条件概率与超几何分布及二项分布练习题

北师大版2---3系列概率计算问题总结卷超几何分布】1、10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ D）超几何分布问题转化： 10件产品3件次品，抽出3件恰有1件次品的概率1、某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ A ）5件产品2件次品，抽出3件至少有1件次品的概率条件概率】1、两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格，令A事件为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，B事件为“从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P(A|B)＝__________.解析：由题意知P(B)＝，P(A∩B)＝，故P(A|B)＝＝＝. 答案：市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285解析：选A.记A为事件“甲厂产品”，B为事件“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95.∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.独立事件概率】．(2009年高考上海卷)若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)的值等于( )A．0 B. C. D.解析：选B.EF表示E与F同时发生∴P(EF)＝P(E)·P(F)＝.故选B.2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A. B. C. D.解析：选A.由独立事件发生的概率得3．(2010年厦门市高中调研)如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )A. B. C. D.解析：选A.理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，间彼此独立，且P(A)＝P()＝P(C)＝.所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝.5.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为 ( )解析：选B.由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为()3×.7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．解析：记事件A为“甲闹钟准时响”，事件B为“乙闹钟准时响”．P＝1－P()＝1－(1－0.8)×(1－0.9)＝0.98.答案：0.98某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用的分布列．分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以的取值只有1，2，3，4，5．时，即；时，要求第一次没射中，第二次射中，故；时，要求前两次没有射中，第三次射中，；；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以，所以耗用子弹数的分布列为：01230.90.090.0090.0001说明：搞清的含义，防止这步出错．时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，．当然，还有一种算法：即．好题6．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．解：记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai、Bi(i＝1,2,3)相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件12A3，且三次试跳相互独立，∴P(12A3)＝P()P()P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.∴甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.法一：∵C＝A1∪B1∪A1B1，且A1、B1、A1B1彼此互斥，∴P(C)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.法二：P(C)＝1－P()P()＝1－0.3×0.4＝0.88.∴甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.次独立重复实验】1．(2008年高考福建卷)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A. B. C. D.解析：选C.由题意，3粒种子恰有2粒发芽，相当于3次独立试验有2次发生， 故P(X＝2)＝C32·()2·(1－)＝.2．(原创题)设X～B(2，p)，Y～B(4，p)，已知P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.解析：由1－C20p0(1－p)2＝得p＝，由1－C40()0()4＝. 答案：1．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ C ）1、甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（A）1、一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 【答案】0.784（设每次命中的环数都是自然数）1、一名篮球运动员投篮命中率为，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 【答案】 0.0461、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为 【答案】6．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}∶an＝，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )2、某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率（1）（2）9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率⑴； ⑵；⑶； ⑷6．（2010·北京高考理科·Ｔ１7）某同学参加3门课程的考试。

人教A 版（2019）选择性必修第三册《7.4 二项分布与超几何分布》提升训练一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）甲乙两战士进行射击比赛，甲不输的概率为0.59，乙输的概率为0.44，则甲不赢的概率和甲、乙两人战平概率分别是( )A. 0.41，0.03B. 0.56，0.03C. 0.41，0.15D. 0.56，0.15（5分）2.随机变量ξ可能取值为1,2,3,...,m ，且等可能，若P(ξ<3)=0.4，则自然数m 的值为( ) A. 8B. 7C. 6D. 53.（5分）市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品的合格率是95％，乙厂的合格率是80％，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 ( )A. 0.665B. 0.56C. 0.24D. 0.2854.（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.3125.（5分）已知随机变量X ∽B(8.12)，则E(3X −1)=( )A. 11B. 12C. 18D. 366.（5分）某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为25，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为( )A. 25B. 18125 C. 54125 D. 9257.（5分）某人有5把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试过的钥匙放在一旁，打开门时试过的次数ξ为随机变量，则P(ξ=3)等于( )A. 35B. 15C. 25D. 3！5！8.（5分）设ξ的分布列为P(ξ=k)=C 5k(13)k (23)5−k ，(k =0,1,2,3,4,5)，求D(3ξ)=( )A. 10B. 30C. 15D. 5二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则( )A. 抽取2次后停止取球的概率为35B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C. 取球次数ξ的期望为2D. 取球次数ξ的方差为92010.（5分）设随机变量X ～B (4,23)，则下列说法正确的有( )A. P(X =1)=881B. P(X =2)=P(X =3)C. X 的数学期望E(X)=83D. X 的方差D(X)=8911.