线代分章真题(2010-2012九套)

2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。

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第四章 特征值与特征向量综述：特征值与特征向量是线性代数的重要内容，也是重要的考点之一。

这一部分既是对前面矩阵、线性方程组的知识的综合应用，也是后面二次型的基础。

在考试中，本章所涉及的题目多，分值大，平均每年考查的分值在10分左右。

本章的主要知识点有：特征值特征向量的定义，特征值与特征向量的相关性质，矩阵的相似，矩阵相似对角化的条件，实对称矩阵的性质，实对称矩阵的正交相似对角化。

在复习时，考生首先应该理解特征值特征向量的定义，掌握其计算方法和常用的性质。

在此基础之上，再理解矩阵的相似对角化及其条件。

最后，对于实对称矩阵这一块要注意掌握它的特殊性质，再结合前面特征值特征向量以及矩阵相似对角化的相关知识。

本章常考的题型有：1.特征值与特征向量的定义与性质，2.矩阵的相似对角化，3.实对称矩阵的相关问题，4.综合应用。

常考题型一：特征值特征向量的定义与性质1.【2008—1 4分】设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量12120,2A A αααα==+，则A 的非零特征值为 .2.【1999—1 3分】设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是_________3.【2009—1 4分】若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中Tα为α的转置，则矩阵T βα的非零特征为___________4.【2005—123 4分】设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是（ ）()A 01≠λ()B 02≠λ()C 01=λ()D 02=λ5.【1998—1 3分】设A 为n 阶矩阵，||0A ≠，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值.6.【2003—1 10分】设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.7.【1999—13 8分】设矩阵15310a c A b c a -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪--⎝⎭，其行列式||1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为T(1,1,1)α=--，求a b c 、、和0λ的值.8.【2002—2 3分】矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）． 9.【2008—2 4分】设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.10.【2008—23 10分】设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.11.【2009—3 4分】设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k =______12.【2009—2 4分】设αβ，为3维列向量，Tβ为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα________ 13.【2013—1 4分】设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵Txx E -的秩为________14.【2008—3 4分】设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.15.【1999—3 3分】设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则()A E A E B λλ-=-()B A 与B 有相同的特征值和特征向量()C A 与B 都相似于一个对角矩阵 ()D 对任意常数t ，tE A -与tE B -相似16.【1998—3 9分】设向量，()()1212,,,,,,,TTn n a a a b b b αβ==L L 都是非零向量，且满足条件0Tαβ=.记n 阶矩阵T A αβ=.求：（1）2A ； （2）矩阵A 的特征值和特征向量.17.【2002—3 4分】设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵。

