2012年福建高考数学文试题及答案三明

2012年高考文科数学试卷（福建卷）附答案数学试题（文史类）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数（2+i）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.∩N={2}3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是A.x=-B.x-1C.x=5D.x=04.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可一世A球B三棱锥C正方体D圆柱5已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于ABCD6阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于A-3B-10C0D-27.直线x+-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于A.B.C.D.18.函数f(x)=sin(x-)的图像的一条对称轴是A.x=B.x=C.x=-D.x=-9.设,则f(g(π))的值为A1B0C-1Dπ10.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件则实数m 的最大值为A.-1B.1C.D.211.数列的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于A.1006B.2012C.503D.012.已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，，则AC=_______。

14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。

数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数（2+i ）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.N ⊆MB.M ∪N=MC.M ∩N=ND.M ∩N={2}3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-12 B.x-1 C.x=5 D.x=04. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱5 已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A 31414 B 324 C 32 D 436 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于A -3B -10C 0D -27.直线x+3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于A. 25 B 23. C.3 D.1 8.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2π 9.设,则f(g(π))的值为A 1B 0C -1D π10.若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件则实数m 的最大值为 A.-1 B.1 C. 32D.2 11.数列{a n }的通项公式，其前n 项和为S n ，则S 2012等于A.1006B.2012C.503D.0（I ） 已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2013年福建高考（文科）数学考试真题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（2+i）2等于（）2．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）3．已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）4．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）5．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）B6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（）7．直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）8．函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）﹣﹣））的值为（）9．设f（x）=，g（x）=，则f（g（πm的最大值为（）2我相信，我能行！我能考到120分！11．数列{a n}的通项公式a n =ncos，其前n项和为S n，则S2012等于（）12．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=_________14．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_________．15．已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________．16．某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点A，B，C表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．优一5班提分专用318．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；4我相信，我能行！我能考到120分！（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．20．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．优一5班提分专用521．（12分）（2012•福建）如图，等边三角形OAB 的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py （p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点．22．（14分）（2012•福建）已知函数，且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．6我相信，我能行！我能考到120分！2012年福建高考（文科）数学真题答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．因为向量==⊥，所以∵双曲线=1﹣d=由直线与圆相交的性质可知，，即=kπ+，x=kπ+，）的图象对﹣9．B优一5班提分专用7由题意，）满足约束条件=ncos是以T=）＜8我相信，我能行！我能考到120分！优一5班 提分专用9二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．AC=．的对边，可利用正弦定理，14．应抽取女运动员人数是 12 ．15．实数a 的取值范围是 （0，8） ．16．铺设道路的最小总费用为 16 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． =10+∴这两项的值相等的概率：．=a=﹣，∴回归直线方程∴该产品的单价应定为，又CC×2×1=1=AD•．，MC= =10我相信，我能行！我能考到120分！20.sin30°，故．．﹣cos sinαcosαsin．+﹣﹣（）﹣sin﹣cos2α+sin2α﹣﹣+．，，4，）上，∴）知，：即优一5班提分专用11得，∴）（﹣x+y+）=2y，）﹣，，又函数故函数在，不合题意；，，又函数故函数在12我相信，我能行！我能考到120分！）=综上所述，得）知，，从而有＜（=又函数在，）单调递增，故函数，，）[，，，∈（，）在（，，）＞）在（）在（，优一5班提分专用13。

2012年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•福建）复数（2+i）2等于（）A．3+4i B．5+4i C．3+2i D．5+2i【分析】直接根据复数的乘法的运算法则，以及i2=﹣1可求出所求．【解答】解：（2+i）2=4+4i+i2=3+4i故选：A．2．（5分）（2012•福建）已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}【分析】由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．【解答】解：A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，故A错误；B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误；C、M∩N={2}≠N，故C错误；D、M∩N={2}，故D正确．故选：D．3．（5分）（2012•福建）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）A．x=﹣B．x=﹣1C．x=5D．x=0【分析】直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可．【解答】解：因为向量=（x﹣1，2），=（2，1），⊥，所以2（x﹣1）+2=0，解得x=0．故选：D．4．（5分）（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【分析】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选：D．5．（5分）（2012•福建）已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），可得a=2，进而可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9∴a2=4∴a=2∵c=3∴故选：C．6．（5分）（2012•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（）A．﹣3B．﹣10C．0D．﹣2【分析】通过循环，计算s，k的值，当k=4时退出循环，输出结果即可．【解答】解：k=1，满足判断框，第1次循环，s=1，k=2，第2次判断后循环，s=0，k=3，第3次判断并循环s=﹣3，k=4，第3次判断退出循环，输出S=﹣3．故选：A．7．（5分）（2012•福建）直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2B．2C．D．1【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=由直线与圆相交的性质可知，即∴故选：B．8．（5分）（2012•福建）函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【分析】将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果【解答】解：由题意，令x﹣=kπ+，k∈z得x=kπ+，k∈z是函数f（x）=sin（x﹣）的图象对称轴方程令k=﹣1，得x=﹣故选：C．9．（5分）（2012•福建）设f（x）=，＞，，＜，g（x）=，为有理数，为无理数，则f（g（π））的值为（）A．1B．0C．﹣1D．π【分析】根据π是无理数可求出g（π）的值，然后根据分段函数f（x）的解析式可求出f（g（π））的值．【解答】解：∵π是无理数∴g（π）=0则f（g（π））=f（0）=0故选：B．10．（5分）（2012•福建）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1B．1C．D．2【分析】根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1∴实数m的最大值为1故选：B．11．（5分）（2012•福建）数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2012等于（）A．1006B．2012C．503D．0【分析】由已知得f（n）=cos是以T==4为周期的周期函数，由此能求出S2012的值．【解答】解：∵a n=ncos，又∵f（n）=cos是以T==4为周期的周期函数，∴a1+a2+a3+a4=（0﹣2+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（0﹣6+0+8）=2，…a2009+a2010+a2011+a2012=（0﹣2010+0+2012）=2，S2012=a1+a2+a3+a4+…+a2012=（0﹣2+0+4）+（0﹣6+0+8）+…+（0﹣2010+0+2012）=2×503=1006故选：A．12．（5分）（2012•福建）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f （b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c，设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴b+c=6﹣a，∴bc=9﹣a（6﹣a）＜，∴a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，∴0＜a＜1＜b＜3＜c，∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（4分）（2012•福建）在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=．【分析】结合已知两角一对边，要求B的对边，可利用正弦定理，进行求解【解答】解：∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴BC=由正弦定理可得，可得AC===故答案为：14．（4分）（2012•福建）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，∴这支田径队有女运动员98﹣56=42人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，∴每个个体被抽到的概率是=∵田径队有女运动员42人，∴女运动员要抽取42×=12人，故答案为：1215．（4分）（2012•福建）已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（0，8）．【分析】将关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，转化成△＜0，从而得到关于a的不等式，求得a的范围．【解答】解：因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=（﹣a）2﹣8a＜0，解得0＜a＜8故答案为：（0，8）．16．（4分）（2012•福建）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点A，B，C表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为16．【分析】确定铺设道路的总费用最小时的线路为：A→E→F→G→D，从G分叉，G→C→B，即可求得铺设道路的最小总费用．【解答】解：由题意，铺设道路的总费用最小时的线路为：A→E→F→G→D，从G分叉，G→C→B总费用为2+3+1+2+3+5=16故答案为：16三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•福建）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．【分析】（Ⅰ）先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；（Ⅱ）先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由题得：S10=10+d=55；b4=q3=8；解得：d=1，q=2．所以：a n=n，b n=2n﹣1．．（Ⅱ）分别从从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）．两项的值相等的有（1，1），（2，2）．∴这两项的值相等的概率：．18．（12分）（2012•福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【分析】（I）计算平均数，利用b=﹣20，a=﹣b，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．【解答】解：（I），=∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；（II）设工厂获得的利润为L元，则L=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣20∴该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大．19．（12分）（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．【分析】（1）由题意可知，A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求；（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．易证CM⊥平面B1C1M，从而CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，问题得到解决．【解答】解：（1）由长方体ABCD﹣A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，又=CC1×CD=×2×1=1，∴=AD•=．（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．由AD=CD=1，AA1=2，得M为DD1的中点．连接C1M，在△C1MC中，C1M=，MC=，C1C=2，∴=+MC2，得∠CMC1=90°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM，又B1C1∩C1M=C1，∴CM⊥平面B1C1M，∴CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC=M，∴B1M⊥平面MAC20．（12分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣，化简可得结果．【解答】解：选择（2），计算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故这个常数为．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．21．（12分）（2012•福建）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ 为直径的圆恒过y轴上某定点．【分析】（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，从而可得B（4，12），利用B 在x2=2py（p＞0）上，可求抛物线E的方程；（2）由（1）知，，，设P（x0，y0），可得l：，与y=﹣1联立，求得，取x0=2，x0=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可．【解答】解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线E的方程为x2=4y；（2）由（1）知，，设P（x0，y0），则x0≠0．l：即由得，∴，取x0=2，此时P（2，1），Q（0，﹣1），以PQ为直径的圆为（x﹣1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，﹣1）取x0=1，此时P（1，），Q（﹣，﹣1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M（0，1）或M4（0，﹣）3故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下∵，，，∴=2y0﹣2﹣2y0+2=0故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．22．（14分）（2012•福建）已知函数f（x）=axsinx﹣（a∈R），且在，上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．【分析】（I）由题意，可借助导数研究函数，在，上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（II）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．【解答】解：（I）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），对于任意的x∈（0，），有sinx+xcosx＞0，当a=0时，f（x）=﹣，不合题意；当a＜0时，x∈（0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单调递减，又函数在，上图象是连续不断的，故函数在，上上的最大值为f（0）=﹣，不合题意；当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单调递增，又函数在，上图象是连续不断的，故函数在，上上的最大值为f（）==，解得a=1，综上所述，得（II）函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．证明如下：由（I）知，，从而有f（0）=﹣＜0，f（）=＞0，又函数在，上图象是连续不断的，所以函数f（x）在（0，）内至少存在一个零点，又由（I）知f（x）在（0，）单调递增，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．当x∈[，π]时，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，由g（）=1＞0，g（π）=﹣π＜0，且g（x）在[，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．由g′（x）=2cosx﹣xsinx，知x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π]上单调递减．当x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单调递增故当x∈（，m）时，f（x）＞f（）=＞0，从而（x）在（，m）内无零点；当x∈（m，π）时，有g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，从而f（x）在（，m）内单调递减．又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f（x）在[m，π]内有且仅有一个零点．综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．。