（5分）下列结论正确的是( )A. 若随机变量X 服从两点分布，P(X =1)=12，则E(X)=12 B. 若随机变量Y 的方差D(Y)=3，则D(2Y +1)=6 C. 若随机变量ξ服从二项分布B(4,13)，则P(ξ=3)=3281D. 若随机变量W 服从正态分布N(1,σ2)，P(W <2)=0.82，则P(0<W <2)=0.6412.（5分）从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )A. 2个球都是红球的概率为16 B. 2个球不都是红球的概率为13 C. 至少有1个红球的概率为23D. 2个球中恰有1个红球的概率为1213.（5分）甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则下列说法正确的是( )A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件;B. 甲的不同的选法种数为15;C. 已知乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是16 D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是949.三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）设离散型随机变量X 可能取的值为1，2，3，4，P(X =k)=ak +b(k =1,2,3,4)，又X 的数学期望E(X)=3，则a +b =________. 15.（5分）若随机变量ξ∽B(4,13)，则D(3ξ−1)=__________.16.（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

专题33 二项分布与超几何分布一、单选题1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为()A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C【解析】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（）A．715B．815C．1415D．1【答案】C【解析】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝27210715CC=，P(X＝1)＝1173210715C CC=⋅，P(X＝2)＝23210115CC=，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝7714 151515 +=故选C3．（2020·江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村【答案】B 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==， 所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ．542B ．435C ．1942D ．821【答案】A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。

7.4 二项分布与超几何分布（精练）【题组一 二项分布】1．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（ ）A ．2764B ．964C ．364D ．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C æöæö=´´=ç÷ç÷èøèø故选：B 2．（2020·北京高二期末）已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =【答案】D【解析】随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D.3．（2020·山西晋中市）某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120【答案】D【解析】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5X B æöç÷èø:，所以()320125E X =´=，()3324201555D X æö=´´-=ç÷èø，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =´=，方差为()224551205D X =´=.故选：D4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X ，已知()3E X =，则m 等于（ ）A ．2B ．1C ．3D ．5【答案】C【解析】根据题意可得出63()()(33kk m k m P X k C m m-==++ ，即3(6,)3X B m ~+ 所以()36333E X m m=´=Þ=+故选C 5.（多选）（2020·全国高二单元测试）若随机变量ξ～B 1(5,)3，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】依题意5512()33kkk P k C x -æöæö==ç÷ç÷èøèø，k=0，1，2，3，4，5.可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243.故当k=2或1时，P (ξ=k )最大.故选：AB .．6．（2021·广东东莞）为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶)，如图，若跑步时间不高于5.6秒，则称为“好体能”.（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生(人数众多)任取3人，记X 表示抽到“好体能”学生的人数，求X 的分布列【答案】（1）众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）19140；（3）分布列见解析；【解析】（1）这组数据的众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）设至少有2人是“好体能”的事件为A ，则事件A 包含得基本事件个数为；2134124C C C +g 总的基本事件个数为316C ，213412431619()140C C C P A C +==g （3）X 的可能取值为0，1，2，3，由于该校男生人数众多，故X 近似服从二项分布1(3,)4B 3327(0)()464P x ===，1231327(1)()4464P x C ===g ，223139(2)(4464P x C ===g ，311(3)(464P x ===X 的分布列为：X123P276427649641647．（2021·山东德州市·高三期末）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],,(1.7,1.8]L 这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m 、n 、t 的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.25m = ， 1.25n =， 3.5t =；（2）分布列见详解；2.1.【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为180.15120= 记d 为学生身高，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120p p d d ££=<£== ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120p p d d <£=<£==()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352p p d d <£=<£=-´-´=所以0.0250.250.1m == ，0.125 1.250.1n ==，0.353.50.1t ==；（2）由（1）知学生身高在[]1.41.6, 的概率20.350.7p =´=随机变量X 服从二项分布()~3,0.7X B 则()()33010.70.027p x C ==´-= ()()213110.70.70.189p x C ==´-´=()()1223210.70.70.441p x C ==´-´=()33330.70.343p x C ==´=所以X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.34330.7 2.1EX =´=8．（2020·湖北随州市·高二期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X ，求X 的分布列；（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为110（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为13，抽到白球的概率为23，依题意，X 的取值可能为90，110，130，150.