解三角形、数列、不等式综合练习

专题集训·作业(九)一、选择题1．平行六面体的各棱长均为4，在其顶点P 所在的三条棱上分别取P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则棱锥P －ABC 的体积是平行六面体的体积的( )A.164 B.364 C.132 D.332答案 A解析 由已知可将平行六面体模型化为正方体，则有V 正方体＝64，V P －ABC ＝13×12×1×2×3＝1，故选A.2．(2014·合肥一中模拟)e ，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式不成立的是( )A ．log πe ＋(log e π)2>2B ．log πe ＋log e π>1C ．e e －e>e π－πD ．(e ＋π)3<4(e 3＋π3)答案 C解析 设f (x )＝e x －x (x >0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (π)>f (e)，即e π－π>e e －e.3．(2014·鄂西示范性学校联考)命题“∀x ∈R ，x 2－3x ＋2≥0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0B ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2>0C ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≥0 答案 A解析 求全称命题的否定时，需要先把全称量词改写为存在量词，再对结论进行否定，所以原命题的否定为“∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0”．4．(2014·襄阳五校联考)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率为2，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过F 1作一条斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线交于两个点M ，N ，则∠MAN ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 D解析 由离心率为2，可得c ＝2a ，b 2＝3a 2，则双曲线方程为3x 2－y 2＝3a 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为x ＝my －2a ，与双曲线方程联立得(3m 2－1)y 2－12amy ＋9a 2＝0，从而有3m 2－1≠0，y 1＋y 2＝12am 3m 2－1，且y 1y 2＝9a 23m 2－1.则AM →·AN→＝(x 1－a )(x 2－a )＋y 1y 2＝(my 1－3a )(my 2－3a )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－3am (y 1＋y 2)＋9a 2＝9a 2(m 2＋1)3m －1－36a 2m23m －1＋9a 2＝0，故选D. 5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为( )A.32π B.3π C ．23π D ．33π答案 A解析 由正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，可得该几体体是一个四棱锥(如图所示)，底面BCDE 是边长为1的正方形，侧棱AE ⊥底面BCDE ，所以根据球与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC .根据勾股定理知AC＝1＋1＋1＝3，所以外接球半径为32，于是该几何体的外接球体积V ＝43π×(32)3＝32π.故选A.6．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >2答案 B解析 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 7．已知在正三棱锥S －ABC 中，E 是侧棱SC 的中点，且SA ⊥BE ，则SB 与底面ABC 所成角的余弦值为( )A.12B.23C.23D.63答案 D解析 如图所示，在正三棱锥S －ABC 中，作SO ⊥平面ABC ，连接AO ，则O 是△ABC 的中心，所以SO ⊥BC ，AO ⊥BC .由此可得BC ⊥平面SAO ，所以SA ⊥BC .又SA ⊥BE ，所以SA ⊥平面SBC ，故正三棱锥S －ABC 的各侧面全等且均是等腰直角三角形．连接OB ，则∠SBO 为SB 与底面ABC 所成的角．设SA ＝a ，则AB ＝2a ，BO ＝63a ，所以cos ∠SBO ＝63.8．定义在R 上的可导函数f (x )，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )恒成立，若a ＝f (2)，b ＝12f (3)，c ＝(2＋1)f (2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <b <a答案 A解析 设g (x )＝f (x )x －1，则g ′(x )＝f ′(x )(x －1)－f (x )(x －1)2.由于f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )，即f ′(x )(x －1)－f (x )>0，因此g (x )＝f (x )x －1在(1，＋∞)上为增函数，故c <a <b .9．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与直线AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 D解析 本题考查了空间直线与直线所成角问题，考查空间想象能力．显然正方体的对角线AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，将该正方体以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1分别为坐标轴建立空间直角坐标系，则可以得到8个象限，其中在平面ABCD 上方的四个象限内的每一个象限内均有一条与AC 1相似的对角线与此三条棱成等角，即这样的直线l 有4条，故应选D.10．(2014·芜湖三校一模)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2.若b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，则数列{b n }的通项公式为( )A ．nB ．n －1C ．2nD ．2n －1答案 A解析 ∵f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，∴f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2f (2n )＋2n ＋1.∵b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，又f (2n ＋1)2n ＋1＝f (2n)2n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1，∴{b n }成等差数列，且b 1＝f (2)2＝1，∴b n ＝b 1＋(n －1)×1＝1＋n －1＝n ，n ∈N *.11．(2014·孝感市质检)若函数f (x )＝x －1＋1e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)的图像与直线l ：y ＝kx －1没有公共点，则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．－1 D.1e答案 B解析 令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1e x ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．假设k >1，此时g (0)＝1>0.g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0.又函数g (x )的图像是连续的，由零点存在性定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一个解，与方程g (x )＝0在R 上没有实数解矛盾，故k ≤1.又k ＝1时，g (x )＝1e x >0，易知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以实数k 的最大值为1.12．(2014·武汉部分学校调研)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，若点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]答案 B解析 椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，所以kP A 2·kP A 1＝y 20x 20－4＝－34.又kP A 2∈[－2，－1]，所以kP A 1∈[38，34]．二、填空题13．已知函数f (x )＝3x ＋sin x ＋1，若f (t )＝2，则f (－t )＝________. 答案 0解析 由于g (x )＝3x ＋sin x 为奇函数，且f (t )＝3t ＋sin t ＋1＝2，所以3t ＋sin t ＝1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.14．(2014·皖西四校联考)若正数x ，y 满足2x ＋3y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________．答案 7＋433解析 由2x ＋3y －3＝0，得1＝2x ＋3y 3.于是x ＋2y xy ＝1y ＋2x ＝(1y ＋2x )·2x ＋3y 3＝13(7＋2x y ＋6y x )≥13×(7＋43)＝7＋433，当且仅当⎩⎨⎧2x y ＝6y x，2x ＋3y －3＝0，即x ＝6－33，y ＝23－3时，等号成立．故最小值为7＋433.15．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案 (－2,1)解析 方法一 由题意可知，当x ≥0时，g (x )＝－g (－x )＝－[－ln(1＋x )]＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.当x ≤－2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>x 3，因为f (x )＝x 3在R 上为增函数，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即－2<x ≤－ 2.当－2<x ≤0时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>x 3，即－2<x ≤0.当0<x <2时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>ln(1＋x )，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即0<x <1.当x ≥2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>ln(1＋x )，无解．综上得－2<x <1.方法二 同上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.易知f (x )在R 上是增函数，由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，∴－2<x <1.16．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．答案 (1,3]解析 ∵P 为双曲线左支上一点，∴|PF 2|－|PF 1|＝2a .∴|PF 2|＝|PF 1|＋2a .∴|PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当且仅当4a 2|PF 1|＝|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号，故|PF 2|＝4a .当点P 在x 轴上时，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，即2a ＋4a ＝2c ，此时e ＝3；当点P 不在x 轴上时，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，即2a ＋4a >2c ，此时e <3，∴e ≤3.又e >1，于是1<e ≤3.。

不等式(组)及三角形练习一．选择题1.在数轴上从左至右的三个数为a ，1＋a ，－a ，则a 的取值范围是 （ ） A 、a ＜12 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a ＜－122.方程组43283x m x y m +=⎧⎨-=⎩的解x 、y 满足x ＞y ，则m 的取值范围是 （ ）A.910m >B. 109m >C. 1910m >D. 1019m > 3．若不等式组有实数解．则实数m 的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ． 4．关于x 的不等式的整数解共有4个，则m 的取值范围是 ( )A ．6＜m ＜7B ．6≤m ＜7C ．6≤m ≤7D ．6＜m ≤75．某班有学生48人，会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有 （ ）A ．20人B ．19人C ．11人或13人D ．20人或19人 若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m 满足2210<<m ，则这样的三角形有 （ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个6．如图所示，已知△ABC 为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B ，则∠1+∠2 等于 （ ） A 、90° B 、135° C 、270° D 、315°第6题 第7题 第8题7.如图所示，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于，点P ，若∠A=50°，则 ∠BPC 等于 （ ） A 、90° B 、130° C 、270° D 、315°8.如图，点O 是△ABC 内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC 等于 （ ） A. 95° B. 120° C. 135° D. 无法确定5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩53m ≤53m <53m >53m ≥0721x m x -<⎧⎨-≤⎩_9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC 上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有 （ ） A.4对 B.5对 C.6对 D.7对10．一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 11．如图四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是 （ ）二．填空题 12．若不等式组2,x x m <⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围是____ __． 13．若不等式组2,20x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是－1<x<1，则（a+b ）2006=__ ___．14.当X_______ ___时,代数式251x -的值不小于代数式4323+-x的值. 15.若不等式组⎩⎨⎧><b x ax 的解集是空集，则a 、b 的大小关系是_______________.16．若不等式组1,21x m x m <+⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围17．如果(1)5,24a x a x -<+⎧⎨<⎩的解集是x<2，则a 的取值范围是___ __；18.若不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 ．19.不等式组2x x a >⎧⎨>⎩的解集为x ＞2，则a 的取值范围是______ _______. ABEA B C D (D)E C A (C)E C B A (B)E C B A (A)E A20.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为－1＜x ＜1，那么（a ＋1）（b －1）的值等于__ ______.21.若不等式组4050a x x a ->⎧⎨+->⎩无解，则a 的取值范围是___________ ____.22.已知，且，则k 的取值范围是___ _____．23． 某种药品的说明书上，贴有如右所示的标签，一次服用这种药品的剂量设为x ，则x 范围是 .24.若等腰三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则它的周长是 。

