山东省临沂市2017届高三下学期第三次模拟考试试题(数学理)

山东省临沂市数学高考理数三模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共11题；共21分)1. （2分）(2018·海南模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 设P为△ABC所在平面内一点，且2 +2 + = ，则△PAC 的面积与△ABC的面积之比等于（）A .B .C .D . 不确定3. （2分） (2018高二下·长春月考) 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分）已知命题p：∀x∈（0，），x＞sinx；命题q：∃x∈（0，），sinx+cosx= ，下列命题为真命题的是（）A . p∧qB . p∧（￢q）C . （￢p）∧qD . （￢p）∧（￢q）5. （1分） (2016高二上·沭阳期中) 执行如图所示的伪代码，输出i的值为________．6. （2分） (2016高二下·清流期中) 展开式的第6项系数最大，则其常数项为（）A . 120B . 252C . 210D . 457. （2分）关于下面等高条形图说法正确的有（）A . 在被调查的 x 1中，y 1占70%B . 在被调查的 x 2中，y 2占20%C . x 1与 y 1有关D . 以上都不对8. （2分） (2017高一下·长春期末) 若实数x,y满足，则的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A . 8πcm2B . 12πcm2C . 16πcm2D . 20πcm210. （2分） (2016高三上·宜春期中) 若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A . （﹣2018，﹣2015）B . （﹣∞，﹣2016）C . （﹣2016，﹣2015）D . （﹣∞，﹣2012）二、填空题 (共4题；共5分)12. （1分） (2017高三上·北京开学考) 抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=________．13. （2分）(2017·绍兴模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．14. （1分） (2017高一上·安庆期末) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ+ ）（ω＞0，0＜φ≤ ）的部分图象如图所示，则φ的值为________．15. （1分）(2017·南京模拟) 公比为q（q≠1）的等比数列a1 ， a2 ， a3 ， a4 ，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）成等差数列，则所有满足条件的q的取值的代数和为________．三、解答题 (共7题；共60分)16. （10分） (2019高二上·郑州期中) 在中，内角，，的对边分别是，，，且 .（1）求角的大小；（2）若，与在两侧，，求面积的最大值.17. （10分）(2017·江西模拟) 某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi（i=1，2，…，5），且pi= （i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望．18. （10分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，点E为AD边上的中点，过点D作DF∥BC交AB于点F，现将此直角梯形沿DF折起，使得A﹣FD﹣B为直二面角，如图乙所示．（1）求证：AB∥平面CEF；（2）若二面角的余弦值为﹣，求AF的长．19. （10分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l（不经过椭圆上顶点A）与椭圆C相交于P，Q两点，且• =0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．20. （10分） (2016高二下·新余期末) 由于某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为），涨价后商品卖出的个数减少bx成，税率是新价的a成，这里a，b均为常数，且a＜10，用A表示过去定价，B表示过去卖出的个数．（1）设售货款扣除税款后，剩余y元，求y关于x的函数解析式；（2）要使y最大，求x的值．21. （5分）(2017·南通模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），现以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．22. （5分）已知函数f（x）= （a，b为常数，且a≠0）满足f（2）=1且方程f（x）=x有唯一解，求函数f（x）的解析式．参考答案一、选择题 (共11题；共21分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共5分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题；共60分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。

山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2zi i =-，i 为虚数单位，则z =（ ） A ． 2i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --2.已知集合1{|()1}2xA x =≤，2{|280}B x x x =--≤，则AB =（ ）A ．{|20}x x -≤≤B ．{|24}x x ≤≤C ．{|04}x x ≤≤D ．{|2}x x ≤-3.直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为（ ） A ．272 B ． 9 C ． 92 D ．2744.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于直线12x π=对称C. 关于点5(,0)12π对称 D ．关于直线512x π=对称 5.下列说法错误的是（ ）A ．对于命题2:,10p x R x x ∀∈++>，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤ B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C.若命题p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a c C. ,c b D ．,b d7.点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线段的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C. 22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-=8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ． 29B ． 31 C. 33 D ．369.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P是双曲线上在第一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点,M N ，12||2||PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 10.已知函数()f x 满足1()()f x f x=，且当1[,1]x π∈时，()ln f x x =，若当1[,]x ππ∈时，函数()()g x f x ax =-与x 轴有交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln [,0]ππ-B ．1[,]2ππ-- C. 1ln [,]πππ- D ．[ln ,0]ππ-第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知实数,x y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则3y x -的最小值为 ．12.若经过抛物线24y x =焦点的直线l 与圆22(4)4x y -+=相切，则直线l 的斜率为 ． 13.已知1sin()cos 63παα--=，则cos(2)3πα+= ． 14.函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则5[()]2f f = ．15.在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则1λμ+的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=． （1）求角C ； （2）若c =ABC ∆ABC ∆的周长． 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，14CC AB AC BC ====，D 为线段AC 的中点．（1）求证：直线1//AB 平面1BC D ； （2）求三棱锥1D C CB -的体积．18. 已知正项数列{}n a 满足11a =，且*1()21nn n a a n N a +=∈+．（1）证明数列1{}na 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n nb n a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M BQ C --大小为30，求线段QM 的长．20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F，且点(-在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB =-恒成立，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数2()2ln f x m x x =-，()2ln xg x e m x =-，()m R ∈，ln 20.693=． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在最大值M ，()g x 存在最小值N ，且M N ≥，求证：2e m >．试卷答案一、选择题1-5: DCCDC 6-10: AABBD二、填空题11. 13-12. 79 14. 12-15．3三、解答题16.（1）2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=2cos sin()sin C A B C +=∵A B C π++=，,,(0,)a b c π∈，∴sin()sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C = ∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-221722a b ab =+-2()37a b ab +-=1sin 2S ab C ===，∴6ab = ∴2()187a b +-=，5a b +=∴ABC ∆周长为5a b c ++=17.（1）连接1B C 交1BC 于点M ，连接DM ，在1ACB ∆中，D 为AC 中点，M 为1BC 中点， 所以1//DM AB ，又因为1AB ⊄平面1BC D ，DM ⊂平面1BC D所以1//AB 平面1BC D（2）因为1CC ⊥底面ABC ，所以1CC 为三棱锥1C DBC -的高， 所以11113D C CB C BCD BCD V V S CC --∆==⨯112432=⨯⨯⨯=18.（1）∵121n n n a a a +=+，∴1112n n a a +=+，∴1112n na a +-=又111a =，∴数列1{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列 ∴121nn a =-，∴*1()21n a n N n =∈- （2）由（1）知，111(1)(1)()(21)(21)42121nn n n b n n n n =-=⨯-⨯+-+-+∴123n n T b b b b =++++111111111[()()()(1)()]41335572121n n n =-+++-+++-+-+ 11[1(1)]421n n =-+-+ 19.（1）∵//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ又∵90ADC ∠=，∴90AQB ∠=，即QB AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD .（2）∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD = ∴PQ ⊥平面ABCD如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =又PQ，∴设(1PM PC λλ==-，[0,1]λ∈(,)()QM QP PM λλ=+=+-=-又QB =，设平面MBQ 的法向量为(,,)m x y z =)0x y z λ=-+=⎪⎩取(3,0,)1m λλ=- ∵二面角M BQ C --为30，∴33cos30||24||||m n m n λ==⇒=∴3(4QM =-，∴线段QM 20.（1）由题意，1c =∵点(1,2-在椭圆C 上，∴根据椭圆的定义可得：22a ==a ⇒=2221b ac =-= ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）假设x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB =-恒成立.①当直线l 的斜率为0时，(A B ，则7,0)(2,0)16m m --=-∴22516m =，∴54m =±②当直线l 的斜率不存在时，(1,),(1,22A B -，则7(1(1,2216m m ---=- 215(1)164m m -=⇒=或34由①②可得：54m =下面证明54m =时，716QA QB =-恒成立.当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y 直线方程代入椭圆方程，整理可得：22(2)210t y ty ++-=∴12222t y y t +=+，12212y y t =+， ∴112212125511(,)(,)()()4444QA QB x y x y ty ty y y =--=--+2121211(1)()416t y y t y y =+-++22222172(2)1616t t t --+=+=-+ 综上可知，x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB =-恒成立. 21.（1）由题意知，0x >，2'22()m x f x x-=，0m ≤时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞递减，0m >时，令'()0f x >0x ⇒<<'()0f x <x ⇒>∴()f x 在递增，在)+∞递减.（2）证明：'2()x xe mg x x-=，0m ≤时，'()0g x >恒成立，()g x 在(0,)+∞递增，无最小值，由（1）知，此时()f x 无最大值，故0m >. 令()2x u x xe m =-，则'()0x x u x e xe =+>， ∵(0)20u m =-<，2(2)2(1)0m u m m e =->，故存在唯一0(0,2)x m ∈，使得0()0u x =，即002x x e m =，列表如下：由（1）得：ln M f m m m ==-，000()2ln x N g x e m x ==-，由题意M N ≥，即00ln 2ln x n m m e m x -≥-，将002x x e m =代入上式有：0000000000ln 2ln 2222x x x x x x e x e x e x e e x -≥- 化简得：200003ln (ln 21)10222x x x x +-+-≥（*） 构造函数23()ln (ln 21)1222x x h x x x =+-+-，'31()(ln 1)(ln 21)22h x x x =++-+，显然'()h x 单调递增，且'1(1)(4ln 2)02h =->，'19()5ln 2088h =-<， 则存在唯一(0,1)t ∈，使得'()0h t =.且(0,)x t ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；(,)x t ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增. 又1(1)ln 2102h =--<，故()0h x ≥只会在(,)t +∞有解， 而(2)3ln 22(ln 21)2ln 20h =+-+=>故（*）的解是01x >，则0022x x e em =>.。