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(2＋i)2等于()A．3＋4i B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i2．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．12x=-B．x＝－1C．x＝5 D．x＝04．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱5．已知双曲线22215x ya-=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A．14B4C．32D．436．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于()A．－3 B．－10 C．0 D．－27．直线x＋－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()A．B．C D．18．函数f(x)＝sin(x－π4)的图象的一条对称轴是… ()A．π4x=B．π2x=C．π4x=-D．π2x=-9．设1,0,()0,0,1,0,xf x xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩1,()xg xx⎧=⎨⎩为有理数，，为有理数，则f(g(π))的值为()A．1 B．0 C．－1 D．π10．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件30,230,,x yx yx m+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m的最大值为()A．12B．1 C．32D．211．数列{a n}的通项公式πcos2nna n=，其前n项和为S n，则S2 012等于()A．1 006 B．2 012 C．503 D．012．(文)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0．现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0．其中正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC=，则AC＝__________．14．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是__________．15．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__________．16．某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{a n}的前10项和S10＝55．(1)求a n和b n；(2)现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．18．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试(1)求回归直线方程 y bx a=+，其中b＝－20，a y b x=-；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 19．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．20．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．21．如图，等边三角形OAB的边长为E：x2＝2py(p＞0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．22．已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1．A(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i．2． D ∵M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，∴M ∩N ＝{2}． 3． D ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(2,1)＝2(x －1)＋2×1＝2x ＝0，即x ＝0．4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆， ∴这个几何体不可以是圆柱．5． C 由双曲线的右焦点为(3,0)知c ＝3，即c 2＝9，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴9＝a 2＋5，即a 2＝4，a ＝2．故所求离心率32c e a ==．6． A (1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，输出s ＝－3．7． B 圆心O 到直线AB的距离1d ==，所以||AB ===． 8． C 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z ．当k ＝－1时x ＝－π＋3π4＝π4-．故选C ．9．B ∵g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0．10． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x ＝3－x ，即x ＝1＝m ．11． A ∵函数πcos 2n y =的周期2π4π2T ==，∴可分四组求和：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝0，a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝－2－6－…－2 010＝503(22010)2⨯--＝－503×1 006，a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝0，a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝4＋8＋…＋2 012＝503(42012)2⨯+＝503×1 008．故S 2 012＝0－503×1 006＋0＋503×1 008＝503×(－1 006＋1 008)＝1 006．12． C 设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ＝0，则x 1＝0，x 2＝x 3＝3，其图象如下图：要使f (x )=x 3－6x 2+9x －abc 有3个零点，需将g (x )的图象向下平移，如图所示：又f ′(x )=3x 2－12x +9=0时，x 1=1，x 2=3，即得f (1)是极大值，f (3)是极小值． 故由图象可知f (0)·f (1)＜0，f (0)·f (3)＞0．13．解析：如图： 由正弦定理得sin sin AC BC BA=，即sin 45sin 60AC =︒︒22=，故AC =14．答案：12 解析：∵282987=，即每7人抽取2人，又知女运动员人数为98－56＝42(人)，∴应抽取女运动员人数为42×27＝12(人)．15．答案：(0,8) 解析：∵x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，∴∆＝(－a )2－4·2a ＜0，即a 2－8a ＜0,0＜a ＜8．故a 的取值范围是(0,8)．16．答案：16解析：由题意知，各城市相互到达，且费用最少为1＋2＋2＋3＋3＋5＝16＝FG ＋GD ＋AE ＋EF ＋GC ＋BC ．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ．依题意得S 10＝10＋1092⨯d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1．(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率29P =．18．解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80，所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为 y ＝－20x ＋250． (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25，当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 19．解：(1)由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1知，AD ⊥平面CDD 1C 1，故点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1． 又∵111121122M C C S C C C D ∆=⋅=⨯⨯=，∴111133A M C C M C C V A D S -∆⋅＝＝．(2)将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C ′共线时，A 1M +MC 取得最小值． 由AD =CD =1，AA 1=2，得M 为DD 中点．连结C 1M ，在△C 1MC 中，1M C =，MC =，CC 1=2，∴CC 12=MC 12+MC 2，得∠CMC 1=90°，即CM ⊥MC 1． 又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1， ∴B 1C 1⊥CM ．又B 1C 1∩C 1M =C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M ． 同理可证，B 1M ⊥AM ，又AM ∩MC =M ，∴B 1M ⊥平面MAC ．20．(理17，文20)解：方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34．方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－2sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α4sin2α－4sin2α－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．21．解：方法一：(1)依题意，||O B =BOy ＝30°． 设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin30°＝ y ＝|OB |·cos 30°＝12．因为点B(12)在x 2＝2py 上，所以(2＝2p ×12，解得p ＝2．故抛物线E 的方程为x 2＝4y ．(2)由(1)知214y x =，12y'x =．设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 02．由20011,241,y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得2004,21.x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩ 所以Q (20042x x -，－1)．设M (0，y 1)，令0M P M Q ⋅= 对满足20014y x =(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于M P ＝(x 0，y 0－y 1)，M Q ＝(20042x x -，－1－y 1)，由0M P M Q ⋅= ，得20042x x -－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 12＝0，即(y 12＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0．(*) 由于(*)式对满足20014y x =(x 0≠0)的y 0恒成立，所以121110,20,y y y -=⎧⎨+-=⎩解得y 1＝1．故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．方法二：(1)同方法一． (2)由(1)知214y x =，12y'x =．设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 02．由20011,241,y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得2004,21.x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩ 所以Q (20042x x -，－1)．取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P (1，14)，Q (32-，－1)，以PQ 为直径的圆为(x ＋14)2＋(y ＋38)2＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4(0，74-)．故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)． 以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为M P ＝(x 0，y 0－1)，M Q ＝(20042x x -，－2)，M P M Q ⋅ ＝2042x -－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0． 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M ． 22．解：(1)由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )， 对于任意x ∈(0，π2)，有sin x ＋x cos x ＞0．当a ＝0时，3()2f x =-，不合题意；当a ＜0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )＜0，从而f (x )在(0，π2)内单调递减，又f (x )在［0，π2］上的图象是连续不断的，故f (x )在［0，π2］上的最大值为3(0)2f =-，不合题意；当a ＞0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )＞0，从而f (x )在(0，π2)内单调递增，又f (x )在［0，π2］上的图象是连续不断的，故f (x )在［0，π2］上的最大值为π()2f ，即π3π3222a --=，解得a ＝1．综上所述，得f (x )＝x sin x －32．(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x 32-，从而有f (0)＝32-＜0，ππ3()022f -=>，又f(x)在［0，π2］上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0，π2)内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在［0，π2］上单调递增，故f(x)在(0，π2)内有且仅有一个零点．当x∈［π2，π］时，令g(x)＝f′(x)＝sin x＋x cos x．由g(π2)＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在［π2，π］上的图象是连续不断的，故存在m∈(π2，π)，使得g(m)＝0．由g′(x)＝2cos x－x sin x，知x∈(π2，π)时，有g′(x)＜0，从而g(x)在(π2，π)内单调递减．当x∈(π2，m)时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在(π2，m)内单调递增，故当x∈［π2，m］时，ππ3()()022f x f-≥=>，故f(x)在［π2，m］上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在［m，π］上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数2)2(i +等于（ ）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+ 答案 A解析：44)2(22++=+i i iii 43441+=++-=。

