第3章 随机向量(含习题参考答案)

长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417#00001已知随机变量X 与Y 独立，其分布律分别为，与*00001解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取值相应的概从上表可以确定Z 的取值域为{0,1},W 的取值域为{-1,0,1,函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。

例如 P{Z=0}=0.12+0.18=0.3于是，Z 、W 的分布律分别为：#00002袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=第二次摸到白球第二次摸到红球第一次摸到白球第一次摸到红球0101Y X(1)求(X,Y)的分布律。

(2)求X 与Y 的相关系数 *00002 解：（1）显然X 、Y 的全部可能取值为X=1，0；Y=1，0而P{X=1，Y=1}=P{两次均摸到红球}=2522C C ，同理计长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808417ij （2）256)(256)(52)(52)(====Y D X D Y E X E503254101),(101)(-=-==Y X COV XY E41256256503-=-=∴XY ρ#00003设(X,Y)具有概率密度⎩⎨⎧<<<=其它01||0},{y x c y x f ，1)求常数c ；2)求P{Y>2X} ； 3)求F(0.5,0.5)*00003解：1) 如图所示区域D 为(X,Y)的非0定义域由归一性 图⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====>∴>=⇒=⇒=--GG GGyDyyG S Sdxdy dx dy dxdy X Y P GX Y c cdx dy Cdxdy y 的面积是其中或见如图区域14311}2{}2){21111123)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理*00004解为(X,Y)落在{X ≤0.5,Y ≤0.5}区域（见如图G 1）上的概率。

第三章 随机向量1．解：222247112121322322447722211323224477223247{0,0}0;{0,1}0;1{0,2};{1,0}0;3566{1,1};{1,2};3535312{2,0};{2,1};35353{2,2};35P X Y P X Y C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P C =================================3132473132472{3,0};352{3,1};{3,2}035C C X Y C C C P X Y P X Y C ===========2．解：2421302 1.54 1.5020(1)(,)(,)[(6)]1181813(2){1,3}[(6)]881127(3){ 1.5}(1.5,)[(6)](2)82321(4){4}[(6)]8F f x y dxdy k x y dy dx k k P X Y x y dy dx P X F x y dy dx x dx P X Y x y dy dx +∞+∞-∞-∞+∞+∞==--=∴=∴=<<=--=<=+∞=--=-=+≤=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2422020112(46)823x x x dx -=-+=⎰⎰⎰ 3．解：20124.8(2) 2.4(2)01()(,)04.8(2) 2.4(34)01()(,)0xX yY y x dy x xx f x f x y dy y x dx y y y y f y f x y dx +∞-∞+∞-∞⎧-=-≤≤⎪ ==⎨⎪⎩⎧-=-+≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰其它其它4．解：00()(,)00()(,)0y x x X yy y Y e dy ex f x f x y dy e dx yey f y f x y dx +∞--+∞-∞--+∞-∞⎧=>⎪ ==⎨⎪⎩⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰其它其它5． 解：2222221112222000101(1)()0101,0,(,)()()20401{}[](1)121(1)(0)]0.1445X yX Y y x xx x f x ex y X Y f x y f x f y X Y Y X P Y X e dy dx e dx dx----<<⎧ =⎨⎩⎧<<>⎪==⎨⎪⎩∆-≥≤≤==-=-=Φ-Φ≈⎰⎰⎰其它因为相互独立,所以其它(2)方程有实根则=4即6． 解：（1）21114(,)121xF dx cxydy c-+∞+∞===⎰⎰ 故 214c = （2）2224121(1)214,11()80,X x x ydy x x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩⎰其它2527,01()20,Y y x y f y ydx ⎧≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩其它 7．解：（1）由于X 在(0,1)上服从均匀分布故1,01()0,x f x <<⎧=⎨⎩其它 则1y e <<又xy e =单调递增且可导，其反函数为：ln x y = 设x e Y =的概率密度为：()g y于是'1,11(ln )()00,y ey yg y ⎧⎧<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩g 其它 （2）由于0y <，故 X Y ln 2-=的反函数为12()y h y e-=故 '21[()](()),0()200,0yf h y h y e yg y y -⎧⎧>⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩≤⎩g 8．解法1： 由于X 和Y 是两个相互独立的随机变量， 由卷积公式()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰可得当0z ≤时， ()Z f z =0当01z <<时， 0()1zy z Z f z e dy e --==-⎰当1z ≤时，由01x ≤≤，知01z y ≤-≤，即：1z y z -≤≤11()zy z z Z z f z e dy e e ----==-⎰解法2：可有求密度函数的定义法计算得到。

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==∞+∞-∞+∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰∞+∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞+--∞+∞-∞+∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰∞+∞+--=02d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u ，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)1,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，41)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰∞+∞+--=02d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞++-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=20202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f 求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x y x y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰∞+∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)∵),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d 3()),((xxx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y xy x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-∞+∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---∞+∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f y Y X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=12d e12x x ⎰--=12d e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰∞+∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰∞+∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e)(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．证：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y x f +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞++-∞+∞-∞+∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x⎰⎰∞+--=1d e d e y x b y x )e 1(|)e (|)e (1102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(y y x x -+--=-=⎰e d e e1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e 1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e1e1,0,01u u u uu ．。

第3章 二维随机向量一、二维随机向量及其分布函数1. 两个随机变量X 与Y 构成的整体),(Y X 称为二维随机向量或二维随机变量.2. 二元函数2),(},,{),(R y x y Y x X P y x F ∈≤≤=称为),(Y X 的分布函数，或称为X 与Y 的联合分布函数.3. ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数；1),(0≤≤y x F 且1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ；),(y x F 关于y x ,均右连续.二、边缘分布与条件分布1. 如果),(Y X 只取有限个或可列个值，那么称),(Y X 为二维离散型随机向量.若),(Y X 的所有可能取值为),2,1,(),( =j i y x j i ，则称),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i为),(Y X 的概率分布，或X 与Y 的联合分布律，其中1,0=≥∑∑ijijij pp .,2,1,}{====∑⋅i p x X P p jij i i,2,1,}{====∑⋅j p y Y P p iij j j分别称为关于X 、Y 的边缘分布律.2. 设),(Y X 为二维随机向量，),(y x F 为其分布函数，若存在非负可积函数),(y x p 使得2),(),(),(R y x dudv v u p y x F xy∈=⎰⎰∞-∞-则称),(Y X 为二维连续型随机向量，称),(y x p 为),(Y X 的密度函数，或X 与Y 的联合密度函数，且有（1）2),(,0),(R y x y x p ∈≥；（2）⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x p .分别称⎰+∞∞-=dy y x p x p X ),()(、⎰+∞∞-=dx y x p y p Y ),()(为关于X 、Y 的边缘密度函数.【注】由联合分布求边缘分布属于考研的基本要求.3. 组成二维随机变量),(Y X 的随机变量Y X ,各自的分布函数)(),(y F x F Y X 称为),(Y X 的边缘分布函数.若),(y x F 是),(Y X 的分布函数，则),(lim ),(}{)(y x F x F x X P x F y X +∞→=+∞=≤=，),()(y F y F Y +∞=4. 设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为ij p ，若0>⋅j p ，则称),2,1(}|{ ====⋅i p p y Y x X P jij j i为在}{j y Y =条件下X 的条件分布律；若0>⋅i p ，则称内容提要),2,1(}|{ ====⋅j p p x X y Y P i ij i j为在}{i x X =条件下Y 的条件分布律.5. 设二维连续型随机变量),(Y X 的密度函数为),(y x p ，若0)(>y p Y ，则称)(),()|(|y p y x p y x p Y Y X =为在条件y Y =下X 的条件密度函数；若0)(>x p X ，则称)(),()|(|x p y x p x y p X X Y =为在条件x X =下Y 的条件密度函数. 【注】条件分布在考研中有所涉及.三、随机变量的独立性1. 随机变量X 与Y 相互独立⇔)),((),()(),(2R y x y F x F y x F Y X ∈∀=2. 离散型随机变量X 与Y 相互独立⇔),(,j i p p p j i ij ∀=⋅⋅⇔联合概率矩阵)(ij p 的任意两行（或列）成比例. 【注】第二个条件（以后简称比例方法）在解题时非常方便，后面有例题3.8等说明.3. 连续型随机变量X 与Y 相互独立⇔)()(),(y p x p y x p Y X =几乎处处成立.【注】几乎处处成立是指在平面上除去“面积”为零的集合以外，处处成立.4. 设),(Y X ～),,,,(222121ρσσμμN ，则X 与Y 相互独立⇔0=ρ.四、两个随机变量函数的分布1. 设离散型随机变量),(Y X 的分布律ij j i p y Y x X P ===},{，则),(Y X f Z =的分布律为∑===kj i z y x f ijk pz Z P ),(}{2. 设连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x p ，则),(Y X f Z =的分布函数为⎰⎰≤=≤=zy x f Z dxdy y x p z Z P z F ),(),(}{)(Z 的概率密度为)()(z F z p Z Z '=（在)(z p Z 连续点处）.3. 常见函数的概率密度 （1）Y X Z +=，⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dy y y z p dx x z x p z p Z ),(),()(.一般地，bY aX Z +=，⎰∞+∞--=dx b axz x p b z p Z ),(||1)( 或 ⎰∞+∞--=dy y abyz p a z p Z ),(||1)(. （2）XYZ =，⎰+∞∞-=dx zx x p x z p Z ),(||)(.（3）XY Z =，⎰∞+∞-=dx xzx p x z p Z ),(||1)(. （4）},max{Y X Z =，若X 与Y 相互独立，则Z 的分布函数为)()()(z F z F z F Y X Z =，从而Z 的密度函数为)()()()()(z p z F z F z p z p Y X Y X Z +=.（5）},min{Y X Z =，若X 与Y 相互独立，则Z 的分布函数为))(1))((1(1)(z F z F z F Y X Z ---=，从而Z 的密度函数为)())(1())(1)(()(z p z F z F z p z p Y X Y X Z -+-=.【注】本节是考研的重点内容之一，尤其是二维连续型随机变量函数的概率分布经常考到，掌握好相应的方法及公式非常重要.题型一 二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律例3.1 设随机变量i X ～⎪⎪⎭⎫⎝⎛-412141101)2,1(=i ，且满足1}0{21==X X P ，则}{21X X P =等于【 】.（1999年，数学三）A. 0B. 41C. 21D. 1解 选A . 由1}0{21==X X P 知0}0{21=≠X X P ，即0}1,1{}1,1{}1,1{}1,1{21212121====-====-==-=-=X X P X X P X X P X X P利用边缘分布律与联合分布律的关系，很容易求出X 与Y 的联合分布律如下表所示最后确定的是0}0,0{21===X X P ，从而0}1,1{}0,0{}1,1{}{21212121===+==+-=-===X X P X X P X X P X X P . 【注】1}0{21==X X P 隐含0}0{21=≠X X P 是解决问题的关键。

