东北三省四市联合体高三三模数学(文)试题及答案

2020年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2020年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 若i z i -=+123，则=z A.1522i -- B. 1522i - C.i 2521+ D.1522i -+ 2. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，则集合{|1,}y y x x A =+∈= A.{1,2,3} B.{0,1,2} C.{0,1,2,3} D.{1,0,1,2,3}-3. 直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或17-4. 各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成等差数列，则1012810a a a a +=+ A.1 B.3 C.6 D.95. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r 相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4r A. 24310r r r r <<<<B. 42130r r r r <<<<C. 42310r r r r <<<<D. 24130r r r r <<<<6. 函数21()3cos log 22f x x x π=--的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.57. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内应填入的条件是 A.i <4 B.i >4C.i <5D.i >5 8. 函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图像只需将()f x 的图像A.向左平移6πB.向右平移3πC.向左平移23πD.向右平移23π 9. 若满足条件AB=3，C=3π的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是 A.()1,2 B.()2,3 C.()3,2 D.()2,210. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为 A.13 B.23 C.12 D.3411. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，O 是坐标原点，满足OM ON ⊥，则双曲线的离心率为 A.172+ B.152+ C.132+ D.122+12.四棱锥S ABCD-的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于443+，则球O的体积等于A.423π B.823π C.1623π D.3223π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 平面区域⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-1111y x y x 的周长为_______________.14. 某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的长度为6，在侧视图中的长度为5，则该长方体的全面积为________________.15. 等差数列{}n a 的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，则数列{}n S 为递增数列的充分必要条件是________________.16. 如果直线2140ax by -+=(0,0)a b >>和函数1()1x f x m +=+(0,1)m m >≠的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆6正视图侧视图俯视图5上，那么b a 的取值范围是_______________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分） 在△ABC 中，向量(2cos ,1)m B =u r ，向量(1sin ,1sin 2)n B B =--+r ，且满足m n m n +=-u r r u r r . ⑴求角B 的大小；⑵求sin sin A C +的取值范围.18. （本小题满分12分）2020年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：⑴求本周该银行所发放贷款的贷款．．年限．．的标准差；⑵求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率；⑶求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）. 19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面, 90ADC ∠=o ，AB CD ||，122AD CD DD AB ====. ⑴求证：11AD B C ⊥；⑵求四面体11A BDC 的体积.20. （本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左右焦点， ,M N 分别为其左右顶 A 1CD 1D A B B 1C 1点，过2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点. 当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 的面积等于2，且满足222MF AB F N =+u u u u r u u u r u u u u r .⑴求此椭圆的方程； ⑵当直线l 绕着焦点2F 旋转但不与x 轴重合时，求MA MB NA NB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. ⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵对于任意正实数x ，不等式1()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶求证:当3a >时，对于任意正实数x ，不等式()()x f a x f a e +<⋅恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于,B C两点，且100BMP∠=o，40BPC∠=o.⑴求证：MBP∆与MPC∆相似；⑵求MPB∠的大小.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为sin cossin2xyθθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：2sin()42tπρθ+=（其中t为常数）.⑴若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；⑵当2t=-时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知函数()|1||22|.f x x x=-++⑴解不等式()5f x>；⑵若关于x的方程1()4af x=-的解集为空集，求实数a的取值范围.2020年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2020年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.C3. B4.D5.A6.B7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. C 由已知i i i z 2521123+=-+=. 故选C. 2. C 将2,1,0,1,2--=x 逐一带入1+=x y ,得y=0,1,2,3，故选C. 3. B 圆的方程化为22(1)(1)2x y +++=，由直线与圆相切，可有2132=+-m m ,解得71m =-或. 故选B.4. D 由已知31232a a a =+于是232q q =+,由数列各项都是正数，解得3q =, 210128109a a q a a +==+. 故选D. 5. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<. 故选A6. B 在同一坐标系内画出函数3cos 2y x π=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C.8. A 由条件知函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，由此可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得x A x A x A x f 2cos )22sin(]6)6(2sin[)6(=+=++=+ππππ.故选A.9. C 若满足条件的三角形有两个，则应1sin sin 23<<=A C ，又因为2sin sin ==CAB A BC ，故A BC sin 2=，32BC <<. 故选C. 10. C 通过将基本事件进行列举，求得概率为21. 故选C.11. B 由题意可有：a b c 2=，由此求得251+=e . 故选B. 12. B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径R ，且四棱锥的高h R =，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2R 的正三角形，底面为边长为2R 的正方形，所以该四棱锥的表面积为2124(22sin 60)2R R R +⋅⋅⋅=o 2(223)443R +=+，于是2,22==R R ，进而球O 的体积3448222333V R πππ==⨯=. 故选B. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 42 14. 465+ 15.0d ≥且0d a +> 16. 34[,]43简答与提示：13. 画出图形，可得该区域图形为边长为2的正方形，故其周长为42.14. 由体对角线长10，正视图的对角线长6，侧视图的对角线长5，可得长方体的长宽高分别为5，2，1，因此其全面积为2(515212)465⨯+⨯+⨯=+.15. 由n n S S >+1，可得(1)(1)(1)22n n n n n a d na d +-++>+，整理得0>+a dn ，而*∈N n ，所以0d ≥且0>+a d . 因此数列{}n S 单调递增的充要条件是: 0d ≥且0d a +>.16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-.将点(1,2)-代入2140ax by -+=，可得7a b +=.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤.由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(3,4)A 和(4,3)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34[,]43.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识. 【试题解析】解：⑴由m n m n +=-u r r u r r ，可知0m n m n ⊥⇔⋅=u r r u r r .然而(2cos ,1),m B =u r (1sin ,1sin 2)n B B =--+r ，所以有2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-=u r r ，得1cos ,602B B ==o .(6分) ⑵)30sin(3cos 23sin 23)120sin(sin sin sin οο+=+=-+=+A A A A A C A .(9分) 又0120A <<o o ，则3030150A <+<o o o ，1sin(30)12A <+≤o ， 所以 3sin sin 23≤+<C A ,即sin sin A C +的取值范围是3(,3]2.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、平均值的求取以及概率的初步应用.【试题解析】解：⑴贷款年限依次为10，15，20，25，30，其平均值20x =. 222222(1020)(1520)(2020)(2520)(3020)505s -+-+-+-+-==， 所以标准差52s =. (4分) ⑵所求概率123101025980808016P P P P =++=++=. (8分) ⑶平均年限101010152025252015302280n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈(年). (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ，ο90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =I ，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D =I ，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而C B AD 11⊥. (6分)⑵设所给四棱柱的体积为V ，则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2V .而3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ，3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V . (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 面积: ,222212=⋅⋅ab a 得12=b . 又2222,,b MF a c AB F N a c a =+==-u u u u r u u u r u u u u r ，于是c a a b c a -+=+222，得 2=ac ，又221a c =+，解得2a =.因此该椭圆方程为1222=+y x . (4分) (2)设直线1:+=my x l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x my x 消去x 并整理得：012)2(22=-++my y m . 设),(),,(2211y x B y x A ，则有21,22221221+-=+-=+m y y m m y y . (6分) 由),2(11y x MA +=，),2(22y x MB +=，),2(11y x NA -=，),2(22y x NB -=，可得4)(22121++=⋅+⋅y y x x NB NA MB MA . (8分)1)()1()1)(1(2121221212121++++=+++=+y y m y y m y y my my y y x x 21222++-=m m ,所以2104)(222121+=++=⋅+⋅m y y x x NB NA MB MA . (10分) 由于m R ∈,可知MA MB NA NB ⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r的取值范围是(0,5]. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴令()l n 10fx x '=+=,得1x e=.当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增. (3分)⑵由于0x >，所以11()l n l n 22fxxxk x k x x=>-⇔<+. 构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x =.当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数在点12x =处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分)⑶()()()ln()ln x x f a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a x a a x a x a ae e+++⇔<.构造函数ln ()xx xg x e =，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分) 对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x x x xx e x x e x x xg x e e +-⋅+-'==. 令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.当1x >时，()(1)0h x h ''<=，从而函数()h x 在(1,)+∞上也是减函数. 从而当3x >时，()()ln 1ln 20h x h e e e e e <=+-=-<，即()0g x '<，即函数ln ()x x xg x e=在区间(3,)+∞上是减函数.当3a >时，对于任意的非零正数x ，3a x a +>>，进而有()()g a x g a +<恒成立，结论得证. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】解：⑴因为MA 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅ 又M 为PA 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP ∆与PMC ∆相似. （5分） ⑵由⑴中BMP ∆与PMC ∆相似，可得MPB MCP ∠=∠. 在MCP ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=o ，得180202BPC BMPMPB -∠-∠∠==o o . （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M 是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N 过点(2,1)时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(2,1)-之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以2121t -+<≤+满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t 的取值范围是：2121t -+<≤+或54t =-. （6分）(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x ，02x ≤，则823243)21(212002≥++=++=x x x d ， 当012x =-时取等号，满足02x ≤，所以所求的最小距离为823. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去； 当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.(5分)（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x -(()40)f x -≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞U .根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数a 的取值范围是1(,0]2-. (10分)。

东北三省三校2019届高三第三次模拟考试数学（文）试卷2019年哈师大附中高三第三次模拟考试文科数学答案一．选择题1-6 CACDCA 7-12 BBADCB二．填空题13. 80 14. 2 15. 03m <≤ 16. ①③⑤三．解答题17. 解：（Ⅰ）sin sin sin sin 2sin sin 1cos cos cos cos ⎛⎫⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭A B A B A B A B A B ------2分 ()sin sin 0,2cos cos sin sin 1⋅≠∴-=A B A B A B()1cos 2A B ∴+= ------4分 0,3ππ<+<∴+=A B A B ， 23π∴=C ------6分1cos cos cos 32π⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B A A A A A ------8分1sin cos sin 226π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A A A ------10分 0,,3666ππππ<<∴-<-<A A 11sin 262π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭Acos -A B 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭------12分 18.（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则,AC OB AC OD ⊥⊥，∴点,,O B D 共线，即AC BD ⊥ 又∵PA AC A =， ∴BD ⊥平面PAC ------3分 ∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ------5分（Ⅱ）解：取CD 中点N ，连接,MN BN ，则MN ∥PD∴BMN ∠或其补角是异面直线PD 与BM 所成的角 ------7分Rt PAD ∆中，2PA AD ==，∴PD =MN =Rt MOB ∆中，1=，∴BM =BDN ∆中，1,1,30BD DN BDN ==∠=，由余弦定理得2222cos302BN BD DN BD DN =+-⋅⋅= ------9分BMN ∆中，2222cos 24BM MN BN BMN BM MN +--∠===⋅⋅ ------11分所以直线PD 与BM所成角的余弦值为24． ------12分19.解：（I ）---------- 1分11(346357358360+362+362+364+372+373+376=36310x =⨯+++） 21(313321322324+330+332+334+343+350+361=33310x =⨯+++） 1236333330()x x N -=-= 故实验前后握力的平均值下降30 N ---------4分（Ⅱ）80,80t y ==，91()()1800i i i t t y y =--=-∑， 922222212222()=080(2080)(4080)(6080)(8080)(10080)(12080)(14080)(16080)24000ii t t =--+-+-+-+-+-+-+-+-=∑（）121()()1800==0.07524000()n i i i n i i t t y y b tt ==---=--∑∑ -------8分 =80(0.075)8086a y bt =---⨯=y 关于时间t 的线性回归方程为：0.07586y t =-+ --------10分（III ）九组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了 -------- 12分20.（I ）证明：设00(,)A x y ，（000,0x y >>），(0,1)F ∴直线AF 的斜率为001y x -，由已知直线BF 斜率存在，直线BF 的方程为0011x y x y =+- --------2分 令1y =-，002(1)y x x -=002(1)(,1)y B x -∴- --------3分 直线AB 的斜率为200020200001142(1)22(1)4x y x y x x x x x ++==---- ，由24x y =知，002x x x y ='=∴直线AB 与抛物线相切--------5分 (II)解：00(,)A x y ,11(,)M x y ,22(,)N x y直线AM 的斜率为220110101010444x x y y x x x x x x --+==--直线AN 的斜率为220220202020444x x y y x x x x x x --+==----------7分 AM AN ⊥1020144x x x x ++∴⋅=-1020()()16x x x x ∴++=---------8分 2120120()16x x x x x x ∴+++=-20411x yx y x y ⎧=⎪⎨=+⎪-⎩ 2004401x x x y ∴--=-，121204,41x x x x x y +==---------10分 200044161x x x y ∴-++=--200230y y ∴--=00y > ∴03y = 又00x > ∴存在A ，使得AM AN ⊥-------12分21.解：（I ）()x f 的定义域为()()∞+，11,0当0=k 时，()()21ln 1---='x x x x f -------1分 令()x x x g ln 1--=，()21xx x g -=' ()1,0∈x ，()0>'x g ，()x g 单调递增 -------2分 ()∞+∈，1x ，()0<'x g ，()x g 单调递减 -------3分 ()()011max <-==g x g()0<'∴x f∴()x f 的减区间为()()0,11，，，+∞无增区间 -------5分（II ）()0>x f ⇔01ln 1>--+x k x x ⇔()()11ln 1>-+<x x x x k -------6分 令()()1ln 1-+=x x x x h ，则()()21ln 2---='x x x x h -------8分 令()x x x ln 2--=ϕ，则()01>-='xx x ϕ∴()x ϕ在()∞+，1上单调递增， ()03ln 13<-=ϕ，()02ln 224>-=ϕ∴存在唯一()4,30∈x ，使得()00=x ϕ -------10分 即0ln 200=--x x ，00ln 11x x +=-列表如下：()()()()4,31ln 100000min ∈=-+==x x x x x h x h ∴整数k 的最大值为3. -------12分22.解：（I ）设=3πθ时对应的点为M ，2=3πθ时对应的点为N 线段AP 扫过的面积21=1236弓形弓形扇形OMN AMN OMN S S S S S ππ∆∆=++==⨯⨯= --------4分 （II ）设(cos ,sin )P θθ，(2,0)AP 为线段AQ 的中点，(2cos 2,2sin )Q θθ∴- ---------6分 Q 在曲线C 上，曲线C 的直角坐标方程为221x y +=∴22(2cos 2)(2sin )1θθ-+=8cos 7θ∴=，7cos 8θ= ---------8分7(,8P ---------10分 23.解：（I ）4123<-++x x①当1≥x 时，414<+x ，43<∴x舍； ②当132<<-x 时，432<+x ，21<∴x ，此时2132<<-x ； ③当23x ≤-时，414<--x ，，此时3245-≤<-x ， 综上，不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,45 ---------4分 （II ）4222))(11(11,1,0,0=⋅+≥++=++=+∴=+>>n m m n n m m n n m n m n m n m n m ∴当且仅当21==n m 时，4)11(min =+nm ，423≤+--∴x a x 恒成立， ---------6分 由已知0>a ① 当a x ≥时，423≤---x a x ，26a x -≤+恒成立，min (26)26a x a -≤+=+，0>a ，∴显然成立；② 当a x <<-32时，423≤---x x a ，64+≤∴x a 恒成立，10463x +> ∴103；a ≤ ③ 当23x ≤-时，423≤++-x x a ，x a 22-≤∴恒成立，310)22min =-≤∴x a （ 综上：1003a <≤，故a 的取值范围是10(0,]3---------10分 45->∴x。

