第三章05n维随机向量

n维随机变量的均值向量和协方差矩阵在统计学中，随机变量是指一个变量的取值是由概率决定的。

n维随机变量是指由n个随机变量组成的向量。

我们可以用一个n维向量来表示这个随机变量，其中每个元素表示对应随机变量的取值。

让我们来了解一下均值向量。

均值向量是由随机变量的期望值组成的向量，它反映了随机变量的中心趋势。

对于一个n维随机变量，其均值向量的第i个元素表示第i个随机变量的平均取值。

均值向量的计算方法是将每个随机变量的取值相加，然后除以n。

均值向量在统计分析中有很多重要的应用，比如用于描述数据的集中趋势和比较不同数据集之间的差异。

接下来，让我们来了解一下协方差矩阵。

协方差矩阵是一个对称矩阵，它描述了随机变量之间的线性关系。

对于一个n维随机变量，其协方差矩阵的第i行第j列元素表示第i个随机变量和第j个随机变量之间的协方差。

协方差矩阵的对角线元素表示各个随机变量的方差。

协方差矩阵可以帮助我们了解随机变量之间的相关性，以及它们对总体变异的贡献程度。

协方差矩阵在统计分析中有很多应用，比如主成分分析和线性回归分析。

均值向量和协方差矩阵在统计学中扮演着重要的角色，它们可以帮助我们理解和分析随机变量的特征。

通过计算均值向量和协方差矩阵，我们可以得到有关随机变量的很多信息，比如中心趋势、变异程度和相关性等。

这些信息对于我们进行统计推断和决策分析非常重要。

在实际应用中，我们经常需要根据样本数据来估计总体的均值向量和协方差矩阵。

通过对样本数据进行计算，我们可以得到样本的均值向量和协方差矩阵，并利用它们来推断总体的特征。

这在很多领域都有广泛的应用，比如金融投资、市场研究和医学统计等。

总结起来，均值向量和协方差矩阵是统计学中重要的概念和工具。

它们可以帮助我们理解和分析随机变量的特征，并在实际应用中提供有用的信息。

通过计算均值向量和协方差矩阵，我们可以得到关于随机变量的很多统计指标，从而进行统计推断和决策分析。

在未来的研究和实践中，我们可以进一步探索均值向量和协方差矩阵的性质和应用，以推动统计学的发展和应用。

大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。

简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。

(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。

设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。

大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。

简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。

(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。

设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。

第3章 随机向量客观世界是复杂多样的．在实际应用中, 有些随机现象只用一个随机变量去描述是不够的，它常常是多个随机变量（因素）共同作用的结果．例如, 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时抽查儿童的身高H 、体重W , 这里, H 和W 是定义在同一个样本空间=Ω{某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量．又如, 考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标X 和纵坐标Y 这两个随机变量．一般来说，同一随机试验所涉及的几个随机变量不但有各自的统计规律性，它们之间还存在着一定的联系．在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需要考察它们的联合取值的统计规律，即随机向量的分布． 由于从二维随机向量推广到多维随机向量一般没有实质性的困难, 所以我们重点讨论二维随机向量．3.1 二维随机向量及其分布函数定义3.1.1 设随机试验E 的样本空间为Ω,X 和Y 为定义在Ω上的随机变量，由它们构成的向量),(Y X 称为定义在Ω上的二维随机向量或二维随机变量．对任意实数y x ,, 二元函数}{}{),(y Y P x X P y x F ≤≤= 记为 },{y Y x X P ≤≤ （3.1.1） 称为二维随机向量),(Y X 的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数．如果将),(Y X 看成是平面上的随机点，则分布函数值),(00y x F 表示点),(Y X 落在无限的矩形区域00,y y x x ≤<-∞≤<∞-内的概率，见图3.1．图3.1 ),(00y x F 的几何意义根据上述分布函数的几何意义，容易得到随机点),(Y X 落在矩形区域：,21x x x ≤<21y y y ≤<内的概率为),(),(),(),(},{111221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤< (3.1.2)二维随机向量的分布函数),(y x F 具有以下几条基本性质：1. 有界性：1),(0≤≤y x F ；且 对任意固定的,y,0),(lim ),(==-∞-∞→y x F y F x对任意固定的,x0),(lim ),(==-∞-∞→y x F x F y ，0),(lim ),(),(),(==-∞-∞-∞-∞→y x F F y x ，1),(lim ),(),(),(==∞∞∞∞→y x F F y x ；2. 单调性：),(y x F 关于x 和y 均为单调不减函数, 即对任意固定的,y 当),,(),(,2121y x F y x F x x ≤<时 对任意固定的,x 当),(),(,2121y x F y x F y y ≤<时； 3. 右连续性：),(y x F 关于x 和y 均为右连续的, 即)0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F ．性质1和性质2根据分布函数),(y x F 的定义以及几何意义不难证明，性质3的证明从略．3.2 二维离散型随机向量定义3.2.1 若二维随机向量),(Y X 只取有限对或无穷可列对值),(j i y x ,,2,1, =j i 则称),(Y X 为二维离散型随机向量，并称ij j i p y Y x X P ===},{， ,2,1,=j i （3.2.1）为二维离散型随机向量),(Y X 的概率分布(分布律)，通常用表格形式表示，见表3.1，并称其为联合概率分布表．表3.1 二维离散型随机向量),(Y X 的概率分布由概率的性质可知ij p 具有以下两条性质： 1. 非负性：0≥ij p ， ,2,1,=j i ； 2．归一性：111=∑∑∞=∞=i j ijp．注：（1）),(Y X 为二维离散型随机向量当且仅当Y X ,均为离散型随机变量．