第3章 随机向量练习题1、设一个袋子中装有3个红色、2个白色、3个蓝色球，从袋中任取两个球，记X 为取到的红球数，Y 为取到的白球数，求（1）（X ，Y ）的联合分布；（2）关于X 、Y 的边缘分布律。

（1）2,1,0,,),(282323====--j i C C C C j Y i X P ji j i（2）2、将一枚均匀的硬币连续掷三次，以随机变量X 表示三次中出现正面的次数，随机变量Y 表示三次中出现正面的次数与反面的次数的差的绝对值，求随机向量（X ，Y ）的联合分布以及关于X 、Y 的边缘分布。

并判断X 与Y 的独立性。

不独立3、将一枚均匀的骰子掷两次，记X 为掷出的偶数点的次数，Y 为掷出3点或6点的次数。

求（1）（X ，Y ）的联合分布；（2）X 与Y 是否相互独立；（3）Z = X - Y 的分布列和分布函数。

（1）（2）相互独立；（3） ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<≤--<=221100112219/89/536/736/10)(z z z z z z z F Z4、设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从参数 31=p 的（ 0 – 1 ） 分布，求随机变量 Z = max ( X , Y ) 的分布律.5、设随机变量X 与Y 相互独立、同分布，P ( X = i ) = 1 / 3，i = 1，2，3。

又设 ξ = max ( X , Y )，η = min ( X , Y )。

（1）写出（ξ，η）的联合分布列，并判断 ξ与 η 的独立性；（2）计算概率 P { X + Y ≤ 3 } 。

（1） 不独立；（2） 1 / 3 。

6、设二维离散型随机变量的联合分布为 求（1）X 、Y 的边缘分布；、（2）cov ( X , Y ) ； （3）P ( Y = 1 | X < 2 ) 。

（1）（2）1 / 2 ；（3）4 / 57、某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件和 10件，先从箱中随机抽取一件产品，记 ⎩⎨⎧=其它等品若取到i ,0,1i X （i = 1，2，3），试求：（1）随机变量X 1 与X 2 的联合分布与边缘分布；（2）随机变量X 1 与X 2 的相关系数 21X X ρ；（3）D ( X 1 - X 2 )、D ( X 1 + X 2 ) 。