2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）（内）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数为虚数单位的共轭复数为A. B. C. D.2.已知集合，，则A. 2，B. 2，4，6，C. 4，D. 2，4，3.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 64.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为A.B.C.D.5.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元6.已知为锐角，且，则等于A. B. C. D.7.已知中内角A、B、C所对应的边依次为a、b、c，若，则的面积为A. B. C. D.8.设为定义在R上的奇函数，当时，为常数，则不等式的解集为A. B. C. D.9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，则的取值范围为A. B. C. D.10.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E的一个对称中心的坐标别，则的最小值是A. B. C. D.11.已知焦点为F的抛物线C：的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为A. 或B. 或C. 或D.12.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为______．15.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为______．16.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，，，BD与AC相交于点E，与相交于点O．求证：平面；求点A到平面OBD的距离．18.2019年9月26日，携程网发布国庆假期旅游出行趋势预测报告，2018年国庆假日期间，西安共接待游客万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市．旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收入不低于单位：万元，则称该导游为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数2b20103求a，b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数．同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，精确到19.已知数列，满足，，，．求数列，的通项公式；分别求数列，的前n项和，．20.已知椭圆的右焦点为F，直线l：被称作为椭圆C的一条准线点P在椭圆C上异于椭圆左、右顶点，过点P作直线m：与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q．求证：．若点P在x轴的上方，，求面积的最小值．21.已知函数．求曲线在点处的切线方程；若函数在区间有两个零点，分别为，，求证：．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C与直线l其中的一个交点为A，且点A极径，极角．求曲线C的极坐标方程与点A的极坐标；已知直线m的直角坐标方程为，直线m与曲线C相交于点异于原点，求的面积．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：集合，．2，4，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，设，将直线l：进行平移，当l经过点A时，目标函数的截距取得最小值，此时z达到最大值．故选：B．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，z取得最大值1．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．4.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由一个半径为2的半球的和一个底面半径为2，高为4的圆柱组合而成．故：．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：由折线图可得，很明显AB均正确；又因为由图可知该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一为的省份有：江苏均第一，河南均第四，共2个，故C正确；经计算，故D不正确，故选：D．根据折线图和柱状图分析即可本题考查学生合情推理的能力，考查统计的相关知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：，为锐角，，．故选：C．由已知利用二倍角的正弦函数公式可求，进而利用二倍角的余弦函数公式可求的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.答案：A解析：解：由余弦定理知，，即，又，，，．故选：A．由余弦定理可得a，b的一个方程，与联立，于是解得a，b，然后利用即可得解．本题考查正弦面积公式和余弦定理的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：为定义在R上的奇函数，因为当时，，所以，故，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在R上单调递增，因为，所以，由不等式可得，，解可得，，故解集为故选：D．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．9.答案：C解析：解：不妨设点P在右支上，有，则，则的取值范围为故选：C．设出P的位置，利用双曲线的定义，结合不等式推出范围即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：C解析：解：曲线的一条对称轴方程为，，，，曲线C：把曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E：的图象，曲线E的一个对称中心的坐标别，，．则的最小值为，此时，，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求出的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：A解析：解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取到最大值时，必须取到最大值，此时AM与抛物线相切；易知此时直线AM的斜率不为0，设切线方程为：，则，整理可得，则，解得，所以切线方程为：，即或，故选：A．由抛物线的性质可得到焦点的距离转化为到准线的距离，由距离之比可得角的余弦值，由题意可得当直线MA由抛物线相切时取得最大值，设切线的方程，与抛物线联立由判别式等于0可得参数的值，进而求出切线方程．本题考查抛物线的性质，及切线的应用，属于中档题．12.答案：C解析：解：函数满足当时，，此时函数的周期为2，当时，；函数图象上关于原点对称的点恰好有3对，先作出函数在的图象，画出关于原点对称的图象，则函数的图象与所作函数的图象有3个交点，所以，解得．故选：C．利用函数的周期性，作出函数的图象，利用零点的个数转化列出不等式组求解即可．本题考查函数的零点的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：，或．解析：解：设，，，则．又，，即．解得，，或，，则，或，故答案为：，或．设，由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出x，y的值，可得．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.答案：解析：解：三人领卡的情况有种，各自领自己卡的情况只有一种，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为．故答案为：．三人随意抽卡有种，各领自己的只有一种，相比即可．本题考查排列数公式的应用，古典概型的概率计算，属于基础题．15.答案：解析：解：如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为、，底面边长与高分别为x、h，则；在中，，即，由，所以，当且仅当时取等号；此时正三棱柱的侧面积取得最大值，且为．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出正三棱柱的侧面积以及它的最大值．本题考查了正三棱柱的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，，令，则，故在单调递增，单调递减，，故a的范围故答案为：由已知进行分离a，然后结合不等式的特点进行构造函数，结合导数可求．本题主要考查了由不等式求解参数范围问题，分离法的应用是求解问题的关键．17.答案：证明：四边形ABCD是菱形，，直棱柱，平面ABCD，平面ABCD，，又，平面，平面，平面D.解：是正方形的中心，且，到平面ABD的距离为1，，，，，，是的中点，，设A到平面OBD的距离为h，则，，解得．故点A到平面OBD的距离为．解析：由菱形性质得，根据直棱柱的性质可得，故而平面；根据列方程计算点A到平面OBD的距离．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18.答案：解：由直方图知，解得，由频数分布表知，可得，所以甲公司的导游优秀率为，乙公司的导游优秀率为，由于，所以乙公司的影响度高．甲一年内导游旅游总收入的中位数为：，乙一年内导游旅游总收入的平均数为：．解析：根据频率之和为1，解得a，由频数之和为40，可得b，进而算出甲公司的导游优秀率，乙公司的导游优秀率，再得出结论．根据频率分布直方图计算中位数，平均数的方法可得出答案．本题考查频率分布直方图，中位数，平均数的求法，属于中档题19.答案：解：由题意有，又，，可得：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，故，，，；，，，．解析：先由题设条件得到：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，再求出它们的通项公式，然后求，；根据中求出的，，分别利用分组求和的办法求出前n项和即可．本题主要考查等差、等比数列的定义、通项公式及分组求和在数列求和中的应用，属于基础题．20.答案：解：证明：点，联立方程，消去y，可得，有，可得，，，可得P的坐标为，当时，可得Q的坐标为；，，有，故有，若点P在x轴上方，必有，由可得，，，因为时，由可得，，由函数单调递增，可得此时，故当时，的面积的最小值为1．解析：求得F的坐标，联立直线方程和椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，求得P的坐标，Q的坐标，求得，，由数量积为0，即可得证；若点P在x轴的上方，必有，求得，，运用三角形的面积公式，以及函数的单调性，可得三角形的面积的最小值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用相切的条件：判别式为0，考查函数的单调性的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：解：，，，曲线在点处的切线方程即，证明：不妨设，则，由题意可得，，则，两边取对数，由，若证只要证明，即证，令，，，故在上单调递增，，故时，，即函数在区间有两个零点，分别为，，．解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；由题意可得，，进行变形可得，两边取对数，及，结合要证的不等式进行构造函数，结合导数及函数单调性关系可证明．本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数证明不等式，合理的转化是求解问题的关键．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，，转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为．将代入得：．所以点A的极坐标为直线m的直角坐标方程为，则直线m的倾斜角为．得到点所以．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角形的面积的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：解：．，或或，或或，，不等式的解集为．，函数的图象恒在直线的上方，，，实数m的取值范围为．解析：先将写为分段函数的形式，然后利用零点分段法解即可；由绝对值三角不等式可知，然后根据函数的图象恒在直线的上方，得到，再求出m的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

东北三省四市教研联合体2015 届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，A={1，4}，B={2，4}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{2} C．{4} D．{2，3，4}2．（5分）若复数是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．﹣2 B．﹣C．D．23．（5分）执行下面的程序框图，那么输出的S等于（）A．42 B．56 C．72 D．904．（5分）在区间[﹣3，5]上随机取一个实数a，则使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）设a=log3，b=ln2，c=5，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．（5分）已知{a n}为等差数列且公差d≠0，其首项a1=20，且a3，a7，a9成等比数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．1107．（5分）某抛物线的通径与圆x2+y2﹣4x+2y﹣11=0的半径相等，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．88．（5分）棱长均为4的三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．6πC．16πD．24π9．（5分）函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，ϖ＞0）的一个最高点坐标为（2，2），相邻的对称轴与对称中心之间的距离为2，则f=（）A．1 B．C．﹣1 D．10．（5分）偶函数f（x）=log a|x+b|在（﹣∞，0）上单调递减，则f（a+1）与f（2﹣b）的大小关系是（）A．f（a+1）＞f（2﹣b）B．f（a+1）=f（2﹣b）C．f（a+1）＜f（2﹣b）D．不能确定11．（5分）F为双曲线=1的右焦点，点P在双曲线右支上，△POF（O为坐标原点）是面积为的等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．+112．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4x，x∈（1，2）时，f（x）=，令g（x）=2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]，则函数g（x）的零点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）边长为2的正方形ABCD，对角线的交点为E，则=．14．（5分）如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的体积为．15．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足若z的最小值为﹣3，则z的最大值为．16．（5分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N，P分别为AB1，BC1，DD1的中点，给出下列结论：①异面直线AB1，BC1所成的角为②MN∥平面ABCD③四面体A﹣A1B1N的体积为④MN⊥BP则正确结论的序号为．三.解答题17．（12分）已知f（x）=sin2x+2cos2x，△ABC的三边a，b，c对应的角分别为A，B，C，其中f（A）=2．（1）求角A的大小；（2）当a=2时，求△ABC面积的最大值．18．（12分）某地区有小学18所，中学12所，大学6所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率；（2）若某小学被抽取，该小学五个年级近视眼率y的数据如下表：年级号x 1 2 3 4 5近视眼率y 0.1 0.15 0.2 0.3 0.39根据前四个年级的数据，利用最小二乘法求y关于x的线性回归直线方程，并计算五年级近视眼率的估计值与实际值之间的差的绝对值．（附：回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣）19．（12分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=a．（1）求证：PD⊥BC；（2）当a的值为多少时满足PC⊥平面PAD？并求出此时该四棱锥P﹣ABCD的体积．20．（12分）已知椭圆=1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是短轴的一个顶点，△PF1F2是顶角为π且面积为的等腰三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A（﹣a，0）斜率为k的直线交椭圆于点B．直线BO（O为坐标原点）交椭圆于另一点C．若，求△ABC的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣．（1）当a=1时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）当x＞1时，f（x）＞0，求实数a的取值范围；（3）证明：ln（n+1）（n∈N*）．二.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC 的延长线于点F．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．23．直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点M（2，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率．24．已知a＞1，b＞1，c＞1，且ab=10．（1）求lga•lgb的最大值；（2）求证：log a c+log b c≥4lgc．东北三省四市教研联合体2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，A={1，4}，B={2，4}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{2} C．{4} D．{2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案．解答：解：由U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，∴∁U A={2，3}，又B={2，4}，∴（∁U A）∩B={2，3}∩{2，4}={2}．故选B．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的会考题型．2．（5分）若复数是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．﹣2 B．﹣C．D．2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式，利用复数是纯虚数求解m即可．解答：解：复数==，复数为纯虚数，可得2+b=0，解得b=﹣2．故选：A．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5分）执行下面的程序框图，那么输出的S等于（）A．42 B．56 C．72 D．90考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K的值，当K=9时不满足条件K≤8，退出循环，输出S的值为72．解答：解：模拟执行程序框图，可得K=1，S=0满足条件K≤8，S=2，K=2满足条件K≤8，S=6，K=3满足条件K≤8，S=12，K=4满足条件K≤8，S=20，K=5满足条件K≤8，S=30，K=6满足条件K≤8，S=42，K=7满足条件K≤8，S=56，K=8满足条件K≤8，S=72，K=9不满足条件K≤8，退出循环，输出S的值为72．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，K的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）在区间[﹣3，5]上随机取一个实数a，则使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题属于几何概型，只要求出区间长度以及满足条件的区间长度，由几何概型公式解答．解答：解：由已知区间[﹣3，5]长度为8，使函数f（x）=x2+2ax+4无零点，即判别式△=4a2﹣16＜0，解得﹣2＜a＜2，即（﹣2，2），区间长度为4，由几何概型的公式得使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是；故选：B．点评：本题考查了几何概型的运用；关键是明确几何测度，利用公式解答5．（5分）设a=log3，b=ln2，c=5，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：比较和的关系即可得到答案．解答：解：a=log3=，b=ln2＞ln=，c=5=＜，所以b＞a＞c，故选：B．点评：本题考查了数的大小比较，属于基础题．6．（5分）已知{a n}为等差数列且公差d≠0，其首项a1=20，且a3，a7，a9成等比数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质建立条件关系，求出等差数列的公差，即可得到结论．解答：解：由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9=（a7）2，即（a1+2d）（a1+8d）=（a1+6d）2，化简可得2a1d+20d2=0，由a1=20，d≠0，解得d=﹣2．则S10=10a1+×（﹣2）=110，故选D．点评：本题主要考查等差数列的性质和等差数列的求和，根据等比数列的性质求出等差数列的公差是解决本题的关键．7．（5分）某抛物线的通径与圆x2+y2﹣4x+2y﹣11=0的半径相等，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定圆的半径，可得抛物线的通径，即可求出抛物线的焦点到其准线的距离．解答：解：圆x2+y2﹣4x+2y﹣11=0可化为（x﹣2）2+（y+1）2=16，半径为4，所以抛物线的通径为4，即2p=4，所以p=2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为2，故选：A．点评：本题考查抛物线的焦点到其准线的距离，考查圆的方程，求出圆的半径是关键．8．（5分）棱长均为4的三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．6πC．16πD．24π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．解答：解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同．∵正四面体的棱长为4，∴正方体的棱长是2，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴2R=，∴R=，球的表面积为4π（）2=24π．故选：D．点评：巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V﹣ABC的棱长为a，求外接球的半径，可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．9．（5分）函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，ϖ＞0）的一个最高点坐标为（2，2），相邻的对称轴与对称中心之间的距离为2，则f=（）A．1 B．C．﹣1 D．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：依题意得A=2，T=8，ω=，又图象的一个最高点为（2，2），由2×+φ=2kπ+（k∈Z），可求得：φ=2kπ（k∈Z），于是可得其解析式即可得解．解答：解：依题意得A=2，T=8，ω=，又图象的一个最高点为（2，2），∴2sin（2×+φ）=2，+φ=2kπ+（k∈Z），解得：φ=2kπ（k∈Z），∴f（x）=2sin，∴f=2sin=2sin（）=﹣2sin=﹣．故选：D．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性与闭区间上的最值，考查运算求解能力，属于中档题．10．（5分）偶函数f（x）=log a|x+b|在（﹣∞，0）上单调递减，则f（a+1）与f（2﹣b）的大小关系是（）A．f（a+1）＞f（2﹣b）B．f（a+1）=f（2﹣b）C．f（a+1）＜f（2﹣b）D．不能确定考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用函数的奇偶性的性质、函数的单调性的性质，判断函数的奇偶性和单调性．解答：解：根据函数f（x）=log a|x+b|为偶函数，可得f（﹣x）=fx），即log a|﹣x+b|=log a|x+b|，b=0，故f（x）=log a|x|．再根据f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上单调递减，可得a＞1，∴（a+1）＞2﹣b=2．由偶函数的性质可得f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递增，∴f（a+1）＞f（2﹣b），故选：A．点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题．11．（5分）F为双曲线=1的右焦点，点P在双曲线右支上，△POF（O为坐标原点）是面积为的等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．+1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的性质、正三角形的性质和面积公式和离心率的公式即可得出．解答：解：由△POF是面积为的等边三角形，即=c2，解得c=2．又线段OF的中点M的横坐标为c=1，即为点P的横坐标，即有P（1，±），代入双曲线的方程得﹣=1，又a2+b2=4，解得a=，由c＞a，可得a=，则e==．故选：D．点评：熟练掌握双曲线的性质、正三角形的性质和面积公式是解题的关键．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4x，x∈（1，2）时，f（x）=，令g（x）=2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]，则函数g（x）的零点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由x∈[0，1]时，f（x）=4x，可得f（1）=4，x∈（1，2）时，f（x）==，而由函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，画出函数图象，结合函数的图象可求解答：解：∵x∈[0，1]时，f（x）=4x，∴f（1）=4∴x∈（1，2）时，f（x）==，∵g（x）=2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]，令g（x）=2f（x）﹣x﹣4=0，即f（x）=x+2∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2的图象，∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个．故选：C点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）边长为2的正方形ABCD，对角线的交点为E，则=4．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得AE=AC=，+=2，从而求得=2•的值．解答：解：边长为2的正方形ABCD，对角线的交点为E，可得AE=AC=．又+=2，∴=2•=2•=4，故答案为：4．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于基础题．14．（5分）如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的体积为48﹣3π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱，利用底面边长高半径，结合体积公式求解即可．解答：解：空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱，∵底面边长为4，高为3的长方体，圆柱的底面半径为1，∴这个几何体的体积为4×4×3﹣π×12×3=48﹣3π故答案为：48﹣3π点评：本题考查了空间组合体的三视图，直观图的性质，解决空间几何的空间想象能力，求解体积的计算能力，属于中档题．15．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足若z的最小值为﹣3，则z的最大值为6．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得到k的值，再把取得最小值的最优解代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由，可得A（﹣2m，m），由可得B（m，m），z=x+y，其中实数x，y满足若z的最小值为﹣3，﹣2m+m=﹣3，解得m=3，由图可知，使目标函数取得最大值的最优解为B（m，m），则z=m+m=2m=6，则z的最大值为6．故答案为：6．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N，P分别为AB1，BC1，DD1的中点，给出下列结论：①异面直线AB1，BC1所成的角为②MN∥平面ABCD③四面体A﹣A1B1N的体积为④MN⊥BP则正确结论的序号为①②④．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑；立体几何．分析：根据正方体的性质，以及异面直线所成的角，得到异面直线AB1，BC1所成的角即为AD1与AB1所成的角，即可判断①，根据线面平行的判断定理即可判断②，根据正方体的体积为1，=，即可求出四面体A﹣A 1B1N的体积，根据线面垂直得到线线垂直，即可判断④．解答：解：如图所示对于①连接AD1，B1D1，则BC1∥AD1，则异面直线AB1，BC1所成的角即为AD1与AB1所成的角，因为AD1=B1D1=AB1，所以异面直线AB1，BC1所成的角为，故①正确；对于②连接B1C，则交BC1与N，所以MN是三角形B1AC的中位线，所以MN∥AC，所以MN∥平面ABCD，故②正确；对于③，连接A1D，AN，A1N，因为确；=，所以四面体A﹣A1B1N的体积为×1=；故③错误；对于④，连接BO，因为AC⊥平面BB1D1D，所以MN⊥平面BB1D1D，又因为BP⊂平面BB1D1D，所以MN⊥BP故④正确．故答案为：①②④点评：本题给出正方体模型，判断关于异面直线所成角的几个命题的真假性，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．三.解答题17．（12分）已知f（x）=sin2x+2cos2x，△ABC的三边a，b，c对应的角分别为A，B，C，其中f（A）=2．（1）求角A的大小；（2）当a=2时，求△ABC面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）先对f（A）利用辅助角公式进行化简，结合已知可得2sin（2A+）=1，结合A的范围可求（2）由余弦定理可得，cosA=，然后利用基本不等式可求bc的范围，进而可求△ABC面积的最大值解答：解：（1）∵f（x）=sin2x+2cos2x，∴f（A）=sin2A+2cos2A==2…（1分），∴2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=…（3分），又∵0＜A＜π，∴…（4分），∴，…（5分），∴A=…（6分），（2）∵cosA=，∴b2+c2=bc+4…（8分），又b2+c2=bc+4≥2bc（当且仅当b=c=2时取等号）…（9分），∴△ABC面积=…（10分），所以△ABC面积的最大值为…（12分）．点评：本题主要考查了三角函数的求值，解题的关键是对三角公式的灵活应用．18．（12分）某地区有小学18所，中学12所，大学6所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率；（2）若某小学被抽取，该小学五个年级近视眼率y的数据如下表：年级号x 1 2 3 4 5近视眼率y 0.1 0.15 0.2 0.3 0.39根据前四个年级的数据，利用最小二乘法求y关于x的线性回归直线方程，并计算五年级近视眼率的估计值与实际值之间的差的绝对值．（附：回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣）考点：线性回归方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）3所小学、2所中学、1所大学，分别为a1，a2，a3，b1，b2，c1，列出6所学校抽取2所所有基本事件，事件A为抽取的2所学校均为小学的事件，求解概率．（2）根据所给的数据求出这组数据的横标和纵标的平均数，即这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，求出a，b的值，写出线性回归方程，代入x的值，求出近视眼率的估计值．解答：解：（1）18：12：6=3：2：1，故抽取的6所学校中有3所小学、2所中学、1所大学，分别为a1，a2，a3，b1，b2，c1，…（1分）6所学校抽取2所所有基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c1），（a3，b1），（a3，b2），（a3， c1），（b1，b2），（b1，c1），（b2，c1）共15种，…（2分）设事件A为抽取的2所学校均为小学，则A事件有：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）共3种，…（4分）故P（A）==．答：抽取的2所学校均为小学的概率为：．…（5分）（2）=2.5，=0.1875，，…（8分）∴=0.065，=0.025…（10分）∴=0.065x+0.025，x=5时，=0.35，|0.35﹣0.39|=0.04．…（12分）点评：本题考查古典概型概率的求法，线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．19．（12分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=a．（1）求证：PD⊥BC；（2）当a的值为多少时满足PC⊥平面PAD？并求出此时该四棱锥P﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用平面与平面垂直的性质，可得BC⊥平面PDC，即可证明PD⊥BC；（2）取CD的中点为O，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，由题意可得PC⊥PD，a=，PO=1，即可求出四棱锥P﹣ABCD的体积．解答：（1）证明：∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，∵PD⊂平面PDC，∴PD⊥BC…（5分）（2）解：取CD的中点为O，连接PO∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=DC，且PO⊂平面PCD，PO⊥CD∴PO⊥平面ABCD…（8分）由题意可得PC⊥PD，a=，PO=1，…（10分）此时该四棱锥的体积为V=×22×1=…（12分）点评：本题考查线面垂直，面面垂直，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直的性质是关键．20．（12分）已知椭圆=1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是短轴的一个顶点，△PF1F2是顶角为π且面积为的等腰三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A（﹣a，0）斜率为k的直线交椭圆于点B．直线BO（O为坐标原点）交椭圆于另一点C．若，求△ABC的面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得a=2b，c=b，运用三角形的面积公式，计算可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线AB的方程为x+2=my（m=），代入椭圆方程，求得B的坐标，由题意可得C的坐标，求出△ABC的面积，运用对勾函数的单调性，即可得到最大值．解答：解：（1）由题意可得a=2b，c=b，△PF1F2的面积S=•2b•b=，得b=1，c=，a=2，所以椭圆的标准方程为+y2=1；（2）设直线AB的方程为x+2=my（m=）代入椭圆方程得（m2+4）y2﹣4my=0，可得B（，），C（﹣，﹣）△ABC的面积S=•2•=，令f（m）=m+，f′（m）=1﹣（1≤m≤2），f′（m）≤0，f（m）=m+在[1，2]上单调递减，所以当m=2时，△ABC的面积的最大值为2．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式和对勾函数的单调性的运用，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣．（1）当a=1时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）当x＞1时，f（x）＞0，求实数a的取值范围；（3）证明：ln（n+1）（n∈N*）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，求出切线的斜率、切点的坐标，即可求f（x）在x=2处的切线方程；（2）求导数，利用判别式，结合函数的单调性，即可求实数a的取值范围；（2）确定当a=时，令x=，则ln＞，累加可得结论．解答：（1）解：当a=1时，f（x）=lnx﹣，f′（x）=﹣…（1分）∴f（2）=ln2﹣，f′（2）=…（3分）∴f（x）在x=2处的切线方程为y=x+ln2﹣．…（4分）（2）解：f′（x）=，…（5分）依题知f（1）=0，故f′（1）≥0，∴a≥．…（6分）令g（x）=ax2+（2a﹣2）x+a，△=﹣8a+4（a≥），…（7分）故g（x）≥0，a≥，则f′（x）≥0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，…（8分）又f（1）=0，∴a≥．…（9分）（3）证明：当a=时，令x=，则ln＞，…（10分）累加不等式，∴ln（n+1）（n∈N*）．…（12分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确运用导数的关键．二.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC 的延长线于点F．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．考点：相似三角形的判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）证明三角形中两对对应角相等，即可证明结论；（2）利用切割线定理，结合三角形相似的性质，即可求△ABC的外接圆的半径．解答：（1）证明：∵AE是直径，∴…（1分）又∵∠AEB=∠ACD…（2分）∴△ABE∽△ADC…（4分）（2）解：∵过点A作圆的切线交BC的延长线于点F，∴AF2=FC•FB∴FA=2，…（5分）∴AD=2…（7分）∴AC=2…（8分）∴AB=6，…（9分）由（1）得∴AE=6∴△ABC的外接圆的半径为3．…（10分）点评：本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点M（2，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）变形曲线C的参数方程可得，由同角三角函数基本关系消参数可得；（2）设直线l的倾斜角为θ，可得直线l的参数方程为，代入曲线C的直角坐标方程可得t的二次方程，由韦达定理和t1=﹣2t2可得斜率k的方程，解方程可得．解答：解：（1）变形曲线C的参数方程可得，∵cos2θ+sin2θ=1，∴曲线C的直角坐标方程为+=1；（2）设直线l的倾斜角为θ，可得直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程并整理得（cos2θ+4sin2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8=0由韦达定理可得t1+t2=，t1t2=由题意可知t1=﹣2t2，代入上式得12sin2θ+16sinθcosθ+3cos2θ=0，即12k2+16k+3=0，解方程可得直线的斜率为k=点评：本题考查参数方程和普通方程的关系，涉及三角函数的韦达定理，属中档题．24．已知a＞1，b＞1，c＞1，且ab=10．（1）求lga•lgb的最大值；（2）求证：log a c+log b c≥4lgc．考点：不等式的证明；基本不等式．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用对数的运算法则和基本不等式，即可得到最大值；（2）运用分析法证明，结合对数的换底公式和基本不等式，即可得证．解答：（1）解：由题意可知lgab=lg10=1，lga＞0，lgb＞0，即lga+lgb=1≥2，当且仅当lga=lgb=即a=b=时取等号，即有lga•lgb 的最大值为；（2）证明：要证：log a c+log b c≥4lgc，即证：+≥4lgc，由于a＞1，b＞1，c＞1则lga，lgb，lgc都大于0，即证：lga+lgb≥4lga•lgb，已知ab=10则lga+lgb=1，即证：1≥4lga•lgb，由（1）知成立，所以原不等式成立．点评：本题考查基本不等式的运用：求最值和证明不等式，同时考查对数的运算性质，分析法证明不等式的方法，属于中档题．- 21 -。