不等式解三角形数列高考试题精选一．选择题（共6小题）1．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z2．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0 4．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞05．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c6．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q二．选择题（共1小题）7．2﹣3，，log25三个数中最大数的是．三．填空题（共9小题）8．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为．9．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．10．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．12．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．13．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．四．解答题（共24小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．19．在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．25．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．26．在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD 的长．27．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p ∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．28．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．30．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=．31．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．32．设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n =2n ．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{}的前n 项和．33．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．34．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=6，a 1a 2=a 3．（1）求数列{a n }通项公式；（2）{b n } 为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n +1=b n b n +1，求数列的前n 项和T n ．35．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．36．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．37．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．38．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．39．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．40．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．不等式解三角形数列高考试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．2．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．4．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞0【解答】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，故选：D．5．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C6．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B二．选择题（共1小题）7．2﹣3，，log25三个数中最大数的是log25．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．三．填空题（共9小题）8．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为8．【解答】解：直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=1，由2a+b=（2a+b）×（+）=2+++2=4++≥4+2=4+4=8，当且仅当=，即a=，b=1时，取等号，∴2a+b的最小值为8，故答案为：8．9．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．10．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）12．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．=2a n，【解答】解：∵a n+1∴，∵a1=2，∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n===2n+1﹣2=126，∴2n+1=128，∴n+1=7，∴n=6．故答案为：613．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【解答】解：∵a n=S n+1S n，+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=75°．【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，∴sinB==，∵b＜c，∴B=45°，∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，故答案为：75°．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．==bc=，化为bc=24，∵S△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．四．解答题（共24小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，=ac•sinB=2，∵S△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．=acsinB=，【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．19．在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，=acsinB=×7×3×=6．∴S△ABC20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S==1．△ABC22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．26．在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD 的长．【解答】解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===…12分27．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p ∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．28．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos （2A ﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC ，利用正弦定理化简得：b=c ，代入a ﹣c=b ，得：a ﹣c=c ，即a=2c ，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A 为三角形内角， ∴sinA==，∴cos2A=2cos 2A ﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos （2A ﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．30．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知bcosC +ccosB=2b ，则= 2 ．【解答】解：将bcosC +ccosB=2b ，利用正弦定理化简得：sinBcosC +sinCcosB=2sinB ， 即sin （B +C ）=2sinB ， ∵sin （B +C ）=sinA ， ∴sinA=2sinB ，利用正弦定理化简得：a=2b ， 则=2． 故答案为：231．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6． （1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列． 【解答】解：（1）设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ， 则a 3=S 3﹣S 2=﹣6﹣2=﹣8，则a 1==，a 2==，由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，则a1=﹣2，a n=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n=（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n===﹣（2+（﹣2）n+1），则S n+1=﹣（2+（﹣2）n+2），S n+2=﹣（2+（﹣2）n+3），由S n+1+S n+2=﹣（2+（﹣2）n+2）﹣（2+（﹣2）n+3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]，=﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，=2S n，即S n+1+S n+2=2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．32．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．33．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n．﹣1【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．34．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}通项公式；=b n b n+1，求数列（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和为S n，已知S2n+1的前n项和T n．【解答】解：（1）记正项等比数列{a n}的公比为q，因为a1+a2=6，a1a2=a3，所以（1+q）a1=6，q=q2a1，解得：a1=q=2，所以a n=2n；（2）因为{b n}为各项非零的等差数列，所以S2n=（2n+1）b n+1，+1=b n b n+1，又因为S2n+1所以b n=2n+1，=，所以T n=3•+5•+…+（2n+1）•，T n=3•+5•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，两式相减得：T n=3•+2（++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3•+（+++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3+1++++…+）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•=5﹣．35．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．36．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．37．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．38．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．39．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，当n≥2时，a n+1两式相减得a n﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，+1=3a n，当n=1时，a1=1，a2=3，即a n+1=3a n，满足a n+1∴=3，则数列{a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．40．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．。

2016年高一下学期期中检测一、选择题。

(12×5分=50分)1.在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )A. 30 ºB. 60ºC. 30º 或 150ºD. 60º 或120º2.如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）A.3,9b ac ==B.3,9b ac =-=C.3,9b ac ==-D.3,9b ac =-=-3.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤+11y x y y x ，Z=2x+y 的最大值是 （ ）A ．5B ．23C ．3D ．54.在△ABC 中，若cos cos a b B A=，则该三角形一定是 ( ) A ．等腰三角形但不是直角三角形 B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( ) A. 21 B. 31 C.2 D.3 6.设a>0,b>0,若是3a 与3b的等比中项,则+的最小值为( ) (A)8 (B)4 (C)1 (D)7.在△ABC 中,三边a,b,c 成等差数列,B=30°,且△ABC 的面积为,则b 的值是( )(A)1+ (B)2+ (C)3+ (D)8.已知是等比数列，，则=（ ） A.16（） B.6（） C.（） D.（） 9. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ， B ， C 的对边，如果c a b +=2， B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于( ) {}n a 41252==a a ，13221++++n n a a a a a a n --41n --21332n --41332n --21A.231+B.31+C.232+ D.32+ 10.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A.9B.10C.11D.1211.等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ，则55b a 等于( ) A.32 B. 149 C. 3120 D. 1711 12. 一个直角三角形的周长为2p ，则其斜边长的最小值为（ ）A. 21+B. 21- C.D. 二、填空题。