2012年1月(A卷解答)2011~2012学年秋季学期线性代数（B ）(A 卷)课程考试试题（解答）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1. 设,A B 都是n 阶矩阵，且它们的行列式分别为3 2 A B ==-，，则AB 2= 62 n-⨯．2．若向量组T T T123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)t ααα===线性相关，则t = 5 ．3. 设n 阶矩阵A 与B 相似，且3A E +不可逆，则B 的一个特征值为 3 -．4．设3阶矩阵A 的特征值互不相同, 若行列式||0=A , 则A 的秩为 2 ．5. 若二次型()()222212312332f x ,x ,x x t x t x =+--是正定的，那么t 取值范围为 20 t <．二、 选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．已知四阶行列式312D 201321=-，则13332A A +的值为【 C 】．（其中ijA 为行列式D 中元素a ij 的代数余子式．）(A) 2； (B) 1； (C) 0； (D) 3． 2． 设12,,,sa a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【 B 】．(A) 对于任意一组不全为0的数12,,,sk k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠，则12,,,sa a a 线性无关；(B) 若12,,,sa a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,sk k k 都有s s k a k ak a 1122,0+++=；(C) 12,,,sa a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ；(D) 若12,,,sa a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 3. 设3阶矩阵A 的特征值为123221λλλ==-=，，，对应的特征向量依次为123,,p p p ，令()123,,P =p p p ，则1-PAP =【 D 】．(A) 200020001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (B) 100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭； (C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；(D)200020001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.4. 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是其对应的齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则Ax b=的通解为【 A 】． (A)k k k k R 112212121()(,)2ααββ+++∈； (B)k k k k R 112212121()(,)2ααββ++-∈;(C)k k k k R 1122112(,)ββα++∈； (D)11!ni n i==∑10分四、（本题满分10分）设矩阵300011014A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，361123B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足B X AX +=2，求矩阵X .解答：由BX AX +=2得，(2)A E X B-=4分1100(2)021011A E -⎛⎫⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭8分1(2)X A E B -=-=100021011⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭361123⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭364132⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭10分 或1003610036(2,)01111 010410122300132A E B r ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，X =364132⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭．五、（本题满分14分，第1题10分，第2题4分）1. 已知非齐次线性方程组121312311x x x x x ax x b+=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩ ；（1）求参数的值为何值时，方程组无解，有无穷多解，有惟一解；（2）并在有解时，求其解． 2. 设矩阵1234(,,,)αααα=A ，矩阵A的秩()3R =A ，且234,ααα=+12βαα=-+3α4α-，求方程β=Ax 的通解．解答：1. 对增广矩阵进行行初等变换，得 11011101(,)1011 0110110021A b r a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，3分 （1）21a b =≠，时，方程组无解； 4分2a ≠时，方程组有惟一解；5分21a b ==，时，方程组有无穷多解解；6分 （2）惟一解为1231121212b x a b x a b x a -⎧=+⎪-⎪-⎪=⎨-⎪-⎪=⎪-⎩8分21a b ==，时，11011011(,)1011 0110110000A b r a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通解为1110()10x k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分2．由()3R A =知，齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含一个非零的解向量．由于234,ααα=+，则有123401(,,,)011⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭αααα，于是0111⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是齐次线性方程组Ax =基础解系． 2分由12βαα=-+3α4α-，则有123411(,,,)11⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ααααβ，3分于是1111η*⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭是方程β=Ax 的特解，故β=Ax 的通解为()x k k R ξη*=+∈． 4分六、（本题满分14分）已知二次型T 21221232313(,,)222(0)f x x x x Ax =ax x x bx x b =+-+>，其中f 的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12．(1) 求a ，b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．解答：(1) 二次型f的矩阵为002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭2分设A 的特征值为iλ（1, 2, 3i =）． 由题设条件，有1232(2)1a λλλ++=++-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=-，解得1, 2a b ==．4分(2) 矩阵A 的特征多项式()21020202(3)22A E λλλλλλ--=-=--+--，所以A的特征值122λλ==，33λ=-． 7分对于122λλ==，解齐次线性方程组(2)0A E x -=，得对应的特征向量T1(2,0,1)a =， T2(0,1,0)a =．9分 对于33λ=-，解齐次线性方程组(3)0A+E x =，得对应的特征向量T3(1,0,2)a=-． 10分由于1a ，2a ，3a 已是正交向量组，只需将1a ，2a ，3a 单位化，由此得T155β=，T2(0,1,0)β=，T355β=．令矩阵()123055,,010055Q βββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪ ⎝，则Q 为正交矩阵．在正交变换=X QY 下，有T 200020003Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭，13分且二次型f的标准形为222123223f y y y =+-．14分七、（本题满分12分，每小题各6分）证明下列各题： 1. 若向量1234,,,ξξξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的解向量，那么它们的线性组合11223344k k k k ξξξξ+++也是该方程组解向量的充分必要条件是12341k kk k +++=；2. 设A 是n 阶矩阵，1λ和2λ是A 的两个不同的特征值，12,ηη是A的属于特征值1λ的两个线性无关的特征向量，3η是A的属于特征值2λ的特征向量，证明：123,,ηηη线性无关．证：1. 向量1234,,,ξξξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的解向量，则(1,2,3,4)iA b i ξ==， 2分于是，11223344112233441234() (),A k k k k k A k A k A k A k k k k b ξξξξξξξξ+++=+++=+++4分 故11223344k k k k ξξξξ+++也是该方程组解向量的充分必要条件是12341k k k k +++=． 6分 2. 令1122330k k k ηηη++=． (1)2分用A 左乘上式得1122330k A k A k A ηηη++=，由111212323,,A A A ηληηληηλη===得，1112123230k k k ληληλη++=． (2)1(1)(2)λ⨯-得3123()0k λλη-=，由12λλ≠，30η≠，知30k =，代入(1)得11220k k ηη+=，4分 再由12,ηη线性无关知，120k k ==，故123,,ηηη线性无关． 6分八、（本题满分6分）设A 为3阶实对称矩阵，且A 的秩()2R A =，已知111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求： A 的所有特征值及每一个特征第 11 页 共 11 页 11 值所对应的特征向量．解答：由111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得，111100, 001111A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则11λ=-是A 的特征值，p k k 110(0)1⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭是与之对应的特征向量， 2分21λ=是A 的特征值，p k k 210(0)1⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭是与之对应的特征向量． 4分 由()2R A =知，30λ=是A 的特征值．设与30λ=对应的特征向量为1323x p x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于A 为3阶实对称矩阵，故3p 分别与12, p p 正交，于是有121200x x x x -=⎧⎨+=⎩，则p k k 301(0)0⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭ ．6分。