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212x N x −≤=∈R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。

哈师大附中2024年高三第三次模拟考试数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合A 满足：{}{}1,2,3,41,2A = ，{}{}3,4,51,2,3,4,5A = ，则A 的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 命题“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭”的否定是（ ） A. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+ ⎪⎝⎭… B. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+> ⎪⎝⎭C. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+> ⎪⎝⎭D. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+ ⎪⎝⎭… 3. 3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ） A. 240B. 720C. 432D. 2164. 已知1F 是椭圆22:12x C y +=左焦点，直线1x =与C 交于A B 、两点，则1F AB 周长为（ ）A.B.C.D.5. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且a BC =边上中线AD 长为1，则bc 最大值为（ ） A.74B.72C.D.的6. 已知函数()()()31sin 15f x x x =-+-+，则不等式()()21110f x f x ++-≥的解集为（ ）A. [)0,∞+B. [)1,+∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞7. 已知122log a a =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面正确的是（ ） A. a b >B. 14a <C. b >D. 12a b -<8. 复数i(,R,i z a b a b =+∈是虚数单位)在复平面内对应点为Z ，设,r OZ θ=是以x 轴的非负半轴为始边，以OZ 所在的射线为终边的角，则()i cos isin z a b r θθ=+=+，把()cos isin r θθ+叫做复数i a b +的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，()()()*[cos isin ]cos isin N n n r r n n n θθθθ+=+∈，例如：3312π2πcos isin cos2πisin2π1233⎛⎫⎛⎫-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()44ππ(1i)cos isin 4cos πisin π444⎫⎫+=+=+=-⎪⎪⎭⎭，复数z 满足：31i z =+，则z 可能取值为（ ）A.ππcos isin 1212⎫+⎪⎭B. 3π3πcos isin 44⎫+⎪⎭C.5π5πcos isin 44⎫+⎪⎭D.17π17πcos isin 1212⎫+⎪⎭二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确是（ ）A. 数据的频率分布直方图的纵坐标为频率B. 已知样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，则数据12,,,,n x x x x 与原数据的极差､平均数都相同C. 若A B ､两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的线性相关性强的D. 已知y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.30.7yx =-，则样本点()2,3-的残差为-1.9 10. 正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别为面对角线1AD 与BD 上点，1,MN AD MN BD ⊥⊥，则下面结论正确的是（ ） A. MN //平面11DCC DB. 直线MN 与直线1CC 所成角C. 1⊥MN ABD. 直线MN ⊥平面1BDC11. 已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+>≤，则下列结论正确的是（ ） A. 若2,3ωϕ==π，则()f x 在ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增 B. 若()f x 为奇函数，则0ϕ=C. 若1π,23x ω==-是()f x 的极值点，则π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. 若π3x =和πx =都是()f x 的零点，()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的取值集合为3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在等比数列{}n a 中，3112,8a a ==，则7a =__________. 13. 点(),M x y 为圆2210160x y x +-+=上的动点，则yx的取值范围为__________. 14. 正三棱柱111ABC A B C -E 为棱1AA 上一点，若二面角E BC A --为30 ，则平面BCE 截内切球所得截面面积为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数()1ln 1x f x x x -=-+ （1）求()f x 在()()1,1f 处的切线；的的（2）比较2023ln2024与14047-的大小并说明理由. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32nn n S a =-. （1）求证：数列{}2nn a -是等比数列；（2）设()13212n n n n b a λλ-⎛⎫=+⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，若{}n b 是递增数列，求实数λ的范围.17. 甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为23，若乙开球，则本局甲赢的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望. 18. 如图：四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 为等腰梯形，//,1,3,2,2AB DC DC AB AD BC BE EA =====.（1）求证：1//D E 平面11DB C ；（2）若11ADD A 为菱形，160A AD ∠=，平面11ADD A ⊥平面ABCD .①求平面11DB C 和平面1DCC 夹角的余弦； ②求点1A 到平面11DB C 的距离.19. 如图抛物线2:C y x =，过()2,1M 有两条直线121,,l l l 与抛物线交于2,,A B l 与抛物线交于,D E ，（1）若1l 斜率1，求AB ；（2）是否存在抛物线C 上定点N ，使得0NA NB ⋅=，若存在，求出N 点坐标并证明，若不存在，请说明理由； （3）直线12y x =与直线,AD BE 相交于,P Q 两点，证明：M 为PQ 中点.参考答案一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合A 满足：{}{}1,2,3,41,2A = ，{}{}3,4,51,2,3,4,5A = ，则A 的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据交集、并集的结果分析集合A 的元素，即可判断.【详解】因为{}{}1,2,3,41,2A ⋂=，所以1A ∈，2A ∈，3A ∉，4A ∉， 又{}{}3,4,51,2,3,4,5A ⋃=，所以5可能属于集合A ，也可能不属于集合A ， 所以集合{}1,2A =或{}1,2,5A =， 所以符合题意的集合A 有2个. 故选：B2. 命题“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭”否定是（ ）为的A. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+ ⎪⎝⎭… B. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+> ⎪⎝⎭C. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+> ⎪⎝⎭D. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+ ⎪⎝⎭… 【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定是存在命题，将原命题改写量词否定结论即可. 【详解】命题“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭” 的否定是“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+≤ ⎪⎝⎭”. 故选：A3. 3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ） A. 240 B. 720 C. 432 D. 216【答案】C 【解析】【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算. 【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女， 先排左右两端，有112332C C A 18=种排法， 再排中间4个位置，有44A 24=种排法， 所以不同的排法种数为1824432⨯=种. 故选：C.4. 已知1F 是椭圆22:12x C y +=的左焦点，直线1x =与C 交于A B 、两点，则1F AB 周长为（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题意可得1F AB 经过椭圆右焦点，结合椭圆定义计算即可得.1=，故1F AB 经过椭圆右焦点，故1F AB 的周长为144F AB C a ===故选：D.5. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且a BC =边上中线AD 长为1，则bc 最大值为（ ） A.74B.72C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出2272b c +=，然后利用基本不等式求出最值即可 【详解】由题意得πADB ADC ∠+∠=， 所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，又a =D 是BC的中点，所以DB DC ==在ABD △中，222cos 2AD BD c ADB AD BD +-∠==⋅ 在ADC △中，222cos 2AD CD b ADC AD CD +-∠==⋅所以cos cos 0ADC ADB ∠+∠==，即2272b c +=，得2277224bc b c bc ≤+=⇒≤，当且仅当b c == 故选：A6. 已知函数()()()31sin 15f x x x =-+-+，则不等式()()21110f x f x ++-≥的解集为（ ）A. [)0,∞+B. [)1,+∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞【答案】A 【解析】【分析】由题意可得()()1101f x f x +=--，可将()()21110f x f x ++-≥转化为()()211f x f x +≥+，结合导数可得()f x 在(),-∞+∞上单调递增，即可得211x x +≥+.【详解】由题可得()315sin f x x x +-=+，所以()()()3315sin sin f x x x x x -+-=-+-=--，即有()()15150f x f x +-+-+-=，即()()1101f x f x +=--， 故不等式()()21110f x f x ++-≥等价于()()211f x f x +≥+， 又()()()231cos 1f x x x '=-+-， 当ππ1,122x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()cos 10x -≥，故()0f x '≥， 当ππ,11,22x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时， ()22π31231x ⎛⎫≥⎝-⨯> ⎪⎭，()[]cos 11,1x -∈-，故()0f x '≥，即()0f x '≥恒成立，故()f x 在(),-∞+∞上单调递增， 故由()()211f x f x +≥+可得211x x +≥+，即0x ≥. 故选：A.7. 已知122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面正确的是（ ）A. a b >B. 14a <C. b >D. 12a b -<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()22log xf x x =+，()21log 2xg x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合零点的存在性定理可得11,42a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12b ⎛∈ ⎝，即可逐项判断.【详解】令()1222log 2log x xf x x x =-=+，由122log a a =，故()0f a =， 由2x y =与2log y x =在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上单调递增，又11442112log 22044f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，122112log 1022f ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，故11,42a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 错误；令()12211log log 22xxg x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象及2log y x =-的图象可得()g x 在()0,∞+上只有一个零点，由121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()0g b =，又1211111log 022222g ⎛⎛⎛⎫=+=->-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11022211111log 11022222g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-<-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故12b ⎛∈ ⎝，故C 错误；有a b <，故A错误；1311442a b --<-=<=，故D 正确. 故选：D.8. 复数i(,R,i z a b a b =+∈是虚数单位)在复平面内对应点为Z ，设,r OZ θ=是以x 轴的非负半轴为始边，以OZ 所在的射线为终边的角，则()i cos isin z a b r θθ=+=+，把()cos isin r θθ+叫做复数i a b +的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，()()()*[cos isin ]cos isin N n n r r n n n θθθθ+=+∈，例如：3312π2πcos isin cos2πisin2π1233⎛⎫⎛⎫-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()44ππ(1i)cos isin4cosπisinπ444⎫⎫+=+=+=-⎪⎪⎭⎭，复数z满足：31iz=+，则z可能取值为（）A.ππcos isin1212⎫+⎪⎭B.3π3πcos isin44⎫+⎪⎭C.5π5πcos isin44⎫+⎪⎭D.17π17πcos isin1212⎫+⎪⎭【答案】D【解析】【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得cos isin,Z2ππ2ππ312312k kz k⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎤+∈⎥⎦，即可得解.详解】设()cos s i inz rθθ=+，则()33ππ1cos is cos3isii4n3n4z rθθ⎫=++=+⎪⎭，所以r=π32π,Z4k kθ=+∈，即2ππ,Z312kkθ=+∈，所以cos isin,Z2ππ2ππ312312k kz k⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故2k=时，17π12θ=，故z17π17πcos isin1212⎫+⎪⎭，故选：D【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（）A. 数据的频率分布直方图的纵坐标为频率B. 已知样本数据12,,,nx x x的平均数为x，则数据12,,,,nx x x x与原数据的极差､平均数都相同【C. 若A B ､两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的线性相关性强D. 已知y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.30.7yx =-，则样本点()2,3-的残差为-1.9 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图的制图规则判断A ；分别求出两组数据的平均数和极差可判断B ；比较相关系数绝对值大小判断C ；根据回归直线可求得估计值，再计算实际观测值与估计值的差可判断D 【详解】频率分布直方图纵坐标为频率与组距的比值，故A 错； 由题意得1212nn x x x x x x x nx n+++=⇒+++= ，数据12,,,,n x x x x 的平均数为1211n x x x x nx xx x n n +++++===++ ，所以数据12,,,,n x x x x 与原数据的平均数相等， 设数据12,,,n x x x 的最大数为a ，最小值为b ，若12n x x x === ，则a b =，所以数据12,,,n x x x 的极差为a b -，且b x a ≤≤， 所以数据12,,,,n x x x x 的极差也为a b -， 数据12,,,,n x x x x 与原数据的极差相等，故B 对，因为0.970.99<-，所以A 组数据比B 组数据的线性相关性弱，故C 错； 当2x =时， 0.30.72 1.1y =-⨯=-，样本点()2,3-的残差为()3 1.1 1.9---=-，故D 对； 故选：BD10. 正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别为面对角线1AD 与BD 上的点，1,MN AD MN BD ⊥⊥，则下面结论正确的是（ ） A. MN //平面11DCC DB. 直线MN 与直线1CCC. 1⊥MN AB的D. 直线MN ⊥平面1BDC 【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A ，求出平面11DCC D 的一个法向量，判定0MN DA ⋅≠即可；对于B ，直接求出直线MN 与直线1CC 所成角的余弦值进而解出正切值即可；对于C ，直接证明出10MN AB ⋅=即可，对于D ，直接用向量证明出1,MN BD MN DC ⊥⊥，1BD DC D ⋂=，即可证明直线MN ⊥平面1BDC .【详解】如图：因为1111ABCD A B C D -为正方体，以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 设棱长为1.则()()()()10,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0D A D B ，()()11,0,1,1,1,0AD DB =-=，设1AM t AD =，则()1,0,M t t -， 设DN r DB =，则(),,0N r r ，()1,,MN r t r t =+--，10MN AD MN DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1010t r t r t r ---=⎧⎨+-+=⎩， 解得：1313t r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2111,0,,,,03333M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111,,333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对于A ，平面11DCC D 的一个法向量为()1,0,0DA =，由0MN DA ⋅≠，所以MN 不平行平面11DCC D ，所以选项A 错误；对于B ，由()10,0,1CC =，设直线MN 与直线1CC 所成角为θ，则11cos MN CC MN CC θ⋅==⋅，则si n θ=，t an θ=，所以选项B 正确；对于C ，()10,1,1AB = ，由10MN AB ⋅=，所以1⊥MN AB ，所以选项C 正确；对于D ，因为()1,1,0BD =-- ，()10,1,1DC = ，所以100MN BD MN DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ， 1,MN BD MN DC ⊥⊥，1BD DC D ⋂=，所以直线MN ⊥平面1BDC ，所以选项D 正确. 故选：BCD.11. 已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+>≤，则下列结论正确的是（ ） A. 若2,3ωϕ==π，则()f x 在ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增B. 若()f x 为奇函数，则0ϕ=C. 若1π,23x ω==-是()f x 的极值点，则π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. 若π3x =和πx =都是()f x 的零点，()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的取值集合为3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】BCD 【解析】【分析】用整体思想结合正弦函数的单调性判断A ；由奇函数(0)0f =即可判断B ；根据已知条件计算出,ωϕ即可判断C ；由已知求出ω范围，即可判断D ．【详解】对于A ，π()sin(23f x x =+，当ππ,26x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π2π2,033x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，因为π2ππ2,332x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭时()f x 单调递减，ππ2,032x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，故A 错误； 对于B ，若()f x 为奇函数，则(0)sin 0f ϕ==，则π,k k ϕ=∈Z ，又π2ϕ≤，所以0ϕ=，故B 正确；对于C ，当12ω=时，1()sin()2f x x ϕ=+，则11()cos()22f x x ϕ'=+， 又π3x =-是()f x 的极值点，所以π1π()cos()0326f ϕ'-=-+=，即πππ,62k k ϕ-+=+∈Z ，又π2ϕ≤，则π3ϕ=-，经检验π3x =-为1π()sin()23f x x =-的极值点，故πππ(sin()1363f -=--=-，故C 正确；对于D ，由π3x =和πx =都是()f x 的零点得，1212ππ,ππ,,3k k k k ωϕωϕ+=+=∈Z ，两式相减得()2133,22k k k k ω=-=∈Z ，由()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性且π3x =和πx =都是()f x 的零点得，2πππ4423π2ππ3220T T ωωω⎧=≥-⎪⎪⎪-≥=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得332ω≤≤，所以ω的取值集合为3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故D 正确； 故选：BCD .【点睛】关键点睛：对于D 选项中求ω的范围，一是根据π3x =和πx =是()f x 的零点得出ππ32T -≥，二是结合在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭具有单调性，即区间左端点为零点，得出ππ423T ≥-.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在等比数列{}n a 中，3112,8a a ==，则7a =__________. 【答案】4【解析】【分析】利用等比数列的性质求解.【详解】等比数列{}n a 中，3112,8a a ==，由等比数列性质，23570a a a =>，则70a >， 又2311716a a a ==，所以74a =.故答案为：413. 点(),M x y 为圆2210160x y x +-+=上的动点，则yx的取值范围为__________. 【答案】33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】法一：设yk x=，代入方程得到22210160x k x x +-+=，从而题目实际上就是求k 的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解.【详解】法一：我们要求k 的取值范围使得存在,x y 满足2210160x y x +-+=，yk x=， 由于满足前一个方程的x 必不为零，故这等价于2210160x y x +-+=，y kx =. 而这又可以等价转化为22210160x k x x +-+=，y kx =，故我们就是要求k 的取值范围，使得关于x 的方程22210160x k x x +-+=有解. 该方程中2x 的系数显然非零，所以命题等价于()2Δ1006410k=-+≥，解得3344k -≤≤. 法二：由于圆2210160x y x +-+=和y 轴无公共点，故命题等价于求实数k 的取值范围， 使得y kx =直线和圆2210160x y x +-+=有公共点.该圆的方程可化为()2259x y -+=，故命题等价于点()5,0到直线y kx =的距离不超过3，即3≤.解得3344k -≤≤. 的故答案为：33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.14. 正三棱柱111ABC A B C -E 为棱1AA 上一点，若二面角E BC A --为30 ，则平面BCE 截内切球所得截面面积为__________.【解析】【分析】由内切球的半径得正三棱柱的高和底面边长，求球心到平面BCE 的距离，勾股定理求截面圆的半径，可得截面面积.【详解】正三棱柱111ABC A B C -，则棱柱的高1AA =正三角形ABC 211322ABC S AB AB ==⨯ 得6AB =，1,D D 分别为11,BC B C 的中点，则AD =，AD BC ⊥，ED BC ⊥， 二面角E BC A --为30 ，则30EDA ∠= ，ABC 内切圆的圆心1O 为AD 上靠近D 点的三等分点，111A B C △内切圆的圆心2O 为11A D 上靠近1D 点的三等分点，O 为正三棱柱111ABC A B C -内切球球心，则O 为12O O 的中点，则1DO =，1OO =，111DD CC AA ==，111////DD CC AA ，由对称性可知，球心O 到平面EBC 的距离等于O 到直线ED 的距离，平面11D DAA 中，以D 为原点，DA 为x 轴，1DD 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，有O，30EDA ∠= ，DE 所在直线方程为y x =，即0x -=，则O 点到直线DE 的距离d O 到平面EBC平面BCE 截内切球所得截面圆的半径为r ，则222r =-=所以截面圆的面积2πS r ==.. 【点睛】方法点睛：正三棱柱的内切球中，如果内切球的半径为r ，那么正三棱柱的高为2r ，底面正三角形的边长为，截面圆的半径由球的半径和球心到截面距离利用勾股定理计算.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数()1ln 1x f x x x -=-+ （1）求()f x 在()()1,1f 处的切线； （2）比较2023ln2024与14047-的大小并说明理由. 【答案】（1）1122y x =- （2）20231ln 20244047<-，理由见解析 【解析】【分析】（1）求得()221,0(1)x f x x x x +'=>+，得到()112f '=，且()10f =，结合导数的几何意义，即可求解；（2）求得()0f x ¢>，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，结合()10f =，得到1ln 1x x x -<+即可得到20231ln20244047<-. 【小问1详解】解：因为函数()1ln 1x f x x x -=-+，可得()221,0(1)x f x x x x +'=>+， 可得()112f '=，且()10f =， 所以()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()1012y x -=-，即1122y x =-. 【小问2详解】解：由0x >，可得()2210(1)x f x x x +'=>+，所以()f x 在()0,∞+上单调递增， 又由()10f =，所以(0,1)x ∈时，()0f x <，即1ln 1x x x -<+在(0,1)x ∈上恒成立， 所以20231202312024ln 20232024404712024-<=-+，即20231ln 20244047<-. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32nn n S a =-.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列；（2）设()13212n nn n b a λλ-⎛⎫=+⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，若{}n b 是递增数列，求实数λ的范围.【答案】（1）证明见解析（2）23λ>- 【解析】【分析】（1）利用11n n n a S S ++=-及已知条件得到递推式，然后证明()113222n n n n a a ++-=-并验证首项非零即可；（2）求出n a ，并将命题转化为()()31423nnλλ+⋅>+⋅恒成立，然后取1n =即得到23λ>-，再证明23λ>-时不等式恒成立.【小问1详解】由32nn n S a =-知11132a S a ==-，得11a =.由已知有()()111113232332n n n n n n n nn n a S S a aa a +++++=-=---=--，故11322n n n a a -+=+，得()11111333222322222n n n n n n n n n a a a a +-+-+-=+-=-⋅=-.而1121210a -=-=-≠，故数列{}2n n a -是首项为1-，公比为32的等比数列.【小问2详解】根据（1）的结论有1322n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1322n n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.那么就有()()()11332112222n n nnn n b a λλλλ--⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅=+⋅-+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.命题等价于1n n b b +>恒成立，即()()()()1133********nn n n λλλλ-+⎛⎫⎛⎫+⋅-+⋅>+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.此即()()()()3232122122232nnnn λλλλ⎛⎫⎛⎫+⋅-+⋅>+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得到()()31423n n λλ+⋅>+⋅.从而要求λ的取值范围使得()()31423nnλλ+⋅>+⋅恒成立.一方面，对该不等式取1n =可得到()()31423λλ+⋅>+⋅，即23λ>-； 另一方面，若23λ>-，则10λ+>，442λλ+>+， 故我们恒有()()44313144233nλλλλ⎛⎫+⋅≥+⋅=+>+ ⎪⎝⎭，即()()31423n n λλ+⋅>+⋅.所以λ的取值范围是23λ>-. 17. 甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为23，若乙开球，则本局甲赢的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望. 【答案】（1）59（2）分布列见解析，()7427E x = 【解析】【分析】（1）设第i 局甲胜为事件i A ，则第3局甲开球为事件1212A A A A +，结合条件概率公式计算即可. （2）由X 的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望. 【小问1详解】设第i 局甲胜为事件i A ，则第i 局乙胜为事件i A ，其中1,2,3,i = 则“第3局甲开球”为事件2A ，()()()()()()()212121211212211533339P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⋅+⋅=. 【小问2详解】 依题意1,2,3,4X =，()()1231224133327P X P A A A ===⋅⋅=，()()()()1231231232121111217233333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， ()()()()1231231232212111128333333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()()1232228433327P X P A A A ===⋅⋅=，X ∴的分布列为 X1234P 427 727 827 827则()47887412342727272827E x =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 如图：四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 为等腰梯形，//,1,3,2,2AB DC DC AB AD BC BE EA =====.（1）求证：1//D E 平面11DB C ；（2）若11ADD A 为菱形，160A AD ∠= ，平面11ADD A ⊥平面ABCD .①求平面11DB C 和平面1DCC 夹角的余弦；②求点1A 到平面11DB C 的距离.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）借助平行四边形的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）建立适当的空间直角坐标系，借助空间向量可计算夹角，借助点到平面的距离公式计算距离.【小问1详解】在棱AB 上取点F ，使2AF FB =，连接1,DF FB ，由已知,//FB DC FB DC =， ∴四边形BCDF 为平行四边形，//DF BC ∴，又1111//,//BC B C DF B C ∴ ，即11,,,D F B C 四点共面，连接1FC ，由已知1111//,,//,EF DC EF DC DC D C DC D C == ，1111/,/D C E F F D C E =∴，∴四边形11EFC D 为平行四边形，11//D E FC ∴，1D E ⊄ 平面111,DFB C FC ⊂平面11DFB C ，1//D E ∴平面11DFB C ，即1//D E 平面11DB C ；【小问2详解】在菱形11ADD A 中，160A AD ∠=，取11A D 中点G ，连接DG ，则DG AD ⊥，又平面11ADD A ⊥平面ABCD ，平面11ADD A ⋂平面ABCD AD =， DG ⊂平面11ADD A ，DG ∴⊥平面ABCD ，在等腰梯形ABCD中，,DE DC DE ⊥=，,,DE DC DG 两两互相垂直，以D 为原点,,DE DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()))()(0,0,0,1,0,2,0,0,1,0,D A B C G -，①)()1111113,,0,1,02DC DG GD D C C B DC =++=== ， 设(),,n x y z =为平面11DB C 的一个法向量，则1113020n DC x y n C B y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，取1x =，则有()1,2n = ， 设()111,,m x y z = 为平面1DCC 的一个法向量，则111113020m DC x y m DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取12x =，则有()2,0,1m = ， 设平面11DB C 与平面1DCC 夹角为θ，则cos cos ,m n m n m n θ⋅===⋅ ， ∴平面11DB C 与平面1DCC②1112DA DG GA =+=- ， ∴点1A 到平面11DB C.19. 如图抛物线2:C y x =，过()2,1M 有两条直线121,,l l l 与抛物线交于2,,A B l 与抛物线交于,D E ，（1）若1l 斜率为1，求AB ；（2）是否存在抛物线C 上定点N ，使得0NA NB ⋅= ，若存在，求出N 点坐标并证明，若不存在，请说明理由；（3）直线12y x =与直线,AD BE 相交于,P Q 两点，证明：M 为PQ 中点. 【答案】（1（2）存在，()1,1N -，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到直线AB 方程为1y x =-，联立方程组，结合弦长公式，即可求解； （2）设直线AB 的方程为(1)2=-+x m y ，联立方程组得到1212,2y y m y y m +==-，结合0NA NB ⋅= ，列出方程，求得1t =，即可求解；（3）设2222(,),(,),(,),(,)A a a B b b E c c D d d ，结合,AB ED 的方程求得21a b a -=-，21d c d -=-， 再由:()AD l a d y x ad +=+，联立方程组，求得,P Q x x ，得到2P Q M x x x +=，即可得证 【小问1详解】.解：由题意，直线AB 方程为12y x -=-，即1y x =-，联立方程组21y x y x=-⎧⎨=⎩，可得210y y --=，可得50∆=>且12121,1y y y y +==-，所以AB ===.【小问2详解】 解：设直线AB 的方程为(1)2=-+x m y ，联立方程组2(1)2x m y y x=-+⎧⎨=⎩，整理得220y my m -+-=， 设21122(,),(,),(,)N t t A x y B x y ，则1212,2y y m y y m +==-，可得22222212121212()()()()()()()()0NA NB x t x t y t y t y t y t y t y t ⋅=-⋅-+--=-⋅-+--= ，即112212()()()()()()0y t y t y t y t y t y t -+⋅-++--=，即1212()()[()()1]0y t y t y t y t --+++=，因为12y y t ≠≠，所以12()()10y t y t +++=，即21212()10y y t y y t ++++=，即2210m tm t -+++=，即2(1)(1)0t m t ++-=恒成立，解得1t =-，即()1,1N -.【小问3详解】解：设2222(,),(,),(,),(,)A a a B b b E c c D d d ，则:()AB l a b y x ab +=+过(2,1)M ，所以2a b ab +=+，所以21a b a -=-， :()ED l c d y x cd +=+过(2,1)M ，所以2c d cd +=+，所以21d c d -=-， :()AD l a d y x ad +=+，联立方程组()12a d y x ad y x +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，可得22P ad x a d =+-，同理22Q bc x b c =+-，所以222()()2221122222211P Q a d ad bc ad a d x x a d a d b c a d a d ----+=+=+--+-+-+-+--- 2244844842222M ad ad a d a d x a d a d a d --++-+===+---+-， 所以,P Q 的中点为M .【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.。