且30328(90)327P X C æö==×=ç÷èø，1213124(110)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø223122(130)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø，33311(150)327P X C æö==×=ç÷èø其分布列为X 90110130150p8274929127（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为8421()90110130150110279927E X =´+´+´+´=（元），选择方案二时，设摸到红球的次数为Y ，最终可能获得返金券金额为Z 元，由题意可知，1~3,3Y B æöç÷èø，得1()313E Y =´=()(100)100()100E Z E Y E Y ===由()()E X E Z >可知，该顾客应该选择方案一抽奖.【题组二 超几何分布】1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）910；（2）13.【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3，所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===， ()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===．所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =´+´+´+´=.（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ×====，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=．2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：员工编号12345678910捐款数额120802155013019530090200225（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65.【解析】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：1136210182455C C P C ===（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()4741035102106C P X C ====，()133********12102C C P X C ====，()2237410623221010C C P X C ====()313741071321020C C P X C ====则X 的分布列为X0123P1612310130()1131601236210305E X =´+´+´+´=；（用超几何分布公式()366105nM E X N ´===计算同样得分）3．（2020·河北省盐山中学高二期末）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a ，b 的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）10a =，3b =.（2）61天（3）见解析【解析】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的12，所以5+a=15，8+4+b=15，可得10a =，950.（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为51306P ==，则一年中空气质量指数为优的天数约为1366616´=.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，4541051(0)21042C P X C ====，135510505(1)21021C C P X C ====，225541010010(2)21021C C P X C ====，3551410505(3)21021C C P X C ====，4541051(4)21042C P X C ====，X 的分布列为X1234P142 521 1021521 142故151051()0123424221212142E X =´+´+´+´+´=.4．（2020·延安市第一中学）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量x 为取得红球的个数.（1）求x 的分布列；（2）求x 的数学期望()E x 和方差()D x .【答案】（1）详见解析（2）6()5E x =，9()25D x =【解析】（1）x 的取值为0,1,2.()0232251010C C P C x ===，()113225631105C C P C x ====，()2032253210C C P C x ===，则x 的分布列为：x012P11035310（2）()1336012105105E x =´+´+´=，2226163639()0125105551025D x æöæöæö=-´+-´+-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.5．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望．【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15´+´+´+´+´+´´=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-=解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ====()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ====X012P371021221所以()31022012721213E X =´+´+´=6．（2021·福建莆田市）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 的分布列和数学期望．【答案】（1）715；（2）见解析.【解析】（1）记事件:A 取出的4个球中恰有1个红球，事件1:A 取出的4个球中唯一的红球取自于甲盒，事件2:A 取出的4个球中唯一的红球取自于乙盒，则12A A A =U ，且事件1A 与2A 互斥，由互斥事件的概率公式可得()()()1221134324122246715C C C C C P A P A P A C C +=+==，因此，取出的4个球中恰有1个红球的概率为715；（2）由题意知随机变量x 的可能取值为0、1、2、3，()22342246105C C P C C x ===，()7115P x ==，()111223243222463210C C C C C P C C x +===，()123222461330C C P C C x ===.所以，随机变量x 的分布列如下表所示：x123P15715310130因此，随机变量x 的数学期望为17317012351510306E x =´+´+´+´=.7．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题．(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平．【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =U ．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =È=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B æöç÷èø，故()39344E X =´=，设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===，故随机变量Y 的分布列为Y123P153515所以，()1311232555E Y =´+´+´=，则()()E X E Y >，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=；（2）同解法二．8．（2020·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A 、B 、C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．（1）求3个人来自两个不同专业的概率；（2）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列．【答案】（1）79120（2）见解析【解析】()1令事件A 表示“3个来自于两个不同专业”，1A 表示“3个人来自于同一个专业”，2A 表示“3个人来自于三个不同专业”，()3335131011120C C P A C +==，()111235231030120C C C P A C ==，3\个人来自两个不同专业的概率：()()()1211307911120120120P A P A P A =--=--=．