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线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。
行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。
一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。
2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。
3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。
4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。
5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。
6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。
二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。
2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。
b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。
c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。
行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。
行列式知识点汇总在数学中，行列式是一个重要的概念，用于描述线性代数中的一些性质和运算。
它在各个领域中都有广泛应用，如线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量的计算等。
本文将对行列式的相关知识点进行汇总介绍，帮助读者更好地理解和应用行列式。
1. 行列式的定义行列式是一个用来对方阵进行运算的函数。
对于n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算通常通过对方阵进行按行展开或按列展开的方式来进行，根据展开的元素进行递归计算。
2. 行列式的性质行列式具有以下性质：- 性质1：互换行（列）会改变行列式的符号，即det(A) = -det(A')，其中A'表示通过互换A的两行（两列）得到的新方阵。
- 性质2：如果行（列）中有零元素，则行列式的值为0。
- 性质3：行（列）成比例，则行列式的值为0。
- 性质4：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以k，等价于行列式乘以k。
- 性质5：若A的某一行（列）元素都是两数之和，则行列式可以分解为两个行列式的和。
- 性质6：若A的某一行（列）元素都是两数之差，则行列式可以分解为两个行列式的差。
3. 行列式的计算方法行列式的计算可以根据方阵的阶数和具体性质来选择不同的方法，主要有以下几种方法：- 按行（列）展开法：通过按行（列）展开元素，并对展开的结果进行递归计算。
- 初等行变换法：通过初等行变换将矩阵转化为上（下）三角矩阵，再利用三角矩阵行列式的计算公式求解。
- 对角线法则：将方阵按对角线划分为若干小方阵，利用小方阵行列式的性质求解。
4. 行列式的重要应用行列式在线性代数中有广泛的应用，下面介绍几个重要的应用：- 线性方程组的求解：利用行列式可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷解，并可以通过克拉默法则求解方程组。
- 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为0，则A可逆，且可以通过行列式求解矩阵的逆。
- 特征值和特征向量：方阵A的特征值为使得det(A-λI)=0成立的λ值，其中I为单位矩阵。
方阵的行列式计算公式方阵的行列式是一种特殊的数学工具，用于表示方阵的性质和特征。
在数学中，方阵指的是行数和列数相等的矩阵。
行列式的计算公式是通过方阵的元素和排列的乘积来计算的。
对于一个n阶方阵A（n x n大小的矩阵），行列式的计算公式可以表示为：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n其中，a11, a12, ..., a1n是方阵A的第一行元素，C11, C12, ..., C1n是对应元素a11, a12, ..., a1n的代数余子式。
代数余子式（Cij）是指在方阵A中去掉第i行和第j列后，剩余元素组成的(n-1)阶方阵的行列式。
例如，对于一个3阶方阵A（3x3大小的矩阵），计算行列式的公式为：|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13= a11(A22A33 - A23A32) + a12(A21A33 - A23A31) +a13(A21A32 - A22A31)这个公式可以继续推广到更高阶的方阵。
需要注意的是，方阵的行列式可以用递推方式计算。
例如，在上述计算行列式的公式中，每个代数余子式的计算也可以通过行列式的计算公式来实现。
此外，行列式的计算还可以通过其他方法来进行，如拉普拉斯展开定理、三角形法则等。
拉普拉斯展开定理是利用将方阵按某一行（或列）展开为一系列代数余子式的和的方法来计算行列式的值。
三角形法则则是通过正交三角矩阵的性质来简化行列式的计算。
这些方法都可以用于方阵的行列式的计算，具体使用哪种方法取决于方阵的特点和具体需求。
总结起来，方阵的行列式是一种用于表示方阵性质和特征的数学工具。
行列式的计算公式是通过方阵的元素和排列的乘积来计算的，可以通过代数余子式的计算来递推计算行列式的值。
另外，还可以利用拉普拉斯展开定理、三角形法则等方法来计算行列式。
这些方法都需要具体问题具体分析，选择最适合的方法来计算行列式的值。
矩阵的行列式和逆矩阵矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学中。
在研究矩阵的性质和运算中，行列式和逆矩阵是两个关键的概念。
本文将详细介绍行列式和逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义和性质行列式是矩阵非常重要的一个属性，它具有许多重要的性质。
一个n×n 矩阵 A 的行列式记作 |A| 或 det(A)，其中 n 表示矩阵的阶数。
行列式的定义有很多种，这里我们主要介绍按行或按列展开的定义方法。
对于 2×2 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22 - a12*a21对于 3×3 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 -a12*a21*a33 - a11*a23*a32行列式具有许多重要的性质，包括：1. 当矩阵的某一行（或某一列）全为零时，行列式的值为零。
2. 若矩阵的两行（或两列）互换，则行列式的值变号。
3. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素成比例，则行列式的值为零。
4. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素上下对称，那么行列式的值为零。
5. 二阶和三阶矩阵的行列式可以通过定义直接计算，高阶矩阵的行列式计算可以通过展开定理，将矩阵按任意一行（或一列）展开成余子式的乘积再求和来计算。
二、逆矩阵的定义和性质逆矩阵是矩阵论中的重要概念，用于解决线性方程组以及矩阵的运算问题。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = I (I 为单位矩阵)，则矩阵 B 称为矩阵 A 的逆矩阵，并记作 A^-1。
逆矩阵的定义表明，如果一个矩阵A 存在逆矩阵，则A 是可逆的；反之，如果矩阵 A 不可逆，则不存在 A 的逆矩阵。
