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现代控制理论：控制系统的状态空间模型

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现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型

现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型

1 C
∫ i (t )dt
= u c (t )
i (t ) | t = t 0 = i (t 0 )
u c (t ) | t = t 0 = u c (t 0 )
若将 i (t ) 和 u c (t ) 视为一组信息量，则这样一 组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。 状态:表征系统运动的信息和行为 状态 表征系统运动的信息和行为。 表征系统运动的信息和行为 状态变量：系统的状态变量就是确定系 统状态的最小一组变量。（或完全表征 系统运动状态的最小一 组变量。）
di dt
=
R x1 L
1 L
x2+ 1 u( t )
L
x
2
1 x c 1
y = x2 = u c (t )
写成矩阵— 写成矩阵—向量的形式为：
x
1
=
R L
1 L
x1
x
2
1 c
0
x2
+
1 L u( t )
0
y=
x1
0 1
x2
为状态向量
x 1 x2 T 令x =
则：
x=
R L
1 L
1 c
1 x+ L
状态方程 输出方程
一 、状态、状态变量和状态空间
R + u(t)
输入
L
+ + y C uc(t) _ 输出 _
i(t)
_
解：以 i(t) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u c (t ) = u (t ) dt
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。 它们由初始条件

《现代控制理论》讲稿

《现代控制理论》讲稿
《现代控制理论》讲稿
贺廉云
第1章 控制系统的状态空间模型
要点：
1 理解状态空间表示法概念；
2 掌握状态空间图示法；
3 掌握连续系统的数学模型转换；
4 了解多变量系统的传递函数阵及其求法
难点：
连续系统的数学模型转换
C=[ 0 0 1]
三状态空间模型的图示法
1. 基本元件
(a) (b) (c)
试求其传递函数阵。
解：根据式（1-10），可得
G（s）=
=
=
=
2传递函数阵的状态空间模型的实现
（1） 可控标准形的实现
对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数阵退化成传递函数。要把SISO系统式G(s)=的传递函数形式转换成能控标准性的状态空间模型，即
图1-3 状态结构基本元件
a-积分器 b-加法器 c-比例器
2． 一阶标量微分方程 的一阶系统状态结构图
u
图1-4 一阶系统状态结构
1 由状态空间模型转换成传递函数
系统的状态方程
L G（s）=
= (1-10)
是A阵的特征多项式 * 表示伴随矩阵
例2 已知某一单一输入输出系统的状态空间表达式为
（1-11）
A= b= (1-12)
上述A阵是nn方阵，它的维数正好是传递函数的阶数，它的最后一行元素正还是传递函数分母（即系统的特征方程）所对应的稀疏，只不过均相差一个负号,其次对角线的元素均为1，其余为零，而b阵是一个列向量，最后一个元素为1，其余为零。正是b阵中的唯一的1对应友阵A的形式，是的输入信号u能对系统的每一个状态进行控制，因此称其为能控标准行。为了得到A阵和b阵的这种形式，应按下列规律选择状态变量：,于是有

现代控制系统的状态空间模型

现代控制系统的状态空间模型
u x y
状态空间模型－－系统的内部描述。
第1章 控制系统的状态空间模型
一些特殊的模型
f ( x , u, t ) = A(t ) x + B (t )u
线性系统模型
& = A(t ) x + B (t )u x
g ( x , u, t ) = C (t ) x + D(t )u
y = C (t ) x + D(t )u
¾ 线性系统是实际非线性对象的线性化近似； ¾ 线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决 提供思路
例子：倒立摆装置
用小车的位移和速度及摆杆 偏离垂线的角度和角速度来 描述系统的动态特性 小车的水平位移：y 小球中心位置：y + l sin θ
&& cos θ − mlθ & 2 sin θ = u & + mlθ y 水平方向： (M + m) &
u y l m mg
θ
M
&& = mg sin θ & cos θ + mlθ y 垂直方向： m&
g：重力加速度
非线性模型
例子：倒立摆装置
考虑在垂直位置附近的线性化模型
sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1
由
&& cos θ − mlθ & 2 sin θ = u & + mlθ ( M + m) & y && = mg sin θ & cos θ + mlθ m& y
是否可能？ 如何得到？
传递函数到状态空间模型
传递函数的一般形式：