2017年普通高考模拟考试理科综合能力测试 2017.5本试题分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至6页，第Ⅱ卷7至16页，共300分。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位臵。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位臵用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，将答题卡上交。

第I卷本卷共21小题，每小题6分，共126分。

可能用到的相对原子质量：H 1 B 11 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23 Ca 40 V 51一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．细胞的生命活动离不开生物膜。

下列叙述正确的是A．酵母菌中ATP的合成均在生物膜上进行B．蓝藻中光反应在叶绿体类囊体薄膜上进行O的生成在生物膜上进行C．细胞代谢中H2D．兴奋或抑制的传递需要突触后膜上受体的识别2．下列关于细胞生命历程的叙述，错误的是A．细胞代谢产生的自由基会导致细胞衰老B．被病原体感染细胞的清除，是通过细胞坏死完成的C．细胞凋亡，有的基因活动加强，有利于个体的生长发育D．癌细胞分裂能力强，细胞周期缩短，核仁变大3．如图为根弯曲角度(α)随单侧光照强度的变化曲线。

下列分析错误的是A．该实验可以体现生长素对根部生理作用具有两重性B．单侧光刺激导致生长素横向运输，表现出根的背光性C．光照强度越强，根向光侧生长素的促进作用越强D．根背光弯曲生长是环境影响基因表达的结果4．雾霾中的PM2.5富含有毒、有害物质，吸入人肺部的部分颗粒会被吞噬细胞吞噬，导致生物膜通透性改变，引起细胞死亡。

