数制与编码

计算机中的数制和编码一、数制的概念：数制是用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数目的科学方法。

按照进位方式计算的数制叫做进位数制。

例如：逢十进一即为十进制，逢二进一为二进制，逢八进一为八进制，逢十六进一为十六进制。

进位计数制有两个要素：基数和权值。

1、基数：它是指各种进位计数制中允许选用基本数码的个数。

例如：十进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，所以十进制的基数为10；二进制的数码有0、1两个数码，所以二进制的基数为2；八进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7八个数码，所以八进制的基数为8；十六进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六个数码，所以十六进制的基数为16。

2、权值：每个数码所表示的数值等于该数码乘以一个与数码所在位置相关的常数，这个常数叫权值。

其大小是以基数为底，数码所在位置的序号为指数的整数次幂。

例如：十进制数356.4=3×100＋5×10＋6×1＋0.4＝3×102＋5×101＋6×100＋4×10-1（3在百位上，所以3×100＝3×102；5是在十位上，所以5×10＝5×101；6是在个位上，所以6×1＝6×100；0.4为小数，所以0.4＝4×10-1）。

二、十进制（D ecimal notation）及其特点：1、两个特点：①、十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；②、进位方法：逢十进一，借一当十。

（满了10个就得进一位）2、基数：103、按权展开式：任意一个a位整数和b位小数的十进制数D可以表示为：D＝D a-1×10a-1＋D a-2×10a-2＋…＋D0×100＋D-1×10-1＋D-2×10-2＋…＋D-b×10-b4、十进制在书写中的三种表达方式：128或者128D或（128）10三、二进制（B inary notation）及其特点：1、两个特点：①、两个数码：0、1；②、进位方法：逢二进一，借一当二。

常用进位制：二进制、八进制、十六 进制、十进制等。
数码的个 数和计数 规律是进 位计数制 的两个决 定因素
一、 十进制数的表示 数码个数10： ⒈ 数码个数 ：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
计数规律: 计数规律
逢十进 1,借一当10
2.基与基数 2.基与基数
用来表示数的数码的集合称为基 用来表示数的数码的集合称为基（0—9）, ） 称为基数 十进制为10)。 称为基数(十进制为 。 基数 十进制为 集合的大小
lg α j≥i lg β
取满足不等式的最小整数
)16 ，已知精度为±(0.1)410
例: (0.3021)10→(
解： α＝10，β＝16，i＝4
lg10 j≥ 4 = 3.32 取 j=4 lg16
⑵按题意要求
例: (0.3021)10→( 解:
)2 ，要求精度 0.1% ∴取 j=10
1 1 0.1% = ≥ 10 1000 2
X ;0 ≤ X < 2n [ X ]补＝ 2n +1 + X ;-2n ≤ X < 0
例 2：
(321.4)8 = ( )10 =3×82+2×81+1×80 +4×8-1 =(209.5)10 192 16 1 0.5
基数乘除法（ 10 → R ）
分整数部分和小数部分分别转换。 ⒈整数的转换——基数除法 规则：除基取余， 规则：除基取余，商零为止 例1：(25) 10 = ( ) 2
例：已知 X1＝1100 X2＝1010 求 Y1＝ X1－ X2 ； Y2＝ X2－ X1
01100 +10101 100001 + 1 00010 01010 +10011 11101

8421BCD码和十进制的之间的转化
例：将十进制数768用8421BCD码表示。 十进制数 7 6 8 8421码 0111 0110 1000 （768）10=（0111 0110 1000）8421
注意：
1.编码是一种符号表示某个具体的实物，所以编码不能比较大小。 2.8421BCD码是使用最广泛的 一种编码，在用4位二进制数码来表示1位十制 数时，每1位二进制数的位权依次为23、22、21、20，即8421，所以称为8421码 8421码选取0000—1001前十种组合来表示十进制数，而后六种组合舍去不用，称 为伪码。
可将每个八进数用3位二进制数表示，然后按八进制的排序将这些3位二进
制数排列好，就可得到相应的二进制数。
例：将八进制数475转化为二进制数。
解： 八进制数 4
7
5
二进制数 100 111
101
所以（475）8=（100111101）8
二进制数换为十六进制数
可将二进制整数自右向左每4位分为一组，最后不足４位的，高位用零补
6、将下列的二进制转化为十进制
（１０１１）２
（１１０１１）２
（１１０１１０）２
（１１００１１１１０）２
7、将下列的十进制转化为二进制
（２０） （３８）
（１００） （１８４）
8、完成下列二进制的运算
１０１+１１
１１１１１+１０１
１１０－１１
１１０１－１１１
9、什么是二进制代码？ 什么是８４２１编码？列出８４２１ＢＣＤ码的真 值表？
二进制数换为八进制数
可将二进制整数自右向左每3位分为一组，最后不足3位的，高位用零补足，
再把每3位二进制数对应的八进制数写出即可。

计算机中的数制与编码一、数制1、什么是进位计数制数制也称计数制,是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。

按进位的原则进行计数的方法,称为进位计数制。

比如，在十进位计数制中,是按照“逢十进一”的原则进行计数的。

常用进位计数制：a、十位制(Decimal notation)；b、二进制(Binary notation)；c、八进制(Octal notation)；d、十六进制数(Hexdecimal notation)2、进位计数制的基数与位权"基数"和"位权"是进位计数制的两个要素。

（1）基数：所谓基数，就是进位计数制的每位数上可能有的数码的个数。

例如，十进制数每位上的数码，有"0"、"1"、"3",…，"9"十个数码，所以基数为10。

（2）位权：所谓位权，是指一个数值的每一位上的数字的权值的大小。

例如十进制数4567从低位到高位的位权分别为100、101、102、103。

因为：4567＝4x103＋5x 102＋6x 101 ＋7x100（3）数的位权表示：任何一种数制的数都可以表示成按位权展开的多项式之和。

比如：十进制数的435．05可表示为：435．05＝4x102＋3x 101＋5x100＋0x10－1 ＋5x 10－2位权表示法的特点是：每一项＝某位上的数字X基数的若干幂次；而幂次的大小由该数字所在的位置决定。

3、二进制数计算机中为何采用二进制：二进制运算简单、电路简单可靠、逻辑性强（1）定义：按“逢二进一”的原则进行计数，称为二进制数，即每位上计满2 时向高位进一。

（2）特点：每个数的数位上只能是０，１两个数字；二进制数中最大数字是１，最小数字是０；基数为２；比如：10011010与00101011是两个二进制数。

（３）二进制数的位权表示：(1101.101)2＝1x23＋1x 22＋0x 21＋1x 20＋1x2－1 ＋0x 2－2＋1x2－3（4）二进制数的运算规则1 加法运算① 0＋0＝0 ③ 1＋1＝10② 0＋1＝1＋0＝12 乘法运算① 0×0＝0 ③ 1×1＝1② 0×1＝1×0＝04、八进位制数（1）定义：按“逢八进一”的原则进行计数，称为八进制数，即每位上计满8时向高位进一。