全国 2010 年度 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．已知 2 阶行列式a1a 2m ， b1 b2 n ，则 b 1 b 2（ B ）b 1 b 2c 1 c 2 a 1 c 1 a 2 c 2A ． m nB ． n mC ． m nD ． (m n)b 1b 2b 1 b 2 b 1 b 2m nn m ．a 1 c 1 a 2c 2 a 1a 2 c 1c 22．设 A , B , C 均为 n 阶方阵， AB BA ， AC CA ，则 ABC （ D）A ． ACBB ． CABC ． CBAD ．BCAABC ( AB)C(BA)C B( AC ) B(CA)BCA ．3．设 A 为 3 阶方阵， B 为 4 阶方阵，且 | A | 1 ， | B | 2 ，则行列式 || B | A |之值为（ A）A ． 8B ． 2C ． 2D ．8|| B | A | | 2A | ( 2) 3 | A |8 ．a11a12a 13 ，a 113a 12a13， 1 0 0，1 0 0，则 B （ B）4．A a 21 a 22a 2321 3a 22a 23B aP 0 3 0 Q 3 1 0a 31a32a33a313a 32a330 0 1 0 0 1A ． PAB ．APC ． QAD ．AQa 11 a 12 a 13 1 0 0a 11 3a 12 a 13 B ．AP a 21a 22 a 230 3 0 a 21 3a 22a 23a31a32a330 0 1a313a 32a335．已知 A 是一个 34 矩阵，下列命题中正确的是（C）A ．若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩 ( A )=2B ．若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩 ( A )=2C ．若秩 ( A )=2 ，则 A 中所有 3 阶子式都为 0D ．若秩 ( A )=2 ，则 A 中所有 2 阶子式都不为 06．下列命题中错误的是（C）．．A．只含有 1 个零向量的向量组线性相关B．由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C．由 1 个非零向量组成的向量组线性相关D． 2 个成比例的向量组成的向量组线性相关线性无关，1 , 2 , 3 , 线性相关，则（D）7．已知向量组1,2 , 3A． 1 必能由 2 , 3 ,线性表出B．2必能由 1 , 3 ,线性表出C． 3 必能由 1 , 2,线性表出D．必能由 1 , 2 , 3 线性表出注： 1 ,2,3是 1 ,2,3,的一个极大无关组．8．设A为m n矩阵，m n，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是 A 的秩（D）A．小于m B．等于m C．小于n D．等于n 注：方程组 Ax=0有 n 个未知量．9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（A）A．A T B．A2C．A1D．A| E A T | | (E A)T| |E A |，所以A与 A T有相同的特征值．10．二次型 f ( x1, x2, x3)x12x22x322x1 x2的正惯性指数为（C）A． 0B．1C． 2D．3f (x1 , x2 , x3 )( x1x2 ) 2x32y12y22，正惯性指数为2．二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11．行列式20072008的值为 _____________．200920102007200820002000782．200920102000200091012．设矩阵A1 1 3， B20，则 A T B_____________．2010112022A T B1220．01361 113 ．设(3,1,0,2) T，(3,1,1,4) T，若向量满足 2 3 ，则__________．32(9,3,3,12) T(6,2,0,4) T( 3,5,3,8)T．14．设A为n阶可逆矩阵，且| A |1，则 | | A1| _____________．n| A 1 |1n ．| A |15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0的解，则| A |_____________．n 个方程、 n 个未知量的Ax=0有非零解，则| A |0．16．齐次线性方程组_____________．x1x2x30的基础解系所含解向量的个数为2x1x23x30A 1 11 1 11，基础解系所含解向量的个数为213031n r 3 21．17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是 3 ，则矩阵1 A21必有一个特3征值为 _________．，则1A2有特征值1( 3) 2 3 ，1A21A 有特征值3有特征值1．