山东省临沂市2018届高考数学第三次模拟考试试题 理本试卷共5页，23题(含选考题)．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={}x x a >，B={}232x x x -+>0，若A ∪B=B ，则实数a 的取值范围是(A) (),1-∞(B) (],1-∞ (C) ()2,+∞ (D) [)2,+∞ 2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+ (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3ie 表示的复数在复平面中位于(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 3．给出以下三种说法： ①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+<”；②已知,p q 为两个命题，若p q ∨为假命题，则()()p q ⌝∧⌝为真命题；③命题“,a b 为直线，α为平面，若//,//,a b αα，则//a b ”为真命题．其中正确说法的个数为(A)3个 (B)2个(C)1个 (D)0个 4．已知4cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α= (A) 725- (B) 15- (C) 15 (D) 7255．直线40x y m ++=交椭圆2116x y +=于A ，B 两点，若线段AB中点的横坐标为l ，则，m=(A)－2 (B)－1 (C)1 (D)26．执行如图所示的程序框图，则输出的a =(A)6.8 (B)6.5(C)6.25 (D)67．已知定义域为R 的奇函数()f x 在(0，+∞)上的解析式为()()()23log 5,0233,,2x x f x f x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩则()()32018f f +=(A)－2 (B)－1 (C)1 (D)28．一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“▂”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A ，点A 落在深色区域内的概率为12，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B ，则点B 落在深色区域内的概率为(A) 67 (B) 37 (C) 34 (D) 389．记不等式组10,330,10x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，所表示的平面区域为D ，若对任意点(00,x y )∈D ，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是(A) (],4-∞- (B) (],1-∞- (C) [)4,-+∞ (D) [)1,-+∞10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) 13π+ (B) 223π+ (C) 23π+ (D) 123π+ 11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线C 虚轴的一个端点，若线段AF 2与双曲线右支交于点B ，且112::AF BF BF =3：4：2，则双曲线C 的离心率为12．在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且满足∠DAC=90°，sin ∠BAD=13，若S △ADC =3S △ABD ，则cosC=(A) 3 (B) 3 (C) 23 (D) 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省临沂市2017年高考一模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x+1|≥1}，B={x|x≥﹣1}，则（∁A）∩B=（）RA．[﹣1，0] B．[﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1]2．设（1+i）（ x﹣yi）=2，其中 x，y 是实数，i 为虚数单位，则 x+y=（）A．1 B．C．D．23．已知λ∈R，向量=（3，λ），=（λ﹣1，2），则“λ=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（）A．B．C．D．5．已知实数 x∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不大于63的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．若 x ，y 满足，则 z=y ﹣2x 的最大值为（ ）A ．8B ．4C ．1D ．27．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． +8πB ． +8πC ． +16πD ． +16π8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1+=，则A=（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°9．已知 x ＞1，y ＞1，且 lg x ，，lg y 成等比数列，则 xy 有（ ）A ．最小值10B ．最小值C ．最大值10D ．最大值10．已知双曲线 C 1：﹣=1（ a ＞0，b ＞0），圆 C 2：x 2+y 2﹣2ax+a 2=0，若双曲线C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1的离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知变量 x，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若 y关于 x 的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m= ；12．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P（ξ＞1）=0.2，则 P （﹣1＜ξ＜1）= ．13．已知函数f（x）=则f（log27）= ．14．已知m=9cos xdx，则（﹣x）m展开式中常数项为．15．已知函数 f（x）=1+x﹣+，g （x）=1﹣x+﹣，设函数F（x）=f（x﹣4）⋅g（x+3），且函数 F （ x）的零点均在区间[a，b]（ a＜b，a，b ∈Z ）内，则 b﹣a 的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数 f （ x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x．（Ⅰ）求函数 f （ x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数 y=f （ x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g （ x）的图象，求 y=g（ x）在[，2π]上的值域．17．（12分）已知数列{an }的前 n 项和为 Sn，a1=1，且 an+1=2Sn+1，n∈N∗．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令 c=log 3a 2n ，b n =，记数列{b n }的前 n 项和为T n ，若对任意 n ∈N ∗，λ＜T n 恒成立，求实数 λ 的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD ，PA=3，F 是棱 PA 上的一个动点，E 为PD 的中点． （Ⅰ）若 AF=1，求证：CE ∥平面 BDF ；（Ⅱ）若 AF=2，求平面 BDF 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）某科技博览会展出的智能机器人有 A ，B ，C ，D 四种型号，每种型号至少有 4 台．要求每 位购买者只能购买1台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的．现在有 4 个人要购买机器人．（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了 A ，B ，C ，D 四种型号的机器人各一台，现把他们 排成一排表演节目，求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率；（Ⅱ）设这 4 个人购买的机器人的型号种数为ξ，求ξ 的分布列和数学期望．20．（13分）已知函数f （x ）=x 2+ax ，g （x ）=e x ，a ∈R 且a ≠0，e=2.718…，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数h （x ）=f （x ）•g（x ）在[﹣1，1]上极值点的个数；（Ⅱ）令函数p （x ）=f'（x ）•g（x ），若∀a ∈[1，3]，函数p （x ）在区间[b+a ﹣e a ，+∞]上均为增函数，求证：b ≥e 3﹣7．21．（14分）已知椭圆Γ： +y 2=1（a ＞1）的左焦点为F 1，右顶点为A 1，上顶点为B 1，过F 1，A 1，B 1三点的圆P 的圆心坐标为（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线l ：y=kx+m （k ，m 为常数，k ≠0）与椭圆Γ交于不同的两点M 和N ．（i ）当直线l 过E （1，0），且+2=时，求直线l 的方程；（ii ）当坐标原点O 到直线l 的距离为时，求△MON 面积的最大值．山东省临沂市2017年高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A）∩B=（）1．已知集合A={x||x+1|≥1}，B={x|x≥﹣1}，则（∁RA．[﹣1，0] B．[﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求解绝对值的不等式化简A，再由交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：∵A={x||x+1|≥1}={x|x≤﹣2或x≥0}，∴∁A={x|﹣2＜x＜0}，又B={x|x≥﹣1}，RA）∩B=[﹣1，0）．∴（∁R故选：B．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．设（1+i）（ x﹣yi）=2，其中 x，y 是实数，i 为虚数单位，则 x+y=（）A．1 B．C．D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵（1+i）（ x﹣yi）=2，∴x+y+（x﹣y）i=2，∴x+y=2，x﹣y=0．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知λ∈R，向量=（3，λ），=（λ﹣1，2），则“λ=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量的平行关系求出λ的值，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：由“∥”，得：λ（λ﹣1）=6，解得：λ=3或﹣2，故“λ=3”是“∥”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了向量的平行关系以及充分必要条件的定义，是一道基础题．4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（）A．B．C．D．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据新定义直接判断即可【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8335 用算筹可表示为，故选：B【点评】本题考查了新定义的学习，属于基础题．5．已知实数 x ∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不大于63的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】EF ：程序框图．【分析】由框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件，计算输出x 的值，根据框图的运算结果求出当输入x ∈[1，10]时，输出x 的集合，并确定数集的长度，再求出输出x 不大于63的数集的长度，利用长度之比求概率．【解答】解：设实数x ∈[1，10]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x输出的值为8x+7，∴当输入x ∈[1，10]时，输出x ∈[15，87]，数集的长度为72；输出x 不大于63，则x ∈[15，63]，数集的长度为48．∴输出的x 不大于63的概率为=．故选：D ．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，考查了几何概型的概率计算，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，求得输出x 所在数集的长度是关键，属于基础题．6．若 x，y 满足，则 z=y﹣2x 的最大值为（）A．8 B．4 C．1 D．2【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数 z=y﹣2x 为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z=0﹣2×（﹣2）=4．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8π B． +8πC． +16πD． +16π【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，分别求出体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为： =8π，三棱锥的底面面积为： =4，高为2，故体积为：，故组合体的体积V=+8π，故选：A【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=，则A=（）A．30° B．45° C．60° D．120°【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】由同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可求cosA，结合A的范围，由特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：∵1+=，∴1+=，可得： =，∴=，∴cosA=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．已知 x ＞1，y ＞1，且 lg x ，，lg y 成等比数列，则 xy 有（ ）A ．最小值10B ．最小值C ．最大值10D ．最大值【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由题意和等比中项的性质列出方程，由条件和基本不等式列出不等式，由对数的运算法则求出xy 的最小值．【解答】解：∵lg x ，，lg y 成等比数列，∴=（lg x ）（lg y ），即 （lg x ）（lg y ）=，又 x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，∴lg x+lg y，当且仅当lg x=lg y 时，即x=y 取等号，∴lg x+lg y=lg （x y ）≥，则xy ≥，即xy 有最小值是，故选B ．【点评】本题考查等比中项的性质，基本不等式，以及对数的运算法则的应用，属于基础题．10．已知双曲线 C 1：﹣=1（ a ＞0，b ＞0），圆 C 2：x 2+y 2﹣2ax+a 2=0，若双曲线C 1 的一条渐近线与圆 C 2 有两个不同的交点，则双曲线 C 1 的离心率的范围是（ ）A ．（1，）B ．（，+∞） C ．（1，2）D ．（2，+∞）【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】由圆的方程求得圆心及半径，利用点到直线的距离公式，求得圆心到渐近线的距离小于半径，求得a 和c 关系，利用离心率公式即可求得双曲线C 1的离心率的范围．【解答】解：双曲线 C1：﹣=1（ a＞0，b＞0），渐近线方程y=±x，即bx±ay=0，圆 C2：x2+y2﹣2ax+a2=0，（x﹣a）2+y2=，圆心（a，0），半径a，由双曲线C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则＜a，即c＞2b，则c2＞4b2=4（c2﹣a2），即c2＜a2，双曲线 C1的离心率e=＜，由e＞1，∴双曲线 C1的离心率的范围（1，），故选A．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知变量 x，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若 y关于 x 的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m= 3.1 ；【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．【解答】解：由题意， =2.5，代入线性回归方程为=1.3x﹣1，可得=2.25，∴0.1+1.8+m+4=4×2.25，∴m=3.1．