高中数学内容提要：代数：集合、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、不等式、复数、推理与证明； 解析几何：直线与圆、圆锥曲线；立体几何：空间几何体、空间中的点线面关系； 概率统计：概率初步、统计；其它：算法初步、常用逻辑用语、平面向量（属于几何与代数内容的交汇）；代数中重难点：函数与导数、数列、不等式【例1】 （2019江西3）已知全集U =AB 中有m 个元素，()()U UA B 中有n 个元素．若AB 非空，则A B 的元素个数为（ ）A ．mnB ．m n +C ．n m -D ．m n -【例2】 （2019湖北1）已知()(){}|1001==+∈R ，，，P a a m m ，()(){}|1111==+-∈R ，，，Q b b n n 是两个向量集合，则P Q =（ ） A ．(){}11，B ．(){}11-，C ．(){}10，D ．(){}01，高考要求第九讲 代数综合知识精讲【例3】 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．他们研究过图1中的13610，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的14916，，，，这样的数为正方形数．图216941⋅⋅⋅⋅⋅⋅图110631⑴请写出一个既是三角形数又是正方形数的两位数_______． ⑵下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A ．289 B ．1024 C ．1225 D ．1378【例4】 （2019福建）五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．⑴当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为_________．⑵已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时， 甲同学拍手的总次数为 ．【例5】 （2019辽宁9）已知偶函数()f x 在区间[)0+∞，单调增加，则满足不等式()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ） A ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【例6】 已知()f x 是奇函数，且在(0)-∞，上单调增加，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是_ ____．【例7】 （2019福建文11）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）A ．()41f x x =-B ．()()21f x x =- C ．()e 1x f x =-D ．()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【例8】 （2019山东14）若函数()x f x a x a =--（0a >，且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）A ．()41f x x =-B ．()()21f x x =- C ．()e 1x f x =-D ．()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【例10】 （2019天津8）已知函数()224040x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩，≥，，，若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()12-∞-+∞，， B ．()12-，C ．()21-，D ．()()21-∞-+∞，，【例11】 （2019安徽文9）设函数()32sin tan 3f x x θθ=+，其中5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 则导数()1f '的取值范围是（ ）A ．[]22-，B ．C ．2⎤⎦D ．2⎤⎦【例12】 （2019湖南11）若π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则π2tan tan 2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的最小值为_______．【例13】 （2019全国卷Ⅰ16）若ππ42x <<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．【例14】 （2018重庆文）函数()f x （02πx ≤≤）的值域是（ ）A ．1144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．1133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．2233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【例15】 （2018重庆理）函数()f x =(02π)x ≤≤的值域是（ ）A ．0⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[10]-，C ．[0]D ．[0]【例16】 已知向量(cos sin )(0)OA λαλαλ=≠，，(sin cos )OB ββ=-，，其中O 为坐标原点． ⑴若π6βα=-，求向量OA 与OB 的夹角； ⑵若2AB OB ≥对任意实数αβ，都成立，求实数λ的取值范围．如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 00y A x A ωω=>>，，[]04x ∈，的图象，且图象的最高点为(3S ，；赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动的安全，限定120MNP ∠=︒．⑴求A ω，的值和M P ，两点间的距离；⑵应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？【例18】 （2019宁夏模拟）已知函数3211()34f x ax x cx d =-++（a c d ∈R ，，）满足(0)0(1)0f f '==，，且()0f x '≥在R 上恒成立． ⑴求a c d ，，的值；⑵若231()424b h x x bx =-+-，解不等式()()0f x h x '+<．⑶是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx '=-在区间[2]m m +，上有最小值5-？若存在，请求出实数m 的值，若不存在，请说明理由．已知a b c d ，，，是不全为0的实数，函数2()f x bx cx d =++，32()g x ax bx cx d =+++，方程()0f x =有实根，且()0f x =的实数根都是(())0g f x =的根，反之，(())0g f x =的实数根都是()0f x =的根，⑴求d 的值；⑵若0a =，求c 的取值范围． ⑶若1(1)0a f ==，，求c 的取值范围．【例20】 （2018湖南文20）数列{}n a 满足1202a a ==，，222ππ1cos 4sin12322n n n n a a n +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，，，，， ⑴求34a a ，，并求数列{}n a 的通项公式； ⑵设1321k k S a a a -=+++，242k k T a a a =+++，2()2kk kS W k T +=∈+N ， 求使1k W >的所有k 的值，并说明理由．数列{}n a 满足11a =，()21n n a n n a λ+=+-（12n =，，），λ是常数． ⑴当21a =-时，求λ及3a 的值；⑵数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由． ⑶求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．习题1. （2019浙江文16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，1612TT 成等比数列．习题2. （2016山东理3）设1232e 2()log (1)2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩，，≥，则不等式()2f x >的解集为（ ） A ．(12)(3)+∞，， B ．(10)+∞，C ．(12)(10)+∞，，D ．(12)，习题3. （2019陕西文10）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()12120x x x x ∈+∞≠，，，有2121()()0f x f x x x -<-．则（ ）A ．()()()321f f f <-<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()213f f f -<<D ．()()()312f f f <<-家庭作业习题4. （2019东城一模5）已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1(1))A f ，处的切线与直线320x y -+=平行，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ）A ．20072008B ．20082009C ．20092010D ．20102011习题5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(123)n n S a n =-=，，，数列{}n b 中，11b =，点1()n n P b b +，在直线20x y -+=上．⑴求数列{}{}n n a b ，的通项n a 和n b ；⑵设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求满足167n T <的最大正整数n ．习题1. （2019北京13）若函数()1103xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎩，，≥则不等式()13f x ≥的解集为 ．习题2. （2019天津6）设00a b >>，．若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8B ．4C ．1D ．14习题3. （2019东城一模15）已知递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若21log n n b a +=，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求使424n S n >+成立的n 的最小值．月测备选。

必修5解三角形数列不等式【选择题】1．设,,a b c R ∈，且a b >，则 （ ）A ．ac bc >B ．11a b<C ．33a b >D ．22a b >⒉ 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则5a =（ ）A ．6-B ．4-C ．2-D ．2 3．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 ⒋ 若点(,)x y 位于曲线y x = 与2y =所围成的封闭区域， 则2x y -的最小值为（ ）A ．－2B ．－6C ．0D ．25．在等比数列{}n a 中，若2nn a =，则7a 与9a 的等比中项为（ ）A ．8aB ．8a -C ．8a ±D ．前3个选项都不对6．关于x 的不等式2260x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2110x x -=，则a =（ ）A ．2B ．5C ．52D ．32⒎ 已知正项等比数列{}n a 满足2014201320122a a a =+14a =，则116()m n+的最小值为（ ）A ．23B ．2C ．4D ．6 8．△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，且公比为q ，则sinCsin q A+的取值范围为（）A ．()0,+∞B ．(1,2C ．()1,+∞D ．)1A ．2015-B ．2014-C ．2014D ．2015【填空题】11．若数列}{n a 中，762++-=n n a n ，则其前n项和n S 取最大值时，=n __________.12．在ABC ∆中，060,B AC ∠== ，则3AB BC +的最大值为 . 13．已知关于x 的不等式()()2440ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 ．14．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1sin cos ,24sin CB A==，且ABC S ∆=，则______.b =15．对于正项数列{}n a ，定义122n nnH a a na =++⋅⋅⋅+为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为n nH =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________。

高三数形结合练习题一、函数与图形1. 已知函数$f(x) = x^2 4x + 3$，求函数图像的顶点坐标。

2. 画出函数$g(x) = |x 2|$的图像，并求出其与x轴的交点坐标。

3. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$的图像，求出当$x$为何值时，$h(x)$取得最小值。

4. 判断函数$y = 2^x$与$y = \log_2x$的图像是否关于y轴对称。

5. 已知函数$y = ax^2 + bx + c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1, 2)$，求$a$、$b$、$c$的值。

二、方程与图形1. 求解方程$x^2 5x + 6 = 0$，并在坐标系中画出其对应的函数图像。

2. 画出方程$|x| + |y| = 1$表示的图形。

3. 已知方程$y = x^3 3x$，求其图像与x轴的交点坐标。

4. 判断方程$y = x^2$与$y = x^2$的图像是否关于x轴对称。

5. 求解方程组$\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 5\end{cases}$，并在坐标系中画出其解对应的点。

三、不等式与图形1. 画出不等式$y > x^2 4x + 3$表示的平面区域。

2. 已知不等式$|x| + |y| \leq 1$，求其表示的平面区域的面积。

3. 求解不等式组$\begin{cases} x y \geq 1 \\ 2x + y \leq4 \end{cases}$，并在坐标系中画出其解对应的区域。

4. 判断不等式$x^2 + y^2 \leq 1$表示的图形是否为圆形。

5. 已知不等式$y \geq x$，求其与直线$y = x + 2$围成的三角形面积。

四、数列与图形1. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = n^2$，求出数列的前5项，并在坐标系中画出其对应的点。