333318．设矩阵A 1222x0 的特征值为 4,1, 2 ，则数 x _____________．200由 1 x 0 4 1 2 ，得 x 2．a 1 / 2019．已知A 1/ 2b0是正交矩阵，则 a b _____________．001由第 1、2 列正交，即它们的内积1( a b) 0 ，得 a b0．20．二次型 f ( x1, x2, x3)4x1x22x1 x36x2 x3的矩阵是_____________．02120 3 ．130三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21．计算行列式Da b ca2 b 2 c 2的值．a a3b b3c c3解： Da b c a b c111 a 2b2 c 2 a 2 b 2c2abc a b c a a 3 b b3 c c3 a 3 b 3c3 a 2b2 c 2abc( b a)( c a)11abc(b a)(c a)(c b) ．b ac a22．已知矩阵B(2,1,3)， C(1,2,3) ，求（1） A B T C ；（2） A2．解：（1）A B T C 22461 (1,2,3)123；33692（2）注意到CB T(1,2,3) 113 ，所以3246A2(B T C)( B T C)B T (CB T ) C13B T C 13A13123．36923．设向量组1(2,1,3,1) T , 2(1,2,0,1) T ,3( 1,1,3,0) T , 4 (1,1,1,1)T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．211111011101解： A ( 1, 2, 3121112110110, 4 )0313*******3110121110111 110111011011011001100110，向量组的秩为3，1,2,4000200010001000100000000是一个极大无关组，31 2．24．已知矩阵A 1231401 2 ，B25．（1）求A1；（ 2）解矩阵方程AX B．00113解：（1）( A, E )123100120103 012010010012 0010010010011001211210 1 0 0 12， A 10 12；001001001（2）X A1B 12114490 1 2 2 50 11．001131325．问a为何值时，线性方程组x12x23x342x2ax3 2 有惟一解？有无穷多2x12x23x36解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．123412341234解：( A, b)02 a 202a202a2．2236023200 a 3 012341204 a3时，r ( A, b)r ( A) 3 ，有惟一解，此时 ( A, b)02a202020010001010021002x1202020101， x2 1 ；00100010x3012 3 4 a 3 时， r ( A,b) r ( A)2 n ，有无穷多解，此时 ( A,b)02 3 20 0 01 0 02 1 0 0 2 x 12 230 2 3 2 0 1 3 / 2 1 ， x 2 1，通解为 1k 3 / 2 ，其中 k 为x 30 0 0 00 0 02 01x 3x 3任意常数．2 0 026．设矩阵 A 03 a 的三个特征值分别为1,2,5 ，求正的常数 a 的值及0 a 3可逆矩阵 P ，使 P 1 AP1 0 00 2 0 ．0 0 52 0 03 a解：由 | A |0 3 a 22 (9a 2) 1 2 5 ，得 a24 ， a2 ．a 3 0 a32 0E A0 3 2 ．23对于 11，解 ( E A) x 0 ：10 0 1 0 0 x 1 0 0E A0 2 2 0 1 1 ， x 2x 3 ，取 p 1 1 ；220 0 0x 3x 31对于 22 ，解 ( E A) x 0 ：0 0 0 1 0 x 1 x 1 1E A 012 0 0 1 ， x 20 ，取 p 2 0 ；210 0 0x 3 0对于 35 ，解 ( E A)x 0：30 0 1 0 0 x 1 00 E A0 2 2 0 1 1 ， x 2 x 3 ，取 p 31 ．220 0x 3 x 311 0，则 P 是可逆矩阵，使 P 1AP 1 0 0令 P ( p 1 , p 2 , p 3 )10 1 0 2 0 ． 10 10 0 5四、证明题（本题 6 分）27．设 A ，B ， AB 均为 n 阶正交矩阵，证明 ( AB) 1 A 1B 1 ．证：A ，B ，A B 均为 n 阶正交阵， 则 A T A 1 ，B TB 1 ，( A B)T( AB) 1 ，所以( A B) 1 ( A B) T A T B TA 1B 1．全国 2010 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．