2. 已知集合}4,3,2,1{=M ，}2,2{-=N ，下列结论成立的是（ ）A ．M N ⊆B ．M N M =C ．N N M =D ．}2{=N M 答案 D解析：}4,3,2,1,2{-=N M ，}2{=N M 。

3. 已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ ）A ．21-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 答案 D解析：非零向量0=⋅⇔⊥→→→→b a b a 。

2)1(2=⇔=+-⇔x x4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 答案 D解析：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。

5. 已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为)0,3(，则该双曲线的离心率等于（ ）xy Odrl A ．31414 B ．324 C ．32 D ．43答案 C解析：双曲线中，23325322=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=e c a ca c 。

6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（ ） A ．3- B ．10- C ．0 D ．2-答案 A解析： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束.7. 直线023=-+y x 与圆422=+y x 相交于B A ,两点，则弦AB 的长度等于（ ）A ．25B ．23C ．3D ．1 答案 B解析： 图形如图所示，圆心为)0,0(，半径为2， 圆心到直线的距离1)3(1|2030|22=+-⨯+=d ，所以222d r l -=3212222=-=。

全国高考文科数学试题答案及解析数学试题（文史类）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数（2+i）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.N MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是A.x=-12B.x=-1C.x=5D.x=0【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1）+2=0 所以x=0 。

D正确【答案】D【考点定位】考察数量积的运算和性质，要明确性质。

4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱、【解析】分别比较A、B、C的三视图不符合条件，D 符合【答案】D【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力。

5 已知双曲线22xa-25y=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A14B4C32D436 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于A -3B -10C 0D -2【解析】1.S=2×1-1=1，K=22.S=2×1-2=0，K=33．S=2×0-3=-3 K=4，输出-3【答案】A【考点定位】该题主要考察算法的基本思想、结构和功能，把握算法的基本思想是解决好此类问题的根本。

7.直线x+y2-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于A. B C. D.18.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2π9.设,则f(g(π))的值为A 1B 0C -1D .π 【解析】因为g （π）=0 所以f （g （π））=f （0）=0 。