()2随机变量X 有取值为0，1，2，3，()0337310350120C C P X C ===，()1237310631120C C P X C ===，()2137310212120C C P X C ===，()307331013120C C P X C ===，X \的分布列为：X123P3512063120211201120【题组三 二项分布与超几何分布综合运用】1．（2020·甘肃省会宁县第四中学） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记x 表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求x 的分布列及数学期望；（3）以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，x 服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，x 的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C x ===，()116921518135C C P C x ===，()2069215512357C C P C x ====，所以x 的分布列为：x012P1235183517()121814012353575E x =´+´+´=.（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =，一年中空气质量达到一级或二级的天数为h ，则3365,5B h æöç÷èø:，33652195E h =´=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.2．（2020·山东高二期末）1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求A 恰好答对两个问题的概率；（2）求B 恰好答对两个问题的概率；（3）设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)35 ;(2)49；(3)选择A .【解析】(1) A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=；(2) B 恰好答对两个问题的概率为223214339C æö´=ç÷èø；(3) X 所有可能的取值为1,2,3. ()124236C C 11C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =´+´+´=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-´+-´+-´=；而23,3Y B æö-ç÷èø，2()323E Y =´=，212()3333D Y =´´=，所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定.所以选择投票给学生A .3．（2021·湖南高二期末）一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数x 的分布列和数学期望()E x 【答案】（1）34；（2）分布列见解析；期望为2.【解析】(1)一次拿到奇数的概率3162P ==，所以拿2次得分为0分的概率为2021124C æö=ç÷èø所以拿2次得分不小于1分的概率为2211311244C æö-=-=ç÷èø（2）x 可以取值：0，1，2，3，4所以()404121601C P x æö=ç÷èø==()13141112124C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()22241132228C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()31341112324C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()404411122164P C x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==分布列x01234P116143814116满足二项分布概率1~42B x æöç÷èø，1()=4=22E x \´4．（2020·武汉外国语学校高二期中）为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记x 表示成绩优良的人数，求x 的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值．【答案】（Ⅰ）分布列见解析；()2E x =；（Ⅱ）7k =.【解析】（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良，x 可能的取值为0，1，2，3，()343121055C P C x ===，()128431212155C C P C x ×===，()218431228255C C P C x ×===，()3831214355C P C x ===，所以x 的分布列为：x0123P155125528551455数学期望()1122814 01232 55555555E x=´+´+´+´=；（Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数210,3X Bæöç÷èø∼，所以()10 102133k k kP X k C-æöæö==××ç÷ç÷èøèø，0,1,210k=×××，令()()10110111010101101110102121333321213333k k k kk kk k k kk kC CC C------+-++ìæöæöæöæö×׳××ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíïæöæöæöæö×׳××ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî，解得192233k££，又kÎN，所以7k=，所以当7k=时，抽到k人的成绩是优良的可能性最大.。

二项分布？还是超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球．求：（ 1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（ 2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（ 1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1， 2， 3．又由于每次取到黑球的概率均为1， 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则1，．550312∴ P(X 0) C301464 ；P(X 1)C311448 ；551255512521P(X 3) C33130P(X 2) C321412 ；4 1 ．5512555125因此， X 的分布列为X0123P6448121 125125125125（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0， 1，2，且有：P(Y 0)C20C837；P(Y1)C21C827；P(Y2)C22C81 1 ．C10315C10315C10315因此， Y 的分布列为Y012771P151515例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495] ， (495,500] ，,, ，(510,515] ，由此得到样本的频率分布直方图，如图4（ 1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量 ,（ 2）在上述抽取的40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过505 克的产品数量，求Y 的分布列；（ 3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过505克的概率。

17.解 : (1)重量超过 505克的产品数量是 :40 (0.055+0.01 5)=40 0.3=12.(2)Y 的分布列为 :Y 0 1 2PC 282 C 281 C 121C 122C 402C 402C 402(3)设所取的 5件产品中 , 重量超过 505克的产品件数为随机变量 Y, 则Y B(5, 3),102 3 2 7 33087 从而 P(Y=2)=C 5( 10 )( 10 ) =10000 .即恰有 2件产品的重量超过 505克的概率为3087.10000超几何分布与二项分布特点(A) 判断一个随机变量是否服从超几何分布 , 关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征 :一个总体 ( 共有 N 个) 内含有两种不同的事物 A(M 个) 、 B(N M 个) , 任取 n 个 , 其中恰有 X 个A . 符合该条件的即可断定是超几何分布C M k C N nk M, 按照超几何分布的分布列 P( X k)C N n（ k 0,1,2, , m ）进行处理就可以了 . (B) 二项分布必须同时满足以下两个条件: ①在一次试验中试验结果只有A 与 A 这两个 , 且事件 A 发生的概率为 p , 事件 A 发生的概率为 1 p ；②试验可以独立重复地进行 , 即每次重复做一次试验 , 事件 A 发生的概率都是同一常数 p , 事件 A 发生的概率为 1 p .辨析：通过 2 个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例 1 与例 2 中的 EX=EY=0.6 注意▲ 超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的判断方法（ 1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （ 2）超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）（ 3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