逆矩阵具有一些重要的性质：1. 只有方阵才能有逆矩阵，即非方阵的矩阵不存在逆矩阵。
2. 如果矩阵 A 的逆矩阵存在，则它是唯一的。
第三章 方阵的行列式3.1 求下列各排列的逆序数：(1) 51324； (2) 54321；(3) 21)1( -n n ； (4) )2(246)(12(135n n -； (5) 42)22)(2)(12(135 --n n n .解：(1) 5)51324(=τ；(2) 10)54321(=τ； (3) 2)1(12)2()1(-=+++-+-=n n n n τ； (4) 2)1()1(321-=-++++=n n n τ；(5) )1())1(21())1(321(-=-++++-++++=n n n n τ. 3.2 要使8元排列685321k j 为奇排列，数j 与k 应取何值？ 解：易见k j ,代表4和7，当7,4==k j 时，4)21453768(=τ；当4,7==k j 时，7)21753468(=τ. 所以取4,7==k j 时，为奇排列. 3.3 证明奇偶排列在n 元排列中各占一半.证：只要证明奇排列和偶排列的1—1对应关系.设=S {)(|2121n n j j j j j j τ为偶数}；=S {)(|2121n n j j j j j j τ为奇数} f ：S S →，n n j j j j j j j j 323211为S 到S 的映射. (1) 任n j j j 21，S i i i n ∈ 21，若n j j j 21n i i i 21≠.则n n i i i i j j j j 312312≠，即f 为单射. (2) 任S j j j n ∈ 21，有S j j j n ∈ 12，使n n j j j j j j j f 21312)(=即f 亦为满射.综上所述：f ：S S →为双射，在n 元排列中，奇偶各半.3.4 下述各项中，哪一项是五阶行列式展开式中的一项？(1) 5125134231a a a a a ； (3) 2534531142a a a a a ； (2) 5433254112a a a a a -； (4) 5433254112a a a a a . 解： (1) 有二个第一列元素(2)、(3)、(4)均应为负项. 只有(2) 5433254112a a a a a -为5D 中的一项. 3.5 写出四阶行列式展开式中含因子2311a a 的项. 解：含2311a a 的项有44322311a a a a -、42342311a a a a .3.6 若n 阶方阵A 有n n -2个以上元素为0，证明：0)det(=A .证：n n A ⨯中共有2n 个元，)det(A 中每一项均为不同行不同列n 个元之积，但nn A ⨯中非零元素的个数n n n n =--<)(22.)det(A 中每一项中都有零因子，即 0)det(=A . 3.7 用行列式的定义证明00000000)det(2121215432154321εεδδγγβββββααααα=A 0=证：54321215432154321)()1()det(j j j j j j j j j j j j j a a a a a A n∑-=τ在任意项5432154321j j j j j a a a a a 中，无论2121j j a a 如何取,543543j j j a a a 三个数无论在后三行中如何取，至少有一个为零，故 0)det(=A . 3.8 计算下述各方阵行列式(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-800410962； (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-114130212 (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2100121001210012；(4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6217213424435431014327427246； (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3214214314324321； (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----011111ααααn nx xx 解：(1) 16)det(=A ；(2) 20)det(-=A ；(3) 1)det(=A . (4) 722275193)det(⨯⨯⨯⨯-=A ；(5) 160)det(=A .(6) 011111)det(αααα----=n n xxxA0111100000000102,,,αααx xa xa n j xc c in n i i i n ni ij j +--=+--=-=+∑∑ i n ni i n i n n i i n x a x a -=--=+∑∑=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0101)1()1(3.9 证明：(1) αβγαγββαγβαγγβα4det =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++； (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++333222111333333222222111111det 2det γβαγβαγβαβααγγββααγγββααγγβ (3) 22222)(det δγβααβγδβαδγγδαβδγβα+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------ 证：(1) 原式αγββαγβααβαγββαγβααβ++-=++----02220321r r rαβγγβγααβγβγααβ4000)2(000)2(1213=-=-=--r r r r (2) 原式333332222211111333332222211111βααγγβααγγβααγγβααγββααγββααγβ+++++++++++++=333222111333222111βαγβαγβαγαγβαγβαγβ+= 3332221113332221113332221112γβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβα=+= (3) 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=αβγδβαδγγδαβδγβαA 则: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++++=2222222222222222000000000000δγβαδγβαδγβαδγβαA A T ,)()det(42222δγβα+++=A A T 即det )(A A T =det 2)(A所以 22222)()det(δγβα+++±=A 又因为当0===δγβ时det 4)(α=A为正，故原式=det 2222)()(δγβα+++=A 3.10 证明奇数阶反对称阵的行列式必为零.证：设A A T -=为反对称阵，且阶数12+=k n 为奇数，由行列式的性质： 一方面：)det()det(A A T =，另一方面：)det()det()1()det()det(12A A A A k T -=-=-=+ 故应有：)det()det(A A -=，即0)det(=A . 3.11 求下述矩阵的伴随阵及其逆矩阵.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120111011； (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111013221.