现代控制理论控制系统的状态空间模型

现代控制理论控制系统的状态空间模型

方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
2024/6/22
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2024/6/22
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2024/6/22
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维

2019-§2控制系统的状态空间模型-文档资料

2019-§2控制系统的状态空间模型-文档资料
弹簧平移运动是一个二阶线性系统。
（3）定义状态向量、控制向量和输出向量
x1 y
d2y dy m d2tfd tk yF i
x2 y x1
uFi ,
yy,
整理（2-2-2）式
mdd dxd2t 2yt2 f dxd2 ytkxy1 F u i （2-2-2）
（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分
（2）状态变量可以测量或不可测量。
2.2 状态空间方程的建立
例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。
k
M
y Fi
Ff Fk
M
y Fi
图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统
（1）确定输入变量：
系统入: Fi， 出：y
（2）基本定理：
§2 控制系统的状态空间模型
微分方程 → 单输入、单输出线性定常系统 状态空间方程 → 多变量系统，现代控制理 论的数学描述方法
两种表示方法可以互相转换。
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类：
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
u[u1,u2 ur]T
n 输出变量（被控变量）
y[y1,y2,ym]T


0
1
m
u
和
y1
0

x1 x2

得到
0 xm k
1m f xx1 2m 1 0u
y 1
0

x1 x2

状态方程 xAxBu 输出方程
y Cx
系数矩阵
0 1
A

现代控制理论(刘豹)第一章

现代控制理论(刘豹)第一章
第一章 控制系统的状态空间表达式
状态变量
状态向量
状态空间
状态方程
状态：表征 系统运动的信 息和行为 状态变量： 能完全表示系 统运动状态的 最小个数的一 组变量
由状态变量 构成的向量 x1(t) x2(t) : xn(t)
以各状态变量 x1(t),x2(t),…… xn(t)为坐标轴 组成的几维空 间。
S nY ( s ) + an −1S n −1Y ( s ) + ... + a0Y ( s ) = bm S mu ( s ) + ... + b0Y ( s )
(bm S m + bm −1S m −1 + ... + b0 ) Y ( s ) Z ( s ) G ( s) = Y ( s) / U ( s) = = ⋅ n n −1 ( S + an −1S + ... + a0 ) Z ( s) U ( s)
& x3 x3
x2 x1
机电工程系
∫
∫
∫
习题2 习题
已知离散系统的差分方程为
y (k + 2) + 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = 2u (k + 1) + 3u (k )
试求系统的状态空间表达式，并画出其模拟结构图。
解：假设初始条件为零，系统微分方程的 Z 变换为：
z 2Y ( z ) + 3 zY ( z ) + 2Y ( z ) = 2sU ( z ) + 3U ( z )
S n Z ( s ) + an −1S n −1Z ( s ) + ... + a0 Z ( s ) = U ( s ) Y ( s ) = bn −1S

控制系统的状态空间描述

解： 方法一、直接根据微分方程求解
03
方法二、根据传递函数求解
状态方程的标准形式
状态方程的定义 状态方程 所谓状态方程，就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的一阶微分方程组。
3.2.2 状态空间表达式
向量矩阵形式为
状态向量
输入向量
维的函数向量
3、线性定常系统的状态方程
向量矩阵形式为
维的系数矩阵
维的系数矩阵
输出方程
输出方程的标准形式
解：列写回路的电压方程和节点的电流方程
选取 为状态变量，输出 ，得系统的状态空间表达式为
消去 并整理得
设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得
写成向量矩阵形式为
其中
输入变量的Laplace变换象函数
2）数目最小的含义：是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。
二、状态向量
若一个系统有n个状态变量： ，用这n个状态变量作为分量所构成的向量 ，就称为该系统的状态向量，用 表示。
例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。
01
考虑标量的一阶微分方程
02
用拉氏变换解有：
3.2.2 状态微分方程的解
定义矩阵指数函数为：
上式也经常写做状态转移矩阵的形式
系统的零输入响应为：
1.3 传递函数矩阵
例：系统如下图所示，输入为 和 ，输出为 。
较之传递函数，状态空间描述的优点有：
3、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数值计算。
2、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系统，只是计算复杂一些而已。

