数学建模范例

数学建模的简单实例
§1.1 方桌问题
问题：适当变换方桌的方位，能否将方桌放稳？
分析：问题的目标是“放
A
A
D
稳”。“放稳”可以用各
脚离地面的高度这一数量
B

指标来表达。于是，引入
各脚离地面的高度的数学
记号。
B
C
C
1
依次记 A、B、fc fD
A
D
fA( ) fB ( ) fC ( ) fD ( )
2
注意到，在任何情况下，总有三只脚能同时着地，且这三 只脚中总有两只脚处在对角位置上，于是我们记：
f ( ) fB( ) fD( ) g( ) fA( ) fC ( )
则 有 , f ( ) g( ) 0
仓库;可关闭2号或3号仓库。 公司不主张仓库的个数 超过4个。 由于向客户供货的运费和仓库改建的费用
均由公司负担， 故需建模为公司选择方案。
若有可能， 应将所建模型推广为适应于类似地更一般 情 形 下 的 方 案 选 择。
13
问题分析
公司的目标是费用尽可能小
费用是怎样构成的
工厂到仓库
运输费用
工厂到客户 问题分析

0
cij Ai到B j及Ck的单位运输费;
d jk B j到Ck的单位运输费;
e1 B1扩建的月增费; e5 B5的月增费; e2 , e3 B2 , B3变更时发生的费用;
保留B2 关闭B2
;
xij

Ai
到B
j
及C
的运
k
量;
新建B5 不建B5
;
y jk

B
j
到C
的运

数学建模案例精选数学建模是指利用数学方法和技术解决实际问题的过程，它在工程、经济、管理、自然科学等领域都有着广泛的应用。

在数学建模中，数学模型是解决问题的核心，通过建立合适的数学模型，可以更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。

下面我们将介绍几个数学建模案例，来看看数学在实际问题中是如何发挥作用的。

案例一，交通拥堵问题。

在城市交通管理中，交通拥堵一直是一个严重的问题。

如何合理规划道路和交通流量，是一个复杂的问题。

数学建模可以通过建立交通流模型，分析不同道路的交通流量，预测交通拥堵的可能发生区域和时间，从而指导交通管理部门制定相应的交通疏导措施。

案例二，股票价格预测。

股票市场的波动一直是投资者关注的焦点，而股票价格的预测是投资决策的重要依据。

数学建模可以通过分析历史股票价格数据，建立股票价格预测模型，利用数学统计方法和时间序列分析方法，预测股票价格的未来走势，帮助投资者做出更明智的投资决策。

案例三，物流配送优化。

在物流配送领域，如何合理规划配送路线和减少配送成本是企业关注的重点。

数学建模可以通过建立物流配送网络模型，分析不同配送方案的成本和效率，优化配送路线，降低物流成本，提高配送效率，从而提升企业的竞争力。

案例四，环境污染监测。

环境污染是一个严重的问题，如何有效监测和治理环境污染成为了各国政府和环保部门的重要任务。

数学建模可以通过建立环境污染监测模型，分析环境污染源的分布和扩散规律，预测污染物的扩散范围和影响，为环境污染治理提供科学依据。

通过以上几个案例的介绍，我们可以看到数学建模在实际问题中的重要作用。

数学建模不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，还可以推动科学技术的发展，促进社会经济的进步。

因此，加强数学建模的研究和应用，对于推动科学技术创新和社会发展具有重要意义。

希望通过今后更多的实际案例和研究，能够进一步挖掘数学建模的潜力，为解决更多实际问题提供更加有效的方法和工具。

数学建模实例
数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过对模型进行分析和求解来解决问题的一种方法。

