高二数学 2.7平面向量应用举例教案 北师大版必修4

2.7.1 点到直线的距离公式整体设计教学分析1.按教材的安排,本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用,理解向量的工具性,明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看,向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致,活力四射,正逐渐成为高考的新宠.但教材的处理是:点到直线的距离公式的向量证明作为一节,几何应用与物理应用放在一节.这不利于学生的理解掌握,因此在本教案设计时稍作调整,把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上,另一节专门探究向量在物理中的应用.2.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.向量在数学中有着广泛的应用,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.3.用向量方法解决解析几何中的问题,其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析几何中的几何问题转化成向量运算,并且这种向量运算简单明快,令人耳目一新.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.三维目标1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用.3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.重点难点教学重点:用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何、解析几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用. 推进新课 新知探究 提出问题图1①你能用向量的知识证明数学2中学习过的点到直线的距离公式吗?②平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？③你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?④你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？ 活动:①教师引导学生画出直线,点.如图2所示,M(x 0,y 0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:ax+by+c=0,可以取它的方向向量v=(b,-a).一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量. 设n =(a,b),因为n ·v =(a,b)·(b,-a)=ab-ab=0,所以n ⊥v ,故称n 为直线l 的法向量,与n 同向的单位向量为 n 0=),(||2222ba b b a a n n ++=.于是,点M(x 0,y 0)到直线l:ax+by+c=0的距离等于向量PM 在n 0方向上射影的长度: d=｜PM ·n 0｜=｜(x 0-x,y 0-y)·(|),2222ba b ba a ++.|)(||)()(|22002200ba by ax by ax ba y yb x x a ++-+=+-+-=又因为P(x,y)为l 上任意一点,所以c=-(ax+by).②教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.③教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法. 证明:方法一:如图3.图3作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴A D=BC,AF=BE由于AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如图4.图4以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对边平行且相等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与||2.因此有了方法三.方法三:设AB=a,AD=b,则=a+b,DB=a-b,|AB|2=|a|2,|AD|2=|b|2.∴||2=·=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①同理|DB|2=|a|2-2a·b+|b|2.②观察①②两式的特点,我们发现,①+②得|AC|2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.④至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时地引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 这个“三步曲”用流程图表示为:讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法. ③略. 应用示例例1 求点P(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离.活动:本例是直接应用点到直线的距离公式.由学生自己完成. 解:由点到直线的距离公式,得d=512|12112|22=++⨯+⨯,所以点P(1,2)到直线l 的距离为5.点评:通过此题让学生归纳用向量方法解决解析几何问题的思路. 变式训练(2007广东梅州)若将函数y=f(x)的图像按向量a 平移,使图像上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图像的解析式为( )A.y=f(x+1)-2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x-1)+2D.y=f(x+1)+2解析:由已知,得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=+=,2,1,02,12k h k h 即平移公式为⎩⎨⎧+=+=,2',1'y y x x即⎩⎨⎧-=-=,2',1'y y x x 代入y=f(x),得y′-2=f(x′-1),即y′=f(x′-1)+2.∴平移后的图像的解析式为y=f(x-1)+2. 答案:C例2 如图5,ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗?图5活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR 、RT 、TC 的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察,发现AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断AR ,AT 与AC 之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图5,设AB =a ,AD =b ,AR =r ,则AC =a +b . 由于与共线,所以我们设r=n(a +b ),n∈R . 又因为=-=（a -21b ),与共线, 所以我们设=m =m(a -21b ). 因为AR =AE +ER ,所以r=21b +m(a -21b ), 因此n(a +b )=21b +m(a -21b ),即(n-m)a +(n+21-m )b =0. 由于向量a ,b 不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n . 解得n=m=31.所以AR =31AC .同理,=31AC . 于是=31.所以AR=RT=TC. 点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练如图6,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点.图6证明:设BE 、CF 相交于点H,并设AB =b ,AC =c ,AH =h ,则=h -b ,=h -c ,BC =c -b . 因为BH ⊥AC ,CH ⊥AB , 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化简,得h ·(c -b )=0. 所以AH ⊥.所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.例3 如图7,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值.图7活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图7所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),OA =(0,a),BA =(c,a),OC =(c,0),BC =(2c,0).因为BB′、CC′都是中线,所以'BB =21(BC +BA )=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ). 同理,'CC =(-2,23ac ). 因为BB′⊥CC′,所以-44922a c +=0,a 2=9c 2.所以5499||||22222222=+-=+-=c c c c ca c a AC AB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达到融会贯通、灵活运用之功效. 变式训练(2004湖北高考)如图8,在Rt△ABC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:与的夹角θ取何值时,·CQ 的值最大?并求出这个最大值.图8解:方法一,如图8.∵⊥,∴·=0.∵AP =-AQ ,BP =AP -AB ,CQ =AQ -AC , ∴·CQ =(-)·(AQ -) =·-·-·+· =-a 2-·+·=-a 2+·(-)=-a 2+21·BC =-a 2+a 2cos θ. 故当cos θ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0. 方法二:如图9.图9以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P 的坐标为(x,y), 则Q(-x,-y).∴BP =(x-c,y),CQ =(-x,-y-b),BC =(-c,b),PQ =(-2x,-2y). ∴BP ·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x 2+y 2)+cx-by.∵cos θ2a bycx -=, ∴cx -by=a 2cos θ. ∴·CQ =-a 2+a 2cos θ.故当cos θ=1,即θ=0,PQ 与BC 的方向相同时,BP ·CQ 最大,其最大值为0. 知能训练1.如图10,已知AC 为⊙O 的一条直径,∠ABC 是圆周角. 求证:∠ABC=90°.