2012 年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2012?福建）复数（ 2+i ）2等于（）A ．3+4iB ．5+4iC ．3+2iD ．5+2i 【剖析】 直接依据复数的乘法的运算法例，以及 i 2 ﹣ 1 可求出所求．= 【解答】 解：（2+i ） 2=4+4i+i 2 =3+4i应选： A ．2．（5 分）（2012?福建）已知会合M={ 1，2，3，4} ，N={ ﹣2， 2} ，以下结论成立的是（）A ．N? MB ．M ∪N=MC ．M ∩N=ND ．M ∩N={ 2}【剖析】由 M={ 1， 2， 3，4} ，N={ ﹣ 2，2} ，则可知，﹣ 2∈ N ，可是﹣ 2?M ，则N?M ，M ∪N={ 1，2，3，4，﹣ 2} ≠M ，M ∩N={ 2} ≠N ，从而可判断．【解答】解： A 、由 M={ 1，2，3，4} ，N={ ﹣ 2，2} ，可知﹣ 2∈N ，可是﹣ 2?M ，则 N?M ，故 A 错误；B 、M ∪N={ 1，2，3，4，﹣2} ≠M ，故C 、M ∩N={ 2} ≠N ，故 C 错误；D 、M ∩N={ 2} ，故 D 正确．B 错误；应选： D ．3．（5 分）（2012?福建）已知向量件是（）=（x ﹣1，2），=（ 2， 1），则 ⊥ 的充要条A ．x=﹣B ．x=﹣1C ．x=5D ．x=0【剖析】 直接利用向量垂直的充要条件，经过坐标运算求出x 的值即可．【解答】 解：因为向量 =（x ﹣1，2）， =（2，1）， ⊥ ，因此 2（x ﹣1）+2=0，解得 x=0．应选： D ．4．（5 分）（2012?福建）一个几何体的三视图形状都同样，大小均相等，那么这个几何体不能够是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【剖析】利用简单几何体的构造特点以及三视图的定义，简单判断圆柱的三视图不行能形状同样，大小均等【解答】解： A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适合高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都同样；C、正方体的三视图能够是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其余两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都同样，大小均等，那么这个几何体不能够是圆柱．应选： D．5．（5 分）（2012?福建）已知双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【剖析】依据双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），可得a=2，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），∴ a2+5=9∴ a2=4∴ a=2∵ c=3∴应选： C．6．（5 分）（2012?福建）阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，输出s 值等于（）A．﹣ 3B．﹣ 10C．0D．﹣ 2【剖析】经过循环，计算 s，k 的值，当 k=4 时退出循环，输出结果即可．【解答】解： k=1，知足判断框，第1 次循环， s=1，k=2，第 2 次判断后循环， s=0，k=3，第3 次判断并循环s=﹣3，k=4，第3 次判断退出循环，输出 S=﹣ 3．应选： A．7．（5 分）（2012?福建）直线 x+﹣2=0与圆x2+y2=4订交于A，B两点，则弦AB 的长度等于（）A．2B．2C．D．1【剖析】由直线与圆订交的性质可知，，要求AB，只需先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0 的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0 的距离d=由直线与圆订交的性质可知，即∴应选： B．8．（ 5 分）（2012?福建）函数 f（ x）=sin（ x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【剖析】将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数 f（x）的对称轴方程，比较选项即可得结果【解答】解：由题意，令 x﹣ =kπ+ ， k∈z得 x=kπ+ ，k∈z 是函数 f（ x） =sin（x﹣）的图象对称轴方程令 k=﹣1，得 x=﹣应选： C．．（分）（福建）设（），＞，g（ x）=，为有理数，则f（g ，9 52012? f x =，为无理数，＜（π））的值为（）A．1B．0C．﹣ 1D．π【剖析】依据π是无理数可求出g（π）的值，而后依据分段函数 f （x）的分析式可求出 f（g（π））的值．【解答】解：∵ π是无理数∴g（π） =0则 f（ g（π））=f（ 0） =0应选： B．10（．5 分）（2012?福建）若直线 y=2x上存在点（ x，y）知足拘束条件，则实数 m 的最大值为（）A．﹣1B．1C．D．2【剖析】依据，确立交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）知足拘束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直 y=2x 上存在点（ x，y）足束条件，如所示．可得m≤1∴ 数 m 的最大 1故： B．．（分）（福建）数列n}的通公式a n=ncos ，其前 n 和 S n，11 52012?{ aS2012等于（）A．1006B．2012C．503D．0【剖析】由已知得 f（n）=cos是以 T==4 周期的周期函数，由此能求出S2012的．【解答】解：∵ a n=ncos，又∵ f（ n） =cos是以T==4 周期的周期函数，∴a1+a2+a3+a4 =（0 2+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（0 6+0+8）=2，⋯a2009+a2010+a2011+a2012=（ 0 2010+0+2012）=2，S2012=a1+a2+a3+a4+⋯+a2012=（0 2+0+4）+（0 6+0+8）+⋯+（0 2010+0+2012）=2×503=1006故： A．12．（ 5 分）（2012?福建）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且 f（ a） =f （b）=f（ c） =0．现给出以下结论：①f（0）f （1）＞ 0；② f（0）f （1）＜ 0；③ f（0）f （3）＞ 0；④f（0）f （3）＜ 0．此中正确结论的序是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【剖析】依据 f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且 f（ a）=f（ b）=f（c）=0，确立函数的极值点及a、b、c 的大小关系，由此可得结论．【解答】解：求导函数可得 f ′（x）=3x2﹣12x+9=3（ x﹣ 1）（x﹣3），∵a＜ b＜ c，且 f（ a） =f（b）=f（c）=0．∴a＜ 1＜b＜ 3＜ c，设 f（ x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（ a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，∵ f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，∴ a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴ b+c=6﹣a，∴ bc=9﹣a（6﹣a）＜，∴a2﹣4a＜ 0，∴0＜ a＜4，∴0＜ a＜1＜ b＜ 3＜c，∴f（0）＜ 0， f（1）＞ 0， f（3）＜ 0，∴f（0）f （1）＜ 0，f（0）f（ 3）＞0．应选： C．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应地点．13．（ 4 分）（ 2012?福建）在△ ABC中，已知∠ BAC=60°，∠ ABC=45°， BC=，则AC=．【剖析】联合已知两角一对边，要求 B 的对边，可利用正弦定理，进行求解【解答】解：∵∠ BAC=60°，∠ ABC=45°，∴ BC=由正弦定理可得，可得AC===故答案为：14．（ 4 分）（2012?福建）一支田径队有男女运动员98 人，此中男运动员有56人．按男女比率用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28 的样本，那么应抽取女运动员人数是12．【剖析】依据田径队的男女运动员数量和用分层抽样要抽取的数量，获取每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数量，获取结果．【解答】解：∵田径队有男女运动员98 人，此中男运动员有56 人，∴这支田径队有女运动员98﹣ 56=42 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28 的样本，∴每个个体被抽到的概率是=∵田径队有女运动员42 人，∴女运动员要抽取42× =12 人，故答案为： 1215．（ 4 分）（2012?福建）已知对于x 的不等式 x2﹣ ax+2a＞0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（0，8）．【剖析】将对于 x 的不等式 x2﹣ ax+2a＞0 在 R 上恒成立，转变成△＜ 0，从而获取对于 a 的不等式，求得 a 的范围．【解答】解：因为不等式 x2﹣ax+2a＞ 0 在 R 上恒成立．故答案为：（ 0， 8）．16．（ 4 分）（2012?福建）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点 A， B， C 表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的花费，要求从任一城市都能抵达其余各城市，而且铺设道路的总花费最小．比如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总花费为 10．现给出该地域可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总花费为16．【剖析】确立铺设道路的总花费最小时的线路为：A→E→F→G→D，从 G 分叉，G→ C→B，即可求得铺设道路的最小总花费．【解答】解：由题意，铺设道路的总花费最小时的线路为：A→E→F→G→D，从G 分叉， G→ C→B总花费为 2+3+1+2+3+5=16故答案为： 16三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（ 12 分）（2012?福建）在等差数列 { a n} 和等比数列 { b n} 中， a1=b1=1，b4=8，{ a n} 的前 10 项和 S10=55．