2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程作业本理

12.2　参数方程[知识梳理]1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数Error!，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)Error!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a >x 2a 2y 2b 2b >0)Error!(φ为参数)提醒：直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[诊断自测]1．概念思辨(1)直线Error!(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段的数量．( )M 0M → (3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝，点O 为原点，则直线OM 的斜率为.( )π33答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．教材衍化(1)(选修A4－4P 39T 1)直线Error!(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长等于( )A. B. C. D.12512559259105答案　B解析　直线的普通方程为x －2y ＋3＝0.圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3.∴圆心到直线的距离d ＝＝.35355∴弦长为2＝.故选B.r 2－d 21255(2)(选修A4－4P 24例2)已知点(x ，y )满足曲线方程Error!(θ为参数)，则的最小值是( )y x A. B. C. D ．132323答案　D解析　曲线方程Error!(θ为参数)化为普通方程得(x －4)2＋(y －6)2＝2，∴曲线是以C (4,6)为圆心，以为半径的圆，2∴是原点和圆上的点的连线的斜率，yx 如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA 时，取最小值，设yx 过原点的切线方程为y ＝kx ，则圆心C (4,6)到切线y ＝kx 的距离：d ＝＝，即7k 2－24k ＋17＝0，|4k －6|k 2＋12解得k ＝1或k ＝，177∴的最小值是1.故选D.yx3．小题热身(1)(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A. B ．2 C. D ．2141422答案　D解析　由Error!消去t ，得x －y －4＝0，由ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴C (2,0)，r ＝2.∴点C 到直线l 的距离d ＝＝，|2－0－4|22∴所求弦长＝2＝2.故选D.r 2－d 22(2)(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为Error!(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案　25解析　直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4.由Error!得x 2＝，即x ＝±，1222则|AB |＝|x A －x B |＝×＝2.1＋k 2AB1＋3225题型1　参数方程与普通方程的互化 (2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C ：＋＝1，直线典例x 24y 29l ：Error!(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．(1)用公式法，代入消参法；(2)过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，当|PH |最长时，|PA |取最大值．解　(1)曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|，55则|PA |＝d sin30°＝|5sin(θ＋α)－6|，255其中α为锐角，且tan α＝.43当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为.2255当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为.255方法技巧将参数方程化为普通方程的方法1．将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形．冲关针对训练已知直线l 的方程为y ＝x ＋4，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的交点的极坐标；(2)若P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值．解　(1)由题知直线l ：y ＝x ＋4，圆C ：x 2＋(y －2)2＝4，联立Error!解得Error!或Error!其对应的极坐标分别为，.(22，3π4)(4，π2)(2)解法一：设P (2cos θ，2＋2sin θ)，则d ＝＝，|2cos θ－2sin θ＋2|2|2cos (θ＋π4)＋2|当cos ＝1时，d 取得最大值2＋.(θ＋π4)2解法二：圆心C (0,2)到直线l 的距离为＝，圆的半径为2，|2|22所以点P 到直线l 的距离d 的最大值为2＋.2题型2　参数方程的应用 (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数典例方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为，求a .17(1)方程组法；(2)代入点到直线的距离公式，采用分类讨论思想求解．解　(1)曲线C 的普通方程为＋y 2＝1.x 29当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由Error!解得Error!或Error!从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，.(－2125，2425)(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝.|3cos θ＋4sin θ－a －4|17当a ≥－4时，d 的最大值为.a ＋917由题设得＝，所以a ＝8；a ＋91717当a ＜－4时，d 的最大值为.－a ＋117由题设得＝，－a ＋11717所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.方法技巧直线的参数方程在交点问题中的应用1．若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则||||＝|t 1t 2|，||＝|t 2－t 1|＝.M 0M 1→ M 0M 2→ M 1M 2→ (t 2＋t 1)2－4t 1t 22．若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝.t 1＋t 223．若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.提醒：对于形如Error!(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．冲关针对训练(2017·湘西模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ·sin 2θ＝2cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解　(1)由ρ·sin 2θ＝2cos θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ，即y 2＝2x .∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝，t 1t 2＝－，2cos αsin2α1sin2α∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝，(2cos αsin2α)2＋4sin2α2sin2α当α＝时，|AB |的最小值为2.π21．