（2）对二维离散型随机向量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定),(Y X 取值于任何区域D 上的概率，即∑∈=∈Dy x ijj i pD Y X P ),(}),{(, (3.2.2)特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数：∑≤≤=≤≤=yy x x ijj i py Y x X P y x F ,},{),(． (3.2.3)例3.2.1 在只有3个红球和4个黑球的袋中逐次随机抽取一球，令 ⎩⎨⎧=若第一次取到黑球;若第一次取到红球,,0,1X ⎩⎨⎧=若第二次取到黑球.若第二次取到红球,,0,1Y试在有放回及不放回两种条件下，求X 和Y 的联合分布．解 （Y X ,）所有可能取到的值是（0,0），（1,0），（0,1），（1,1）． （1）有放回抽取先求}0,0{==Y X P ，即第一次取到黑球、第二次也取到黑球的概率，这是古典概型，有}0,0{==Y X P 49167744=⨯⨯=， 同理}1,0{==Y X P 4912=，}0,1{==Y X P 4912=,}1,1{==Y X P 499=． 所以 ),(Y X 的分布律如下表所示．（2）无放回抽取}0,0{==Y X P 7242126734==⨯⨯=，}1,0{==Y X P 724212==， }0,1{==Y X P 724212==, }1,1{==Y X P 71426==. 所以 ),(Y X 的分布律如下表所示．3.3 二维连续型随机向量定义 3.3.1 设),(Y X 为二维随机向量,),(y x F 为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数),(y x f , 使对任意实数y x ,, 有,),(),(⎰⎰∞-∞-=xydudv v u f y x F (3.3.1)则称),(Y X 为二维连续型随机向量, 并称),(y x f 为),(Y X 的概率密度(密度函数), 或X 与Y 的联合概率密度(联合密度函数)．由定义3.3.1知道概率密度函数),(y x f 具有以下基本性质： （1）0),(≥y x f ． （2）1),(),(=∞∞=⎰⎰∞∞-∞∞-F dxdy y x f ． (3.3.2)（3）若),(y x f 在点),(y x 连续, 则有),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂． （4）设D 是xoy 平面上的区域，点),(Y X 落入D 内的概率为⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{(． (3.3.3)其中性质（4）表明，二维连续型随机向量),(Y X 落在平面任一区域D 内的概率，等于概率密度在D 上的二重积分，从而把概率的计算化为二重积分的计算．从几何上看),(Y X 落在D 中的概率，在数值上就是以曲面),(y x f z =为顶，以平面区域D 为底的曲顶柱体的体积．例3.3.1 设),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它.,0,0,0,),()43(y x Ce y x f y x 其中C 为常数．（1）求常数C ；（2）求),(Y X 的联合分布函数； （3）}20,10{<<<<Y X P ；（４）),(Y X 落在0,0,1===+y x y x 所围成的三角形区域D 内的概率． 解 （1）根据概率密度函数性质（2）知=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f ),(=⎰⎰∞∞+-dxdy Cey x 0)43(=⎰⎰∞∞--dy e dx eC y x43112=C从而12=C ．（2）由定义3.3.1知⎰⎰∞-∞-=xydudv v u f y x F ),(),(当0≤x 或0≤y 时，00),(==⎰⎰∞-∞-x ydudv y x F ；当0>x 且0>y 时，=),(y x F dv e du e y v xu ⎰⎰--040312)1)(1(43y x e e ----=；所以，⎩⎨⎧>>--=--其它.,0,0,0),1)(1(),(43y x e e y x F y x . （3）将),(Y X 看作平面上随机点的坐标，设平面区域}20,10|),{(1<<<<=y x y x D ，则根据概率密度函数性质（4）知}20,10{<<<<Y X P ⎰⎰=1),(D dxdy y x fdy e dx e y x ⎰⎰--=1024312)1)(1(83----=e e ．（4）根据概率密度函数性质（4）知=∈}),{(D Y X P ⎰⎰Ddxdy y x f ),(dy e dx e xy x ⎰⎰---=1010431243341--+-=e e ．下面介绍两种常用的二维连续型分布．1．二维均匀分布G 是平面上的有界区域,其面积为A ．若二维随机向量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0,),(,1),(其它G y x Ay x f （3.3.4） 则称),(Y X 在G 上服从均匀分布．当),(Y X 在面积为A 的区域G 上服从均匀分布时，),(Y X 落在G 内任何子区域D （G D ⊂）的概率与D 的面积成正比，而与D 的位置和形状没有关系，设D 的面积为S,即有AS D Y X P =∈}),{(. 2. 二维正态分布二维随机向量),(Y X 具有概率密度⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σμ-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σμ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σμ-ρ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σμ-ρ--ρ-σπσ=222221121122)1(21221121),(y y x x ey x f （3.3.5）其中ρσσμμ,,,,2121均为实数,且1||,0,021<>>ρσσ,则称),(Y X 服从参数为ρσσμμ,,,,2121的二维正态分布，记为),(Y X ),,,,(~222121ρσσμμN称),(Y X 为二维正态随机向量．二维正态分布是一种重要的分布．它的概率密度函数),(y x f 的图形，像一个椭圆切面的钟倒扣在xoy 坐标面上，它的中心在),(21μμ处，其图形见图3.2．图3.2 二维正态分布概率密度曲面图3.4 边缘分布二维随机向量),(Y X 作为一个整体，它具有分布函数),(y x F ．而X 和Y 也都是随机变量，它们各自也具有分布函数，将它们分别记为)(x F X 和)(y F Y ，依次称为二维随机向量（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘分布函数．