高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.8抛物线课时提升作业理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-10圆锥曲线的综合问题课时提升作业理(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知点F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)为椭圆上一点,则点P到两焦点距离之积的最大值是( )A.8B.2C.10D.4【解析】选A.设椭圆长半轴的长为a,则a2=8,因为·≤==a2=8(当且仅当=时取等号)2.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( )A.2B.C.D.【解析】选C.设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5.弦长|AB|=4×≤.3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )A. B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】选C.因为y2=8x,所以Q(-2,0),设过Q点的直线l方程为y=k(x+2).l与抛物线有公共点,联立得方程组整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点,当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-16k4≥0,即0<k2≤1.又因为k=0符合题意,所以-1≤k≤1.4.P是双曲线-=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9【解题提示】注意两圆圆心的坐标是双曲线的焦点,利用双曲线的定义即可解决.【解析】选D.设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,易知(|PM|-|PN|)max=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2×3+3=9.5.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x=-2的距离之和等于5,则这样的直线( )A.有且仅有一条B.只有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选D.设点A(x1,y1),B(x2,y2).因为A,B两点到直线x=-2的距离之和等于5,所以x1+2+x2+2=5.所以x1+x2=1.由抛物线的定义得|AB|=x1+1+x2+1=3.而抛物线的焦点弦的最小值(当弦AB⊥x轴时,是最小焦点弦)为4,所以不存在满足条件的直线.【误区警示】解答本题易出现以下错误:由于忽略焦点弦的最小值,从而导致错误结论.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·邯郸模拟)如图所示,正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则= .【解析】由题意可得C,F,将C,F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中,得因为a>0,b>0,p>0,两式相比消去p得=,化简整理得a2+2ab-b2=0.此式可看作是关于a的一元二次方程,由求根公式得a==(-1±)b,取a=(-1)b,从而==+1.答案:+17.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,离心率为e,则的最小值为.【解析】由题意,=,所以b=a,所以c=2a,e=2,==+≥(当且仅当a=2时取等号),则的最小值为.答案:8.(2016·衡水模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点,记直线AC,BC的斜率分别为k1,k2,当+ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线的离心率为.【解析】设A(x1,y1),C(x2,y2),由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线-=1的交点,所以由双曲线的对称性得A,B 关于原点对称,所以B(-x1,-y1),所以k1k2=·=.因为点A,C都在双曲线上,所以-=1,-=1,两式相减,可得k1k2=>0,对于+ln|k1|+ln|k2|=+ln|k1k2|,函数y=+lnx(x>0),由y′=-+=0,得x=0(舍)或x=2,x>2时,y′>0,0<x<2时,y′<0,所以当x=2时,函数y=+lnx(x>0)取得最小值,所以当+ln(k1k2)最小时,k1k2==2,所以e==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·唐山模拟)已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点,且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1.(1)求椭圆E的标准方程.(2)若A,B是椭圆E的左、右端点,O为原点,P是椭圆E上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交y轴于点M,N,问·是否为定值,说明理由.【解析】(1)由抛物线y2=12x,得焦点为(3,0),由已知可知椭圆的焦点在x轴,且a=3,又a-c=1,则c=2,所以b2=a2-c2=5,故椭圆E的方程为+=1;(2)设P(x0,y0),则5+9=45,且A(-3,0),B(3,0),又直线PA:y=(x+3),直线PB:y=(x-3),令x=0,得:=,=,故·===5为定值.【加固训练】(2015·陕西高考)如图,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程.(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.【解题提示】(1)先由已知求出椭圆长半轴长,进而得出椭圆的标准方程.(2)将直线方程代入椭圆方程,得两根之和与两根之积与k的关系式,将之代入直线AP与AQ的斜率之和整理式消k后得证.【解析】(1)由题意知=,b=1,综合a2=b2+c2,解得a=,所以,椭圆的方程为+y2=1.(2)由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1,代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,从而直线AP与AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.10.(2016·深圳模拟)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值.(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率的取值范围.【解析】(1)由已知得,F1(-,0),F2(,0),设点P(x,y),则+y2=1,且-2≤x≤2.所以·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2-3+y2=x2-3+1-=x2-2,当x=0,即P(0,±1)时,(·)min=-2;当x=±2,即P(±2,0)时,(·)max=1.(2)由题意可知,过点M(0,2)的直线l的斜率存在.设l的方程为y=kx+2,由消去y,化简整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,解得k2>.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,又∠AOB为锐角,所以·>0,即x1x2+y1y2>0,即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0,所以(1+k2)·-2k·+4>0,解得k2<4,所以<k2<4,即k∈∪.(20分钟40分)1.(5分)(2016·长沙模拟)已知抛物线C:y2=4x,点P(m,0),O为坐标原点,若在抛物线C上存在一点Q,使得∠OQP=90°,则实数m的取值范围是( )A.(4,8)B.(4,+∞)C.(0,4)D.(8,+∞)【解析】选B.以OP为直径的圆的方程为+y2=,将y2=4x代入整理可得x2+(4-m)x=0,所以x=0或x=m-4,因为在抛物线C上存在一点Q,使得∠OQP=90°,所以m-4>0,所以m>4.2.(5分)(2016·邯郸模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,则|OA|2+|OB|2(O为坐标原点)的最小值为( )A.4B.8C.10D.12【解析】选 C.当直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴时,方程为x=1,则A(1,2),B(1,-2),|OA|2+|OB|2=5+5=10.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1,|OA|2+|OB|2=+++=+4x1++4x2=(x1+x2)2-2x1x2+4(x1+x2)=-2+4设=t,则t>2,|OA|2+|OB|2=t2+4t-2=(t+2)2-6(t>2),所以|OA|2+|OB|2>10.综上可知:|OA|2+|OB|2的最小值为10.3.(5分)已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为.【解析】设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意得则(b-a)x2+2ax-a-ab=0.所以x1+x2=-,x1x2=,y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2,根据·=0,得x1x2+y1y2=0,得1-(x1+x2)+2x1x2=0,因此1++2×=0,化简得=2,即-=2.答案:24.(12分)已知椭圆C1:+y2=1(a>1)的长轴、短轴、焦距分别为A1A2,B1B2,F1F2,且|F1F2|2是与|B1B2|2的等差中项.(1)求椭圆C1的方程.(2)若曲线C2的方程为(x-t)2+y2=(t2+t)2,过椭圆C1左顶点的直线l与曲线C2相切,求直线l被椭圆C1截得的线段长的最小值.【解析】(1)由题意得|B1B2|=2b=2,|A1A2|=2a,|F1F2|=2c,a2-b2=c2,又2×(2c)2=(2a)2+22,解得a2=3,c2=2,故椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由(1)可取椭圆的左顶点坐标为A1(-,0),易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+).由直线l与曲线C2相切得=(t+)t,整理得=t.又因为0<t≤,所以0<≤,解得0<k2≤1.联立消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+9k2-3=0.直线l被椭圆C1截得的线段一端点为A1(-,0),设另一端点为B,解方程可得点B的坐标为,所以|A1B|==.令m=(1<m≤),则|A1B|==.由函数y=3m-的性质知y=3m-在区间(1,]上是增函数,所以当m=时,y=3m-取得最大值2,从而|A1B|min=.5.(13分)(2016·临汾模拟)如图,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,分别以HF,EG所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,已知=λ,=λ,其中0<λ<1.(1)求证:直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:+y2=1上.(2)若点N是直线l:y=x+2上且不在坐标轴上的任意一点,F1,F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P,Q和S,T.是否存在点N,使得直线OP,OQ,OS,OT的斜率kOP,kOQ,kOS,kOT满足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知,得F(,0),C(,1).由=λ,=λ,得R(λ,0),R′(,1-λ).又E(0,-1),G(0,1),则直线ER的方程为y=x-1,①直线GR′的方程为y=-x+1.②由①②,得M.因为+===1,所以直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:+y2=1上.(2)假设存在满足条件的点N(x0,y0),则直线NF1:y=k1(x+1),其中k1=,直线NF2:y=k2(x-1),其中k2=,由消去y并化简,得(2+1)x2+4x+2-2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,因为OP,OQ的斜率存在,所以x1≠0,x2≠0,所以≠1,所以kOP+kOQ=+=+=2k1+k1·=k1=-.同理,得kOS+kOT=-,所以kOP+kOQ+kOS+kOT=-2=-2·=-,因为kOP+kOQ+kOS+kOT=0,所以-=0,即(k1+k2)(k1k2-1)=0,由点N不在坐标轴上,知k1+k2≠0,所以k1k2=1,即·=1,③又y0=x0+2,④解③④得,x0=-,y0=,所以满足条件的点N存在,其坐标为.【加固训练】(2015·北京高考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示).(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)椭圆+=1(a>b>0)过P(0,1),所以b2=1,离心率e====,所以a=,所以椭圆方程为+y2=1.因为P(0,1),A(m,n),所以直线PA的方程为y-1=x,直线PA与x轴交于M,令y=0,则xM=,所以M.(2)因为P(0,1),B(m,-n),所以直线PB的方程为y-1=x,直线PB与x轴交于N,令y=0,则xN=,所以N.设Q(0,y0),tan∠OQM==,tan∠ONQ==,因为∠OQM=∠ONQ,所以tan∠OQM=tan∠ONQ,所以=.所以===2,所以y0=±.因此,存在点Q(0,±),使∠OQM=∠ONQ.。