设 3 阶方阵 A( 1 ,2 ,3 )，其中i（ i 1,2,3 ）为 A 的列向量，若| B | | ( 12 2 , 2 ,3 ) | 6 ，则 | A | （ C）| A | | ( 1 , 2 , 3 ) | | ( 12 2 , 2 ,3 ) | 6 ．A ． 12B ． 6C ．6D ． 123 0 2 02．计算行列式2 10 5（ A）0 0 2232 3A ． 180B ． 120C ． 120D ． 1803 0 2 0 3 0 22 10 5 03 0180 ．2 10 5 33 ( 2) 300 0 2 3( 2)100 022232 33．若 A 为 3 阶方阵且 | A 1 | 2 ，则 | 2A |（ C）A ．1B ．2C ． 4D ．82| A |1， | 2A | 23| A | 8 1 4 ．224．设 1 , 2 ,3 , 4都是 3 维向量，则必有（B）A ． 1, 2 ,3 ,4线性无关B ． 1 , 2 , 3 ,4 线性相关C ． 1 可由 2 , 3 ,4 线性表示D ． 1 不可由 2 , 3 ,4 线性表示 5．若 A 为 6 阶方阵，齐次方程组 Ax =0 基础解系中解向量的个数为 2，则 r (A) （C）A． 2B．3C． 4D．5由 6 r ( A) 2 ，得 r ( A) 4．6．设A、B为同阶方阵，且r ( A)r ( B) ，则（C）A．A与B相似B．| A | | B |C．A与B等价D．A与B合同注： A 与 B 有相同的等价标准形．7．设A为 3 阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则| A2E |（ D）A． 0B．2C． 3D．24A2E 的特征值分别为4,3,2，所以| A 2E | 4 3 2 24．8．若A、B相似，则下列说法错误的是（B）．．A．A与B等价B．A与B合同C．| A | | B |D．A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的．9．若向量(1,2,1) 与(2,3, t) 正交，则t（ D）A．2B．0C． 2D．4由内积 2 6t0，得 t4．10．设 3 阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0 ，则（B）A．A正定B．A半正定C．A负定D．A半负定对应的规范型 2z12z220z320 ，是半正定的．二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11．设A32211，则AB01， B______________．0102 4321653AB02110．1120022 4412．设A为 3 阶方阵，且| A | 3 ，则 | 3A 1 | ______________．| 3A 1 | 33 | A 1 | 33133 19 ．| A |313．三元方程x1x2x3 1 的通解是______________．x1 1 x2x3111x2x2，通解是 0k11k2 0 ．x3x300114．设( 1,2,2)，则与反方向的单位向量是 ______________．11( 1,2,2) ．||||315．设 A 为5阶方阵，且r ( A) 3 ，则线性空间W { x | Ax 0} 的维数是______________．W { x | Ax 0} 的维数等于 Ax0 基础解系所含向量的个数：n r 5 3 2 ．16．| 5A 1 | 53153125 ．| A | 2 (1/ 2)117．r ( AB) Ax 0若A、 B 为 5 阶方阵，且Ax0 只有零解，且 r ( B)3 ，则______________．只有零解，所以 A 可逆，从而r ( AB) r ( B) 3 ．21018．实对称矩阵101所对应的二次型 f (x1 , x2 , x3 ) ______________．011f (x1 , x2 , x3 ) 2 x12x322x1 x2 2x 2 x3．19．设 3 元非齐次线性方程组Ax11b 有解12，2 2 ，且 r ( A) 2 ，33则Ax b 的通解是______________．1( 11112 ) 0是 Ax 0 的基础解系， Ax b 的通解是 2k 0 ．203020．设12，则 A T的非零特征值是 ______________．31由T(1,2,3)2 14 ，可得 A2( T ) T14T14A，设A的非零特3征值是，则214，14 ．三、计算题（本大题共 6 小题，每小题9 分，共 54 分）2000121．计算 5 阶行列式D 02000 00200．00020 10002解：连续3次按第2行展开，2001201020021D402088324 ．202012102100220010014322．设矩阵X满足方程010 X 00120 1 ，求X．002010120解：记 A200100143010， B001 ， C20 1 ，则 AXB C ，0020101201 / 200100A 1010，B 100 1 ，001/ 201011431001134 402001420．2212001010223．求非齐次线性方程组x1x23x3 x4 1的通解．