解：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=022111111*A ； ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-022*********A(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=512613201*A ； ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-512613201*1A A3.12 计算下述n 阶方阵的行.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------122123123122121321n n n n n n n n n ； (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111101111011111 ；(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 222232222222221 ；(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛αββαβα；(5) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αααx x x x x x ； (6) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n αααα001001001111321； (7) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n ααα11111111121； (8)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++βααββαβααββααββα00000000000000; (9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x x x αααααα ；(10)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛θθθθθcos 2101cos 200000cos 210001cos 210001cos(11) 设b a ,为n 维列向量，证明 a b ab I T T n +=+1)det(解：（1）ii r r A -+1)det(111111111111111111111321-----------n n1000120001220012220123211,,1-----------++++-=n n n n n c c n i ni 212)1()1(--+-=n n n .（2） 原式)det(A =1,,21)1(1000010000101111-=-=----n ni i r r（3） 原式)det(A =])!2[(222122012000100222200012--=--=---n n n r r i(4) 原式)det(A =11100000000)1(000000000-+--+n n n βαβαβαββαβαβαβααn n n n n n βαβαα111)1()1(++--+=⋅-+⋅=.(5) 原式)det(A =ααααx x x xx x xx xx n1111])1([-+=xx x x xxx n ----+=αααα000000001])1([111)()1()()]()1([-----+-=--+=n n n x x n x x x n ααααα.(6) 原式=)det(A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--∑∑===nk k n nnk knj jjr r 21323221,211),(0000011111αααααααααα其中0,32≠n ααα(7) 原式110101001111111000111132121131211---+=---+=nnnαααααααααααααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑=100110111121 n k kn αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑=nk k n 12111αααα (8) 原式按第一列展开得：21)(---+=n n n D D D αββα于是有：n n n n n n D D D D D D βαβαβα=-=-=-----)()(122211 n n n n n n D D D D D D αβαβαβ=-=-=-----)()(122211联立：⎪⎩⎪⎨⎧=-=---nn n nn n D D D D αββα11解得 αβαβ--=++11n n n D ；(其中:βα≠)(9) n D =)det(A x xx x αααααααααααααα------+-=)(=x x x x αααααααααα-------xxx ααααααααααααα------+11)()(--++-=n n x D x ααα即 11)()(--++-=n n n x D x D ααα，改写为11)()(--+=--n n n x D x D ααα再由 xxx x D n αααααααααααααα-------+=)(xxx x ααεααααααα---+=00+xxx ααααααααααααα-------11)()(----+=n n x D x ααα 得 11)()(----=+-n n n x D x D ααα联立：⎩⎨⎧--=+-+=------1111)()()()(n n n n n n x D x D x D x D αααααα解得：])()[(21n n n x x D αα-++= . (10) 设行列式为n D 用数字归纳法.1°当2=n 时，θθθθ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D 成立.2°设k n ≤时成立，则θθθθ)1cos(cos cos 2cos 211--=-=-+k k D D D k k kθθθθ)1cos()1cos()1cos()1cos(+=---++=k k k k .所以结论对任意n 成立，θn D n cos =. (11) 设b a ,为n 维列向量作辅助矩阵.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1Tb a I M 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101a I P n， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=102T nb I P 使 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101101T TTb ab I b a Ia I M P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a I ba Ib IM P T T T101102 由 )det()det()det(21M P M M P ==及)det()det(1Tab I M P +=,a b a b M P T T +=+=1)1det()det(2 即得 a b ab I T T +=+1)det(.3.13 问u ,λ取何值时，下述方程组有唯一解、无解、无穷解？(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321x x x x x x x x x λλλ (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x ux x x ux x x x x λ解：(1)系数行列式为:2)1)(2(111111-+==λλλλλD当1,2≠-≠λλ时，0≠D 方程组有唯一解.当1=λ时，方程组的等阶方程组只有一个方程，有无穷多解. 