（Ⅰ）求 a n和 b n；（Ⅱ）现分别从 { a n} 和{ b n} 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本领件，并求这两项的值相等的概率．【剖析】（Ⅰ）先依据条件求出公差和公比，即可求出通项；（Ⅱ）先依据第一问的结果把基本领件都写出来，再找到知足要求的即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由题得： S10=10+d=55； b4=q3=8；解得： d=1， q=2．因此： a n=n，b n=2n﹣1．．（Ⅱ）分别从从 { a n} 和 { b n} 的前 3 项中各随机抽取一项，获取的基本领件有9 个：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）．两项的值相等的有（ 1，1），（2，2）．∴这两项的值相等的概率：．18．（ 12 分）（2012?福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理订价，将该产品按预先制定的价钱进行试销，获取以下数据：单价 x（元）88.28.48.68.89销量（件）908483807568 y（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，此中 b=﹣20，a= ﹣b ；（Ⅱ）估计在此后的销售中，销量与单价仍旧听从（I）中的关系，且该产品的成本是 4 元 / 件，为使工厂获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【剖析】（I）计算均匀数，利用b=﹣20，a= ﹣b ，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获取的收益为 L 元，利用收益 =销售收入﹣成本，成立函数，利用配方法可求工厂获取的收益最大．【解答】解：（I），=∵ b=﹣20，a= ﹣b ，∴a=80+20× 8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；（II）设工厂获取的收益为 L 元，则 L=x（﹣ 20x+250）﹣ 4（﹣ 20x+250） =﹣20∴该产品的单价应定为元，工厂获取的收益最大．19．（12 分）（ 2012?福建）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M 为棱 DD1上的一点．（1）求三棱锥 A﹣MCC1的体积；（2）当 A1M+MC 获得最小值时，求证： B1M ⊥平面 MAC．【剖析】（1）由题意可知， A 到平面CDD1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求；（ 2）将侧面 CDD1C1绕 DD1逆时针转 90°睁开，与侧面ADD1A1共面，当 A1，M，C′共线时， A1M+MC 获得最小值．易证 CM⊥平面 B1C1M ，从而 CM⊥ B1M ，同理可证， B1M ⊥AM，问题获取解决．【解答】解：（1）由长方体 ABCD﹣ A知， AD⊥平面 CDD ，1B1C1D11C1∴点 A 到平面 CDD1 1的距离等于 AD=1，C又= CC1×CD= ×2×1=1，∴= AD?= ．90°睁开，与侧面ADD A 共面，11DD 逆时针转（ 2）将侧面CDDC 绕111当 A1，M ，C′共线时， A1M+MC 获得最小值．由 AD=CD=1，AA1=2，得 M 为 DD1的中点．连结 C1M ，在△ C1MC 中， C1 M=，MC= ，C1C=2，∴=+MC2，得∠ CMC°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面 CDD ，1=901C1∴B1C1⊥CM，又 B1C1∩ C1M=C1，∴CM⊥平面 B1C1M，∴CM⊥ B1M ，同理可证， B1M⊥AM，又 AM∩MC=M，∴B1M ⊥平面 MAC20．（ 12 分）（2012?福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1） sin2 13°+cos217°﹣sin13 cos17° °（2） sin2 15°+cos215°﹣sin15 cos15° °（3） sin2 18°+cos212°﹣sin18 cos12° °（4） sin2（﹣ 18°）+cos248°﹣sin（﹣ 18°）cos48 °（5） sin2（﹣ 25°）+cos255°﹣sin（﹣ 25°）cos55 °（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）依据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．【剖析】（Ⅰ）选择（ 2），由 sin215°+cos215°﹣sin15 cos15° °=1﹣ sin30 =°，可得这个常数的值．（Ⅱ）推行，获取三角恒等式sin2α+cos2（ 30°﹣α）﹣ sin αcos（ 30°﹣α） = ．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左侧，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣ sin α（ cos30°cos+sin30α °sin ）α， 即 1 ﹣+α sin2 αcos2 +﹣ sin2 α﹣，化简可得结果．【解答】 解：选择（ 2），计算以下：sin 215°+cos 215°﹣sin15 cos15° °=1﹣ sin30 =°，故 这个常数为 ．（Ⅱ）依据（Ⅰ）的计算结果， 将该同学的发现推行， 获取三角恒等式 sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣ sin αcos （30°﹣α）= ．22 2α证明：（方法一）sin α（30°﹣ α）﹣sin αcos （30°﹣α）=sin+cos+﹣ s in α（cos30°cos+sin30α °sin ）α22222 2．=sin α+ cos α+ sin α+ sin α cos ﹣α sin α cos ﹣α sin α=sin α+ cos α= 2 2αcos （30°﹣α）=+﹣（方法二）sin α（30°﹣α）﹣sin+cossin α（ cos30 ° cos+sin30α ° sin ）α﹣ + （cos60°cos2+sin60α °sin2）α﹣sin2 α﹣2α=1sin﹣+αsin2 α﹣sin2 α﹣﹣﹣ + =．=1cos2 + =121．（ 12 分）（2012?福建）如图，等边三角形 OAB 的边长为，且其三个极点均在抛物线 E ：x 2=2py （ p ＞ 0）上．（ 1）求抛物线 E 的方程；（ 2）设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ，与直线 y=﹣1 相较于点 Q ．证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点．【剖析】（1）依题意， | OB| =8 ，∠ BOy=30°，从而可得 B （4， 12），利用 B在 x 2=2py （ p ＞ 0）上，可求抛物线 E 的方程；（ 2）由（1）知， ， ，设 P （x 0，y 0），可得 l ：，与 y=﹣1联立，求得，取x0=2，x0=1，猜想知足条件的点M 存在，再进行证明即可．【解答】解：（1）依题意， | OB| =8 ，∠ BOy=30°，设B（x， y），则 x=| OB| sin30 °=4 ， y=| OB| cos30°=12∵B（ 4 ，12）在 x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线 E 的方程为 x2=4y；（ 2）由（ 1）知，，设 P（x0，y0），则 x0≠0．l：即由得，∴，取 x0=2，此时 P（2，1），Q（0，﹣ 1），以 PQ 为直径的圆为（ x﹣ 1）2+y2=2，交y 轴于点 M 1（0，1）或 M 2（ 0，﹣ 1）取 x0=1，此时 P（1，），Q（﹣，﹣ 1），以 PQ 为直径的圆为（ x+ ）2+（y+ ）2=2，交 y 轴于点 M3（ 0， 1）或 M 4（0，﹣）故若知足条件的点M 存在，只好是 M（0，1），证明以下∵，，，∴=2y0﹣2﹣2y0 +2=0故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M （0，1）．22．（ 14 分）（2012?福建）已知函数 f（x）=axsinx﹣（a∈R），且在，上的最大值为，（1）求函数 f（ x）的分析式；（2）判断函数 f （x）在（ 0，π）内的零点个数，并加以证明．【剖析】（ I）由题意，可借助导数研究函数，在，上的单一性，确立出最值，令最值等于，即可获取对于 a 的方程，因为a的符对函数的最值有影响，故能够对 a 的取值范围进行议论，分类求解；（II）借助导数研究函数 f （x）在（ 0，π）内单一性，由零点判断定理即可得出零点的个数．【解答】解：（ I）由已知得 f （′ x）=a（sinx+xcosx），对于随意的 x∈（ 0，），有sinx+xcosx＞0，当 a=0 时， f （x）=﹣，不合题意；当 a＜0 时， x∈（ 0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单一递减，又函数在，上图象是连续不停的，故函数在，上上的最大值为 f （0）=﹣，不合题意；当 a＞0 时， x∈（ 0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单一递加，又函数在，上图象是连续不停的，故函数在，上上的最大值为 f （）==，解得a=1，综上所述，得（ II）函数 f（x）在（ 0，π）内有且仅有两个零点．证明以下：由（ I）知，，从而有 f （0）=﹣＜0，f （）=＞ 0，又函数在，上图象是连续不停的，因此函数f（x）在（ 0，）内起码存在一个零点，又由（ I）知 f（x）在（ 0，）单一递加，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．当 x∈[ ，π] 时，令 g（ x）=f ′（x）=sinx+xcosx，由 g（）=1＞0，g（π）=﹣π＜0，且 g（ x）在 [，π]上的图象是连续不停的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．由 g′（x）=2cosx﹣xsinx，知 x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π] 上单一递减．当 x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单一递加故当 x∈（，m）时，f（x）＞f（）=＞0，从而（x）在（，m）内无零点；当 x∈（ m，π）时，有 g（x）＜ g（m）=0，即 f ′（ x）＜ 0，从而 f（ x）在（，m）内单一递减．又 f（m ）＞0，f（π）＜ 0 且 f（ x）在 [ m，π] 上的图象是连续不停的，从而 f （ x）在[ m，π] 内有且仅有一个零点．综上所述，函数f（ x）在（ 0，π）内有且仅有两个零点．。