第3章 多维随机向量及其分布填空题1. 二维随机向量(,)X Y 的联合分布律如下表所示已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a = _______ , b =________. 答案：0.4，0.1知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律 参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律的性质 提示二： 事件的独立性 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：{0}0.4P X a ==+,{1}0.5P X Y a b +==+= {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====由独立性知，(0.4)0.5a a =+⨯，0.4a =，0.1b =. 2. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为6,01(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他则=≤+}1{Y X P __________ . 答案：41知识点： 二维连续型随机向量的联合概率密度参考页: P63 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x 3.设(,)X Y 的联合分布函数为230,0(1)(1),(,)0,x y x y e e F x y --≥≥⎧--=⎨⎩其他，则(,)X Y 的联合概率密度为___________.答案：230,06,(,)0,x y x y e e f x y --≥≥⎧=⎨⎩其他知识点： 二维连续型随机向量的联合概率密度 参考页: P63 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 二维连续型随机向量的联合概率密度与联合分布函数之间的关系 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：230,06,(,)(,)0,x y x y e e F x y f x y x y --≥≥⎧∂==⎨∂∂⎩其他.4. 设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(,)X Y 在区域D上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为.答案：230,06,(,)0,x y x y e e f x y --≥≥⎧=⎨⎩其他知识点： 二维均匀分布， 二维连续型随机向量的边缘概率密度 参考页: P65，P66 学习目标: 4，2 难度系数: 2提示一： 二维均匀分布的定义提示二： 二维连续型随机向量的边缘概率密度的定义 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：2112e D S dx x ==⎰，211, 1,0(,)20, x e y f x y x ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他21,x e ≤≤111()22xX f x dy x ==⎰，1(2)4X f = 5. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，1{}{}3k P X k P Y k +====，1,0=k ，则{}P X Y ==答案：59知识点： 随机变量的独立性 参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 离散型随机变量的独立性 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：{}{0,0}{1,1}P X Y P X Y P X Y ====+=={0}{0}{1}{1}P X P Y P X P Y ===+==1122533339=⋅+⋅=6. 若Y X 、的分布律为：设Y X 、相互独立，则β= . 答案：19知识点： 随机变量的独立性 参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 离散型随机变量的独立性 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题 题解：1{1}=3P Y =，所以2{2}=3P Y =，又1{3}=18P X β=+ 由Y X 、相互独立知{3,2}{3}{2}P X Y P X P Y =====， 即12()183ββ=+⨯，所以19β= 7.设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,2P X Y ≤= _________ .答案：49知识点： 随机变量的独立性 参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 连续型随机变量的独立性 提示二： 均匀分布 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：{}{}max ,1P X Y ≤={1,1}{1}{1}P X Y P X P Y ≤≤=≤≤4=9. 8.设,,X Y Z 相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，则随机向量(,,)X Y Z 的联合概率密度为___________.答案： 3(),0,0,0(,,)0,x y z e x y z f x y z λλ-++⎧>>>=⎨⎩其他知识点： 随机变量的独立性 参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 连续型随机变量的独立性 提示二： 指数分布 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：, 0() 0, 0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，3(),0,0,0(,,)0,x y z e x y z f x y z λλ-++⎧>>>=⎨⎩其他.9.设,X Y 为随机变量，已知{}20,05P X Y ≥≥=, 3{0}{0}5P X P Y ≥=≥=, 则 {}{}max ,0P X Y ≥= ______ ; {}{}min ,0P X Y <= ______ .答案：45，35知识点： 离散型随机变量函数的分布 参考页: P76 学习目标: 5 难度系数: 2提示一：随机变量函数的取值的概率 提示二： 事件运算的性质 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：设{0},{0}A X B Y =≥=≥, 依题意有32()(),()55P A P B P AB === {}{}{}{}max ,01max ,0P X Y P X Y ≥=-<{}10,0P X Y =-<<1()1()()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB =-=-+=+=+-45={}{}min ,0P X Y <={}{}1min ,01{0,0}P X Y P X Y -≥=-≥≥35=.选择题1.已知二维随机变量(,)X Y 的联合分布表如左表所示，且已知{0}0.6P X ==，则b a ,分别为（ ）(A) 4.0,1.0==b a ； (B) 1.0,4.0==b a ； (C)3.0,2.0==b a ； (D) 0.1,0.3a b ==.答案：（C ）知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律 参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律的性质 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：{0}0.4P X a ==+，即0.40.6a += ，所以0.2a =由分布律的性质{1}0.5P X Y a b +==+=，所以0.3b =. 故选（C ）. 2．设随机变量i X （1,2i =）的概率分布为且12{0}1P X X ==，则12{}P X X ==（ ） （A ）0; （B ）14; （C ）12; （D ）1.答案：（A ）知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律， 二维离散型随机向量的边缘分布律 参考页: P60，P61 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律的性质提示二： 二维离散型随机向量的边缘分布律与联合分布律的关系 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由12{0}1P X X ==可求得12(X X ，）的联合分布律12{}P X X ==121212{1,1}{0,0}{1,1}0P X X P X X P X X =-=-+==+===故选（A ）.3. 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，区域G 由曲线2x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度为（ ）.（A ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； （B ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(G y x y x f ；（C ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； （D ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(Gy x y x f .答案：（A ）知识点： 二维均匀分布 参考页: P65 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 二维均匀分布的定义 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：1201()6G S x x dx =-=⎰，所以联合概率密度为⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ，故选（A ）.4. 设随机变量,X Y 相互独立，,X Y 的概率分布分别为则 {}2P X Y +==（ ）. (A)112； (B) 18； (C) 16； (D) 12. 答案：（C ）知识点： 随机变量的独立性 参考页: P67 学习目标:3 难度系数: 1提示一： 离散型随机变量的独立性 提示二：无提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：{}2{1,1}{2,0}{3,1}P X Y P X Y P X Y P X Y +====+==+==- {1}{1}{2}{0}{3}{1}P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==- 11111114383836=⋅+⋅+⋅=, 选(C). 5. 设随机变量X Y 、相互独立且同分布，则下列等式成立的是（ ）（A ） X Y =-； （B ） {}0P X Y ==； （C ） 1{}2P X Y == ； （D ） {}1P X Y ==. 答案：（C ）知识点： 随机变量的独立性 参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 离散型随机变量的独立性 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+==1{1}{1}{1}{1}2P X P Y P X P Y ==-=-+===. 故选（C ）.6. 设随机变量X 和Y 相互独立且同分布，1{1}{1},2P X P Y =-==-={1}P X ==1{1}2P Y ==，则下列各式中成立的是（ ）.（A ） 1{}2P X Y ==； （B ） 1{0}4P X Y +==；（C ） {}1P X Y ==； （D ） 1{1}4P XY ==.答案：（A ）知识点： 随机变量的独立性 参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 离散型随机变量的独立性 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+==1{1}{1}{1}{1}2P X P Y P X P Y ==-=-+===，选（A ）.7. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间()0,1上的均匀分布，则{}221P X Y +≤（ ） （A ）14； （B ）12； （C ）8π； （D ）4π. 答案：（D ）知识点： 随机变量的独立性 参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 连续型随机变量的独立性 提示二： 二维均匀分布的定义 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：(),X Y 的联合概率密度为1, 01,01(,) x y f x y <<<<⎧=⎨⎩0,其他则{}224114P X Y ππ+≤==，选（D ）.8. 设随机变量,X Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}P X Y <=（ ） （A ）15； （B ）13； （C ）25； （D ）45. 答案：（A ）知识点： 随机变量的独立性 参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 连续型随机变量的独立性 提示二： 指数分布提示三： 利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率 提示四（同题解） 题型：选择题题解：(),X Y 的联合概率密度为44, 0,0(,) x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩0,其他则440{}44y x y y xyP X Y dy e dx e e dy +∞+∞----≤==-⎰⎰⎰45014()5y y e e dy +∞--=-=⎰，选（A ）. 9. 设随机变量X 与Y 相互独立，已知X 服从区间[]0,1上的均匀分布，Y 的分布律如下表所示,则{}1max ,2P X Y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭为( ) . （A ）1; （B ）1 ; （C ）1; （D ）23. 