2009年哈尔滨三中、东北育才、大连育明、天津耀华四校第三次高考模拟联考数学试题（文科）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚； 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．集合Φ=⋂==-+==B A m x y x B x y y x A 若},|),{(},1)1lg(|),{(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1<mB ．1≤mC ．1-<mD ．1-≤m 2．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．一动圆过点l l x y A 则直线相切且恒与定直线上圆心在抛物线,,21),21,0(2=的方程为（ ）A ．21=x B ．161=x C ．21-=y D ．161-=y4．正项等比数列1511383,6lg lg lg ,}{a a a a a a n 则中=++的值为 （ ）A ．100B ．10000C ．1000D ．105．某铁路货运站对6列运煤列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（ ）A ．162种B ．108种C ．216种D ．432种6．已知函数)1(),()(1+===-x f y x fy x f y 又函数的反函数为的反函数的图象过定点（2，5），则函数)(1x f y -=的图象过定点（ ）A ．（3，5）B ．（2，6）C ．（1，5）D ．（2，4）7．已知项数为奇数的等差数列}{n a 中，所有奇数项的和与所有偶数项的和的比为2021，则数列}{n a 的项数为 （ ）A ．39B ．43C ．45D ．418．函数a ax x x f a 则实数上恒为正值在区间,),1()4(log )(2+∞+-=的取值范围是（ ）A ．(]2,1B ．)2,1()1,0(⋃C ．)32,1(D ．（1，4）9．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在四面体ABCD 的外接球上，BD 两点间的球面距离为 （ ）A ．2πB ．3π C ．πD ．6π 10．若实数)0(,0630402,>+=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤--a y ax z y x y x y x y x 若目标函数满足仅在点（2，0）处取最小值，则实数a 的范围是（ ）A ．（1，3）B ．（+∞,3）C ．（0，3）D ．（0，1）11．定义在R 上的函数x x f 对任意的实数成中心对称的图象关于点,)0,43()(-都有)2009()3()2()1()0(,2)0(,1)1(,0)23()(f f f f f f f x f x f +++++-==-=++ 则且的值为 （ ）A ．2B ．—2C ．4D ．012．已知F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率为e ，且e PF e PF 则|,|||21=的值为（ ）A ．33B ．32-C ．22 D ．22-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上。

2019年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2019年长春市高中毕业班第三次调研测试数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 若i zi-=+123，则=z A.1522i -- B. 1522i - C.i 2521+ D.1522i -+2. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，则集合{|1,}y y x x A =+∈=A.{1,2,3}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}-3. 直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或17-4. 各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成等差数列，则1012810a aa a +=+A.1B.3C.6D.95. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4rA. 24310r r r r <<<<B. 42130r r r r <<<<C. 42310r r r r <<<<D. 24130r r r r <<<<6. 函数21()3coslog 22f x x x π=--的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.57. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内应填入的条件是 A.i <4 B.i >4 C.i <5 D.i >58. 函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图像只需将()f x 的图像A.向左平移6πB.向右平移3π C.向左平移23πD.向右平移23π9. 若满足条件AB=3，C=3π的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是A.()1,2B.()2,3C.()3,2D.()2,2 10. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为A.13B.23C.12D.3411. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，O 是坐标原点，满足OM ON ⊥，则双曲线的离心率为A.172+ B.152+ C.132+ D.122+12. 四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于443+，则球O 的体积等于 A.423π B.823π C.1623π D.3223π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 平面区域⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-1111y x y x 的周长为_______________.14. 某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的长度为6，在侧视图中的长度为5，则该长方体的全面积为________________.15. 等差数列{}n a 的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，则数列{}n S 为递增数列的充分必要条件是________________.16. 如果直线2140ax by -+=(0,0)a b >>和函数1()1x f x m+=+(0,1)m m >≠的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是_______________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，向量(2cos ,1)m B =，向量(1sin ,1sin 2)n B B =--+，且满足m n m n +=-.⑴求角B 的大小；⑵求sin sin A C +的取值范围. 18. （本小题满分12分）2012年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示： ⑴求本周该银行所发放贷款的贷款．．年限．．的标准差； ⑵求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率； ⑶求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）.19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面,90ADC ∠=，AB CD||，122AD CD DD AB ====.⑴求证：11AD B C ⊥； ⑵求四面体11A BDC 的体积.A 1CD 1DA BB 1C 16正视图侧视图俯视图520. （本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点， ,M N 分别为其左右顶点，过2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点. 当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN的面积等于2，且满足222MF AB F N =+.⑴求此椭圆的方程；⑵当直线l 绕着焦点2F 旋转但不与x 轴重合时，求MA MB NA NB ⋅+⋅的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵对于任意正实数x ，不等式1()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶求证:当3a >时，对于任意正实数x ，不等式()()xf a x f a e +<⋅恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于,B C 两点，且100BMP ∠=，40BPC ∠=.⑴求证：MBP ∆ 与MPC ∆相似； ⑵求MPB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：2sin()42t πρθ+=（其中t 为常数）.⑴若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； ⑵当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离.24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数()|1||22|.f x x x =-++ ⑴解不等式()5f x >；⑵若关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，求实数a 的取值范围.2019年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2019年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.C3. B4.D5.A6.B7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. C由已知i i i z 2521123+=-+=. 故选C. 2. C 将2,1,0,1,2--=x 逐一带入1+=x y ,得y=0,1,2,3，故选C.3. B圆的方程化为22(1)(1)2x y +++=，由直线与圆相切，可有2132=+-m m ,解得71m =-或. 故选B. 4. D由已知31232a a a =+于是232q q =+,由数列各项都是正数，解得3q =,210128109a a q a a +==+. 故选D.5. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<. 故选A6. B在同一坐标系内画出函数3cos2y x π=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C. 8. A由条件知函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，由此可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得x A x A x A x f 2cos )22sin(]6)6(2sin[)6(=+=++=+ππππ.故选A. 9. C若满足条件的三角形有两个，则应1sin sin 23<<=A C ，又因为2sin sin ==CABA BC ，故A BC sin 2=，32BC <<. 故选C. 10. C 通过将基本事件进行列举，求得概率为21. 故选C.11. B 由题意可有：a b c 2=，由此求得251+=e . 故选B . 12. B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径R ，且四棱锥的高h R =，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2R 的正三角形，底面为边长为2R 的正方形，所以该四棱锥的表面积为2124(22sin 60)2R R R +⋅⋅⋅= 2(223)443R +=+，于是2,22==R R ，进而球O 的体积3448222333V R πππ==⨯=. 故选B .二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 4214. 465+15.0d ≥且0d a +>16. 34[,]43简答与提示：13. 画出图形，可得该区域图形为边长为2的正方形，故其周长为42.14. 由体对角线长10，正视图的对角线长6，侧视图的对角线长5，可得长方体的长宽高分别为5，2，1，因此其全面积为2(515212)465⨯+⨯+⨯=+.15. 由n n S S >+1，可得(1)(1)(1)22n n n n n a d na d +-++>+，整理得0>+a dn ，而*∈N n ，所以0d ≥且0>+a d . 因此数列{}n S 单调递增的充要条件是: 0d ≥且0d a +>.16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-.将点(1,2)-代入2140ax by -+=，可得7a b +=.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤.由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(3,4)A 和(4,3)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34[,]43.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识.【试题解析】解：⑴由m n m n +=-，可知0m n m n ⊥⇔⋅=. 然而(2cos ,1),m B =(1sin ,1sin 2)n B B =--+，所以有2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-=，得1c o s ,602B B ==.(6分)⑵)30sin(3cos 23sin 23)120sin(sin sin sin +=+=-+=+A A A A A C A .(9分)又0120A <<，则3030150A <+<，1sin(30)12A <+≤， 所以 3sin sin 23≤+<C A ,即sin sin A C +的取值范围是3(,3]2.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、平均值的求取以及概率的初步应用.【试题解析】解：⑴贷款年限依次为10，15，20，25，30，其平均值20x =.222222(1020)(1520)(2020)(2520)(3020)505s -+-+-+-+-==，所以标准差52s =. (4分)⑵所求概率123101025980808016P P P P =++=++=. (8分) ⑶平均年限101010152025252015302280n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈(年).(12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ， 90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D =，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而C B AD 11⊥. (6分) ⑵设所给四棱柱的体积为V ，则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2V .而3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ，3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V . (12分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 面积: ,222212=⋅⋅ab a 得12=b . 又2222,,b MF a c AB F N a c a =+==-，于是c a ab c a -+=+222，得2=ac ，又221a c =+，解得2a =.因此该椭圆方程为1222=+y x . (4分) (2)设直线1:+=my x l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x my x 消去x 并整理得：012)2(22=-++my y m . 设),(),,(2211y x B y x A ，则有21,22221221+-=+-=+m y y m m y y . (6分) 由),2(11y x MA +=，),2(22y x MB +=，),2(11y x NA -=，),2(22y x NB -=，可得4)(22121++=⋅+⋅y y x x NB NA MB MA . (8分) 1)()1()1)(1(2121221212121++++=+++=+y y m y y m y y my my y y x x 21222++-=m m ,所以2104)(222121+=++=⋅+⋅m y y x x NB NA MB MA . (10分) 由于m R ∈,可知MA MB NA NB ⋅+⋅的取值范围是(0,5]. (12分) 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴令()l n 10fx x '=+=,得1x e=. 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增.(3分)⑵由于0x >，所以11()l n l n 22fxxxk x k x x=>-⇔<+. 构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x =. 当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数()k x 在点12x =处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分) ⑶()()()ln()ln x xf a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a x a a x a x a ae e+++⇔<.构造函数ln ()xx xg x e =，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分) 对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x x x xx e x x e x x xg x e e +-⋅+-'==. 令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.当1x >时，()(1)0h x h ''<=，从而函数()h x 在(1,)+∞上也是减函数. 从而当3x >时，()()ln 1ln 20h x h e e e e e <=+-=-<，即()0g x '<，即函数ln ()xx xg x e=在区间(3,)+∞上是减函数. 当3a >时，对于任意的非零正数x ，3a x a +>>，进而有()()g a x g a +<恒成立，结论得证. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】解：⑴因为MA 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅ 又M 为PA 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP ∆与PMC ∆相似. （5分） ⑵由⑴中BMP ∆与PMC ∆相似，可得MPB MCP ∠=∠. 在MCP ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=， 得180202BPC BMPMPB -∠-∠∠==. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N 过点(2,1)时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(2,1)-之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以2121t -+<≤+满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t 的取值范围是：2121t -+<≤+或54t =-. （6分）(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x ，02x ≤，则823243)21(212002≥++=++=x x x d ， 当012x =-时取等号，满足02x ≤，所以所求的最小距离为823. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去；当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.(5分) （2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x -(()40)f x -≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞.根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数a 的取值范围是1(,0]2-. (10分)。