2012福建文一、选择题1 ．复数2)2(i +等于（ ）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+2 ．已知集合}4,3,2,1{=M ,}2,2{-=N ,下列结论成立的是（ ）A ．M N ⊆B ．M N M =C ．N N M =D ．}2{=N M3 ．已知向量=(1,2)x -a , =(2,1)b ,则⊥a b 的充要条件是（ ）A ．21-=x B ．1-=x C ．5=xD ．0=x4 ．一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5 ．已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为)0,3(,则该双曲线的离心率等于 （ ）ABC ．32D ．436 ．阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出s 值等于（ ）A ．3-B ．10-C ．0D ．2-7 ．直线023=-+y x 与圆422=+y x 相交于B A ,两点,则弦AB 的长度等于 （ ）A．B．CD ．18 ．函数)4sin()(π-=x x f 的图像的一条对称轴是（ ）A ．4π=xB ．2π=xC ．4π-=xD ．2π-=x9 ．设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ,⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(,则))((πg f 值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．π=x10．若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为（ ）A ．1-B ．1C ．23 D ．211．数列}{n a 的通项公式2cosπn n a n =,其前n 项和为n S ,则2012S 等于 （ ）A ．1006B ．2012C ．503D ．012．已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23,且0)()()(===c f b f a f ,现给出如下结论:①0)1()0(>f f ;②0)1()0(<f f ;③0)3()0(>f f ;④0)3()0(<f f . 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．在ABC ∆中,已知060=∠BAC ,045=∠ABC ,3=BC ,则=AC _______.14．一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是_______.15．已知关于x 的不等式022>+-a ax x 在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 16．某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,求表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为____________.图3273133266659G FE D CBA三、解答题17．在等差数列}{n a 和等比数列}{n b 中,8,1411===b b a ,}{n a 的前10项和5510=S .(Ⅰ)求n a 和n b ;(Ⅱ)现分别从}{n a 和}{n b 的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.18．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:(I)求回归直线方程a bx y +=∧,其中-∧-=-=x b y a b ,20(II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入—成本)19．如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,2,11===AA AD AB ,M 为棱1DD 上的一点.(I)求三棱锥1MCC A -的体积;(II)当MC M A +1取得最小值时,求证:⊥M B 1平面MAC .20．某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)02217cos 13sin 17cos 13sin -+; (2)02215cos 15sin 15cos 15sin -+; (3)02212cos 18sin 12cos 18sin -+; (4)00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-; (5)00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-.(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.21．如图,等边三角形OAB 的边长为且其三个顶点均在抛物线)0(2:2>=p py x E 上.(I)求抛物线E 的方程;(II)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ,与直线1-=y 相交于点Q .证明:以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.22．已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-.(I)求函数)(x f 的解析式;(II)判断函数)(x f 在),0(π内的零点个数,并加以证明2012福建文参考答案一、选择题 1. A 2. D 3. D 4. D 5. C 6. A 7. B 8. C 9. B 10. B 11. A 12. C极大值04961)1(>-=-+-=abc abc f ， 极小值0275427)3(<-=-+-=abc abc f ， 且0)3()0(<=-=f abc f ， 所以0)3()0(,0)1()0(<>f f f f 。

