2012届高考数学理科二轮专题限时卷：函数、导数及其应用1.

最后冲刺【高考预测】 1.导数的概念与运算 2.导数几何意义的运用 3.导数的应用 4.利用导数的几何意义 5.利用导数探讨函数的单调性 6.利用导数求函数的极值勤最值 易错点 1导数的概念与运算1．（2012精选模拟）设f 0(x)=sinx,f 1(x)=f ’0(x),f 2(x)=f ’1(x),…,f n+1(x)=f ’n (x),n ∈N,则f 2005(x) ( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx 【错误解答】 选A 【错解分析】由f ’1(x)=f ’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx,…,f2005(x)=f ’2004(x)=…=f0(x0=sinx 前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。

因f4(x)=f0(x)=f8(x0=…=f2004(x),所以f2005(x)=f1(x)=cosx.【错误解答】 选B ∵f(x)=2x+1,∴f ’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3.【错解分析】上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）’=2x+1.正确的是（2x+1）’=2,所以x=1时的导数是2，不是3。

【正确解答】 选A ∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f ’(x)=3(x-1)2+3,当 x=1时,f ’(1)=33.(2012精选模拟题) 已知f(3)=2f ’(3)=-2，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为 （ ）A ．-4B ．0C ．8D ．不存在【错误解答】 选D ∵x →3,x-3→0 ∴3)(32lim3--→x x f x x 不存在。

【错解分析】限不存在是错误的，事实上，求00型的极限要通过将式子变形的可求的。

[对诊下药] 选C3)(32lim3--→x x f x x =326)]3()([3lim3-+---→x xf x f x =32]3)3()(32[lim 3-=---→x f x f x .8)2(32)3('32]3)3()([lim 3=-⨯-=-=--→f x f x f x【特别提醒】1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a 处可导，则)(')()(lima f a x a f x f n =--∞→ 的运用。