若给定二维随机向量),(Y X 的联合分布函数),(y x F ，则边缘分布函数)(x F X 和)(y F Y 也就可以随之确定，事实上{}{}{}),(),(lim ,lim ,)(∞==≤≤=∞<≤=≤=∞→∞→x F y x F y Y x X P Y x X P x X P x F y y X（3.4.1） 同理，有{}),()(y F y Y P y F Y ∞=≤=. （3.4.2）可见边缘分布函数)(x F X 和)(y F Y 完全可以由描述),(Y X 整体分布的分布函数),(y x F 来确定．下面分别讨论二维离散型随机向量与二维连续型随机向量的边缘分布．3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布设),(Y X 是二维离散型随机向量，其分布律为：{}ij j i p y Y x X P ===,， ,2,1,=j i ．于是，随机变量X 的概率分布为{}{}∑∑=====jij jj i i p y Y x X P x X P ,， ,2,1=i ．记 {}∑===⋅jiji i px X P p ， ,2,1=i ， (3.4.3)称其为二维离散型随机向量),(Y X 关于X 的边缘分布律．可用表格形式表示为：同理， ),(Y X 关于Y 的边缘分布律为：∑===⋅iij j j p y Y P p }{， ,2,1=j ， (3.4.4)称其为二维离散型随机向量),(Y X 关于Y 的边缘分布律．可用表格形式表示为：由此可见，关于X 和关于Y 的边缘分布律本质上是随机变量Y X ,的分布律，之所以称它们是边缘分布是相对于它们的联合分布而言的．边缘分布律与联合分布律可用同一表格表达，表示为下表3.2．表3.2 二维随机向量),(Y X 的边缘分布与联合分布例3.4.1 设袋中有3个红球及4个黑球，现从其中随机地抽取两次，每次取一个，定义随机变量X ，Y 如下： ⎩⎨⎧=若第一次取到黑球;若第一次取到红球,,0,1X ⎩⎨⎧=若第二次取到黑球.若第二次取到红球,,0,1Y 写出下列两种试验的随机变量X 与Y 的联合分布与边缘分布：（1）有放回摸球；（2）无放回摸球．解 （1）采取有放回摸球时，根据例3.2.1，可得),(Y X 的联合分布律为根据式(3.4.3)，得7449124916}0{=+==X P ， 734994912}1{=+==X P ．故),(Y X 关于X 的边缘分布律表示为同理，根据式(3.4.4)，得7449124916}0{=+==Y P ， 734994912}1{=+==Y P ． 故),(Y X 关于X 的边缘分布律表示为),(Y X 的联合分布与边缘分布由表3.3给出.表3.3(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，),(Y X 的联合分布与边缘分布由表3.4给出.在表3.3与表3.4中，中间部分是),(YX 的联合分布律，而边缘部分是X 和Y 的边缘分布律，它们由联合分布经过对同一行或同一列求和而得到，“边缘”二字即由上表的外貌得来．显然，二维离散型随机向量的边缘分布律也是离散的．另外，例3.4.1中问题（1）和（2）中X 和Y 的边缘分布是相同的，但它们的联合分布却完全不同．由此可见，边缘分布可以由联合分布唯一确定，但联合分布却不能由边缘分布唯一确定，也就是说，二维随机向量的性质不能由它的两个分量的个别性质来确定．研究二维随机向量时，不仅要研究它的两个分量的性质，还必须考虑它们之间的联系．这进一步说明了多维随机向量的作用．有时，在一定的条件下，二维随机向量的联合分布可由两个随机变量的边缘分布确定，这涉及到两个随机变量的独立性问题，将在第3.5节讲述．3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布设),(Y X 是二维连续型随机向量，其概率密度为),(y x f ，由⎰⎰∞-∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞=x X x y x,y f x F x F d )d (),()(知，X 是一个连续型随机变量，且其概率密度为=)(x f X ⎰∞∞-=y.x,y f dx(x)dF X )d ( （3.4.5） 同样，Y 也是一个连续型随机变量，其概率密度为)(y f Y =⎰∞∞-=x.x,y f dy(y)dF Y )d ( (3.4.6) 分别称)(x f X ，)(y f Y 为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布密度或边缘概率密度．例3.4.2 设),(Y X 服从矩形区域d y c b x a D ≤≤≤≤,:上的均匀分布，求X 与Y 的边缘密度函数)(),(y f x f Y X ．解 根据均匀分布的定义，),(Y X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤--=其它.,0,,,))((1),(d y c b x a c d a b y x f则当],[b a x ∈时，)(x f X ab dy b-a)(d-c y y x f -===⎰⎰∞∞-1),(dc )(1d ，当],[b a x ∉时，)(x f X 0=．所以 ⎪⎩⎪⎨⎧∈-=其它.,0],,[,1)(b a x a b x f X同理 ⎪⎩⎪⎨⎧∈-=其它.,0],,[,1)(d c y c d y f Y可见，在矩形区域上服从均匀分布的二维随机向量，其每一个分量都是服从均匀分布的随机向量，但对于其它形状的区域上的均匀分布则不一定有这个结论．例3.4.3 设平面区域D 是由抛物线2x y =与直线x y =所围，随机向量),(Y X 在D 上服从均匀分布，试写出X 和Y 的联合概率密度函数，并求出随机变量X 和Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ．解 D 的面积6110===⎰⎰⎰⎰y yDdx dy dxdy A ， 所以，X 和Y 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<≤≤=其它.,0,1,6),(2x y x y x f根据式(3.4.5)当10≤≤x 时, =)(x f X ⎰⎰-==∞∞-xxx x dy y y x f 2)(66),(2d ,当0<x 或1>x 时, =)(x f X ⎰⎰∞∞-∞∞-==00),(dy y y x f d ,所以,=)(x f X ⎩⎨⎧≤≤-其它.,0,10),(62x x x根据式(3.4.6)当10≤≤y 时, =)(y f Y ⎰⎰-==∞∞-yyy y dx x y x f )(66),(d ,当0<y 或1>y 时, =)(y f Y ⎰⎰∞∞-∞∞-==00),(dx x y x f d ,所以,=)(y f Y ⎩⎨⎧≤≤-其它.,0,10),(6y y y例3.4.4 已知二维随机向量),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，试求X 和Y 的边缘概率密度函数．