数学试题（文史类）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数（2+i）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.N MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是A.x=-1B.x=-1C.x=52D.x=0【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1）+2=0 所以x=0 。

D正确【答案】D【考点定位】考察数量积的运算和性质，要明确性质。

4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱 、【解析】分别比较A 、B 、C 的三视图不符合条件，D 符合 【答案】D【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力。

5 已知双曲线22x a-25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A 14B 4C 32D436 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于A -3B -10C 0D -2【解析】1.S=2×1-1=1，K=2 2.S=2×1-2=0，K=33．S=2×0-3=-3 K=4，输出-3 【答案】A【考点定位】该题主要考察算法的基本思想、结构和功能，把握算法的基本思想是解决好此类问题的根本。

7.直线x+y 2-2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于A.B . C.D.18.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是A.x=4π B.x=2π C.x=-4πD.x=-2π9.设,则f(g(π))的值为A 1B 0C -1D .π【解析】因为g （π）=0 所以f （g （π））=f （0）=0 。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建文科卷）1.复数2(2i)+等于（ ）A . 34i +B . 54i +C . 32i +D . 52i +【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的平方形式，求其值.【参考答案】A【试题解析】2(2i)414i 34i +=-+=+.2.已知集合{}{}1,2,3,4,2,2M N ==-，下列结论成立的是（ ）A . N M ⊆B . M N M =C . M N N =D .{}2M N =【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出若干个已知集合，判断之间的关系.【参考答案】D【试题解析】N 中元素2-不在M 中，因此，A 错； {2}M N N =≠ ，因此选D .3.已知向量(1,2),(2,1)x -a =b =，则⊥a b 的充要条件是（ ）A . 12x =- B . 1x =- C .5x = D . 0x = 【测量目标】平面向量的数量积的坐标表示与运算.【考查方式】直接给出含有未知数的向量与一个已知向量之间的数量积运算求满足条件的未知数.【参考答案】D【试题解析】(1)220x =-⨯+=a b ，解得0x =. 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可能是（ ）A .球B .三棱锥C .正方体D .圆柱【测量目标】空间几何体的判定.【考查方式】给定空间几何体的三视图的形状判定该几何体.【参考答案】D【试题解析】圆柱的三视图，分别矩形，矩形，圆，不可能三个视图都一样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形. 5.已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于（ ）A .14B .4C .32D .43 【测量目标】圆锥曲线离心率.【考查方式】给出双曲线方程的某个基本量求未知基本量.【参考答案】C【试题解析】由题，259a +=，解得2a =，32c e a ==. 6.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（ ）A . 3-B .10-C . 0D .2-【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图运行得出数值.【参考答案】A【试题解析】进入循环体，第一次，1s =，2k =第二次，0s =，3k =第三次，3s =-，4k =然后，退出循环，输出3s =-.7.直线20x -=与圆224x y +=相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于（ ）A .B .C .D .1【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给定直线与圆锥曲线的方程求其交点、弦长等.【参考答案】B【试题解析】圆心为原点，到直线的距离为1d ==，||AB ===.8.函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A .4x π=B .2x π=C .4x π=- D.2x π=- 【测量目标】三角函数图像的性质.【考查方式】给出三角函数的解析式求基本量.【参考答案】C 【试题解析】三角函数会在对称轴处取得最值，当π4x =-代入π()sin()4f x x =-得()1f x =-，取得函数的最小值，因此，直线π4x =-是对称轴． 9. 设1,0()0,01,x f x x x m >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()0x g x x ⎧=⎨ ⎩，为有理数，为无理数，则((π))f g 的值为（ ）A ． 1B ．0C ．1-D ．π【测量目标】复合函数的性质.【考查方式】给出两个或两个以上的函数结合成复合函数再求解.【参考答案】B【试题解析】∵π是无理数，∴(π)0g =，∴((π))(0)0f g f ==，故选B ．10. 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩………则实数m 的最大值为（ ）A ．1-B ．1C ．32D ．2 【测量目标】函数最值问题的熟练掌握.【考查方式】给出多个函数，同时满足其约束条件，求相关最值.【参考答案】B【试题解析】如图，当直线m x =经过函数x y 2=的图象与直线03=-+y x 的交点时，函数x y 2=的图像仅有一个点P 在可行域内， 由230y x x y =⎧⎨+-=⎩，得)2,1(P ，∴1m …．11.数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n s ，则S 2012等于（ ） A 1006 B . 2012 C .503 D .0【测量目标】数列和三角函数之间的运算.【考查方式】给定数列的通项公式求其前n 项的和或特定数值.【参考答案】A 【试题解析】cos 2n n a n π=，所以1cos 02a π==，22cos 2a =π=-，333cos 02a π==，44cos24a =π=.可见，前2012项的所有奇数项和为0，1006个偶数项依次为2,4,6,8,-- ，发现依次相邻两项的和为2，所以20121006S =．12.已知32()69f x x x x abc =-+-，a ＜b ＜c ，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①(0)(1)0f f >；② (0)(1)0f f <；③ (0)(3)0f f >；④ (0)(3)0f f <.其中正确结论的序号是（ ）A .①③B .①④C .②③D .②④【测量目标】掌握含有未知参数的函数的性质.【考查方式】给出含有未知参数的函数及部分条件判断正误.【参考答案】A【试题解析】2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--，(,1)-∞单调递增，(1,3)单调递减，(3,)+∞单调递增，又因为()()()0f a f b f c ===，所以(,1)a ∈-∞(1,3)b ∈，(3,)c ∈+∞，因为(1)40f abc =->，(3)0f abc =-<，所以(0)0f abc =-<．又因为3222()69(69)[(3)]0f b b b b abc b b b abc b b ac =-+-=-+-=--=，所以ac 为正数，所以a 为正数，又因为(0)0f abc =-<，(1)0f >，(3)0f <．13.在ABC △中，已知60BAC ︒∠=， 45ABC ︒∠=，BC ，则AC =_______.【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形中的角或边求其他的角与边的值.【试题解析】由正弦定理，sin sin AC BC B A =，即sin 2sin 2BC AC B A =⨯=⨯=14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______.【测量目标】分层抽样.【考查方式】实际案例中运用抽样调查的方法得出其他所需答案.【参考答案】12【试题解析】由题，女运动员数为42，因此抽取的运动员为42281298⨯=. 15.已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【测量目标】不等式的求解.【考查方式】给出含有未知数的不等式求未知量.【参考答案】(0,8)．【试题解析】由题，2()80a a ∆=--<，解得(0,8)a ∈.16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小.例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________.【测量目标】线性规划与最优解问题.【考查方式】给出一个问题的多种解决方案选出其中最优的解.【参考答案】16【试题解析】最短路线为C B A E F G D----<，总费用为23123516+++++=. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中， 1141,8a b b ===，{}n a 的前10项和1055s =. （Ⅰ）求n a 和n b ；（Ⅱ）现分别从{}n a 和{}n b 的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.【测量目标】等差数列、等比数列、古典概型的知识运用.【考查方式】给出某个等差数列或等比数列的某些基本量求该数列的通项.【试题解析】 解：（1）设{}n a 的公差为d ， {}n b 的公比为q .依题意得310410910=55,8,2s d b q ⨯=+==（步骤1） 解得1,2,d q ==所以1,2.n n n a n b -==（步骤2）(2)分别从{}n a 和{}n b 的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2)(3,4).符合题意的基本事件有2个:(1,1),(2,2)..故所求的概率29p =.（步骤3） 18.(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程 y bx a =+，其中20b =-，a y bx =-；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）【测量目标】线性回归知识在实际生活中的运用.【考查方式】实际应用题的最优方案.【试题解析】（1）1(88.28.48.68.89)8.56x =+++++=， 1(908483807568)806y =+++++=，（步骤1） ∴80208.5250a y bx =-=+⨯=，∴ 20250y x =-+．（步骤2） （2）工厂获得利润2(4)203301000z x y x x =-=-+-. （步骤3）， ∴ 当334x =时，max 361.25z =（元）．（步骤4） 19.（本小题满分12分） 如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点． (1)求三棱锥1A MCC -的体积；(2)当1A M MC +取得最小值时，求证：1B M ⊥平面MAC ． 【测量目标】解析几何熟练运用.【考查方式】给出一个几何体通过已知条件求该几何体中所涉及的未知量.【试题解析】（1）由长方体1111ABCD A BC D -知，AD ⊥平面11CDD C ，（步骤1）∴点A 到平面11CDD C 的距离为1AD =，（步骤2）又111121122MCC S CC CD =⨯=⨯⨯=△，（步骤3） ∴111111333MCC A MCC V S AD ∆-=⋅=⨯⨯=三棱锥．（步骤4） （2）将侧面11CDD C 饶1DD 按逆时针旋转90展开， 与侧面11ADD A 共面，如图，当1,,A M E 共线时，1A M MC +取得最小值，（步骤5） ∵1AB CD ==，得M 是棱1DD 的中点，连接1C M ，在1C MC △中，112MC MC CC ==，（步骤6）∴22211CC MC MC =+，∴1CM MC ⊥，（步骤7）又由长方体1111ABCD A BC D -知，11B C ⊥平面11CDD C ，CM ⊂平面11CDD C ，（步骤4）∴11B C CM ⊥，（步骤8）∵1111B C MC C = ，∴CM ⊥平面1BC M ，得1CM B M ⊥．同理可证，1B M AM ⊥（步骤9），∵AM CM M = ，∴1B M ⊥平面MAC ．（步骤10）20. （本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①22sin 13cos 17sin13cos17+-②22sin 15cos 15sin15cos15+-③22sin 18cos 12sin18cos12+-④22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--⑤22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论．【测量目标】三角恒等变化及特殊角之间的转换求解问题.【考查方式】给出角的正弦与余弦值计算他们的和与差.【试题解析】（1）选择②：22sin 15cos 15sin15cos15+- 131sin 3024=-= ． （2）三角恒等式为：223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---= ， 证明：22sin cos (30)sin cos(30)αααα+---2211sin sin )sin sin )22αααααα=++-+211sin sin sin )22ααααα=++- 22231sin cos sin 44ααα=+-22333sin cos 444αα=+=． 21.（本小题满分12分）如图，等边三角形OAB 的边长为E ：22x py =（0p >）上．（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．【测量目标】抛物线的图像及其性质.【考查方式】给出抛物线的解析式求其未知量.【试题解析】（1）∵OAB △为等边三角形，∴直线OB 的方程为tan60y x =⋅= （步骤1），由22y x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得,6)B p ，（步骤2）∵点,A B 关于y轴对称，∴(,6)A p -，∴2⨯=2p =，∴抛物线E 的方程为24x y =．（步骤3）（2）设200(,)4x P x ，∵24x y =，∴12y x '=，（步骤4） ∴过点P 的切线方程为20001()42x y x x x -=-， 即200124x y x x =-（步骤5）， 令1y =-，得20042x x x -=，即2004(,1)2x Q x --． 设(0,)M t 满足：0MP MQ ⋅= ,∵00(,)MP x y t =- ，2004(,1)2x MQ t x -=-- ，（步骤6） ∴200004()(1)02x x y t t x -⋅+-⋅--=， ∴22004()(1)04x x t t -+-⋅--=，（步骤7） ∴2204(2)(1)0t t t x +-+-=对00x ≠均成立， ∴22010t t t ⎧+-=⎨-=⎩，∴1t =， ∴以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点(0,1)M ．（步骤8）22.（本小题满分14分） 已知函数3()sin ()2f x ax x a =-∈R ，且在[0,]2π上的最大值为32π-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．【测量目标】已知三角函数最值问题求其解析式.【考查方式】给出含有未知量的三角函数和其最值求其解析式.【试题解析】（1）33()sin 22f x ax x π-=-…在[0,]2π上恒成立，且能取到等号， sin 2ax x π⇔…在[0,]2π上恒成立，且能取到等号， ()s i n 2g x x x a π⇔=…在[0,]2π上恒成立，且能取到等号， max ()2g x aπ⇔=，（步骤1） ∵()sin cos 0g x x x x '=+>，∴()g x 在[0,]2π上上单调递增， ∴()222g a πππ==，∴1a =，∴3()sin 2f x x x =-．（步骤2） （2）∵3()sin 2f x x x =-，∴()sin cos f x x x x '=+，（步骤3） ①当(0,]2x π∈时，()0f x '>，∴()f x 在(0,]2π上上单调递增， ∵33(0)()0222f f ππ-⋅=-⨯<，∴()y f x =在(0,]2π上有唯一零点， ②当(,)2x π∈π时，令()sin cos g x x x x =+， ∴()2cos sin 0g x x x x '=-<，∴()g x 在(,)2ππ上单调递减，（步骤4） ∵()()102g g π⋅π=-π<，∴在(,)2ππ上存在()0g m =， ∴当(,)2x m π∈时，()()0g x g m >=，即()0f x '>，()f x 在(,)2m π上单调递增，（步骤5） 故当[,]2x m π∈时，3()()022f x f ππ-=>…，∴()f x 在(,)2m π上无零点，当(,)x m ∈π时，()()0g x g m <=，即()0f x '<，()f x 在(,)m π上单调递减，又()0f m >，()0f π<，∴()f x 在(,)m π上有且仅有一个零点，综上所述：()f x 在(0,)π内有两个零点．（步骤6）。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类)第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 复数2)2(i +等于( ）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+ 2. 已知集合}4,3,2,1{=M ,}2,2{-=M ,下列结论成立的是（ ）A ．M N ⊆B ．M N M =C ．N N M =D ．}2{=N M 3. 已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ ）A ．21-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是( ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5. 已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为)0,3(，则该双曲线的离心率等于（ ) A ．31414B 32C ．32D ．436. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序,输出s 值等于（ )A ．3-B ．10-C ．0D ．2- 7. 直线023=-+y x 与圆422=+y x 相交于B A ,两点，则弦AB 的长度等于（ ）A ．5B ．23C 3D ．1 8. 函数)4sin()(π-=x x f 的图像的一条对称轴是（ ）A ．4π=x B ．2π=x C ．4π-=x D ．2π-=x9. 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 值为（ )A ．1B ．0C ．1-D ．π10. 若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．1-B ．1C ．23D ．2 11. 数列}{n a 的通项公式2cosπn n a n =，其前n 项和为n S ，则2012S 等于（ ） A ．1006 B ．2012 C ．503 D ．012. 已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ;④0)3()0(<f f . 其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2012年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．23．（5分）（2012•福建）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）﹣==⊥，4．（5分）（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不5．（5分）（2012•福建）已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率B根据双曲线﹣﹣=16．（5分）（2012•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（）7．（5分）（2012•福建）直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长2由直线与圆相交的性质可知，x+d=由直线与圆相交的性质可知，本题主要考查了直线与圆相交的性质，解题的关键是公式8．（5分）（2012•福建）函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）x=x=﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数﹣，﹣﹣9．（5分）（2012•福建）设f（x）=，g（x）=，则f（g（π））10．（5分）（2012•福建）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则，确定交点坐标为（，则，可求得交点坐标为（11．（5分）（2012•福建）数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2012等于=ncos=ncos=cos为周期的周期函数12．（5分）（2012•福建）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．）＜二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（4分）（2012•福建）在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=．的对边，可利用正弦定理，由正弦定理可得，AC==故答案为：14．（4分）（2012•福建）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12．∴每个个体被抽到的概率是×=1215．（4分）（2012•福建）已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（0，8）．16．（4分）（2012•福建）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点A，B，C表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为16．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•福建）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．d=55∴这两项的值相等的概率：18．（12分）（2012•福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）﹣，即可求得回归直线方程；，﹣，=元，工厂获得的利润最大．19．（12分）（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M 为棱DD1上的一点．（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．CC×=•．M=，=20．（12分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．﹣，可得这个常数的=++sin2，化简可得结果．sin30．．++sin sin﹣sin=++（）﹣﹣+cos2﹣=1﹣+．21．（12分）（2012•福建）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．|OB|=84）知，：取=4）知，即，∴）（﹣，﹣）y+，﹣22．（14分）（2012•福建）已知函数f（x）=axsinx﹣（a∈R），且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．，在，即可得到关于），不合题意；））单调递减，在﹣））单调递增，在（=，解得）知，＜）＞又函数在，）单调递增，故函数）内仅有一个零[，（[，，[，）在（，（（）在（）在（，。