图10证明:如图10. 设AO =a ,OB =b ,则AB =a +b ,=a ,BC =a -b ,|a |=|b |. 因为·=(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0, 所以AB ⊥.由此,得∠ABC=90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.2.D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 上的动点,且它们在初始时刻分别从A 、B 、C 出发,各以一定速度沿各边向B 、C 、A 移动.当t=1时,分别到达B 、C 、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t 1,△DEF 的重心不变.图11证明:如图11.建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(3,3nm a +). 当t=0或t=1时,△ABC 的重心也为(3,3nm a +), 故对任一t 1∈[0,1],△DEF 的重心不变.点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF的重心相同即可.课堂小结1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决解析几何及平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.作业课本习题2—7 A组1,2.设计感想1.本节设计的指导思想是:充分使用多媒体这个现代化手段,引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动.本节知识方法容量较大,思维含量较高,教师要把握好火候,恰时恰点地激发学生的智慧火花.2.由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现,特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题.因此在实际授课时,注意引导学生关注向量知识、向量方法与三角知识、解析几何知识等的交汇,提高学生综合解决问题的能力.3.平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等,它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等,线线平行,垂直,点共线,线共点等问题,往往简单明了,少走弯路,同时避免了复杂,烦琐的运算和推理,可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用.1.简化向量运算例1 如图12所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:OH=OA+OB+OC.图12证明:如图12,作直径BD,连接DA,DC,有=-,且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB,故CH∥DA,AH∥DC,得四边形AHCD是平行四边形.从而AH=DC.又DC=OC-OD=OC+OB,得=OA+AH=OA+DC,即OH =++.2.证明线线平行例 2 如图13,在梯形ABCD 中,E,F 分别为腰AB,CD 的中点.求证:EF∥BC,且||=21(||+|BC |).图13证明:连接ED,EC,∵AD∥BC,可设=λ(λ＞0), 又E,F 是中点,∴EA +EB =0, 且EF =21(ED +). 而+EC =+++BC =+BC =(1+λ)BC ,∴=21λ+BC .EF 与BC 无公共点, ∴EF∥BC.又λ＞0, ∴||=21(|BC |+|λBC |)=21(||+|BC |). 3.证明线线垂直例3 如图14,在△ABC 中,由A 与B 分别向对边BC 与CA 作垂线AD 与BE,且AD 与BE 交于H,连接CH,求证:CH⊥AB.图14证明:由已知AH⊥BC,BH⊥AC, 有·=0,·AC =0. 又AH =AC +CH ,BH =BC +CH ,故有(+)·BC =0,且(BC +CH )·=0,两式相减,得CH ·(CB -CA )=0,即CH ·AB =0,∴CH ⊥AB . 4.证明线共点或点共线例4 求证:三角形三中线共点,且该点到顶点的距离等于各该中线长的32.图15解:已知:△ABC 的三边中点分别为D,E,F(如图15).求证:AE,BF,CD 共点,且CD CG BF BG AE AG ===32. 证明:设AE,BF 相交于点G,AG =λ1, 由定比分点的向量式有=111111λλλ+=++BA +)1(211λλ+, 又F 是AC 的中点,BF =21(BA +), 设BG =λ2BF , 则111λ+BA +)1(211λλ+=22λBA +22λ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.2)1(2,21121121λλλλλ ∴.32,32,2)1(21121111====⇒+=+BF BG AF AG 即λλλλλ 又=CE CA 32)(2132)2(31111=+∙=+=++λλ, ∴C,G,D 共线,且32===CD CG BF BG AE AG . 二、备用习题1.有一边长为1的正方形ABCD,设AB =a ,BC =b ,AC =c,则|a -b +c |=___________.2.已知|a |=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°,则使λb -a 与a 垂直的λ=____________.3.在等边△ABC 中,AB =a ,BC =b ,CA =c ,且|a |=1,则a ·b +b ·c +c ·a =__________.4.已知三个向量=(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),且A,B,C 三点共线,则k=__________.5.如图16所示,已知矩形ABCD,AC 是对角线,E 是AC 的中点,过点E 作MN 交AD 于点M,交BC 于点N,试运用向量知识证明AM=CN.图166.已知四边形ABCD 满足|AB |2+|BC |2=|AD |2+|DC |2,M 为对角线AC 的中点.求证:||=||.7.求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补. 参考答案: 1.2 2.2 3.-23 4.-2或11 5.证明:建立如图17所示的平面直角坐标系,设BC=a,BA=b,则C(a,0),A(0,b),E(2,2b a ).图17又设M(x 2,b),N(x 1,0),则=(x 2,0),=(x 1-a,0). ∵∥,=(2a -x 2,-2b ),=(x 1-2a ,-2b ), ∴(2a -x 2)×(-2b )-(x 1-2a )×(-2b )=0. ∴x 2=a-x 1. ∴||=22x =|x 2|=|a-x 1|=|x 1-a|. 而||=21)(a x =|x 1-a|, ∴|AM |=|CN |,即AM=CN.6.证明:设AB =a ,=b ,=c ,DA =d ,∵a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).∴a 2+b 2+2a ·b =c 2+d 2+2c ·d .① ∵||2+|BC |2=||2+||2,∴a 2+b 2=(-d )2+(-c )2=c 2+d 2.②由①②,得a ·b =c ·d .图18∵M 是AC 的中点,如图18所示, 则=21(d -c ),=21(b -a ). ∴||2=2=41(b 2+a 2-2a ·b ), |MD |2=DM 2=41(d 2+c 2-2c ·d ). ∴|MB |2=|MD |2. ∴||=||.7.解:已知OA∥O′A′,OB∥O′B′.求证:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π.证明:∵OA∥O′A′,OB∥O′B′, ∴=λ'O (λ∈R ,λ≠0),OB =μ''B O (μ∈R ,μ≠0). , ±===λμμλ 当与''A O ,OB 与''B O 均同向或反向时,取正号,即cos∠AOB=cos∠A′O′B′.∵∠AOB,∠A′O′B′∈(0,π),∴∠AOB=∠A′O′B′. 当与''A O ,OB 与''B O 只有一个反向时,取负号,即cos∠AOB=-cos∠A′O′B′=cos(π-∠A′O′B′). ∵∠AOB,π-∠A′O′B′∈(0,π),∴∠AOB=π-∠A′O′B′.∴∠AOB+∠A′O′B′=π.∴命题成立.。

2.7平面向量应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材P116---118的相关内容思考：1.直线的向量方程是怎么来的？2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P118练习1、2、3题[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。

证：设BE、CF交于一点H，−→−AB= a,−→−AC= b,−→−AH= h,则−→−BH= h a ,−→−CH= h b ,−→−BC= b a∵−→−BH−→−AC,−→−CH−→−AB∴0)()()(0)(0)(=-∙⇒∙-=∙-⇒⎭⎬⎫=∙-=∙-a b h a b h b a h a a h b a h ∴−→−AH −→−BC又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点[展示投影]预备知识：1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使−→−P P 1=λ−→−2PP ，λ叫做点P 分−→−21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)注意几个问题：①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ -1若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在②始点终点很重要，如P 分−→−21P P 的定比λ=21 则P 分−→−12P P 的定比λ=2 2．线段定比分点坐标公式的获得：设−→−P P 1=λ−→−2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2)由向量的坐标运算 −→−P P 1=(x-x 1,y-y 1) −→−2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)∵−→−P P 1=λ−→−2PP 即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1) ∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式：若P 是−→−21P P 中点时，λ=1 222121y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。