以下是数学建模的一些实例：
1. 客流热力学模型：在城市轨道交通拥挤情况下，建立客流热力学模型，分析出客流分布的状况，有效提高轨道交通系统的运行性能。

2. 互联网广告投放模型：针对互联网广告投放的问题，建立数学模型，分析各种广告投放策略的影响，提出最佳的广告投放策略。

3. 股票价格预测模型：针对股票市场，建立数学模型，通过对历史数据的分析和预测，预测未来股票价格的走势，为投资决策提供科学依据。

4. 生态系统模型：建立生态系统稳定性数学模型，探究物种间相互作用的影响，预测生态系统发展趋势，为环境保护提供科学依据。

5. 智能交通路网模型：建立智能交通路网数学模型，分析路网拥堵状况，提出最优路径，实现交通系统的智能化管理。

6. 供应链管理模型：建立供应链管理数学模型，分析供应链各环节的影响，优化供应链各环节的质量和效率，提升企业综合效益。

7. 机器学习模型：应用机器学习算法，通过对大量历史数据的分析和学习，预测未来数据的走势，为商业决策提供科学依据。

(2)
103.133872
(3)
101.310287
(3,1)
98.472872
(5)
96.731702
(5,1)
94.787533
(5,2)
92.480158
(5,3)
90.844949
(5,3,1)
4108.656375
(5,5)
*
M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）
3
改为
4
利用
5
软件求解（程序略）M=5000万元，
6
n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）
7
*
M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）
存1年定期
存2年定期
存3年定期
存5年定期
取款数额（到期本息和）
每年发放奖学金数额
第一年初
105.650679
103.527252
220.429705
2.255
*
由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。
由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复） 只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,3,1)九种，
*
根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：
据上公式用
可以求得n=10年，M=5000万元时
基金使用的最优方案：（单位：万元）
每年奖学金：
问题三求解：
方案一：只存款不购买国库券
1
因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，

数学建模获奖作品范例近年来，数学建模竞赛在高中和大学生中越来越受欢迎。

数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通过建立数学模型，对问题进行分析和预测，得出有关结论和解决方案。

下面将介绍一些数学建模获奖作品的范例，以展示数学建模的应用和价值。

第一个范例是关于城市交通流量的建模。

城市交通流量是一个复杂的问题，涉及到车辆的流动、道路的拥堵、信号灯的控制等多个因素。

一支参赛团队利用数学建模的方法，通过收集城市交通数据和实地观察，建立了一个交通流量模型。

他们使用了微分方程和概率统计等数学工具，对车辆的速度、密度和流量进行了建模和预测。

通过模型的分析，他们提出了一些优化交通流量的方法，如调整信号灯的时长、增加道路的容量等。

他们的建模方法和解决方案得到了专家的肯定，并在数学建模竞赛中获得了一等奖。

第二个范例是关于物种扩散的建模。

物种扩散是生态学中的一个重要问题，研究物种的扩散过程对于了解生态系统的稳定性和保护生物多样性具有重要意义。

一支参赛团队通过数学建模的方法，结合实地调查和数据分析，建立了一个物种扩散模型。

他们使用了偏微分方程和随机过程等数学工具，对物种的扩散速度和扩散范围进行了建模和预测。

通过模型的分析，他们揭示了物种扩散的规律和影响因素，并提出了一些保护生物多样性的建议。

他们的建模方法和研究成果在数学建模竞赛中获得了特等奖。

第三个范例是关于金融风险管理的建模。

金融风险管理是一个重要的经济问题，涉及到金融市场的波动、投资组合的风险等多个因素。

一支参赛团队利用数学建模的方法，通过收集金融数据和分析市场趋势，建立了一个金融风险管理模型。

他们使用了时间序列分析、随机过程和蒙特卡洛模拟等数学工具，对金融资产的风险价值进行了建模和预测。

通过模型的分析，他们提出了一些风险管理的策略，如分散投资、对冲交易等。

他们的建模方法和风险管理方案在数学建模竞赛中获得了一等奖。

以上是关于数学建模获奖作品的三个范例。

这些范例展示了数学建模在不同领域中的应用和价值。

另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，
D
即T 至少应当达到 （L+D）/v。
L
返回
9、砖块延伸
出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上
要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。
停车是需要时间的，在这段时间内，车辆
仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在
离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽
管它没被画在地上），见图。对于那些黄
D
灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
L
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确
总距离为 n 1 ，
故有砖点n块 出向人右意可料时 叠。k1至, 2knk任1 2意1k远，n这1 一21n结果多少返回
10、寻找黑匣子
飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种 射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。 确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离， 试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参 数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣 子发射射线的强度。
I2 I1
1
方法二
A
在方法一中，两检测点与黑匣子
位于β一α a
直线上，这一点比较容易 点是结果对照度测
量的精C做度到要， 求主 较要 高缺 ，B
很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很
强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后 ，
到B点再测方向 ，AB 距离为a ，∠BAC=α，