2. 画出数列$\{b_n\}$的前5项，其中$b_n = 2^n$。

滚动过关检测五 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |log 3(x －2)<0}，N ＝{x |x ≥－2}，集合M ∩N ＝( ) A ．{x |－2≤x <2}B ．{x |－2≤x <3} C ．{x |2<x <3}D ．{x |x <3}2．[2021·新高考Ⅰ卷]已知z ＝2－i ，则z ()z －＋i ＝( ) A ．6－2iB ．4－2i C ．6＋2iD ．4＋2i3．[2022·山东春考]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π12，sin 5π12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12，sin π12，那么a ·b等于( )A.12B.32 C ．1D ．04．[2022·辽宁实验中学月考]已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D5．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 3＝8，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝( ) A ．8B ．6 C ．4D ．26．[2022·福建三明模拟]在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，点E 为线段AD 的中点，则向量CE →＝( )A.13AB →＋16AC →B.16AB →＋13AC →C.16AB →－23AC →D.13AB →－56AC → 7．[2022·河北沧州模拟]已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A ．45°B．135° C ．60°D．120°8．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，且f (x )＝f (－x )e 2x，当x >0时，f ′(x )>f (x )恒成立，则下列判断一定正确的是( )A ．e 5f (2)<f (－3) B ．f (2)<e 5f (－3) C ．e 2f (－2)<f (3) D ．f (－2)<e 5f (－3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2022·江苏无锡一中月考]若复数z 满足z (1－2i)＝10，则( ) A ．|z |＝2 5 B ．z －2是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α＝5510．下列命题错误的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”B ．函数“f (x )＝cos ax －sin ax 的最小正周期为π”是“a ＝2”的必要不充分条件C ．x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]时有解⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )min 在x ∈[]1，2时成立D ．“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”11．[2022·山东师范大学附中月考]定义在R 的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈(0,3)时f (x )＝x 2－3x ，则以下结论正确的有( )A ．f (x )的周期为6B ．f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0对称C ．f (2021)＝2D ．f (x )的图象关于x ＝32对称12．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( )A ．|OP 1→|＝|OP 2→|B ．|AP 1→|＝|AP 2→| C.OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→D.OA →·OP 1→＝OP 2→·OP 3→三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．[2022·天津静海一中月考]已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n的值为________．14．[2022·辽宁抚顺模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 8＝15，则S 9＝________.15．[2022·江苏响水中学月考]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，已知A ，B 分别是最高点、最低点，且满足OA →⊥OB →(O 为坐标原点)，则f (x )＝________.16．[2022·北京101中学高三开学考试]△ABC 中，D 为AC 上的一点，满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点，满足AP →＝mAB →＋nAC →()m >0，n >0，则mn 的最大值为________；4m ＋1n的最小值为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)[2022·福建师大附中月考]已知向量a ，b 满足，||a ＝1，||b ＝2，且a 与b 不共线．(1)若向量a ＋k b 与k a ＋2b 为方向相反的向量，求实数k 的值； (2)若向量a 与b 的夹角为60°，求2a ＋b 与a －b 的夹角θ.18．(12分)[2022·山东日照模拟]向量m ＝(2sin x ，3)，n ＝(cos x ，cos2x )，已知函数f (x )＝m ·n ，(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求b ＋c 的值．b n是公差为1的等19．(12分)设{a n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S n，{}差数列，已知a2＝2，a4＝a3＋4，a3＝b3＋b1.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设数列{a n＋b n}的前n项和为T n，求T n.20．(12分)[2022·山东泰安模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－a，sin B)，n＝(b－a，sin A＋sin C)，满足m∥n.(1)求C；(2)若6c＋3b＝3a，求sinA.21．(12分)[2022·湖北黄冈中学模拟]已知数列{a n }中，a 1＝2，n (a n ＋1－a n )＝a n ＋1.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是常数数列； (2)令b n ＝(－1)na n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，求使得S n ≤－99的n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋x －e x. (1)若a ＝12，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≤1恒成立，求实数a 的取值范围．滚动过关检测五 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数1.答案：C解析：因为M ＝{x |log 3(x －2)<0}＝{x |2<x <3}，N ＝{x |x ≥－2}，所以M ∩N ＝{x |2<x <3}． 2．答案：C解析：因为z ＝2－i ，故z －＝2＋i ，故z ()z －＋i ＝()2－i ()2＋2i ＝6＋2i. 3．答案：A解析：a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π12，sin 5π12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12，sin π12，a ·b ＝cos 5π12cos π12＋sin 5π12sinπ12＝cos π3＝12.4．答案：A解析：因为BC →＋CD →＝BD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线． 5．答案：A解析：由题设，a 2a 3＝a 21q 3＝8，又a 1＝1，可得q ＝2，∴a 4＋a 5a 1＋a 2＝a 1q 3＋a 1q 4a 1＋a 1q ＝243＝8.6．答案：D 解析：由E 为线段AD 的中点，则CE →＝12(CA →＋CD →)，又D 满足BC →＝3BD →，∴CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)，∴CE →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤CA →＋23AB →－AC →＝13AB →－56AC →.7．答案：B解析：∵(a －b )⊥(3a ＋2b )，∴(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝3|a |2－|a |·|b |cos 〈a ，b 〉－2|b |2＝0，又|b |＝2|a |且|a |≠0， ∴3|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉－4|a |2＝－|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos〈a ，b 〉＝－22，又〈a ，b 〉∈[]0，π，∴〈a ，b 〉＝3π4，即〈a ，b 〉＝135°. 8．答案：B 解析：令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex，∵x >0时，f ′(x )>f (x )恒成立，∴x >0时，g ′(x )>0，即g (x )单调递增，又f xex＝f －xe－x，则g (－x )＝g (x )，g (x )为偶函数．∴x <0时，g (x )单调递减．f 2e2＝f －2e－2<f 3e3＝f －3e－3，即f (2)<e 5f (－3)、f (3)>e 5f (－2)、e f (－3)>f (－2)，∴A、C 、D 错误，B 正确．9．答案：AB解析：由题意z ＝101－2i ＝101＋2i1－2i 1＋2i＝2＋4i ，|z |＝25，A 选项正确；z －2＝4i ，B 选项正确；z 在复平面内对应点为(2,4)，对应点在第一象限，C 选项错误；sin α＝44＋16＝255，D 选项错误．10．答案：ACD解析：对A ：命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ，故A 错误；对B ：由函数f (x )＝cos ax －sin ax ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，则T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πa ＝π，则a ＝±2，故B正确；对C ：a ＝2时，x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立，而(x 2＋2x )min ＝3<(2x )max ＝4，故C 错误；对D ，当“a ·b <0”时，平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角，∴“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a ·b <0”，故D 错误．11．答案：ACD解析：因为f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，所以f (x －6)＝－f (x －3)＝f (x )，故函数f (x )是周期为6的周期函数，故A 选项正确； 由于函数为R 的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，所以f (x －3)＝－f (x )＝f (－x )，所以根据周期性得f (x ＋3)＝f (－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，所以f (x )的图象关于x ＝32对称，故B 错误，D 正确；对于C 选项，结合周期性得f (2021)＝f (336×6＋5)＝f (5)＝f (－1)＝－f (1)＝－1＋3＝2，故正确．故选ACD. 12．答案：AC解析：A ：OP 1→＝(cos α，sin α)，OP 2→＝(cos β，－sin β)，所以|OP 1→|＝cos 2α＋sin 2α＝1，|OP 2→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，故|OP 1→|＝|OP 2→|，正确；B ：AP 1→＝(cos α－1，sin α)，AP 2→＝(cos β－1，－sin β)， 所以|AP 1→|＝cos α－12＋sin 2α＝cos 2α－2cos α＋1＋sin 2α＝21－cos α＝4sin2α2＝2|sin α2|， 同理|AP 2→|＝cos β－12＋sin 2β＝2|sinβ2|，故|AP 1→|，|AP 2→|不一定相等，错误；C ：由题意得：OA →·OP 3→＝1×cos(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cos(α＋β)，OP 1→·OP 2→＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos(α＋β)，正确；D ：由题意得：OA →·OP 1→＝1×cos α＋0×sin α＝cos α，OP 2→·OP 3→＝cos β×cos(α＋β)＋(－sin β)×sin(α＋β)＝cos ()β＋()α＋β＝cos ()α＋2β，故一般来说OA →·OP 1→≠OP 2→·OP 3→，错误．故选AC. 13．答案：92解析：由题设，m ＋2n ＝log a 12＋2log a 3＝log a 92，∴a m ＋2n＝a log a 92＝92.14．答案：45解析：因为数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 8＝2a 5，又a 2＋a 5＋a 8＝15，所以a 5＝5，所以S 9＝9()a 1＋a 92＝9a 5＝45.15．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6解析：由图象知：3T 4＝112－1＝92，即T ＝6，则T ＝2πω＝6，可得ω＝π3，∴A ()1，A ，B 的横坐标为1＋T2＝1＋3＝4，即B (4，－A )，∵OA →⊥OB →，∴(1，A )·(4，－A )＝0，则1×4－A 2＝0，A >0，得A ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，由五点作图法知：π3×1＋φ＝π2，得φ＝π6，综上，函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.16．答案：116 16解析：如图所示，由AD →＝13DC →得AD →＝14AC →，所以AP →＝mAB →＋4nAD →，所以m ＋4n ＝1(m >0，n >0)，所以mn ＝14m ·(4n )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋4n 22＝116，等号成立当且仅当m ＝12，n ＝18，所以mn 的最大值为116.因为4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n (m ＋4n )＝8＋16n m ＋m n ≥16，等号成立当且仅当m ＝12，n ＝18，所以4m ＋1n的最小值为16.17．解析：(1)因为向量a ＋k b 与k a ＋2b 为方向相反的向量，所以存在实数λ<0，使得a ＋k b ＝λ()k a ＋2b ，且a 与b不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝kλk ＝2λ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－22k ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝22k ＝2(舍)；所以实数k 的值为－2；(2)因为向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝1，|b |＝2， 所以a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝1×2×12＝1，(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝2|a |2－a ·b －|b |2＝2×12－1－22＝－3， |2a ＋b |＝2a ＋b2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4＋22＝23，|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×1＋22＝3，所以cos θ＝2a ＋b ·a －b |2a ＋b |·|a －b |＝－323×3＝－12，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.18．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝2sin x cos x ＋3cos2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝π；令π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得：π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝2sin A ＝3得：sin A ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3； ∴asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝732＝1433，∴b ＋c ＝1433(sin B ＋sin C )＝1433×13314＝13.19．解析：(1)设{a n }的公比为q ，因为a 2＝2，a 4＝a 3＋4，所以a 2q 2＝a 2q ＋4，即2q 2＝2q ＋4，所以q 2－q －2＝0，因为q >0，所以q ＝2， 所以a n ＝a 2qn －2＝2·2n －2＝2n －1，所以a 3＝b 3＋b 1＝4， 设{b n }的公差为d ，则d ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d＋b 1＝4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1d ＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n ；(2)因为a n ＝2n －1，所以a 1＝20＝1，所以a n ＋b n ＝2n －1＋n ，所以T n ＝(20＋22＋…＋2n －1)＋(1＋2＋…＋n )＝1－2n1－2＋n 1＋n2＝2n＋n 2＋n2－1，所以T n ＝2n＋n 2＋n2－1.20．解析：(1)因为m ∥n ，所以(c －a )(sin A ＋sin C )＝(b －a )sin B ，由正弦定理得(c －a )(a ＋c )＝(b －a )b ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由(1)知B ＝2π3－A ，由题设及正弦定理得6sin C ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3sin A ， 即22＋32cos A ＋12sin A ＝sin A ，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝22.由于0<A <2π3，－π3<A －π3<π3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝22， 故sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3cos π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3sin π3＝22×12＋22×32＝6＋24. 21．解析：(1)由n (a n ＋1－a n )＝a n ＋1得：na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1n n ＋1∴a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1n －1n ＋1，即有a n ＋1＋1n ＋1＝a n ＋1n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是常数数列； (2)由(1)知：a n ＋1n＝a 1＋1＝3，∴a n ＝3n －1，∴b n ＝(－1)n(3n －1)，即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －1，n 为偶数－3n －1，n 为奇数，∴当n 为偶数时，S n ＝(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋[]－3n －4＋3n －1＝3n2，显然S n ≤－99无解；当n 为奇数时，S n ＝S n ＋1－a n ＋1＝3n ＋12－[]3n ＋1－1＝－3n ＋12，令S n ≤－99，解得：n ≥1973，结合n 为奇数得：n 的最小值为67.22．解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x 2＋x －e x，所以f ′(x )＝x ＋1－e x，令g (x )＝f ′(x )＝x ＋1－e x，则g ′(x )＝1－e x，所以当x >0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x <0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )≤g (0)＝0，即f ′(x )≤0， 所以函数f (x )为R 上的单调递减函数．(2)若f (x )≤1恒成立，即ax 2＋x －e x≤1恒成立， 显然，当x ＝0时成立，当x ≠0时，不等式等价于a ≤e x －x ＋1x2恒成立， 令h (x )＝e x－x ＋1x2， 则h ′(x )＝x －2e x＋1x 3，当h ′(x )>0时，得x <0或x >2，即函数h (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增， 当h ′(x )<0时，得0<x <2，即函数h (x )在(0,2)上单调递减，由于x →－∞时，h (x )由正数趋近于0，当x ＝2时，h (2)min ＝e 2－14>0，所以函数h (x )的草图如图，所以a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫e x－x＋1x 2min 恒成立，只需a ≤0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0]．。