2.7 向量应用举例课堂导学三点剖析1.用向量解决简单的几何问题【例1】 如右图平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决. 解：设AD =a ,AB =b ,则BD =a -b ,AC =a +b . 而|BD |=|a -b |=b a b a b b a a •-=•-+=+•-25241||2||22,∴|BD |2=5-2a ·b =4.① 又|AC |2=|ab |2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=1+4+2a ·b .由①得2a ·b =1，∴|AC |2=6，∴|AC |=6，即AC=6. 友情提示在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.各个击破类题演练 1已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M 、N 分别是AB 、AC 的中点,D 是BC 的中点,MN 与AD 交于F,求DF .解析：∵A(7,8),B(3,5),C(4,3)，∴AB =(3-7,5-8)=(-4,-3),AC =(4-7,3-8)=(-3,-5).又∵D 是BC 的中点,∴AD =21(AB +AC )=(-3.5,-4).又M 、N 分别是AB 、AC 的中点,∴F 为AD 的中点.∴DF =-21AD =(1.75,2). 变式提升 1如右图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足OE =OA +OB +OC ,求证：AE ⊥BC .∵BC =OC -OB ， AE =OE -OA =（OA +OB +OC ）-OA =OB +OC ，∴AE ·BC =（OC -OB ）·（OC +OB ）=|OC |2-|OB |2. ∵O 为外心，∴|OC |=|OB |，即AE ·BC =0，AE ⊥BC .2.用向量解决物理问题【例2】 一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释.思路分析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,建立数学模型： |F 1|=)cos 1(2||θ+G ,θ∈［0,π］来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.解：设小孩的体重为G ,两胳膊受力分别为F 1、F 2,且F 1=F 2,两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如右图(不计其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F 1|=)cos 1(2||θ+G ,θ∈［0,π］,当θ=0时,|F 1|=2||G ；当θ=32π时,|F 1|=|G |；又θ∈(0,π)时,|F 1|单调递增,故当θ∈(0,32π)时,F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈(32π,π)时,|F 1|＞|G |.此时,欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.友情提示在解决力的合成、力的分解问题，一般是利用向量的平行四边形法则解决.类题演练 2在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如下图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解析：作OACB （左上图），使∠AOC=30°，∠BOC=60°.在△OAC 中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，||=||cos30°=3150(N),||=||sin30°=150(N),|OB|=|AC|=150(N).150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是3N.变式提升 2如右图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.解析：如右图，物体受三个力：重力w,支持力p,摩擦力f.由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0.①由①，得w+p+f=(mgcosα,mgsinα)+(-p,0)+(0,-f)=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).故mgsinα-f=0,f=mgsinα.3.在实际问题中怎样用向量【例3】已知两恒力F1(3,4)、F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.思路分析：本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F·s公式即可.解：AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1·AB=（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦)W2=F2·AB=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦)（2）W=F·AB=（F1+F2）·AB=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).友情提示力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.本题最易弄错符号，特别是当力与位移夹角为钝角时.类题演练 3如右图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.解析：设f 1=(a 1,a 2),f 2=(b 1,b 2),则a 1=300cos30°=259.8,a 2=300sin30°=150,b 1=-200cos45°=-141.4,b 2=200sin45°=141.4,∴f 1=(259.8,150),f 2=(-141.4,141.4)f =f 1+f 2=（259.8,150）+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),|f |=22)4.291()4.118( =314.5.设f 与x 轴的正向夹角为θ，则 tanθ=4.1184.291=2.461 1. 由f 的坐标知θ是第一象限的角，∴θ=67°53′.答：两个力的合力是314.5 N,与x 轴的正方向的夹角为67°53′，与y 轴的夹角为22°7′. 变式提升 3已知一物体在共点力F 1=（lg2,lg2）,F 2=(lg5,lg2)的作用下产生位移s =(2lg5,1),则共点力对物体做的功W 为（ ）A.lg2B.lg5C.1D.2解析：合力F 1+F 2=（lg2,lg2）+(lg5,lg2)=(1,lg4).W =F ·s =(1,lg4)·（2lg5,1）=lg25+lg4=2.答案：D。

7 向量应用举例[核心必知]1．点到直线的距离公式y0)是一平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d若M(x2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．[问题思考]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d＝|·n0|?提示：如图所示，过M作MN⊥l于N，则d＝||.在Rt△MPN中，||是在方向上的射影的绝对值，则||＝|||cos∠PMN|＝|||×1×cos∠PMN|＝||×|n0|×|cos∠PMN|＝|·n0|∴d＝|·n0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？提示：关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决．3．利用向量可以解决哪些物理问题？提示：利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等．讲一讲1．已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n ，若D 为斜边AB 的中点， (1)求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．[尝试解答] 以C 为坐标原点，以边CB 、CA 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)，AB ＝(n ，－m )．(1)证明：∵D 为AB 的中点， ∴D (n 2，m2)，∴|＝12 n 2＋m 2，|AB |＝m 2＋n 2，∴|CD |＝12|AB |，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，所以E (n 4，m4)，设F (x,0)，则AE ＝(n4，－34m )，AF ＝(x ，－m )，∵A 、E 、F 共线，∴AF ＝λAE ，解得(x ，－m )＝λ(n 4，－34m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34m λ，即x ＝n3，即F (n3，0)．AF ＝(n3，－m )． ∴|AF |＝13 n 2＋9m 2.即AF ＝13n 2＋9m 2.利用向量解决几何中常见问题的基本策略：(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行； (3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直； (4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．练一练1．已知▱ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，试求对角线AC 的长．讲一讲2．已知过点A (0,2)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，且＝12，求k 及直线l 的方程．[尝试解答] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由题意知，l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x －2＋y －2＝1得，(1＋k 2)x 2－(4＋2k )x ＋4＝0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝4＋2k 1＋k 2，x 1x 2＝41＋k2 ∵＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝12.y 1＝kx 1＋2，y 2＝kx 2＋2∴x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)－8＝0， ∴(1＋k 2)×41＋k 2＋2k ×4＋2k 1＋k 2－8＝0，解得k ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2，即x －2y ＋4＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．