解 二维正态随机向量),(Y X 的概率密度为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222221121122)1(21221121),(σμσμσμρσμρρσπσy y x x ey x f根据式（3.4.5）有=)(x f X ⎰∞∞-,),(y y x f d由于,)())((2)(212122112221212222σμρσμρσμσσμμρσμ--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=----x x y y x y 于是=)(x f X y eex y x d π-⎰∞∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡--------2112222121)1(212)(221121σμρσμρσμρσσ令 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛σμ-ρ-σμ-ρ-=1122211x y t ， 则有=)(x f X 2121221212)(122)(12121σμσμσσ--∞∞----=⎰x t x e t ee πd π， ∞<<∞-x .可见，),(~211σμN X 同理=)(y f Y 22222)(221σμσ--y e π， ∞<<∞-y .),(~222σμN Y ．结果表明，二维正态分布的两个边缘分布都服从一维正态分布，并且都不依赖于ρ．显然，二维正态分布与五个参数ρσσμμ,,,2121都有关，当ρ取不同的值时，对应的二维正态分布是不相同的，但它们的边缘分布却都是相同的．这一事实表明，对于连续型随机向量来说，仅仅知道两个边缘分布的概率密度，一般来说也是不能确定二维随机向量的联合分布的．3.5 随机变量的独立性我们在前面已经知道，随机事件的独立性在概率的计算中起着很大的作用．下面我们介绍随机变量的独立性，它在概率论和数理统计的研究中占有十分重要的地位．定义3.5.1 设X 和Y 为两个随机变量，若对于任意实数 x 和y 有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤，则称随机变量X 和Y 相互独立．若二维随机向量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ，则上述独立性条件等价于对任意实数x 和y ，有=),(y x F )(x F X )(y F Y . (3.5.1) 对于两个离散型随机变量Y X ,，有如下判定其独立性的定理． 定理3.5.1 设离散型随机变量X 和Y 的分布律分别为：⋅==i i p x X P }{, ,2,1=i ， j j p y Y P ⋅==}{, ,2,1=j ，),(Y X 的联合分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ ， ,2,1,=j i ．则Y X ,相互独立的充要条件为：对一切j i ,恒有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =====， ,2,1,=j i .即 j i ij p p p ⋅⋅=． （3.5.2）定理3.5.1证明从略．对于两个连续型随机变量Y X ,，有如下判定其独立性的定理．定理3.5.2 设连续型随机变量X 和Y 的概率密度函数分别为)(x f X ，)(y f Y ，随机向量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x f ，则Y X ,相互独立的充要条件为)()(),(y f x f y x f Y X =几乎总是成立（在平面上除去一个面积为零的集合外，公式总成立）．例3.5.1 试判定本章例3.4.1中的随机变量X 与Y 在有放回抽取与无放回抽取时是否相互独立．解 根据例3.4.1，有放回抽取时,),(Y X 的联合分布律为通过联合分布律表计算可得边缘分布律，综合可得由表中可见： 11117749⋅⋅=⋅==p p p ， 21127749⋅⋅=⋅==p p p ，122174734912⋅⋅=⋅==p p p ， 22227373499⋅⋅=⋅==p p p ．根据定理3.5.1知 有放回抽取时，X 与Y 相互独立．同理，无放回抽取时,),(Y X 的联合分布律为通过联合分布律表计算可得边缘分布律，综合可得由表中可见： 1111777⋅⋅=⋅≠=p p p ，其它不需验证． 根据定理3.5.1知无放回抽取时，X 与Y 不独立．例3.5.2 设),(Y X 在圆域122≤+y x 上服从均匀分布，问X 和Y 是否相互独立？解 ),(Y X 的联合分布密度为),(y x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤+π.,0,1,122其它y x 由此可得)(x f X =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=⎰∞∞-.,0,11,12),(2其它x x πdy y x f)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=⎰∞∞-.,0,11,12),(2其它y y πdx y x f可见在圆域122≤+y x 上，),(y x f ≠)(x f X )(y f Y ,故X 和Y 不相互独立．例3.5.3 设X 和Y 分别表示两个电子元件的寿命（单位：小时），又设X 与Y 相互独立，且它们的概率密度分别为=)(x f X ⎩⎨⎧>-其它;,0,0,x e x =)(y f Y ⎩⎨⎧>-.,0,0,其它y e y 求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ．解 由X 和Y 相互独立可知==)()(),(y f x f y x f Y X ⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)(其它y x e y x例3.5.4 证明：设二维随机向量),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则X 和Y 相互独立的充分必要条件是参数0=ρ．证明： 充分性：设0=ρ，由式（3.3.5）知⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σμ-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛σμ--σπσ=222211212121),(y x ey x f由例3.4.4可得=)(x f X 21212)(121σμ--σx eπ , =)(y f Y 22222)(221σμσ--y eπ显然)()(),(y f x f y x f Y X =,从而X 和Y 相互独立．必要性：设X 和Y 相互独立，则对于任意y x ,，都有)()(),(y f x f y x f Y X =，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σμ-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σμ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σμ-ρ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σμ-ρ--ρ-σπσ222221121122)1(21221121y y x x e21212)(121σμ--σ=x eπ22222)(221σμσ--y eπ，上式对于21,μ=μ=y x 也成立，于是有=ρ-σπσ221121121σπ221σπ，所以，0=ρ．