第八节 抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0 x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左 向上向下焦半径 (其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p21．(2018·杭州七校联考)抛物线C ：y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14，则其焦点坐标为________，实数a 的值为________． 解析：由题意得焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，14，抛物线C 的方程可化为x 2＝1a y ，由题意得－14a ＝－14，解得a ＝1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，1412．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y3．(教材习题改编)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为__________；准线方程为____________．解析：抛物线的标准方程为x 2＝14y ，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，116，准线方程为y ＝－116.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，116y ＝－1161．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．一条直线答案：D2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·温州十校联考)设抛物线C ：y ＝14x 2的焦点为F ，直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，|AF |＝3，线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，则|BF |＝( )A.72 B ．5 C ．4D ．3解析：选B 抛物线C 的方程可化为x 2＝4y ，由线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，可得|AF |＋|BF |＝8，又|AF |＝3，所以|BF |＝5.2．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5，故选B.[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.[即时应用]1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知其焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2C.115D ．3解析：选B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.考点二 抛物线的标准方程与几何性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有： (1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性．[题点全练]角度一：求抛物线方程1．(2019·台州重点校联考)已知直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：选B 过A ，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，则|AA 1|＋|BB 1|＝2⎝⎛⎭⎪⎫2＋p 2＝8，解得p ＝4，所以此抛物线的方程是y 2＝－8x .角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选B 双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，因为双曲线的离心率为2， 所以1＋b 2a 2＝2，ba ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得， 2×12×23p 3×2p 3＝3，解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.[通法在握]求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．[演练冲关]1．(2019·宁波质检)已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，由中点坐标公式可知p 2＋y 212p ＝2×2，y 1＋0＝2×2，解得p ＝4.2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且FM ＝3FP ，则|FP |＝( )A.32 B.23C.43D.34解析：选C 设直线l 的倾斜角为θ，如图所示，过点P 作PN 垂直准线于点N ，由抛物线定义知|PN |＝|PF |.∵FM ＝3FP ，∴|FM |＝3|FP |，即|PM |＝2|PN |.在Rt △MNP 中，cos ∠MPN ＝12，∵PN ∥x 轴，∴cos θ＝12，由抛物线焦半径的性质可得|PF |＝p 1＋cos θ＝21＋12＝43，即|FP |＝43.考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·长兴中学模拟)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 1上一点，|PF |＝4，点P 到y 轴的距离等于3.(1)求抛物线C 1的标准方程；(2)设A ，B 为抛物线C 1上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y ＝x 上，P (0,2)为定点，求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意，p2＋3＝4，∴p ＝2，所以抛物线C 1的标准方程为y 2＝4x .(2)设直线AB ：x ＝ty ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋b ，y 2＝4x消元化简得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b ＞0.且y 1＋y 2＝4t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2b ＝4t 2＋2b ， 所以D (2t 2＋b,2t )，2t 2＋b ＝2t . 由Δ＞0得0＜t ＜2.所以点P 到直线AB 的距离d ＝|－2t －b |1＋t 2＝|2t 2－4t |1＋t2，所以|AB|＝1＋t216t2＋16b＝41＋t22t－t2，所以S△ABP＝12|AB|d＝12×41＋t22t－t2|2t2－4t|1＋t2＝22t－t2·|2t2－4t|.令m＝2t－t2，则m∈(0,1]，且S△ABP＝4m3.由函数单调性可知，(S△ABP)max＝4.[由题悟法]解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时应用]如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4.又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)＞0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·4m2－4×－4＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·湖州质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：选D ∵AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，∴AB 是焦点弦，∴|AB |＝2p ，∴S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍去)，∴直线AB 的方程为x ＝2，∴以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是y 2＝－8x ，故选D.2．(2018·江山质检)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由抛物线的定义可知，4＋p2＝5，解得p ＝2.3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角为2π3.4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A ．8B ．23C ．4 3D ．83解析：选B 法一：由题意可得p ＝3，F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，0.不妨设点P 在x 轴上方，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|Q F |＝|Q N |，设直线P Q 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，∴θ＝π3，由抛物线焦半径的性质可知，|PF |＝p 1－cos θ＝31－cosπ3＝23，|Q F |＝p1＋cos θ＝31＋cosπ3＝233，∴|MN |＝|P Q|sin θ＝(|PF |＋|Q F |)·sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12|MN |·p ＝12×4×3＝2 3. 法二：由题意可得F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，0，直线P Q 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x联立，得⎝⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533，∴|P Q|＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833，∵直线P Q 的斜率为3，∴直线P Q 的倾斜角为π3.∴|MN |＝|P Q|sinπ3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12×4×3＝2 3. 5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＝4yD ．y 2＝4x解析：选C 设动圆圆心M (x ，y )，则x 2＋y －12＝|y ＋1|，解得x 2＝4y .2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与抛物线C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)．若AF ＝mFB ，则m 的值为( )A. 3B.32C ．2D ．3解析：选D 直线方程为x ＝33y ＋1，代入y 2＝4x 可得y 2－433y －4＝0，则y A ＝23，y B ＝－233，所以|y A |＝3|y B |，因为AF ＝mFB ，所以m ＝3.3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x 2＝4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为30°，则|AF ||BF |的值等于( )A ．3B.52C ．2D.32解析：选A 由题可得，F (0,1)，设l ：y ＝33x ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x ，化简得3y 2－10y ＋3＝0，解得y 1＝3，y 2＝13.由抛物线的定义可知|AF ||BF |＝y 1＋1y 2＋1＝3＋113＋1＝3. 4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是()A ．8B.192C ．10D.212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10.所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B.5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ·MF ＝( )A ．－74B.74C.94D ．－94解析：选A 设M (m ，2pm )，抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以m 2＋2pm ＝94 ①，m ＋p 2＝32②，由①②解得m ＝12，p ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，F (1,0)，所以OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，故OM ·MF ＝14－2＝－74.6．(2018·宁波期初)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，若点M 在抛物线上，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.解析：由题可得，p ＝2，焦点在y 轴正半轴，所以F (0,1)． 因为|MF |＝4，所以M (±23，3)．所以tan ∠MFO ＝－tan(π－∠MFO )＝－233－1＝－3，所以∠MFO ＝2π3.答案：2π37．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为________．解析：如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM ―→＝OF ―→＋FM ―→＝OF ―→＋13FP ―→＝OF ―→＋13(OP ―→－OF ―→)＝13OP ―→＋23OF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立，所以直线OM 的斜率的最大值为22.答案：228．(2018·嵊州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.解析：设点A 在第一象限，B 在第四象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x ，得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，则y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372＝67.答案：679．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20.(2)由(1)得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20， 所以AB的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 02.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋x 02，y ＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋x 204＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2.所以y 22＝1－mx 0216m4＝x 2012m2， 解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 10．(2018·台州模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解：(1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则F 1F 2―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2―→·OP ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y 得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ， 又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，故S △PMN ＝12·|k －1|1＋k2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝21－k 1－k3k 2＝21－k21＋k ＋k2k 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1，令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)≥8，当t ＝－2，即k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，点M 是抛物线的准线与y 轴的交点，过点A (0，λp )(λ∈R)的动直线l交抛物线于B ，C 两点．(1)求证：MB ·MC ≥0，并求等号成立时实数λ的值； (2)当λ＝2时，设分别以OB ，OC (O 为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D ，求|DO |＋|DA |的最大值．解：(1)由题意知动直线l 的斜率存在，且过点A (0，λp )， 则可设动直线l 的方程为y ＝kx ＋λp ，代入x 2＝2py (p ＞0)，消去y 并整理得x 2－2pkx －2λp 2＝0，Δ＝4p 2(k 2＋2λ)＞0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2λp 2，y 1y 2＝(kx 1＋λp )(kx 2＋λp )＝k 2x 1x 2＋λpk (x 1＋x 2)＋λ2p 2＝λ2p 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2λp ＝2pk 2＋2λp ＝2p (k 2＋λ)．因为抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p2，所以点M的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，所以MB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋p 2，MC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋p 2，所以MB ·MC ＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋p 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋p 2(y 1＋y 2)＋p 24＝－2λp 2＋λ2p 2＋p2[2p (k 2＋λ)]＋p 24＝p2⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ－122≥0，当且仅当k ＝0，λ＝12时等号成立．(2)由(1)知，当λ＝2时，x 1x 2＝－4p 2，y 1y 2＝4p 2， 所以OB ·OC ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以OB ⊥OC .设直线OB 的方程为y ＝mx (m ≠0)，与抛物线的方程x 2＝2py 联立可得B (2pm,2pm 2)，所以以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pmx －2pm 2y ＝0. 因为OB ⊥OC ，所以直线OC 的方程为y ＝－1mx .同理可得以OC 为直径的圆的方程为 x 2＋y 2＋2p m x －2pm2y ＝0，即m 2x 2＋m 2y 2＋2pmx －2py ＝0，将两圆的方程相加消去m ，得x 2＋y 2－2py ＝0， 即x 2＋(y －p )2＝p 2，所以点D 的轨迹是以OA 为直径的圆， 所以|DA |2＋|DO |2＝4p 2，由|DA |2＋|DO |22≥⎝⎛⎭⎪⎫|DA |＋|DO |22， 得|DA |＋|DO |≤22p ，当且仅当|DA |＝|DO |＝2p 时，等号成立． 故(|DA |＋|DO |)max ＝22p .2.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