第3讲导数及其应用考情解读(1)导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．(2)利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值.热点一导数的运算和几何意义例1(1)(2014·广东)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝52的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．思维启迪(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．答案(1)5x＋y－3＝0(2)4解析(1)因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)， 即5x ＋y －3＝0.(2)设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的切线的斜率为－1k OA ＝－x 0y 0，又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直， 所以(－x 0y 0)·3ax 20＝－1，即y 0＝3ax 30，又ax 30＝y 0－1，所以y 0＝32，代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±12，将x 0＝±12，y 0＝32代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(1)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，则f ′(π3)＝________.(2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.答案 (1)36－4π(2)2 解析 (1)因为f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，所以f ′(x )＝2xf ′(π3)＋cos x ．所以f ′(π3)＝2×π3f ′(π3)＋cos π3.所以f ′(π3)＝36－4π. (2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′(π2)＝1，即函数f (x )＝x sin x ＋1在点x ＝π2处的切线的斜率是1，直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以(－a2)×1＝－1，解得a ＝2.热点二 利用导数研究函数的性质例2 已知函数f (x )＝(x ＋a )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0,4]时，求函数f (x )的最小值．思维启迪 (1)直接求f ′(x )，利用f ′(x )的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f (x )的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到． 解 (1)因为f (x )＝(x ＋a )e x ，x ∈R ， 所以f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝－a －1.当x 变化时，f (x )和f ′(x )的变化情况如下：故f (x )单调增区间为(－a －1，＋∞)．(2)由(1)得，f (x )的单调减区间为(－∞，－a －1)； 单调增区间为(－a －1，＋∞)．所以当－a －1≤0，即a ≥－1时，f (x )在[0,4]上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为 f (x )min ＝f (0)＝a ；当0<－a －1<4，即－5<a <－1时， f (x )在(0，－a －1)上单调递减， f (x )在(－a －1,4)上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (－a －1) ＝－e－a －1；当－a －1≥4，即a ≤－5时，f (x )在[0,4]上单调递减， 故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (4) ＝(a ＋4)e 4.所以函数f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥－1，－e－a －1， －5<a <－1，(a ＋4)e 4， a ≤－5.思维升华 利用导数研究函数性质的一般步骤： (1)确定函数的定义域；(2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (5)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．已知函数f (x )＝ln x ＋2ax，a ∈R .(1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2ax 2.∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x －2ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x2，则a ≤g (x )min ，x ∈[2，＋∞)，∵g (x )＝x2在[2，＋∞)上是增函数，∴g (x )min ＝g (2)＝1.∴a ≤1，即实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f ′(x )＝x －2ax2，x ∈[1，e]．①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上是增函数．所以f (x )min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)．②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a . 当1<x <2a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数． 所以f (x )min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3， 解得a ＝e 22(舍去)．③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数． 所以f (x )min ＝f (e)＝1＋2ae＝3，得a ＝e ，适合题意． 综上a ＝e.热点三 导数与方程、不等式例3 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值；(3)是否存在实数m ，使得函数y ＝g (2ax 2＋1)＋m －1的图象与函数y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)利用F ′(x )确定单调区间；(2)k ＝F ′(x 0)，F ′(x 0)≤12分离a ，利用函数思想求a的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化． 解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2.∵a >0，由F ′(x )>0⇒x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数．由F ′(x )<0⇒x ∈(0，a )，∴F (x )在(0，a )上是减函数． ∴F (x )的单调递减区间为(0，a )， 单调递增区间为(a ，＋∞)． (2)由F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)得k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立⇔a ≥－12x 20＋x 0恒成立．∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，即a 的最小值为12.(3)若y ＝g (2a x 2＋1)＋m －1＝12x 2＋m －12的图象与y ＝f (1＋x 2)＝ln(x 2＋1)的图象恰有四个不同交点，即12x 2＋m －12＝ln(x 2＋1)有四个不同的根，亦即m ＝ln(x 2＋1)－12x 2＋12有四个不同的根．令G (x )＝ln(x 2＋1)－12x 2＋12.则G ′(x )＝2xx 2＋1－x ＝2x －x 3－x x 2＋1＝－x (x ＋1)(x －1)x 2＋1当x 变化时，G ′(x )和G (x )的变化情况如下表：由表知G (x )极小值＝G (0)＝12，G (x )极大值＝G (－1)＝G (1)＝ln 2.又由G (2)＝G (－2)＝ln 5－2＋12<12可知，当m ∈(12，ln 2)时，y ＝G (x )与y ＝m 恰有四个不同交点．故存在m ∈(12，ln 2)，使函数y ＝g (2ax 2＋1)＋m －1的图象与y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点．思维升华 研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)．①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ②当a <0时，若0<x < －12a ， 则f ′(x )>0，故f (x )在(0, －12a]上是增函数； 若x >－12a，则f ′(x )<0， 故f (x )在[－12a，＋∞)上是减函数． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数； 当a <0时，f (x )在(0,－12a]上是增函数，在[ －12a，＋∞)上是减函数． (2)由题意，知对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，等价于ma－a2>f(x)max.因为a∈(－4，－2)，所以24< －12a<12<1.由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝2a，所以ma－a2>2a，即m<a＋2.因为a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0.所以实数m的取值范围为m≤－2.1．函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)>0的必要不充分条件．2．可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点．3．利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论.真题感悟1．(2014·江西)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．答案(－ln 2,2)解析设P(x0，y0)，∵y＝e－x＝1e x，∴y′＝－e－x，∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，∴y0＝e ln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2,2)．2．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1,1]上的最小值记为g (a )． (1)求g (a )；(2)证明：当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. (1)解 因为a >0，－1≤x ≤1，所以 ①当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数； 若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ， f ′(x )＝3x 2＋3>0， 故f (x )在(a,1)上是增函数． 所以g (a )＝f (a )＝a 3.②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1.(2)证明 令h (x )＝f (x )－g (a )． ①当0<a <1时，g (a )＝a 3.