当2-=λ时，方程组无解(代入显见). (2)由增广矩阵→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ341101003114121311411u u u u u⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)24(1)1(00241102101241101002101λλλλλλu u u可见:当0=u 或1=λ时无解. 当0≠u 且1≠λ时唯一解.3.14 问λ何值时，下述齐次线性方程组有非零解.⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 解：系数矩阵的行列式)2)(3(λλλ--=D ，当2,3,1=λ时方程组有非零解. 3.15 用克莱姆法则解下述线性方程组(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=+-56433427252321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：(1) T T x x x )1,1,5(),,(321= (2) )1,1,5(),,,(4321=x x x x 3.16 计算下述n 阶方阵的行列式.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n αβββαβββα 21(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛θθθcos 211cos 211cos 2 解：(1) 当βα≠i 时n i ,2,1=.11)det(+=n A αβββαβββαβββ =121010010011+------n n βαβαβαβββ=1212111010100111)())((+---------n n nβαββαββαββαβαβα)())((21βαβαβα---=n 100001000101211βαββαββαββαβ----+∑=n ni i=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∑==ni i ni i 111)(βαββα(2) 令θβαcos 2=+，1=αβ则βα,为01)(cos 22=+-x x θ的根： θθαsin cos i += θθβsin cos i -=原式βααββαβααββααββα+++++=100000010001000n D21)(---+=n n D D αββα 即 21)(---+=n n n D D D αββα有⎩⎨⎧-=--=-------)()(211211n n n nn n n n D D D D D D D D βββαβα 由第12题8小题知βαβα--=++11n n n D 代入 θθαsin cos i +=， θθβsin cos i -=θθα)1sin()1cos(1+++=+n i n n ，θθβ)1sin()1cos(+-+=n i n n 得： θθsin )1sin(+=n D n或由欧拉公式：θθθsin cos i e i +=， θθθsin cos i e i -= θαi e =， θβi e -=θθβαβαθθβαsin )1sin(|11+=--=-==++n D iie e n n n 3.17 设A 为n 阶方阵，证明(1) 1))(det())(det(-=n A A adj ；(2) A A A adj adj n 2))(det())((-=. 证：(1) 设n n ij a A ⨯=)(可逆.)())(det(11A adj A A --=，即1)det()(-=A A A adj))det(det())(det(1-=A A A adj 11))(det()det())(det(--==n n A A A当A 不可逆时，0)det(=A ，0=*A A .由0≠A ，即0=*X A 有非零解，所以 0)det(*=A . (2) 假定0)det(≠A （0)det(=A 的情况在下章证明）：1)det()(-=A A A adj 两边同时求逆得：111))(())(det(---=A adj A A 左端A A )det(1=右端[]))(())(det())(()))((det(111A adj adj A A adj adj A adj n ---==A A a adj adj n 2))(det())((-= 再由左端=右端得证. 3.18 设A 为n 阶可逆阵，D 为m 阶可逆阵，记分块阵.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A M证明：(1) )det()det()det(1B CA D A M --=； (2) )det()det()det(1C BD A D M --=； (3) )()det()det()det(11C BD A A D B CA D ---=-. 证：(1) 考虑消去M 左下角的子块C ，取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-I CA IP 110 1)det(1=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--B CA D B A D C B A I CA I M P 11100则 )det()det()det()det(11B CA D A M P M --==(2) 考虑消去M 右上角的子块B ，取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-I BD I P 012；1)det(2=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--D C CBD A D C B A I BD I M P 00112 则)det()det()det()det(12C BD A D M P M --== (3) 利用(1)、(2)两等式并注意到0)det(≠A 便得. 3.19 设A 为n 阶可逆阵，βα,为n 维列向量，证明)det()1()det(1A A A T T αβαβ-+=+证：作辅助矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1TAM βα 设初等变换矩阵:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1011A IP T β， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=102T IP β 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-αβα1110A A M P T ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=102ααβT A MP注意到 )det()det()det(12M P M MP == 便得 )det()1()det(1A A A T T αβαβ-+=+ 3.20 设B A ,均为n 阶方阵，证明)det()det(det B A B A A B B A -⋅+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 证：取块消去法阵：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nI I I P 01， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n n nI I I P 02 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A B BA I I I AB B A I I I P A B B A P n n nn n n 00021 左右两边取行列式相等得)det()det()det(B A B A A B B A -⋅+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛。