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解　(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，故C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组Error!若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.2．(2017·河南洛阳一模)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin＝5，射线OM ：θ＝与(θ＋π6)3π6圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解　(1)因为圆C 的参数方程为Error!(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由Error!解得ρ1＝2，θ1＝.π6设Q (ρ2，θ2)，则由Error!解得ρ2＝5，θ2＝.π6所以|PQ |＝3.[基础送分 提速狂刷练]1．(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．π2解　(1)C 1的普通方程为＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为x 22ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ－2＝0，C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝，21＋sin2α联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝4sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝＋4sin 2α＝＋4(1＋sin 2α)－4，21＋sin2α21＋sin2α令t ＝1＋sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝＋4t －4，当0<α<时，t ∈(1,2)．设f (t )2t π2＝＋4t －4，易得f (t )在(1,2)上单调递增，2t ∴|OA |2＋|OB |2∈(2,5)．2．(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 的直角坐标为P (2,1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，并且|PA |·|PB |＝，求tan α的值．283解　(1)将方程ρsin 2θ＝4cos θ两边同乘以ρ，得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得y 2＝4x .经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式．所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将Error!代入y 2＝4x ，得sin 2α·t 2＋(2sin α－4cos α)t －7＝0，因为P (2,1)在直线l 上，所以|t 1t 2|＝＝，所以sin 2α＝，α＝或α＝，即|－7sin2α|28334π32π3tan α＝或tan α＝－.333．(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C 1：Error!(t 为参数)，C 2：Error!(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝，Q 为C 2上的动点，求PQ π2的中点M 到直线C 3：Error!(t 为参数)距离的最小值．解　(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：＋＝1，x 264y 29C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，π2故M ，(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到C 3的距离d ＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|3sin θ－4cos θ＋13|5555＝|5sin(θ－φ)＋13|，55(其中φ满足tan φ＝43)所以d 的最小值为.8554．(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是ρ＝a sin θ，直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)．(1)若a ＝2，直线l 与x 轴的交点是M ，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最大值；(2)直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的倍，求a 的3值．解　(1)当a ＝2时，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.∴圆C 的圆心坐标为C (0,1)，半径r ＝1.令y ＝t ＝0得t ＝0，把t ＝0代入x ＝－t ＋2得4535x ＝2.∴M (2,0)．∴|MC |＝＝.22＋125∴|MN |的最大值为|MC |＋r ＝＋1.5(2)由ρ＝a sin θ得ρ2＝aρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2＝ay ，即x 2＋2＝.(y －a 2)a 24∴圆C 的圆心为C ，半径为，(0，a 2)|a 2|直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0.∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的倍，3∴圆心C 到直线l 的距离为圆C 半径的一半．＝，解得a ＝32或a ＝.|3a2－8|42＋32|a 4|32115．(2017·锦州二模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是Error!(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝，求直线14的倾斜角α的值．解　(1)∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，∴(x －2)2＋y 2＝4.(2)将Error!代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得：(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则Error!∴|AB |＝|t 1－t 2|＝＝，(t 1＋t 2)2－4t 1t 24cos2α＋12∵|AB |＝，14∴ ＝.4cos2α＋1214∴cos α＝±.22∵α∈[0，π)，∴α＝或α＝.π43π4∴直线的倾斜角α＝或α＝.π43π46．(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ＝.(θ－π4)2(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.解　(1)由Error!消去参数α得＋y 2＝1，x 29即C 的普通方程为＋y 2＝1.x 29由ρsin ＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)(θ－π4)2将Error!代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为.π4(2)由(1)，知点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，即Error!(t 为参数)，代入＋y 2＝1并化简，得5t 2＋18t ＋27＝0，x 292Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，2设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－<0，t 1t 2＝>0，1825275所以t 1<0，t 2<0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝.1825。