故答案为3.1．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础．12．设随机变量ξ～N （μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P （ξ＞1）=0.2，则 P （﹣1＜ξ＜1）= 0.3 ．【考点】CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】ξ～N （μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P （ξ＞1）=0.2，可得μ=﹣1，P （﹣1＜ξ＜1）=0.5﹣0.2=0.3．【解答】解：∵ξ～N （μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P （ξ＞1）=0.2， ∴μ=﹣1，P （﹣1＜ξ＜1）=0.5﹣0.2=0.3， 故答案为：0.3．【点评】本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1．13．已知函数f （x ）=则f （log 27）=．【考点】5B ：分段函数的应用．【分析】由已知中函数f （x ）=，将x=log 27代入，结合指数的运算性质和对数的运算性质，可得答案．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （log 27）=f （log 2）=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数和对数的运算性质，难度基础．14．已知m=9cos xdx ，则 （﹣x ）m 展开式中常数项为 ﹣84 ．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】利用微积分基本定理可得m=9=9，再利用通项公式即可得出．【解答】解：m=9cos xdx=9=9，==（﹣1）r，则（﹣x）m展开式中通项公式：Tr+1令=0，解得r=3．∴常数项=﹣=﹣84．故答案为：﹣84．【点评】本题考查了微积分基本定理、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知函数 f（x）=1+x﹣+，g （x）=1﹣x+﹣，设函数F（x）=f（x﹣4）⋅g（x+3），且函数 F （ x）的零点均在区间[a，b]（ a＜b，a，b ∈Z ）内，则 b﹣a 的最小值为 6 ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．【分析】求出函数f（x）的导数，求出f（x）的单调区间，从而求出其零点的范围，求出f（x﹣4）的零点所在的范围；通过讨论x的范围，求出g（x）在R 的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出g（x+3）所在的零点的范围，F （ x）的零点均在区间[a，b]，进而求出a，b的值，求出答案即可．【解答】解：∵函数 f（x）=1+x﹣+，f′（x）=1﹣x+x2＞0，∴f（x）在R单调递增，而f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点，∴函数f（x﹣4）在[3，4]上有一个零点，函数g （x）=1﹣x+﹣，g′（x）=﹣1+x﹣x2＜0，∴f（x）在R单调递减，而g（1）=1﹣1+＞0，g（2）=1﹣2+2＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）内有零点，∴函数g（x+3）在[﹣2，﹣1]上有一个零点，函数F（x）=f（x﹣4）⋅g（x+3），且函数 F （ x）的零点在区间[﹣2，4]内，则 b﹣a 的最小值为：6．故答案为：6．【点评】本题考查函数的单调性的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（2017•青岛一模）已知函数 f （ x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x．（Ⅰ）求函数 f （ x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数 y=f （ x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g （ x）的图象，求 y=g（ x）在[，2π]上的值域．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （ x ）=2sin（2x+），令2x+=kπ+，k∈Z，解得函数 f （ x）图象的对称轴方程．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g （ x）=2sin（+），由x∈[，2π]，利用正弦函数的性质可求值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f （ x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sinxcosx=sin2x+cos2x+cos2x﹣sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+），∴令2x+=kπ+，k∈Z，解得函数 f （ x）图象的对称轴方程：x=+，k∈Z，（Ⅱ）将函数 y=f （ x ） 的图象向右平移个单位，可得函数解析式为：y=2sin[2（x ﹣）+]=2sin （2x+），再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 解析式为：y=g （ x ）=2sin （+），∵x ∈[，2π]，∴+∈[，]，可得：sin （+）∈[﹣，1]，∴g （ x ）=2sin （+）∈[﹣1，2]．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．17．（12分）（2017•青岛一模）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1=1，且 a n+1=2S n +1，n ∈N ∗．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令 c=log 3a 2n ，b n =，记数列{b n }的前 n 项和为T n ，若对任意 n ∈N ∗，λ＜T n 恒成立，求实数 λ 的取值范围． 【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（I ）a n+1=2S n +1，n ∈N ∗，n ≥2时，a n =2S n ﹣1+1，可得a n+1﹣a n =2a n ，即a n+1=3a n ．n=1时，a 2=2a 1+1=3，满足上式．利用等比数列的通项公式即可得出．（II）c=log 3a 2n ==2n﹣1．b n ===，利用“裂项求和”及其数列的单调性即可得出．【解答】解：（I ）∵a n+1=2S n +1，n ∈N ∗，n ≥2时，a n =2S n ﹣1+1，可得a n+1﹣a n =2a n ，即a n+1=3a n ．n=1时，a 2=2a 1+1=3=3a 1，满足上式． ∴数列{a n }是等比数列，∴a n =3n ﹣1．（II ） c=log 3a 2n ==2n ﹣1．b n ===，数列{b n }的前n项和T n =+++…++=∵对任意 n ∈N ∗，λ＜T n 恒成立，∴λ＜=．∴实数 λ 的取值是．【点评】本题考查了数列递推关系、对数运算性质、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•青岛一模）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD ，PA=3，F 是棱 PA 上的一个动点，E 为PD 的中点．（Ⅰ）若 AF=1，求证：CE ∥平面 BDF ；（Ⅱ）若 AF=2，求平面 BDF 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PF 中点G ，连接EG ，CG ．连接AC 交BD 于O ，连接FO ．由三角形中位线定理可得FO ∥GC ，GE ∥FD ．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC ∥面FOD ，进一步得到CE ∥面BDF ；（Ⅱ）由底面ABCD 是边长为 3 的菱形，可得AC ⊥BD ，设交点为O ，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，再求出平面 BDF 与平面 PCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由题可得F为AG中点，O为AC中点，∴FO∥GC；又G为PF中点，E为PD中点，∴GE∥FD．又GE∩GC=G，GE、GC⊂面GEC，FO∩FD=F，FO，FD⊂面FOD．∴面GEC∥面FOD．∵CE⊂面GEC，∴CE∥面BDF；（Ⅱ）解：∵底面ABCD是边长为 3 的菱形，∴AC⊥BD，设交点为O，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则B（0，﹣，0），D（0，，0），P（﹣，0，3），C（，0，0），F（，0，2）．则，，，．设平面BDF的一个法向量为，则，取z=3，得．设平面PCD的一个法向量为，则，取y=，得．∴cos＜＞==．∴平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）（2017•青岛一模）某科技博览会展出的智能机器人有 A，B，C，D 四种型号，每种型号至少有 4 台．要求每位购买者只能购买1台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的．现在有 4 个人要购买机器人．（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了 A，B，C，D 四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率；（Ⅱ）设这 4 个人购买的机器人的型号种数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）四中机器人的总的排序为，A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交换．（II）ξ的可能取值为1，2，3，4．P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=4）=，P（ξ=3）=，即可得出．【解答】解：（I） A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交换．因此概率P==．（II）ξ的可能取值为1，2，3，4．P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=4）==，P（ξ=3）==.∴∴E（ξ）=1×+2×+4×+3×=．【点评】本题考查了排列与组合的计算公式、相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2017•青岛一模）已知函数f（x）=x2+ax，g（x）=e x，a∈R 且a≠0，e=2.718…，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）•g（x）在[﹣1，1]上极值点的个数；（Ⅱ）令函数p（x）=f'（x）•g（x），若∀a∈[1，3]，函数p（x）在区间[b+a ﹣e a，+∞]上均为增函数，求证：b≥e3﹣7．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数h（x）的导函数，h′（x）=，令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，求出t（x）的两个零点＜﹣1，＞﹣1．然后分a≤和a＞﹣讨论函数的单调性，从而求得函数h（x）=f（x）•g（x）在[﹣1，1]上的一个极值点的个数；（Ⅱ）由函数p（x）在区间[b+a﹣e a，+∞]上为增函数，可得p′（x）=e x（x+a+1）≥0在区间[b+a﹣e a，+∞]上恒成立，转化为x+a+1≥0在区间[b+a﹣e a，+∞]上恒成立，得到b≥e a﹣2a﹣1对∀a∈[1，3]恒成立，令φ（a）=e a﹣2a﹣1，求导可得φ（a）=e a﹣2a﹣1在[1，3]上为增函数，则φ（a）的最大值为φ（3）=e3﹣7．从而证得b≥e3﹣7．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=x2+ax，g（x）=e x，∴h（x）=f（x）•g（x）=（x2+ax）e x，h′（x）=，令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，由t（x）=0，得＜﹣1，＞﹣1．若a≤，则x2≥1，t（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立，即h′（x）在[﹣1，1]上恒成立，h（x）单调递减，在[﹣1，1]上无极值点；若a＞﹣，则﹣1＜x2＜1，当x∈[﹣1，x2）时，t（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x2，1]时，t（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x2是函数h（x）=f（x）•g（x）在[﹣1，1]上的一个极值点．（Ⅱ）证明：p（x）=f'（x）•g（x）=（x+a）e x，p′（x）=e x（x+a+1），∵函数p（x）在区间[b+a﹣e a，+∞]上为增函数，∴e x（x+a+1）≥0在区间[b+a ﹣e a，+∞]上恒成立，即x+a+1≥0在区间[b+a﹣e a，+∞]上恒成立，则b+a﹣e a+a+1≥0对∀a∈[1，3]恒成立，∴b≥e a﹣2a﹣1对∀a∈[1，3]恒成立，令φ（a）=e a﹣2a﹣1，则φ′（a）=e a﹣2＞0，∴φ（a）=e a﹣2a﹣1在[1，3]上为增函数，则φ（a）的最大值为φ（3）=e3﹣7．∴b≥e3﹣7．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属难题．21．（14分）（2017•青岛一模）已知椭圆Γ：+y 2=1（a ＞1）的左焦点为F 1，右顶点为A 1，上顶点为B 1，过F 1，A 1，B 1三点的圆P 的圆心坐标为（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m （k ，m 为常数，k ≠0）与椭圆Γ交于不同的两点M 和N ．（i ）当直线l 过E （1，0），且+2=时，求直线l 的方程；（ii ）当坐标原点O 到直线l 的距离为时，求△MON 面积的最大值．【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题可知：圆心P 在A 1F 1的中垂线上，则a ﹣c=﹣，由椭圆的性质可知：a 2﹣c 2=1，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）（i ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得x 1及x 2，由x 1x 2=，代入即可求得k 的值，求得直线l 的方程；（ii ）将直线l 的方程代入椭圆方程，由点到直线的距离公式求得m 2=（k 2+1），利用韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式及基本不等式的性质，求得△MON 面积的最大值．【解答】解：（1）椭圆Γ：+y 2=1（a ＞1）的左焦点为F 1（﹣c ，0）右顶点为A 1（a ，0）上顶点为B 1（0，1），由题意可知，圆心P 在A 1F 1的中垂线上，即=，则a ﹣c=﹣，由a 2﹣c 2=1，及（a+c ）（a ﹣c ）=1，∴a+c=+，∴a=，c=，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）（i ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），． 代入椭圆方程，整理得：（1+3k 2）x 2﹣6k 2x+3k 2﹣3=0，由韦达定理可知：x 1+x 2=，①x 1x 2=，②由=（x 1﹣1，y 1），=（x 2﹣1，y 2），+2=时，则（x 1﹣1，y 1）+2（x 2﹣1，y 2）=，则x 1+2x 2=3，③，由①③，解得：x 1=，x 2=由②可知： =×，当3k 2﹣3=0时，即k=±1，显然成立，当3k 2﹣3≠0，1+3k 2≠0，则=1，显然不成立，综上可知：k=±1，∴直线l 的方程y=x ﹣1或y=﹣x+1； （ii ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由题意，设直线AB 的方程为y=kx+m ，由坐标原点O 到直线l 的距离为可得，化为m 2=（k 2+1）．把y=kx+m 代入椭圆方程，消去y 得到（3k 2+1）x 2+6kmx+3m 2﹣3=0，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．∴丨MN 丨2=（1+k 2）[（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2]=（1+k 2）[（﹣）2﹣4（）]==，=3+，（k ≠0），=3+≤3+=4，当且仅当9k2=时，即k=±时，等号成立，此时丨MN丨=2，由△MON面积S=×丨MN丨×，=×2×，=，∴△MON面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，向量的坐标运算及基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．。