现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述

12 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。

现代控制理论1控制系统的状态空间模型3

back
17
设 A有q个1的重根，其余互异，则变换阵
P111
P1'11
1 2!
P'' 111
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 111
P( q 1)11
T
P112
P1'12
1 2!
P'' 112
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 112
P( q 1)12
M M M M
M
M
P11n
P1'1n
1 2!
1
2 L
T
12
M
22 L
ML
1n1
n1 2
L
1
n
n2
M
nn1
1
则
T 1AT
2
O
n
20
A有重特征根情形
设 A有m个1的重根，其余互异，则变换阵
1
0
0
L
1
1
0
L
T
12
M
21
M
1
L
MO
M
M
ML
1n1
d
d 1
n1 1
1 2!
d2
d 12
n1 1
L
0
1L
0
m+1 L
0
2 m1
P'' 11n
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 11n
P( q 1)1n
L
Pn11
L
Pn12
M M
L Pn1n
其中：P1'ij

现代控制理论--2控制系统的状态空间模型

方程)
4. 非线性定常系统:
X (t ) f X (t ) u(t ) Y (t ) g X (t ) u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t y(t) g x(t), u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：

x1

y
x2 y
令



xn
1

yn2

xn

y n 1
x1 x2

x2

x3


xn1

xn

xn

yn

a1 yn1
=-an x1 an1x2


an1 y a1xn bu
an y
bu
0
K F(t)
y(t)
f
弹簧-质量-阻尼器系统
解：列基本方程：
d2y
dy
m dt 2 f dt ky u t
选择状态变量：取：
x1 (t) y(t)
故得：
x2(t) y(t)
x1(t) x2 (t)
x2 (t)


k m
x1

f m
x2

1 m
u
y(t) x1
将以上方程组写矩阵形式
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
dt
x2 1 Y(t)
1
Cm
J
+ x3 +
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零初始条件
2015/10/9
6
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
例：设有如图所示的R-L-C网络， 试求其数学描述。 解：可以得到三种形式的数学描 述。 列写该回路的微分方程 ：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
2015/10/9 7
状态: 完全描述系统时域行为的一个最小变量组。 “完全”：若给定了t=t0时刻这组变量的值和t≥t0时输 入的时间函数，那么系统在t ≥ t0的任何瞬时的行为就 完全确定了。 “最小”：指这个变量组中的每个变量都是独立的。
状态变量: 最小变量组中的每一个变量。
2015/10/9
12
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
2015/10/9 17
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
非线性系 统
f ( x, u, t ) x y(t ) g ( x, u, t )
x(tk 1 ) f ( x, u, tk ) y(tk ) g ( x, u, tk )
A：n n维 B：n m维 C：p n维
16
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
Ax bu x
y cx du
b1 b b 2 bn
输入矩阵，n×1列矩阵。
单输入单输出系统状态空间模型
c c1，c2， ，cn
输出矩阵，1×n行矩阵
d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数， 又称前馈系数。
阻 尼 系 数
位移
2015/10/9
23
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
令 x1 y

x2 y


---弹性系数
u (t ) m y b y ky
向量矩阵表示形式：
阻 尼 系 数
位移
1 0 x k x 2 m
2015/10/9
2015/10/9 22
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
例：设有如图所示的机械系统，试求其数学描 述。 解：根据牛顿力学原理： 令 x1 y
x2 y