3x1x 23x34x44x15x29x38x 40113111*********解： ( A, b)31 3 440 4 6710467 1 1598004671000004 412 4 4 4 0 6 3510 3 / 2 3 / 45 / 40467 104 6 7101 3 / 27 / 4 1 / 4 ，000000000000000x153x33x4 5 / 4 3 / 2 3 / 4 424x2137x4，通解为 1 / 4k13 / 2k27 / 4，k1 ,k 2都是任意常数．4x342010x3x3001x4x424．求向量组1(1,2,1,4) ，2(9,100,10,4) ，3( 2,4,2,8) 的秩和一个极大无关组．192192192解：( 1T, 2T, 3T2100415020410)1021102019014481120801 92 1 02010010，向量组的秩为2，1,2是一个极大无关组．00000000000021225．已知A 5a3的一个特征向量(1,1, 1) T，求 a,b 及所对应的1b2特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．21211解：设是所对应的特征值，则 A，即 5a311，从1b211 1而 a 2，可得 a 3 ， b 0 ，1；b 1对于1，解齐次方程组 ( E A) x0：2 12 3 1 2 1 0 1 1 0 1 E A53 3 5 2 3 5 2 3 0 2 21 0210 13 120 1 11 0 1 x 1 x 310 1 1 ， x 2x 3 ，基础解系为 1 ，属于 1 的全部特征向量为0 0 0x 3x 311k1 ， k 为任意非零实数．126．设 A2 1 1 21 21 a ，试确定 a 使 r ( A)2 ．1 12 2解： A21 12 1 1 2 2 11 2 2 1 2 1 a2 11 20 3321 12 212 1a 03 3 a 21 12 20 3 3 2 ， a0 时 r (A) 2 ．0 00 a四、证明题（本大题共1 小题， 6 分）27．若 1 , 2 , 3 是 Axb （ b 0 ）的线性无关解，证明21 ,3 1是对应齐次线性方程组Ax 0 的线性无关解．证：因为 1 ,2 ,3是 Ax b 的解，所以21， 31是 Ax 0 的解；设 k 1 ( 21 )k 2 ( 31 )0，即 ( k 1k 2 ) 1k 1 2k2 30 ，由 1 , 2 ,3线性k 1 k 2 0无关，得 k 1，只有零解 k 1 k 20 ，所以21 ,31线性无关．k 2 0全国 2011 年 1 月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题课程代码： 04184说明：本卷中， A -1 表示方阵 A 的逆矩阵， r ( A ) 表示矩阵 A 的秩，（ , ）表示向量 与 的内积， E 表示单位矩阵， | A | 表示方阵 A 的行列式 .一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）a 11a12a13=4，则行列式2a112a122a131. 设行列式a21 a 22a23 a 21 a 22 a 23=（）a 31a32a333a313a323a332.设矩阵 A， B， C， X 为同阶方阵，且 A，B 可逆， AXB=C，则矩阵 X=（）3. 已知A2+A- E=0，则矩阵A-1 =（）+E+E4. 设 1 , 2 , 3 , 4 ,5 是四维向量，则（）A.1, 2 , 3 , 4 ,5 一定线性无关B. 1 , 2 , 3 , 4 ,5 一定线性相关2 ,C. 5一定可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示D.1一定可以3 ,4 , 5线性表出5. 设A是n阶方阵，若对任意的n 维向量 x 均满足 Ax=0,由则（）=0=E(A)= n<r( A)<(n)6. 设A为n阶方阵，r ( A)< n，下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是（）=0只有零解=0的基础解系含r ( A)个解向量=0的基础解系含n- r( A) 个解向量=0没有解7. 设 1 ,2 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，则（）A. 1 2 是Ax=b的解B.1 2 是Ax=b的解C. 31 2 2是Ax=b的解D. 2 1 3 2是Ax=b的解8. 设1，2，3为矩阵 A=39004 5的三个特征值，则1 2 3 = 002（）9.设 P 为正交矩阵，向量,的内积为（,）=2，则（P , P）=（）A. 12C. 3210. 二次型 f ( x1, x2, x3)=x12x22x32 2 x1 x22x1x3 2 x2 x3的秩为（）二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。