司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过 长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也 是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大， 设想一下黄灯的作用是什么，不难看 可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定 马上要转红灯了，假如你能停住，请 律计算出来立即停车。停车是需要时间的，在这 （ 留作习题）。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 离 L。这就是说，在离街口距离为 L 停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 处存在着一条停车线（尽管它没被画 的车顺利穿过马路，即 T 至少应当达到 （L+D） 在地上），见图 1-4。对于那些黄灯亮 /v。 时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
否则一处的车辆将会越积越多。
例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 2 的平方成反比，即
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。

10.1牙膏的销售量某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。

为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。

试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据表1-1牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据一、问题重述根据过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1。

根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据二、问题分析由于牙膏是生活必需品，对大多属顾客来说，在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。

因此，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。

三、模型假设1.画出牙膏销售量与价格差，公司投入的广告费用的散点图2.由散点图确定两个函数模型，再由这两个函数模型解出回归模型3.对模型进行改进，添加新的条件确定更好的回归模型系数，得到新的回归模型4.对模型进一步改进，确定最终的模型四、符号约定牙膏销售量为y，其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为x1，公司投入的广告费用为x2，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为x3和x4,x1=x3-x4。

基于上面的分析，我们仅利用1x和2x来建立y的预测模型。

五、模型的建立和求解1.基本模型利用表1-1的数据用matlab 作出y 与x1的散点图（图1-1），y 与x2的散点图（图1-2） 代码如下：x1=[-0.05 0.25 0.6 0 0.25 0.2 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.2 0.1 0.4 0.45 0.35 0.3 0.5 0.5 0.4 -0.05 -0.05 -0.1 0.2 0.1 0.5 0.6 -0.05 0 0.05 0.55];x2=[5.5 6.75 7.25 5.5 7 6.5 6.75 5.25 5.25 6 6.5 6.25 7 6.9 6.8 6.8 7.1 7 6.8 6.5 6.25 6 6.5 7 6.8 6.8 6.5 5.75 5.8 6.8];y=[7.38 8.51 9.52 7.5 9.33 8.28 8.75 7.87 7.1 8 7.89 8.15 9.1 8.86 8.9 8.87 9.26 9 8.75 7.95 7.65 7.27 8 8.5 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26];A1=polyfit(x1,y,1); yy1=polyval(A1,x1); A2=polyfit(x2,y,2); x5=5:0.05:7.25; yy2=polyval(A2,x5);subplot(1,2,1);plot(x1,y,'o',x1,yy1); title('图1 y 对x1的散点图'); subplot(1,2,2);plot(x2,y,'o',x5,yy2); title('图2 y 对x2的散点图');图（1-1）与图（1-2）从图1可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型：011y x ββε=++（1）拟合的（其中ε是随机误差）。

数学建模作业题目：基金使用计划教学班：教学X班组员:指导老师：二〇〇九年十二月一日一、摘要在社会生活中，我们常会遇到一笔资金有很多不同的投资机会，面对这些机会，我们可以选择不同的投资方式,从而使这笔资金在一段时间内达到收益最大化。

本文涉及的问题是基金会的一笔资金，每年都要用一部分本息进行必要的资助，每年的资助金额要求大致相同,在可以将其存入银行业可购买国库券的俩中投资方式机会下,怎样安排一个几年的计划，时期每年用于资助的金额尽可能多，而且几年后仍然保留原有的金额不变。