若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3， h ′(x )＝3x 2＋3，所以h (x )在(a,1)上是增函数，所以，h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3， 且0<a <1，所以h (1)≤4.故f (x )≤g (a )＋4. 若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3， h ′(x )＝3x 2－3，所以h (x )在(－1，a )上是减函数，所以，h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3. 令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0， 知t (a )在(0,1)上是增函数． 所以，t (a )<t (1)＝4，即h (－1)<4. 故f (x )≤g (a )＋4.②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ，故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3， 此时h (x )在(－1,1)上是减函数，因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4. 故f (x )≤g (a )＋4.综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. 押题精练1．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1， 即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.2．已知函数f (x )＝x 28－ln x ，x ∈[1,3]．(1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若f (x )<4－at 对任意的x ∈[1,3]，t ∈[0,2]恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)∵函数f (x )＝x 28－ln x ，∴f ′(x )＝x 4－1x ，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∵x ∈[1,3]，当1<x <2时，f ′(x )<0；当2<x <3时，f ′(x )>0； ∴f (x )在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数， ∴f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝12－ln 2；又f (1)＝18，f (3)＝98－ln 3，∵ln 3>1，∴18－(98－ln 3)＝ln 3－1>0，∴f (1)>f (3)，∴x ＝1时函数f (x )取得最大值为18，x ＝2时函数f (x )取得最小值为12－ln 2.(2)由(1)知当x ∈[1,3]时，12－ln 2≤f (x )≤18，故对任意x ∈[1,3]，f (x )<4－at 恒成立，只要4－at >18对任意t ∈[0,2]恒成立，即at <318恒成立，记g (t )＝at ，t ∈[0,2]．∴⎩⎨⎧g (0)<318g (2)<318，解得a <3116，∴实数a 的取值范围是(－∞，3116)．(推荐时间：60分钟)一、填空题1．曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为________． 答案 x －y －2＝0解析 由已知，得点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上，所以切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－2)|x ＝1＝1，由直线方程的点斜式得x －y －2＝0.2．(2014·课标全国Ⅱ改编)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 答案 3解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，所以a ＝3.3．(2014·陕西改编)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为________．答案 y ＝1125x 3－35x解析 设所求解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ， ∵函数图象过(0,0)点，∴d ＝0.又图象过(－5,2)，(5，－2)，∴函数为奇函数 ∴b ＝0，代入可得－125a －5c ＝2①又y ′＝3ax 2＋c ，当x ＝－5时y ′＝75a ＋c ＝0②由①②得a ＝1125，c ＝35∴函数解析式为y ＝1125x 3－35x . 4．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为________________________________________________________________________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.5．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围是________． 答案 [34，1) 解析 由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0.则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2－a <0， 所以x >a 或－a <x <0，即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)．令g (x )＝x 3－ax ，则g ′(x )＝3x 2－a .由g ′(x )<0得－3a 3<x <0. 从而g (x )在x ∈(－3a 3，0)上是减函数，又函数f (x )在x ∈(－12，0)内单调递增，则有⎩⎨⎧ 0<a <1，－a ≤－12，－3a 3≤－12，所以34≤a <1. 6．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，下列结论正确的是________． ①f (x )>g (x )；②f (x )<g (x )；③f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )；④f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )．答案 ③解析 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数，∴当a <x <b 时f (x )－g (x )>f (a )－g (a )，∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．7．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，12) 解析 f ′(x )＝(ax ＋1)′(x ＋2)－(x ＋2)′(ax ＋1)(x ＋2)2＝a (x ＋2)－(ax ＋1)(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，令f ′(x )<0，即2a －1<0，解得a <12. 8．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]．9．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________． 答案 0<t <1或2<t <3解析 f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t ，t ＋1)内，函数在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.10．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，12) 解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1x－a ) ＝ln x ＋1－2ax (x >0)，令f ′(x )＝0得2a ＝ln x ＋1x，设φ(x )＝ln x ＋1x， 则φ′(x )＝－ln x x 2. 易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，大致图象如图．若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点，∴0<2a <1，∴0<a <12. 二、解答题11．(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知，f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.12．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )， 得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x 3＋x 2－x －2(x ≠1)， 求导得y ′＝3x 2＋2x －1＝0得x 1＝－1，x 2＝13， 得到极值点分别在－1和13处， 且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图如图．h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 13．设函数f (x )＝a e x (x ＋1)(其中，e ＝2.718 28…)，g (x )＝x 2＋bx ＋2，已知它们在x ＝0处有相同的切线．(1)求函数f (x )，g (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值；(3)若对∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b .由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线．∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2.(2)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2，由f ′(x )<0得x <－2，∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增，在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]上单调递减，在[－2，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2. ②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2(－3<t <－2)，2e t (t ＋1)(t ≥－2). (3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0.∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1.F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1k； 由F ′(x )<0得x <ln 1k ，∴F (x )在(－∞，ln 1k )内单调递减，在[ln 1k，＋∞)内单调递增． ①当ln 1k<－2，即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增， F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e 2(e 2－k )<0， 不满足F (x )min ≥0.当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0. ③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )内单调递减，在[ln 1k，＋∞)内单调递增．F(x)min＝F(ln 1k)＝ln k(2－ln k)>0，满足F(x)min≥0.综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2]．。