练一练2. 过点M (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当最大时，求直线l 的方程．解：可知圆C 的圆心C (1,0)，半径r ＝2 ∴＝cos ∠ACB＝2×2cos ∠ACB ＝4cos ∠ACB 当最大时，∠ACB 最小．连接CM ，当AB ⊥CM 时，∠ACB 最小 这时直线l 的法向量为：＝(12，1)－(1,0)＝(－12，1)． ∴l 的方向向量为(1，12)，∴l 的斜率为k ＝12故直线l 的方程为y －1＝12(x －12)，即2x －4y ＋3＝0.讲一讲3. 一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A 、C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．＝2 0002＋1 0002－2×1 000×2 000×12＝3×106有∠ABD ＝60°， 于是∠DBC ＝30°.所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.法二：建立如图所示的坐标系，并取a ＝500，则AB ＝(2a cos 150°，2a sin 150°) ＝(－3a ，a )，AC ＝(4a cos 210°，4a sin 210°)＝(－23a ，－2a )，∴BC ＝(－3a ，－3a )，|BC |＝23a ， 即||＝1 000 3 (km)．又cos C ＝＝6a 2＋6a24a ×23a ＝32，C ＝30°， 结合图形可知BC 的方向为南偏西30°，所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，所以可以用向量的知识来解决；2．物理中的功是一个标量，它是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ. 练一练3．已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生的位移s ＝(2lg 5，1)，求这两个共点力对物体做的功W 的值．解：W ＝(F 1＋F 2)·s ，又F 1＋F 2＝(1, 2lg 2)，s ＝(2lg 5，1)，所以W ＝2lg 5＋2lg 2＝2.如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1，求：(1)|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围．[巧思] 力的合成与分解满足平行四边形法则，合理使用平行四边形法则及三角形法则对各量间进行分析和运算，从三角函数的角度分析力的变化，从不等关系研究角的范围．[妙解](1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，知－G ＝F 1＋F 2. 解直角三角形，得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |·tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F 1|、|F 2|皆逐渐增大． (2)令|F 1|＝|G |cos θ≤2|G |，得cos θ≥12.又0°≤θ＜90°，∴0°≤θ≤60°.1．过点A(2，3)，且法向量为n＝(2，1)的直线方程为( )A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0解析：选A 由题意知，可取直线的方向向量为v＝(1，－2)，∴直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.2．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为( ) A．(－2，4) B．(－30，25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析：选C 设5秒后点P运动到点A，则＝5v＝(20，－15)，∴＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．3．已知△ABC，＝b，且a·b<0；则△ABC的形状为( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选A 由a·b＝cos∠BAC<0知cos∠BAC<0，∴∠BAC为钝角．4．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．解析：设小船的静水速度为v，依题意|v|＝22＋102＝226.答案： 226 m/s5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．解析：由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28，∴|F3|＝27.答案： 276．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b.若c＝90°，试证：c2＝a2＋b2.证明：以C点为原点建立如图所示的直角坐标系．则A(b,0)，B(0，a)．∴AB＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)．∴|AB|＝－b2＋a2＝c.故c2＝a2＋b2.一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值是( )A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：选D 取直线l的方向向量v＝(－2，m)，则m(1－m)－1×(－2)＝0，即m2－m－2＝0，得m＝－1或m＝2.2．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N，则合力的大小为(精确到0.1 N)( )A．20.6 N B．18.8 NC ．20.8 ND ．36.8 N 解析：选C设两条绳索的拉力F 1，F 2的合力为F 合．如图所示，则＝12，F 合＝，连接BD交AC 于M ，∠BAM ＝30°，∴|F 合|＝2||＝2×12cos 30°＝123≈20.8 N.3．在△ABC 中，若＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定4．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)解析：选D 由题可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2)．二、填空题5．已知F ＝(2，3)作用于一物体，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则力F 对物体做的功为________．解析：∵AB ＝(－4,3)，∴W ＝F ·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1. 答案：16．已知直线l 经过点(－5，0)且方向向量为(2，－1)，则原点O 到直线l 的距离为________． 解析：可知直线l 的斜率k ＝－12，∴l 的方程为y ＝－12(x ＋5)，即x ＋2y ＋5＝0， ∴原点到l 的距离为d ＝512＋22＝1.答案：17．在边长为1的正三角形中，设，则＝________.＝12(－1－13×1×1×cos 60°＋23×1) ＝－14.答案：－148．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则＝__________.解析：如图，取D 为AB 的中点，∵OA ＝1，AB ＝3， ∴∠AOD ＝π3.∴∠AOB ＝2π3.∴＝1×1×cos 2π3＝－12.答案：－12三、解答题9．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解：依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v 风车＋v 车地如图所示，根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v 风地的有向线段AD 对应▱ABDC的对角线．∵|AC |＝4，∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝90°. 在Rt △ADC 中，|DC |＝|AC |cos 30°＝2 3. ∴风的实际方向是正南方，汽车速度的大小为2 3 m/s. 10．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍． 证明：设△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如图：＝b 2－2bc cos A ＋c 2， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证：b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则：C(b cos A，b sin A)，B(c,0)，∴＝(b cos A，b sin A)－(c,0)＝(b cos A－c，b sin A)，∴a2＝|BC|2＝(b cos A－c)2＋(b sin A)2＝b2cos2A－2bc cos A＋c2＋b2sin2A，＝b2－2bc cos A＋c2，即：a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证：b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.。

