高中数学推理论证能力的培养
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理。
为ａ ， ｂ ， Ｃ ， 且ｃ
， ｃ Ａ ＝ ｒ ， Ａ Ｂ ＝ ｃ求证 ： ＝ ＋ 一 ２ ａ ｂ ・ Ｃ Ｏ Ｓ Ｃ
Ａ
Ａ
Ｃ
Ｃ
Ｂ
方法一 （ 向量法） ： 证 明： 令 面 ＿ ． ， ． ＿ ， 由图可得 ， ＝ 一 ， 平方得 ，
一
一
因为 ・ 茜 ＝ ｌ Ｉ ・ Ｉ ｂ ｌ ＝ ｃ ｏ ｓ Ｃ， 所以有
＝ ＋ ｂ ２ － ２ ａ ｂ ・ Ｃ Ｏ Ｓ Ｃ， 得 证．
在证明题的教学中笔者不仅教会学生某道题或某类题的证明更是注重培养学生的推理论证能力一个题目写出后先要求学生思考几分钟这样就这几分钟成绩好的学生可能将问题从整体解决中等学生对问题某一部分有一基本了解起码对某一问题有一些建设性的认识基础较差的学生尽管没有形成什么有价值的认识但至少精力集中对问题的信息认识比较完全
塾 童
Ｎｏ． ３
Ｔ Ｉ ＭＥ Ｅ Ｄ Ｕ Ｃ Ａ Ｔ １ ０ Ｎ
张伟
摘要 ： 在 高中数 学教 学 中， 培 养学生的推理论证 能力 ， 被认 为是进行数 学活动的必备能 力。根据 笔者 多年的教 学经验从 六个方面 来谈一下如何培养 高中学生的推理论证 能力。
— —
思维训练很有帮助。 比如说 ， 诱导公式 的推导 ， 椭 圆公式 的推导 ， 两点距离公式 的推导等 。在推导过程 中遇到的典型 的方法和技 巧， 就要及时给予 总结或推广 ， 并 能够解决 一类 问题 ， 这样就可 以 提高学生 的发 现问题 、 分析 问题 、 解决 问题 的能力 。在公 式 的推 导和证 明过程中去提高学生的推 理论证 能力 。 ２ 教师要积极创设 问题情境 。 诱发学生大胆 猜想 教师要 积极 引导和鼓励 学生 去做猜想 ， 猜想是创新能力 的体 现， 是发现新知识 的来源 ， 但猜想 知识属 于合情推理 ， 教师在学生 大胆猜想后 ， 还要积极 培养和帮助学 生进行猜想后 的证 明， 从而 发展 和培养学 生的推理论证 的能力 。 例如 在讲 直线 与平 面垂直 的判定定理 时 ， 笔者让学生通过一 个 探究实 验 ， 去发 现结论 ， 然 后进行 合情推 理 ， 最后进 行演 绎推
关键词 ： 推 理 论 证 能 力 高 中数 学
中图分类－ ￣ － ： Ｇ６ ３ ３ ． ６
文献标识码 ： ｃ
ＤＯＩ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ￣． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２ － ８ １ ８ １ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ６ ． ０ ９ ０
《 标准》 对推理论 证能力的要求既包括 了原来 的演绎推理 （ 或 逻辑推 理） ， 又包 括了数学发现 、 创造过程 中的合情推理 ， 如归纳 、 类 比等合情推 理 ， 这是 数学 的基 本思考方式 ， 也是 学习数学 的基 本功 。因此 ， 注重推理论证能力 的培养 ， 是高 中数学的核心之一 。 培养学 生的推理 论证 能力 ， 笔者认为 以下几点值得参考 。 １ 明确对定理 、 概念 的理解 ， 为推理论证打基础 建 构主义学 习理论－ － 认为， 认识 主体在一定社会 环境下通过 自己的经验 ， 能动地建 构起他对 客体的认识 ， 学生学 习概念和定 理 的过程 ， 就是凭借 自己的经验主动 的构建过程 。因此教师在对 概念 和定理 的教 学过程 中 ， 要 引导学生搞清楚概 念 、 定理的来龙 去脉 ， 从 实 际 出发 ， 了解其 背景 以及 应用 范 围 。布鲁 纳 的认知 发 现学 习理论 认为， 学 生在学 习概念 、 定理 时的探索 、 发现 过程 ， 比知识 本身更重 要 。因此 ， 教师 在平 时 的教学 过程 中讲到 概念 、 定理时 ， 一定要讲清楚 它们的背景 、 形成及推导过程 。 在 概念 讲解 时 ， 一定要 讲 清概念 中的定 义 。例 如椭 圆 的定 义， 应 借助图形直观说 明椭 圆形成 的过程 ， 并 加深对定义的理解 ： ①Ｆ 。 、 Ｆ 是定点 ， ②ｒ Ｉ ＋ ｒ ２ ＝ 定长 ， 且定 长大于 Ｆ 、 Ｆ 的距离 ， ③满足 ｒ ｌ ＋ ｒ ２ ＝ 定长 的所有定 点的集合 。 在定理讲解 时 ， 要讲清定理 的证 明和推导 的过程 。例如在讲 余弦定理时 ， 可以先不告诉学生答案 ， 让 学生 通过 探索 、 讨论 的形 式进行分析 ， 得到不止一种证明 的方法 ： 余 弦定理 ： 如 图所示 ， △ＡＢ Ｃ的三个顶 点对应 的三条边分别