2020届东北三省四市教研联合体高考模拟数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}2,3,5,7A =，{}1,2,4,6B =，则()U A B =I ð（ ）A ．{}2,5,7B ．{}3,5,7C ．{}3D ．{}5,7【答案】B【解析】先由已知得到{3,5,7}U C B =，再与A 求交集即可. 【详解】由已知，{3,5,7}U C B =，故(){3,5,7}U A C B =I . 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知2(1)=1i i z+-，则复数z =( )A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】D【解析】根据复数的四则运算，即可求得复数z . 【详解】因为2(1)=1i i z+-，故可得()()()()2121211111i i i iz i i i i i ++====-+---+. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.3．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若150S =，则8a =( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】根据15815S a =，即可容易求得. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列， 故可得15815S a =，又150S =， 故可得80a =. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，属基础题. 4．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解分式不等式，根据充分性和必要性即可容易求得. 【详解】因为11x<，即可求得()(),01,x ∈-∞⋃+∞， 故0x <是11x<的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及分式不等式的求解.5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．337115【答案】C【解析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=，故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C. 【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6．哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A ，B ，C .为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500g k 生活垃圾，数据统计如图.则估计生活垃圾投放错误的概率为( )A ．2350B ．14C ．950D ．310【答案】D【解析】先计算投放正确的概率，再求出投放错误的概率即可. 【详解】根据题意，投放正确的概率为20012030?750010++=，故投放错误的概率为7311010-=. 故选：D. 【点睛】本题考查简单随机事件的概率求解，属基础题. 7．已知曲线3211()532f x x x =+-在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则2cos 2sin 2cos ααα=+( )A．12B．35-C．2 D．85【答案】B【解析】根据导数的几何意义，求得tanα，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可.【详解】因为3211()532f x x x=+-，故可得()2f x x x'=+，则切线的斜率()12tan fα'==；又因为2cos2sin2cosααα=+2222cos sin1tan1432cos21415sin cos tanααααααα---===-+++.故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及已知正切值求齐次式的值，属综合基础题.8．已知函数232,0()log,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩，若函数|()|y f x m=-的零点恰有4个，则实数m 的取值范围是( )A．33,102⎛⎤⎥⎝⎦B．(]0,2C．20,3⎛⎤⎥⎝⎦D．31,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】画出函数()y f x=的图像，数形结合即可容易求得.【详解】因为232,0()log,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩，故可得()y f x=的图像如下：若函数|()|y f x m=-的零点恰有4个，即()y f x =与y m =有4个交点， 故(]0,2m ∈. 故选：B. 【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的范围，涉及对数函数的图像，属综合中档题. 9．设等比数列{}n a 满足()211047220a a a a +=+，则56a a 的最大值为( )A ．5B ．4C ．10D ．5【答案】C【解析】根据等比数列的下标和性质，即可容易求得2211020a a +=，再根据均值不等式即可容易求得. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，又()211047220a a a a +=+，故可得22110110472220a a a a a a ++=+， 即2211020a a +=，又56a a 110a a =，又22110110102a a a a +≤=，当且仅当11010a a ==时，取得最大值.. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题. 10．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O .剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为( )A ．86πB ．24πC ．6πD ．48π【答案】A【解析】根据题意，还原出几何体，结合几何体的特点，即可容易求得. 【详解】根据题意，为方便说明问题，将几何体从正方体中截取出来如下所示：容易知三棱锥A ODC -和棱长为22. 则外接球的半径3226r ==， 故其外接球体积34863V r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何体的还原以及外接球的求解，本题中从正方体中截取几何体是解决问题的关键.11．已知双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）5抛物线2C ：22y px =（0p >）的准线经过1C 的左焦点.若抛物线2C 的焦点到1C 的渐近线的距离为2，则2C 的标准方程为( ) A ．22y x = B ．24y x =C ．220y x =D ．25y x =【答案】D【解析】根据题意，双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，结合离心率和焦点到渐近线的距离即可容易求得. 【详解】根据题意可知双曲线的右焦点和抛物线焦点相同， 又因为抛物线2C 的焦点到1C 的渐近线的距离为2，故可得2b =（根据点(),0c 到直线by x a=的距离公式，即可容易求得）又因为ca=解得c =2p=则抛物线的方程为2y =. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求解，涉及抛物线的渐近线，属综合基础题.12．已知函数211()1||xf x ex +=-+，则使(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是( )A ．1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)-+∞C ．1(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据()f x 是偶函数，且当0x >时是单调增函数，利用函数的性质即可求得不等式. 【详解】因为()()2111xf x f x ex+-==-+，且其定义域为R ，故()f x 是偶函数； 又当0x >时，()211x x f x ex+=-+是单调增函数，则x 0<时，()f x 是单调减函数. 故(2)(1)f x f x >+等价于21x x >+，整理得()()3110x x +->，解得()1,1,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数性质求解不等式，属综合中档题；本题的难点在于要有意识去判断函数的性质.二、填空题13．设向量((),,1a b m ==-r r ，若a r 与b r共线，则m =________.【答案】【解析】根据向量共线的坐标公式，即可容易求得参数. 【详解】因为((),,1a b m ==-r r 且a r 与b r共线故可得2=，解得m =故答案为：. 【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属基础题.14．一个样本的容量为70，分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为15，则该样本第四组的频率为________. 【答案】1135【解析】根据频率的计算公式，结合题目已知信息，即可容易求得. 【详解】因为样本容量为70，根据题意可得： 第一组和第三组的频率为84126,70357035==. 根据频率之和为1，即可求得： 第四组的频率为4621113535535---=. 故答案为：1135. 【点睛】本题考查频率的计算公式，属基础题.15．若函数()sin 22f x x x =-的图像向左平移8π个单位得到函数()g x 的图像.则()g x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为________.【答案】【解析】注意平移是针对自变量x ，所以()()8g x f x π=+=2sin(2)12x π-，再利用整体换元法求值域（最值）即可. 【详解】由已知，()sin 23cos22sin(2)3f x x x x π=-=-，()()8g x f x π=+= 2sin[2()]2sin(2)8312x x πππ+-=-，又3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故22[,]1233x πππ-∈-，2sin(2)[3,2]12x π-∈-，所以()g x 的最小值为3-.故答案为：3-. 【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.16．已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF ∆的内切圆方程是________.【答案】224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】利用公式212ABF S lr ∆=计算出r ，其中l 为2ABF ∆的周长，r 为2ABF ∆内切圆半径，再利用圆心到直线AB 的距离等于半径可得到圆心坐标. 【详解】 由已知，6(2,3A -，6(2,3B --，2(2,0)F ，设内切圆的圆心为(,0)(2)t t >-，半径为r ，则21222111()4222ABF S AB F F AB AF BF r a r ∆=⨯⨯=⨯++⨯=⨯⨯，故有6463r ⨯=，解得23r =，由2|(2)|3t --=，43t =-或83t =-（舍），所以2ABF ∆的内切圆方程为224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 故答案为：224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题17．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.组别 分组 频数 频率频率组距1[)60,702 [)70,803[)80,904 []90,100（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率； （Ⅱ）根据这20人的分数补全频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】（Ⅰ）23；（Ⅱ）频率分布表和频率分布直方图见解析，82. 【解析】（Ⅰ）列举出从四个人中抽取两人的所有情况，找出满足题意的情况，用古典概型的概率计算公式即可求得；（Ⅱ）根据茎叶图中数据，先补全频率分布表和频率分布直方图，再估算平均值即可.【详解】（Ⅰ）设分数分别为95、96、96、98的四人为a 、b 、c 、d从成绩为优秀的员工中任取2人，包含(,)a b (,)a c (,)a d (,)b c (,)b d (,)c d 6个基本事件设从成绩为优秀的员工中随机抽取2人恰有一人的分数为96为事件A .A 包含(,)a b (,)a c (,)b d (,)c d 4个基本事件∴42()63P A == （Ⅱ）组别 分组 频数 频率 频率组距1 [)60,702 110 0.01 2 [)70,80 6 310 0.033 [)80,908 25 0.04 4[]90,100 4 15 0.021342657585958210101010⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计所有员工的平均分为82.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，以及频率分布表和频率分布直方图的绘制，涉及平均数的求解，属综合基础题.18．在ABC ∆中，M 为BC 边上一点，45BAM ∠=︒，cos AMC ∠=. （1）求sin B ； （2）若12MC BM =u u u u r u u u u r ，4AC =，求MC . 【答案】（1（2）4 【解析】（1）B AMC BAM =∠-∠，利用两角差的正弦公式计算即可； （2）设MC x =，在ABM ∆中，用正弦定理将AM 用x 表示，在ACM ∆中用一次余弦定理即可解决.【详解】（1）∵cos 5AMC ∠=，∴sin 5AMC ∠=， 所以，sin sin()B AMC BAM =∠-∠sin cos cos sin AMC BAM AMC BAM =∠⋅∠-∠⋅∠22=⋅=. （2）∵12MC BM =u u u u r u u u u r ， ∴设MC x =，2BM x =，在ABM ∆中，由正弦定理得，sin 45sin BM AM B=︒，=，∴5AM x =，∵2222cos AC AM MC AM MC AMC =+-⋅⋅∠，∴222442555x x x x =+-⋅⋅ ∴4MC x ==.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19．点(1,)P t （0t >）是抛物线C ：24y x =上一点，F 为C 的焦点.（Ⅰ）若直线OP 与抛物线的准线l 交于点Q ，求QFP ∆的面积；（Ⅱ）过点P 作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于M ，N 两点，证明：直线MN 的斜率是定值.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据题意，求得点,P Q 的坐标，即可容易求得面积；（Ⅱ）设出点,M N 的坐标，根据点在曲线上点的坐标满足曲线方程，以及直线,PM PN 的斜率之和为零，即可容易证明.【详解】（Ⅰ）将(1,)P t 代入24y x =得2t =则OP l ：2y x =，准线l ：1x =-，∴(1,2)Q -- ∴122QFP P Q S OF y y ∆=-= （Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y由题可知，0MP NP K K +=， ∴121222011y y x x --+=-- ∴1222122201144y y y y --+=-- ∴1244022y y +=++∴124y y+=-∴1212MNy yKx x-=-1241y y==-+即证.【点睛】本题考查抛物线上一点坐标的求解，抛物线中定值问题的简单证明，属中档题. 20．如图，在直角AOB∆中，2OA OB==.AOC∆通过AOB∆以直线OA为轴顺时针旋转120︒得到（120BOC∠=︒）.点M为线段BC上一点，且43MB=.（Ⅰ）证明：MO⊥平面AOB；（Ⅱ）若D是线段AB的中点，求四棱锥O ACMD-的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ43.【解析】（Ⅰ）通过证明,AO MO MO OB⊥⊥，即可证明线面垂直；（Ⅱ）根据O ACMD A BOC M ODBV V V---=-即可容易求得.【详解】（Ⅰ）在MOB∆中，由余弦定理得，23OM=，∴222OM OB MB +=∴OM OB ⊥由题意可知：∴OA OB ⊥，OA OC ⊥，OB OC O =I∴OA ⊥平面COB ，OM ⊂平面COB ，∴OA OM ⊥OA OB O =I ，∴OM ⊥平面AOB ，（Ⅱ）1122232A BOC V -=⨯⨯⨯=112132M ODB D OMB V V --==⨯⨯=9O ACMD A BOC M ODB V V V ---=-=故四棱锥O ACMD -的体积为9. 【点睛】 本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及棱锥体积的求解，属中档题.21．已知函数2()()ln 2a x f x x +=+（a ∈R ）. （Ⅰ）若函数()()(1)ln h x f x x a x =--+，讨论()h x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 的导数()f x '的两个零点从小到大依次为1x ，2x ，证明：()1222x x f x +<. 【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据题意，求得()h x '，对参数a 进行分类讨论即可容易求得； （Ⅱ）根据12,x x 是()f x '的两根，求得12,x x 之间的关系式，构造函数21()ln 222x x g x x x=---，根据其单调性即可证明. 【详解】（Ⅰ）∵2()()ln 2a x h x a x x +=--+∴(1)()()x x a h x x -+'=（0x >）. 当0a ≥时，()01h x x '>⇒>，()001h x x '<⇒<<∴()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当10a -<<时，()01h x x '>⇒>或0x a <<-，()01h x a x '<⇒-<< ∴()h x 在(1,)+∞，(0,)a -上单调递增，在(,1)a -上单调递减；当1a <-时，()0h x x a '>⇒>-或01x <<，()01h x x a '<⇒<<-∴()h x 在(,)a -+∞，(0,1)上单调递增，在(1,)a -上单调递减；当1a =-时，()0h x '≥在(0,)+∞上恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增；综上所述：当0a ≥时，()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当10a -<<时，()h x 在(1,)+∞，(0,)a -上单调递增，在(,1)a -上单调递减； 当1a <-时，()h x 在(,)a -+∞，(0,1)上单调递增，在(1,)a -上单调递减； 当1a =-时，()h x 在(0,)+∞上单调递增. （Ⅱ）∵21()x ax f x x++'=（0x >）. 且()f x '的两个零点从小到大依次为1x ，2x∴1x ，2x 是方程210x ax ++=的两个根， ∴12121x x a x x +=-⎧⎨=⎩ 又1>0x ，20x >且12x x <所以1201x x <<<欲证()1222x x f x +<，即证()22122ln 22x a x x x +++< 只需证1211111ln 22x x x x ++< 令21()ln 222x x g x x x =---（01x <<），()221(21)()2x x g x x--'= ∴()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴1()02g x g ⎛⎫≤<⎪⎝⎭， 即()1222x x f x +<成立. 【点睛】 本题考查分类讨论求函数的单调性，以及利用导数证明不等式，涉及构造函数法，属综合困难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.点()00,p x y 在曲线C 上，点(,)Q m n满足002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩. （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹1C 的极坐标方程；（2）点A ，B 分别是曲线1C 上第一象限，第二象限上两点，且满足2AOB π∠=，求2211||||OA OB +的值. 【答案】（1）22223cos 4sin 12p θρθ+=（πθπ-<<）；（2）712【解析】（1）由已知，曲线C 的参数方程消去t 后，要注意x 的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；（2）设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）可得2211213cos 4sin 112θθρ+=，2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，相加即可得到证明. 【详解】（1）222222212111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∵(]2211,11t t-∈-+，∴1x ≠-，∴221(1)x y x +=≠-，由题可知：002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩022021(2)43m x m n m y ⎧=⎪⎪⇒⇒+=≠-⎨⎪=⎪⎩， 1C ：22223cos 4sin 12ρθρθ+=（πθπ-<<）.（2）因为222123cos 4sin ρθθ=+， 设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则2211213cos 4sin 112θθρ+=， 2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22113sin 4cos 12θθ+=， 22221211117||||12OA OB ρρ+=+=. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.23．已知关于x 的不等式|1||3||2|x x m m +--≥-+有解.（1）求实数m 的最大值t ；（2）若a ，b ，c 均为正实数，且满足a b c t ++=.证明：3333a b b c c a abc ++≥.【答案】（1）3t =；（2）见解析【解析】（1）由题意，只需找到()|1||3|f x x x =+--的最大值即可；（2）22233333b c a a b b c c a abc a b c ++≥⇔++≥，构造并利用基本不等式可得222()2()b c a a b c a b c a b c +++++≥++，即2223b c a a b c a b c++≥++=. 【详解】（1）()|1||3|f x x x =+--4,322,134,1x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩，∴()f x 的最大值为4.关于x 的不等式|1||3||2|x x m m +--≥-+有解等价于max ()4|2|f x m m =≥-+， （ⅰ）当2m ≥时，上述不等式转化为42m m ≥-+，解得23m ≤≤， （ⅱ）当2m <时，上述不等式转化为42m m ≥-++，解得2m <，综上所述，实数m 的取值范围为3m ≤，则实数m 的最大值为3，即3t =. （2）证明：根据（1）求解知3t =，所以3a b c t ++==，又∵0a >，0b >，0c >，22233333b c a a b b c c a abc a b c ++≥⇔++≥， 222222()b c a b c a a b c a b c a b c a b c+++++=+++++2()a b c ≥=++，当且仅当a b c ==时，等号成立， 即222b c a a b c a b c ++≥++，∴2223b c a a b c++≥， 所以，3333a b b c c a abc ++≥.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.。