临沂三调数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列选项中，哪个是偶数？A. 1B. 2C. 3D. 42. 如果a > b且c < d，那么下列哪个不等式是正确的？A. a + c > b + dB. a - c > b - dC. a * c > b * dD. a / c > b / d3. 圆的面积公式是πr²，如果半径r=5，那么圆的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = 1/25. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，根据勾股定理，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 86. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. -16C. 8D. -87. 一个正数的倒数是1/6，这个数是多少？A. 6B. 1/6C. 1/12D. 128. 一个数的立方根是3，这个数是多少？A. 27B. 3C. 9D. 819. 如果一个角的正弦值是1/2，那么这个角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10. 下列哪个是黄金分割比例？A. 1:2B. 2:3C. 3:5D. 5:8二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的绝对值是其本身或其相反数，例如，|-5|=______。

12. 一个数的对数以10为底，如果该数是100，那么对数是______。

13. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。

14. 一个数的平方是25，那么这个数可以是______或______。

15. 一个圆的周长是2πr，如果半径r=3，那么周长是______。

16. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是______。

17. 一个等比数列的首项是2，公比是2，那么第4项是______。

2017年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣4）i＞0，则=（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣12．已知集合A={x||x﹣2|≤1}，且A∩B=∅，则集合B可能是（）A．{2，5}B．{x|x2≤1}C．（1，2） D．（﹣∞，﹣1）3．传承传统文化再掀热潮，在刚刚过去的新春假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（）A．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的中位数大于乙的中位数C．甲的方差大于乙的方差D．甲的平均数等于乙的中位数4．下列说法正确的是（）A．若，则a＜bB．若命题，则¬P为真命题C．已知命题p，q，“p为真命题”是“p∧q为真命题”的充要条件D．若f（x）为R上的偶函数，则5．如图，在矩形ABCD中，AD=，AB=3，E、F分别为AB边、CD边上一点，且AE=DF=l，现将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ADFE⊥平面BCFE，连接AB、CD，则所得三棱柱ABE﹣DCF的侧面积比原矩形ABCD的面积大约多（取≈2.236）（）A．68% B．70% C．72% D．75%6．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A．6 B．5 C．4 D．37．函数的图象可能是（）A． B．C．D．8．抛物线x2=﹣6by的准线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右支分别交于B、C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．D．29．已知平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m．若点P（x，y）∈Ω，则z=mx﹣y的最小值为（）A．B．3 C．D．610．已知实数a，b，c，d满足，b=a﹣2e a，c+d=4，其中e是自然对数的底数，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．22二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上．11．若，则f（f（﹣2））=．12．对于大于1的自然数m的三次可幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是31，则m 的值为．13．对于函数f（x），如果f（x）可导，且f（x）=f'（x）有实数根x，则称x是函数f（x）的驻点．若函数g（x）=x2（x＞0），h（x）=lnx，φ（x）=sinx（0＜x ＜π）的驻点分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是（用“＜”连接）．14．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有种．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2﹣c2+2a=0，=3，则a=．三、解答题：本大题共6道小题，共75分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=4sin（x﹣）cosx+．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan（x1+x2）的值．17．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB=AE．（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面BDF；（Ⅱ）若点H在线段BF上，且BF=3HF，求直线CH与平面DEF所成角的正弦值．18．甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望EX．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）定义x=[x]+＜x＞，其中[x]为实数x的整数部分，＜x＞为x的小数部分，且0≤＜x＞＜1，记c n=＜＞，求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，椭圆C：的离心率为，以椭圆C的上顶点T为圆心作圆T：x2+（y﹣1）2=r2（r＞0），圆T与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时圆T的方程；（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与Y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：|OM|•|ON|为定值．21．已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，存在正实数x0，使得f（x2）﹣f（x1）=f'（x0）（x2﹣x1），试判断与f'（x0）的大小关系，并给出证明．2017年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解+析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣4）i＞0，则=（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由m+（m2﹣4）i＞0，得，求解得到m的值，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵m+（m2﹣4）i＞0，∴，解得：m=2．则=．故选：A．2．已知集合A={x||x﹣2|≤1}，且A∩B=∅，则集合B可能是（）A．{2，5}B．{x|x2≤1}C．（1，2） D．（﹣∞，﹣1）【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的运算即可求出．【解答】解：∵集合A={x||x﹣2|≤1}=[1，3]，由A∩B=∅，则B⊆（﹣∞，1）∪（3，+∞），故选：D3．传承传统文化再掀热潮，在刚刚过去的新春假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（）A．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的中位数大于乙的中位数C．甲的方差大于乙的方差D．甲的平均数等于乙的中位数【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图，分别求出甲、乙的平均数、中位数和方差，由此能求出结果．【解答】解：由茎叶图，知：=（59+45+32+38+24+26+11+12+14）=29，=（51+43+30+34+20+25+27+28+12）=30，S2甲= [302+162+32+92+（﹣5）2+（﹣3）2+（﹣18）2+（﹣17）2+（﹣15）2]≈235.3，S2乙= [212+132+02+42+（﹣10）2+（﹣5）2+（﹣3）2+（﹣2）2+（﹣18）2]≈120.9，甲的中位数为：26，乙的中位数为：28，∴甲的方差大于乙的方差．故选：C．4．下列说法正确的是（）A．若，则a＜bB．若命题，则¬P为真命题C．已知命题p，q，“p为真命题”是“p∧q为真命题”的充要条件D．若f（x）为R上的偶函数，则【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，a＞0＞b时成立；B，判定命题的真、假命题即可；C，已知命题p，q，“p为真命题”是“p∧q为真命题”的必要条件；D，若f（x）为R上的偶函数，则其图象关于y轴对称，由定积分的几何意义可判定；【解答】解：对于A，a＞0＞b时成立，故错；对于B，利用导数可判定命题为假命题，则¬P为真命题，故正确；对于C，已知命题p，q，“p为真命题”是“p∧q为真命题”的必要条件，故错；对于D，若f（x）为R上的偶函数，则其图象关于y轴对称，故不一定成立，故错；故选：B．5．如图，在矩形ABCD中，AD=，AB=3，E、F分别为AB边、CD边上一点，且AE=DF=l，现将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ADFE⊥平面BCFE，连接AB、CD，则所得三棱柱ABE﹣DCF的侧面积比原矩形ABCD的面积大约多（取≈2.236）（）A．68% B．70% C．72% D．75%【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意求出三棱柱ABE﹣DCF的侧面积增加的部分与原来矩形ABCD 的面积之比可得答案．【解答】解：将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ADFE⊥平面BCFE，可得三棱柱ABE﹣DCF，（如图）侧面积增加的部分为ABCD，∵EB⊥BC，△ABE是直角三角形，∴AB⊥BC．同理可证ABCD是矩形．∵AE=DF=1．AB=3，AD=，∴BE=2∴AB=故得侧面积增加的部分为．侧面积比原矩形ABCD的面积大约多出%故选D．6．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，a=，满足继续循环的条件，n=2；第二次执行循环体后，S=，a=，满足继续循环的条件，n=3；第三次执行循环体后，S=，a=，不满足继续循环的条件，故输出的n值为3，故选：D．7．函数的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数的对称性排除选项，然后利用函数的零点判断函数的图象即可．【解答】解：函数的图象，可以看作f（x）=向左平移1单位得到的，f（x）=是奇函数，排除A，D；当x＞0时，函数没有零点，所以排除B，故选：C．8．抛物线x2=﹣6by的准线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右支分别交于B、C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出点C的坐标，再得到∠AOC=∠BOC=60°，根据斜率公式得到=，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：抛物的准线为y=b，∴点B（﹣a，b），C（a，b），∵∠AOC=∠BOC=60°，∴k OC==tan60°=，∴=，∴e===，故选：C9．已知平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m．若点P（x，y）∈Ω，则z=mx﹣y的最小值为（）A．B．3 C．D．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合题意求出m，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵平面区域Ω夹在两条斜率为﹣的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m，则m==．令z=mx﹣y=x﹣y，则y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过B（2，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：=．故选：A．10．已知实数a，b，c，d满足，b=a﹣2e a，c+d=4，其中e是自然对数的底数，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．22【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】所求表达式的最值，看作已知直线上的点与函数的图象上的点的距离的平方，求出函数的导数，利用导数值与已知直线斜率相等，转化为平行线之间的距离的最值的平方即可．【解答】解：（a﹣c）2+（b﹣d）2看作直线上的点（c，d）与函数的图象的点（a，b）的距离的平方，转化为平行线之间的距离的平方．d=4﹣c的斜率是﹣1，由b=a﹣2e a，可得b′=1﹣2e a=﹣1，解得a=0．当a=0时，b=﹣2，d=4﹣c看作直线y=4﹣x，过切点（0，﹣2）的直线且与直线y=4﹣x平行的切线方程为y=﹣x﹣2．由平行线的距离公式可得d==3，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（3）2=18．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上．11．若，则f（f（﹣2））=9．【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣2）=3﹣2=，从而f（f（﹣2））=f（），由此能求出函数值．【解答】解：∵，∴f（﹣2）=3﹣2=，∴f（f（﹣2））=f（）==9．故答案为：9．12．对于大于1的自然数m的三次可幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是31，则m 的值为6．【考点】归纳推理．【分析】由前几个得出规律并类比即可得出答案．【解答】解：∵23=3+5，是从3开始的2个奇数的和；33=7+9+11，是从5的下一个奇数7开始的3个奇数的和；…；而31之前除了1以外的奇数有15个，又2+3+4+5=14，∴63=31+33+35+37+39+41．故m的值应为6．故答案为6．13．对于函数f（x），如果f（x）可导，且f（x）=f'（x）有实数根x，则称x是函数f（x）的驻点．若函数g（x）=x2（x＞0），h（x）=lnx，φ（x）=sinx（0＜x ＜π）的驻点分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是x3＜x2＜x1（用“＜”连接）．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】利用驻点的定义，分别求出3个函数的驻点的范围，即可判断大小．【解答】解：由题意对于函数f（x），如果f（x）可导，且f（x）=f'（x）有实数根x，则称x是函数f（x）的驻点．可知：函数g（x）=x2（x＞0），可得2x=x2，解得x1=2，h（x）=lnx，可得=lnx，如图：x2∈（1，2），φ（x）=sinx（0＜x＜π），可得cosx=sinx，解得x3=＜1，所以x3＜x2＜x1．故答案为：x3＜x2＜x1．14．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有30种．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，再根据计数原理计算结果．【解答】解：因为甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，①2、2、1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：C32A33=18种；②3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：C21A33=12种；所以，选派方案共有18+12=30种．故答案为30．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2﹣c2+2a=0，=3，则a=4．【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理整理可得cosC=，由=3，利用三角函数恒等变换的应用可得：sinCcosB=3cosCsinB，从而可求sinA=4sinBcosC，由正弦定理可得cosC=，联立即可解得a的值．【解答】解：∵由已知可得：c2=b2+2a，∴由余弦定理c2=b2+a2﹣2abcosC，可得：2a=a2﹣2abcosC，整理可得：cosC=，①∴=3，可得：，可得：sinCcosB=3cosCsinB ，∴sinA=sin （B +C ）=sinBcosC +cosBsinC=4sinBcosC ，∴由正弦定理可得：a=4bcosC ，即cosC=，②∴由①②可得： =，解得：a=4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6道小题，共75分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f （x ）=4sin （x ﹣）cosx +．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若函数g （x ）=f （x ）﹣m 所在[0，]匀上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan （x 1+x 2）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx +φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）函数g （x ）=f （x ）﹣m 所在[0，]匀上有两个不同的零点x 1，x 2，转化为函数f （x ）与函数y=m 有两个交点；可求m 的范围，结合三角函数的图象可知，x 1，x 2，关于对称轴是对称的，可知x 1+x 2，即可求tan （x 1+x 2）的值．【解答】解：函数f （x ）=4sin （x ﹣）cosx +．化简可得：f （x ）=2sinxcosx ﹣2cos 2x +=sin2x ﹣（+cos2x ）+=sin2x ﹣cos2x=2sin （2x ﹣）（1）函数的最小正周期T=，由2x ﹣时单调递增，解得：≤x≤∴函数的单调递增区间为[：，]，k∈Z．（2）函数g（x）=f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1′，x2′，转化为函数f（x）与函数y=m有两个交点令u=2x﹣，∵x∈[0，]，∴u∈[，]可得f（x）=sinu的图象（如图）．从图可知：m在[，2），函数f（x）与函数y=m有两个交点，其横坐标分别为x1′，x2′．故得实数m的取值范围是m∈[，2），由题意可知x1′，x2′是关于对称轴是对称的：那么函数在[0，]的对称轴x=∴x1′+x2′=那么：tan（x1′+x2′）=tan=tan（）==．17．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB=AE．（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面BDF；（Ⅱ）若点H在线段BF上，且BF=3HF，求直线CH与平面DEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明EF⊥平面BDF，即可证明平面DEF⊥平面BDF；（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的法向量，即可求出直线CH与平面DEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD为正方形，∴AO⊥BD，∵四边形OAEF为矩形，∴AO⊥FO，EF∥AO，∴EF⊥BD，EF⊥FO，∵BD∩FO=O，∴EF⊥平面BDF，∵EF⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面BDF；（Ⅱ）解：∵平面OAEF⊥平面ABCD，平面OAEF∩平面ABCD=OA，FO⊥AO，∴FO⊥平面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥BO．建立如图所示的坐标系，设AB=AE=2，则O（0，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣，0），E（，0，2），F（0，0，2），∴=（，，2），=（0，，2），=（0，﹣，2），∵BH=3HF，∴=+=（，，），设平面DEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（0，﹣，1），∴直线CH与平面DEF所成角的正弦值=．18．甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）记甲第i次射击中获胜的概率为A i（i=1，2，3），则A1，A2，A3彼此互斥，甲获胜的概率为A1+A2+A3．P（A1）=，利用相互独立事件的概率计算公式可得P（A2），P（A3）．可得P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）．（II）X所有可能取值为1，2，3．利用互相独立与互斥事件的概率计算公式可得P（X=k）．【解答】解：（I）记甲第i次射击中获胜的概率为A i（i=1，2，3），则A1，A2，A3彼此互斥，甲获胜的概率为A1+A2+A3．P（A1）=，P（A2）==，P（A3）==．∴P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=．（II）X所有可能取值为1，2，3．P（X=1）==，P（X=2）=+=．P（X=3）==．X的分布列为：∴E（X）1×+2×+3×=．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）定义x=[x]+＜x＞，其中[x]为实数x的整数部分，＜x＞为x的小数部分，且0≤＜x＞＜1，记c n=＜＞，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，整理可得a n﹣1，则数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n，代入c n=＜＞，利用裂项相消法求得数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵，当n≥2时，，=2n﹣1，整理得：a n﹣1∴a n=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴=．∴当n=1时，c1=＜4+1＞=0，当n≥2时，有0＜＜1．∴（n≥2）．∴T n=c1+c2+…+c n=0+==．验证n=1成立，∴．20．如图，椭圆C：的离心率为，以椭圆C的上顶点T为圆心作圆T：x2+（y﹣1）2=r2（r＞0），圆T与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时圆T的方程；（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与Y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：|OM|•|ON|为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）求出b的值，根据e=，从而求出椭圆的方程即可；（Ⅱ）设出A（x1，y1），B（﹣x1，y1），求出•的表达式，根据二次函数的性质求出其最小值，从而求出A的坐标即可；（Ⅲ）设p（x0，y0），则PA的方程为y﹣y0=（x﹣x0），分别求出y M和y N 的值，从而证出|OM|•|ON|为定值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆得：b=1，e==，∴a2﹣c2=1，=，得a2=4，c2=3，b2=1，故椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）∵点A与点B关于y轴对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，y1），由点A在椭圆C上，则=4﹣4，∵T（0，1），得=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），∴•=﹣+=4﹣4+﹣2y1+1=5﹣，由题意得，0＜y1＜1，∴当y1=时，•取得最小值﹣，此时，=4﹣，x1=，故A（，），又点A在圆T上，带入圆的方程，得r2=，故圆T的方程是x2+（y﹣1）2=；（Ⅲ）设p（x0，y0），则PA的方程为y﹣y0=（x﹣x0），令x=0，得y M=y0﹣=，同理可得，y N=，故y M•y N=①，∵p（x0，y0），A（x1，y1）都在椭圆C上，∴=1﹣，=1﹣，带入①得，y M•y N==1，即得|OM|•|ON|=|y M•y N|=1为定值．21．已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，存在正实数x0，使得f（x2）﹣f（x1）=f'（x0）（x2﹣x1），试判断与f'（x0）的大小关系，并给出证明．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）作差得到f′（x0）﹣f′= [ln﹣]，令=t，得到ln﹣=lnt﹣，（t＞1），令g（t）=lnt﹣，（t＞1），根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域（0，+∞），f′（x）=﹣ax+（2﹣a）=﹣，①若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增，②若a＞0，则由f′（x）＞0，解得：0＜x＜，由f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；证明：（Ⅱ）f（x2）﹣f（x1）=2（lnx2﹣lnx1）﹣a（x2+x1）（x2﹣x1）+（2﹣a）（x2﹣x1），由题意得f′（x0）=﹣a（x2+x1）+（2﹣a），又f′=﹣a•+（2﹣a），∴f′（x0）﹣f′= [（lnx2﹣lnx1）﹣]= [ln﹣]，令=t，则ln﹣=lnt﹣，（t＞1），令g（t）=lnt﹣，（t＞1），则g′（t）=＞0，g（t）在（1，+∞）递增，g（t）＞g（1）=0，而x1＜x2，故 [ln﹣]＞0故＜f'（x0）．2017年3月11日。