二项分布与超几何分布专题训练一、知识梳理知识点一n重伯努利试验及其特征1.n重伯努利试验的概念将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.n重伯努利试验的共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n次.(2)各次试验的结果相互独立.知识点二二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=C n p k(1-p)n-k,k=0,1,2,…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n,p).知识点三二项分布的均值与方差若X〜B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p).知识点四超几何分布1.定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=C kMC N-M，k=m，m+1,m+2,其中n,N,M E N*,M W N,n W N,m=max{0,n—N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.2•均值：E(X)=N・二、题型归纳】考点一：超几何与二项分布概念的辨析【例1-1】下列随机变量中，服从超几何分布的有.(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.【例1-2】下列例子中随机变量E服从二项分布的有.①随机变量E表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数E；③有一批产品共有N件，其中M件为次品,采用有放回抽取方法，E表示n次抽取中出现次品的件数(M 〈N)；④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，E表示n次抽取中出现次品的件数.r.【考点精练】1.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.27 81 现从中任取4个球，有如下几种变量：① X 表示取出的最大号码；② X 表示取出的最小号码；③ 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分；④ X 表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是（）A.①②B.③④C.①②④D.①②③④2•下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是（）A. 将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB. 从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC •某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次，记命中的次数为XD.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 3•下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（）① 某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数g ；② 某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数g ；③ 从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数g ；④ 有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，g 表示n 次抽取中出现次品的件数4•下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（）A. 抛掷一枚骰子，所得点数XB. 某射击手射击一次，击中目标的次数X D.某医生做一次手术，手术成功的次数X 考点二：二项分布的均值与方差【例2】•已知随机变量:，耳满足2C +H =9，且匚〜B （8,p ）,E （匚）二2，则E （q ）,D （q ）分别是（）【考点精练】(1、1•设随机变量X,Y 满足：Y=3X-1,X 〜B 2,-，则V(Y)=()V 3丿 A.4B.5C.6D.72•设随机变量B (2,p),q ~B (4,p)，若P(g >1)=9，则P (q >2)的值为()9 A.0 B.1 C.2D.3C. 从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设X 1,取出白球 <0,取出红球A.5,3B.5,6C.8,3D.8,6A. 32 81 D. 16 813•已知随机变量X〜B（5,0.2），随机变量Y=5X+10，则（）27 81A.E（Y）=5B.E（Y）=10C.D（Y）=20D.D（Y）=30考点三：二项分布【例3】很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分、6分、3分、2分的新规定设置了一份试卷（满分100分），发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.687288955667891000（1）求这12名新手的平均成绩与方差；（2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列与数学期望.【考点精练】1.影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图.学生视力测试结果666777S12（1）写出这组数据的众数和中位数.（2）若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”•①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率若从该地区学生（人数较多）中任选3名，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列.2.甲、乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙二人每次投进的概率均为丄，两人各投1次称为一轮投篮.2（1）求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；（2）设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量g,求g的分布列与期望.3.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟)•将统计数据按［5,10),110,15),［15,20)，…,［35,40］分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立.(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A;从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B.用频率估计概率，求乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟的概率；(2)在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望.考点四：超几何分布【例4】某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况,从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示11叶6 87 24698 1391Z(1)分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定?(2)从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设X表示所抽取的3名同学的得分在［70,80)的人数，求X的分布列及数学期望.