东北三省三校哈师大附中2020年高三第三次模拟考试文 科 数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则集合A∩B 的子集的个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为A ．4B ．3C ．2D ．13．已知复数i z )31(cos 323sin -+-=θθ为纯虚数，则θtan = A ．22 B ．22- C ．42 D ．42-4．事件的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．下图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增人数的折线图，根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是A ．2月7日到2月13日甲省的平均新增人数低于乙省B ．2月7日到2月13日甲省的单日新增人数最大值小于乙省C ．2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增人数的波动大D ．后四日（2月10日至13日）乙省每日新增人数均比甲省多5．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为A ．32B ．34C ．35D ．376．如图是关于秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 的值为A ．))((0320100x a a x a x a +++的值B ．))((0010203x a a x a x a +++的值C ．))((0200301x a a x a x a +++的值D ．))((0130002x a a x a x a +++的值7．已知M 为△ABC 的边AB 的中点，N 为△ABC 内一点，13AN AM BC =+，则BCNAMN S S ∆∆= A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 8．已知6π-=x 为函数()sin 3cos f x a x x =-的图象的一条对称轴，若0)()(21=+x f x f ，且()f x 在)(21x x ，单调，则)(21x x f +=A ．0B ．1C ．3D ．29．已知112=，32122-=-，6321222=+-，1043212222-=-+-，……照此规律=-++-+-+-22222222109654321A ．45B ．－45C ．55D ．－5510．已知F 为双曲线C ：122=-y x 的右焦点，M 为双曲线C 上一点，且MF 与x 轴垂直，点M 关于双曲线的渐近线的对称点为N ，则△MNP 的面积为A ．212+B ．212-或223-C ．212+或212-D ．212+或223- 11．已知A 、B 为半径为2的球O 表面上的两点，且2=AB ．平面⊥α平面β，βα =直线AB ，若平面βα、截球O 所得的截面分别为1OO 和2OO ，则21O O =A ．3B ．32C ．2D ．2212．已知函数)()(R a x ae x f x ∈-=有两个零点21x x ，，且21x x <则下列结论中不正确的是A ．ea 10<< B ．101<<x C ．221>+x x D ．2211ln ln x x x x -<-第Ⅱ卷（非选择题 共90 分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．随着国内形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是 ．14．设函数()xf x e =在x=0处的切线与x ，y 轴围成的区域为Ω，点P 是Ω内一动点，点Q是函数3y =上的动点，则线段｜PQ ｜的最小值为 ．15．已知函数3ln(),0()3,0x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，则不等式(1)(0)f x f +≤的解集为 ．16．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2tan (tan tan )c B b A B ⋅=⋅+，则A = ；若O 是△ABC 外接圆的圆心，则22cos cos 2sin 2sin B AB AO C AC AO C B AO AO ⋅⋅⋅+⋅= ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。

东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学（文科）试题本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2log 1M x x =<，{}21N x x =≤，则M N ⋃=（ ）A ．(],1-∞B ．(),2-∞C ．[)1,2-D ．(]0,12．复数43i2iz -=-（其中i 为虚数单位）的模为（ ）A ．1B C ．D ．53．双曲线221169x y -=的渐近线方程是（ ）A ．34yx B ．35y x =±C ．43y x =±D ．53y x =±4．命题“2x ∀≥，2440x x -+≥”的否定是（ ） A ．2x ∀≥，2440x x -+< B ．2x ∃<，2440x x -+< C ．2x ∀<，2440x x -+<D ．2x ∃≥，2440x x -+<5．为研究变量x ，y 的相关关系，收集得到下面五个样本点（x ，y ）：若由最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为 3.2y x a =-+，则据此计算残差为0的样本点是（ ）A ．（9，11） B ．（10，8）C ．（10.5，6）D ．（11．5）6．将函数sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增B ．在区间（6π-，12π）上单调递减 C ．图象关于点（3π，0）对称D ．图象关于直线12x π=对称7．下列说法错误．．的是（ ） A ．由函数1y x x -=+的性质猜想函数1y x x -=-的性质是类比推理 B ．由ln10≤，ln 21<，ln32<…猜想()ln 1N*n n n ≤-∈是归纳推理 C ．由锐角x 满足sin x x <及0122ππ<<，推出sin1212ππ<是合情推理D ．“因为()cos cos x x -=恒成立，所以函数cos y x =是偶函数”是省略大前提的三段论 8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4a =，sin 2sin A C =，1cos 4A =-，则ABC 的面积S =（ ）A B ．C ．1 D9．已知圆锥的顶点为点S 倍，点A ，B 是底面圆周上的两点，当SAB △是等边三角形时面积为 ）AB ．C ．D ．10．定义域为R 的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-+，则()2022f =（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．不确定11．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，过原点O 的直线与椭圆交于P ，Q两点，若120PFQ ∠=︒，OF =OP =C 的离心率为（ ）A B C D 12．已知实数,,a b c 满足2a <，ln 2ln 22a a a -=-，b <ln b b b 12c >，111ln ln 222c c c -=-，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．a b c <<二、填空题13．盒子中装有编号为0，1，2，3，4的五个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______．14．在爱尔兰小说《格列佛游记》里，有格列佛在小人国一顿吃了1728份小人饭的叙述，作者为什么要使用这么复杂的数字呢？许多研究者认为，之所以选用这个数字，跟英国人计数经常使用的十二进制有关系．中国文化中，十二进制也有着广泛应用，如12地支，12个时辰，12生肖…．十二进制数通常使用数字0—9以及字母A ，B 表示，其中A 即数字10，B 即数字11．对于下面的程序框图，若输入a=1728，k=12，则输出的数为________．15．在正六边形ABCDEF 中，点G 为线段DF （含端点）上的动点，若CG CB CD λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是________．16．如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF DE ∥，且2AB DE ==，1CF =，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为棱DE 的中点时，GH ∥平面ABE ； ①存在点H ，使得GH AC ⊥； ①三棱锥B GHF -的体积为定值； ①三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π．其中正确的结论序号为______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题17．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12BA BB ==，点D 是棱1AA 的中点．(1)求证：1BD B C ⊥； (2)求点B 到平面1DCB 的距离．18．五常市是黑龙江省典型农业大县（市）、国家重要的商品粮食基地，全国粮食生产十大先进县之一，也是全国水稻五强县之一，被誉为张广才岭下的“水稻王国”．五常大米受产区独特的地理、气候等因素影响，干物质积累多，直链淀粉含量适中，支链淀粉含量较高．由于水稻成熟期产区昼夜温差大，大米中可速溶的双链糖积累较多，对人体健康非常有益．五常大米根据颗粒、质地、色泽、香味等评分指标打分，得分在区间0,25，(]25,50，(]50,75，(]75,100内分别评定为四级大米、三级大米、二级大米、一级大米．某经销商从五常市农民手中收购一批大米，共400袋（每袋25kg ），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：(1)求a 的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量能否达到采购总量一半以上；(2)该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：方案1：将采购的400袋大米不经检测，统一按每袋300元直接售出；方案2：将采购的400袋大米逐袋检测分级，并将每袋大米重新包装成5包（每包5kg ），检测分级所需费用和人工费共8000元，各等级大米每包的售价和包装材料成本如下表所示：该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．19．已知等差数列{}n a 公差不为零，1235a a a a ++=，238a a a ⋅=，数列{}n b 各项均为正数，11b =，221132n n n n b b b b ++-=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)若16n n a b λ++≥恒成立，求实数λ的最小值． 20．设函数()()()ln 12af x x a x x =+-+． (1)若2a =，过点()2,8A --作曲线()y f x =的切线，求切点的坐标； (2)若()f x 在区间()2,+∞上单调递增，求整数a 的最大值．21．已知点F 为抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点，点P （−3，2），PF =，若过点P 作直线与抛物线E 顺次交于A ，B 两点，过点A 作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C ． (1)求抛物线E 的标准方程； (2)求证：直线BC 过定点；(3)若直线BC 所过定点为点Q ，①QAB ，①PBC 的面积分别为S 1，S 2，求12S S 的取值范围22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点,A B 的极坐标分别为5(2,),(2,)44A B ππ，圆1C 以AB 为直径，直线l 的极坐标方程为cos 64πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． (1)求圆1C 及直线l 的直角坐标方程； (2)圆1C经过伸缩变换2x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线2C ，已知点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 距离的取值范围．23．已知函数()2121f x x x =--+的值域为[],M a b =． (1)若x M ∈，y M ∈，求证：22221644x y x y +≥+； (2)若2y az +<，1by z +<，求证：1z <．参考答案：1．C 【解析】 【分析】求出集合M ，N ，然后进行并集的运算即可. 【详解】①{}02M x x =<<，{}11N x x =-≤≤， ①[1,2)M N ⋃=-. 故选：C . 2．B 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算化简z ，再求其模长即可. 【详解】 因为43i 2iz -=-()()()()43i 2i 112i 112i 2i 2i 555-+-===--+，故z故选：B. 3．A 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求解. 【详解】因为双曲线方程为221169x y -=，所以a =4，b =3， 所以其渐近线方程是34y x ， 故选：A 4．D【解析】 【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果. 【详解】命题2x ∀≥，2440x x -+≥的否定是：2x ∃≥，2440x x -+<. 故选：D. 5．B 【解析】 【分析】先求出线性方程的样本中心点，从而可求得 3.240y x =-+，再根据残差的定义可判断. 【详解】 由题意可知，99.51010.511105x ++++==，111086585y ++++==所以线性方程的样本中心点为(10,8)， 因此有8 3.21040a a =-⨯+⇒=， 所以 3.240y x =-+，在收集的5个样本点中，(10,8)一点在 3.240y x =-+上，故计算残差为0的样本点是(10,8).故选：B 6．A 【解析】 【分析】根据函数的伸缩变换和平移变换得到()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐项判断.【详解】将函数sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,662πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭x ，故A 正确；因为,612x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,062ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭x ，故B 错误；sin 2sin 103362ππππf ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；sin 2sin 00112126πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误； 故选：A 7．C 【解析】 【分析】根据类比推理、归纳推理、合情推理、演绎推理的概念判断. 【详解】A 中两个函数形式相似，因此可以根据前者的性质猜测后者的性质，是类比推理，A 正确；B 中，由特殊到一般的猜想推理，是归纳推理，B 正确；C 中是三段论的演绎推理，不属于合情推理，C 错；D 中，省略了大前提：函数()f x 满足()()f x f x -=恒成立，则()f x 是偶函数，D 正确. 故选：C. 8．D 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理、三角形面积公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】根据正弦定理，由4a =，sin 2sin 22A C a c c =⇒=⇒=， 由余弦定理可知：222212cos 16422()4a b c bc A b b =+-⋅⇒=+-⋅⋅-，解得3b =，或4b =-（舍去），因为1cos 4A =-，所以si n A ==因此11sin 3222S bc A =⋅=⨯⨯=， 故选：D 9．D 【解析】【分析】根据SAB △是等边三角形时面积为径，然后由圆锥的侧面积公式求解. 【详解】解：设圆锥的高为h ，母线为l ，底面半径为r ，则由题意得h ，21sin 602l =，所以l =又222l h r =+，则2r =，所以圆锥的侧面积为S rl π==， 故选；D 10．A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式可以求出函数的周期，利用周期进行求解即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以由()()()()()()()2242f x f x f x f x f x f x f x =-+⇒-=+=-⇒+=-+()()4f x f x ⇒=+，所以该函数的周期为4，所以()()()()()20225054222200f f f f f ==-+=⨯+==， 故选：A 11．B 【解析】 【分析】设F '为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性，得到,2PF QF m PF QF a m ''====-，分别在PQF △和FQF '，利用余弦定理列出方程组，求得3a =，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】解：设F '为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性可知，四边形PFQF '为平行四边形， 令,2PF QF m PF QF a m ''====-，在PQF △中，22PQ OP == 则2222cos 28PF FQ PF FQ PFQ PQ +-∠==， 即22(2)(2)28m a x x a x +-+-=在FQF '中，18060FPF PFQ '∠=-∠=， 则2222cos 12PF PF PF PF FPF FF ''''+-∠==， 即22(2)(2)12m a x x a x +---=，联立方程组22)222)2((2)28((2)12a x a x m x a x m x a x --⎧++-=⎨+--=⎩，解得3a =，因为c OF ==c e a ==. 故选：B.12．D 【解析】 【分析】令()ln f x x x x =-，利用导数可求得()f x 的单调性，可知()()10f x t t =-<<有两个不等解12,x x ，并得到101x <<，21e x <<，根据()()()()212f a f f b f f c f ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩和()2f f>可确定,,a b c 的大小关系. 【详解】由题意得：ln 2ln 22ln 111ln ln 222a a a b b b c c c ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪⎪-=-⎩令()ln f x x x x =-，则()ln f x x '=，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴在()0,1上的单调递减，在()1,+∞上单调递增；()()min 11f x f ∴==-；又()e 0f =，当()0,1x ∈时，()0f x <；∴方程()()10f x t t =-<<有两个不等解12,x x ，101x ∴<<，21e x <<； ()()()()212f a f f b f f c f ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，又1012e 2<<<<<，01a ∴<<，01b <<，1e c <<；又()2f f>，()()f a f b ∴>，a b ∴<；综上所述：a b c <<. 故选：D. 13．910##0.9 【解析】 【分析】列举出基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解. 【详解】盒子中装有编号为0，1，2，3，4的五个球，从中任意取出两个，有：01，02，03，04，12，13，14，23，24，34共10种，其中积为偶数的有：01，02，03，04，12，14，23，24，34共9种，故所取的这两个球的编号之积为偶数的概率是910p =. 故答案为：910. 14．1000 【解析】 【分析】利用程序框图，模拟程序框图的运行过程即可求解 【详解】输入a k ==172812，，q =÷=1728121440；a k ==14412，，q =÷=14412120；a k ==1212，，q =÷=121210；a k ==112，，q =÷=11201；所以输出的数为1000. 故答案为：1000. 15．[1,4] 【解析】 【分析】以正六边形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，根据已知条件，用点G 的横坐标表示λμ+，结合点G 横坐标的取值范围，即可求得结果.【详解】根据题意，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为O 建立平面直角坐标系，如下所示：则可得())()),,,3F DC B--，设点G 的坐标为(),m n ，则()()()23,,3,3,3,3CG m n CB CD =-=--=-，由CG CB CD λμ=+可得：m -=，即2λμ+=+，数形结合可知：m ⎡∈-⎣，则[]21,4+∈，即λμ+的取值范围为[]1,4. 故答案为：[]1,4. 【点睛】本题考查用解析法处理平面向量中的范围问题，解决问题的关键是用点G 的坐标表达λμ+，属中档题.16．①①① 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可. 【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点， 故可得MH //AD ，12MH AD =， 根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =， 故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则HG //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ， 故HG //面ABE ，故①正确；对①：因为ED ⊥平面,,ABCD DA DC ⊂平面ABCD ， 故,DE DA DE DC ⊥⊥， 又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈， 若GH ①AE ，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=， 即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故①错误； 对①：B GFH H BGF V V --=，因为,,B F G 均为定点，故BGFS为定值，又DE //,CF CF ⊂平面,BGF DE ⊄平面BGF ， 故DE //面BGF ，又点H 在DE 上运动，故点H 到平面BGF 的距离是定值， 故三棱锥B GFH -的体积为定值，则①正确；对①：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形， ①,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，①AB ①平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直， ①AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径， 又22222212219AF AB BC CF =++=++=， ①三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故①正确. 故答案为：①①①. 17．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）取AB 的中点为M ，连接1B M ，CM ，易知1B BM BAD △△≌，得到1BD B M ⊥，再由CM ⊥平面11ABB A ，得到BD CM ⊥，然后证明BD ⊥平面1B CM 即可；（2）设点B 到平面1DCB 的距离为h ，利用等体积法，由11113B DCB DCBC BDB V S h V --=⋅=△求解.(1)证明：如图所示：设AB 的中点为M ，连接1B M ，CM ， ①正方形11ABB A 中，1B B BA =，BM AD =，①1B BM BAD △△≌， ①1BD B M ⊥，①1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， ①1AA CM ⊥，又AC BC =，M 为AB 中点， ①CM AB ⊥， ①1AB AA A ⋂=， ①CM ⊥平面11ABB A ， ①BD ⊂平面11ABB A ， ①BD CM ⊥，①1B M CM M ⋂=，1B M ⊂平面1B CM ，CM ⊂平面1B CM ， ①BD ⊥平面1B CM ， ①1B C ⊂平面1B CM ， ①1BD B C ⊥； (2)设点B 到平面1DCB 的距离为h ， ①11113B DCB DCBC BDB V S h V --=⋅=△，①1B D DC =1=BC ，①112DCB S =⨯=△由（1）CM ⊥平面11ABB A ，①2CM ==1C BDB -的高， 又112222BDB S =⨯⨯=△，①1123C BDB V -=⨯①13h =①h =故点B 到平面1DCB 18．(1)0.010a =，能达到(2)该经销商采用方案2所得利润更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1，求出a ，即可判断； （2）分别计算方案1和方案2的收入，即可判断. (1)①()0.0040.0120.014251a +++⨯=①0.010a = ①()0.0140.010250.60.5+⨯=>①估计经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量能够达到采购总量的一半以上． (2)若经销商采用方案1，则收入为400300120000⨯=元． 若经销商采用方案2400袋大米中四级大米约4000.0042540⨯⨯=袋，405200⨯=包 三级大米约4000.01225120⨯⨯=袋，1205600⨯=包 二级大米约4000.01425140⨯⨯=袋，1405700⨯=包 一级大米约4000.01025100⨯⨯=袋，1005500⨯=包400袋大米共卖20055600687008550098160300⨯+⨯+⨯+⨯=元 400袋大米的包装袋成本为20026002700450056900⨯+⨯+⨯+⨯=元， ①收入为16030069008000145400--=元 ①145400120000>，且400袋大米成本相同， ①该经销商采用方案2所得利润更大．19．(1)21n a n =-，113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)181【解析】 【分析】（1）求数列{}n a 的通项公式，根据等差数列，利用基本量计算即可求解，求数列{}n b 的通项公式，先因此分解，得到数列{}n b 为等比数列后可求解； （2）根据（1）得273n n λ-≥，再令273nnn c -=，再研究其单调性可求解. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件，()()11111334,27,a d a d a d a d a d +=+⎧⎨++=+⎩ 解得100a d =⎧⎨=⎩，或112a d =⎧⎨=⎩，①0d ≠，①112a d =⎧⎨=⎩ ①1(1)221n a n n =+-⨯=-①2211320n n n n b b b b +++-=，①()()1130n n n n b b b b +++-=，①0n b >，①113n n b b +=又110b =≠，①0n b ≠，①113n n b b +=， ①{}n b 是以1为首项，13为公比的等比数列．①113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)①11,213n n n b a n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，①16n n a b λ++≥， 即62113nn λ+≥-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即273nn λ-≥恒成立， 设273n n n c -=，则11125274(4)333n nn n n n n n c c +++-----=-=， 即1,2,3n =时1n n c c +>；4n =时1n n c c +=；5,n n N *≥∈时1n n c c +<，①4n =或5时，181n c =为{}n c 的最大项． ①181λ≥，故实数λ的最小值为181．20．(1)切点坐标为()1,2-和()4,12ln 25- (2)8 【解析】 【分析】（1）设切点为()00,P x y ，表示出点P 处切线方程，将()2,8A --代入解得01x =，或04x =，求出切点坐标为()1,2-和()4,12ln 25-； （2）把题意转化为2x >时，()ln 102a ag x x x =++-≥恒成立，()221a x a g x x x x-'=-=.对a 分类讨论：i.2a ≤时，ii.2a >时，分别求出满足条件的整数a 的范围，即可求得. (1)2a =时，()()()2ln 1f x x x x =+-+，()()2ln 0f x x x x'=+>， 设切点为()00,P x y ，则点P 处切线方程为：()()()00000022ln 1ln y x x x x x x x ⎛⎫-+++=+- ⎪⎝⎭，将()2,8A --代入得：()()()000000282ln 1ln 2x x x x x x ⎛⎫--+++=+-- ⎪⎝⎭．即00472x x --=-，解得01x =，或04x =， 01x =时，()002y f x ==-；04x =时，()0012ln 25y f x ==-．①所求切点坐标为()1,2-和()4,12ln 25-． (2)()()()ln 12a f x x a x x =+-+．记()()()1ln 02a ag x f x x x x '==++-> ①()f x 在()2,+∞上单调递增，①2x >时，()ln 102a ag x x x =++-≥恒成立. ()221a x ag x x x x-'=-= i.20a -≥，即2a ≤时，2x >时，0x a ->，20x >，①()0g x '>，①()g x 在()2,+∞上单调递增， ①()()2ln 21ln 21022a ag x g >=++-=+>，故a Z ∈，2a ≤时满足条件． ii.20a -<，即2a >时．在()2,a 上，0x a -<，20x >，所以()0g x '<，()g x 单调递减； 在(),a +∞上，0x a ->，20x >，所以()0g x '>，()g x 单调递增， ①()()min ln 22ag x g a a ==+-， 记()ln 22a h a a =+-，在()2,+∞上()1102h a a '=-<，()h a 单调递减， ①()28ln82ln 20h e =->-=，()()()55111594ln 35ln81ln ln81ln 02222h e ⎛⎫⎛⎫=-=-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为a Z ∈，38a ≤≤时满足条件．由i 和ii 知，满足条件的整数a 的最大值为8． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 21．(1)24y x = (2)证明见解析 (3)(0,1) 【解析】 【分析】（1）利用,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭表示出||FP ，化简即可求出答案.（2）设出直线AB ，联立直线AB 与抛物线E ，利用韦达定理则可表示出AB 、两点的关系.再由点A 写出直线AC ，联立直线AC 与抛物线E ，利用韦达定理则可表示出A C 、两点的关系.写出直线BC 的方程，根据两个关系式消掉A 点，则可得出结论.（3）将1S 、2S 用、、A B C 点表示出来，再利用韦达定理用直线AB 的斜率k 表示出12S S ，最后化简即可得出答案. (1)焦点,0,||2p F FP ⎛⎫= ⎪⎝⎭①0p >，①2p =抛物线E 的标准方程为24y x = (2)显然．直线AB 斜率存在，设AB 的方程为2(3)y k x -=+由22(3)4y k x y x -=+⎧⎨=⎩，化简得：()2248120,0,163210ky y k k k k -++=≠∆=--+>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则121248,12y y y y k k+==+，①()1212122y y y y -=+ ① 直线AC 的方程为2114y y y x -=-，由211244y y y x y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩化简得：()2221111440,Δ16440y y y y y y -+-==-->， 设()33,C x y 则134y y += ①由①①得()()323241224y y y y --=-+，①()2323220y y y y +=+ ①（①）若直线BC 没有斜率，则230y y +=，又()2323220y y y y +=+，①2320y =，①23354y x ==，①BC 的方程为5x =．（①）若直线BC 有斜率，为2323234y y x x y y -=-+， 直线BC 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()232340x y y y y y -++=，将①代入得()()232342200x y y y y y -+++-=，①()23(2)4(5)0y y y x +-+-=， 故直线BC 有斜率时过点(5,2)． 由（①）（①）知，直线BC 过点(5,2)．(3) 211121212111||2||||22218422PBQ PAQS SSPQ y PQ y PQ y y y y y y =-=⋅--⋅-=⋅-=⨯⨯-=-22323231211||844422S PQ yy y y y y y y=⋅-=⨯⨯-=-=+- 由（2）得121248,12y y y y k k +==+，12y y -==()20,163210k k k ≠∆=--+>，①113k -<<，且0k ≠，1212124y y SSy y -===+-设11,k u t u-==， 12S S ===①113k -<<，且0k ≠，①31,11,22t ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1)，故12S S 的取值范围是(0,1)． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程、直线过定点.属于难题.其中证明直线过定点，寻找坐标之间的关系进行消元是解题的关键. 22．(1)224x y +=，0x y --= (2)[4,8] 【解析】 【分析】（1）由题意得到2OAOB ==，求得1C 的极坐标方程为2ρ=，进而得到曲线1C 的直角坐标方程，化简直线l 的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ--=，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解直线l 的直角坐标方程；（1）由题意得到x y y ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入224x y +=，求得曲线2C 的通方程，得到2C 的参数方程，设)P θθ，求得点P 到l 的距离为62cos 3d πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解. (1)解：由题意，点,A B 的极坐标分别为5(2,),(2,)44A B ππ， 可得极点O 为AB 的中点，且2OA OB ==，所以1C 的极坐标方程为2ρ=，又由ρ1C 的直角坐标方程为224x y +=，由cos 64πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得cos sin 0ρθρθ--=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l的直角坐标方程为0x y --=． (2)解：由2x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得x y y ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入224x y +=，可得224246x y ''+=， 即22126x y ''+=，所以曲线2C 的通方程为22126x y +=，则2C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)，设)P θθ为2C 上任意一点，点P 到l 的距离为d ，则62cos 3d πθ⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭， 所以当cos 13πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max 8d =；当cos 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min 4d =，所以P 到l 的距离的取值范围是[4,8]. 23．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由绝对值三角不等式得2121(21)(21)2x x x x --+≤--+=，得到函数()f x 的值域为[2,2]-，又由不等式可化为()()22440y x --≥，即可求解；（2）由（1）得到|2|2,|2|1y z y z -<+<，则|5||(2)2(2)||2|2|2|z y z y z y z y z =+--≤++-，即可求解.(1)解：因为2121(21)(21)2x x x x --+≤--+=，当且仅当(21)(21)0x x -+≥，即12x ≤-或12x ≥时，等号成立，所以2|21||21|2x x -≤--+≤，即函数()f x 的值域为[2,2]-， 原不等式等价于 222244160x y x y --+≥，即()()2224440xyy -+-≥，所以()()22440y x --≥，因为22,22x y -≤≤-≤≤，所以()()22440y x --≥成立，所以22221644x y x y +≥+成立． (2)解：由（1）得2,2a b =-=，则不等式2y az +<，1by z +<，即为|2|2,|2|1y z y z -<+<， 所以|5||(2)2(2)||2|2|2|1225z y z y z y z y z =+--≤++-<+⨯=， 所以||1z <.。