这里需要指出，以上内容给出了针对二维离散型随机向量与二维连续型随机向量),(Y X 判断Y X ,的独立性的定理3.5.1与定理3.5.2，但在实际问题中，随机变量的独立性一般不是根据数学定理判别的，而是根据随机变量产生的实际背景来判别．3.6 条件分布对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多维随机向量也可以讨论它们的条件分布．一般情况下，二维随机向量),(Y X 的两个随机变量X 与Y 之间并不独立，也就是说X 与Y 之间是有一定联系的，条件分布可以在某种程度上刻画它们之间的联系． 按照条件概率的定义，在事件B 出现的条件下事件A 发生的概率为)()()|(B P AB P B A P =． 这里0)(>B P ，我们将以此为基础定义随机向量的条件分布．下面分别讨论二维离散型随机向量和二维连续型随机向量的条件分布． 3.6.1二维离散型随机向量的条件分布设),(Y X 为二维离散型随机向量，它的分布律为,2,1,,},{====j i p y Y x X P ij j i ，对于固定的j ，假设0}{>=j y Y P ，则在条件}{j y Y =下事件}{i x X =发生的概率为{} ,2,1,}{,}|{========⋅i p p y Y P y Y x X P y Y x X P jij j j i j i ． （3.6.1）这实际确定了一个一维离散型分布，给出了在事件}{j y Y =出现的条件下随机变量X 的取值规律，称这个分布为在给定}{j y Y =条件下X 的条件分布律． 此条件分布律可用表格表示为同样，对于固定的i ，假设0}{>=i x X P ，则在条件}{i x X =下事件}{j y Y =发生的概率为{} ,2,1,}{,|========⋅j p p x X P y Y x X P x X y Y P i ij i j i i j }{ （3.6.2）称这个分布为在给定}{i x X =条件下Y 的条件分布律，用表格表示为例3.6.1 已知),(Y X 的联合分布律如表3.5所示表3.5 ),(Y X 的联合分布律与边缘分布律表求：（1） 在1=X 的条件下，Y 的条件分布律； （2） 在2=Y 的条件下，X 的条件分布律．解 （1） 由联合分布律表可知边缘分布律，见表3.5．于是===}1|1{X Y P 25124825/41=； ===}1|2{X Y P 2564825/81=； ===}1|3{X Y P 2544825/121=； ===}1|4{X Y P 2534825/161=. 即，在1=X 的条件下Y 的条件分布律为（2） 同理可求得在2=Y 的条件下X 的条件分布律为例3.6.2 一名射手进行射击，击中的概率为p （0＜p ＜1），射击到击中目标两次为止．记X 表示首次击中目标时的射击次数，Y 表示射击的总次数．试求X 与Y 的联合分布律与条件分布律．解 依题意，m X =，n Y =表示前1-m 次不中，第m 次击中，接着又m n --1次不中，第n 次击中目标．因各次射击是独立的，故X ，Y 的联合分布律为22)1(},{--===n p p n Y m X P ， 3,2,12.1=-=n n m又因∑∑∞+=-∞+=-=====1221)1(},{}{m n n m n p pn Y m X P m X P1122)1()1(-∞+=--=-=∑m m n n p p p p， 2.1=m 22)1()1(}{---==n p p n n Y P ， 3,2=n因此，所求的条件分布律为当 3,2=n 时，11}{},{}|{-=======n n Y P n Y m X P n Y m X P ， 12.1-=n m当 2.1=m 时，1)1(}{},{}|{---=======m n p p m X P n Y m X P m X n Y P ， 2,1++=m m n ．3.6.2 二维连续型随机向量的条件分布设),(Y X 为二维连续型随机向量，对于任意y x ,，因为0}{==x X P ，0}{==y Y P ，所以不能象离散型随机向量一样，直接由条件概率公式来定义条件分布，需要借助极限给出这个定义．给定y ，对于任意的0>ε，如果0}{>ε+<≤y Y y P ，则可以考虑=ε+<≤≤}|{y Y y x X P {}{}.,εε+<≤+<≤≤y Y y P y Y y x X P如果上述条件概率当+→0ε时的极限存在，自然可以将此极限值定义为在y Y =条件下X 的条件分布．定义3.6.1 给定y ，设对于任何固定的正数ε，0}{>ε+<≤y Y y P ，若{}{}{}εεεεε+<≤+<≤≤=+<≤≤++→→y Y y P y Y y x X P y Y y x X P ,lim lim 0存在，则称此极限为在y Y =的条件下X 的条件分布函数，记作}|{y Y x X P =≤或)|(|y x F Y X ．设二维连续型随机向量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，分布密度函数为),(y x f ，且),(y x f 和边缘分布密度函数)(y f Y 连续，0)(>y f Y ，则在y Y =的条件下X 的条件分布函数为=)|(|y x F Y X {}εε+<≤≤+→y Y y x X P 0lim{}{}εεε+<≤+<≤≤=+→y Y y P y Y y x X P ,lim 0)()(),(),(lim 0y F y F y x F y x F Y Y -+-+=+→εεεεεεεεε)()(lim ),(),(lim 00y F y F y x F y x F Y Y -+-+=++→→du y f y u f y f du y u f dyy dF y y x F x Y Y x Y ⎰⎰∞-∞-==∂∂=)(),()(),()(),(． 若记)|(|y x f Y X 为在y Y =的条件下X 的条件概率密度，则=)|(|y x f Y X )(),(y f y x f Y .根据以上分析，可得下面的定理：定理3.6.1设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度函数为),(y x f ，Y 的边缘概率密度为)(y f Y ．若),(y x f 在点),(y x 连续，)(y f Y 在y 处连续，且0)(>y f Y ，则=)|(|y x f Y X )(),(y f y x f Y ． (3.6.3)类似地，若边缘概率密度函数)(x f X 连续，0)(>x f X ，则在x X =的条件下Y 的条件概率密度函数为=)|(|x y f X Y )(),(x f y x f X . (3.6.4)由(3.6.3)、 (3.6.4)以及随机变量的独立性可知，当且仅当)()|(|x f y x f X Y X =与)()|(|y f x y f Y X Y =成立时，随机变量Y X ,独立．