§7 向量应用举例知识点一 向量在解析几何中的应用[填一填]1．若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则它的方向向量为(B ，－A )，它的法向量为(A ，B )．[答一答]1．向量在解析几何中的作用是什么？提示：在平面直角坐标系中，有序实数对(x ，y )既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．知识点二 向量在平面几何中的应用[填一填]3．可运用向量的方法证明有关直线平行和垂直、线段的相等及点共线等问题，其基本方法有：(1)要证明两线段AB ＝CD ，可转化为证明AB →2＝CD →2；(2)要证明两线段AB ∥CD ，只要证明：存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证明两线段AB ⊥CD ，只要证明它们的数量积AB →·CD →＝0即可；(4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →；或若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，只要证明存在一个实数t ，使c ＝t a ＋(1－t )b ；(5)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |. [答一答]2．用向量法证明或解决几何问题的基本步骤是什么？提示：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．知识点三 向量在物理中的应用[填一填]4．(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的三角形法则或平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题．[答一答]3．用向量理论讨论物理中的相关问题，应遵循什么步骤？提示：一般来说分为三步：①问题的转化，把物理问题转化为数学问题；②建立模型，建立以向量为主体的数学模型，求出数学模型的相关解；③问题的答案，回到物理现象中去，用已经获得的数值去解释一些物理现象．对直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量及法向量的两点说明(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量(1，y 2－y 1x 2－x 1)与P 1P 2→共线，因此向量(1，－A B )＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量． (2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量.类型一 直线的方向向量与法向量的应用 【例1】 已知点A (2，－1)，求：(1)过点A 且与向量a ＝(5,1)平行的直线的方程； (2)过点A 且与向量a ＝(5,1)垂直的直线的方程．【思路探究】 可利用直线的方向向量和弦向量求直线的方程．【解】 解法一：(1)设所求直线上任意一点P (x ，y )，由题意，知AP →∥a .AP →＝(x －2，y ＋1)，a ＝(5,1)，∴5(y ＋1)－(x －2)＝0， 即x －5y －7＝0.故过点A 且与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为x －5y －7＝0. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )． 由题意，知AP →⊥a ，即AP →·a ＝0. ∵AP →＝(x －2，y ＋1)，a ＝(5,1)， ∴5(x －2)＋(y ＋1)＝0，即5x ＋y －9＝0.故过点A 且与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程为5x ＋y －9＝0. 解法二：(1)∵所求直线与向量a ＝(5,1)平行， ∴所求直线的斜率为15.又所求直线过点A (2，－1)，∴所求直线方程为y －(－1)＝15(x －2)，即x －5y －7＝0.(2)∵所求直线与向量a ＝(5,1)垂直，∴所求直线的斜率为－5，又所求直线过点A (2，－1)， ∴所求直线方程为y －(－1)＝－5(x －2)， 即5x ＋y －9＝0.规律方法 解法一采用了求轨迹方程的方法，先在所求直线上设一动点P (x ，y )，再利用向量平行、垂直的条件建立x ，y 的关系；解法二应用了直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系求解．过点A (－1,2)且与直线l ：4x －5y ＋1＝0垂直的直线m 的方程是5x ＋4y －3＝0. 解析：取直线l 的法向量n ＝(4，－5)．设点P (x ，y )在所求直线m 上， 则AP →＝(x ＋1，y －2)． 由题意，知AP →与n 平行， 即4(y －2)－(－5)(x ＋1)＝0， 故直线m 的方程为5x ＋4y －3＝0.类型二 向量在平面几何中的应用【例2】 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝3，点D 在线段BC 上，且BD ＝12DC .求：(1)AD 的长； (2)∠DAC 的大小．【思路探究】 (1)由于AB →，AC →的模及夹角已知，因此可以以AB →，AC →为基底表示AD →，结合向量的数量积求解|AD →|；(2)∠DAC 的求解需利用公式cos ∠DAC ＝AD →·AC→|AD →||AC →|.【解】 (1)设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b .∴|AD →|2＝AD →2＝(23a ＋13b )2＝49a 2＋2×29a ·b ＋19b 2＝49×9＋2×29×3×3×cos120°＋19×9＝3.故AD ＝ 3.(2)设∠DAC ＝θ，则θ为向量AD →与AC →的夹角．∵cos θ＝AD →·AC→|AD →||AC →|＝(23a ＋13b )·b 3×3＝13b 2＋23a ·b 33＝13×9＋23×3×3×cos120°33＝0，∴θ＝90°，即∠DAC ＝90°.规律方法 利用向量解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模长或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，坐标易表示或易建立平面直角坐标系的题目适合用坐标法．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：BC ⊥AC .证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系． 设CD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)， ∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)．∵BC →·AC →＝－1×1＋1×1＝0，∴BC ⊥AC .类型三 向量在物理中的应用【例3】 设作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1和F 2的夹角为2π3(如图所示)．求：(1)F 3的大小． (2)〈F 3，F 2〉的大小．【思路探究】 第(1)问根据受力平衡原理可知F 3＝－(F 1＋F 2)，从而|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2；第(2)问以点O 为坐标原点，F 2的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系，将F 1，F 3正交分解，根据受力平衡建立方程并求解．【解】 (1)F 1，F 2，F 3处于平衡状态，故F 1＋F 2＋F 3＝0，即F 3＝－(F 1＋F 2)， 所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝1＋4＋2×1×2cos 2π3＝ 3.(2)如图，以点O 为坐标原点，F 2的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系．将向量F 1，F 3正交分解，设∠MOF 3＝θ.由受力平衡知|F 3|sin θ＝|F 1|cos π6，即3sin θ＝32，所以θ＝π6，所以〈F 3，F 2〉＝π－π6＝5π6.规律方法 用向量解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．(1)如果一架飞机先向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，设飞机飞行的路程为s km ，位移为a ，则( A )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小(2)已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝( D )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：(1)物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s ＝500，由位移的合成易得|a |<500，故s >|a |.(2)由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．类型四 向量在平面解析几何中的应用【例4】 已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【思路探究】 设出M 点坐标，利用AM →＝－32MQ →，可以将A 点的坐标用M 点的坐标表示出来，从而用P A →·AM →＝0确定所求轨迹．以向量为载体考查解析几何的问题．【解】 设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a >0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y2，即A (0，－y 2)，Q (x 3，0).P A →＝(3，－y 2)，AM →＝(x ，3y2)．∵P A →·AM →＝0，∴3x －34y 2＝0.即所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．规律方法 利用向量的运算求轨迹要理解几何关系与向量表示的内在联系，正确理解向量条件是解题的基础．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)．因为MA →＝2AN →， 所以(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －2，1－y 0＝2y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，又因为点M (x 0，y 0)在圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4上， 所以(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4， 所以(2x )2＋(2y )2＝4，即x 2＋y 2＝1， 所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.——易错警示—— 向量在几何应用中的误区【例5】 在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 的形状为________．【错解】 直角三角形【正解】 因为向量AB →|AB →|，AC →|AC →|①分别表示与向量AB →，AC →同向的单位向量，所以以AB→|AB →|，AC→|AC →|为邻边的平行四边形是菱形．根据平行四边形法则作AD →＝AB →|AB →|＋AC →|AC →|②(如图所示)，则AD 是∠BAC 的平分线．因为非零向量满足(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线AD 垂直于BC ，所以AB ＝AC ，又cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，且∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．