2012高考数学二轮专题检测及详解03：导数的综合应用【二月版】一、选择题1.(2011·江西高考)若f(x)=x 2-2x-4lnx,则f ′(x)>0的解集为( )(A)(0，+∞) (B)(-1,0)∪(2,+∞)(C)(2,+∞) (D)(-1,0)2.若a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0，2)上的实根个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)33.(2011·杭州模拟)若函数f(x)=x 3-3x+a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )(A)(-2，2) (B)［-2，2］(C)(-∞,-1) (D)(1,+∞)4.若函数y=f(x)在R 上可导，且满足不等式xf ′(x)>-f(x)恒成立，且常数a,b 满足a>b,则下列不等式一定成立的是( )(A)af(b)>bf(a) (B)af(a)>bf(b)(C)af(a)<bf(b) (D)af(b)<bf(a)二、填空题5.已知函数f(x)=21alnx x 2,(a>0),若对定义域内的任意x,f ′(x)≥2恒成立，则a 的取值范围是_______.6.(2011·辽宁高考)已知函数f(x)＝e x -2x+a 有零点，则a 的取值范围是_______.7.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R 上的导数f ′(x)＜12,则不等式()lgx 1f lgx 2+＜的解集为_______. 三、解答题 8.设函数f(x)=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x=1及x=2时取得极值.(1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的x ∈［0,3］，都有f(x)<c 2成立，求c 的取值范围.9.已知函数()21f x lnx ax 2x 2=--(a ＜0). (1)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a 的取值范围；(2)若1a ,2=-且关于x 的方程()1f x x b 2=-+在［1,4］上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.10.已知函数()43211f x x ax 2x b 43=+++. (1)若函数f(x)仅有一个极值点x=0,求实数a 的取值范围；(2)若对任意的a ∈［-1，1］，不等式f(x)≤0.当x ∈［-1，1］时恒成立，求实数b 的取值范围.11.(2011·广州模拟)已知函数f(x)=ax+xlnx 的图象在点x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a 的值；(2)若k ∈Z,且()f x k x 1<-对任意x>1恒成立，求k 的最大值； (3)当n>m ≥4时，证明：(mn n )m >(nm m )n .答案解析1.【解析】选C.由条件得()4f x2x2,x '=--令f′(x)>0,即42x20,x-->整理得：()()x1x20,x+->解得：-1<x<0或x>2,又因为f(x)的定义域为{x|x>0},所以x>2.2.【解析】选B.令f(x)=x3-ax2+1,而在区间(0，2)上函数f(x)的导函数f′(x)=3x2-2ax=x(3x-2a)<0恒成立，所以函数f(x)在(0，2)上是减函数，又f(0)=1>0,f(2)＝9-4a<0,所以方程x3-ax2+1=0在(0，2)上恰有1个实根.3.【解析】选A.由f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),知当x<-1时，f′(x)>0；当-1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以当x=-1时函数f(x)有极大值，当x=1时函数f(x)有极小值. 要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足()()f10f10->⎧⎪⎨<⎪⎩，解之得-2<a<2.4.【解析】选B.令F(x)=xf(x),则F′(x)=xf′(x)+f(x), 由xf′(x)>-f(x),得xf′(x)+f(x)>0,即F ′(x)>0,所以F(x)在R 上为递增函数.因为a>b,所以af(a)>bf(b).5.【解析】由题意得()a f x x x '=+≥当且仅当a x,x=即x =∵f ′(x)≥2，∴只要f ′(x)min ≥2即可,即2≥，解得a ≥1.答案：［1,+∞)6.【解析】f ′(x)=e x -2，由f ′(x)>0得e x -2>0,∴x>ln2，由f ′(x)<0得，x<ln2,∴f(x)在x=ln2处取得最小值.只要f(x)min ≤0即可.∴e ln2-2ln2+a ≤0,∴a ≤2ln2-2.答案：(-∞，2ln2-2］7.【解析】f ′(x)＜12⇒f ′(x)-12＜0,⇒y=f(x)-12x+b 在R 上是减函数, 不妨设1b 2=-,则()x 1y f x 2+=-在R 上是减函数， 从而函数()lgx 1y f lgx 2+=-在(0,+∞)上是减函数. 又f(1)=1,从而有()x 10lg101y f lg100,2=+=-=｜ 所以原不等式的解集为(10,+∞).答案：(10,+∞)8.【解析】(1)f ′(x)=6x 2+6ax+3b.因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值，则有f ′(1)=0,f ′(2)=0,即66a 3b 0,2412a 3b 0++=⎧⎨++=⎩解得a=-3,b=4. (2)由(1)可知，f(x)=2x 3-9x 2+12x+8c,f ′(x)=6x 2-18x+12=6(x-1)(x-2).当x ∈［0,1)时，f ′(x)>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x)<0；当x ∈(2，3］时，f ′(x)>0.∴当x=1时，f(x)取极大值f(1)=5+8c.又f(3)=9+8c>f(1).∴当x ∈［0,3］时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c.∵对于任意的x ∈［0，3］，有f(x)<c 2恒成立，∴9+8c<c 2,解得c<-1或c>9.∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).9.【解析】(1)f ′(x)=2ax 2x 1x+-- (x ＞0),依题意f ′(x)≥0在x ＞0时恒成立，即ax 2+2x-1≤0在x ＞0时恒成立，则2212x 1a (1)1x x-≤=--在x ＞0时恒成立，即2min 1a (1)1(x 0),x ≤--［］＞当x=1时，21(1)1x --取最小值-1，∴ a 的取值范围是(-∞,-1］. (2)1a 2=-时，由()1f x x b 2=-+得213x x ln x b 0.42-+-=设()213g x x x lnx b 42=-+-(x ＞0)，则()()()x 2x 1g x .2x --'＝ 随着x 的变化，g(x)、g ′(x)的变化情况如下表：∴ g(x)极小值=g(2)=ln2-b-2,()()5g x g 1b ,4==--极大值 ∵ 方程g(x)=0在［1,4］上恰有两个不相等的实数根，g(4)=2ln2-b-2.由g(x)图象知()()()g 10g 20,g 40≥⎧⎪⎨⎪≥⎩＜解得5ln 22b .4-≤-＜ 10.【解析】(1)f ′(x)=()322x ax 4x x x ax 4,++=++依题意知x 2+ax+4≥0恒成立.因此Δ＝a 2-16≤0,即-4≤a ≤4.故实数a 的取值范围是[-4,4].(2)因为当a ∈［-1，1］时，Δ＝a 2-16<0,所以x 2+ax+4>0.于是当x<0时，f ′(x)<0；当x>0时，f ′(x)>0；所以f(x)在［-1，0)上为减函数，在(0,1］上为增函数.要使f(x)≤0在x ∈［-1,1］上恒成立，只需满足()()1a f 12b 043,1af 12b 043⎧=+++≤⎪⎪⎨⎪-=-++≤⎪⎩即a 9b 34.a 9b 34⎧≤--⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩因为-1≤a ≤1,所以31b 12≤-，故实数b 的取值范围是(31,12-∞-］.11.【解析】(1)因为f(x)=ax+xlnx ，所以f ′(x)=a+lnx+1.因为函数f(x)=ax+xlnx 的图象在点x=e 处的切线斜率为3， 所以f ′(e)=3,即a+lne+1=3,所以a=1.(2)由(1)知，f(x)=x+xlnx,又()f x k x 1<-对任意x>1恒成立， 即x xlnxk x 1+<-对任意x>1恒成立.令()x xlnxg x ,x 1+=-则()()2x lnx 2g x x 1--'=-,令h(x)=x-lnx-2(x>1),则h ′(x)=1x 110,x x --=>所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,所以方程h(x)=0在(1，+∞)上存在唯一实根x 0,且满足x 0∈(3,4).当1<x<x 0时，h(x)<0,即g ′(x)<0，当x>x 0时，h(x)>0,即g ′(x)>0,所以函数()x xlnx g x x 1+=-在(1，x 0)上单调递减， 在(x 0,+∞)上单调递增，所以()()()()()0000min 0000x 1lnx x 1x 2g x g x x 3,4,x 1x 1++-====∈--［］ 所以()()min 0k g x x 3,4,<=∈［］故整数k 的最大值是3.(3)由(2)知，()x xlnxg x x 1+=-是［4，+∞)上的增函数，所以当n>m ≥4时，n nlnn m mlnm.n 1m 1++>--即n(m-1)(1+lnn)>m(n-1)(1+lnm).整理，得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n-m). 因为n>m,所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.即lnn mn +lnm m >lnm mn +lnn n .即ln(n mn m m )>ln(m mn n n ),所以(mn n )m >(nm m )n .。