【考点精练】1.2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行•它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩(单位:分)，绘制成如图所示的茎叶图：~s^rTO高二8986361269765007345799611呂025788771109133589根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级:(1)从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；(2)现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记X为抽到高二年级的人数，求X的分布列，数学期望与方差.2.为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间•将成绩结果按如下方式分成五组：第一组b0,100)，第二组1100,110)，…，第五组1130,140]•按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.(1)若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；(2)若从第一五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.3.已知袋中装有5个白球，2个黑球，3个红球，现从中任取3个球.(1)求恰有一个白球的方法种数；(2)求至少有一个红球的方法种数；(3)设随机变量X为取出3球中黑球的个数，求X的概率分布及数学期望.考点五：二项分布与超几何分布的综合【例5】袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X,求X的分布列；(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列.【考点精练】1.某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题.已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答3这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为二，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相4互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率.(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望E(X)，E(Y)和方差D(X)，D(Y),并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.2.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5pm的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35p g/m3以下空气质量为一级；在35〜75p g/m3之间空气质量为二级；在75p g/m3以上空气质量为污染•某市生态环境局从该市2021年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)•PM2.5日均值(pg/m123)28537143445638791从这15天的数据中任取1天，求这天空气质量达到一级的概率；2从这15天的数据中任取3天的数据，记g表示其中空气质量达到一级的天数，求g的分布列和数学期望；3以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况(一年按365天来计算)，则一年中大约有多少天的空气质量达到一级？3.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500],…,(510，515].由此得到样本的频863925(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.考点六：二项分布与超几何分布与其他知识综合【例6】某企业为检验某种设备生产的零件质量，现随机选取20个零件进行检验，分出合格品和次品•设每个零件是次品的概率为P(0<P<1)，且相互独立.(I)若20个零件中恰有2个次品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p；(II)若合格品又分为一等品和二等品，每个零件是二等品的概率为是一等品概率的2倍.已知生产一个一等品可获利100元，生产一个二等品可获利30元，生产一个次品会亏损40元，当每个零件平均获利低于20元时，需对设备进行技术升级.当P满足什么条件时，企业需对该设备进行技术升级？【考点精练】1.某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A,A，A中的一个，每个乙系列盲盒可以开出123玩偶B1，B2中的一个.(1)记事件E:一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A，A，A玩偶；事件F：—次性购买n个乙系n123n列盲盒后集齐B1，B2玩偶；求概率P(三)及P(佇)；(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选2择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为亍，购买乙系113列的概率为-；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为；，购买乙系列的概率为匚，前344一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为1，购买乙系列的概率为1；如此往复，记某人第n次22购买甲系列的概率为Q.n①求｛Q｝的通项公式；n②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.2.由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图.(1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人.①若将频率视为概率，求至少有3人每周活动时间在［8,9)(单位：h)的概率；②若抽取的5人中每周活动时间在［8,11］(单位：h)的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在［8,11］(单位：h)的人数为求g的分布列和期望；(2)将某人的每周活动时间量与所有老人的每周平均活动时间量比较，当超出所有老人的每周平均活动量不少于0.74h时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大，试求k的值.(每组数据以区间的中点值为代表)3.现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验.第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为P(0<P<1).(1)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含P的多项式表示)；(2)记该组动物需要注射次数X的数学期望为E(X)，求证：10<E(X)<10(2-p)。

高考数学专题复习：二项分布与超几何分布一、单选题1．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的的概率为（ ） A ．1210B ．145C ．215D ．1152．已知某运动员每次射击击中目标的概率是p ，假设每次射击击中目标与否互不影响，设ξ为该运动员n 次射击练习中击中目标的次数，且()8E ξ=，() 1.6ξ=D ，则p 值为（ ） A ．0.6 B ．0.8 C ．0.9D ．0.923．已知随机变量X 服从二项分布1(3)3B ，，当{}0123k ∈，，，时，()P X k =的最大值是（ ）．A ．827 B ．49C ．19D ．1274．12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛．若随机变量X 表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则3357612C C C 为（ ）A ．P (X ＝6)B ．P (X ＝5)C ．P (X ＝3)D ．P (X ＝7)5．袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球中至少有1个红球的概率为（ ） A ．12125 B ．16C ．98125D ．566．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()196P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．47．若随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=，则p =（ ） A ．15B ．25C ．35D ．458．已知随机变量~(4,)X B p ，若8()3E X =，则(2)P X ==（ ）A ．29B ．49C ．89D ．827二、填空题9．学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X ，求(1)P X ≤=__________．10．