8.8 抛物线1．(2019·江淮十校联考)抛物线y ＝8x 2的焦点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．(0,2) D ．(0,4) 答案 A解析 ∵抛物线的标准方程为x 2＝18y ，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132. 2．(2019·包头青山区模拟)已知点P (2，y )在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．2B ．3 C. 3 D. 2 答案 B解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，结合定义点P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.4．(2020·惠州调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN →|等于( )A.58B.12C.38 D ．1 答案 A解析 由题意得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，设点M 的坐标为(x 0，y 0)，点N 的坐标为(a ,0)， 所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 0－18，MN →＝(a －x 0，－y 0)，由2FM →＝MN →可得，⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝a －x 0，2y 0－14＝－y 0，解得y 0＝112，x 0＝13a ，代入抛物线方程可得x 0＝±612，则a ＝±64， 所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±64，0， 由两点之间的距离公式可得|FN |＝58.5．抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3 D ．8 答案 C解析 由抛物线的定义可得AF ＝AH ， ∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°， ∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF 为等边三角形．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0， 过F 作FM ⊥AH 于M ，则在Rt△FAM 中， AM ＝12AF ，∴m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1， 解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长AH ＝4， ∴△AHF 的面积是12×4×4sin 60°＝4 3.故选C.6．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又∵圆心在OF 的垂直平分线上，OF ＝p2，∴p 2＋p4＝6，∴p ＝8.故选D. 7．(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为3且经过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若AF ＝4，则以下结论正确的是( )A ．p ＝2B ．F 为AD 中点C ．BD ＝2BF D ．BF ＝2 答案 ABC 解析 如图．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的斜率为3， 则直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得12x 2－20px ＋3p 2＝0. 解得x A ＝32p ，x B ＝16p ，由AF ＝32p ＋p2＝2p ＝4，得p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .x B ＝16p ＝13，则BF ＝13＋1＝43；BD ＝BFcos 60°＝4312＝83，∴BD ＝2BF ，BD ＋BF ＝43＋83＝4，则F 为AD 中点．故选ABC.8．(多选)抛物线E ：x 2＝4y 与圆M ：x 2＋(y －1)2＝16交于A ，B 两点，圆心M (0,1)，点P 为劣弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，平行于y 轴的直线PN 交抛物线于点N ，则△PMN 的周长的可能取值是( ) A ．8 B ．8.5 C ．9 D ．10 答案 BC解析 如图，可得圆心M (0,1)也是抛物线的焦点，过P 作准线的垂线，垂足为H ，根据抛物线的定义， 可得MN ＝NH ，故△PMN 的周长l ＝NH ＋NP ＋MP ＝PH ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x 2＋(y －1)2＝16，得B (23，3)．PH 的取值范围为(4,6)，∴△PMN 的周长PH ＋4的取值范围为(8,10)， 故B ，C 满足条件．9．(2019·江淮十校联考)已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与l 相切，则抛物线的方程为________． 答案 y 2＝8x解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l 相切， ∴圆心到准线的距离等于3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，OF ＝p2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 10．(2020·山东模拟)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p > 0)的焦点F (1,0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝________，1AF ＋1BF＝________.答案 2 1解析 由题意知p2＝1，从而p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .当直线AB 的斜率不存在时，将x ＝1代入抛物线方程，解得AF ＝BF ＝2， 从而1AF ＋1BF＝1.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，从而1AF ＋1BF ＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋2＝1.综上，1AF ＋1BF＝1.11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4.5 m ，此车能否通过隧道？说明理由．解 建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A ，B ，则A (－3，－3)，B (3，－3)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 将B 点坐标代入得9＝－2p ·(－3)， 所以p ＝32.所以抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0)． 因为车与箱共高4.5 m ，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m. 设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)，则x 20＝32，所以|x 0|＝32＝62， 所以2|x 0|＝6<3，故此车不能通过隧道．12．(2019·全国Ⅰ)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，AB ＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径；(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA －MP 为定值？并说明理由． 解 (1)因为⊙M 过点A ，B ， 所以圆心M 在AB 的垂直平分线上．由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切， 所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|. 由已知得AO ＝2.又MO ⊥AO ，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2， 解得a ＝0或a ＝4. 故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)存在定点P (1,0)，使得MA －MP 为定值． 理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，AO ＝2. 由于MO ⊥AO ，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2， 化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x .因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1,0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以MP ＝x ＋1. 因为MA －MP ＝r －MP ＝x ＋2－(x ＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P .13．过点(0,3)的直线与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点(4,0)，F 为抛物线的焦点，则AF ＋BF 的值为________． 答案 6解析 设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B ，H 在准线上的射影为A ′，B ′，H ′，则HH ′＝12(AA ′＋BB ′)，由抛物线的定义可得，AF ＝AA ′，BF ＝BB ′，AF ＋BF ＝AA ′＋BB ′＝2HH ′.由题意知直线AB 的斜率必存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3，与y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0， 由Δ＝(6k －4)2－36k 2>0，得k <13且k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－6k k2，AB 的中点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k k 2，2k ，线段AB 的垂直平分线过点(4,0)，方程为y ＝－1k(x －4)，且过点H ⎝⎛⎭⎪⎫2－3k k 2，2k ，则2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k k 2－4，得2k 2＋3k －2＝0，解得k ＝－2或k ＝12(舍去)，则H (2，－1)，HH ′＝2＋1＝3， 则AF ＋BF ＝AA ′＋BB ′＝2HH ′＝6.14．过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，设D (0,3)．若(DA →＋DB →)·AB →＝0，则弦AB 的长为________． 答案 4解析 若(DA →＋DB →)·AB →＝0， 则线段AB 的垂直平分线过点D .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2， 两式相减得x 1＋x 2＝4(y 1－y 2)x 1－x 2＝4k AB ，即k AB ＝x 1＋x 24，则弦AB 的中点与点D (0,3)的连线的斜率k ＝y 1＋y 22－3x 1＋x 22＝－4x 1＋x 2，所以y 1＋y 2＝2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋2＝4.15．已知曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15及点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，若曲线G 上存在相异两点B ，C ，其到直线l ：2x ＋1＝0的距离分别为AB 和AC ，则AB ＋AC ＝________. 答案 15解析 曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15， 即为半圆M ：(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，由题意得B ，C 为半圆M 与抛物线y 2＝2x 的两个交点， 由y 2＝2x 与(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，联立方程组得x 2－14x ＋15＝0，方程必有两个不相等的实根，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝14，所以AB ＋AC ＝x 1＋12＋x 2＋12＝14＋1＝15.16.已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被E 截得的线段长为8.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B两点. 求FA ·FB 的取值范围．解 (1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0.设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2， ∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，F (1,0)，设C (x 0，y 0)，则圆C 的方程是 (x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20. 令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0.又∵y 20＝4x 0，∴Δ＝4y 20－12x 0＋3＝y 20＋3>0恒成立．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 4， 则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34.∴FA ·FB ＝y 23＋94·y 24＋94＝(y 3y 4)2＋94(y 23＋y 24)＋8116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－342＋94⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y 20－2⎝⎛⎭⎪⎫3x 0－34＋8116＝9x 20＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|. ∵x 0≥0，∴FA ·FB ∈[3，＋∞)． ∴FA ·FB 的取值范围是[3，＋∞)．。