【错解分析】 解答过程中，若未能分析出①所表示的几何意义，或者未能根据平行四边形法则分析出②所表示的几何意义，就会直接根据数量积为零的条件判断△ABC 是直角三角形．【答案】 等边三角形【防范措施】 1.注意知识的积累向量线性运算和数量积的几何意义是解决向量问题的依据，如本例中AB →|AB →|，AC→|AC →|的含义，邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线平分对角．2．树立数形结合意识推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导，回答应力求准确，如本例求解时，以图形辅助解题，较为形象直观．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( B )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形解析：由题知，(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝0，如图所示，其中AB →＋AC →＝2AD →(D 为BC 中点)， 所以AD ⊥BC ，即AD 是BC 的中垂线，所以AB ＝AC ， 即△ABC 为等腰三角形，故选B.一、选择题1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为( A )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：根据题目提供的选项，首先要看是否有两边平行．因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，所以AD →∥BC →.而AB →与CD →不平行，则四边形ABCD 为梯形，应选A.2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( D ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：本小题主要考查点到直线的距离公式． 由点到直线的距离公式得d ＝|0＋2·0－5|12＋22＝55＝ 5.3．某人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度大小为( C ) A ．v 1－v 2B ．－v 1－v 2C ．|v 1|v 2|D ．|v 1v 2|解析：逆风行驶的速度为v ＝v 1＋v 2，因为v 1∥v 2，且方向相反，,所以|v |＝|v 1|v 2|(|v 1|>|v 2|)．二、填空题4.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB →·AC →＝1.解析：如图所示，AB →＝(0,1)，AC →＝(－1,1)，AB →·AC →＝(0,1)·(－1,1)＝1.5.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于2.解析：∵OA →－3OB →＋2OC →＝0，∴(OA →－OB →)－2(OB →－OC →)＝0.∴BA →＝2CB →. ∴|BA →|＝2|CB →|.∴|AB →||BC →|＝2.三、解答题6.如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线DB 的延长线及反向延长线上分别取E 、F 两点，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 也是平行四边形．证明：由题意得：BE →＝FD →，AB →＝DC →，,所以AE →＝AB →＋BE →＝DC →＋FD →＝FC →. 即AE ∥FC ，且|AE →|＝|FC →|.所以四边形AECF 是平行四边形．。

§7 向量应用举例7．1点到直线的距离公式7．2向量的应用举例●三维目标1．知识与技能(1)理解点到直线的距离公式的推导并能应用．(2)会用向量方法处理简单的物理和几何问题．2．过程与方法通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想．3．情感、态度与价值观(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法．(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力．(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀．●重点难点重点：掌握点到直线的距离公式，并能用向量处理简单实际问题．难点：用向量法解决平面几何问题．(教师用书独具)●教学建议本小节包括向量在两方面的应用，一是向量在平面几何中的应用，二是向量在解析几何中的应用．教科书通过例题说明向量在这两方面的应用．教学中要注意通过例题教学，总结用向量解题的一般方法，让学生体会向量的工具作用，从而建立向量与平面几何、解析几何的联系，提高学生分析问题、解决问题的能力．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．教学中要让学生注意两个方面，一是通过实例，体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象．●教学流程由直线的方向向量引入学习直线的法向量．⇒引导学生推导点到直线的距离公式．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握向量方法解决平面几何问题的思路．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握向量在解析几何中的应用．⇒掌握向量在物理中的应用，引导学习例3及变式训练．⇒归纳整理本节知识，整体把握向量的应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.类比直线的方向向量的定义思考，与直线l 垂直的非零向量是否也是特殊向量？ 【提示】 是，为直线的法向量．1．与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．2．若直线l 的方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量为n ＝(A ，B )，与直线l 的法向量n 同向的单位向量n 0＝n|n |＝(A A 2＋B 2，B A 2＋B 2).n 为直线l 的法向量，P 为直线l 上任一点，点M 是平面内一定点且不在直线l 上，那么点M 到直线l 的距离d 与向量PM →，n 有怎样的关系？【提示】 点M 到直线l 的距离d 即为向量PM →在向量n 方向上的射影的绝对值，即d ＝|PM →·n ||n |.若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.图2－7－1如图，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .【思路探究】选择一组基底来表示BP →，DC →→ BP →·DC →＝0→BP →⊥DC →→BP ⊥DC【自主解答】 设PD →＝λCD →并设正三角形ABC 的边长为a ，则有 P A →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ(23BA →－BC →)＋13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →，又EA →＝BA →－13BC →，P A →∥EA →，设P A →＝kEA →，∴13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →， 于是有⎩⎨⎧13(2λ＋1)＝k λ＝13k，解得λ＝17，∴PD →＝17CD →，∴CP →＝67CD →，∵CD →＝23BA →－BC →，∴BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋67CD →＝BC →＋67(23BA →－BC →)＝17BC →＋47BA →， ∴BP →·CD →＝(17BC →＋47BA →)·(23BA →－BC →)＝221BC →·BA →－17BC →2＋821BA →2－47BA →·BC →＝221a 2cos 60°－17a 2＋821a 2－47a 2cos 60° ＝521a 2－1021a 2×12＝0， ∴BP →⊥CD →，∴BP ⊥CD .1．解决此类问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．如果题目中有垂直关系，也可建立适当的坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算．图2－7－2如图2－7－2所示，已知▱ABCD 中，E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝FD . 求证：四边形AECF 是平行四边形．【解】 由已知可设AB →＝DC →＝a ，BE →＝FD →＝b ，故AE →＝AB →＋BE →＝a ＋b ，FC →＝FD →＋DC →＝b ＋a . 又∵a ＋b ＝b ＋a ，则AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， 故四边形AECF 是平行四边形.已知点A (－1,2)，直线l ：4x －3y ＋9＝0，求：(1)过点A 且与直线l 平行的直线方程； (2)过点A 且与直线l 垂直的直线方程．【思路探究】 法一 先由直线的方程找到直线的方向向量u ，再设所求直线上一点P ，(1)利用AP →∥u 求方程，(2)利用AP →·u ＝0求方程．法二 先由直线的方程找到直线的法向量n ，再设所求直线上一点Q ，(1)利用AQ →·n ＝0求方程．(2)利用AQ →∥n 求方程．【自主解答】 法一 (1)与直线l 平行的一个向量为u ＝(3,4)， 设P (x ，y )为所求直线上一动点，则AP →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线平行， ∴AP →∥u ，∴3(y －2)－4(x ＋1)＝0， 化简得4x －3y ＋10＝0.即所求直线的方程为4x －3y ＋10＝0. (2)已知直线的一个方向向量为u ＝(3,4)， 设P (x ，y )为所求直线上一动点， 则AP →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线垂直， ∴AP →·u ＝0，∴3(x ＋1)＋4(y －2)＝0， 化简得3x ＋4y －5＝0.即所求直线的方程为3x ＋4y －5＝0.法二 (1)已知直线的一个法向量为n ＝(－4,3)， 设Q (x ，y )为所求直线上一动点，则AQ →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线平行，∴AQ →·n ＝0，∴－4(x ＋1)＋3(y －2)＝0， 化简得4x －3y ＋10＝0.即所求直线的方程为4x －3y ＋10＝0. (2)已知直线的一个法向量为n ＝(－4,3)，设Q (x ，y )为所求直线上一动点，则AQ →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线垂直， ∴AQ →∥n ，∴－4(y －2)－3(x ＋1)＝0，化简得3x ＋4y －5＝0. 即所求直线的方程为3x ＋4y －5＝0.利用方向向量及法向量求直线的方程，其关键在于探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系．1．所求直线与已知直线平行则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直． 2．所求直线与已知直线垂直则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平行．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．【解】 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，∴MA →＝(1－x 0,1－y 0)，AN →＝(x －1，y －1)． 依题设MA →＝2AN →，则(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .又∵点M (x 0，y 0)在圆C 上，∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，则x 2＋y 2＝1. 故点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.。