---弹性系数
u (t ) m y b y ky


1 x2 x k b 1 x y y y u (t ) 则动态方程： 2 m m m k b 1 x1 x2 u (t ) m m m y x1
2015/10/9
5
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
外部描述： 高阶微分方程
y (n) (t ) a1 y (n1) (t ) an y(t ) b0u (m) (t ) b1u (m1) (t ) bmu(t )
传递函数：
G( s)
b0 s m b1 s m1 bm s n a1 s n1 an
一阶微分方程表示形式：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
图 R-L-C网络
u (t ) u (t ) di (t ) R i (t ) C dt L L L
du C (t ) 1 i (t ) dt C
2015/10/9
说明： 状态变量并不一定是系统的输出变量，也不一定是物 理上可测量的或可观测的，但在实际应用中还是选 择易测量的量。 状态变量选择方法： (1) 系统中储能元件的输出物理量：如电容电压、电 感电流 (2) 系统输出及其各阶导数 (3) 使系统的状态方程成为某种标准形式
2015/10/9
13
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x2 uC (t )
R - L A 1 C 1 - L 0
1 b L 0
x1 x x2
C 0 1
Ax bu x 则可以写成状态空间表达式： y Cx
内部描述
2015/10/9 11
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式 状态空间法的基本概念
R 1 1 di i i uc u dt L L L du 1 u c c i dt c
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
向量矩阵表示形式：
u (t ) u (t ) di (t ) R i (t ) C dt L L L du C (t ) 1 i (t ) dt C
Modern Control Theory 第一章
控制系统的状态空间模型
2015/10/9
1
本章内容提纲
1.1 状态空间模型
1.2 传递函数和状态空间模型间的转换
1.3 状态空间模型的性质
2015/10/9
2
1.1 状态空间模型
是描述系统的另外一种数学模型,是现代控制 理论的基础. 不仅可以描述系统的输入输出之间的关系,而 且还可以描述系统的内部特性.
i(t ) uC (t ) 0 1 u ( t ) C
2015/10/9
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t )
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
di(t ) R dt L du (t ) 1 C dt C
1 i(t ) 1 L L u (t ) 0 0 uC (t )
2015/10/9
3
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式 系统描述方法 外部描述： ( 输入-输出描述)：描述的前提是把 系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结 构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系， 即输入—输出间的因果关系。表征这种描述的数 学方法为传递函数表示式。
2015/10/9
线性离散系 统
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) x 线性时变系 y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t ) 统
2015/10/9 15
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
Ax bu x
y cx du
状态变量
测 量 部 件
y1 yn
输出变量
2015/10/9
21
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
•步骤：
由系统机理建立状态空间描述
根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；
选择有关的物理量作为状态变量； 导出状态空间表达式。
状态变量的选取原则:
系统储能元件的输出; 系统输出及其各阶导数; 使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标 准型和约当标准型）;
2015/10/9 26
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
1 v1, x4 y 2 v2 所选的状态变量: x1 y1 , x2 y2 , x3 y
1 B1 y 1 k1 y1 k2 ( y2 y1 ) B2 ( y 2 y 1 ) M1 y 2 B2 ( y 2 y 1 ) k2 ( y2 y1 ) f M2 y
图 R-L-C网络
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
消去中间变量 i (t ) ：
d 2uc duc LC RC uc u dt dt
图 R-L-C网络
传函表示形式：
U c ( s) 1 U ( s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2015/10/9
8
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态向量: 用状态变量作为分量构成的向量。
x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )]T
状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。 状态方程：
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ], x
x(tk 1 ) f [ x(tk ),u(tk ),tk ]
1 x1 0 1 u, b m x2 m
x1 y 1 0 x2
24
1.1 状态空间模型 1.1.2 实例
例 试列出在外力f作用 下，以质量 M1 , M2 的 位移y1 , y2为输出的状态 空间描述。
x Kx
ax bu x
u
加法器
注:负反馈时为－
2015/10/9
x1 x2
x1 x2
b
x

a
x
19
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态变量图： 输入向量 r× 1 维 传递矩阵 m× r维 线性定常多变量系统
D
Ax Bu x y Cx Du
4
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式 系统描述方法
内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模 型，它需要有2个数学方程来组成。一个是反映 系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的 数学表达式，称状态方程。另一个是表征系统 内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换 关系的数学表达式，称输出方程。
B1
质量块受力图如下：
B2
k1 y1
k2 ( y2 y1 )