（ 一 ） ＝ ＿ ２ ２ ． ．
，
， ，
开 始笔 者把一杆米尺用手拿着竖在地 面上 ， 以示直线和平 面垂直 ， 然 后鼓励 学生去 找直线 和平 面垂直所 需要 的条件 是什 么， 于是学生开 始猜想 ， 学生 １ 猜 只要这 条直线垂 直于平 面 中的 条 直线就可 以了 ， 但很 快被其他学生 用举反例 的形 式否定 了 ； 学生 ２ 猜 只要 这条直线垂直于平面 中的两条 直线就可以 了， 因为 平面 中的两条直线 可以确定一个平面 ， 但没多久又被几个同学否 定了； 学生 ３ 猜只要这条直 线垂 直于平面 中的两条相交 直线 就可 以了 ， 这 一猜 测 提 出来 后 ， 所 有学 生 都没 有能 够找 到反 例来 推 翻。接下来笔 者就发动全体学 生试图用演绎 推理进行证 明这个 猜测 ， 在大家 的努力下 ， 终于证 明出了这一结论 。而这个结论 ， 就 是直线和平面垂直 的判定定理 。 ３ 精心编制例题 。 让 学生牢固掌握推理论证 的方法与技巧 美 国数学教育 家波利亚说过 ， “ 一个有责任 的教师与其 穷于 应付繁琐 的数学 内容和过量 的题 目， 还不如适 当选 择某 些有意义 但又不太复杂 的题 目去帮助学生发掘题 目的各个方面 ， 在指导学 生解题 中 ， 提高他们的才智与思维能力” 。所 以老师在选题时 ， 一 定要 精而 少 ， 一道题 能代表 一类题 ， 一种方法 能解决 一类 问题 。 而一题多解和变式训练就是很好 的选题标准 ， 它是 掌握 推理论证
为ａ ， ｂ ， Ｃ ， 且ｃ
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Ａ
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Ｃ
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方法一 （ 向量法） ： 证 明： 令 面 ＿ ． ， ． ＿ ， 由图可得 ， ＝ 一 ， 平方得 ，
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在证明题的教学中笔者不仅教会学生某道题或某类题的证明更是注重培养学生的推理论证能力一个题目写出后先要求学生思考几分钟这样就这几分钟成绩好的学生可能将问题从整体解决中等学生对问题某一部分有一基本了解起码对某一问题有一些建设性的认识基础较差的学生尽管没有形成什么有价值的认识但至少精力集中对问题的信息认识比较完全
塾 童
Ｎｏ． ３
Ｔ Ｉ ＭＥ Ｅ Ｄ Ｕ Ｃ Ａ Ｔ １ ０ Ｎ
张伟
摘要 ： 在 高中数 学教 学 中， 培 养学生的推理论证 能力 ， 被认 为是进行数 学活动的必备能 力。根据 笔者 多年的教 学经验从 六个方面 来谈一下如何培养 高中学生的推理论证 能力。
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思维训练很有帮助。 比如说 ， 诱导公式 的推导 ， 椭 圆公式 的推导 ， 两点距离公式 的推导等 。在推导过程 中遇到的典型 的方法和技 巧， 就要及时给予 总结或推广 ， 并 能够解决 一类 问题 ， 这样就可 以 提高学生 的发 现问题 、 分析 问题 、 解决 问题 的能力 。在公 式 的推 导和证 明过程中去提高学生的推 理论证 能力 。 ２ 教师要积极创设 问题情境 。 诱发学生大胆 猜想 教师要 积极 引导和鼓励 学生 去做猜想 ， 猜想是创新能力 的体 现， 是发现新知识 的来源 ， 但猜想 知识属 于合情推理 ， 教师在学生 大胆猜想后 ， 还要积极 培养和帮助学 生进行猜想后 的证 明， 从而 发展 和培养学 生的推理论证 的能力 。 例如 在讲 直线 与平 面垂直 的判定定理 时 ， 笔者让学生通过一 个 探究实 验 ， 去发 现结论 ， 然 后进行 合情推 理 ， 最后进 行演 绎推