答案：（D ）知识点： 随机变量的独立性 参考页: P67 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 连续型随机变量的独立性提示二： 均匀分布 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：{}{}11max ,1max ,22P X Y P X Y ⎧⎫⎧⎫≥=-<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ 11111,12222P X Y P X P Y ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭1221233=-⋅=，选（D ）.10. 如果),(Y X 的概率密度,21),(22)1(2)1(-+--=y x e y x f π则X 与Y （ ）（A ）均服从(0,1)N ； （B ）一定相互独立； （C ）不一定相互独立； （D ）一定不相互独立. 答案：（B ）知识点： 二维正态分布 参考页: P74 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 二维正态分布的定义提示二： 二维正态分布的随机变量X 与Y 不相关的充要条件是X 与Y 独立 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：二维正态分布的定义知，随机变量X 与Y 不相关，所以X 与Y 相互独立. 选（B ）. 11.设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布律是 则min{,}Z X Y =的分布律是（ ）. （A ） （B ）（C ） （D ）答案：（B ）知识点： 离散型随机变量函数的分布 参考页: P76 学习目标: 5 难度系数: 2提示一： 离散型随机变量函数的分布 提示二： 二维随机变量的独立性 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：Z 的取值是0,1. {1}{min{,}1}P Z P X Y ==={1,1}P X Y ==={1}{1}P X P Y ===224339=⨯= 5{0}1{1}9P Z P Z ==-==. 故选（B ）. 12. 设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则正确的选项是（ ）.（A ）1{0}2P X Y +≤=； （B ）1{1}2P X Y +≤=； （C ）1{0}2P X Y -≤=； （D ）1{1}2P X Y -≤=.答案：（B ）知识点： 连续型随机变量函数的分布 参考页: P78 学习目标: 5 难度系数: 1提示一： 连续型随机变量函数的分布 提示二： 正态分布的性质提示四（同题解） 题型：选择题题解： )1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，又,X Y 相互独立，所以~(1,2)X Y N + 由正态分布的性质1{1}2P X Y +≤=. 故选（B ）. 13. 设随机变量X Y 、相互独立且均服从正态分布2~(,)X N μσ，则{}1P X Y -<（ ）(A) 随μ的增加而增加； (B) 随μ的增加而减少； (C) 随σ的增加而增加； (D) 随σ的增加而减少. 答案：（D ）知识点： 连续型随机变量函数的分布 参考页: P78 学习目标: 5 难度系数: 2提示一： 连续型随机变量函数的分布提示二： 用标准正态分布函数计算正态变量取值概率 提示三： 分布函数的性质 提示四（同题解） 题型：选择题题解： X Y 、相互独立且均服从正态分布2~(,)X N μσ，所以2~(0,2)X Y N σ- {}1P X Y P -<=<=Φ，选（D ）14. 设随机变量,,X Y Z 相互独立, ~(1,2)X N ，~ (22)Y N ，，~ (3,7)Z N , 记{}{},a P X Y b P Y Z =<=<, 则（ ）.(A) a b <; (B) a b >;(C) a b =; (D) a b ，大小关系不确定. 答案：（B ）知识点： 连续型随机变量函数的分布 参考页: P78难度系数: 2提示一： 连续型随机变量函数的分布提示二： 用标准正态分布函数计算正态变量取值概率 提示三： 分布函数的性质 提示四（同题解） 题型：选择题题解： ,,X Y Z 相互独立, ~(1,2)X N ，~ (22)Y N ，，~ (3,7)Z N所以~(1,4), ~(1,9)X Y N Y Z N ---- {}{}10110()222X Y a P X Y P X Y P -++⎧⎫=<=-<=<=Φ⎨⎬⎩⎭ {}{}10110()333Y Z b P Y Z P Y Z P -++⎧⎫=<=-<=<=Φ⎨⎬⎩⎭11()()23Φ>Φ, 由()x Φ单调不减知a b >，故选（B ）.15. 随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）(A) ()2F x ；(B) ()()F x F y ；(C) ()211F x --⎡⎤⎣⎦；(D) ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.答案：（A ）知识点： 连续型随机变量函数的分布 参考页: P78 学习目标: 5 难度系数: 2提示一： 连续型随机变量函数的分布 提示二： 随机变量的独立性 提示三： 分布函数的定义 提示四（同题解） 题型：选择题题解： 2(){max{,}}{,}()Z F z P X Y z P X z Y z F z =≤=≤≤=，选（A ）.16. 随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}min ,Z X Y =的分布函数为（ ）.(A) ()2F x ;(B) ()()F x F y ;(C) ()211F x --⎡⎤⎣⎦;(D) ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.答案：（C ）知识点： 连续型随机变量函数的分布 参考页: P78 学习目标: 5 难度系数: 2提示一： 连续型随机变量函数的分布 提示二： 随机变量的独立性 提示三： 分布函数的定义 提示四（同题解） 题型：选择题题解：(){min{,}}1{min{,}}Z F z P X Y z P X Y z =≤=->21{,}1[1()]P X z Y z F z =->>=--，选（C ）.17.设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N , Y 的分布律为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F z 的间断点个数为（ ）. （A ）0 ;（B ）1 ;（C ）2 ;（D ）3 .答案：（B ）知识点： 连续型随机变量函数的分布 参考页: P78 学习目标: 5 难度系数: 3提示一： 连续型随机变量函数的分布 提示二： 随机变量的独立性提示三： 用标准正态分布函数计算正态变量取值概率 提示四 分布函数的性质 题型：选择题题解：}(}){{P Z z P X z z Y F =≤=≤{0}{0/0}{1}{/1}P Y P z Y P Y P X z Y ==≤=+=≤= 1(), 021[1()], 02XX z z z z ⎧Φ<⎪⎪=⎨⎪+Φ≥⎪⎩ 011lim ()lim ()24z z z F z z --→→=Φ=，0013lim ()lim [1()]24zz z F z z ++→→=+Φ=，选（B ）.计算题1. 一电子仪器由两个部件组成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,X Y 的联合分布函数为：0.50.50.5()1,0,0(,)0,.xy x y ee e x y F x y ---+⎧--+≥≥⎪=⎨⎪⎩其他（1）问,X Y 是否独立为什么（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 答案：(1) ,X Y 独立；（2）0.1e-知识点： 二维随机向量的边缘分布函数 参考页: P59 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 由二维随机向量的联合分布函数确定边缘分布函数 提示二： 随机变量的独立性 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：（1）先求边缘分布函数：0.51,0,()lim (,)0,0.x X y e x F x F x y x -→+∞⎧-≥==⎨<⎩0.51,0,()lim (,)0,0.y Y x e y F y F x y y -→+∞⎧-≥==⎨<⎩因为(,)()()X Y F x y F x F y =⋅，所以,X Y 独立.（2）{0.1,0.1}{0.1}{0.1}[1{0.1}][1{0.1}]P X Y P X P Y P X P Y ≥≥=≥≥=-≤-≤ 0.050.050.1ee e ---=⋅=.2．设随机变量(,)X Y 的联合分布律如下表，求X 和Y 的边缘分布律，并验证X 和Y 的独立性. 答案：,X Y 不独立知识点： 二维离散型随机向量的边缘分布律 参考页: P61 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律 提示二： 随机变量的独立性 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：先求边缘分布律1{1}={1,1}+{1,2}{1,3}9P X P X Y P X Y P X Y =====+===213{2}={2,1}+{2,2}{2,3}999P X P X Y P X Y P X Y =====+===+=2215{3}={3,1}+{3,2}{3,3}9999P X P X Y P X Y P X Y =====+===++=1225{1}={1,1}+{2,1}{3,1}9999P Y P X Y P X Y P X Y =====+===++=213{2}={1,2}+{2,2}{3,2}999P Y P X Y P X Y P X Y =====+===+=1{3}={1,3}+{2,3}{3,3}9P Y P X Y P X Y P X Y =====+===由于1155{1,1}{1}{1}99981P X Y P X P Y ===≠===⨯=，故X 和Y 不独立. 3. 箱内装有12件产品,其中2件为次品,从箱中随机地取两次产品,每次1件,定义随机变量,X Y 如下:0,1,X ⎧=⎨⎩第一次取出的是正品第一次取出的是次品 0,1,Y ⎧=⎨⎩第二次取出的是正品第二次取出的是次品(1)在有放回抽样情形下求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律； (2)在不放回抽样情形下求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律； (3)问在上述两种情形下X 与Y 是否相互独立 答案：（1）（2）（3）有放回抽样时，X 与Y 相互独立；不放回抽样时，X 与Y 不独立.知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律， 二维离散型随机向量的边缘分布律 参考页: P60, P61 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律提示二： 由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律 提示三： 随机变量的独立性 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：(1)有放回抽样{}1010250,0121236P X Y ===⋅=(正正) ,{}10250,1121236P X Y ===⋅=(正反) {}21051,0121236P X Y ===⋅=(反正), {}2211,1121236P X Y ===⋅=(反反) (,)X Y 的联合分布律与边缘分布律为(2)不放回抽样{}109150,0121122P X Y ===⋅=(正正) ,{}10250,1121133P X Y ===⋅=(正反) {}21051,0121133P X Y ===⋅=(反正), {}2111,1121166P X Y ===⋅=(反反)(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律为(3) 显然，有放回抽样时，X 与Y 相互独立；不放回抽样时，X 与Y 不独立.4．袋中有5个球，分别标有数字1，1，2，2，3，从袋中任取一球后不放回，再取第二次，分别以,X Y 为第一次、第二次取得球上标有的数字，求：（1）(,)X Y 的联合分布律与,X Y 的边缘分布律；（2）,X Y 是否独立 答案：（1）（2）,X Y 不独立知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律， 二维离散型随机向量的边缘分布律 参考页: P60, P61 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律提示二： 由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律 提示三： 随机变量的独立性 提示四（同题解） 题型：计算题题解：(1) {}2111,15410P X Y ===⋅=，{}2211,2545P X Y ===⋅= {}2111,35410P X Y ===⋅=，{}2212,1545P X Y ===⋅={}2112,25410P X Y ===⋅=，{}2112,35410P X Y ===⋅={}1213,15410P X Y ===⋅=，{}1213,25410P X Y ===⋅=(,)X Y 的联合分布律与,X Y 的边缘分布律为（2）因为,,,j i j p p p ⋅⋅⋅≠⨯，所以,X Y 不独立.5. 将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的联合分布律及边缘分布律. 