自学资料一、不等式综合复习【错题精练】例1．已知关于x的不等式ax＜b的解为x＞﹣2，则下列关于x的不等式中，解为x＜2的是（）A. ax+2＜﹣b+2B. ﹣ax﹣1＜b﹣1C. ax＞bD.【解答】由已知不等式的解集确定出a为负数，确定出所求不等式即可．解：∵关于x的不等式ax＜b的解为x＞﹣2，∴a＜0，则解为x＜2的是﹣ax﹣1＜b﹣1，故选：B．【答案】B例2．若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（）第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 1＜a≤7B. a≤7C. a＜1或a≥7D. a=7【解答】求出不等式2x＜4的解，求出不等式（a﹣1）x＜a+5的解集，得出关于a的不等式，求出a即可．本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键．解：解不等式2x＜4得：x＜2，∵不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，∴a﹣1＞0，x，∴≥2，﹣2≥0，≥0，≥0，∵a﹣1＞0，∴解得：1＜a≤7，故选：A．【答案】A例3．已知﹣2＜x+y＜3且1＜x﹣y＜4，则z=2x﹣3y的取值范围是__________ ．第2页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】1＜z＜11例4．若不等式x<a只有5个正整数解，则a的取值范围．【答案】5<a≤6．例5．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a(a−b)+1．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=﹣5，那么不等式3⊕x<13的解集为．【答案】x>−1．【举一反三】1．若关于x的不等式3m−2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为．．【答案】1132．我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为，如：，如果有，则x__________ .第3页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】解：列不等式得：2x﹣（3﹣x）＞0，整理得：2x﹣3+x＞0，解得：x＞1．故答案为：x＞1．【答案】x＞13．不等式组无解，则a的取值范围是__________.【解答】二、三角形的初步知识综合复习【错题精练】例1．如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠EDF的度数为（）A. 45°∠AB. 90∠AC. 90°﹣∠AD. 180﹣∠A【解答】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=CF，BE=CD∴△BDE≌△CFD，∴∠BDE=∠CFD，第4页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∠EDF=180°﹣（∠BDE+∠CDF）=180°﹣（∠CFD+∠CDF）=180°﹣（180°﹣∠C）=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°．∴∠A+2∠EDF=180°，∴∠EDF=90°﹣∠A．故选：B．【答案】B例2．如图∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=22，AC=10，则BE=．【答案】6．例3．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，求∠EFC的度数．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABE=45∘，又∵AB=AC，∴∠ABC=12(180∘−∠BAC)=12(180∘−45∘)=67.5∘，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=67.5∘−45∘=22.5∘，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，第5页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴BF=EF，∴∠BEF=∠CBE=22.5∘，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5∘+22.5∘=45∘．【答案】45°．例4．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图，若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55∘，∠BCD=155∘，则∠BPD的度数为．【答案】130°．【举一反三】1．（1）如图1所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明∠BOC=90∘+∠A．（2）如图2所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试说明∠D=90∘−∠A．（3）如图3，B、C、D在一条直线上，∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，求证∠BPC＝∠BAC．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠OBC+∠OCB=12(180∘−∠A)=12×(180∘−x∘)=90∘−12∠A故∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=180∘−(90∘−12∠A)=90∘+12∠A（2）证明：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠BCD=12(∠A+∠ABC)、∠DBC=(∠A+∠ACB)，由三角形内角和定理得，∠BDC=180∘−∠BCD−∠DBC第6页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180∘−12(∠A+180∘)=180∘−12=90∘−1∠A2（3）证明：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点ECD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D(∠A+2∠1)，∠3=∠4，∴∠1=∠2，∠5=12在△ABE中，∠A=180∘−∠1−∠3∴∠1+∠3=180∘−∠A−−−−①在△CDE中，∠D=180∘−∠4−∠5=180∘−∠3−(∠A+2∠1)，即2∠D=360∘−2∠3−∠A−2∠1=360∘−2(∠1+∠3)−∠A−−−−②，把①代入②得：2∠D=∠A．【答案】略．2．如图，△ABC中，∠ACB=90∘，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22∘，则∠BDC等于（）A. 44°；B. 60°；C. 67°；D. 77°．【答案】C3．如图，P是等边△ABC外一点，把△ABP绕点B顺时针旋转60∘到△CBP′，已知∠AP′B=150∘，P′A:P′C=2:3，求PB:P′A．图一图二第7页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第8页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第9页 共25页 自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞 非学科培训【解答】、（1）证明：在△ABC 和△BAD 中，{AC =BD∠CAB =∠DBA AB =BA，∴△ABC ≌△BAD （SAS ），∴∠C =∠D ，在△ACE 和△BDE 中，{∠AEC =∠BED∠C =∠D AC =BD，∴△ACE ≌△BDE （AAS ），∴AE =BE ；（2）解：①四边形ACBF 为平行四边形，理由如下：由（1）得AE =BE ，∴∠EAB =∠EBA ，∵△ABF 与△ABD 关于直线AB 对称，∴∠EAB =∠BAF 且AD =AF ，∴∠EBA =∠BAF ，又∵△ABC ≌△BAD ，∴BC =AD ，∴BC =AF ，∴四边形ACBF 为平行四边形；②由题意得∠DAB =∠FAB =30∘，∴∠DAF =60∘，过E 作EG ⊥AF 于G ，∵AE =5，DE =3，∴AD =8，∴AF =8，AG =52，GE =5√32，∴GF =112， ∴EF =√EG 2+BF 2=7．【答案】（1）略；（2）平行四边形；7．例2．如图，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，AB交OP于点Q，且PA=PB，则下列结论：①OP平分∠AOB；②AB是OP的中垂线；③OP平分∠APB；④OP是AB的中垂线；⑤OQ=PQ；其中全部正确的序号是（）A. ①②③；B. ①②④；C. ①③④；D. ③④⑤．【答案】C例3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE=AF，∠EAF=90∘．求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）由（1）我们知道∠AFB=45∘，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠BAE+∠EAD=90∘，∠EAF=∠CAF+∠EAD=90∘∴∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中第10页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训{AB =AC∠BAE =∠CAF AE =AF∴△ABE ≌△ACF （SAS ）（2）证明： ∵∠BAC =90∘∴∠ABE +∠BDA =90∘，由（1）得△ABE ≌△ACF∴∠ABE =∠ACF∴∠BDA +∠ACF =90∘又∵∠BDA =∠CDF∴∠CDF +∠ACF =90∘∴∠BFC =90∘∴CF ⊥BD（3）解：∠AFB =45∘不变化，理由如下:点A 作AF 的垂线交BM 于点E ，∵CF ⊥BD∴∠BAC =90∘∴∠ABD +∠BDA =90∘同理∠ACF +∠CDF =90∘∵∠CDF =∠ADB∴∠ABD =∠ACF同（1）理得∠BAE =∠CAF在△ABE 和△ACF 中{∠BAE =∠CAFAB =AC ∠ABD =ACF∴△ABE ≌△ACF （ASA ）∴AE =AF∴△AEF 是等腰直角三角形∴∠AFB =45∘．【答案】（1）略；（2）略；（3）∠AFB =45∘不变化，理由：略．【举一反三】1．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，点D 为AC 上一动点．（1）如图1，点E 、点F 均是射线BD 上的点并且满足AE =AF ，∠EAF =90∘．求证：△ABE ≌△ACF ；（2）在（1）的条件下，求证：CF ⊥BD ；（3）由（1）我们知道∠AFB =45∘，如图2，当点D 的位置发生变化时，过点C 作CF ⊥BD 于F ，连接AF ．那么∠AFB 的度数是否发生变化？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠BAE+∠EAD=90∘，∠EAF=∠CAF+∠EAD=90∘，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）证明：∵∠BAC=90∘，∴∠ABE+∠BDA=90∘，由（1）得△ABE≌△ACF，∴∠ABE=∠ACF，∴∠BDA+∠ACF=90∘，又∵∠BDA=∠CDF，∴∠CDF+∠ACF=90∘，∴∠BFC=90∘，∴CF⊥BD；（3）解：∠AFB=45∘不变化，理由如下：过点A作AF的垂线交BM于点E，∵CF⊥BD，∴∠BAC=90∘，∴∠ABD+∠BDA=90∘，同理：∠ACF+∠CDF=90∘，∵∠CDF=∠ADB，∴∠ABD=∠ACF，同（1）理得：∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{∠BAE=∠CAF AB=AC∠ABD=∠ACF∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AFB=45∘．