2017年山东省临沂市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .若复数z满足（1 - i ）z=2+3i （i为虚数单位），则复数z对应点在（）A. 第一象限B •第二象限C •第三象限D •第四象限2. 设集合A={y|y=cosx , x€ R}, B={y|y=2 x, x€ A}，贝U AA B=（）A 厂B • [1 , 2] C. . D • [0 , 1]3. 下列说法中正确的是（）A. 当a> 1时，函数y=a x是增函数，因为2> 1,所以函数y=2x是增函数，这种推理是合情推理B. 在平面中，对于三条不同的直线a, b, c,若a // b, b// c,则a// c,将此结论放到空间中也是如此.这种推理是演绎推理C. 命题丨•、二「-厂：—的否定是「P: ? x€ R, e x>xD. 若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小24. 过抛物线y2=4x的焦点且与x轴垂直的直线交双曲线、二的两条渐近线于A、B两点，3则AB=（）A. B. 一一C. 6 D. 一5.已知不重合的直线a, b和平面a , B , a丄a , b丄B ,则“a丄b”是“ a丄B ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件6. 我国古代名著《考工记》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如图给出的是计算截取了6天所剩棰长的程序框图，其中判断框内应填入的是（4 10. 已知△ ABC 的面积为I ,内切圆半径也为I ,若厶ABC 的三边长分别为 a, b, c,则 .- a+b c 的最小值为（ A. 2 B . J =C. 4D. "Z ；二、填空题：本大题共 5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横 线上.7.变量x , y 满足约束条件\+2y-2>0“ 0,则目标函数z=3|x|+|y- 2|的取值范围是(x-y+1^0A. [1 , 8] 1 9.已知函数fA.函数1 ：(x ) B.函数1 ：(x ) C.函数1 ：(x ) D.函数1 ：(x )B. [3，8]C [1 , 3] D. [1 , 6](x) = (*：：： ]cosx - sinx ) ( cosx+ 「sinx ),则下面结论中错误的是（的最小正周期为 n的图象关于直线.•- 一对称的图象可由g （x ）=2sin2x 的图象向右平移..个单位得到在区间：上是增函数 a+bC. i W 64?D. i W 128 ?函数 f (x ) = (x -) COSX （- nW x W n 且x M 0）的图象可能为（Lo呂2和^>011. 己知函数节1 _________ ，则f(f(—))= •—,x<0 °x12. 已知向量；=(1, m , t = (3,- 2),且(；+g)// W，贝y m= ____________13. ______________________________________________________ 已知角a的终边过点A ( 3, 4),则COS ( n +2 a ) = ________________________________________ .14. _______________________________________________________ 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________________________________ . □: □15. _____________________________________________ 已知函数f ( x)为R上的偶函数，当x> 0时，f (x) =x3- 4x，若函数g (x) =f (x)- a (x-2)有4个零点，则实数a的取值范围为.三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤).16. 在△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且—'a sinB+sinC(I )求B；(II )若a+c=5, △ ABC的面积为一二，求b.217. 某地教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的学生中随机抽取若干师生，进行评分(满分100 分),绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分90分及以上满意度等级不满意基本满意满意非常满意(I )求表中a的值及不满意的人数；(II )特从等级为不满意师生中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中选取2人担任整改监督员，求2人中恰有1人评分在［40 , 50)的概率；(III )若师生的满意指数不低于0.8，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的占八、、♦(I )求证：平面SBCL 平面SOD(II )如果/ AOC M SDO=60 , BC=2「，求该圆锥的侧面积.19. 己知数列｛a n ｝中，a i =2，对任意正整数 n ,都有a n+i - a n =2n . (I )求数列｛a n ｝的通项公式：4n 2(II )设b n =，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .T20. 已知函数 f (x ) =lnx -一 . .: "+1.u(I )证明：曲线y=f (x )在x=1处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标； (II )若关于x 的不等式f (x )<( a - 1) x 恒成立，求整数 a 的最小值.22 121 .已知椭圆C :的离心率为二，左、右焦点为 F 1, F 2,点M 为椭圆Ca'上的任意一点，叮•门 的最小值为2 . (I )求椭圆C 的标准方程；(注：满意指数=「片打一日「—门一100O 为底面圆圆心，C 为底面圆周上一点， D 为BC 的中(II )已知椭圆C的左、右顶点为A, B,点D (a, t )为第一象限内的点，过F2作以BD为直径的圆的切线交直线AD于点P,求证：点P在椭圆C上.2017年山东省临沂市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .若复数z满足（1 - i ）z=2+3i （i为虚数单位），则复数z对应点在（）A. 第一象限B •第二象限C •第三象限D •第四象限【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：•••（ 1 - i ）z=2+3i ,._2+3i （2+3i）（Hi） 1 5 ."z=丨.1 一• -「 -，则复数z对应点的坐标为（卡，舟），在第二象限.故选：B.2. 设集合A={y|y=cosx , x€ R}, B={y|y=2 x, x€ A}，贝U AA B=（）A. 「丄.1. B . [1 , 2] C.匕丄：D. [0 , 1]【考点】1E:交集及其运算.【分析】求出集合A, B,根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：A={y|y=cosx}={y| - K y< 1}=[ - 1, 1],B={y|y=2 x, x € A}=[ 一 , 2]则AA B=[ 一，1]故选：A.3. 下列说法中正确的是（）A. 当a> 1时，函数y=a x是增函数，因为2> 1,所以函数y=2x是增函数，这种推理是合情推理B. 在平面中，对于三条不同的直线a, b, c,若a // b, b// c,则a// c,将此结论放到空间中也是如此.这种推理是演绎推理C. 命题 巴二「LF, r ■■■ ：「.的否定是「p ： ? x € R, e x >xD.若分类变量 X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【考点】2K :命题的真假判断与应用.【分析】A ,当a > 1时，函数y=a x 是增函数，因为2 > 1,所以函数y=2x 是增函数，这种推理 是演绎推理； B,在平面中，对于三条不同的直线a ,b ,c ,若a // b , b // c ,则a // c ,将此结论放到空间中 也是如此.这种推理是类比推理； C, “v “的否定是"》“； D,若分类变量 X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小；【解答】解：对于A ,当a > 1时，函数y=a x 是增函数，因为2> 1,所以函数y=2x 是增函数, 这种推理是演绎推理，故错；对于B,在平面中，对于三条不同的直线a ,b ,c ,若a // b , b / c ,则a // c ,将此结论放到空间中也是如此.这种推理是类比推理，故错；对于C ,命题 '二「广广的否定是「P: ? x € R , e x > x ,故错；对于D,若分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越 小，正确；故选：D2y 2=4x 的焦点且与x 轴垂直的直线交双曲线 •， -的两条渐近线于 A 、B 两点,3【考点】K8:抛物线的简单性质.2【分析】求出过抛物线y 2=4x 的焦点且与x 轴垂直的直线方程，双曲线；^_|的两条渐近3 线方程，联立求出 A , B 坐标，即可.【解答】解：过抛物线y 2=4x 的焦点且与x 轴垂直的直线方程为 x=1 ,2双曲线：，-的两条渐近线方程为 y= 士 ：•:4.过抛物线则 AB=( A.B .3故选：B5.已知不重合的直线a, b和平面a, B, a丄a, b丄则“a丄b”是“ a丄B ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】LW直线与平面垂直的判定；2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据面面垂直的性质可知a丄b，两平面的法向量垂直则两平面垂直，最后根据“若p? q为真命题且q? p为真命题，则命题p是命题q的充要条件”即可得到结论.【解答】解：T a丄a , a丄B••• a// B 或a? B又••• b 丄B , a?B• a丄b反之a丄b则a丄B也成立，故选C.6.我国古代名著《考工记》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如图给出的是计算截取了6天所剩棰长的程序框图，其中判断框内应填入的是（）（nif；S=S- 7</输出帛/A. i w 16?B. i w 32?C. i < 64?D. i < 128?【考点】EF:程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序, 可知该程序的作用是累加并输出S的值，由此得出结论.【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S=1——, i=4 , 2第2次循环：S=1 ———_ , i=8 ,2 4第3次循环：S=1 - - - , i=16 ,…2 4 8依此类推，第 6 次循环：S=1 - -—- ---- , i=128 ,2 4 8 64此时不满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i < 64?,故选：C.7. 函数f (x) = (x -—) cosx (- nW x Wn 且0)的图象可能为( )【考点】30:函数的图象.【分析】先根据函数的奇偶性排除AB再取x=n,得到f (n)V 0，排除C.【解答】解：f (- x) = (- X+厶)cos (- x) =-( x -—) cosx= - f (x),•••函数f (x)为奇函数，•••函数f (x)的图象关于原点对称，故排除A, B,当x= n 时，f ( n ) = ( n - 一)cos n = __ -nV 0,故排除C,故选：D.\+2y-2>0&变量x, y满足约束条件2z+y-4*C0,则目标函数z=3|x|+|y - 2|的取值范围是( )A. [1 , 8]B. [3 , 8]C. [1 , 3]D. [1 , 6]【考点】7C:简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论.\+2y-2>0【解答】解：变量x，y满足约束条件.2x+y-4<0,对应的平面区域如图：••• x> 0, y w 2 ,••• z=3|x|+|y- 2|=3x - y+2 ,由z=3x - y+2 得y=3x - z+2,平移直线y=3x - z+2 ,由图象可知当直线y=3x - z+3经过点A时，直线y=3x - z+3的截距最大,此时z最小，,x-y+l=0 ” f由匚，解得A ( 0,1),x-F2y-2=0此时Z min=3X 0 —1+2=1 ,当直线y=3x - z+2经过点B (2, 0)时，直线y=3x - z+2的截距最小，此时z最大，此时Z max=3X 2 - 0+2=8,故 1 W z< 8,故选：A.9. 已知函数f (x)=(讥cosx - sinx ) ( cosx+讥sinx ),则下面结论中错误的是( )A. 函数f (x)的最小正周期为nB. 函数f (x)的图象关于直线对称兀C. 函数f (x)的图象可由g (x) =2sin2x的图象向右平移 .个单位得到bD. 函数f (x)在区间［.十•• I上是增函数【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用.【分析】将f ( x)化简，结合三角函数的性质求解即可.【解答】解：函数1〔，一1. I * .