例3.6.3 设),(Y X 服从二维正态分布),1,1,0,0(ρN ，试求)|(|y x f Y X 与)|(|x y f X Y ．解 由已知得=),(y x f )1(222222121ρρρ-+---y xy x eπ， ∞<<∞-y x ,，而021)(22>=-x X ex f π， ∞<<∞-x ，021)(22>=-y Y ey f π， ∞<<∞-y ，根据定理3.6.1得=)|(|y x f Y X =)(),(y f y x f Y2)1(222222221121y y xy x e--+---πρρρeπ22)1(212)1(21ρρρπ----=y x e．由上述结果可知，在y Y =的条件下，X 的条件分布为))1(,(2ρρ-y N ． 同理可得=)|(|x y f X Y 22)1(212)1(21)(),(ρρρ----=x y X x f y x f eπ .在x X =的条件下，Y 的条件分布为))1(,(2ρρ-x N ．一般地，正态随机变量的条件分布仍为正态分布．例3.6.4 设随机变量)1,0(~U X ，当观察到)10(<<=x x X 时，)1,(~x U Y ，求Y 的概率密度)(y f Y ．解 按题意，X 具有概率密度=)(x f X ⎩⎨⎧<<.,0,10,1其它x类似地，对于任意给定的值)10(<<x x ，在x X =的条件下，Y 的条件概率密度=)|(|x y f X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<<-.,0,10,11其它y x x因此，根据定理3.6.1，X 和Y 的联合概率密度为==)()|(),(|x f x y f y x f X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<<-其它,0,10,11y x x于是，关于Y 的边缘概率密度为=)(y f Y ⎰⎰∞∞-⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10,11),(0其它y y dx x x y x f d⎩⎨⎧<<--=其它.,0,10),1ln(y y3.7 二维随机向量函数的分布在第二章，已经讨论了一个随机变量的函数的分布．在分析和解决实际问题时，还会遇到某些随机变量是由两个随机变量经过运算或变换而得到的，它是一个新的随机变量．例如，射击靶子上的目标O 时，实际击中点的坐标),(Y X 是二维随机向量，我们往往不关心X 和Y 的值，而对于点),(Y X 与目标O 的距离22Y X Z +=更感兴趣，这里22Y X Z +=是关于X 和Y 的函数，是一个新的随机变量．本节将由),(Y X 的分布导出随机变量的函数),(Y X g Z =的分布．3.7.1 ),(Y X 为二维离散型随机向量设),(Y X 为二维离散型随机向量，已知其联合分布律为{,},,1,2ij i j p P X x Y y i j ====，),(y x g 是一个二元函数，则),(Y X g Z =是二维随机向量),(Y X 的函数，是一个新的随机变量，它的分布律为2,1,,),(===j i p y x g Z P ij j i }{，这里需要注意，取相同),(j i y x g 的值所对应的概率值要合并相加．例3.7.1 设),(Y X 的分布律为求Y X Z +=和的分布律.解 先列出下表从表中看出Y X Z +=可能取值为4,3,1,0,2-，且205}1,1{}2{}2{=-=-==-=+=-=Y X P Y X P Z P ； 202}1,1{}0{}0{==-===+==Y X P Y X P Z P ； 209203206}1,2{}2,1{}1{}1{=+=-==+=-===+==Y X P Y X P Y X P Z P ； 203}1,2{}3{}3{=====+==Y X P Y X P Z P ； 201}2,2{}4{}4{=====+==Y X P Y X P Z P ； 于是Y X Z +=的分布律为同理可得，的分布律为如果Y X ,是两个离散型随机变量，分别知道它们的分布律，并且X 与Y 相互独立时，欲求),(Y X g Z =的分布律，需要先找出Z 所有可能取的值，再求出取每一个值的概率．例3.7.2 设Y X ,相互独立，且分别服从参数为1λ与2λ的泊松分布，求证Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布．证明 Z 的可能取值为 ,2,1,0, Z 的分布律为∑=-====+==ki i k Y P i X P k Y X P k Z P 0}{}{}{}{k ki ik i k i k i )(!1)!(!21)(0212121λλλλλλλλ+=-=+-=---∑e e e ， 0,1,2,k =，所以Z 服从参数为21λλ+的泊松分布.本例说明,若Y X ,相互独立，且)(~),(~21λλP Y P X ，则)(~21λ+λ+P Y X ．这种性质称为分布的可加性，泊松分布是一个可加性分布．类似地可以证明二项分布也是一个可加性分布，即若Y X ,相互独立，且),(~),,(~21p n B Y p n B X ，则),(~21p n n B Y X ++．3.7.2 二维连续型随机向量函数的分布设),(Y X 为二维连续型随机向量，则其函数),(Y X g Z =在一般情况下仍然是连续型随机变量，这时，需要根据),(Y X 的联合密度函数),(y x f 求出Z 的概率密度函数)(z f Z ． 求密度函数)(z f Z 的一般方法如下：首先求出),(Y X g Z =的分布函数⎰⎰=∈=≤=≤=GZ dudv v u f G Y X P z Y X g P z Z P z F ),(}),{(}),({}{)(其中}),(|),{(z y x g y x G ≤=.其次是利用分布函数与密度函数的关系，对分布函数求导，就可得到密度函数)(z f Z ． 根据上述方法，从理论上讲对函数),(y x g 的任何形式都可以计算随机变量),(Y X g Z =的密度函数，但针对具体的问题常常遇到计算上的麻烦，因此我们针对两个随机变量函数的两种特殊的函数关系展开讨论． （1） Y X Z +=的分布设),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则Y X Z +=的分布函数为⎰⎰≤+=≤=zy x Z dxdy y x f z Z P z F ),(}{)(，这里积分区域}),(|),{(z y x g y x G ≤=是直线z y x =+左下方的半平面，化成累次积分得=)(z F Z dy dx y x f y z ⎰⎰∞∞--∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(.固定z 和y ，对积分⎰-∞-yz dx y x f ),(作变量变换，令y u x -=，得 ⎰⎰∞--∞--=z yz du y y u f dx y x f ),(),(.于是=)(z F Z du dy y y u f dy du y y u f z z ⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-∞∞-∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-),(),(．