本文给出了基金存款策略的数学模型。

对于基金M使用n年的情况而言，首先把M 分成n份，其中第i(1≤i≤n)份存款Mi存期为i年,那么只有当第i（i≤n-1)份资金按最佳存款策略存款到期后的本息和等于当年的资助金额，并且第n份资金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。

通过求解此模型,我们得到了基金的最佳存款策略，并求出了在n= 10 年， M= 2000 万元的情况下,基金的最佳使用方案。

在可存款也可购买国库券时，采取一种转化方法，将国库券购买情况转化为相应年期的定期存款，结合问题(一）即可求得在n=10年,M=2000万元的情况下，基金的最佳使用方案；在第八年基金会庆祝时资助金额比其它年度多20%的问题的分析方法和模型的解决方法与前相同。

二、问题的重述某基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。

当前银行存款及各期国库券的利率见下表.假设国库券每年至少发行一次,发行时间不定。

基金会计划在n年内每年用部分本息进行必要的资助，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。

基金会希望获得最佳的基金使用计划,以提高每年的奖金额。

请你帮助基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=2000万元，n=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券；2．可存款也可购国库券；3．在基金到位后的第8年为庆祝基金会的资助成果，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

数学建模有趣的例子
1. 嘿，你知道吗？数学建模能帮我们规划最优的快递配送路线呢！就像给快递小哥设计一条超级捷径，让包裹能最快到达我们手中。

这是不是很有趣呀？
2. 哇塞，数学建模还可以用来模拟传染病的传播呢！就如同解开一个神秘疾病扩散的谜团，太奇妙了吧。

3. 哎呀，想想看，用数学建模来优化城市交通信号灯的时间安排，这不就像是给城市的交通脉络做了一次精心梳理嘛，多有意思啊！
4. 嘿，数学建模甚至能帮助农民伯伯确定最佳的种植布局呢！是不是感觉像给田地施了一次神奇的魔法呀。

5. 哇哦，通过数学建模来分析股票的走势，那不就像是在股海里找到正确的航向嘛，这可太引人入胜啦！
6. 天哪，数学建模可以帮助消防员确定最佳的救援路线，这简直就是给生命开辟快速通道啊，太厉害了吧！
7. 哈哈，数学建模能用来给超市设计最合理的货架摆放呢！这不就像是给商品们找到了最舒适的家嘛。

8. 你想想，利用数学建模来预测天气变化，岂不是像拥有了提前知晓大自然秘密的超能力，有趣极了呀！
我觉得数学建模真的是充满了无限可能和乐趣，它在各个领域都能发挥出神奇的作用，让我们的生活变得更加美好和高效。

7、气象预报问题-在气象台A的正西方向300km处有一台风中心，它以-40km/h的速度向东北方向移动；根 台风的强度，在距-其中心250km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象-台所在地区将遭受台风的影响？持续 间多长？-此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象-预报，现建立解析几何模型加以探-以气象台A为坐标 点建立-平而直角坐标系，设台风中心为B,-如图
某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路-返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中-至少存在一地，此人在 天中的同一时间到达该-假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一-人在同一天由B去A,问题就化为在什么条 下，两-人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：-只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，-两人 会在途中相遇。
1.皮的厚度一样2.汤圆（饺子）的形状-假设-R大皮的半径，r小皮的半-模型-S=ns-S=k R,V=k R3V=kS2-s=kr2,v=kr3 v=ks2-=n32v-应用-V=√nv≥vv是nv是√n倍-若1 0个汤圆（饺子包1公斤馅，-则50个汤圆（-问题杀羊方案-现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，-问各天分别杀几只？-分析：-1 这是一个有限问题，解决此类问题的一-类方法是枚举，你可以试试。-建模：-2.依题意，设第i天杀2k,+1k 自然数只，-则所提问题变为在自然数集上求解方程-之2k,+10=26-i=1-于是，我们有了该问题的数学语 表达—数学模型-求解：-用反证法容易证明本问题的解不存在。-返回
x+y=l-y+z=m-x+7=n-由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根-电线的电阻。-说明：此问题 难，点也是可贵之处是用方程-“观点”、”立场”去分析，用活的数学思想使实-际问题转到新剑设的情景中去。-返