【答案】略．2．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90∘，∠ADB=90∘，又∵E为AB的中点，∴CE=12AB，DE=12AB，∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；（2）解：∵AD=BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，已知EF=3，DE=4，∴DF=5，过点E作EH⊥CD，∵∠FED=90∘，EH⊥DF，∴EH=EF⋅EDDF =125，∴DH=√DE2−EH2=165，∵△ECD是等腰三角形，∴CD=2DH=225．【答案】（1）略；（2）225．3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AE=AF；（2）若AB+AC=16，S△ABC=24，∠EDF=120∘，求AD的长．【解答】（1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED=∠AFD=90∘，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE=AF；（2）解：∵△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∴S△ABC=12⋅AB⋅DE+12⋅AC⋅DF=12⋅DE(AB+AC)=24，∵AB+AC=16，∴DE=3，∵∠ADE=∠ADF=60∘，∴∠DAE=30∘，∴AD=2DE=6．【答案】（1）略；（2）6．4．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90∘，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：BD=CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45∘，∴∠ACE+∠DBC=45∘，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90∘，则BD⊥CE．【答案】（1）略；（2）BD=CE，BD⊥CE．5．如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．（1）在图1中，你发现线段AC，BD的数量关系是，直线AC，BD相交成度角．（2）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转90∘角，这时（1）中的两个结论是否成立？请做出判断并说明理由．（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由．【解答】（1）解：在图1中，线段AC，BD的数量关系是相等，直线AC，BD相交成90度角；（2）解：（1）中结论仍成立；证明如下：如图延长CA交BD于点E，∵等腰直角三角形OAB和OCD，∴OA=OB，OC=OD．∵AC2=AO2+CO2，BD2=OD2+OB2，∴AC=BD．∴△DOB≌△COA(SSS)．∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO．∵∠ACO+∠CAO=90∘，∴∠ACO+∠DBO=90∘，则∠AEB=90∘，即直线AC，BD相交成90∘角．（3）解：结论仍成立；如图延长CA交OD于E，交BD于F，∵∠COD=∠AOB=90∘，∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，即：∠COA=∠DOB．∵CO=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB(SAS)．∴AC=BD，∠ACO=∠ODB．∵∠CEO=∠DEF，∴∠COE=∠EFD=90∘．∴AC⊥BD，即直线AC，BD相交成90∘角．【答案】见解答．四、全等三角形综合复习【错题精练】例1．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．【解答】解：BM=BN，BM⊥BN．理由：在△ABE和△DBC中，{AB=DB∠ABD=∠DBCEB=CB，∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴∠BAE=∠BDC．∴AE=CD．∵M，N分别是AE，CD的中点，∴AM=DN．在△ABM和△DBN中，{AB=DB∠BAM=∠BDNAM=BN，∴△ABM≌△DBN（SAS）．∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180∘，∴∠ABD=∠ABM+∠MBE=90∘．∴∠MBE+∠DBN=90∘．即BM⊥BN．∴BM=BN，BM⊥BN．【答案】BM=BN，BM⊥BN．例2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=10，∠C=30∘，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）DF=；（用含t的代数式表示）（2）求证：△AED≌△FDE；（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）【解答】（1）解：∵DF⊥BC，∴∠CFD=90∘，在Rt△CDF中，∠CFD=90∘，∠C=30∘，CD=2t，∴DF=12CD=t．（2）证明：∵∠CFD=90∘，∠B=90∘，∴DF∥AB．∴∠AED=∠FDE．在△AED和△FDE中，{AE=FD=t∠AED=∠FDEED=DE，∴△AED≌△FDE（SAS）．（3）解：∵△AED≌△FDE，∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．∵∠A=90∘−∠C=60∘，∴AD=AE．∵AE=t，AD=AC−CD=10−2t，∴t =10−2t ．∴t =103． ∴当t 为103时，△DEF 是等边三角形．（4）解：∵△AED ≌△FDE ，∴当△DEF 为直角三角形时，△EDA 是直角三角形．当∠AED =90∘时，AD =2AE ，即10−2t =2t ．解得：t =52；当∠ADE =90∘时，AE =2AD ，即t =2(10−2t )．解得：t =4．综上所述：当t 为52或4时，△DEF 为直角三角形．【答案】（1）t ；（2）略；（3）103；（4）52或4．【举一反三】1．如图，△ABC 中，∠ABC =45∘，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与AD 相交于点G ，DF ⊥AB 于F ，交BE 于H ．下列结论：①AD =BD ；②CE =BH ；③AE =12BG ；④CD +AG =BD ．其中正确的序号是_________．【答案】①③④2．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF =90∘，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【答案】解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．∵BM=BE．∴∠BME=45∘，∴∠AME=135∘．∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45∘，∴∠ECF=135∘．∴∠AME=∠ECF．∵∠AEB+∠BAE=90∘，∠AEB+∠CEF=90∘，∴∠BAE=∠CEF∴△AME≌△BCF(ASA)．∴AE=EF．（2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．∴BN=BE．∴∠N=∠PCE=45∘．四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE．∴∠DAE=∠BEA．∴∠NAE=∠CEF．∴△ANE≌△ECF(ASA)．∴AE=EF．3．如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【解答】（1）解：如图，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB=60∘，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，∴△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形CF，BF=PB∴DF=CD=12∵P是AB的中点，即PB=1AB=3，2∴BF=3∴；（2）解：分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）证得△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形∴FD=12FC，EF=12BF∴ED=FD+EF=12FC+12BF=12BC=3∴ED为定值同理，如图，若P在BA的延长线上，作PM∥AC的延长线于M，∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=60∘，∴∠B=∠PMC=60∘，∴PM=PB，且PE⊥BC∴BE=EM=12BM，△PBM是等边三角形∴PM=PB=CQ∵PM∥AC∴∠PMB=∠QCM，∠MPD=∠CQD且PM=CQ ∴△PMD≌△QCD（ASA），∴CD=DM=12CM，∴DE=EM−DM=12BM−12CM=12(BM−CM)=12BC=3综上所述，线段ED的长度保持不变．【答案】（1）；（2）线段ED的长度保持不变．1．已知（a-）＜0，若b=2-a，则b的取值范围是__________．【解答】根据被开方数大于等于0以及不等式的基本性质求出a的取值范围，然后再求出2-a的范围即可得解．2．有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是__________．【解答】由①+②比③+④重可知③与④中至少有一个轻球，由⑤+⑥比⑦+⑧轻可知⑤与⑥至少有一个轻球，①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．3．若a，b均为整数，a+b=﹣2，且a≥2b，则有最大值是__________ .【解答】【答案】14．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE，下列结论错误的是（）A. AD=CD；B. BE>CD；C. ∠BEC=∠BDC；D. BE平分∠CBD．【答案】D．5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）;A. 35；B. 45；C. 23．D. √32【答案】B．6．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠BAC＝60°，BC＝6，点D是BC边上一动点，将BD，CD翻折使得B′，C′分别落在AB，AC边上，（B与B′，C与C′分别对应），点D从点B运动运动至点C，△B′C′D 面积的大小变化情况是（）A. 一直减小；B. 一直不变；C. 先减小后增大；D. 先增大后减小．【答案】D7．如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，E、F分别在边AC和AB上，∠BFE和∠BCD的平分线相交于点P，若∠B=80∘，∠FEC=70∘，则∠1−∠2=°；∠P=°．【答案】15，95．。