8.7 抛物线[知识梳理]1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. [诊断自测] 1．概念思辨(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(选修A1－1P 64A 组T 2)抛物线y ＝1ax 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 4B.⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0 答案 C解析 把方程写成x 2＝ay ，若a >0，则p ＝a2，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4；若a <0，则p ＝－a2，开口向下，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4.故选C.(2)(选修A1－1P 61例4)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64答案 B解析 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.3．小题热身(1)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3答案 B解析 由抛物线y 2＝4x ，有2p ＝4⇒p ＝2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32.故选B.(2)(2018·正定一模)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________.答案 1＋ 2解析 |OD |＝a 2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b ，b ，又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ，∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·ba－1＝0，又b a>1，∴b a＝1＋ 2.题型1 抛物线的定义及应用典例(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．抛物线定义法．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.[条件探究1] 将典例条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.[条件探究2] 将典例条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求M 点坐标及此时的最小值．解 如图，点A 在抛物线y 2＝4x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |，其中|MH |为M 到抛物线的准线的距离．过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B ， 则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |≥|AB |＝4， 当且仅当点M 在M 1的位置时等号成立． 此时M 1点的坐标为(1,2)． 方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见典例．2．距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．见条件探究2.3．看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．冲关针对训练(2017·湖北二模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 B解析 抛物线y 2＝4x 焦点坐标为F (1,0)，准线方程x ＝－1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3) ∵FA →＋FB →＋FC →＝0， ∴点F 是△ABC 重心，则x 1＋x 2＋x 33＝1，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.由抛物线的定义可知：|FA |＋|FB |＋|FC |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6， ∴|FA |＋|FB |＋|FC |＝6，故选B. 题型2 抛物线的标准方程及性质典例1设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x本题采用待定系数法，列方程求解．答案 C解析 以MF 为直径的圆过点(0,2)，∴点M 在第一象限．由|MF |＝x M ＋p2＝5可得M ⎝⎛⎭⎪⎫5－p 2， 2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，以MF 为直径的圆，其圆心N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径，∴圆与y 轴切于点(0,2)，从而2＝122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.典例2 (2016·天津高考)设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案6解析 根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则|FC |＝3p ，∴|AF |＝|AB |＝32p ，不妨设A 在第一象限，则A (p ，2p )．易证△EFC ∽△EAB ，所以|EF ||AE |＝|FC ||AB |＝|FC ||AF |＝2，所以|AE ||AF |＝13，所以S △ACE ＝13S △AFC ＝13×32p ×2p ＝22p 2＝32，所以p ＝ 6.方法技巧确定及应用抛物线性质的关键与技巧1．关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．见典例1.2．技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．见典例2.冲关针对训练1.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x答案 C解析 设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线l 的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x ，故选C. 2．(2018·河南洛阳统考)已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案 x ＝－2解析 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，可得F 2(2a,0)，又易知其也是抛物线的焦点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.题型3 直线与抛物线的综合问题角度1 直线与抛物线的交点问题典例 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．本题采用方程组法．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ， 即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．角度2 与抛物线弦中点有关的问题典例(2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m . 得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，结合(*)化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形． 方法技巧解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．见角度2典例．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．冲关针对训练已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．题型4 抛物线中的最值问题典例1(2017·成都四模)如图所示点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆x 2＋y 2－4x －12＝0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]利用抛物线定义，圆的半径及AB 长表示出△FAB的周长为x B ＋6，再确定x B 的范围即可．答案 B解析 抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)， 由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B . 由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12)．故选B.典例2抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________ .平移直线法．答案 43解析 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.方法技巧与抛物线有关的最值问题，一般通过数形结合思想或函数方程思想来解决．注意“定义转化法”(典例1)，“平移直线法”(典例2)．冲关针对训练(2017·浙江模拟)已知F 为抛物线4y 2＝x 的焦点，点A ，B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若OA →·OB →＝15(O 为原点)，则△ABO 与△AFO 的面积之和的最小值为( )A.18B.52C.54D.652答案 D解析 设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝x ，x ＝ty ＋m ，可得4y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－m4，∵OA →·OB →＝15， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝15，从而16(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－15＝0. ∴y 1y 2＝－1或y 1y 2＝1516.∵点A ，B 位于x 轴的两侧， ∴y 1·y 2＝－1，故m ＝4.不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝⎛⎭⎪⎫116，0，∴S △ABO ＋S △AFO ＝12×4×(y 1－y 2)＋12×116y 1＝6532y 1＋2y 1≥265y 132×2y 1＝652， 当且仅当6532y 1＝2y 1，即y 1＝86565时，取“＝”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是652， 故选D.1.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. 2．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析 过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12·|CB |·|CF |·sin∠BCF12·|CA |·|CF |·sin∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.4．(2018·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M .根据题意可知圆心M 在抛物线上， 又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，∴p4＝6－p2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x .[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3答案 C解析 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.故选C.3．(2018·广东广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝2x 0，S△OAF＝12·p2·y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 的抛物线y 2＝2px 上，∴16p 2＝2p ×p 2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →(λ>0)，则λ的值为( )A.34B.32C. 3 D ．3答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)， 则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)， 令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.故选D.6．(2017·抚顺一模)已知点P 是抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B. 2 C.52 D.522答案 D解析 点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (－1,0)，则d 1＋d 2＝|－1＋0－4|2＝522.故选D.7．(2018·北京东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233D.433答案 D解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p 4(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p .因为y 0＝12p x 20，所以y 0＝p 6.又M 点在直线y ＝－p 4(x －2)上，即有p 6＝－p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫33p －2⇒p ＝433，故选D.8．(2018·河北邯郸调研) 已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MF →·MN →＜0，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)答案 A解析 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，根据题意可知，N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，12－y 0，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y 0＜0，即0＜y 0＜12，因为点M 在抛物线上，所以有0＜x 202＜12，又x 0≠0，解得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜1，故选A.9．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x轴正方向上的投影为( )A ．2－55 B ．25－1 C ．1－2121D.21－1答案 A解析 因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2，所以cos ∠PMO ＝15，故当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x轴正方向上的投影为(25－1)·cos∠PMO ＝2－55.故选A. 10．(2018·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝3x C ．y 2＝4x D ．y 2＝x答案 A解析 由双曲线方程x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，∴过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取k AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |，∴p ＋1＝2，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.二、填空题11．(2017·河南新乡二模)已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y 21＋y 2的值为________．答案 10解析 由抛物线的定义可知，9＋p2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2，解得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，又∵A ，B 两点在抛物线上，∴y 1＝2，y 2＝6，∴y 21＋y 2＝22＋6＝10.12．(2017·湖南岳阳二模)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析 如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y ＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝(y 2＋1)－1(y 1＋1)－1＝16.13．(2017·河南安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案 2解析 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.14．(2017·河北衡水中学调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝4|FB |，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为58，则p ＝________.答案 1解析 易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，不妨设点A 在x轴上方，如图，过A ，B 作准线的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，过点B 作BH ⊥AA ′，交AA ′于H ，则|BB ′|＝|A ′H |，设|FB |＝t ，则|AF |＝|AA ′|＝4t ，∴|AH |＝|AA ′|－|A ′H |＝3t ， 又|AB |＝5t ，∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝35，∴tan ∠HAB ＝43，则可得直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝178p ＋p ＝258p ，易知点O 到直线AB 的距离为d ＝|OF |·sin∠A ′AB ＝p 2×45＝25p .∴S △AOB ＝12×258p ×25p ＝5p 28＝58，∴p 2＝1，又p >0，∴p ＝1.B 级三、解答题15．(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.16．(2016·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t(x －1)，直线BN ：y ＝－2t.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得 2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1(t ≠0，t ≠±1)． 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．17．(2017·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点．18．(2018·湖南检测)已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1,0)的距离小1. (1)求曲线C 的方程；(2)过F 作弦PQ ，RS ，设PQ ，RS 的中点分别为A ，B ，若PQ →·RS →＝0，求|AB →|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程；(3)是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由．解 (1)由条件，点M 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，所以曲线C 是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)设l PQ ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，∴x A ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2＝1＋2k 2，y A ＝k (x A －1)＝2k.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k，∵PQ →·RS →＝0， ∴PQ ⊥RS .只要将A 点坐标中的k 换成－1k，得B (1＋2k 2，－2k )， ∴|AB →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2－(1＋2k 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k 2 ＝4k4＋4k 4＋4k2＋4k 2≥4(当且仅当k ＝±1 时取“＝”)，所以，|AB →|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程为y ＝±(x －1)，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)∵AF →＝λTB →－FT →⇒AF →＋FT →＝λTB →⇒AT →＝λTB →， 即A ，T ，B 三点共线，∴是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →， 即探求直线AB 是否过定点． 由(2)知，直线AB 的方程为y ＋2k ＝－2k －2k2k 2＋1－⎝⎛⎭⎪⎫2k2＋1(x －2k 2－1)，整理得(1－k 2)y ＝k (x －3)，∴直线AB 过定点(3,0)，故存在一定点T (3,0)， 使得AF →＝λTB →－FT →.。