一 北京飞至底特律的航程计算北京0A （北纬40°，东经116°），底特律坐标11A （北纬43°，西经83°）， 纬度以北为正，南为负；经度以东为正，西为负。

而且以下计算中，飞机航线途中站点经纬度用表一的数据。

表一站点 A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 纬度B （°） 40 31 36 53 62 59 经度L （°）116 122 140 -165 -150 -140 站点 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 纬度B （°） 55 50 47 47 42 43 经度L （°）-135-130-125-122-87-83设椭球体上任意两点10,2,1,0),,(),,(111 =+++i L B A L B A i i i i i i ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-=-=+++++).sin(),cos (cos )(),sin (sin )(1311221121i i i i i i i i i i L L n tgB L tgB L a b n tgB L tgB L a b n 其中a =6388千米，b =6367千米，21032221,||n n arctgn n n n =+=ϕ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=++=++=2022202022220222)(sin )sin(sin )(sin cos )(sin b L n a L abn z L b L n a ab y Lb L n a ab x ϕϕϕϕ曲面上两点的弧长公式用|)()()(|21222dL L z L y L x S L L ⋅'+'+'=⎰。

试求北京至底特律的航程，你能对上述公式进行简化处理吗？精度如何？二 抢渡长江选手的竞游路线图用⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θθsin )(cos u dt dy y v u dt dx，初始条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====HT y L T x y x )()(0)0(0)0( 画出)(x y y =的图像 。

5
建模实例
图中椅脚连线为正 方形ABCD，对角线 AC与x轴重合 椅子 绕中心点旋转角度 后，正方形ABCD转 至A`B`C`D`的位置， 所以对角线AC与x
2024/5/10
6
建模实例
轴的夹角 表示了椅子的位置。 其次要把椅子脚着地，用数学符号表示出 来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖 直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚 着地了，椅子在不同的位置椅脚与地面的 距离不同，所以这个距离就是位置变量 的 函数。
2024/5/10
27
建模实例
阻滞增长模型（Logistic模型）
将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按照前 面的分析，r(x)应是x的减函数。一个最简单的 假设是设 r(x)为x的线性函数， r(x)=r-sx, s>0, 这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率， 它与指数模型中的增长率r不同，显然，对于 任意的x>0，增长率r(x)<r。为确定系数s的意 义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大 人口数量xm, 称为最大人口容量。
2024/5/10
15
建模实例
安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合， 记作S，不难写出
S={（x,y）|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2} - (1)
记第k次渡船上的商人数为uk ,随从数为vk ,将 二维向量dk = (uk,vk)定义为决策，允许决集合 记作D，由小船的容量可知
2024/5/10
14
建模实例
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量 表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变 化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围 内，确定每一步的决策，达到渡河的目标 模型的过成： 记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk, k=1,2,……，xk , yk =0,1,2,3，将二维向量 sk=(xk,yk)定义为状态，

初中数学建模举例所谓数学建模，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设，找出这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。

