)()sin2;tAtBet (B) cos2sin2teAtBtCtDt；

(C) ()sin2;ttAtBet； (D) cos2sin2tteAtBtCtDt.

4. 设上半球222,,1,0Vxyzxyzz, 则以下等式错误的是( C ).

（A）() d0VxV； （B）() d0VyV；

同济大学《高等数学》[上册]的答案解析

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