2021年东北三省三校〔哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学〕高考数学三模试卷〔文科〕一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1．〔5分〕集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}，那么A∩B=〔〕A．{1}B．{4}C．{2，4}D．{1，2，4} 2．〔5分〕i为虚数单位，〔|2i|+3i〕i=〔〕A．﹣3+2i B．3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i 3．〔5分〕等差数列{a n}，a2=2，a3+a5+a7=15，那么数列{a n}的公差d=〔〕A．0B．1C．﹣1D．24．〔5分〕与椭圆C：共焦点且渐近线方程为y=的双曲线的标准方程为〔〕A．x2B．C．y2D．5．〔5分〕互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，那么以下命题正确的选项是〔〕A．假设l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，那么α∥β；B．假设α∥β，l⊂α，m⊂β，那么l∥m；C．假设α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，那么m∥n；D．假设α⊥β，β⊥γ，那么α∥β．6．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设p=0.9，那么输出的n为〔〕A．6B．5C．4D．37．〔5分〕某几何体是一个平面将一正方体截去一局部后所得，该几何体三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．20B．18C．18D．20+8．〔5分〕设点〔x，y〕满足约束条件，且x∈Z，y∈Z，那么这样的点共有〔〕个A．12B．11C．10D．99．〔5分〕动直线l：x+my+2m﹣2=0〔m∈R〕与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，那么弦AB的最短为〔〕A．2B．2C．6D．410．〔5分〕分形理论是当今世界非常风行和活泼的新理论、新学科．其中，把局部与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程，标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的构造，也就是说，在分形中，每一组成局部都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，那么当n=6时，该黑色三角形内共去掉〔〕个小三角形．A．81B．121C．364D．109311．〔5分〕在正三角形ABC中，D是AC上的动点，且AB=3，那么的最小值为〔〕A．9B．C．D．12．〔5分〕假设函数f〔x〕=2x+sinx•cosx+acosx在〔﹣∞，+∞〕单调递增，那么a的取值范围是〔〕A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣3，﹣1]二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分〕13．〔5分〕函数f〔x〕=a x﹣2021 +2021〔a＞0且a≠1〕所过的定点坐标为．14．〔5分〕在区间[2，a]上随机取一个数x，假设x≥4的概率是，那么实数a 的值为．15．〔5分〕当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制那么是一个非常微小的开关，用“开〞来表示1，“关〞来表示0．那么将十进制下的数168转成二进制的数是．〔2〕16．〔5分〕函数f〔x〕为定义域为R的偶函数，且满足f〔+x〕=f〔﹣x〕，当x∈[﹣1，0]时f〔x〕=﹣x．假设函数F〔x〕=f〔x〕+在区间[﹣9，10]上的所有零点之和为．三、解答题〔共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题〕17．〔12分〕函数f〔x〕=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的对称中心及最小正周期；〔Ⅱ〕△ABC的外接圆直径为3，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设f〔〕=，且acosB+bsinB=c，求sinB的值．18．〔12分〕哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩〔总分值150分〕，现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；〔Ⅰ〕根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完好；〔Ⅱ〕根据茎叶图比拟甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度〔不要求计算出详细值，给出结论即可〕；〔Ⅲ〕现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学〞，求事件A发生的概率．19．〔12分〕△ABC中，AB⊥BC，BC=2，AB=4，分别取边AB，AC的中点D，E，将△ADE沿DE折起到△AD1E的位置，使A1D⊥BD，设点M为棱A1D的中点，点P为A1B的中点，棱BC上的点N满足BN=3NC．〔Ⅰ〕求证：MN∥平面A1EC；〔Ⅱ〕求三棱锥N﹣PCE的体积．20．〔12分〕抛物线C：x2=8y与直线l：y=kx+1交于A，B不同两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，所得的两条切线相交于点P．〔Ⅰ〕求证为定值；〔Ⅱ〕求△ABP的面积的最小值及此时的直线l的方程．21．〔12分〕函数f〔x〕=axe x〔a∈R〕，g〔x〕=lnx+kx+1〔k∈R〕．〔Ⅰ〕假设k=﹣1，求函数g〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设k=1时有f〔x〕≥g〔x〕恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取一样的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．〔I〕假设曲线C2，参数方程为：〔α为参数〕，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程〔Ⅱ〕假设曲线C2，参数方程为〔t为参数〕，A〔0，1〕，且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求的取值范围，[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|2x+b|+|2x﹣b|．〔I〕假设b=1．解不等式f〔x〕＞4．〔Ⅱ〕假设不等式f〔a〕＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．2021年东北三省三校〔哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学〕高考数学三模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1．〔5分〕集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}，那么A∩B=〔〕A．{1}B．{4}C．{2，4}D．{1，2，4}【解答】解：∵集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}={x|x＜﹣或x＞}，∴A∩B={2，4}．应选：C．2．〔5分〕i为虚数单位，〔|2i|+3i〕i=〔〕A．﹣3+2i B．3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i【解答】解：〔|2i|+3i〕i=〔2+3i〕i=﹣3+2i．应选：A．3．〔5分〕等差数列{a n}，a2=2，a3+a5+a7=15，那么数列{a n}的公差d=〔〕A．0B．1C．﹣1D．2【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3+a5+a7=15，即3a5=15，得a5=5．又a2=2，∴．应选：B．4．〔5分〕与椭圆C：共焦点且渐近线方程为y=的双曲线的标准方程为〔〕A．x2B．C．y2D．【解答】解：根据题意，椭圆C：的焦点为〔0，±2〕，那么要求双曲线的焦点在y轴上，且c=2，设其方程为﹣=1，那么有a2+b2=4，又由双曲线的渐近线为y=，那么有=，解可得a2=3，b2=1，那么双曲线的标准方程为：﹣x2=1；应选：D．5．〔5分〕互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，那么以下命题正确的选项是〔〕A．假设l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，那么α∥β；B．假设α∥β，l⊂α，m⊂β，那么l∥m；C．假设α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，那么m∥n；D．假设α⊥β，β⊥γ，那么α∥β．【解答】解：在A中，假设l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，那么α与β相交或平行，故A错误；在B中，假设α∥β，l⊂α，m⊂β，那么l与m平行或异面，故B错误；在C中，假设α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，那么由线面平行的性质定理得m ∥n，故C正确；在D中，假设α⊥β，β⊥γ，那么α与β相交或平行，故D错误．应选：C．6．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设p=0.9，那么输出的n为〔〕A．6B．5C．4D．3【解答】解：执行如下图的程序框图，有P=0.9，n=1，S=0，满足条件S＜P，有S=，n=2；满足条件S＜P，有S=+，n=3；满足条件S＜P，有S=++，n=4；满足条件S＜P，有S=+++=，n=5；不满足条件S＜P，退出循环，输出n的值为5．应选：B．7．〔5分〕某几何体是一个平面将一正方体截去一局部后所得，该几何体三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．20B．18C．18D．20+【解答】解：由三视图复原原几何体如图，该几何体为边长是2的正方体截去三棱锥F﹣BGE，那么该几何体的外表积为=18+．应选：B．8．〔5分〕设点〔x，y〕满足约束条件，且x∈Z，y∈Z，那么这样的点共有〔〕个A．12B．11C．10D．9【解答】解：点〔x，y〕满足约束条件的可行域如图：的三角形ABC区域，可知x∈Z，y∈Z，那么这样的点共有12个．应选：A．9．〔5分〕动直线l：x+my+2m﹣2=0〔m∈R〕与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，那么弦AB的最短为〔〕A．2B．2C．6D．4【解答】解：∵动直线l：x+my+2m﹣2=0〔m∈R〕，∴〔x﹣2〕+〔y+2〕m=0，∴动直线l：x+my+2m﹣2=0〔m∈R〕过定点M〔2，﹣2〕，∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心C〔1，﹣2〕，半径r==3，d=|MC|==1，∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，∴弦AB的最短间隔为：2=2=4．应选：D．10．〔5分〕分形理论是当今世界非常风行和活泼的新理论、新学科．其中，把局部与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程，标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的构造，也就是说，在分形中，每一组成局部都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，那么当n=6时，该黑色三角形内共去掉〔〕个小三角形．A．81B．121C．364D．1093【解答】解：当n=1时，去掉1个白三角形，a1=1，当n=2时，去掉4个白三角形，a2=4，那么a2﹣a1=3=31=32﹣1，当n=3时，去掉13个白三角形，a3=13，那么a3﹣a2=9=32=33﹣1，当n=4时，去掉40个白三角形，a4=40，那么a4﹣a3=27=33=34﹣1，当n=5时，去掉121个白三角形，a5=121，那么a5﹣a4=81=34=35﹣1，由归纳法得当n=6时，去掉364个白三角形，a6=364=35=36﹣1．应选：C．11．〔5分〕在正三角形ABC中，D是AC上的动点，且AB=3，那么的最小值为〔〕A．9B．C．D．【解答】解：根据题意，正三角形ABC中，AB=3，那么AB=BC=3，D是AC上的动点，设=m+n，同时有m+n=1，且m＞0，n＞0，=〔m+n〕•=m2+n•=9m+，又由m+n=1，且m＞0，n＞0，那么=9m+=9〔1﹣n〕+=9﹣，分析可得：当n=1时，获得最小值；应选：D．12．〔5分〕假设函数f〔x〕=2x+sinx•cosx+acosx在〔﹣∞，+∞〕单调递增，那么a的取值范围是〔〕A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣3，﹣1]【解答】解：函数f〔x〕=2x+sinx•cosx+acosx，f′〔x〕=3﹣2sin2x﹣asinx，由题意可得f′〔x〕≥0恒成立，即为3﹣2sin2x﹣asinx≥0，设t=sinx〔﹣1≤t≤1〕，即有2t2+at﹣3≤0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，a≤﹣2t，由y=﹣2t在〔0，1]递减，可得t=1时，获得最小值1，可得a≤1；当﹣1≤t＜0时，a≥﹣2t，由y=﹣2t在[﹣1，0〕递减，可得t=﹣1时，获得最大值﹣1，可得a≥﹣1综上可得a的范围是[﹣1，1]，应选：A．二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分〕13．〔5分〕函数f〔x〕=a x﹣2021 +2021〔a＞0且a≠1〕所过的定点坐标为〔2021 ，2021〕．【解答】解：由题意，根据指数函数的性质，令x﹣2021 =0，可得x=2021 ，带入求解y=2021，∴函数f〔x〕过的定点坐标为〔2021 ，2021〕故答案为：〔2021 ，2021〕．14．〔5分〕在区间[2，a]上随机取一个数x，假设x≥4的概率是，那么实数a 的值为8．【解答】解：由题意得：=，解得：a=8，故答案为：8．15．〔5分〕当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制那么是一个非常微小的开关，用“开〞来表示1，“关〞来表示0．那么将十进制下的数168转成二进制的数是 〔2〕．【解答】解：168÷2=84 084÷2=42 042÷2=21 021÷2=10 (1)10÷2=5 05÷2=2 (1)2÷2=1…0 1÷2=0…1；∴168〔10〕=〔2〕．故答案为：〔2〕． 16．〔5分〕函数f 〔x 〕为定义域为R 的偶函数，且满足f 〔+x 〕=f 〔﹣x 〕，当x ∈[﹣1，0]时f 〔x 〕=﹣x ．假设函数F 〔x 〕=f 〔x 〕+在区间[﹣9，10]上的所有零点之和为 5 ．【解答】解：∵f 〔x 〕是偶函数，∴f 〔〕=f 〔﹣x 〕=f 〔x ﹣〕， ∴f 〔x 〕的周期为T=2，作出f 〔x 〕的函数图象如下图：由图象可知f 〔x 〕的图象关于点〔，〕对称．令F 〔x 〕=0可得f 〔x 〕==+， 令g 〔x 〕=，显然g 〔x 〕的函数图象关于点〔，〕对称．作出g 〔x 〕在〔，10]上的函数图象如下图：由图象可知f 〔x 〕与g 〔x 〕在〔，10]上有5个交点，根据对称性可知在[﹣9，]上也有5个交点，∴F〔x〕在[﹣9，10]上的所有零点之和为5×1=5．故答案为：5．三、解答题〔共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题〕17．〔12分〕函数f〔x〕=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的对称中心及最小正周期；〔Ⅱ〕△ABC的外接圆直径为3，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设f〔〕=，且acosB+bsinB=c，求sinB的值．【解答】〔本小题总分值12分〕解：〔I〕函数f〔x〕=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1=sin2x+cos2x﹣3〔cos2x〕+1=2sin2x﹣2cos2x=4sin〔2x﹣〕令2x﹣=kπ，k∈Z．可得：x=∴对称中心〔，0〕〔k∈Z〕，最小正周期T=．〔Ⅱ〕由f〔〕=，即4sin〔﹣〕=可得：a=3．由正弦定理：，∴sinA=由：acosB+bsinB=c，可得sinAcosB+sinBsinB=sinC．∵A+B+C=π∴sinAcosB+sinBsinB=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB．即sinBsinB=cosAsinB．∵0＜B＜π，sinB≠0．那么：sinB=cosA＞0．∴sinB=cosA==．18．〔12分〕哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩〔总分值150分〕，现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；〔Ⅰ〕根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完好；〔Ⅱ〕根据茎叶图比拟甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度〔不要求计算出详细值，给出结论即可〕；〔Ⅲ〕现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学〞，求事件A发生的概率．【解答】解：〔I〕甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128．……〔4分〕〔II〕从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．……〔8分〕〔III〕甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e现从甲乙两位同学的不低于14〔0分〕的成绩中任意选出2个成绩有：〔a，b〕，〔a，c〕〔a，d〕〔a，e〕〔b，c〕〔b，d〕〔b，e〕〔c，d〕〔c，e〕〔d，e〕共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：〔a，c〕〔a，d〕〔a，e〕〔b，c〕〔b，d〕〔b，e〕共6种因此事件A发生的概率P〔A〕=．……〔12分〕19．〔12分〕△ABC中，AB⊥BC，BC=2，AB=4，分别取边AB，AC的中点D，E，将△ADE沿DE折起到△AD1E的位置，使A1D⊥BD，设点M为棱A1D的中点，点P为A1B的中点，棱BC上的点N满足BN=3NC．〔Ⅰ〕求证：MN∥平面A1EC；〔Ⅱ〕求三棱锥N﹣PCE的体积．【解答】〔Ⅰ〕证明：取A1E中点F，连接MF，CF，∵M为棱A1D的中点，∴MF∥DE且MF=，而△ABC中，D，E为边AB，AC的中点，那么DE∥BC，且DE=，∴MF∥BC，MF∥NC且MF=，∴四边形MFCN为平行四边形……〔4分〕∴MN∥FC，……〔5分〕∵MN⊄平面A1EC，FC⊂平面A1EC，∴MN∥平面A1EC．……〔6分〕〔Ⅱ〕取BD中点H，连PH．∵AB⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥DA1，DE⊥BD，∵DB⊥DA1，DE∩BD=D，∴DA1⊥面BCDE，∵PH∥A1D，∴PH⊥面BCDE，∴PH为三棱锥P﹣NCE的高．……〔9分〕∴PH=，S．∴V N=V P﹣NCE==……〔12分〕﹣PEC20．〔12分〕抛物线C：x2=8y与直线l：y=kx+1交于A，B不同两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，所得的两条切线相交于点P．〔Ⅰ〕求证为定值；〔Ⅱ〕求△ABP的面积的最小值及此时的直线l的方程．【解答】证明：〔Ⅰ〕设A，B的坐标分别为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由消y得x2﹣8kx﹣8=0，方程的两个根为x1，x2，∴△=4p2k2+4p2＞0恒成立，x1+x2=8k，x1x2=﹣8，∵A，B在抛物线C上，∴y1=，y2=，∴y1y2==1，∴=x1x2+y1y2=﹣8+1=﹣7为定值．解〔Ⅱ〕由x2=8y即y=x2，∴y′=x，∴k AP=x1，k BP=x2，∴直线AP的方程为：y﹣=x1〔x﹣x1〕即y=x1x﹣x12，①同理直线BP的方程为y=x2x﹣x22，②由①②得2x〔x1﹣x2〕=〔x1﹣x2〕〔x1+x2〕，而x1≠x2，故有x==4k，y==﹣1，即点P〔4k，﹣1〕，∴|AB|=•=•=4•，点P〔4k，﹣1〕到直线l：y=kx+1的间隔d=，=|AB|•d=4〔2k2+1〕，∴S△ABP∵k2＞1，∴当k2=0时，即k=0时S△ABP有最小值为4，此时直线方程l为y=1．21．〔12分〕函数f〔x〕=axe x〔a∈R〕，g〔x〕=lnx+kx+1〔k∈R〕．〔Ⅰ〕假设k=﹣1，求函数g〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设k=1时有f〔x〕≥g〔x〕恒成立，求a的取值范围．【解答】〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕k=1时，g〔x〕=lnx﹣x的定义域为〔0，+∞〕，．……〔1分〕令＞0，得0＜x＜1，令，得x＞1，所以g〔x〕在〔0，1〕上是增函数，〔1，+∞〕上是减函数．……〔4分〕〔Ⅱ〕当k=1时，f〔x〕≥g〔x〕恒成立，即axe x≥lnx+x+1恒成立．因为x＞0，所以a≥．……〔5分〕令h〔x〕=，那么．……〔6分〕令p〔x〕=﹣lnx﹣x，，故p〔x〕在〔0，+∞〕上单调递减，且p〔〕=1﹣，p〔1〕=﹣1＜0，故存在x0∈〔，1〕，使得p〔x0〕=﹣lnx0﹣x0=0，故lnx0+x0=0，即．当x∈〔0，x0〕时，p〔x〕＞0，h′〔x〕＞0；当x∈〔x0，+∞〕时，p〔x〕＜0，h′〔x〕＜0；∴h〔x〕在〔0，x0〕单调递增，在〔x0，+∞〕单调递减，……〔9分〕∴h〔x〕max=h〔x0〕==1，……〔11分〕故a的取值范围是[1，+∞〕．……〔12分〕请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取一样的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．〔I〕假设曲线C2，参数方程为：〔α为参数〕，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程〔Ⅱ〕假设曲线C2，参数方程为〔t为参数〕，A〔0，1〕，且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求的取值范围，【解答】解：〔I〕∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x．曲线C2，参数方程为：〔α为参数〕，∴曲线C2的普通方程：x2+〔y﹣1〕2=t2．〔II〕将C2的参数方程：〔α为参数〕，代入C1的方程得：t2+〔2sinα﹣2cosα〕t+1=0，∵△=〔2sinα﹣2cosα〕2﹣4=8﹣4＞0，∴||∈，∴∈∪，∴t1+t2=﹣〔2sinα﹣2cosα〕，t1t2=1，∴t1与t2同号，∴|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：=+===2||∈〔2，2]，∴∈〔2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|2x+b|+|2x﹣b|．〔I〕假设b=1．解不等式f〔x〕＞4．〔Ⅱ〕假设不等式f〔a〕＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=|2x+b|+|2x﹣b|，b=1时，不等式f〔x〕＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，它等价于或或，解得x＞1或x＜﹣1或x∈∅；∴不等式f〔x〕＞4的解集为〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕．〔Ⅱ〕f〔a〕=|2a+b|+|2a﹣b|=|2a+b|+|b﹣2a|≥|〔2a+b〕+〔b﹣2a〕|=|2b|，当且仅当〔2a+b〕〔b﹣2a〕≥0时f〔a〕获得最小值为|2b|；令|2b|＞|b+1|，得〔2b〕2＞〔b+1〕2，解得b＜﹣或b＞1，∴b的取值范围是〔﹣∞，﹣〕∪〔1，+∞〕．。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年东北三省四城市联考暨沈阳市高三数学试题✽的。