极坐标系与参数方程♦知识梳理 、极坐标在象限确定.二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程（1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ；（2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。

2、直线的极坐标方程（1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ；（2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程1、极坐标定义：M 是平面上一点,表示0M 的长度,是MOx ，则有序实数实数对（,）,叫极径，叫极角；一般地,2、极坐标和直角坐标互化公式:COS2 2 x 2y sin或t tany （x 0）的象限由点（x, y ）所[0,2 ）， 0x y第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换知识点】点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。

称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。

若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。

【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程；(II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.练习:定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x' x( y' y(00))的作用下，在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有:即有:x x h， y y k在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y)xh x h 所确定的变换是一个平移变换。

第2节参数方程【选题明细表】·广东省潮州二模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点R的极坐标为(2,),曲线C的参数方程为(θ为参数)(1)求点R的直角坐标;化曲线C的参数方程为普通方程;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.解:(1)点R的极坐标转化成直角坐标为R(2,2).由消参数θ,得曲线C的普通方程为+y2=1.(2)设P(cos θ,sin θ)根据题意,得到Q(2,sin θ),则|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,所以矩形PQRS的周长为:2(|PQ|+|QR|)=8-4sin(θ+).由0≤θ<2π知当θ=时,sin(θ+)=1,所以矩形的最小周长为4,点P(,).C:(θ为参数)和直线l:(其中t为参数,α为直线l的倾斜角).(1)当α=时,求圆上的点到直线l距离的最小值;(2)当直线l与圆C有公共点时,求α的取值范围.解:(1)当α=时,直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,圆C的圆心坐标为(1,0),圆心到直线的距离d==,圆的半径为1,故圆上的点到直线l距离的最小值为-1.(2)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α+sin α)t+3=0,这个关于t的一元二次方程有解,故Δ=4(cos α+sin α)2-12≥0,则sin2(α+)≥,即sin(α+)≥或sin(α+)≤-.又0≤α<π,故只能sin(α+)≥,即≤α+≤,即≤α≤.故α的范围是[,].·河南六市联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,再将所得到的曲线向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,得(2x-2)2+y2=4,即(x-1)2+=1,再将所得曲线向左平移1个单位,得曲线C1:x2+=1,则曲线C1的参数方程为(θ为参数).设曲线C1上任一点P(cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==≥(其中tan =-0,所以点P到直线l的距离的最小值为.·云南曲靖一中等多校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+).倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l与曲线C交于M,N两点.(1)写出直线l的参数方程的标准形式,并求曲线C的直角坐标方程;(2)求+的值.解:(1)由倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l的参数方程为: (t为参数)化为(t为参数)曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+),即ρ2=2ρ×(sin θ+cos θ),可得直角坐标方程:x2+y2=2x+2y.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入圆C的方程为:t2-t-1=0,t1+t2=1,t1t2=-1.所以+=+====.。

