复数复习课

3 模长和角度
复数的模长是复数到原点的距离，角度是复 数与正实轴的夹角。
4 欧拉公式
欧拉公式是复数的一种表示形式，将复数表 示为以e为底的指数函数。
解析式
复数的三角式
将复数写成模长和角度的形式，使用三角函数表示。
指数形式
将复数写成以e为底的指数函数的形式，使用指数运算表示。
复数在实际中的应用
电学中的应用
复数在交流电路分析中起着重 要作用，可以描述电流和电压 之间的关系。
机械中的应用
复数在机械振动和波动的计算 中有广泛应用，可以描述物体 的运动和振幅。
物理中的应用
复数在光学和量子力学中有重 要应用，可以描述光的干涉和 物质的量子态。
结语
复数的重要性
复数在数学和科学领域具有重要的地位，可以描述和解决许多实际问题。
《复数复习课》PPT课件
欢迎来到《复数复习课》！在本课程中，我们将深入了解复数的概念、运算 和性质，以及在实际中的应用。让我们开始吧！
复数概述
定义
复数是由实数和虚数构成的数，形式为a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数形式
复数可以写成代数形式、指数形式和三角形式。
复数表示方法
复数可以用直角坐标系或极坐标系表示。
复数的运算
复数加法
复数相加的规则是将 实部相加，虚部相加。
复数法
复数相减的规则是将 实部相减，虚部相减。
复数乘法
复数相乘的规则是使 用分配律进行运算。
复数除法
复数除法的规则是求 复数的共轭，然后进 行乘法运算。
复数的性质
1 共轭复数
2 虚部为零的复数
共轭复数是将复数的虚部取负得到的新复数。

把集合C={a +bi |a,b∈R}中的数，即形如a+bi(a,b∈R)
的数叫做复数。 其中 i 叫做虚数单位 i 21 全体复数所成的集合C叫做复数集。 复数通常用字母 z 表示，即
z a bi
实部 虚部
(a, b R)
复数集
虚数集 纯虚数集 实数集
----复数的代数形式
复数的几何意义:
例6
若
z 2 ，求 z i
的最大值。
例7 若 z bi(b R) ，若使 z 2 i z 2 3i 的最小，求b的值。
实数m取什么值时，复数
(m 8m 15) (m 5m 14)i
2 2
对应的点
（1）位于第一、三象限？
（2）位于第四象限？
复数z满足z〃 z +z+ z =3，则z对应点的轨 迹是________.
例 5、下列命题中的真命题的 为： ( A ) 若 Z 1 + Z 2 = 0, 则 #43; Z 2 = 0, 则 Z 1与 Z 2互为共轭复数。 ( C ) 若 Z 1 - Z 2 = 0, 则 Z 1与 Z 2互为共轭复数。 ( D ) 若 Z 1 - Z 2 = 0, 则 Z 1与 Z 2互为共轭复数。
4 n 2
1, i
4 n 3
i
例1、计算 (1) (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (2) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。 (3)
(4)
i
2002
例2 如果复数
2 50 ( 2 2i) ( ) 1 i 2 bi
8
（其中i为虚数单位，b为实 1 2i )

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(1)复数
4cos
π6＋isin
π6的模 r＝4，辐角的主值为 θ＝
4cos
π6＋isin
π6＝4cos
π6＋4isin
π 6
＝4× 23＋4×12i
＝2 3＋2i.
栏目 导引
第七章 复 数
3
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个人简历：课件/j ia nli/
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栏目 导引
解析：6cosπ3＋isinπ3×4cosπ6＋isinπ6
＝24cosπ3＋π6＋isinπ3＋π6
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个人简历：课件/j ia nli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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＝24i.课件 课件
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6cosπ3＋isinπ3÷4cosπ6＋isinπ6
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的形式，其中，r 是复数 z 的_模____；θ 是以 x 轴的非负半轴为始
边，向量O→Z所在射线(射线O→Z)为终边的角，叫做复数 z＝a＋bi
的辐角，我们规定在 0≤θ<2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主
值，通常记作 argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数 z＝a＋bi 的三角表
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手抄报：课件/shouchaobao/
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复数的概念数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．【例1】 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时， (1)z ∈R ；(2)z 为虚数．[思路探究] 根据复数的分类列方程求解．[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0，③由②得x ＝4，经验证满足①③式． 所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0，③由①得x >3＋212或x <3－212. 由②得x ≠4，由③得x >3.所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．1．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．[解析] (1)因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.(2)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋b i ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1．法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1．[答案] (1)D (2)1复数的四则运算21)，除法运算注意应用共轭的性质z ·z 为实数．【例2】 (1)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z －＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i[思路探究] (1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解． (2)利用方程思想求解并化简．[解析] (1)∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴z i ＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.[答案] (1)C (2)A2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z的值为( ) A.35＋45i B.35－45i C ．－35＋45iD ．－35－45i[解析] 因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i1＋2i＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以zz ＝2＋i2－i＝(2＋i )25＝35＋45i.[答案] A复数的几何意义b )来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．【例3】 (1)在复平面内，复数i1＋i对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内，复数1－2i2＋i 对应的点的坐标为( )A ．(0，－1)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35 [思路探究] 先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． [解析] (1)复数i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.∴复数i1＋i在复平面内对应的点位于第一象限．故选A. (2)∵1－2i2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A.[答案] (1)A (2)A3．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H[解析] (1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．[答案] (1)A (2)D转化与化归思想何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．【例4】 设z ∈C ，满足z ＋1z ∈R ，z －14是纯虚数，求z . [思路探究] 本题关键是设出z 代入题中条件进而求出z . [解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则 z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ， ∵z ＋1z ∈R ， ∴y －yx 2＋y 2＝0，解得y ＝0或x 2＋y 2＝1，又∵z －14＝x ＋y i －14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋y i 是纯虚数．∴⎩⎨⎧x －14＝0，y ≠0，∴x ＝14，代入x 2＋y 2＝1中，求出y ＝±154， ∴复数z ＝14±154i.4．满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．[解] 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i ，z ＋3＝x ＋3＋y i. 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5yx 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y ，因为y ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件．1．设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12 C ．1 D. 2 [解析] ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1．故选C.[答案] C2．在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]11－i＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，对应点位于第四象限，故选D. [答案] D3．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3[解析] (1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ， 由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3. 故选A. [答案] A4．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1．故实数m 的取值范围为(－3,1)．[答案] A5．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2[解析] ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1． ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B. [答案] B 6．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i[解析] 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i.故选C.[答案] C7．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C．p2，p3D．p2，p4[解析]设z＝a＋b i(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋b i＝a－b ia2＋b2∈R，则b＝0⇒z＝a＋b i＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋b i)2＝a2＋2ab i－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋b i＝b i∉R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D/⇒a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋b i∈R，则b＝0⇒z＝a－b i＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.[答案] B。