答案：知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律， 二维离散型随机向量的边缘分布律 参考页: P60, P61 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律提示二： 由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：一枚硬币连掷三次相当于3重伯努利试验，故1~(3,).2X B 331{}(),0,1,2,32k P X k C k ===，{0,1}{0}{1|0}0P X Y P X P Y X =======，03311{0,3}{0}{3|0}()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，13313{1,1}{1}{1|1}()128P X Y P X P Y X C =======⨯=， {1,3}{1}{3|1}0P X Y P X P Y X =======， 23313{2,1}{2}{1|2}()128P X Y P X P Y X C =======⨯=， {2,3}{2}{3|2}0P X Y P X P Y X =======，{3,1}{3}{1|3}0P X Y P X P Y X =======，33311{3,3}{3}{3|3}()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，于是(,)X Y 的联合分布律和边缘分布律为6. 袋中有1 个红球，2 个黑球与3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球.以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （1）求{}1/0P X Z ==；（2）求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律. 答案： （1）49（2）知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律 参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 2 提示一： 条件概率 提示二： 古典概型提示三： 二维离散型随机向量的联合分布律 提示四（同题解） 题型：计算题题解：（1）{}1/0P X Z ==11122222{1,0}463{0}96C C P X Z P Z ======. （2）,X Y 的可能取值均为0,1,2, 且{}22310,064P X Y ====，{}11232210,163C C P X Y ====， {}22210,269P X Y ====，{}132211,066C P X Y ====，{}122211,169C P X Y ====，{}1,20P X Y ===，{}2112,0636P X Y ====，{}{}2,12,20P X Y P X Y ======. 所以二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为7. 箱内有6个球，其中红球，白球，黑球个数分别为1，2，3. 现从箱中随机地取两个球，以,X Y 分别表示取得的红球与白球的个数. 求随机变量(,)X Y 的联合分布律. 答案：知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律 参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 2 提示一： 古典概型提示二： 二维离散型随机向量的联合分布律 提示三： 无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：X 的可能取值为0,1, Y 的可能取值为0,1,2, 于是{}232610,05C P X Y C ====，{}11232620,15C C P X Y C ====，{}222610,215C P X Y C ====，{}11132611,05C C P X Y C ====，{}11122621,115C C P X Y C ====，{}1,20P X Y ===.所以随机变量(,)X Y 的联合分布律为8. 已知随机变量,X Y 以及XY 的分布律如下表所示，求{2}P X Y =. 答案：14知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律 参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律与边缘分布律的关系 提示二： 利用联合分布律计算二维离散型随机向量取值的概率 提示三： 无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：1{4}{2,2}12P XY P X Y =====; {2}{2,1}{1,2}0P XY P X Y P X Y ====+===;1{1}{1,1}3P XY P X Y =====; 由已知,X Y 的分布律可确定(,)X Y 取其他值时的概率，(,)X Y 的联合分布律为故{2}{0,0}{2,1}044P X Y P X Y P X Y ====+===+=. 9. 设随机变量X 的概率分布为2Y X =，求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律.答案：知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律 参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律与边缘分布律的关系 提示二： 二维离散型随机向量的联合分布律 提示三： 无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：{1,0}0P X Y =-==，1{1,1}{1}4P X Y P X =-===-=1{0,0}{0}2P X Y P X =====，{0,1}0P X Y === {1,0}0P X Y ===，1{1,1}{1}4P X Y P X =====10. 设随机变量X 与Y 独立同分布，其中X 的概率分布为记max{,}U X Y =，min{,}V X Y =. 求(,)U V 的联合分布律. 答案：知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律 参考页: P60 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律与边缘分布律的关系 提示二： 二维离散型随机向量的联合分布律 提示三： 无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：4{1,1}{1,1}9P U V P X Y ======4{2,1}{1,2}{2,1}9P U V P X Y P X Y =====+=== 1{2,2}{2,2}9P U V P X Y ======. (,)U V 的联合概率分布律为11.设随机变量Z 服从[2,2]-上的均匀分布，令随机变量1,11,1Z X Z ⎧-≤-⎪=⎨⎪>-⎩若若，1,11,1Z Y Z ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若若，试求：（1）(,)X Y 的联合分布律；（2）关于X 和关于Y 的边缘分布律； （3）判断X 与Y 是否独立 答案：（1）（2）（3）X 与Y 不独立.知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律， 二维离散型随机向量的边缘分布律 参考页: P60, P61 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律 提示二： 均匀分布提示三： 由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律 提示四： 随机变量的独立性 题型：计算题题解：（1）(,)X Y 的可能取值为（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，1），且1211{1,1}{1,1}{1}44P X Y P Z Z P Z dx --=-=-=≤-≤=≤-==⎰{1,1}{1,1}0P X Y P Z Z =-==≤->=1111{1,1}{1,1}{11}42P X Y P Z Z P Z dx -==-=>-≤=-<≤==⎰2111{1,1}{1,1}{1}44P X Y P Z Z P Z dx ===>->=>==⎰故(,)X Y 的联合分布律为（2）X 与Y 的边缘分布律为（3）因为有1{1,1}{1}{1}4P X Y P X P Y =-=-=≠=-=-， 故X 与Y 不相互独立.12. 设随机变量X 服从参数1λ=的指数分布，令0, ln 21, ln 2X U X <⎧=⎨≥⎩，0, ln31, ln3X V X <⎧=⎨≥⎩ （1）求(,)U V 的联合分布律； （2）判断U 与V 是否相互独立 答案：(1)（2）U 与V 不独立.知识点： 二维离散型随机向量的联合分布律， 二维离散型随机向量的边缘分布律 参考页: P60, P61 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 二维离散型随机向量的联合分布律 提示二： 指数分布提示三： 由二维离散型随机向量的联合分布律确定边缘分布律 提示四： 随机变量的独立性 题型：计算题题解：（1）{0,0}{ln2,ln3}{ln2}P U V P X X P X ===<<=<ln 211122x e dx -==-=⎰{0,1}{ln 2,ln3}0P U V P X X ===<>={1,0}{ln2,ln3}{ln2ln3}P U V P X X P X ===≥<=≤<ln 3ln 2111236x e dx -==-=⎰{1,1}{ln2,ln3}{ln3}P U V P X X P X ===≥≥=≥ln 313x e dx +∞-==⎰(,)U V 的联合分布律为(2) 由于{0,0}{0}{0}P U V P U P V ==≠==，所以U 与V 不独立. 13. 设(,)X Y 的联合概率密度为1(6),02,24(,)80,x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩其他又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<. 求{(,)}P X Y D ∈ 答案：(1)38 (2) 524知识点： 二维连续型随机向量的联合概率密度 参考页: P63 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：（1）13021{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈=--⎰⎰1194368228-⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦； （2）13021{(,)}(6)8x P X Y D x y dxdy -∈=--⎰⎰11200113(1)[(3)4]82x x dx x dx ⎧⎫=-----⎨⎬⎩⎭⎰⎰524=.14.设(,)X Y 的联合概率密度为6(1),01(,)0,y x y f x y -<<<⎧=⎨⎩其他(1) 求}5.0,5.0{>>Y X P ； (2) 求}5.0{<X P 和}5.0{<Y P ； (3) 求}1{<+Y X P . 答案：(1)18 (2) 78,12 (3) 34知识点： 二维连续型随机向量的联合概率密度 参考页: P63 学习目标: 2难度系数: 1提示一： 利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解： (1) }5.0,5.0{>>Y X P 11120.50.516(1)6(1)2x y dydx x dx =-=-⎰⎰⎰18=; (2) }5.0{<X P 0.510.520016(1)6(1)2x y dydx x dx =-=-⎰⎰⎰78=，}5.0{<Y P 0.50.50.5200116(1)6[(1)]24x y dydx x dx =-=--⎰⎰⎰12=;(3) }1{<+Y X P 0.510.5220016(1)6[(1)]2x x y dydx x x dx -=-=--⎰⎰⎰34=.15. 设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为(1),0,0,1(,)0,Ay x y x y x y f x y -->>+<⎧=⎨⎩其他 (1) 求常数A ;(2) 求{}P Y X <.答案：(1) 24 (2)14知识点： 二维连续型随机向量的联合概率密度 参考页: P63 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 二维连续型随机向量联合概率密度的性质提示二： 利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：(1) 由联合概率密度的正则性，有1101(,)(1)xf x y dxdy Ay x y dydx +∞+∞--∞-∞==--⎰⎰⎰⎰3310(1)(1)[]23x x A dx --=-⎰24A=, 所以24A =.（2）1112221{}24(1)12(12)4y yP Y X dy y x y dx y y dy -<=--=-=⎰⎰⎰. 16. 设 随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F = )23)(22(ππ++y arctg x arctgA ，试求（1）A ；（2）),(Y X 的联合概率密度(,)f x y ；（3）求X 与Y 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（4）X 与Y 是否独立 答案：(1)21π (2)2226(4)(9)x y π++ （3） 22()(4)X f x x π=+，23()(9)Yf y y π=+ （4）,X Y 独立知识点： 二维随机向量的联合分布函数 二维连续型随机向量的联合概率密度， 二维连续型随机向量的边缘概率密度 参考页: P59, P63，P66 学习目标: 1，2 难度系数: 2提示一： 二维随机向量的联合分布函数的性质提示二： 二维连续型随机向量联合分布函数与联合概率密度的关系 提示三： 利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度 提示四： 随机变量的独立性 题型：计算题题解：(1) (,)[][]12222F A ππππ+∞+∞=++=，21A π= （2）2226(,)(,)(4)(9)XY f x y F x y x y π''==++（3）22()(,)(4)X f x f x y dy x π+∞-∞==+⎰)9(3),()(2y dx y x f y f Y +==⎰+∞∞=π （4）(,)()(),X Y f x y f x f y x y ∴=⋅-∞<<+∞,X Y 相互独立.17. 设(,)X Y 的联合概率密度为(34)0,0,(,)0,x y x y ke f x y -+>>⎧=⎨⎩其他(1) 求常数k ；(2) 求(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y ； (3) 求{}01,02P X Y <≤<≤；(4) 求{}(,)P X Y D ∈，区域{}343,0,0),(<+>>=y x y x y x D .