绝密★启用前2012届高三数学二轮精品专题卷：专题12 导数及其应用考试范围：导数及其应用一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为t t t s 833123+-=，那么速度为零的时刻是 （ ） A ．1秒B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末 2．（理）已知直线kx y =是曲线x y ln =的切线,则直线kx y =经过点 （ ） A ．)1,(-eB ．)1,(eC ．)1,1(-eD ．)1,1(e（文）曲线2+=x xy 在点)1,1(--处切线的一个方向向量为（ ） A ．)2,1(-B ．)2,1(C ．)1,2(-D ．)1,2(3．设函数5221)(23+--=x x x x f ，若对于任意[]2,1-∈x ，m x f ＜)(恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．),7(+∞ B ．),8(+∞C ．[),7+∞D ．),9(+∞4．曲线2)(3-+=x x x f 上点0P 处的切线垂直于直线x y 41-=，则点P 0的坐标是 （ ） A ．)0,1(-B ．)2,0(-C ．)4,1(--或)0,1(D ．)4,1(5．已知函数)(x f y =，（x ∈R ）上任一点))(,(00x f x 处的切线斜率200)1)(3(+-=x x k ，则该函数的单调递增区间为（ ） A ．[)+∞,3 B ．(]3,-∞C ．(]1,--∞D ．[)+∞-,16．对于R上可导的任意函数)(x f ，若满足0)(')1(≤-x f x ，则必有 （ ）A ．)1(2)2()0(f f f ＜+B ．)1(2)2()0(f f f ≤+C ．)1(2)2()0(f f f ＞+D ．)1(2)2()0(f f f ≥+ 7．已知函数1)(+-=mx e x f x 的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ） A ．21-≤mB ．21-＞m C ．2≤m D ．2＞m8．若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围 （ ） A ．[)+∞,1 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1C ．[)2,1+ D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,239．已知对∈∀x R ，函数)(x f 都满足)2()2(x f x f -=+ππ，且当)2,2(ππ-∈x 时，x x x f sin 2)(+=，则 （ ）A ．)3()2()1(f f f ＜＜B ．)1()3()2(f f f ＜＜C ．)1()2()3(f f f ＜＜D ．)2()1()3(f f f ＜＜10．（理）已知点P 是曲线13+-=x x e e y 上一动点，α∠为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α∠的最小值是 （ ） A ．0B ．4πC ．32π D ．43π （文）右图是某一函数在第一象限内的图像，则该函数的解析式可能是 （ ）A ．x x e e y -+=B ．xx y 1ln +-=C ．x x y ln +-=D ．xx y 1ln +=二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上） 11．（理）如图所示，点)1,0(),1,1(),0,1(),0,0(C B A O ，则曲线2x y =与x 轴围成的封闭图形的面积是 ．（文）若幂函数)(x f 的图象经过点)21,41(A ，则该函数在点A 处的切线方程为 ．12．如图，函数)(x f 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为)4,4(),0,2(),4,0(则=-+→xf x f x △△△)1()1(lim．13．(理)曲线xxy tan 1tan +=在点)21,4(πM 处的切线的斜率为 ．（文）函数63)(23+-=x x x f 在=x 处取得极小值．14．已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，且x xf x f ln )1('2)(+=，则)1('f = ．15．(理)直线x y =是曲线kx y sin =的一条切线，则符合条件的一个实数k 值为 ． （文）函数f (x )＝x 3－3x-a 有三个不同的零点，则a 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分）已知函数x mx x x t ++=23)(是奇函数，2)(2++=nx ax x s 是偶函数，设)()()(x s x t x f ++．（1）若1-=a ,令函数)(2)(x f x x g -=,求函数)(x g 在)2,1(-上的极值；（2）对）（+∞-∈∀,31,21x x 恒有0)()(2121＞x x x f x f --成立，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分12分）请你设计一个LED 霓虹灯灯箱。