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①一个前提：直线l 与x 轴相交； 一个基准：取x 轴作为基准；两个方向：x 轴正方向与直线l 向上方向．②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°. ③倾斜角的取值范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan_α.②计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1. [探究] 1.直线的倾角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．由k ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠π2知，当 θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，θ越大，斜率越大且为正；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的． 2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系[探究] 2.两条直线l 1，l 2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？ 提示：不正确，当一条直线与x 轴平行，另一条与y 轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．3．直线方程的几种形式[探究] 3.过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线是否一定可用两点式方程表示？ 提示：当x 1＝x 2，或y 1＝y 2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)若直线x ＝2的倾斜角为α，则α( ) A ．等于0 B ．等于π4C ．等于π2D ．不存在解析：选C 因为直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为π2.2．(教材习题改编)过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：选A 由题意知，4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选B 直线斜率为3－10－2＝－1，其方程为y ＝－x ＋3，即x ＋y －3＝0.4．直线l 的倾斜角为30°，若直线l 1∥l ，则直线l 1的斜率k 1＝________；若直线l 2⊥l ，则直线l 2的斜率k 2＝__________.解析：∵l 1∥l 2，∴k l 1＝tan 30°＝33. ∵l 2⊥l ，∴k l 2＝－1k l＝－ 3.答案：33－ 3 5．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x 等于________． 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54＝2，解得x ＝－3. 答案：－3[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π(2)已知两点A (m ，n )，B (n ，m )(m ≠n )，则直线AB 的倾斜角为________；(3)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．[自主解答] (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ ≤π4或3π4≤ θ<π.(2)设直线AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，则k ＝tan θ＝m －nn －m＝－1.又θ∈[0，π)， 所以θ＝3π4.(3)如右图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．[答案] (1)B (2)3π4(3)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)若将P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 的斜率的取值范围． 解：∵P －1，，A，，B，3，∴k PA ＝1－02－－＝13，k PB ＝3－00－－＝ 3.借助图形可知，直线l 的斜率的取值范围为13⎡⎢⎣.———————————————————斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率；(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ， 则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x,1)，Q (7，y )，则x ＋7＝2,1＋y ＝－2， 解得x ＝－5，y ＝－3，从而k l ＝1－－－5－7＝－13.[例2] 若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________. [自主解答] 因为两直线平行， 所以有a (a －1)＝2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1. [答案] 2或－1 ———————————————————用一般式确定两直线位置关系的方法3．已知l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m ＝________.解析：k 1＝tan 45°＝1，k 2＝m ＋13＋2，∵l 1⊥l 2，∴k 2＝m ＋13＋2＝－1，解得m ＝－6.答案：－64．已知过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为________． 解析：由题意知，k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8. 答案：－8[例3] (1)在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)(2)直线l 经过点P (3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．△OAB 的面积为12，则直线l 的方程是________________________________________________．[自主解答] (1)因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．(2)法一：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)． 则有3a ＋2b ＝1，且12ab ＝12.解得a ＝6，b ＝4.所以所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 令x ＝0，得y ＝2－3k >0； 令y ＝0，得x ＝3－2k>0.所以S △OAB ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12，解得k ＝－23，故所求直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.[答案] (1)D (2)2x ＋3y －12＝0 ———————————————————求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．5．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率． (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：3 (1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论.易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点[典例] (2013·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_______________________________．[解析] 当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵点P (－2,3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0， ∴a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0. 当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有 3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0. [答案] x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0 [易误辨析]1．因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x ＋2y ＝0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解．2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有： (1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用两点式方程时忽视与x 轴垂直的情况及与y 轴垂直的情况． [变式训练]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________． 解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0， 即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 由已知k AB ＝2，即4m －1＝2，解得m ＝3. 3．若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：选B 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个．4．(2013·银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．3或－1解析：选C 由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a， 即a ＝－1.5．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3 解析：选D 原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，解得x ＝－12，y ＝－3，故所有直线都过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3. 6．设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两条直线的斜率分别为k 1＝－sin Aa，k 2＝bsin B ，由正弦定理得k 1·k 2＝－sin A a ·b sin B ＝－1，所以两条直线垂直． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上k ∈[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 8．已知直线x －ky ＋1＝0与直线y ＝kx －1平行，则k 的值为________． 解析：若两直线平行，则k ＝1k，解得k ＝±1.答案：±19．(2013·皖南八校联考)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为________．解析：∵两直线互相垂直，∴a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0， ∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ＝|a |＋1|a |≥2(当且仅当a ＝±1时取等号)．答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m.由题意得－1m＝1，解得m ＝－1.(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.11．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1， 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2.②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(]0，3， 即k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， 所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32. 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．直线l 过点(－1,2)且与直线3y ＝2x ＋1垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A 法一：设所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，则3×(－1)＋2×2＋C ＝0，得C ＝－1，即l 的方程为3x ＋2y －1＝0.法二：由题意知，l 的斜率是k ＝－32，则直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y－1＝0.2．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1解析：选D 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1－2k，则－3<1－2k <3，解得k >12或k <－1.3．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________． 解析：∵线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，∴y ＝4－43x ，代入xy 得xy ＝－43x 2＋4x ＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3，∴由二次函数性质知，当x＝32时，xy 的最大值等于3. 答案：34．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a2a －3.故有S △ABO ＝a －2＋a －＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6 ≥2a －9a －3＋6＝12， 当且仅当a －3＝9a －3， 即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4.故所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：设直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 代入P (3,2)，得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立，此时k ＝－b a ＝－23，故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 法三：依题意知，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，则S △AOB ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k4－k ＝12(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． 故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法四：如右图所示，过P 分别作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别为M ，N .设θ＝∠PAM ＝∠BPN ， 则S △AOB ＝S △PBN ＋S 四边形NPMO ＋S △PMA＝12×3×3×tan θ＋6＋12×2×2×1tan θ ＝6＋92tan θ＋2tan θ≥6＋292tan θ·2tan θ＝12，当且仅当92tan θ＝2tan θ，即tan θ＝23时，S △AOB ＝12，此时直线l 的斜率为－23，其方程为2x ＋3y －12＝0.第二节 直线的交点坐标与距离公式[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．2．距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5解析：选D d ＝|－5|12＋22＝ 5.2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8D ．6解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝－2＋－2＝36＋64＝10.3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－12C ．2D.12解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________．解析：设直线l 1的方程为x ＋y ＋λ＝0，则 2＝|－1－λ|12＋12＝|λ＋1|2，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝05．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________． 解析：设对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________________．(2)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数m ，n 满足的条件是__________．[自主解答] (1)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2,1)，∵l 3⊥l ，∴k ＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0， 即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0.∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13.∴直线l 的方程为23x ＋43y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)因为两直线l 1与l 2相交，所以当m ＝0时，l 1的方程为y ＝－n 8，l 2的方程为x ＝12，两直线相交，此时m ，n 满足条件m ＝0，n ∈R ；当m ≠0时，由两直线相交．