1.设集合，集合，则( )A. B.C.D.2.若，则的值为( )A. 20B. 8C. 120D. 1603.辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎如图出土于辽宁省喀左县小波汰沟。

此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕。

它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体忽略鼎壁厚度，如图2所示，已知球的半径为R ，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为( )A. B. C.D.4.已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是( )A. B.C.D.5.已知是公差不为0的等差数列，是其前n 项和，若，则下列关系中一定正确的是( )A.B. C.D.6.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是( )A. B.C. D.7.已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为( )A. 1B.C. 2D.8.已知向量，，函数，若，使不等式成立，则实数a的最大值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.对于，，下列说法正确的有( )A. 若，则B. 若，则是纯虚数C. D.10.为调查中学男生的肺功能情况，对两学校各1000名男生的肺活量数据单位：进行分析，随机变量X表示甲校男生的肺活量，且，随机变量Y表示乙校男生的肺活量，且，则下列说法中正确的有( )A. 甲校男生肺活量数据的平均值低于乙校B. 乙校男生肺活量数据的波动幅度大于甲校C. 估计甲、乙两校男生肺活量在的人数占比相同D. 估计甲校男生肺活量低于2800ml的人数比乙校男生肺活量低于2800ml的人数多11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若方程有四个不相等的实数根，则满足条件的可以为( )A. B. C. D.12.在正方体中，，点P在正方体的面内含边界移动，则下列结论正确的是( )A.当直线平面时，则直线与直线成角可能为B.当直线平面时，P点轨迹被以A为球心，为半径的球截得的长度为C.若直线与平面所成角为，则点P的轨迹长度为D. 当直线时，经过点B，P，的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2019年长春市高中毕业班第三次调研测试数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 若i zi-=+123，则=z A.1522i -- B.1522i - C.i 2521+ D.1522i -+2. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，则集合{|1,}y y x x A =+∈=A.{1,2,3}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}-3. 直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或17-4. 各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成等差数列，则1012810a aa a +=+A.1B.3C.6D.95. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4rA. 24310r r r r <<<<B. 42130r r r r <<<<C. 42310r r r r <<<<D. 24130r r r r <<<<6. 函数21()3coslog 22f x x x π=--的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.57. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内应填入的条件是 A.i <4 B.i >4 C.i <5 D.i >58. 函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图像只需将()f x 的图像A.向左平移6πB.向右平移3π C.向左平移23πD.向右平移23π9. 若满足条件AB=3，C=3π的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是A.()1,2B.()2,3C.()3,2D.()2,2 10. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为A.13B.23C.12D.3411. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，O 是坐标原点，满足OM ON ⊥，则双曲线的离心率为A.172+ B.152+ C.132+ D.122+12. 四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于443+，则球O 的体积等于 A.423π B.823π C.1623π D.3223π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 平面区域⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-1111y x y x 的周长为_______________.14. 某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的长度为6，在侧视图中的长度为5，则该长方体的全面积为________________.15. 等差数列{}n a 的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，则数列{}n S 为递增数列的充分必要条件是________________.16. 如果直线2140ax by -+=(0,0)a b >>和函数1()1x f x m+=+(0,1)m m >≠的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是_______________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，向量(2cos ,1)m B =，向量(1sin ,1sin 2)n B B =--+，且满足m n m n +=-.⑴求角B 的大小；⑵求sin sin A C +的取值范围. 18. （本小题满分12分）2019年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示： ⑴求本周该银行所发放贷款的贷款．．年限．．的标准差； ⑵求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率； ⑶求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）.19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面,90ADC ∠=，AB CD||，122AD CD DD AB ====.⑴求证：11AD B C ⊥； ⑵求四面体11A BDC 的体积.A 1CD 1DA BB 1C 16正视图侧视图俯视图520. （本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点， ,M N 分别为其左右顶点，过2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点. 当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN的面积等于2，且满足222MF AB F N =+.⑴求此椭圆的方程；⑵当直线l 绕着焦点2F 旋转但不与x 轴重合时，求MA MB NA NB ⋅+⋅的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵对于任意正实数x ，不等式1()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶求证:当3a >时，对于任意正实数x ，不等式()()xf a x f a e +<⋅恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于,B C 两点，且100BMP ∠=，40BPC ∠=.⑴求证：MBP ∆ 与MPC ∆相似； ⑵求MPB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：2sin()42t πρθ+=（其中t 为常数）.⑴若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； ⑵当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离.24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数()|1||22|.f x x x =-++ ⑴解不等式()5f x >；⑵若关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，求实数a 的取值范围.2019年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2019年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.C3. B4.D5.A6.B7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. C由已知i i i z 2521123+=-+=. 故选C. 2. C 将2,1,0,1,2--=x 逐一带入1+=x y ,得y=0,1,2,3，故选C.3. B圆的方程化为22(1)(1)2x y +++=，由直线与圆相切，可有2132=+-m m ,解得71m =-或. 故选B. 4. D由已知31232a a a =+于是232q q =+,由数列各项都是正数，解得3q =,210128109a a q a a +==+. 故选D.5. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<. 故选A6. B在同一坐标系内画出函数3cos2y x π=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C. 8. A由条件知函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，由此可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得x A x A x A x f 2cos )22sin(]6)6(2sin[)6(=+=++=+ππππ.故选A. 9. C若满足条件的三角形有两个，则应1sin sin 23<<=A C ，又因为2sin sin ==CABA BC ，故A BC sin 2=，32BC <<. 故选C. 10. C 通过将基本事件进行列举，求得概率为21. 故选C.11. B 由题意可有：a b c 2=，由此求得251+=e . 故选B . 12. B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径R ，且四棱锥的高h R =，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2R 的正三角形，底面为边长为2R 的正方形，所以该四棱锥的表面积为2124(22sin 60)2R R R +⋅⋅⋅= 2(223)443R +=+，于是2,22==R R ，进而球O 的体积3448222333V R πππ==⨯=. 故选B .二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 4214. 465+15.0d ≥且0d a +>16. 34[,]43简答与提示：13. 画出图形，可得该区域图形为边长为2的正方形，故其周长为42.14. 由体对角线长10，正视图的对角线长6，侧视图的对角线长5，可得长方体的长宽高分别为5，2，1，因此其全面积为2(515212)465⨯+⨯+⨯=+.15. 由n n S S >+1，可得(1)(1)(1)22n n n n n a d na d +-++>+，整理得0>+a dn ，而*∈N n ，所以0d ≥且0>+a d . 因此数列{}n S 单调递增的充要条件是: 0d ≥且0d a +>.16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-.将点(1,2)-代入2140ax by -+=，可得7a b +=.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤.由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(3,4)A 和(4,3)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34[,]43.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识.【试题解析】解：⑴由m n m n +=-，可知0m n m n ⊥⇔⋅=. 然而(2cos ,1),m B =(1sin ,1sin 2)n B B =--+，所以有2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-=，得1c o s ,602B B ==.(6分)⑵)30sin(3cos 23sin 23)120sin(sin sin sin +=+=-+=+A A A A A C A .(9分)又0120A <<，则3030150A <+<，1sin(30)12A <+≤， 所以 3sin sin 23≤+<C A ,即sin sin A C +的取值范围是3(,3]2.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、平均值的求取以及概率的初步应用.【试题解析】解：⑴贷款年限依次为10，15，20，25，30，其平均值20x =.222222(1020)(1520)(2020)(2520)(3020)505s -+-+-+-+-==，所以标准差52s =. (4分)⑵所求概率123101025980808016P P P P =++=++=. (8分) ⑶平均年限101010152025252015302280n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈(年).(12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ， 90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D =，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而C B AD 11⊥. (6分) ⑵设所给四棱柱的体积为V ，则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2V .而3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ，3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V . (12分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 面积: ,222212=⋅⋅ab a 得12=b . 又2222,,b MF a c AB F N a c a =+==-，于是c a ab c a -+=+222，得2=ac ，又221a c =+，解得2a =.因此该椭圆方程为1222=+y x . (4分) (2)设直线1:+=my x l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x my x 消去x 并整理得：012)2(22=-++my y m . 设),(),,(2211y x B y x A ，则有21,22221221+-=+-=+m y y m m y y . (6分) 由),2(11y x MA +=，),2(22y x MB +=，),2(11y x NA -=，),2(22y x NB -=，可得4)(22121++=⋅+⋅y y x x NB NA MB MA . (8分) 1)()1()1)(1(2121221212121++++=+++=+y y m y y m y y my my y y x x 21222++-=m m ,所以2104)(222121+=++=⋅+⋅m y y x x NB NA MB MA . (10分) 由于m R ∈,可知MA MB NA NB ⋅+⋅的取值范围是(0,5]. (12分) 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴令()l n 10fx x '=+=,得1x e=. 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增.(3分)⑵由于0x >，所以11()l n l n 22fxxxk x k x x=>-⇔<+. 构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x =. 当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数在点12x =处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分) ⑶()()()ln()ln x xf a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a xa a x a x a ae e+++⇔<.构造函数ln ()xx xg x e =，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分) 对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x x x xx e x x e x x xg x e e +-⋅+-'==. 令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.当1x >时，()(1)0h x h ''<=，从而函数()h x 在(1,)+∞上也是减函数. 从而当3x >时，()()ln 1ln 20h x h e e e e e <=+-=-<，即()0g x '<，即函数ln ()xx xg x e =在区间(3,)+∞上是减函数.当3a >时，对于任意的非零正数x ，3a x a +>>，进而有()()g a x g a +<恒成立，结论得证. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】解：⑴因为MA 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅ 又M 为PA 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP ∆与PMC ∆相似. （5分） ⑵由⑴中BMP ∆与PMC ∆相似，可得MPB MCP ∠=∠. 在MCP ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=， 得180202BPC BMPMPB -∠-∠∠==. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N 过点(2,1)时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(2,1)-之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以2121t -+<≤+满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t 的取值范围是：2121t -+<≤+或54t =-. （6分）(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x ，02x ≤，则823243)21(212002≥++=++=x x x d ， 当012x =-时取等号，满足02x ≤，所以所求的最小距离为823. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去；当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.(5分) （2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x -(()40)f x -≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞.根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数a 的取值范围是1(,0]2-. (10分)。