答案：(1) 12 (2) 340,0(1)(1),(,)0,x y x y e e F x y -->>⎧--=⎨⎩其他 （3） 38(1)(1)e e ---- （4）314e --知识点： 二维随机向量的联合分布函数 二维连续型随机向量的联合概率密度 参考页: P59, P63 学习目标: 1，2 难度系数: 2提示一： 二维连续型随机向量联合概率密度的性质提示二： 二维连续型随机向量联合分布函数与联合概率密度的关系 提示三： 利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率 提示四：（同题解） 题型：计算题 题解：(1) (34)01(,)x y f x y dxdy k e dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰34340()()1212x y xyk kke dx e dy e e +∞+∞---+∞-+∞===⎰⎰， 12k =; (2) 0,0x y >>(34)0(,)(,)12xyxyu v F x y f u v dudv e dudv -+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰34343400034()()(1)(1)xy u v u x v yx y e du e dv e e e e ------=⋅==--⎰⎰340,0(1)(1),(,) 0,x y x y e e F x y -->>⎧--=⎨⎩其他;(3) {}01,02(0,0)(1,2)(0,2)(1,0)(1,2)P X Y F F F F F <≤<≤=+--=38(1)(1)e e --=--; (4) {}331(34)4(,)(,)12x x y DP X Y D f x y dxdy e dxdy --+∈==⎰⎰⎰⎰133-3303(1)14x x e e dx e --=--=-⎰.18．设随机变量,X Y 相互独立，且都服从(,)b b -上的均匀分布，求方程20t tX Y ++=有实根的概率.答案：4b ≤时，1242b +；4b >时，1-知识点： 二维连续型随机向量的联合概率密度 参考页: P63 学习目标: 2 难度系数: 3提示一： 利用联合概率密度计算二维连续型随机向量取值的概率 提示二： 均匀分布 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解： 设A ={方程有实根}，则A 发生240X Y ⇔-≥ 即 224()(4)(,)x yP A P X Y f x y dxdy ≥=≥=⎰⎰2242211()444x bb bbb x dxdy b dx b b ---==+⎰⎰⎰ 32211[2]46242b b b b =+=+， 4b ≤.2221(4)1()44x P X Y b dx b -≥=--⎰33222111[4(88)]412b b b =-+1=19．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他求X 和Y 的联合分布函数.答案：22220,00,,01,01(,),01,1,,1,01,1,1, 1.x y x y x y F x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或 知识点： 二维随机向量的联合分布函数 二维连续型随机向量的联合概率密度 参考页: P59, P63 学习目标: 1，2 难度系数: 2提示一： 二维连续型随机向量联合分布函数与联合概率密度的关系 提示二：无 提示三：无 提示四：无 题型：计算题题解1：设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，由联合概率密度定义有(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞+∞=⎰⎰001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y ⎧<<⎪⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪=≤≤>⎨⎪⎪>≤≤⎪⎪>>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1, 1.x y x y x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或题解2：由联合概率密度得边缘概率密度分别为2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 2,01()0,Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他，所以,X Y 独立.,X Y 边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，20,0,()(),01,1, 1.x X X x F x f u du x x x -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰20,0,()(),01,1, 1.y Y X y F y f v dv y y y -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1, 1.X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=⋅=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或20. 设随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，求(,)X Y 的联合分布函数. 其中D 是由x 轴、y 轴及直线21y x =+所围三角形区域.答案：22210 02142 002121(,)441 02122 >00<11 >01x y xy y y x y x F x y x x x y x y y x y x y ⎧≤-≤⎪⎪⎪+--<≤<≤+⎪⎪⎪=++-<≤>+⎨⎪⎪-≤⎪>⎪⎪⎪⎩，或，且，且，且，且 知识点： 二维随机向量的联合分布函数 二维连续型随机向量的联合概率密度 参考页: P59, P63 学习目标: 1，2难度系数: 3提示一： 二维均匀分布提示二： 二维连续型随机向量联合分布函数与联合概率密度的关系 提示三：无 提示四：无 题型：计算题 题解：图3-1 图3-2区域D 如图3-1所示.由二维均匀分布的定义知，(,)X Y 的联合概率密度为4, (,)(,)0, x y Dx y ϕ∈⎧=⎨⎩其他将区域分为五块区域，如图3-2 ① 当12x ≤-或0y ≤时 因为(,)0x y ϕ=，所以(,)0F x y =； ② 当102x -<≤且021y x <≤+时，因为(,)4x y ϕ= 所以(,)(,)x y F x y u v dudv ϕ-∞-∞=⎰⎰1(1)24yx y dudv -=⎰⎰242xy y y =+-；③ 当102x -<≤且21y x >+时 (,)(,)x yF x y u v dudv ϕ-∞-∞=⎰⎰211 024xx dvdu +-=⎰⎰2441x x =++；④ 当0x >且0<1y ≤时,)(,)x y F x y u v dudv ϕ-∞-∞=⎰⎰（01(1)24y y dudv -=⎰⎰22y y =-；⑤ 当0x >且1y >时0211 02(,)4x F x y dvdu +-=⎰⎰1=.综上所述，(,)X Y 的联合分布函数为22210 02142 002121(,)441 02122 >00<11 >01x y xy y y x y x F x y x x x y x y y x y x y ⎧≤-≤⎪⎪⎪+--<≤<≤+⎪⎪⎪=++-<≤>+⎨⎪⎪-≤⎪>⎪⎪⎪⎩，或，且，且，且，且. 21. 设(,)X Y 在区域G 上服从均匀分布，其中G 是由0x y -=，2x y +=与0y =所围成的三角形区域, 求X 和Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y .答案：,01()2,120, X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他，2(1),01()0,Y y y f x -≤≤⎧=⎨⎩其他知识点： 二维连续型随机向量的边缘概率密度 参考页: P66 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度 提示二：无 提示三：无 提示四：无 题型：计算题 题解： 1,01,2(,)0,y y x yf x y <<<<-⎧=⎨⎩其他当10≤≤x 时， 0()(,)1xX f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰当12x <≤时， 20()(,)12xX f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰,01()2,120, X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他.当10≤≤y 时，2()(,)122y Y yf y f x y dx dx y +∞--∞===-⎰⎰2(1),01()0,Y y y f x -≤≤⎧=⎨⎩其他. 22. 设二维随机变量），Y X (的联合概率密度为, 01, 01(,)0, A x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他 求：（1） 参数A ；（2）X 和Y 的边缘概率密度并判断X 和Y 是否独立；答案：(1) 1 (2) 1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他 1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他,X Y 独立知识点： 二维连续型随机向量的联合概率密度， 二维连续型随机向量的边缘概率密度 参考页: P63，P66 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 二维连续型随机向量的联合概率密度性质提示二： 利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度 提示三： 随机变量的独立性 提示四： （同题解） 题型：计算题 题解：（1）(,)1f x y dydx +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，1A ⇒=（2）当10<<x 时，10()(,)11X f x f x y dy dy +∞-∞===⎰⎰当10<<y 时，10()(,)11Y f y f x y dx dx +∞-∞===⎰⎰()()(,)X Y f x f y f x y ⋅=，所以X 和Y 独立.23. 设(,)X Y 的联合概率密度为212,(,)0xy x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩， 其他(1) 求,X Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y ; (2) 问X 与Y 是否独立答案：(1) 256(),01()0,X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他， 256(),01()0,Y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他(2) ,X Y 不独立知识点： 二维连续型随机向量的边缘概率密度 参考页: P66 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度 提示二： 随机变量的独立性 提示三： 无 提示四： （同题解） 题型：计算题题解：（1）当10≤≤x 时， 225()(,)6()X xf x f x y dy xydy x x +∞-∞===-⎰其他， 0)(=x f X当10≤≤y 时，225()(,)6()Y yf y f x y dx xydx y y +∞-∞===-⎰其他， 0)(=y f Y即256(),01()0,X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他, 256(),01()0,Y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他（2）因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 和Y 不独立.24. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为215,01(,)0,xy y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他，求关于,X Y 的边缘概率密度()X f x , ()Y f y ，并判别X 与Y 的独立性.答案：(1) 45, 01()0, X x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他， ()22151, 01()20, Y y y y f y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他(2) ,X Y 不独立知识点： 二维连续型随机向量的边缘概率密度 参考页: P66 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度 提示二： 随机变量的独立性 提示三： 无 提示四： （同题解） 题型：计算题 题解：(1)()()24015, 015, 01,0, 0, xX xy dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他()()()12221515, 011, 01,20, 0, y Y xy dy y y y y f y f x y dx +∞-∞⎧⎧≤≤-≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他其他 （2）因为()()(),X Y f x y f x f y ≠,所以，X 与Y 不独立. 25. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为6, 01(,)0, y y x f x y <<<⎧=⎨⎩其他（1）试求关于X 与Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.答案：(1) 23,01()0,X x x f x ⎧<<=⎨⎩其他， 6(1),01()0,Y y y y f y -<<⎧=⎨⎩其他(2) ,X Y 不独立知识点： 二维连续型随机向量的边缘概率密度 参考页: P66 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 利用二维连续型随机向量的联合概率密度计算边缘概率密度。