所以m 2≠8m，解得m ≠±4，此时，m ，n 满足条件m ≠±4，n ∈R .[答案] (1)x ＋2y ＝0 (2)m ≠±4，n ∈R若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l 的方程． 解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2，1)．又l ∥l 3，即k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x ＋2)， 即2x －y ＋5＝0. ——————————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.1．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0得k 21＝k 22＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1， 即交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．[例2] 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[自主解答] (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见， 过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件， 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过P 点与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线， 因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线． ——————————————————— 求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．2．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [自主解答] (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. ——————————————————— 求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直； (2)已知点与对称点的中点在对称轴上．利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．3．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标．解：把A ，B 两点的坐标代入y ＝2x 知，A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线，设点A (－4,2)关于y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22，∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程，∴A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)．1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.1种思想——转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为分别相等.创新交汇——新定义下的直线方程问题1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．[典例] (2013·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1； 其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．[解析] ①由[OP ]＝1，根据新定义得，|x |＋|y |＝1，上式可化为y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x －1(0≤x ≤1)，画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0<1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.[答案] ① [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．2．解决本题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题． 3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．[变式训练]四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (6,2)，B (4,6)，C (2,6)，直线y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<k <3把四边形OABC 分成两部分，S 表示靠近x 轴一侧那部分的面积．(1)求S ＝f (k )的函数表达式；(2)当k 为何值时，直线y ＝kx 将四边形OABC 分为面积相等的两部分．解：(1)如图所示，由题意得k OB ＝32.①当13<k <32时，直线y ＝kx 与线段AB ：2x ＋y ＝14相交，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，2x ＋y ＝14，解得交点为P 1⎝⎛⎭⎪⎫14k ＋2，14k k ＋2.因为点P 1到直线OA ：x －3y ＝0的距离为d ＝k －10k ＋，所以S ＝12|OA |·d ＝k －k ＋2；②当32≤k <3时，直线y ＝kx 与线段BC ：y ＝6相交于点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ，6， 所以S △OP 2C ＝12|P 2C |·6＝－kk.又因为S 四边形OABC ＝S △AOB ＋S △OBC ＝14＋6＝20， 所以S ＝S 四边形OABC －S △OP 2C ＝26－18k.故S ＝f (k )＝⎩⎪⎨⎪⎧k －k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13<k <32，26－18k ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤k <3.(2)若要直线y ＝kx 平分四边形OABC 的面积，由(1)，知只需k －k ＋2＝10，解得k＝1716.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.22解析：选C d ＝|1－－＋1|12＋－2＝322. 2．(2013·海口模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D 由题意知，直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 令x ＝0，得y ＝3，即点P 的坐标为(0,3)．3．(2013·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－2＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2， 即x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．(2013·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0 解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.5.直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10.则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵|5k －1＋2－2k |k 2＋－2＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0.6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点．则m >4或m <－4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：d ＝ ⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋2－x2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12.即最小值为12.答案：128．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________． 解析：设与直线x －y －2＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，则22＝|c ＋2|12＋－2，得c ＝2或c ＝－6，即所求直线方程为x －y ＋2＝0或x －y －6＝0.答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝09．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上)．①0 ②12③1 ④2 ⑤3解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k ＝0,1,2时均符合题意．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.11．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值． 解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.1．记直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时m 的取值集合为M ，直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行时n 的取值集合为N ，则M ∪N ＝________.解析：当直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时，m 满足(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝12或m ＝－2，故M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12；直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行，当n ＝0时，显然两直线不平行；当n ≠0时，两直线平行的充要条件是1n ＝n 4≠36，即n ＝－2，所以N ＝{－2}．故M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，122．已知 A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是________________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝4， 即A ′(0,4)．故直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，即C (－3，－2)．故直线AC 的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝03．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3， 此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)， 截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －＋1，x ＋y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1.由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1. 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：设直线l 与l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0. 两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5.① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.法三：因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段为5， 设直线l 与两平行线的夹为角θ，则sin θ＝22， 所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1， 故所求直线的斜率不存在或为零． 又因为直线l 过点D (3,1)， 所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.4．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x ＋y ＋m ＝0(m ≠0)， 由已知|1＋3＋m |12＋12＝2，解得m ＝－2或m ＝－6，故所求的直线方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.(2)当直线l在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y＝kx，由已知|k－3|k2＋－2＝2，解得k＝1或k＝－7，故所求的直线方程为x－y＝0或7x＋y＝0.综上，所求的直线方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0或x－y＝0或7x＋y＝0.第三节 圆的方程[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的要素是圆心和半径． 2．圆的方程 (1)标准方程①两个条件：圆心(a ，b )，半径r ； ②标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)圆的一般方程①一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0； ②方程表示圆的充要条件为：D 2＋E 2－4F >0；③圆心坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.[探究] 1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．只有当D 2＋E 2－4F >0时，上述方程才表示圆． 2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？ 提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：圆的标准方程展开配方圆的一般方程3．点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．已知方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1<k <4 B ．－4<k <1 C ．k <－4或k >1D ．k <－1或k >4解析：选D 由(2k )2＋42－4(3k ＋8)＝4(k 2－3k －4)>0，解得k <－1或k >4. 3．若点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <15D ．－15<a <1解析：选A ∵点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， ∴(2a )2＋a 2<5，解得－1<a <1.4．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B ∵易得线段的中点即圆心为(1,1)，线段的端点为(0,2)，(2,0)，∴圆的半径为r ＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.5．(教材习题改编)经过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心，且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是______________．解析：圆心为(1，－1)，所求直线的斜率为12，所以直线方程为y ＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0.答案：x －2y －3＝0[例1] (1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为______________．(2)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________________．[自主解答] (1)法一：由题知k AB ＝2，A ，B 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )． ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴C (2,1)，r ＝|CA |＝－2＋－2＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，－a 2＋－b 2＝r 2，－a 2＋－2－b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10，故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.(2)根据题意可知圆心坐标为(－1,0)，圆的半径长为|－1＋0＋3|2＝2，故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.[答案] (1)x 2＋y 2－4x －2y －5＝0(或(x －2)2＋(y －1)2＝10) (2)(x ＋1)2＋y 2＝2———————————————————求圆的方程的两种方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： ①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.,若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程.1．求下列圆的方程：(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3.与y ＝－4x 联立可得圆心为(1，－4)， 所以半径r ＝－2＋－4＋2＝2 2.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.法二：由A (1,12)，B (7,10)得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0.同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，。