由概率密度的定义，即得Z 的概率密度为 =)(z f Z ⎰∞∞--dy y y z f ),(. (3.7.1)由X ，Y 的对称性，)(z f Z 又可写成 =)(z f Z ⎰∞∞--dx x z x f ),(. (3.7.2)这样，我们得到了两个随机变量的和Y X Z +=的概率密度的一般公式．特别地，当X 和Y 相互独立时，设),(Y X 关于X ，Y 的边缘概率密度分别为)(x f X ，)(y f Y ，则有=)(z f Z ⎰∞∞--dy y f y z f Y X )()(， （3.7.3）=)(z f Z ⎰∞∞--dx x z f x f Y X )()(. （3.7.4）这两个公式称为卷积公式,记为Y X f f *，即=*Y X f f =-⎰∞∞-dy y f y z f Y X )()(⎰∞∞--dx x z f x f Y X )()(. （3.7.5）例3.7.3 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，它们都服从)1,0(N 分布，求Y X Z +=的概率分布密度．解 由题设知Y X ,的分布密度分别为=)(x f X2221x eπ-， ∞<<∞-x ，=)(y f Y 2221y eπ-， ∞<<∞-y .由卷积公式（3.7.4）知=)(z f Z x eeπdx eeπx x z f x f )z (x z x)(z x Y X d d ⎰⎰⎰∞∞------∞∞--∞∞-==-222224222121)()(.设2zx t -=，得 )(z f Z 4442222212121z z t z eππe πdt e e π--∞∞---===⎰，即Z 服从)2,0(N 分布．一般，设Y X ,相互独立且),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，由公式（3.7.4）经过计算知Y X Z +=仍然服从正态分布，且有),(~222121σσμμ++N Z ．这个结论还能推广到n 个独立正态随机变量之和的情况，即若),(~2i i N X σμ，n i 2,1=,且它们相互独立，则它们的和n X X X Z +++= 21仍然服从正态分布，且有),(~121∑∑==ni in i i N Z σμ．更一般地，可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布．例3.7.4 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为=)(x f X 1,01,0,;x ≤≤⎧⎨⎩其它 =)(y f Y ⎩⎨⎧>-.,0,0,其它y e y 求随机变量Y X Z +=的概率密度．解 X ，Y 相互独立，所以由卷积公式（3.7.4）知=)(z f Z .)()(⎰∞∞--dx x z f x f Y X .由题设可知)(x f X ，)(y f Y 只有当10≤≤x ，0>y ，即当10≤≤x 且0>-x z 时才不等于零．现在所求的积分变量为x , z 当作参数，当积分变量满足x 的不等式组⎩⎨⎧<≤≤zx x 10时，被积函数0)()(≠-x z f x f Y X ．下面针对参数z 的不同取值范围来计算积分． 当0<z 时，上述不等式组无解，故0)()(=-x z f x f Y X ，当10≤≤z 时，不等式组的解为z x ≤≤0，当1>z 时，不等式组的解为10≤≤x ．所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=⎰⎰----.其它,0,1,,10,)(1)(0)(z dx e z dx e z f x z z x z Z ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=--.其它,0,1),1(,10,1z e e z e z z（2） },max{Y X Z =及},min{Y X Z =的分布设X ，Y 相互独立，且它们分别有分布函数)(x F X 与)(y F Y ．求X 与Y 的最大值},max{Y X Z =的分布函数)(max z F ，最小值},min{Y X Z =的分布函数)(min z F ．先求最大值},max{Y X Z =的分布函数)(max z F ．由于},max{Y X Z =不大于z 等价于X 和Y 都不大于z ，故},{}{)(max z Y z X P z Z P z F ≤≤=≤= （3.7.6）又由于X 和Y 相互独立，得)()(}{}{},{z F z F z Y P z X P z Y z X P Y X =≤≤=≤≤ （3.7.7） 由（3.7.6）与（3.7.7）得 =)(max z F )()(z F z F Y X （3.7.8）类似地，可得},min{Y X Z =的分布函数为}{}{1},{1}{1}{)(min z Y P z X P z Y z X P z Z P z Z P z F >>-=>>-=≥-=≤=))(1))((1(1}){1})({1(1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--= （3.7.9）例3.7.5 设Y X ,相互独立，且都服从参数为1的指数分布，求},max{Y X Z =的密度函数．解 设Y X ,的分布函数为)(x F ，则=)(x F ⎩⎨⎧<≥--.0,0,0,1x x e x 由于Z 的分布函数为2))((}{}{},{}{)(z F z Y P z X P z Y z X P z Z P z F Z =≤≤=≤≤=≤=所以，Z 的密度函数为='='=)()(2)()(z F z F z F z f Z Z ⎩⎨⎧<≥---.0,0,0,12z z )e (e z z前面讨论了Y X Z +=，},max{Y X Z =，},min{Y X Z =的分布．下面通过一个例题说明根据两个随机变量Y X ,的分布函数求它们的一般函数),(Y X g Z =的概率密度的方法．例3.7.6 设X ，Y 相互独立，且都服从),0(2σN ，求22Y X Z +=的概率密度函数．解 先求分布函数}{}{)(22z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=．当0≤z 时，0)(=z F Z ，当0>z 时，=≤+=}{)(22z Y X P z F Z y x e y x zy x d d π222222221σσ+-≤+⎰⎰.将二重积分化为极坐标系下的二次积分，得=)(z F Z 222222022121σz πzσr edr red θ---=σ⎰⎰π.故得所求Z 的密度函数为='=)()(z F z f Z Z ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,2222z z ez σz σ 此分布称为瑞利分布，它是一个很有用的分布．例如，炮弹着点的坐标为),(Y X ，设横向偏差),0(~2σN X ，纵向偏差),0(~2σN Y ，X ，Y 相互独立，那么弹着点到原点的距离便服从瑞利分布，瑞利分布还在噪声、海浪等理论中得到应用．。