2.7 向量应用举例1．假设M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C ＝0距离为____________．预习交流1点(2,4)到直线y＝2x－1距离是__________．2．与直线方向向量垂直向量为该直线法向量．设直线l：Ax＋By＋C＝0，那么它方向向量为________，它法向量为________．3．可运用向量方法证明有关直线平行与垂直、线段相等及点共线等问题，其根本方法有：(1)要证明两线段AB＝CD，可转化为证明AB→2＝CD→2；(2)要证明两线段AB∥CD，只要证明：存在一实数λ≠0，使AB→＝λCD→成立；(3)要证明两线段AB⊥CD，只要证明它们数量积AB→·CD→＝0即可；(4)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB→＝λAC→；或假设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，只要证明存在一个实数t，使c＝t a＋(1－t)b；(5)求与夹角相关问题，往往利用向量夹角公式cos θ＝a·b|a||b|.预习交流2(1)假设四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，那么该四边形一定是( )．A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)在平面直角坐标系中，正方形OABC对角线OB两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，那么AB→·AC→＝__________.4．向量在物理中应用：(1)求力向量，速度向量常用方法：一般是向量几何化，借助于向量求与三角形法那么或平行四边形法那么求解．(2)用向量方法解决物理问题步骤：①把物理问题中相关量用向量表示；②转化为向量问题模型，通过向量运算使问题解决；③结果复原为物理问题．预习交流3向量可以解决哪些物理问题？答案：1．d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2预习交流1：d ＝|2×2－4－1|22＋(－1)2＝55.2．(B ，－A ) (A ，B )预习交流2：(1)B (2)1 解析：如下图，AB ＝(0,1)，AC ＝(－1,1)，A B ·A C ＝(0,1)·(－1,1)＝1.预习交流3：提示：解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量合成与分解问题，以及与力做功相关问题．1．向量在平面几何中应用设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同四点，假设A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，那么称A 3，A 4调与分割A 1，A 2.平面上点C ，D 调与分割点A ，B ，那么下面说法正确是( )．A ．C 可能是线段AB 中点 B ．D 可能是线段AB 中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 延长线上在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD中点，AE 延长线与CD 交于点F ，假设AC →＝a ，BD →＝b ，那么AF →＝( )．A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b用向量证明平面几何问题方法，常见有两种思路．(1)向量线性运算法： (2)向量坐标运算法：2．向量在平面解析几何中应用点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 轨迹方程．思路分析：设出M 点坐标，利用AM →＝－32MQ →，可以将A 点坐标用M 点坐标表示出来，从而用PA→·AM →＝0确定所求轨迹．以向量为载体考察解析几何问题．点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上一点，假设RA →＝2AP→，求点P 轨迹方程．利用向量运算求轨迹要理解几何关系与向量表示内在联系，正确理解向量条件是解题根底．向量坐标表示，使向量成为解决解析几何问题有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点坐标表示，利用向量有关法那么、性质列出方程，从而使问题解决．3．向量在物理学中应用(1)一质点受到平面上三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)作用而处于平衡状态．F1，F2成60°角，且F1，F2大小分别为2与4，那么F3大小为( )．A．6 B．2 C．2 5 D．27(2)点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P 运动方向与v一样，且每秒移动距离为|v|个单位)．设开场时点P0坐标为(－10,10)，那么5秒后点P坐标为( )．A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)如图，无弹性细绳OA，OB一端分别固定在A，B处，同质量细绳OC下端系着一个秤盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC哪根绳受力最大？用向量解与物理相关题目思路首先应根据题目条件作出向量图，从图中观察合力与分力关系．在向量合成中，注意向量模并不是两向量模简单相加，只有在两向量方向一样时才可以相加．求合力大小，实际上是解三角形问题．注意：力、速度、加速度、位移都是向量；其中功W＝F·s即功是力F与所产生位移s数量积；动量m v是数乘向量等．答案：活动与探究1：D 解析：∵C，D调与分割点A，B，∴AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且1λ＋1μ＝2(*)，不妨设A (0,0)，B (1,0)，那么C (λ，0)，D (μ，0)，对A ，假设C 为AB 中点，那么AC ＝12AB ，即λ＝12，将其代入(*)式，得1μ＝0，这是无意义，故A 错误；对B ，假设D 为AB 中点，那么μ＝12，同理得1λ＝0，故B 错误；对C ，要使C ，D 同时在线段AB 上，那么0＜λ＜1且0＜μ＜1，∴1λ＞1，1μ＞1，∴1λ＋1μ＞2，这与1λ＋1μ＝2矛盾；故C 错误；显然D 正确．迁移与应用：B 解析：如图，∵E 是OD 中点，∴OE ==14b .又∵△ABE ∽△FDE ，在△AOE 中，11.24AE AO OE a b =+=+活动与探究2：解：设点M (x ，y )为轨迹上任一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)，那么AM ＝(x ，y －b )，MQ ＝(a －x ，－y )．∵AM ＝－32MQ ，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y2，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3，0. PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，－y 2，AM ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ，3y 2.∵PA ·AM ＝0，∴3x －34y 2＝0.即所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．迁移与应用：解：设P (x ，y )，R (x 1，y 1)， 那么RA ＝(1－x 1，－y 1)，AP ＝(x －1，y )． 由2RA AP =，得(1－x 1，－y 1)＝2(x －1，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x ＋3，y 1＝－2y .代入直线l 方程得y ＝2x .所以，点P 轨迹方程为y ＝2x .活动与探究3：(1)D (2)C 解析：(1)因为力F 是一个向量，由向量加法平行四边形法那么知F 3大小等于以F 1，F 2为邻边平行四边形对角线长，故|F 3|＝|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1||F 2|cos 120°＝4＋16＋8＝28，所以|F 3|＝27.(2)由题意知，0P P ＝5v ＝(20，－15)，设点P 坐标为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15，解得点P 坐标为(10，－5)．迁移与应用：解：设OA ，OB ，OC 三根绳子所受力分别是a ，b ，c ，那么a ＋b ＋c ＝0，a ，b 合力为c ′＝a ＋b ，|c ′|＝|c |，如图，在平行四边形OB ′C ′A ′中， 因为OB '⊥OC '，B C ''=OA '，所以|OA |＞|OB |，|OA |＞|OC |. 即|a|＞|b|，|a|＞|c|， 所以细绳OA 受力最大．1．假设向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，那么|F 1＋F 2|为( )．A ．(5,0)B ．(－5,0) C. 5D ．－52．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b .当a ·b ＜0时，△ABC 为( )．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，那么实数m 值是( )．A ．－1B ．1C ．2D ．－1或24．平面上不共线四点O ，A ，B ，C .假设OA→－3OB →＋2OC →＝0，那么|AB→||BC→|等于_______．5．两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从A (20,15)移到点B (7,0)．其中i ，j 是x 轴，y 轴正方向上单位向量．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做功； (2)F 1，F 2合力F 对该质点做功．答案：1．C 解析：|F 1＋F 2|＝|(1,1)＋(－3，－2)|＝|(－2，－1)|＝ 5.2．C 解析：∵a·b ＝|a|·|b|·cos A ＜0， ∴cos A ＜0，∴A 为钝角． ∴△ABC 为钝角三角形．3．D 解析：由于11－m ＝－m2，得m ＝－1或m ＝2.4．2 解析：∵OA －3OB ＋2OC ＝0，∴(OA OB -)－2(OB OC -)＝0. ∴BA ＝2CB .∴|BA |＝2|CB |.∴AB BC＝2.5．解：(1)AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， ∴W F 1＝F 1·AB ＝－13－15＝－28(J)，W F 2＝F 2·AB ＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)． (2)F ＝F 1＋F 2＝(5，－4)，∴W ＝F ·AB ＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5(J)．。