第5讲 导数及其应用(推荐时间：60分钟)一、填空题1．如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为____________．2．(原创题)已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩(∁I N )＝__________.3．(2011·辽宁改编)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．4．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是____________．5．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．6．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．7．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )·g (x )<f (x )g ′(x )，f (x )＝a x·g (x )，(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，在有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )(n ＝1,2，…10)中，任意取正整数k (1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是______．8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________．9．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．11．函数f (x )＝2m cos 2x 2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________．12．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是______．二、解答题13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)14.若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 得图象过点P (0，1)，且在x ＝1处的切线方程为x －y －2＝0，求函数y ＝f (x )的解析式．15．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值；(3)若函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围． 答 案1．(1,0) 2.[32，2] 3．(－1，＋∞)4．(－∞，10) 5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 6．[1，＋∞) 7.358．0<t <1或2<t <3 9．[1，＋∞)10．[－2，－1] 11．±1 12.12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e13．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x <10时， 由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0； 当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取最大值，且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．14．解 因为f (x )图象过点P (0,1)， 所以c ＝1，即f (x )＝ax 4＋bx 2＋1， 则f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，所以k ＝f ′(1)＝4a ＋2b ＝1. ①由f (x )在x ＝1的切线方程为x －y －2＝0得切点为M (1，－1)，将M (1，－1)代入f (x )＝ax 4＋bx 2＋1，得a ＋b ＋1＝－1.②由①②解得a ＝52，b ＝－92，所以f (x )＝52x 4－92x 2＋1.15．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导数得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)．而过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.故⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，－a ＋c －2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0， ①c －a ＝3. ②∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值， 故f ′(－2)＝0. ∴－4a ＋b ＝－12. ③由①②③联立解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5， ∴f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝23或x ＝－2.∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527.又∵f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13. (3)y ＝f (x )在[－2,1]上单调递增． 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由(1)知2a ＋b ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－bx ＋b .依题意在[－2,1]上恒有f ′(x )≥0， 即3x 2－bx ＋b ≥0在[－2,1]上恒成立，当x ＝b 6≥1时，即b ≥6时，[f ′(x )]min ＝f ′(1)＝3－b ＋b >0，∴b ≥6时符合要求．当x ＝b6≤－2时，即b ≤－12时，[f ′(x )]min ＝f ′(－2)＝12＋2b ＋b ≥0，∴b 不存在．当－2<b 6<1即－12<b <6时，[f ′(x )]min ＝12b －b 212≥0，∴0≤b <6，综上所述b ≥0.。