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8.7 抛物线[重点保分两级优选练］A级一、选择题1．（2017·皖北协作区联考）已知抛物线C：x2＝2py(p〉0），若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4错误!，则抛物线C的方程为( ）A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝2y D．x2＝y答案C解析由错误!得错误!或错误!即两交点坐标为(0，0)和(4p,8p），则错误!＝4错误!，得p＝1(舍去负值），故抛物线C的方程为x2＝2y。

故选C。

2．（2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则｜AB｜＝（）A。

错误!B．6C．12 D．7错误!答案C解析抛物线C：y2＝3x的焦点为F错误!，所以AB所在的直线方程为y ＝错误!错误!,将y＝错误!错误!代入y2＝3x，消去y整理得x2－错误!x＋错误!＝0。

设A（x1,y1),B（x2,y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝错误!，由抛物线的定义可得｜AB|＝x1＋x2＋p＝错误!＋错误!＝12.故选C.3．（2018·广东广州模拟)如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1,x2,…,x n，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋x n＝10,则|P1F｜＋|P2F|＋…＋|P n F|＝（）A．n＋10 B．n＋20C．2n＋10 D．2n＋20答案A解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0）,准线为x＝－1,由抛物线的定义可知｜P1F|＝x1＋1，｜P2F|＝x2＋1,…，|P n F|＝x n＋1，所以｜P1F|＋｜P2F｜＋…＋|P n F｜＝x1＋1＋x2＋1＋…＋x n＋1＝(x1＋x2＋…＋x n）＋n＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模）抛物线C：y2＝2px(p〉0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为( )A．1 B．2C．3 D．4答案B解析不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意可知错误!即错误!∴A错误!，又∵点A的抛物线y2＝2px上，∴错误!＝2p×错误!，即p4＝16,又∵p〉0，∴p＝2，故选B.5．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，交抛物线的准线于点C，若｜AF｜＝6,错误!＝λ错误!（λ〉0)，则λ的值为（) A。

8.7 抛物线课程标准有的放矢1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简洁几何性质.2.通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想.3.了解抛物线的简洁应用.必备学问温故知新【教材梳理】1.抛物线的定义我们把平面内与一个定点和一条定直线不经过点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和简洁几何性质标准方程图形开口向右向左向上向下焦点准线简洁几何性质范围对称轴顶点离心率常用结论1.抛物线焦点弦的性质直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点.（1）通径的长为.（2）焦点弦长：.（3），.（4）以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.（5）若为弦的倾斜角，则，；；.以或为直径的圆与轴相切.2.抛物线中的最值为抛物线上的任一点，为焦点，则有：；焦点弦以通径为最小值；为确定点，则有最小值.自主评价牛刀小试1. 推断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹确定是抛物线. （×）（2）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形. （×）（3）方程表示的曲线是焦点在轴上的抛物线. （×）（4）抛物线在某一点处的切线斜率为. （×）（5）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线确定相切. （×）2. [2024年全国乙卷]设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则（B）A. 2B.C. 3D.解：由题意，得，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为.不妨设点在轴上方，将代入中，得，所以.故选.3. [2024年全国乙卷]已知点在抛物线上，则点到的准线的距离为.解：由点在抛物线上，得，解得.由抛物线的定义，可知点到的准线的距离为.故填.4. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，且，则线段中点的横坐标为3.解：设，.易得.由，知，故.故填3.。

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课时分层作业五十七抛物线一、选择题(每小题5分，共25分）1。

已知抛物线y2=x，则它的准线方程为（）A。

y=-2 B。

y=2C.x=—D。

y=【解析】选C.因为抛物线y2=x，所以p=，=,它的准线方程为x=-.2.（2018·洛阳模拟)已知点M是抛物线C：y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是（2,2），则p的值为( ）A.1 B。

2 C.3 D.4【解析】选D.F,那么M在抛物线上,即16=2p，即p2—8p+16=0,解得p=4。

3.若抛物线y2=2px（p〉0）上的点P到其焦点F的距离是P到y轴距离的3倍，则p 等于( )A. B.1C.D。

2【解析】选D.根据焦半径公式｜PF|=x0+,所以x0+=3x0，解得x0=，代入抛物线方程=2p×,解得p=2.【变式备选】抛物线C：y2=2px(p〉0）的焦点为F,P是C上一点,若P到F的距离是P到y轴距离的两倍，且三角形△OPF的面积为1（O为坐标原点),则p的值为( ）A.1 B。

2 C.3 D.4【解析】选B。

设点P(x,y),根据已知可得x+=2x，解得：x=,|y|=p,所以S△OPF=××p=1,解得p=2.4。

第8章 第6节一、选择题1．(·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF2， ∴这个圆与y 轴相切．3．(·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p2，∵k AB ＝1，∴，p ＝2 ∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线x 29－y 24＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4x C ．y 2＝41313xD ．y 2＝21313x[答案] C[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则y ＝±23x ，由|AF |＝2⇒x －132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝41313x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172，选A.6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)[答案] D[解析] 如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin∠MAF 12×|OF |×|AF π－∠MAF＝3，∴|AM |＝3，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 024，y 0，∴y 024＋1＝3， 解得y 0＝±22，∴y 024＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)，故选D.7．(·河北许昌调研)过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－32xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x[答案] D[解析] 设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则PQ →∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y )＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m4，0，∴m ＝－4，故选D.8．已知mn ≠0，则方程是mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系内的图形可能是( )[答案] A[解析] 若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－m nx 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－m nx 应开口向右，排除B ，选A.9．(·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43[答案] D[解析] ∵FA →＝－4FB →，∴|FA →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－4)和点B (t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt－4，代入①整理得，2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t2－32<0，∴t >22或t <－22，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝12y 相切的直线与抛物线切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，∴切线方程为y －4＝±42x －8， 令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22， 由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >22. 二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|FA |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t 2，|MA |＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t 2，∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x . (理)(·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF |＋12|AF |＝p 2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA |>|FB |，则|FA |与|FB |的比值等于________．[答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝22|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＝2＋24|AB ||BB 1|＝2－24|AB |，∴|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|FA ||FB |＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2＝2， ∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)(·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 过A 、B 、P 作准线的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →)，点C 在x 轴上移动．(1)求B 点的轨迹E 的方程；(2)过点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2，∴2x 0·y 0－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0① M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)，所以M 是BC 的中点，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x 2＝0y ＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ②y 0＝y2 ③把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，设满足条件的直线l 方程为：y ＝kx －14，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －14y ＝x 2消去y 得，x 2－kx ＋14＝0.Δ＝k 2－1>0⇒k 2>1，∵FH →＝12HG →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋14＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x 1＝12x 2－12x 1⇒3x 1＝x 2.∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝14，∴k ＝±233，故满足条件的直线有两条，方程为：8x ＋43y ＋3＝0和8x －43y －3＝0. 16．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：x －2＋y 2－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)．∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －my 2＝4x ，得ky 2－4y －4km ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4.∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[点评] (1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .(理)已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝4，求直线AB 的方程．(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．[解析] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋4k 2，x 1x 2＝4k2.y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－8k.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2－8k＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1± 2.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－12，∴k ＝－1＋2，∴直线AB 的方程为(2－1)x －y －2＝0.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝2k ＋2k 2，y 0＝kx 0－2＝2k， ∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫x －2k ＋2k 2.令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k 2＝2k 2＋2k＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋122＋32. 又由k >－12且k ≠0得1k <－2，或1k>0，∴n >2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)．17．(文)(·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)(1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得 y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4①直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2) 即y －y 2＝4y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 224 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知， x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FA →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43， 直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.从而y 2－y 1＝±m 2－4×4＝±437， 故4y 2－y 1＝±37 因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4， 由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23， 所以圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －192＋y 2＝49. (理)(·揭阳市模考)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连结CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |， 由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 12＋y 12＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2，∴4x 2＝x 12＋2x 1x 2＋x 22,4y 2＝y 12＋2y 1y 2＋y 22故4x 2＋4y 2＝(x 12＋y 12)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x x 2－x ＋y 2＝4得，x 2＋3x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。