一、选择题1．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是20km/h ，且33cos 8AOB ∠=-，则此山的高PO =（ ）A ．1 kmB ．2km 2C ． 3 kmD ． 2 km2．如图，四边形ABCD 中，CE 平分ACD ∠，23AE CE ==，3DE =，若ABC ACD ∠=∠，则四边形ABCD 周长的最大值（ ）A ．24B ．1233+C ．183D ．(3533．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．64．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π5．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ） A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106 m （如图），则旗杆的高度为（ ）A ．10 mB ．30 mC ．103 mD ．106 m7．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线79BD =△ABC 的周长为（ ） A ．15 B ．14C ．16D ．12 10．在ABC 中，若2a =，3b =30A =︒，则B 等于（ ）A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒11．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3013C c a =︒==，，ABC ∆的面积为A 3B 3C ．34D ．3212．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，且8a c +=，则AC 边上中线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．23D ．43二、填空题13．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则角B =______.14．在ABC 中，3A π∠=，D 是BC 的中点.若34AD BC ≤，则sin sin B C 的最大值为____________.15．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________16．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a +c ＝2b ，3sin B ＝5sin A ，则C ＝_____．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22212b c a -=，则tan B =________.18．在相距3千米的A ，B 两个观察点观察目标点C ，其中观察点B 在观察点A 的正东方向，在观察点A 处观察，目标点C 在北偏东15︒方向上，在观察点B 处观察，目标点C 在西北方向上，则A ，C 两点之间的距离是______千米．19．在ABC 中，cos cos 3A B +=23AB =sin sin A B +取最大值时，ABC 的外接圆半径为________．20．如图，在ABC 中，点D 是边BC 上的一点，1DC =，2AC =，3BD =，120BAD ∠=︒，则AB 的长为________.三、解答题21．已知在△ABC 3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ． （1）求角C 的大小；（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．22．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3a b =，求cos(2)B C +的值.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c CB A b a-=-+.（1）求A ； （2）若2a =，求11tan tan B C+的最小值. 24．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--=. （1）求A ；（2）若34b =，且BC 边上的高为3ABC 的面积. 25．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2cos cosA cosC b 0a C c ++=（1）求角C 的大小；（2）求22sin sin A B +的取值范围．26．在①2222b ac a c =+，②cos sin a B b A =，③sin cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，3A π=，2b =ABC 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=，45BPO ∠=，设PO h =，在Rt POA △，Rt POB 中 求出3AO h =，BO h =，在AOB 中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：PO ⊥平面AOB ，903060APO ∠=-=，904545BPO ∠=-=，7.520 2.560AB =⨯=km ， 设PO h =，在POA 中，tan AO APO PO ∠=，tan 60AOh=，所以3AO h =， 在POB 中，tan BO BPO PO ∠=，tan 45BOh=，所以BO h =， 在AOB 中，由余弦定理可得：2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯， 所以)2222.532333h h h h =+-⨯⎛ ⎝⎭⨯，即2252544h =，解得：1h =， 所以山的高1PO =， 故选：A.2．D解析：D 【分析】ACD △和CDE △中，结合正弦定理可求得6ACE DCE π∠=∠=，这样可得,DC AC ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，应用基本不等式可得AB BC +的最大值，从而可得四边形ABCD 周长的最大值．【详解】设ABC ACD ∠=∠2θ=，(0,)2πθ∈，∵CE 平分ACD ∠，∴DCE ACE θ∠=∠=， 又AE CE =，∴EAC ACE θ∠=∠=，AE CE ==DE =AD =ACD △中，由正弦定理得sin sin CD AD DAC ACD =∠∠，则CD ==， CDE △中，2DEC EAC ECA θ∠=∠+∠=，由正弦定理得sin sin CD DE CED DCE =∠∠，则2sin CD θθθ==，∴2cos θθ=，解得cos θ=，6πθ=，∴3CD ==，ACD △中，由角平分线定理得AC AE CD DE ==，得236AC =⨯=． ABC 中，23ABC πθ∠==，由余弦定理得2222cos 3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2222223136()3()()()44AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC =+-⋅=+-⋅≥+-+=+，当且仅当AB BC =时等号成立，12AB BC +≤，此时ABC 为等边三角形．∴AB BC CD DA +++的最大值为12315++=+ 故选：D ． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，在平面图形中充分利用平面几何的知识可减少计算量．本题解题关键是求出6ACE π∠=．3．C解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．4．D解析：D 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,2R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．C解析：C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB， ∵sin sin A ba B -=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．6．B解析：B 【分析】作图，分别求得∠ABC ，∠ACB 和∠BAC ，然后利用正弦定理求得AC ，最后在直角三角形ACD 中求得AD ． 【详解】 解：如图，依题意知∠ABC ＝30°+15°＝45°，∠ACB ＝180°﹣60°﹣15°＝105°， ∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°， 由正弦定理知BC ACsin BAC sin ABC=∠∠，∴AC BC sin BAC=∠•sin ∠ABC1062122=⨯=3m ）， 在Rt △ACD 中，AD 32=•AC 32=⨯3=30（m ） 即旗杆的高度为30m ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．7．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=， 在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30103sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是103km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．B解析：B 【分析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.9．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.10．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即sin sin sin 3022b B A a ==︒=， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．A解析：A 【分析】根据已知求出b 的值，再求三角形的面积. 【详解】在ABC ∆中，301C c a =︒==，， 由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅， 即2320b b -+=， 解得：1b =或2b =.∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）.∴ABC ∆的面积为111sin 1222ab C =⨯=. 故选A . 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12．C解析：C 【分析】根据等差中项的性质，结合正弦定理化简可得3B π=，设AC 中点为D ，再利用平面向量的线性运算可得1||||2BD BA BC =+，再平方利用基本不等式求解即可. 【详解】cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，2cos cos cos b B a C c A ∴=+，根据正弦定理有2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，2sin cos sin B B B ∴=，又sin 0B ≠，1cos 2B ∴=，可得3B π=， 设AC 中点为D ，则AC 边上中线长为1||||2BD BA BC =+， 平方可得()()2222221112()444BD BA BC BA BC c a ac a c ac ⎡⎤=++⋅=++=+-⎣⎦ 2221()3()()124416a c a c a c ⎡⎤+≥+-=+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当4a c ==时取等号，故2BD 的最小值为12，即AC 边上中线长的最小值为故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算，属于中档题. 二、填空题13．【分析】由正弦定理及可得结合两角差余弦公式可得进而可得到值【详解】由正弦定理及可得：在中∴即∴又B 为三角形内角∴=故答案为:【点睛】本题考查三角形中求角的问题涉及到正弦定理两角差余弦公式考查计算能力 解析：π3B =【分析】 由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合两角差余弦公式可得tanB =B 值. 【详解】 由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得：πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,在ABC 中，sin 0A ≠， ∴πsin cos 6B B ⎛⎫=-⎪⎝⎭,即ππsin cos cos sin sin 66B B B =+ ∴tanB =B 为三角形内角，∴B =3π 故答案为:3π. 【点睛】本题考查三角形中求角的问题，涉及到正弦定理，两角差余弦公式，考查计算能力，属于基础题.14．【分析】设三角形三条边长分别为先分析得到再利用余弦定理得到最后利用正弦定理即得解【详解】设三角形三条边长分别为那么因为所以故由题意得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形意在考查学 解析：1532【分析】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ，先分析得到222138b c a +≤，再利用余弦定理得到258bc a ≤，最后利用正弦定理即得解. 【详解】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ，那么2243,169x a x a ≤∴≤，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=所以2222422+=+x a b c ， 故2222222213168849,8x b c a a b c a =+-≤∴+≤ 由题意得222222221135cos ,,2288b c a A b c bc a a bc a bc +-==∴+=+≤∴≤ 255315sin sin sin =88432B C A ∴≤=⨯. 故答案为：1532【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值．【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =．设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BC B A =∠∠，即32sin(3)sin παα=-， 整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=，结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=， 即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==． 