河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《导数及其应用》专题训练一、选择题1．函数f(x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x)有两个极值点x1，x2,则x1·x2等于( ）A．9 B．－9C．1 D．－1 : ]解析：f′（x）＝3x2＋2ax＋3,则x1·x2＝1。

答案：C2．(2011·江西高考)若f（x）＝x2－2x－4ln x，则f′（x)〉0的解集为（)A．（0,＋∞）B．（－1,0)∪(2，＋∞）C．(2,＋∞）D．（－1,0)解析：令f′（x）＝2x－2－错误!＝错误!＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2,又x＞0，所以x＞2。

［: ]答案:C3．(2011·湖南高考）曲线y＝错误!－错误!在点M（错误!，0）处的切线的斜率为（）A．－错误! B.错误!C．－错误! D.错误!解析：y′＝错误!＝错误!，把x＝错误!代入得导数值为错误!。

答案:B4．(2011·浙江高考）设函数f（x）＝ax2＋bx＋c(a,b，c∈R)．若x＝－1为函数f（x)e x的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f（x）的图像是( ）解析：若x＝－1为函数f(x）e x的一个极值点，则易得a＝c.因选项A、B的函数为f(x)＝a（x＋1)2,则［f(x）e x］′＝f′(x)e x＋f(x)（e x)′＝a（x＋1）(x＋3）e x，∴x＝－1为函数f（x）e x的一个极值点满足条件;选项C中，对称轴x＝－b2a＞0,且开口向下，∴a＜0,b＞0.∴f（－1)＝2a－b＜0.也满足条件；选项D中，对称轴x＝－错误!＜－1，且开口向上，∴a＞0，b＞2a.∴f(－1）＝2a－b＜0.与图矛盾，故答案选D。

答案：D5．(2011·合肥模拟)已知函数f（x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f（x）在区间（－1，0）上单调递减，则a2＋b2的取值范围是( ）A．[错误!，＋∞）B．（0,错误!]C ．[95，＋∞) D ．（0，错误!] 解析:由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ,f ′(x ）≤0在x ∈（－1，0）上恒成立，即3x 2＋2ax ＋b ≤0在x ∈（－1，0)上恒成立，∴错误!∴a ，b 所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O 到直线2a －b －3＝0的距离d ＝错误!.∴a 2＋b 2≥d 2＝错误!。