笔者以一次函数的应用为例，探讨几种不同的数学建模过程。

一、直接给出模型例1.已知弹簧的长度y在一定的限度内是所挂物质重量x的一次函数。

现已测得所挂重物重量为4kg时，弹簧的长度是7.2cm；所挂重物重量为5kg时,弹簧的长度为7.5cm。

求所挂重物重量为6kg 时弹簧的长度。

既然题干中已经明确给出了y与x之间具备的是一次函数关系，那么实际上本题目中数学建模过程已经被省略掉了。

可以设数学模型为y=kx+b，将已知的两个条件分别代入这个模型关系式中，可得：7.2=4x+b，7.5=5x+b。

求解二元一次方程组，得出k=0.3，b=6。

从而得到模型y=0.3x+6，将x=6代入该模型中，得到y=7.8。

于是得到该问题的最终结果，即当所挂物体重量为6kg时，弹簧长度为7.8cm。

这种直接给出数学模型的方法，在初学一次函数理解其待定系数法时，不失为一种较为合适的数学题目设计。

但是从数学应用的角度来看，不利于锻炼学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。

二、猜测建立模型例2.爸爸穿42码的鞋，长度为26cm；妈妈穿39码的鞋，长度为24.5cm。

小明穿41码的鞋子，长度为多少？可以设数学模型为y=kx+b，将已知的两个条件分别代入到这个模型关系式中，可得：26=42k+b，24.5=39k+b。

求解二元一次方程组，得解k=0.5，b=5。

得到模型y=0.5x+5，将x=41代入该模型中，得到y=25.5。

从而得到该问题的最终结果，即小明所穿的41码的鞋子，长度为25.5cm。

本例至此，似乎已经解决了问题。

但实际上，如果只知道两对已知的函数数值，还不能否定尺码和长度之间是否存在着其他函数关系，譬如二次函数关系。

因此，在该题目的题设中应该再给出一个条件，比如可以再给出“妹妹穿36码的鞋，长度为23cm”，以便获得一次函数模型后的验证。

数学建模获奖作品范例数学建模是一种通过数学模型来解决实际问题的方法。

许多学生和研究人员都参与了数学建模竞赛，通过自己的努力和创新，获得了获奖的机会。

本文将以数学建模获奖作品范例为主题，介绍一些获奖作品的内容和方法，以期激发更多人对数学建模的兴趣和热情。

一、基于人口增长的城市规划优化在城市规划过程中，人口增长是一个重要的考虑因素。

一组学生在数学建模竞赛中提出了一种基于人口增长的城市规划优化模型。

他们首先收集了一座城市的人口数据，并通过数学方法对未来的人口增长进行预测。

然后，他们建立了一个优化模型，考虑了城市的土地利用、交通网络和公共设施等因素，以最大化城市的可持续发展和居民的生活质量。

通过对模型的求解和分析，他们得出了一些关于城市规划的有价值的结论，并在竞赛中获得了一等奖。

二、基于数据挖掘的股票预测模型股票市场是一个充满不确定性的领域，许多投资者希望能够通过分析历史数据来预测未来的股票走势。

一组研究人员在数学建模竞赛中提出了一种基于数据挖掘的股票预测模型。

他们首先收集了大量的股票市场数据，并通过数学方法对这些数据进行分析和挖掘。

然后，他们建立了一个预测模型，可以根据历史数据预测未来的股票走势。

通过对模型的验证和比较，他们发现这个模型在股票预测方面具有一定的准确性和可靠性，因此在竞赛中获得了特等奖。

三、基于运筹学的物流优化模型物流是现代经济中一个重要的环节，对于企业的运营效率和成本控制都起着至关重要的作用。

一组学生在数学建模竞赛中提出了一种基于运筹学的物流优化模型。

他们通过收集一家物流公司的运输数据和成本数据，建立了一个数学模型来优化物流网络和运输路径。

通过对模型的求解和分析，他们得出了一些关于物流优化的有益结论，为物流公司提供了一些建议和改进措施。

他们的工作得到了评委的认可，获得了一等奖。

四、基于图论的社交网络分析模型社交网络在当今的互联网时代中扮演着重要的角色，许多人希望能够通过分析社交网络的结构和关系来了解人际关系的特点和演变规律。

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实用标准
分析与假设
①将 243 颗珠子平均分成 3 份，每份 81 颗，任取其 2 份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另 1 份中；若不平衡则
稍重的一颗在天平下沉的 1 份中.
②在找出含有稍重珠子的一份中（含 81 颗），再将其 81 颗珠子平均分成 3 份，每份 27 颗，任取其 2 份放置在天平两边，若 平衡则稍重的一颗在另 1 份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的 1 份中.
③在找出含有稍重珠子的一份中（含 27 颗），再将其 27 颗珠子平均分成 3 份，每份 3 颗，任取其 2 份放置在天平两边， 若平衡则稍重的一颗在另 1 份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的 1 份中.