第八章平面解析几何 8.7 抛物线考点一抛物线的定义及标准方程例1（1）【多选题】经过点的抛物线的标准方程为（AC）A. B. C. D.解：若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的方程为.因为抛物线经过点，所以，解得.所以抛物线的方程为.若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的方程为.因为抛物线经过点，所以，解得.所以抛物线的方程为.故选.（2）已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为（A）A. B. C. D.解：抛物线的准线方程.因为抛物线上的点到其焦点的距离为2，所以，所以.即该抛物线的标准方程为.故选.（3）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若，则的最小值为4.解：如图，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，则则有，即的最小值为4.故填4.【点拨】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是推断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式1（1）已知动圆与定圆外切，且和直线相切，则动圆圆心的轨迹是（D）A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线解：设动圆的圆心为点，半径为,则.又点到直线的距离等于，所以点到直线的距离为.所以.依据抛物线的定义，知动圆圆心的轨迹为抛物线.故选.（2）若点,在抛物线上,是坐标原点,正三角形的面积为,则该抛物线的方程是（A）A. B. C. D.解：依据对称性,可知轴,由于正三角形的面积是,故.故,正三角形的高为.故可设点的坐标为,代入抛物线方程得,解得.故所求抛物线的方程为.故选.（3）已知是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，点不在直线上，则的周长的最小值是（C）A. 4B. 6C.D.解：抛物线的焦点，准线为.如图,过点作准线于点，则的周长为.又，可知当,,三点共线时周长最小，为.故选.考点二抛物线的几何性质例2 【多选题】设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点.若，且的面积为，则（BCD）A. B. 是等边三角形C. 点到准线的距离为3D. 抛物线的方程为解：依据题意，作出图形如图所示.因为为半径的圆交于，两点，所以.又，所以为等边三角形，正确.因为，轴，所以，所以，,解得，所以，所以不正确.焦点到准线的距离为，所以正确.抛物线的方程为，所以正确.故选.【点拨】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要留意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.变式2（1）设为坐标原点，直线与抛物线交于，两点.若，则的焦点坐标为（D）A. B. C. , D. ,解：（方法一）因为抛物线关于轴对称，直线关于轴对称，所以，两点关于轴对称.因为，所以，两点横、纵坐标的确定值相等.不妨设点，将点的坐标代入,得,解得.所以抛物线的焦点坐标为,.（方法二）将代入抛物线方程,可得直线与抛物线的交点坐标为，.不妨设,,则,.因为，所以,解得.所以抛物线的焦点坐标为,.故选.（2）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则.解：过作准线的垂线，垂足为，则有，所以，.又，所以，即.故填.考点三直线与抛物线例3 [2024年新课标Ⅱ卷]【多选题】设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（AC）A. B.C. 以为直径的圆与相切D. 为等腰三角形解：对于，直线过点，所以抛物线的焦点为，所以，，故正确.对于，抛物线的方程为，设，，由消去并化简,得，解得，.所以，故错误.对于，设的中点为，点，，到直线的距离分别为，，.因为，即点到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，故正确.对于，由题意,得，，所以，，，所以不是等腰三角形，错误.故选.【点拨】解决直线与抛物线公共点（交点）问题，要留意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算.有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可干脆运用公式，若不过焦点，则必需用一般弦长公式.涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.变式3 [2024年新课标Ⅰ卷]【多选题】已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则（BCD）A. 的准线为B. 直线与相切C. D.解：将点的坐标代入抛物线方程,得，所以抛物线方程为，故准线方程为，故错误.，所以直线的方程为联立可得，解得，故正确.设过点的直线为，易知直线的斜率存在，设其方程为，,.联立得，所以所以或，.又，，所以，故正确.因为，，所以，而，故正确.故选.。

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8-7抛物线模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟) 1．[2017·江西九校联考]若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )B．椭圆A．圆D．抛物线C．双曲线答案D解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．2．[2017·陕西质检]设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )B．x＝－2A．x＝－1D．x＝－4C．x＝－3答案D解析因为抛物线y2＝2px的焦点在2x＋3y－8＝0上，所以p＝8，所以抛物线的准线方程为x＝－4，故选D. 3．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )B．4A．2D．8C．6答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，所以选B.4．[2017·福建模拟]设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于( )B．6A．4D．12C．6答案C解析设点P的坐标为(xP，yP)，则|PF|＝xP＋.过点P作x轴的垂线交x轴于点M，则∠PFM＝∠APF＝60°，所以|PF|＝2|MF|，即xP＋＝2，解得xP＝，所以|PF|＝6. 5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )B．2A.D．3C.答案B解析由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2. 6．[2017·延安模拟]在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案x＝－54解析如图所示，线段OA所在的直线方程为y＝x，其中垂线方程为2x＋y－＝0，∴令y＝0，得x＝，即F，∴p＝，y2＝5x，其准线方程为x＝－. 7．[2017·长春模拟]过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．答案22解析由题意知抛物线焦点为(1,0)，直线l的方程为y＝x－1，与抛物线方程联立，得消去x，得y2－4y－4＝0，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，两交点纵坐标差的绝对值为4，从而△OAB的面积为2. 8．[2017·邯郸模拟]设点P在圆C：x2＋(y－6)2＝5上，点Q在抛物线x2＝4y上，则|PQ|的最小值为________．答案5解析设Q(x，y)，其中x2＝4y.又圆心C(0,6)，则|QC|＝＝＝(y≥0)．当y＝4时，|QC|min＝2，所以|PQ|min＝|QC|min－r＝2－＝. 9．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解(1)由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝.因此H.所以N为OH的中点，即＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．代入y2＝2px，得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．10．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，·＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．解(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，得y2－2pmy＋4p＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4.因为·＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.(2)(1)中(*)式可化为y2－4my＋8＝0.y1＋y2＝4m，y1y2＝8.设AB的中点为M，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又|AB|＝ |y1－y2|＝，②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±.所以，直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.[B级知能提升](时间：20分钟)11．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )B.A.D．2C．3答案C解析过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3. 12．[2016·四川高考]设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )B.A.D．1C.答案C解析设P，易知F，则由|PM|＝2|MF|，得M，，当t＝0时，直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝＝，所以|k|＝≤＝，当且仅当＝时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，故选C.13．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为________．答案x＝－1解析由题意可设直线方程为y＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消参得4x2－12px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p.∴p＝2，即抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.14．圆P恒过点F(0,1)，且与直线y＝－1相切．(1)求圆心P的轨迹方程T；(2)与圆x2＋(y＋1)2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交曲线T于不同的两点M，N，若曲线T上存在点C满足＝λ(＋)(λ>0)，求λ的取值范围．解(1)由题意可得点P到点F的距离等于到定直线y＝－1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，其方程为x2＝4y.(2)如图，由直线l：y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，得圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝1⇒k2＝t2＋2t.设交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由⇒x2－4kx－4t＝0，其中Δ＝16k2＋16t>0⇒t2＋3t>0⇒t>0或t<－3，⇒y1＋y2＝4k2＋2t，∴＝λ(＋)＝λ(x1＋x2，y1＋y2)＝λ(4k,4k2＋2t)，即C(4kλ，(4k2＋2t)λ)．代入x2＝4y，得(4kλ)2＝4λ(4k2＋2t)，即λ＝＝1＋＝1＋·.∵t>0或t<－3，在(－∞，－3)，(0，＋∞)都是单调递减函数，∴λ∈∪.。