第十七章坐标系与参数方程高考导航2.(如过极点的直线、过极点或圆心参数方程和极坐知识网络17.1 坐标系典例精析题型一 极坐标的有关概念【例1】已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (5，π6)，B (5，π2)，C (－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积. 【解析】在极坐标系中，设极点为O ，由已知得∠AOB ＝π3，∠BOC ＝5π6，∠AOC ＝5π6.又|OA |＝|OB |＝5，|OC |＝43，由余弦定理得|AC |2＝|OA |2＋|OC |2－2|OA |·|OC |·cos ∠AOC ＝52＋(43)2－2×5×43·cos 5π6＝133，所以|AC |＝133.同理，|BC |＝133. 所以|AC |＝|BC |，所以△ABC 为等腰三角形. 又|AB |＝|OA |＝|OB |＝5， 所以AB 边上的高h ＝|AC |2－(12|AB |)2＝1332，所以S △ABC ＝12×1332×5＝6534.【点拨】判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练1】(1)点A (5，π3)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为 ；(2)点P (－12，4π3)与曲线C ：ρ＝cos θ2的位置关系是 .【解析】(1)(5，－5π3)；(－5，10π3).(2)点P 在曲线C 上.题型二 直角坐标与极坐标的互化【例2】⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1和⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长. 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程. 同理，x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程.(2) 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x即⊙O 1，⊙O 2的交点为(0,0)和(2，－2)两点， 故过交点的直线的直角坐标方程为x ＋y ＝0.【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点，x 轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到. 【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d ，求d 的最大值.【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x 2＋y 2＝9， ρ(cos θ＋3sin θ)＝2可化为x ＋3y ＝2. 在x 2＋y 2＝9上任取一点A (3cos α，3sin α)， 则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin(α＋30°)－2|2，它的最大值为4.题型三 极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x 2＋(y －1)2＝1于点Q ，在直线OQ 上取一点P ，使P 到直线y ＝2的距离等于|PQ |，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P 的轨迹方程.【解析】以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P 作PR 垂直于直线y ＝2，则有|PQ |＝|PR |.设P (ρ，θ)，Q (ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.因为|PR |＝|PQ |，所以|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|，所以ρ＝±2或sin θ＝±1，即为点P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4或x ＝0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练3】如图，点A 在直线x ＝5上移动，等腰△OP A 的顶角∠OP A 为120°(O ，P ，A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程.【解析】取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系， 则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5. 设A (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，因为点A 在直线ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.①因为△OP A 为等腰三角形，且∠OP A ＝120°，而|OP |＝ρ，|OA |＝ρ0以及∠POA ＝30°， 所以ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得点P 的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.题型四 平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T ：⎩⎨⎧'=-'=+∙∙∙∙, cos sin , sin cos y y x x y x θθθθ可把平面直角坐标系上的点P (x ，y )变换成点P ′(x ′，y ′).特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P ′与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.(1)若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C 的标准方程，并求出当tan θ＝34时，其两个焦点F 1、F 2经变换公式T 变换后得到的点F 1′和F 2′的坐标；(2)当tan θ＝34时，求(1)中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标.【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆定义知焦距2c ＝22⇒c ＝2，即a 2－b 2＝2.① 又由已知得a 2＋b 2＝4，② 故由①、②可解得a 2＝3，b 2＝1. 即椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，且椭圆C 两个焦点的坐标分别为F 1(－2，0)和F 2(2，0).对于变换T ：⎩⎨⎧'=-'=+∙∙∙∙, cos sin , sin cos y y x x y x θθθθ当tan θ=43时，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=-'=+.5453,5354y y x x y x设F 1′(x 1，y 1)和F 2′(x 2，y 2)分别是由F 1(－2，0)和F 2(2，0)的坐标经变换公式T 变换得到.于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯--⨯=-=⨯+-⨯=,523054)2(53,524053)2(5411y x 即F 1′的坐标为(－425，－325)；又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-⨯==⨯+⨯=,523054253,52405325422y x即F 2′的坐标为(425，325).(2)设P (x ，y )是椭圆C 在变换T 下的不动点，则当tan θ＝34时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+yy x x y x 5453,5354⇒x ＝3y ，由点P (x ，y )∈C ，即P (3y ，y )∈C ，得(3y )23＋y 2＝1⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=,23,21x y 因而椭圆C 的不动点共有两个，分别为(32，12)和(－32，－12).【变式训练4】在直角坐标系中，直线x －2y ＝2经过伸缩变换 后变成直线2x ′－y ′＝4.【解析】⎩⎨⎧='='.4,y y x x总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；反之也成立. 2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.17.2 参数方程典例精析题型一 参数方程与普通方程互化 【例1】 把下列参数方程化成普通方程： (1) ⎩⎨⎧+=-=θθθθ sin cos 2,sin 4 cos y x (θ为参数)；(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--2)e e (,2)e e (tt t t b y a x (t 为参数，a ，b ＞0).【解析】(1),1)94()92(94 cos ,92 sin sin cos 2, sin 4 cos 22=++-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⇒⎩⎨⎧+=-=y x x y y x x y y x θθθθθθ所以5x 2＋4x y ＋17y 2－81＝0. (2)由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--②.e e 2，①e e 2t t tt by ax所以①2－②2得4x 2a 2－4y 2b 2＝4，所以x 2a 2－y 2b2＝1，其中x ＞0.【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.(1)⎩⎨⎧=+=; cos sin , cos sin θθθθy x (2)⎪⎩⎪⎨⎧+==;1,1t t y x (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=;13,13222t t y t t x (4) ⎩⎨⎧-=+= 3. tan 5, sec 46θθy x 【解析】(1)x 2＝2(y ＋12)，－2≤x ≤2，图形为一段抛物线弧.(2)x ＝1，y ≤－2或y ≥2，图形为两条射线.(3)x 2＋y 2－3y ＝0(y ≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3). (4)(x －6)216－(y ＋3)225＝1，图形是双曲线.题型二 根据直线的参数方程求弦长【例2】已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 3,2(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.(1)求曲线C 的普通方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】(1)由曲线C ：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝1， 化成普通方程为x 2－y 2＝1.①(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23,212(t 为参数).②把②代入①得(2＋t 2)2－(32t )2＝1，整理得t 2－4t －6＝0.设其两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－6.从而弦长为|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝42－4(－6)＝40＝210.方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y ＝3(x －2)， 代入x 2－y 2＝1，得2x 2－12x ＋13＝0.设l 与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝132， 所以|AB |＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝262－26＝210.【变式训练2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531,541(t 为参数)，若以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长.【解析】将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531,541(t 为参数)化为普通方程为3x ＋4y ＋1＝0.将方程ρ＝2cos(θ＋π4)化为普通方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.表示圆心为(12，－12)，半径为r ＝22的圆，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 题型三 参数方程综合运用【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C 1：⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3, cos 4 (t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧==θθ sin 3,cos 8y x (θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧+-=+=t y t x 2,23(t 为参数)距离的最小值.【解析】(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ).C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|， 从而cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==θθ sin 2,cos 4y x (θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ(ρ＞0).(1)化曲线C 1、C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线C 1与x 轴的一个交点的坐标为P (m,0)(m ＞0)，经过点P 作曲线C 2的切线l ，求切线l 的方程. 【解析】(1)曲线C 1：x 216＋y 24＝1；曲线C 2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.曲线C 1为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C 2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆.(2)曲线C 1：x 216＋y 24＝1与x 轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)，因为m ＞0，所以点P 的坐标为(4,0).显然切线l 的斜率存在，设为k ，则切线l 的方程为y ＝k (x －4).由曲线C 2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆得|k ＋2－4k |k 2＋1＝5，解得k ＝3±102，所以切线l 的方程为y ＝3±102(x －4).总结提高1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x ，y 的取值范围而造成错误.2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.。