2012年福州市高中毕业班综合练习 文科数学试卷参考答案及评分参考一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.B2. B3.A4.A5. C6. C7. D8. B9.C 10. D 11. C 12. B 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 13. ()1,2±14.15. 5- 16. （1）21n n n a a a ++=+，11a =，21a =；或直接列举出数列各项；（前2项不是主要的）（2）()12211n n n n a a a -++⋅-=-和10.618nn a a +≈（不唯一，关键要反映“64=65”的一般关系和拼接后以假乱真的原因）三、解答题(本大题共6小题，共80分) 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率1p 为331268320=++++， ·························································································· 2分又设样本容量为m ，则6320m =，解得，40m =． ················································ 4分（Ⅱ）样本中成绩在65～80分之间的学生有14020⨯=2人，记为,x y ；成绩在80～95分之间的学生24020⨯=4人，记为,,,a b c d ， ··························································· 5分从上述6人中任选2人的所有可能情形有：{}{}{}{}{},,,,,,,,,,x y x a x b x c x d {}{}{}{},,,,,,,,y a y b y c y d{}{}{},,,,,,a b a c a d {}{}{},,,,,b c b d c d ，共15种， ··········································· 8分至少有1人在65～80分之间的可能情形有{}{}{}{}{},,,,,,,,,,x y x a x b x c x d {}{}{}{},,,,,,,,y a y b y c y d 共9种， ········· 11分因此，所求的概率2p 93155==． ··········································································· 12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ α是锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ····················································································· 2分 根据三角函数的定义，得5cos 13β=，又∵ β是锐角， ∴12sin 13β． ··················································································· 4分 ∴ ()4531216cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ·························· 6分（Ⅱ）由题意可知，(cos sin )OA αα=，，2)OC =-．∴ ()23cos 2sin 4cos()6f OA OC παααα=⋅=-=+， ········································ 8分∵ 02πα<<，∴2663πππα<+<， ······························································································· 9分 ∴1cos()26a π-<+<2()f α-<< ········································ 11分 ∴ 函数()f α的值域为(-． ······································································· 12分 19．（本小题满分12分）解：（I ）设甲公司第n 年市场占有率为n a ，依题意，{}n a 是以1a A =为首项，以2Ad =为公差的等差数列． ·········································································································· 2分∴ (1)222n A A Aa A n n =+-⋅=+． ··········································································· 3分 设乙公司第n 年市场占有率为n b ，根据图形可得： 2311111 (2222)n n b A A A A A -=+++++ ········································································ 5分 1122n A -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ······································································································ 6分（II ）依题意，2012年为第20年，则 20212010222A A a A A =⨯+=>，20191(2)22b A A =-<， ············································ 9分 ∴2020220%10b A a A<=，即202020%b a <⋅， ····························································· 11分 ∴ 2012年会出现乙公司被甲公司兼并的局面．·················································· 12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）分别取PC PD 、中点E F 、，连结EF ，则EF 即为所求，下证之： ····· 1分 ∵ E F 、分别为PC PD 、中点，∴ //EF CD ． ···················································· 2分 ∵ EF ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ··· 3分 ∴ //EF 平面ABCD ． ······································ 4分 （作法不唯一）（Ⅱ）由三视图可知，PA ⊥平面A B C D ，222BC AD CD ===，四边形ABCD 为直角梯形．过点A 作AG BC ⊥于G ，则1AG CD ==,1GC AD ==．∴ AC AB ，∴ 222AC AB BC +=，故AC AB ⊥． ···································································· 6分 ∵ PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴ PA AC ⊥. ··········································································································· 7分 ∵ PAAB A =，∴ AC ⊥平面PAB ． ······························································································· 8分 （Ⅲ）∵ PBC ∆为正三角形， ∴ 2PB BC ==．在Rt PAB ∆中，PA =∴ 111332C PAB PAB V S AC -∆⎛=⋅=⨯ ⎝， ····································· 10分211233A PBC PBC V S h h -∆⎫=⋅=⨯⋅=⎪⎪⎝⎭（其中h 为三棱锥A PBC -的高）． ·································································································································· 11分 ∵ C PAB A PBC V V --=，∴ h =··········································································································· 12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r >），依题意，圆心坐标为(,2)r ． ···················· 1分 ∵ 3MN =∴ 222322r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2254r =． ········································································· 3分∴ 圆C 的方程为()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． ··························································· 4分（Ⅱ）把0y =代入方程()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得1x =，或4x =，即点()1,0M ，()4,0N ． ··························································································· 5分 ⑴ 当AB x ⊥轴时，由椭圆对称性可知ANM BNM ∠=∠． ·································· 6分 ⑵ 当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为()1y k x =-．联立方程()22128y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 得，()22222280k x k x k +-+-=． ······················ 7分 设直线AB 交椭圆Γ于()()1122,,A x y B x y 、两点，则212222k x x k +=+，212282k x x k -⋅=+． ············································································ 8分 ∵ ()()11222,2y k x y k x =-=-， ∴ ()()12121212114444AN BN k x k x y y k k x x x x --+=+=+----()()()()()()122112141444k x x k x x x x --+--=--．∵()()()()()122112121414258x x x x x x x x --+--=-++()222228108022k kk k -=-+=++， ··················································································· 10分 ∴ 0AN BN k k +=，∴ANM BNM ∠=∠． ······························································ 11分 综上所述，ANM BNM ∠=∠． ··············································································· 12分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1xf x x x =+++（1x >-），······································· 1分 ∴22123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ········································································· 2分 ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3． ··························································· 3分 又∵()00f =，所以切点为()0,0.故所求的切线方程为：3y x =． ············································································ 4分 （Ⅱ）∵()ln(1)1axf x x x =+++，(1)x >- ∴221(1)1()1(1)(1)a x ax x a f x x x x +-++'=+=+++ ···································································· 5分 ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ·································································· 6分 ②当0a <时，由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--； ···························· 8分综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在[)1,a --+∞上单调递增． ········ 9分 （Ⅲ）①当0a ≥时，由（Ⅱ）可知，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增．此时，()(),11,a a +⊆-+∞，故()f x 在(),1a a +上为增函数． ················································ 11分 ②当0a <时，由（Ⅱ）可知，函数()f x 在[)1,a --+∞上单调递增． ∵ ()f x 在(),1a a +上为增函数，∴()[),11,a a a +⊆--+∞，故1a a --≥，解得12a -≥， ∴ 012a <-≤．······································································································ 13分综上所述，a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． ································································· 14分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数2)2(i +等于（ ）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+ 2. 已知集合}4,3,2,1{=M ，}2,2{-=M ，下列结论成立的是（ ）A ．M N ⊆B ．M N M =C ．N N M =D ．}2{=N M 3. 已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ ）A ．21-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5. 已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为)0,3(，则该双曲线的离心率等于（ ） A ．31414 B ．324C ．32D ．436. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（ ）A ．3-B ．10-C ．0D ．2- 7. 直线023=-+y x 与圆422=+y x 相交于B A ,两点，则弦AB 的长度等于（ ）A ．5B ．23C 3D ．1 8. 函数)4sin()(π-=x x f 的图像的一条对称轴是（ ）A ．4π=x B ．2π=x C ．4π-=x D ．2π-=x9. 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．π10. 若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．1-B ．1C ．23D ．2 11. 数列}{n a 的通项公式2cosπn n a n =，其前n 项和为n S ，则2012S 等于（ ） A ．1006 B ．2012 C ．503 D ．012. 已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f 。