关键词 ： 推 理 论 证 能 力 高 中数 学
中图分类－ ￣ － ： Ｇ６ ３ ３ ． ６
文献标识码 ： ｃ
ＤＯＩ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ￣． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２ － ８ １ ８ １ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ６ ． ０ ９ ０
《 标准》 对推理论 证能力的要求既包括 了原来 的演绎推理 （ 或 逻辑推 理） ， 又包 括了数学发现 、 创造过程 中的合情推理 ， 如归纳 、 类 比等合情推 理 ， 这是 数学 的基 本思考方式 ， 也是 学习数学 的基 本功 。因此 ， 注重推理论证能力 的培养 ， 是高 中数学的核心之一 。 培养学 生的推理 论证 能力 ， 笔者认为 以下几点值得参考 。 １ 明确对定理 、 概念 的理解 ， 为推理论证打基础 建 构主义学 习理论－ － 认为， 认识 主体在一定社会 环境下通过 自己的经验 ， 能动地建 构起他对 客体的认识 ， 学生学 习概念和定 理 的过程 ， 就是凭借 自己的经验主动 的构建过程 。因此教师在对 概念 和定理 的教 学过程 中 ， 要 引导学生搞清楚概 念 、 定理的来龙 去脉 ， 从 实 际 出发 ， 了解其 背景 以及 应用 范 围 。布鲁 纳 的认知 发 现学 习理论 认为， 学 生在学 习概念 、 定理 时的探索 、 发现 过程 ， 比知识 本身更重 要 。因此 ， 教师 在平 时 的教学 过程 中讲到 概念 、 定理时 ， 一定要讲清楚 它们的背景 、 形成及推导过程 。 在 概念 讲解 时 ， 一定要 讲 清概念 中的定 义 。例 如椭 圆 的定 义， 应 借助图形直观说 明椭 圆形成 的过程 ， 并 加深对定义的理解 ： ①Ｆ 。 、 Ｆ 是定点 ， ②ｒ Ｉ ＋ ｒ ２ ＝ 定长 ， 且定 长大于 Ｆ 、 Ｆ 的距离 ， ③满足 ｒ ｌ ＋ ｒ ２ ＝ 定长 的所有定 点的集合 。 在定理讲解 时 ， 要讲清定理 的证 明和推导 的过程 。例如在讲 余弦定理时 ， 可以先不告诉学生答案 ， 让 学生 通过 探索 、 讨论 的形 式进行分析 ， 得到不止一种证明 的方法 ： 余 弦定理 ： 如 图所示 ， △ＡＢ Ｃ的三个顶 点对应 的三条边分别
（ 一 ） ＝ ＿ ２ ２ ． ．
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开 始笔 者把一杆米尺用手拿着竖在地 面上 ， 以示直线和平 面垂直 ， 然 后鼓励 学生去 找直线 和平 面垂直所 需要 的条件 是什 么， 于是学生开 始猜想 ， 学生 １ 猜 只要这 条直线垂 直于平 面 中的 条 直线就可 以了 ， 但很 快被其他学生 用举反例 的形 式否定 了 ； 学生 ２ 猜 只要 这条直线垂直于平面 中的两条 直线就可以 了， 因为 平面 中的两条直线 可以确定一个平面 ， 但没多久又被几个同学否 定了； 学生 ３ 猜只要这条直 线垂 直于平面 中的两条相交 直线 就可 以了 ， 这 一猜 测 提 出来 后 ， 所 有学 生 都没 有能 够找 到反 例来 推 翻。接下来笔 者就发动全体学 生试图用演绎 推理进行证 明这个 猜测 ， 在大家 的努力下 ， 终于证 明出了这一结论 。而这个结论 ， 就 是直线和平面垂直 的判定定理 。 ３ 精心编制例题 。 让 学生牢固掌握推理论证 的方法与技巧 美 国数学教育 家波利亚说过 ， “ 一个有责任 的教师与其 穷于 应付繁琐 的数学 内容和过量 的题 目， 还不如适 当选 择某 些有意义 但又不太复杂 的题 目去帮助学生发掘题 目的各个方面 ， 在指导学 生解题 中 ， 提高他们的才智与思维能力” 。所 以老师在选题时 ， 一 定要 精而 少 ， 一道题 能代表 一类题 ， 一种方法 能解决 一类 问题 。 而一题多解和变式训练就是很好 的选题标准 ， 它是 掌握 推理论证