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得2分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则(9)P ξ≤=__________.11．若随机变量X 服从二项分布1(5,)2B ，那么(1)P X ≤=__________．12．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率为__________（结果用最简分数表示）.13．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为1645，则a =__________． 14．已知随机变量~(2,),~01X B p Y -，若()()10.64,1P X P Y p ≥===，则(0)P Y =的值等于__________． 三、解答题15．一个盒子中有10个小球，其中3个红球，7个白球．从这10个球中任取3个． （1）若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数X 的分布列； （2）若采用有放回抽取，求取出的3个球中红球的个数Y 的分布列．16．小明和小林做游戏，每人连续投掷一枚均匀的硬币5次，谁投掷出的结果的概率小，谁就获胜，概率相等则为平局．（1）小明连续5次都是正面朝上，小林前3次是反面朝上，后2次是正面朝上，两人都认为自己赢了，你认为小明和小林谁赢了（通过计算两人的概率说明）； （2）如果用X 表示小明5次投掷中正面朝上的次数，求X 的分布列及期望； （3）已知在某局中小林先投，5次中出现2次正面朝上，问小明赢的概率有多大？17．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若X 表示抽到的精品果的数量，求X 的分布列和期望．18．甲盒中装有3个红球和2个黄球，乙盒中装1红球和4个黄球.（Ⅰ）从甲盒有放回地摸球，每次摸出一个球，摸到红球记1分，摸到黄球记2分.某人摸球4次，求该人得分ξ的分布列以及数学期望()E ξ；（Ⅱ）若同时从甲、乙两盒中各取出2个球进行交换，记交换后甲、乙两盒中红球的个数分别为1ξ、2ξ，求数学期望()1E ξ，()2E ξ.19．一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得-12分）. （1）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ； （2）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（3）玩过这款游戏的许多人发现，若干次游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.20．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列.参考答案1．C 【分析】利用超几何分布概率公式计算概率． 【详解】解： 设X k =表示取出的螺丝钉恰有k 只是坏的，则()()428410C C 0,1,2C k k P X k k -===． ∴()2228410C C 22C 15P X ===．故选：C ． 2．B 【分析】由ξ服从(,)B n p ，根据二项分布的均值和方差公式列式求解． 【详解】 由题意(,)B n p ξ，所以()8()(1) 1.6E np D np p ξξ==⎧⎨=-=⎩，解得0.810p n =⎧⎨=⎩．故选：B ． 3．B 【分析】由二项分布的概率公式依次求解可得答案 【详解】解：因为随机变量X 服从二项分布1(3)3B ，，所以3312()()()33kk k P X k C -==⋅⋅，{}0123k ∈，，， 所以0033128(0)()()3327P X C ==⋅⋅=，1123124(1)()()339P X C ==⋅⋅=，2213122(2)()()339P X C ==⋅⋅=，3303121(3)()()3327P X C ==⋅⋅=，∴max 4()(1)9P X k P X ====， 故选：B ． 4．C 【分析】根据题意得到变量X 服从参数为12,5,6N M n ===的超几何分布，结合概率的计算的公式，即可求解. 【详解】由题意知，随机变量X 服从参数为12,5,6N M n ===的超几何分布，由概率的计算公式()k n k M N M nN C C P X k C ---=，可得3357612C C C 表示的是3X =的取值概率． 故选：C. 5．D 【分析】根据题意，该问题符合超几何分布，利用超几何分布概率公式计算所取的3个球中没有1个红球的概率，进而可得答案. 【详解】根据题意，该问题符合超几何分布，其基本事件总数为310C ， 其中所取的3个球中没有1个红球的基本事件为36C ，所求概率为36310C 1511C 66-=-=.故选:D. 6．C 【分析】由正态分布解得每个零件合格的概率为23，由对立事件得011121()()0.1333n n n n C C -⋅+⋅⋅<，即1(21)()0.13nn +⋅<，令1()(21)()(*)3n f n n n N =+⋅∈，由()f n 的单调性可解得结果.【详解】X 服从正态分布2(10,)N σ，且1(9)6P X <=， 2(911)3P X ∴≤≤=，即每个零件合格的概率为2.3合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个． 合格零件个数为零个或一个的概率为01111()()3323n n n n C C -⋅+⋅⋅， 由011121()()0.1333nn n n C C -⋅+⋅⋅<，得1(21)()0.13n n +⋅<， 令1()(21)()(*)3nf n n n N =+⋅∈，(1)231()63f n n f n n ++=<+，()f n ∴单调递减，又(5)0.1f <，(4)0.1f >， ∴不等式1(21)()0.13n n +⋅<的解集为{|5,*}.n nn N ∈n ∴的最小值为5.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得011121()()0.1333n n n n C C -⋅+⋅⋅<，即1(21)()0.13n n +⋅<.7．A 【分析】利用二项分布的期望公式和方差公式列方程组求解即可 【详解】解：因为随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=， 所以28(1)5np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1015n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：A 8．D 【分析】根据数学期望值求出p ，再利用公式计算概率(2)P X =的值． 【详解】解：由随机变量~(4,)X B p ， 且8()3E X =，即843np p ==，解得23p =； 2224228(2)()(1)3327P X C ∴==-=．故选：D ． 9．67【分析】本题主要考查了超几何分步的概率计算，属于基础题．根据题意，X 的取值为0或1，代入超几何分布公式求出对应概率，再相加即可． 【详解】 解：由题意可得()305237C C 1020C 357P X ====，()215237C C 2041C 357P X ====，所以()()()246101777P X P X P X ≤==+==+=． 故答案为：67．10．1335【分析】由题知取得红球的个数为1,2,3,4，对应的黑球个数为3,2,1,0，进而根据超几何分布求概率即可. 【详解】解:由题知，取得红球的个数为1,2,3,4，对应的黑球个数为3,2,1,0，所以3144344713(9)35C C C P C ξ+≤== 故答案为：133511．316【分析】首先根据二项分布的概率公式求出(1)P X =，(0)P X =，再根据()()(1)01P X P X P X ≤==+=计算可得；【详解】解：因为随机变量X 服从二项分布1(5,)2B所以415115(1)12232P X C ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭，50511(0)1232P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以()()153(1)01323216P X P X P X ≤==+==+= 故答案为：31612．1235【分析】设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中15N =.2M =.3n =，根据超几何分布的概率计算公式直接求解即可. 【详解】设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中15N =.2M =.3n =，它的可能的取值为0，1，2，相应的概率为1221331512(1)35C C P X C ⋅===. 故答案为：1235. 13．2或8 【分析】利用超几何分布概率公式计算即可. 【详解】根据题意，得1645=1110-210a aC C C ，解得a =2或a =8． 故答案为：2或8. 14．0.6 【分析】根据二项分布的概率性质计算求解． 【详解】12222(1)(1)(2)(1)0.64P X P X P X C p p C p ≥==+==-+=，解得0.4p =（ 1.6p =舍去），(0)1(1)110.40.6P Y P Y p ==-==-=-=．故答案为：0.6．15．