：：：化简可得：f (x) = ~-cos2x+3sinxcosx - sinxcosx - 二sin 2x=、*. cos2x+sin2x=2sin (2x+最小正周期T=「- ■! .• A对.TT TT . . T["令X],即f(…)=2sin ( ) =2,「.关于直线丫——对称，B对.2 12IT 71 IT函数g (x) =2sin2x的图象向右平移——个单位，可得：2sin2 ( x- ) =2sin (2x- )工6 6 3令- ；.2x+—w上单调递增，可得：，•函数f ( X)在区间,0]£心乙丄乙丄乙T上是增函数，••• D对.故选：c.10. 已知△ ABC的面积为I ,内切圆半径也为I ,若厶ABC的三边长分别为a, b, c,则亠-丨匚土a+b c 的最小值为( )A. 2B.：…八C. 4D.釣：二【考点】6D:利用导数研究函数的极值；%H三角形的面积公式.【分析】先根据三角形的面积和内切圆半径也为I，得到a+b+c=2,则根据导数的和函数的最值的关系即可求出最值.【解答】解：•••△ ABC的面积为I，内切圆半径也为I ,△ ABC的三边长分别为a, b, c, •••二(a+b+c)x 1=1,即a+b+c=2,即a+b=2 - c,• 0v c v 24 a+b 4 2_c 4 2 ’= + ------------ =+— 1,a+b c 2~c c 2~c c4 2设 f (x) = 一+ - 1, 0v x v 2,I* f'( x)= ------------------ - - =H X X2(X-2)2令 f '( x ) =0,解得 x= - 2+2 =当 x €( 0, - 2+2 .二)时，f '( x )V 0,函数 f (x )单调递减, 当 x € ( - 2+2 7, 2)时，f '( x )> 0,函数 f (x )单调递增, ••• f ( x ) min =f (- 2+2 二)=2+2 = 故；的最小值为2+2 -,a+b c 故选：D.、填空题：本大题共 5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横 线上.11. 己知函数【考点】3T :函数的值.【分析】先求出f 诗)=1口习十-2，从而f(f(y ))=f (- 2),由此能求出结果.解可得m=—;3 故答案为：-' 3【解答】解:贝y COS ( n +2 a ) = — COS2 a =1 - 2COS 2 a=1 —18= 7•••函数那么COS a13 .已知角 a 的终边过点 A ( 3, 4),贝U COS ( n +2 a )【考点】 GI :三角函数的化简求值. 【分析】根据任意三角函数的定义求出 COS a 的值，化简COS ( n +2a ),根据二倍角公式即可得解.【解答】解：角a 的终边过点 A (3, 4),即x=3, y=4.14. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【考点】口 ：由三视图求面积、体积.【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥 C — EFG 其中E 、F 、G 分别为B 1C 、DC 、CG 的中点.然后由正方体体积减去三棱锥体积得答案. 【解答】解：由三视图还原原几何体如图：故答案为:■_.该几何体为棱长为 2的正方体截去一个三棱锥 C - EFG 其中E 、F 、G 分别为BQ 、DC 、CG的中点.1147 •••该几何体的体积为 V=_ _ _ -, 1 ]].326故答案为：二.15. 已知函数f ( x )为R 上的偶函数，当 x > 0时，f (x )=x 3 - 4x ，若函数g (x ) =f (x )- a (x - 2)有4个零点，则实数 a 的取值范围为 (0,1 . 【考点】52:函数零点的判定定理.【分析】利用导数判断 x > 0时，f (x ) =x 3 - 4x 的单调性，结合函数为偶函数作出简图，把函数g (x ) =f (x )- a (x - 2)有4个零点转化为即方程 f (x )- a (x - 2) =0有4个根. 也就是函数y=f (x )与y=a (x - 2)有4个不同交点.求出过(2, 0)与曲线f (x ) =- x 3+4x(x v 0)相切的直线的斜率，则答案可求.函数g (x ) =f (x )- a (x - 2 )有4个零点，即方程f 也就是函数y=f (x )与y=a (x - 2)有4个不同交点.如图: •••函数f (x )为R 上的偶函数，当 x > 0时，f (x ) =x 3- 4x , •••当 x v 0 时，f (x ) = - x 3+4x .【解答】解：f (x ) =x 3 - 4x (x > 0 ), f ，( x ) =3x 2-4=, 「 ： ,当 x e (0, ^^)时，f '( x ) v o,当 x e (^^, +8 •- f ( 乂)在(0, —)上单调递减，在( 一 ,+8)2師~9~.•••当x=——时，f (x )有极小值为)时，f '( x )> 0, 上单调递增.(x )- a (x - 2) =0 有 4 个根.设过（2, 0）的直线与曲线f （x ） =-X 3+4X 相切于点； Ig ）, 则「 i 丿 * _ 切线方程为 「・一|一…：厂|，:，- • 代入（2, 0）,得丸'13;＜口2+4二0,即（x+1）（ x - 2）2=0，得 x= - 1 • •••切线的斜率为 a=- 3 x （ - 1） 2+4=1 •则实数a 的取值范围为（0, 1）.三、解答题： （本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤）.16. 在△ ABC 中，角A , B, C 的对边分别为 (I )求 B ；【考点】HT :三角形中的几何计算.【分析】（I ）根据正弦定理以及余弦定理可得,（n ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出.• b 2 - c 2=a 2 - ac ,口 b-c sinA-sinCa, b ,…(II )若a+c=5, △ ABC 的面积为:求b.【解答】解：（1）在厶ABC 中，由正弦定理，得siM-sinC a-c a sinB+sinC b+&故答案为：（0, 1）.・ 2 2 . 2• • a +c - b =ac,/+ 2-以］由余弦定理，得cosB= =一,2ac 2B€( 0, n ),1 Vs••• S A ABC = acs in B= ^^ac=,2 4 2• ac=6,由余弦定理知 bg - 2accosB=（a+c ） 2-2ac（1+COSB ）=25 - 2 ®=7,• b =17•某地教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管 理的满意度，分别从教师和不同年级的学生中随机抽取若干师生，进行评分(满分 100 分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 低于60分 60分到79分 80分到89分90分及以上 满意度等级不满意基本满意 满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有136人.(I )求表中a 的值及不满意的人数；(II )特从等级为不满意师生中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中选取2人担任整改监督员，求 2人中恰有1人评分在［40, 50)的概率;(III )若师生的满意指数不低于 0.8，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的 【考点】B8:频率分布直方图； CC 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】(I )由频率和为1列方程求出a 的值，根据比例关系求出不满意的人数； (II )按分层抽样原理抽取 6人，利用列举法求出所有的基本事件数，计算对应的概率值; (III )计算师生的满意指数，即可得出结论./• B= 7Ty(注：满意指数.满意程度的平均分【解答】解：(I )由频率和为1，得(0.002+0.004+0.014+0.020+a+0.025 )x 10=1, 解得 a=0.035 ,设不满意的人数为 x ，则(0.002+0.004 ): (0.014+0.020 ) =x ： 136, 解得x=24;（II ）按评分分层抽取 6人，应在评分在［40 , 50）的师生中抽取2人，分别记作 A B , 在评分在［50，60）的师生中抽取 4人，分别记为c 、d 、e 、f ， 从这6人中选2人的所有基本事件为AB Ac 、Ad 、Ae Af 、Be 、Bd 、Be 、Bf 、cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共 15 种， 其中恰有1人评分在［40，50）包含的基本事件为Ac 、Ad 、Ae 、Af 、Be 、Bd 、Be 、Bf 共 8 种，记“2人中恰有1人的评分在［40，50）”为事件A ,则P （ A ）=；15（III ）师生的满意指数为X( 45 X 0.02+55 X 0.04+65 X 0.14+75 X 0.2+85 X 0.35+95 X 0.25 ) =0.807师生的满意指数不低于 0.8，可获评“教学管理先进单位”.18.如图，圆锥的轴截面为三角形 SAB O 为底面圆圆心，C 为底面圆周上一点， D 为BC 的中 占八、、♦（I ）求证：平面SBCL 平面SOD（II ）如果/ AOC M SDO=60 , BC=2 .二，求该圆锥的侧面积.【考点】L5:旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LY :平面与平面垂直的判定.【分析】（I ）推导出 SOL 平面 OBC 从而SOL BC,再求出 ODL BC 从而 BC 丄平面SOD 由 此能证明平面 SBC L 平面SOD1100（H）求出/ COD=60 , OD=1 OC=2 SO=二,SA=「,由此能求出该圆锥的侧面积.【解答】证明：(I)由题意知SO L平面OBC又BC?平面OBC ••• SOL BC,在厶OBC中，OB=OC CD=BD• OD L BC,又SO P OD=O •- BC丄平面SOD又BC?平面SBC ••平面SBC L平面SOD解: “)在厶OBC中,OB=OC CD=BD•••/ AOC6O°COD=60 ,•••CD=；k.-/ , • OD=1 OC=2在厶SOD中 , / SDO=60 ,又SO L OD •- SO=二，在厶SAO中 , OA=OC=2 • SA=二,•该圆锥的侧面积为::L-：：：' '■19. 己知数列｛a n｝中，a i=2，对任意正整数n，都有a n+i - a n=2n.(I)求数列｛a n｝的通项公式：4n2(II )设b n= ,求数列｛b n｝的前n项和T n.T【考点】8E:数列的求和；8H:数列递推式.【分析】(I) a1=2 ,对任意正整数n ,都有a n+1- a n=2n.可得n》2时，a n - a n- 1=2n-1.禾U用累加求和方法与等比数列的求和公式即可得出.n 4 n 1 i 1(II )设b n= = . =1+.：一..,利用裂项求和方法即可得出.〔3乜斗)-1 4n -1 / 如T -n+L【解答】解：(I) a1=2 ,对任意正整数n ,都有a n+1 - a n=2n.「. n》2时，a n - a n- 1=2n-1.n - 1 n - 2 n•- a n= ( a n —a n -1)+ (a n -1 —a n - 2) + …+ (a2 —a1) +a1=2 +2 + …+2+2= +1=2 .2-1n=1时上式也成立.••• a n =2n .•数列｛b n ｝的前n 项和T n =n+ - L 二一- .+二 j =n+ --20. 已知函数f (x ) =lnx -丄二工+1. 2(I )证明：曲线y=f (x )在x=1处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标； (II )若关于x 的不等式f (x )<( a - 1) x 恒成立，求整数 a 的最小值.【考点】6E ：禾U 用导数求闭区间上函数的最值； 6B :利用导数研究函数的单调性. 【分析】(I )求出导函数，得出切线方程，化为斜截式可得出定点坐标；(II )构造函数g (x ) =lnx - ^ ay' +1 -( a - 1) x ，把恒成立问题转化为最值问题进行求解 即可. 【解答】解：(I) f (x ) =lnx -［二 J+1. • f (x ) =一 - ax , • f (1) =1 - a , f (1) =-a+1,•••在 x=1 处的切线为 y -( - a+1) = (1 - a ) (x - 1),• y= - a (x - ,：) +x ，恒过(,-,.);1 n(II )令 g (x ) =lnx -一 . .： +1-( a - 1) x < 0恒成立, •/ g' (x ) = -" —「=(1)当 a < 0 时，g' (x ) > 0, g (x )递增, 3g (1)=-十a+2> 0,不成立;(2)当 a >0 时, 当 x 在(0, —)时，g' (x )> 0, g (x )递增；a 当 x 在(一，+8)时，g' (x )v 0, g (x )递减, a4n 24n(II )设 b n = = 「=1 +i +函数最大值g (—) = - Ina ,a 2a令h (a) =—：—- Ina ,可知为减函数，2a•/ h (1)> 0, h (2)v 0,.整数a的最小值为2.21 •已知椭圆C: ' 的离心率为，左、右焦点为F i, F2,点M为椭圆Ca b22上的任意一点，”1二！「丨】的最小值为2.(I )求椭圆C的标准方程；(II )已知椭圆C的左、右顶点为A, B,点D (a, t )为第一象限内的点，过F a作以BD为直径的圆的切线交直线AD于点P,求证：点P在椭圆C上.【考点】K4:椭圆的简单性质.2【分析】(I )根据向量的坐标求得"! ■ ^ ! .-=x02- c2+y。