第三章 随机向量在有些随机现象中，每次试验的结果需同时用多个指标来描述，如炮弹的弹着点的平面坐标，飞机的重心在空中的位置需三个坐标来确定，等等。

我们称由n 个随机变量1ξ,2ξ,n ξ, 构成的向量ξ=()n ξξξ,,,21 为n 维随机向量。

为简单起见，本节着重研究二维随机向量。

§1 二维随机向量及其分布函数定义 设()ηξ,是二维随机变量，对任意实数y x ,，称二元函数()()y x P y x F ≤≤=ηξ,,为二维随机变量()ηξ,的联合分布函数。

由定义可以知道，对于任意b a <,d c <，有()d c b a P ≤<≤<ηξ,()()()()c a F c b F d a F d b F ,,,,+--=与一维随机变量的分布函数相类似，二维随机变量()ηξ,的联合分布函数),(y x F 有以下几个性质：（1）()1,0≤≤y x F（2）()y x F ,关于变量x 或y 单调增加； （3）()y x F ,关于变量x 或y 都是右连续的；（4）()0,=∞-y F ,()0,=-∞x F ,()0,=-∞∞-F ,()1,=+∞∞+F ；由于二维随机变量的每一个分量都是一维随机变量，从而它们有各自的分布函数()()x P x F ≤=ξξ和()()y P x F ≤=ηη，称为分量ξ和η的边缘分布函数。

由定义可以得到()()x P x F ≤=ξξ()()y x F x P y ,lim ,+∞→=+∞<≤=ηξ()+∞=,x F ，R x ∈类似，()y F η()y F ,∞+=，R y ∈例 设二维随机变量()ηξ,的联合分布函数为()⎩⎨⎧>>+--=-----其它00,01,y x e e e y x F xy y x y x λ 称这分布为二维指数分布，其中参数0≥λ。

利用上面所给公式，容易求得关于随机变量ξ和η的边缘分布函数分别为：()=x F ξ()+∞,x F ⎩⎨⎧≤>-=-001x x e x ()=y F η()y F ,∞+⎩⎨⎧≤>-=-0001y y e y 它们都是一维指数分布函数，且与参数λ无关。