2.7.2 向量的应用举例整体设计教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.三维目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.思路2.(问题导入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.推进新课应用示例例 1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?图1活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中,F 为F 1、F 2的合力),就得到了问题的数学解释.在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 cos 2cos 2||||||||21211θθG F F G =⇒=. 通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v 1)=v-v 1. 令=-v 1,=-2v 1,实际风速为v . ∵DA +AB =DB , ∴=v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. ∵+AC =DC , ∴DC =v -2v 1,这就是当车的速度为40km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°. ∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202 km/h.答:实际的风速v 的大小是202km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|.①由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh.② 联立①②解得|v |=mmM gh 2. 又因为m 相对于M 很小, 所以|v|≈m Mgh 2, 即子弹的速度大小约为m M gh 2. 例3 一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地,然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°,并且A,C 两地相距2 000 km,求飞机从B 地到C 地的位移.图4解:如图4,设A 在东西基线和南北基线的交点处.依题意,的方向是北偏西60°,｜｜=1 000 km;的方向是南偏西60°,｜｜=2 000 km,所以∠BAC=60°.过点B 作东西基线的垂线,交AC 于D,则△ABD 为正三角形.所以BD=CD=1 000 km, ∠CBD=∠BCD=21∠BDA=30°. 所以∠ABC=90°, BC=ACsin60°=2 000×23=1 0003(km), ｜｜=1 0003 km.答:飞机从B 地到C 地的位移大小是1 0003km,方向是南偏西30°.例4 已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50 N,一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少?(g=10 m/s 2)图5解:如图5,设木块的位移为s,则F ·s =｜F ｜｜s ｜cos30°=50×20×23=5003(J). 将力F 分解,它在铅垂方向上的分力F 1的大小为 ｜F 1｜=｜F ｜sin30°=50×21=25(N), 所以,摩擦力f 的大小为｜f ｜=｜μ(G -F 1)｜=(80-25)×0.02=1.1(N).因此f ·s =｜f ｜｜s ｜cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).答:F 和f 所做的功分别是5003J 和-22 J.知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( ) A.215 km B.6 km C.84km D.8 km2.如图6,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =____________.图63.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解答:1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.41 (5,4)3.解:如图7所示,设表示水流速度,OB 表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.图7因为四边形OACB 为矩形,所以|OA |=||·cot30°=||·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |=233530cos || OA =10 km/h. 答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W =F ·s .作业1.课本习题2—7 A 组4,B 组2.2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.设计感想1.本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上.而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后利用向量知识解决这个向量问题.2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法,就足以说明这一点.3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一点.让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具有广泛的应用,体会向量这个工具的优越性.备课资料一、向量与重心问题假如有两个质点M 1,M 2,它们的质量分别是m 1,m 2,由物理学知识,这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即,1221m m MM M M =或m 1221MM m M = 现设点M 1、M 2、M,对应的向量分别是r 1、r 2、r ,则上式可以写成m 1(r -r 1)=m 2(r 2-r ).所以r =212211m m r m r m ++,点M 处的质量为m 1+m 2. 现求三个质点的重心问题.三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3,所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3,我们可设M 1,M 2的重心在点D 处,该处对应的向量为r D =212211m m r m r m ++,该点的质量为m 1+m 2,然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r,易得r =321332211m m m r m r m r m ++++. 二、备用习题1.作用于同一点的两个力F 1和F 2，|F 1|=5,|F 2|=3,夹角为60°，则F 1+F 2的大小为_________.2.一条渔船距对岸为4 km,现正以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,求河水的流速.3.在半径为15 cm 的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm,圆洞的半径是5 cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.如图13所示,重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角θ的大小.图13参考答案:1.72.如图14所示,设AB 表示船垂直于对岸的速度,则AB +=,图14 知就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2(h), 所以在Rt△ABC 中,||=2 km/h,||=8÷2=4 km/h,则|BC |=32km/h. 答:河水的流速为32km/h.3.如图15所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为O 1(0,0),O 2(8,0),圆O 2是挖去的圆,不妨设铁板的密度为ρ=1,则小圆的质量m 1=25π,挖去圆洞后,铁板的质量为m 2=(225-25)π=200π,设所求的重心为O 3.图15根据物理学知识,知O 3在直线O 1O 2上,即可设O 3(x 3,0),且满足2113O O O O λ=,其中λ=812002521==m m .由定比分点坐标公式,知0=8118813+⨯+x ,解得x 3=-1,即O 3(-1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.对小球的受力分析如图13所示,重力为G ,斜面弹力为N 2(垂直于斜面向上),木板弹力N 1(垂直于木板),其中N 1与N 2的合力的大小恒为|G ′|,方向向上,N 2的方向始终不变,随着木板的转动,N 1的方向始终垂直于木板,N 1的大小在变化,且满足θsin |'|sin ||1G a N =, 又|G ′|=|G |,∴|N 1|=θsin sin ||a G . ∴当sin θ取最大值1时,|N 1|min =|G |sin α,此时θ=2π.。