高三教学质量检测考试理科数学2017.5本试题分为选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(共50分)一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．己知i 是虚数单位，z z 是的共轭复数，()234i z i -=-，则z 的虚部为 (A)1(B)1-(C)i(D) i -2．已知集合{(){}()2,log 3,R M x y N x y x C M N ====-⋂=集合则 (A)[2，3) (B) (](),23,-∞⋃+∞(C)[0，2)(D) ()[),23,-∞⋃+∞3．已知()log log 01a a x y a ><<，则下列不等式成立的是 (A) 31x y-< (B) ln ln x y >(C)sin x>sin y (D) 33x y >4．下列说法中正确的是(A)当1a >时，函数xy a =是增函数，因为2>l ，所以函数2xy =是增函数．这种推理是合情推理(B)在平面中，对于三条不同的直线,,//,////a b c a b b c a c ，若，则，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理(C)若分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小 (D)13112x dx -=⎰5．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为82人，则a 的估计值是 (A)130(B)140(C)133(D)1376．变量x ，y 满足约束条件220240,10x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数32z x y =+-的取值范围是(A) []1,8 (B) []3,8 (C) []1,3 (D) []1,67．已知边长为ABCD 的四个顶点都在球心为O 的球面上，若球O 的体积为36π，则直线OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为(A)13 (B) 23(C) 3(D) 38．若等边三角形ABC 的边长为12，平面内一点M 满足3143CM CA CB =+，则A M B M ⋅=(A) 26- (B) 27- (C) 28- (D) 29-9．已知函数()()()()12sin 02f x x x f x f x ωωω=>==，当时，12x x -的最小值为2，给出下列结论，其中所有正确结论的个数为 ①()03f π=； ②当()0,1x ∈时，函数()f x 的最大值为2； ③函数16f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称； ④函数()()10f x -在，上是增函数． (A)1(B)2(C)3(D)410．斜率为2的直线l 与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为(A)2(B) 1 (C)12（D第II 卷(共100分)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定 的横线上．11．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出k 的值为___________．12．若命题“,14x R x x a ∃∈++-<”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．13．我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前5—6世纪，祖冲之之子)提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这个原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体，如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S S 环圆及两截面，可以证明=S S 环圆总成立．据此，短轴长为5的椭球体的体积是____________．14．若直线20l x y +=：与圆()()22:10C x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为___________．15．若函数()f x x =+在区间[],a b 的值域为[],ta tb ，则实数t 的取值范围是_________．三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)．16．(本小题满分12分)在,,ABC a b c ∆中，分别是A,B,C 的对边，且tan tan 2C cB a c=-+． (I)求B ；(II)若4b a c ABC =+=∆，求的面积． 17．(本小题满分12分)如图，点E 是菱形ABCD 所在平面外一点，EA ⊥平面ABCD ，EA//FB//GD ，60ABC ∠=，EA=AB=2BF=2GD ． (I)求证：平面EAC ⊥平面ECG ； (II)求二面角B EC F --的余弦值．18．(本小题满分12分)某中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校1400名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得一组样本的身高(单位：cm)频数分布表如表1、表2．(I)估计该校高一女生的人数：(II)估计该校学生身高在[165，180)的概率；(III)以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165，180)的学生人数，求X 的分布列及数学期望EX ． 19．(本小题满分12分)已知数列{}{}{},n n n n a b S a ，为的前n 项和，且满足122n n n S S a n +=+++，若1112,21,n n a b b b n N *+===+∈．(I)求数列{}{},n n a b 的通项公式； (II)令()31nn n a c n b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．(本小题满分13分)已知函数()21xf x e ax bx =+--（,,a b R e ∈为自然对数的底数)．(I)设()f x 的导函数为g(x )，求g(x )在区间[0，l]上的最小值；(II)若()10f =，且函数()()01f x 在区间，内有零点，证明：12a e -<<-． 21．(本小题满分14分)已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =，且过点M，其离心率为e ，抛物线C 2的顶点为坐标原点，焦点为,02e ⎛⎫⎪⎝⎭．(I)求抛物线2C 的方程；(II)O 为坐标原点，设,A B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且12OA OB ⋅=． (i)求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标；(ii)过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．。