再由ABC 得：2sin sin 2AB αα=，∴= 解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．16．【分析】由正余弦定理可得的余弦值进而求出的值【详解】因为则由正弦定理可得所以又所以由余弦定理可得又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用考查了运算能力属于中档题解析：23π 【分析】由正余弦定理可得C 的余弦值，进而求出C 的值.【详解】因为3sin 5sin B A =，则由正弦定理可得35b a =，所以35a b =， 又2a c b +=，所以725c b a b =-=， 由余弦定理可得22222294912525cos 32225b b b a b c C ab b b +-+-===-⋅⋅， 又因为(0,)C π∈，所以23C π=， 故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题．17．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数 解析：3【分析】由题意结合余弦定理得3c =，进而可得3a b =，再由余弦定理即可求得cos 10B =，利用平方关系求得sin 10B =，进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】4A π=，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即222b a c -=-， 又22212b a c -=，所以2212c c =-，所以3c =， 222222145299a b c b b b =-=-=，所以3a b =，所以22222258cos 2b b b a c b B ac +-+-===，所以sin B ==， 所以sin tan 3cos B B B==， 故答案为：3.【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.18．【分析】在中则再由正弦定理列出方程即可求解【详解】由题设可知在中所以由正弦定理得即解得故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用其中解答中熟练应用正弦定理列出方程是解答的关键着重考查运算与求【分析】在ABC 中，75CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，则60ACB ∠=︒，再由正弦定理列出方程，即可求解.【详解】由题设可知，在ABC 中，75CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，所以60ACB ∠=︒，由正弦定理得sin sin AB AC ACB CBA =∠∠，即3sin 60sin 45AC =，解得AC =．.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中熟练应用正弦定理，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.19．2【分析】设与两边平方后相加可得即可知时最大可得角再利用正弦定理即可求解【详解】设则又因为所以所以所以当时此时的外接圆半径为故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理二倍角公式三角函数的性质同角三角 解析：2【分析】设sin sin A B t +=与cos cos A B +=两边平方后相加，可得2322cos()A B t +=+-，即21cos()2t A B +-=，可知A B =时，sin sin =+t A B 最大，可得角C ，再利用正弦定理即可求解.【详解】设sin sin A B t +=，则()2222sin sin sin sin 2sin sin t A B A B A B =+=++， 又因为()2223cos cos cos cos 2cos cos A B A B A B =+=++，所以222223sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos t A A B B A A B B +=+++++ 22cos()B A =+-，所以21cos()2t A B +-=， 所以当A B =时，max 1=t ，23C π∠=，此时ABC 2=． 故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系，属于中档题. 20．【分析】在两个三角形中利用余弦定理建立等量关系式整理得出结合题中所给的条件利用余弦定理建立等量关系式求得结果【详解】因为所以可得在△中所以整理得出所以所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形的解析：677 【分析】 在两个三角形中，利用余弦定理，建立等量关系式，整理得出2AB AD =，结合题中所给的条件，利用余弦定理建立等量关系式，求得结果. 【详解】 因为cos cos ADB ADC ∠=-∠，所以2229142321AD AB AD AD AD+-+-=-⨯⨯⨯⨯，可得2AB AD =， 在△ABD 中，2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⨯⨯∠，所以22192()422AB AB AB AB =+-⨯⨯⨯-， 整理得出2794AB =，所以2367AB =，所以67AB =， 故答案为：67. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理解三角形，属于简单题目.三、解答题21．（1）3π ；（2）4+23． 【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6π）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解.【详解】（1）∵3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ，且A +B +C ＝π， ∴3sin C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C ，即3sin C +cos C ＝2，∴sin （C +6π）＝1． ∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sin AB ACB ∠＝sin3ABπ＝2×2＝4，∴AB＝23，∵∠ACB＝3π，∴∠ABC+∠BAC＝23π，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝3π，∴∠AIB＝23π，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝3π﹣θ，且0＜θ＜3π，在△ABI中，由正弦定理得，sin()3BIπθ-＝sinAIθ＝sinABAIB∠23sin34，∴BI＝4sin（3π﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周长为3+4sin（3π﹣θ）+4sinθ＝3（32cosθ﹣12sinθ）+4sinθ＝33θ+2sinθ＝4sin（θ+3π）3∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3π＜23π，∴当θ+3π＝2π，即6πθ=时，△ABI的周长取得最大值，最大值为3，故△ABI的周长的最大值为3．【点睛】关键点点睛：将,AI BI用ABI∠表示，根据三角函数知识求出AI BI+的最大值是解题关键.22．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）17-.【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）利用正弦定理的边角互化可得sin3sinA B=，再由23A Bπ+=求出3tan B=，再利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】（Ⅰ）∵22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-∴由正弦定理得22()a b c ab -=-，即222a b c ab +-= ∴1cos 2C =， 又∵(0,)C π∈ ∴3C π=；（Ⅱ）∵3a b =，∴由正弦定理得sin 3sin A B =， ∵23A B π+=，∴2sin 3sin 3B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴tan B =，∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sin B B == ，∴11sin 22sin cos 214B B B B === ∴1cos(2)cos 2cos sin 2sin 7BC B C B C +=-=-23．（1）3π；（2）3. 【分析】 （1）根据题设条件和正弦定理，化简得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理，求得cos A 的值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得2bc a ≤，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得22sin 22si 11tan tan n 2sin R R A R a R B R C B bcC ⋅⋅==⋅+，即可解. 【详解】（1）由()sin sin sin b c CB A b a -=-+，可得()()()sin sin sin b cC B A b a -=-+，由正弦定理得()()()b c c b a b a -=-+，即222b c a bc +-=， 由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，可得3A π=.（2）由（1）知3A π=，设三角形的外接圆的半径为R ，可得2sin a R A == 又由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号， 又由11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B C B C B C B C++=+=()sin sin sin sin sin sin B C A B C B C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=⋅23343R a bc bc ⋅==≥=⨯， 其中R 是ABC 外接圆的半径，所以11tan tan B C +.24．（1）6π；（2） 【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积．【详解】（1）由22sin cos 2c a B C ab--=得222sin 2cos ab B ab C c a -=-， 由余弦定理得222222sin ab B c a b c a +--=-，所以2sin a B b =，由正弦定理得2sin sin sin A B B =，B 是三角形内角，sin 0B ≠， 所以1sin 2A =，又A 为锐角，所以6A π=．（2）由（1）2222232cos 2cos 166a b c bc A c c c π=+-=+-⋅⋅2716c =，4a c =，所以11sin 22ABC S bc A a ==⨯△211124224c ⨯⨯=⨯⨯c =b == 111sin 222ABC S bc A ===△ 【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．25．（1）23C π=；（2）13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解.（2）利用二倍角公式以及三角形的内角和性质可得22sin sin A B +11sin 226A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）由已知及正弦定理得2(sin cos sin cos )cos sin 0A C C A C B ++=，2sin()cos sin 0A C C B ++=，因为A B C π+=-，所以sin (2cos 1)0B C +=， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =-， 因为0C π<<，所以23C π=． （2）221cos 21cos 21sin sin 1(cos 2cos 2)222A B A B A B --+=+=-+12111cos 2cos 21cos 2cos 2223222A A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-+-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1111cos 221sin 22226A A A π⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为03A π<<，所以52666A πππ<+<，1sin 2126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 111sin 22264A π⎛⎫-≤-+<- ⎪⎝⎭，1131sin 22264A π⎛⎫≤-+< ⎪⎝⎭， 所以2213sin sin 24A B ≤+<，即22sin sin A B +的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭．26．条件选择见解析；ABC 【分析】选择①，用余弦定理求得B 角，选择②，用正弦定理化边为角后求得B 角，选择③用两角和的正弦公式变形后求得B 角，然后利用正弦定理求得a ，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得sin C ，最后由面积公式计算出面积．【详解】解：（1）若选择①，222b a c =+由余弦定理，222cos 222a cb B ac ac +-===， 因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭所以113sin 2244ABC S ab C +===△. （2）若选择②cos sin a B b A =，则sin cos sin sin A B B A =， 因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =， 因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以113sin 2244ABC S ab C +===△. （3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以42B ππ+=，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序．用正弦定理进行边角转换是一种重要技巧，它的目的是边角分离，公式应用明确．本题是求三角形面积，一般要知道两边和夹角的正弦，在已知一角和一边情况下还需要求得一条边长及两边夹角，这样我们可以采取先求B 角，再求a 边和sin C ，从而得面积．。