第三章 多维随机向量及其概率分布(一)基本题答案1、设X 和Y 的可能取值分别为.2,1,0;3,2,1,0,==j i j i 则与因盒子里有3种球，在这3种球中任取4个，其中黑球和红球的个数之和必不超过4.另一方面，因白球只有2个，任取的4个球中，黑球和红球个数之和最小为2个，故有j i 与ٛ且,42≤+≤j i ./),(474223C C C C j Y i X p j i j i −−===因而 或0),(===j Y i X P 2).2,1,0;3,2,1,0,4(<+j i ==>+j i j i于是 ,0)0,0(1111======y Y x X P P ,0)0,0(2112======y Y x X P p.35/1/)0,0(472212033113=======C C C C y Y x X P p即 2、X 和. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡04.032.064.0210~X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.05.025.0210~Y 由独立性知，X 和Y 的联合分布为3、Y 的分布函数为显知有四个可能值：).0(0)(),0(1)(≤=>−=−y y F y e y F y ),(21X X }{{}{}11−=e ,2,10,0).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(121−≤=≤≤===Y P Y Y P X X P 易知{}{}{}{}{},221−−−=e e 12<=P ,10,1,02,11,02121≤≤>====>≤===Y Y Y P X X P Y Y P X X P{}{}{},212,10,12121−=≤<=≤>===e e Y P Y Y P X X P {}−− {}{}.22,11,1221−=>=>>===e Y P Y Y P X X P于是，可将X 1和X 24、∑=====nm m n P n X P 0),()(ηζ∑=−−−−=nm mn m n e m n m p p 0)!(!)1(λλ()[]).,2,1,0(!1!)1()!(!!!==−+=−−=−−−=−∑n n e p p n e p p m n m n n e n n n mn m nm n λλλλλλ即X 是服从参数为λ的泊松分布.∑∑∞=−−∞=−−−−−=−−==mn mn m n mn m m mn m n m n p m e p em n m p p m Y P )!()1(!)!(!)1()(λλλλλ).,2,1,0(,!)(!)()1( ==⋅=−−−−m m ep e e m ep pmp mλλλλλλ即Y 是服从参数为λp 的泊松分布.5、由定义F （y x ,）=P {}∫∫∞−∞−=≤≤x y dxdy y x y Y x X .),(,ϕ因为ϕ（y x ,）是分段函数，要正确计算出F （y x ,;1>y ），必须对积分区域进行适当分块：等5个部分.10,10,1;1,1;10,100≤≤≤≤>>>≤≤<x y x y x y y x 或;0<≤≤x （1）对于 有 F （,00<<y x 或y x ,）=P{X ≤,x Y ≤y}=0; （2）对于 有 ;,10,10≤≤≤≤y x 2204),(y x vdudv u y x F x y ==∫∫（3）对于, 有 10,1≤≤>y x {};,1),(2y y Y X P y x F =≤≤= （4）对于, 有 10,1≤≤>x y {}21,),(x Y x X P y x F =≤≤=; （5）对于 有 ,1,1>>y x 1),(=y x F .故X 和Y 的联合分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤≤<<≤≤≤≤≤≤<<=.1,1,.1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或6、（1） ,0,0;0),(,00>>=≤≤y x y x F y x 或),(y x F =∫∫+−x y t s dsdt ze)2())(())((200202yt x s y t x se e dt e ds e−−−−−−==∫∫=)1)(1(2y x e e −−−−即⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),1)(1(),(2其它y x e e y x F y x （2）P ()()220(),22x x y x yxy xY X f x y dxdy dx e dy e e d +∞+∞−−−−<≤===−∫∫∫∫∫x∫∫∞+−−−∞+−−=−−=03220)(2)1(2dx e e dx e e x x x x .312131(2)2131(2023=−−=−=∞+−−x x e e7、（1）时，0>x ,0)(,0;)(=≤==∫∞+−−x f x e dy e x f X Xx y X 时 即 ⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,)(x x e x f x X （2）{}2/111210121),(1−−≤+−−−+===≤+∫∫∫∫e e dy e dxdxdy y x f Y X P y x x xy8、（1）（i ）时,，;),()(计算根据公式∫∞+∞−=dy y x f x f X 0≤x 当10;0)(<<=x x f X 当时()();24.224.2)2(8.4)(202x x x y dy x y x f xx X −=−=−=∫0)(,1=≥x f x X 时当即⎩⎨⎧<<−=.,0;10),2(4.2)(2其它x x x x f X （ii ） 利用公式计算. 当∫∞+∞−=dx y x f y f Y ),()(;0)(,0=≤y f y Y 时,10时当<<y112)22(8.4)2(8.4)(y y Y x x y dx x y y f ∫−=−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=222128.42y y y );43(4.2)2223(8.422y y y y y y +−=+−=当时，1≥y .0)(=y f Y 即⎩⎨⎧<<+−=.0;10),43(4.2)(2其它y y y y y f Y 121111222211111(2)((1(,1(,)1.22222P X Y P X Y f x y dxdy dx dxdy +∞+∞⎧⎫<<=−≥≥=−=−=⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫∪58、47809、本题先求出关于x 的边缘概率密度，再求出其在2=x 之值. 由于平面区域D 的面积为)2(X f ,2121=dx =∫x S e D 故（X,Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0;),(,21),其它D y x y x (f易知，X 的概率密度为∫∞+∞−⎪⎩⎪⎨⎧<<==,,0,1,21),()(2其它e x xdy y x f x f X 故.41221)2(=×=X f 10、（1）有放回抽取：当第一次抽取到第个数字时，第二次可抽取到该数字仍有十种可能机会，即为 k {}).9, ,1,0(101====i k Y i X P （2）不放回抽取：（i ）当第一次抽取第)90(≤≤k k 个数时，则第二次抽到此（第个）数是不可能的，故 k {}.)9,,1,0,; =k i k (0====i k Y i X P（ii ）当第一次抽取第个数时，而第二次抽到其他数字（非k ）的机会为，知)90(≤≤k k 9/1{}.)9,,1,0,; =k i k (9/1≠===i k Y i X P 11、（1）因∫−=−=12,)1(12)1(24)(yy y ydx x y f η.,0)(;10其它=≤≤y f y n 故在0≤y ≤1时，⎩⎨⎧≤≤−−=;1)1/()1(2)(2其它x y y x y x f ηξ因()∫−=−=x y x ydy x x f 022,)1(12124)(ξ.,0)(;10其它=≤≤x f x ξ故在0≤x ≤1时，⎩⎨⎧≤≤=.0,0/2)(2其它x y x y x y f ξη（2）因;1,121)(2/12∞≤≤==∫x x nxdy y x X f x x ξ;,0)(其它=x f ξ故在1≤x<时，∞⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,1121)(其它x y xnxy x y f ξη因 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<<=≤<==∫∫∞∞,002121102121)(22/12其它y y dx y x y dx y x y f y y η 故在10≤<y 时,⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=;011)(2其它x y y x x y f ξη 而在,1时∞<<y ⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=.0)(2其它x y x yx y f ξη（3）在x >0,.0,0)(;0,)(≤=>==∫∞−−x x f x e dy e x f x xy ξξ⎪⎩⎪⎨⎧>=−.0,)(其它x y e x y f y x ξη ;0,)(0>==∫−−y ye dx e y f y yy η .故在y>0时，0,0)(≤=y y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0,01)(其它y x y y x f ηξ12、1(1)(2)2(),0(1)(1)X n n n n n f x dy x x y x ∞−−−−==+++∫>，故12(1)(2)0,(/1)0.n nY X n y y f y −⎧−+>=⎨⎩其它 13、X 和Y 是否独立，可用分布函数或概率密度函数验证.方法一：X 的分布函数的分布函数分别为 Y x F X 和)()(y F Y ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−,0001),()(5.0x x e x F x F x X ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−.0001),()(5.0y y e y F y F yY 由于独立.Y X y F x F y x F Y X 和知),()(),(={}{}{}[][]1.005.005.0)1.0(1)1.0(11.01.01.0,1.0−−−=⋅=−⋅−=>⋅>=>>=e e e F F Y P X P Y X P Y X αY X Y X x f x f y x f Y X 和分别表示和),,()()(),,(方法二：以的概率密度，可知 ⎩⎨⎧≥≥=∂∂∂=+−.00,025.0),(),()(5.02其它y x e y x y x F y x f y x ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==,0005.0),()(5.0x x e dy y x f x f x X ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==.00,05.0),()(5.0y y e dx y x f y f yY ∫∫∞+∞+−+−==>>==1.01.01.0)(5.0.25.0}1.0,1.0{.),()(),(e dxdy e Y X P a Y X y f x f y x f y x Y X 独立和知由于)()(),(j i j i y Y P x x P y Y x X P =⋅====14、因知X 与Y 相互独立，即有 . )3,2,1,2,1(==j i 首先，根据边缘分布的定义知 .2418161),(11=−===y Y x X P 又根据独立性有),(61)()(},{2411111i x X p y Y p x X p y Y x X p ===⋅===== 解得41)(==i x X P ,从而有 1218124141),(31=−−===y Y x X P 又由 )()(),(2121y Y P x X P y Y x X P =⋅====, 可得 ),(41812y Y P == 即有21)(2==y Y P , 从而 838121),(22=−===y Y x X P .类似地，由),()(),(3131y Y P x X P y Y x X P ===== 有),(411213y Y P ==得31)(3==y Y P ,从而,.111),(31=−===y Y x X P 最后=)(2x X P =1+3+1=3. 将上述数值填入表中有1x1/24 1/8 1/12 1/4 2x1/8 3/8 1/4 3/4 {}j P y X P j ⋅==1/6 1/2 1/3115、本题的关键是由题设P{X 1X 2=0}=1，可推出P{X 1X 2≠0}=0；再利用边缘分布的定义即可列出概率分布表.(1)由P{X 1X 2=0}=1,可见易见,0}1,1{}1,1{2121=====−=X X P X X P 25.0}1{}0,1{121=−===−=X P X X P 5.0}1{}1,0{221=====X P X X P 25.0}1{}0,1{121=====X P X X P 0}0,0{21===X X P121212.16、(1) ⎩⎨⎧<<=,,0,10,1)(其他x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,021)(2y y ey f yY 因为X ，Y 独立，对任何y x ,都有 ).,()()y x f y f x Y =⋅(f X ⎪⎩⎪⎨⎧><<=−.,0,0,10,21),(2其他所以有y x e y x f y（2）二次方程 有实根，△ t Y Xt t 中022=++,04)2(2≥−=Y X ,02≥−Y X 即,2X Y ≤ 故=)(有实根t P dydx e dydx y x f X Y P yx y x 2122221),(}{−≤∫∫∫∫==≤∫−−=1022)(dx ex y=dx edx edx x x x 2101010222221211)21(−−∫∫−=−=−πππ21−=［∫∫∞−∞−−−−1022222121dx edx exx ππ］.1445.08555.01]5.08413.0[21)]0()1([21=−≈−−≈Φ−Φ−=ππ17、（1）因为X ，Y 独立，所以 .⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,)()(),()(其他y x e y f x f y x f uy x Y X λλμ（2）根据Z 的定义，有 P{z=1}=P{Y ≥X}∫∫∫∫∞+∞−+−≥==)(),(xy x xy dydx e dydx y x f μλλμ∫∫∞+∞+−−=)(dx dy e e xy x μλμλ ),0u dx ee x x +=⋅=∫∞+−−λλλμλ{}{110=−==Z P Z P Z 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.1,1,10,,0,0)(z z z z F Z μλμ18、∵X 、Y 分别仅取0，1两个数值，∴Z 亦只取0，1两个数值. 又∵X 与Y 相互独立，∴{}{}{}{}==========00)0,0(0),max(0Y P X P Y X P Y X P Z P 1/2×1/2=1/4， 故{}{}.4/34/110111=−==−===Z P Z P 19、 X 由2×2阶行列式表示，仍是一随机变量，且X=X 1X 4--X 2X 3，根据X 1，X 2，X 3，X 4的地位是等价且相互独立的，X 1X 4与X 2X 3也是独立同分布的，因此可先求出X 1X 4和X 2X 3的分布律，再求X 的分布律. ,则X=Y 1--Y 2.随机变量Y 1和Y 2独立同分布：322411,X X Y X X Y ==记}{}{}{{}.84.016.01}0{0112121=−========Y P Y Y P Y P 16.01,132===P X X P 显见, 随机变量X=Y 1--Y 2有三个可能值--1,0,1.易见 P{X=--1}=P{Y 1=0,Y 2=1}=0.84×0.16= 0.1344， P{X=1}=P{Y 1=1,Y 2=0}=0.16×0.84=0.1344, P{X=0}=1--2×0.1344=0.7312. 于是，行列式的概率分布为 4321X X X X X =~ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1344.07312.01344.010120、因为{Z=i }={X+Y=i }={X=0,Y=i }}.0,{}1,1{==−==Y i X i Y X ∪ ∪∪ 由于上述各事件互不相容，且注意到X 与Y 相与独立，则有 ∑∑==−===−====i k ik k i Y P k X P k i Y k X P i Z P 00}{}{},{}{∑=+−−−−−=−−=iik ki n ki k i nkn kk n P p pC P p c 022111()1()1∑=−−+ik k i n k n in n C Cp 02121)(,,1,0,)1(212121n n i p p C i n n i i n n+=−=−++).,(~21p n n B Y X Z ++=故注：在上述计算过程中，已约定：当r>n 时，用到了公式 并,0=rnC .12121∑=+−=ik i n n k i n k n C C C21、X 和Y 的概率分布密度为},2)(exp{21)(22σσπy x x f X −−=);(+∞<<−∞x ⎩⎨⎧≤≤−=.,0,),2/(1)(其它πππy y f Y 因X 和Y 独立，考虑到 )仅在[)(y f Y ππ,−]上才有非零值，故由卷积公式知Z 的概率密度为.221)()()(222)(dy edy y f y z f z f a y z Y X Z ∫∫−−−−∞+∞−=−=ππμσππ令σμ−−=y z t ,则上式右端等于.(2122122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−Φ−−+Φ=∫−+−−−σμπσμππππσμπσμπz z dt e z z t 22、（1）由题设知 {}y X X P y M P y F n M ≤=≤=),,max()()(1),,(1y X y X P n ≤≤= )()()()()(121y F y F y X P y X P y X P Xn X n =≤≤≤=.∵),1(],0[~:,,1n i U X X X i n ≤≤θ独立且同分布 ∴⎪⎩⎪⎨⎧><<≤=,0,1,0,,0,0)(x x x x x F i X θθ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=.,1,0,,0,0)(θθθy y y y y F n n M 故⎪⎩⎪⎨⎧<<=−.,0,0,)(1其它θθy ny y f n n M（2）{}y X X P y N P y N P y F n N >−=>−=≤=),,min(1)(1)()(1()y X P y X P y X P y X y X y X P n n >>>−=>>>−= )()(1,,,12121()[])(11)(11y F y X P i X i ni −−=>Π−==故 ⎪⎩⎪⎨⎧<<−=⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−其它其它,0,00,)(,001(1()(11y y n y y n y f n n n N θθθθθ 23、由题设容易得出随机变量（X ，Y ）的概率密度，本题相当于求随机变量X 、Y 的函数S=XY 的概率密度，可用分布函数微分法求之.依题设，知二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为()()()⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f ,,0,2/1,若若 设为S 的分布函数,则 当{s S P s F ≤=)(}0≤s 时,()0=s F ； 当时, .2≥s ()1=s F 现设0<s<2. 曲线s xy =与矩形G 的上边交于点(s,1);位于曲线s xy =上方的点满足s xy >,位于下方的点满足s xy <. 故(){}{}{}).ln 2ln 1(2211211121s sdy dx dxdy S XY P s XY P s S P s F s x s sxy −+=−=−=>−=≤=≤=∫∫∫∫>于是,⎩⎨⎧≥≤<<−=.20,0,20,2/)ln 2(ln )(s s s s s f 或若若（二）、补充题答案1.由于即{},0)(),,min(,,max =<==Y X P Y X 故知ηξηξ{}{}{}03,23,12,1=========Y X P Y X P Y X P ；又易知{}{}{}{},9/1111,11,1==⋅=======ηξηξP P P Y X P{}{},9/12,22,2======ηξP Y X P {}{},9/13,33,3======ηξP Y X P {}{}{},9/29/19/11,22,11,2=+===+=====ηξηξP P Y X P{}{}{},9/22,33,22,3===+=====ηξηξP P Y X P {}.9/29/711,3=−===Y X P 所以2.（1）x{}.,2,1,0,0,)1( =≤≤−===n n m P P C n X m Y P m n {}（2）{}{}n X P n X m Y P m Y n X P ======,.,2,1,0,0,!)1( =≤≤⋅⋅−=−−n n m e P P C n m n mm n λλ3.22)1()1()1()0()0()1(p p Y P X P Y P X P z P +−===+====)1(2)0()1()1()0()0(p p Y P X P Y P X P z P −===+====而，由2)1,1()1,1(p Y X P Z X P ======),1()1()1,1(=====Z P X P Z X P 得. 2/1=p 5.:设随机变量ξ和η相互独立，都服从分 )1,0(N 布.则⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−⋅=)(21exp 21),(22y x y x p π.显然， ,),(),(∫∫∫∫<SGdxdy y x p dxdy y x p,其中 G 和S 分别是如图所示的矩形ABCD 和圆.22/)21(),(2∫∫∫−−=a ax Gdx e dxdy y x p π，令,sin ,cos ϕγϕγ==y x 则 ∫∫∫∫=ππ20221),(a aSdxdy y x p 所以221212/a aaxe dx e −−−−<∫π.6.设这类电子管的寿命为ξ，则（1）三个管子均不要替换的概率为；（2）三个管子均要替换的概率为 .∫∞+==>1502.3/2)/(100)150(dx x P ξ21(−27/8)3/2(3=27/1)3/3=7.假设总体X 的密度函数为，分布函数为，第次的观察值为，独立同分布，其联合密度函数)(x f ,(1x f )(x F )()2x f i (n x )1(n i X i ≤≤i X )(),1n f x f x =.依题意，所求的概率为{}∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞−∞−∞−−−−=−==>>><n n n nx i x x x x n n nn nn n i n n n n dx x f dx x f dx x f dx x f dx dx xx f X X X X X X P 112211111,...,2,1121)(...)()()(),,(.,...,,∫∫∞+∞−∞+∞−−−==)()()()(11n n n n n n n x dF x F dx x f x F.1)(1n x F nn n=∞−∞+=8.)(),()(21211211n P n k P n k P =+=+===+=ξξξξξξξξ)()()(2121n P k n P k P =+−===ξξξξ.由普哇松分布的可加性，知服从参数为的普哇松分布，所以 21ξξ+21λλ+)(21212112121!)()!(!)(λλλλλλλλξξξ+−−−−+−⋅==+=e n e k n ek n k P n k n k.1211211kn kk n −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=λλλλλλ9.当，0≤z (),0)(=≤=z Z P z F z ,0>z 当()z Z P z F z ≤=)(∫∫−+−=20)2(02xz y x z dy e dx∫∫−−−−−−−==202012x z z z y z x ze e dy e dxe ，所以 Y X z 2+=的分布函数为 ⎩⎨⎧>+−≤=−.0,)1(1,0,0),(z e z z y x F z10.由条件知X 和Y 的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他若,0,31,31,41),(y x y x p以表示随机{})()(∞<<−∞≤=u u U P u F 变量U 的分布函数.显然，当0≤u 时， 0)(=u F ；当时，； 2≥u 1)(=u F 当，则20<<u []∫∫∫∫≤−uy x y x p ||,(≤−−−=−−===uy x u u dxdy dxdy u F ||2)2(411)2(44141))(2u−于是，随机变量的密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他,0;20),2(21)(u u u p .11.记为这3个元件无故障工作的时间，则的分布函数321,,X X X ),,min(321X X X T ={}[][].)(1),,min(1(31321t X P t X X X P t F T −=>−(11)13X P t ≤−−=>)()t T P =≤=⎩⎨⎧≤>−=∴⎩⎨⎧=≤>−=−−,0,0,0,1)()3,2,1(,0,0,0,1)(~3t t e t F i t t e t F X t T t i λλ∵ 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==−.0,0,0,3)(')(3t t e t F t f t T T λλ。

第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =是否为Markov 链？（2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================因此，{,1,2,}n Y n =是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++为1n U -的函数，记为1112(),n n n nf U X U U U --=+++为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑因此{,1,2,}n X n =是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++ij ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k kk ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij ij a j ,0,（由于i X 的独立性） 故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j ij iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。