④在找出含有稍重珠子的一份中（含 1 颗），再将其 3 颗珠子平均分成 3 份，每份 1 颗，任取其 2 颗放置在天平两边，若 平衡则另 1 颗稍重的一颗；若不平衡则稍重的一颗为天平下沉的 1 颗.
【8】甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走 20 千米，已知每人最多可带一个人 4 天的食物和水。如果允许将部分食物存放于途 中，其中 1 人最远可深入沙漠多少千米？（要求最后两人返回出发点）
分析与假设 要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和 水？
练习题
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实用标准
小敏把 100 只彩色小灯泡串联起彩灯，用来布置教室，可是其中有只小灯泡坏了，这可急坏了小敏。你能用最速捷的方法很快地找出了 那只损坏的小灯泡吗？
【7】水果店进了十筐苹果，每筐
10 个，共 100 个，每筐里的苹果重 量都一样，其中有九筐每个苹果的 重量都是 1 斤，另一筐中每个苹果 的重量都是 0.9 斤，但是外表完全 一样，用眼看或用手摸无法分辨。 现在要你用一台普通的大秤一次把 这筐重量轻的找出来。你可以办到么？

1.整数规划的蒙特卡洛解法2015-06-10 (2)2. 罚函数法 2015-06-11 (3)3. 层次分析 2015-06-12 (4)4. 粒子群优化算法的寻优算法--非线性函数极值寻优 2015-06-13 (5)5有约束函数极值APSO寻优 2015-06-14 (12)6.模拟退火算法 TSP问题2015-06-15 (17)7. 右端步连续微分方程求解2015-06-16 (19)8. 多元方差分析 2015-06-17 (22)9. 基于MIV的神经网络变量筛选 2015-06-18 (25)10. RBF网络的回归--非线性函数回归的实现 2015-06-19 (29)11. 极限学习机在回归拟合中的应用 2015-06-20 (32)12. 极限学习机在分类中的应用 2015-06-21 (34)13. 基于PSO改进策略 2015-06-22 (37)14. 神经网络遗传算法函数极值寻优 2015-06-23 (46)1.1.整数规划的蒙特卡洛解法2015-06-10 已知非线性整数规划为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤++≤++≤++++≤++++=≤≤-----++++=200520062800622400)5,....,1(9902328243max 54233216432154321543212524232221x x x x x x x x x x x x x x x x i x x x x x x x x x x x z i如果用显枚举试探，共需要计算100^5=10^10个点，其计算量非常大。

然而应用蒙特卡洛去随机模拟计算10^6个点，便可以找到满意解，那么这种方法的可信度究竟怎么样呢？ 下面就分析随机采样10^6个点计算时，应用概率理论估计下可信度。

不是一般性，假设一个整数规划的最优点不是孤立的奇点。

假设目标函数落在高值区的概率分别为0.01，0.00001，则当计算10^6个点后，有任一个点落在高值区的概率分别为：1-0.99^1000000=0.99...99(100多位) 1-0.99999^1000000=0.999954602解 （1）首先编写M 文件 mengte.m 定义目标函数f 和约束向量g,程序如下：function [f,g]=mengte(x);f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-... x(4)-2*x(5); g=[sum(x)-400x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800 2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200 x(3)*x(3)+x(4)+5*x(5)-200];（2）编写M 文件mainint.m 如下求问题的解： rand('state',sum(clock)); p0=0; ticfor i=1:10^5x=99*rand(5,1);x1=floor(x);%向下取整 x2=ceil(x);%向上取整 [f,g]=mengte(x1); if sum(g<=0)==4 if p0<=f x0=x1; p0=f; end end[f,g]=mengte(x2); if sum(g<=0)==4 if p0<=fx0=x2; p0=f; end end end x0,p0Matlab 求解整数规划祥见第二章（优秀教材）2.罚函数法 2015-06-11利用罚函数法，可将非线性规划问题的求解，转化为求解一系列无约束极值问题，因而也称这种方法为系列无约束最小化技术，简记为SUMT 。