全国2012年10月自学考试线性代数试题请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。

选择题部分一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题 纸”的相应代码涂黑。

错涂、多涂或未涂均无分。

1．设行列式1122=1a b a b ，11221a c a c -=--，则行列式111222=a b c a b c -- A ．-1 B ．0C ．1D ．22．设矩阵123456709⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*A 中位于第2行第3列的元素是A ．-14B ．-6C ．6D ．143．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有 A ．1-=A A B ．=-A E C ．=A ED ．1=A4．已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r (A T )= A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设向量组T T12(2,0,0),(0,0,-1)αα==，则下列向量中可以由12,αα线性表示的是A ．(-1，-1，-1)TB ．(0，-1，-1)TC ．(-1，-1，0)TD ．(-1，0，-1)T6．齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为A.1B.2C.3D.47．设12,αα是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是A ．12αα-B ．12αα+C ．1212αα+D ．121122αα+8．若矩阵A 与对角矩阵111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭D 相似，则A 2= A.EB.AC.-ED.2E9．设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为 A.-9 B.-3 C.3 D.910．二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的规范形为A ．2212z z -B ．2212z z + C ．21zD ．222123z z z ++二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式123111321的值为______. 12.设矩阵011001000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则A 2=______．13.若线性方程组12323323122(1)x x x x x x λλ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=-⎩无解，则数λ=______．14.设矩阵43012110⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=A P ,则PAP 2=______.15.向量组T T 12,-2,2,(4,8,8)k αα==-（）线性相关，则数k =______. 16.已知A 为3阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则=A ______. 17.若A 为3阶矩阵，且19=A ，则-1(3)A =______． 18．设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵，r (B )=1,则分块矩阵⎛⎫⎪⎝⎭E O B B 的秩为______．19．已知矩阵211121322⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，向量11k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是A 的属于特征值1的特征向量，则数k =______.20.二次型1212(,)6f x x x x =的正惯性指数为______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式a ba b D a a b b aba b+=++的值．22．设矩阵100112210,022222046A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求满足方程AX =B T 的矩阵X ．23.设向量组123411212142,,,30614431αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求该向量组的秩和一个极大线性无关组.24．求解非齐次线性方程组123412341234124436x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+++=⎨⎪+--=⎩.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.25．求矩阵200020002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的全部特征值和特征向量．26．确定a ，b 的值，使二次型22212312313(,,)222f x x x ax x x bx x =+-+的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. 四、证明题（本题6分）27．设矩阵A 可逆，证明：A *可逆，且*11*--=（）（）A A ．全国2012年7月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 为三阶矩阵，且13A -=，则 3A -( )A.-9B.-1C.1D.92.设[]123,,A a a a =,其中 (1,2,3)i a i = 是三维列向量，若1A =，则[]11234,23,a a a a - ( )A.-24B.-12C.12D.243.设A 、B 均为方阵，则下列结论中正确的是（ ） A.若AB =0，则A=0或B=0 B. 若AB =0，则A =0或B =0 C ．若AB=0，则A=0或B=0 D. 若AB ≠0，则A ≠0或B ≠04. 设A 、B 为n 阶可逆阵，则下列等式成立的是（ ） A. 111()AB A B ---=B. 111()A B A B ---+=+ C ．11()AB AB-= D. 111()A B A B ---+=+5. 设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必 （ ） A.无解B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定6. 设12311102103A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()r A = A.１ B.２ C.3 D.４7. 若A 为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ） A. 1A -B.２A C ．A ²D. T A8.设三阶矩阵Ａ有特征值0、1、2,其对应特征向量分别为123ξξξ、、，令[]312,,2P ξξξ＝ 则1P AP -=（ ） A. 200010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 200000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．000010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D. 200000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦9.设A 、B 为同阶方阵，且()()r A r B =,则（ ） A.A 与B 等阶 B. A 与B 合同 C ．A B =D. A 与B 相似10.设二次型22212312123(,,)22f x x x x x x x x =+-+则f 是（ ） A.负定 B.正定 C ．半正定 D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.设A 、B 为三阶方阵，A =4，B =5， 则2AB = 12.设121310A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ , 120101B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，则TA B 13.设120010002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则1A - =14.若22112414A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且()2r A =,则t= 15.设1231120,2,2110a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则由 123,,a a a 生成的线性空间123(,,)L a a a的维数是16. 设A 为三阶方阵，其特征值分别为1、2、3，则1A E --=17.设111,21t a β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,且a 与β正交，则t = 18.方程1231x x x +-=的通解是19.二次型212341223344(,,,)5f x x x x x x x x x x x =+++所对应的对称矩阵是20.若00100A x =⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦是正交矩阵，则x =三、计算题 （本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式1112112112112111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22.设010111101A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦＝ 112053-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ＝ ,且X 满足X=AX+B,求X23.求线性方程组的123412345221.53223x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩12x x 的通解，24.求向量组 (2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)====1234a a a a 的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示。