坐标系与参数方程2019年1.（2019全国1文22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x tt y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2.（2019全国II 文22）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 3.(2019全国III 文22）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD . （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标.2010-2018年1．(2018北京)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．2．（2017北京）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0)），则||AP 的最小值为___________．3．（2017天津）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．4．（2016北京）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B两点，则||AB =____．5．（2015广东）已知直线l的极坐标方程为2sin()4πρθ-=Α的极坐标为7)4πA (，则点Α到直线l 的距离为 ． 6．（2015安徽）在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是7．(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 8．(2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 9．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O e 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O e 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．(2018江苏)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．11．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．12．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．13．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．14．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．15．（2016年全国I ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．（I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．16．（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB ，求l 的斜率．17．（2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．18．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．19．（2015新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N,求2C MN ∆的面积．20．（2015新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C：ρθ=．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值． 21．（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.22．（2015陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=． （Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．23．（2014新课标Ⅰ）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． (Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．24．（2014新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．25．（2013新课标Ⅰ）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。

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第一节坐标系A组基础题组1。

在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的半径为( ）A. B。

1 C。

2 D.42.在极坐标系中,点到直线ρcos θ-ρsin θ-1=0的距离等于( ）A.B。

C。

D。

23。

(2017北京海淀零模,4)在极坐标系中，圆ρ=2cos θ垂直于极轴的两条切线的方程分别为（）A。

θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=（ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=（ρ∈R)和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R）和ρcos θ=14.已知点M的极坐标为，则将点M的极坐标化成直角坐标为( )A。

B。

C. D.5.在极坐标系中，曲线ρ=2cos θ是（)A.过极点的直线B。

半径为2的圆C.关于极点对称的图形D。

关于极轴对称的图形6。

(2017北京海淀二模，9)在极坐标系中，极点到直线ρcos θ=1的距离为.7.在极坐标系中，直线ρsin θ=3被圆ρ=4sin θ截得的弦长为.8。

(2017北京顺义二模,12）在极坐标系中,圆ρ=-2cos θ的圆心C到直线2ρcos θ+ρsin θ—2=0的距离等于。

9。

在极坐标系中,设ρ>0,0≤θ〈2π,则曲线ρ=2与曲线ρsin θ=2交点的极坐标为.10.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcos—1=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,则在直角坐标系中，圆心C的坐标是。

第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2，点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，255 5.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2，故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. (1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ， 得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ，即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。

选修4－4－2 参数方程一、填空题 1．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－1t y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是__________． 答案：y ＝x (x －2)(x －1)22．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝__________. 解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.答案：43．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为__________．答案：－154．已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA →|＝__________. 答案：35．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)有唯一的公共点，则实数k ＝__________.答案：±336．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θy ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－22，0)∪(0,22)7．在极坐标系中，直线l 1的极坐标方程为ρ(2cos θ＋sin θ)＝2，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋kt (t 为参数)，若直线l 1与直线l 2垂直，则k ＝__________. 答案：－18．求直线⎩⎨⎧ x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4所截的弦长为__________． 答案：75 9．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π，2π])上，则y x 的取值范围是__________．答案： ⎣⎡⎦⎤0，33 三、解答题10．(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.直线C 2的直角坐标方程x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1. ∴⎩⎨⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2. 11．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. (2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 解法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 12．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解析：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。

坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知 识 梳 理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。