（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【分析】（1）若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数X 服从超几何分布337310()k kC C P X k C -==，计算即可； （2）若采用有放回抽取，求取出的3个球中红球的个数Y 服从二项分布33()0.3(10.3)kk k P Y k C -==⨯⨯-，计算即可．【详解】解：（1）由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 且X 服从参数为10N =，3M =，3n =的超几何分布，因此337310()k kC C P X k C -==，0,1,2,3k =， 所以03373107(0)24C C P X C ===，123731021(1)40C C P X C ===，21373107(2)40C C P X C ===，30373101(3)120C C P X C ===；所以X 的分布列为：（2）随机变量Y 的所有可能取值为0，1，2，3，且()~3,0.3Y B ，所以0033(0)0.3(10.3)0.343P Y C ==⨯⨯-=，1123(1)0.3(10.3)0.441P Y C ==⨯⨯-=，223(2)0.3(10.3)0.189P Y C ==⨯⨯-=，3303(3)0.3(10.3)0.027P Y C ==⨯⨯-=，所以Y 的分布列为：16．（1）两人为平局；（2）分布列见解析；期望为52；（3）38．【分析】（1）分别计算两者出现的概率，通过比较大小，即可求解；（2）由题意可得，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，并结合期望公式，即可求解；（3）由（2）知，小林投掷5次出现2次正面朝上的概率为516，故小明要赢，必须在投掷5次中出现0，1，4，5次正面朝上，将对应的概率求和，即可求解. 【详解】解:（1）结论：两人为平局 小明11111112222232P =⨯⨯⨯⨯= 小林211111112222232P P =⨯⨯⨯⨯==（2）由题知：0,1,2,3,4,5X =()0505111=02232P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1415115=12232P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()232511105=2223216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()323511105=3223216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4145115=42232P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()5055111=52232P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1555515012+3453232161632322E X =⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（3）由（2）知，小林投掷5次出现2次正面朝上的概率516， 故小明要赢，必须在投掷5次中出现0、1、4、5次正面朝上， 即小明赢的概率15513+++=323232328P = 17．（1）12125；（2）分布列见解析，45.【分析】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为A ，求出()P A ，抽到礼品果的个数1~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由概率公式()2P X =可得答案；（2）用分层抽样得到精品果和非精品果个数，精品果的数量()~10,2,4X H ，所有可能的取值为0，1，2，计算出相应的概率可得答案. 【详解】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为A ，则()2011005P A ==， 现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴恰好有2个水果是礼品果的概率为()2231412255125P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭． （2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个， 非精品果有6个，再从中随机抽取2个，则精品果的数量()~10,2,4X H ， 所有可能的取值为0，1，2，则()26210103C P X C ===，()11642108115C C P X C ===，()242102215C P X C ===．∴X 的分布列为所以，()424105E X ⨯==． 18．（Ⅰ）分布列见解析，5.6；（Ⅱ）()1 2.2E ξ=，()2 1.8E ξ=. 【分析】（Ⅰ）利用二项分布的概率公式，求出概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可； （Ⅱ） 先求出随机变量1ξ的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解()1E ξ，再利用()1E ξ与()2E ξ之间的关系求解()2E ξ即可. 【详解】解：（Ⅰ）()()443280,1,2,3,455k kk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：()8121621696162845678 5.66256256256256255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== （或()3288455E ξ=-⨯=）（Ⅱ）()223412255189110050C C P C C ξ⋅====⋅； ()211112314324122554812210025C C C C C C P C C ξ⋅+⋅====⋅；()221111343214122556243310010C C C C C C P C C ξ⋅+⋅+====⋅；()2112141225541410025C C C P C C ξ⋅====⋅；()191231111234 2.2502510255E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅==， ()()214 1.8E E ξξ=-=.19．（1）答案见解析；（2）95144；（3）答案见解析. 【分析】（1）X 的取值范围为{}0,1,2,3，再依次求出对应的概率，从而可得X 的分布列和数学期望；（2）设“第i 盘游戏获得15分”为事件()1,2i A i =，则由（1）可得()()12(1)(2)P A P A P X P X ===+=，所以可求出所求概率()()121P A P A -；（3）设每盘游戏得分为Y ，则Y 的取值范围为{}12,15,120-，结合（1）可得Y 的分布列，从而可求出Y 的期望，当期望为负时，说明分数在减少 【详解】解：（1）X 的取值范围为{}0,1,2,3，每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16p =，1(3,)6X B ~，3031125(0)16216P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，2131175(1)166216P X C ⎛⎫==⋅-=⎪⎝⎭， 2231115(2)166216P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)6216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以12525511()012321672722162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）设“第i 盘游戏获得15分”为事件()1,2i A i =，则 ()()12905(1)(2)21612P A P A P X P X ===+===. 所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为 ()()12951144P A P A -=， 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为95144. （3）设每盘游戏得分为Y ，则Y 的取值范围为{}12,15,120-， 由（1）知，Y 的分布列为：Y 的数学期望为12551512151202161221636EY =-⨯+⨯+⨯=-. 这表明，获得分数Y 的期望为负.因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大. 20．（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）由1~5,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，求出这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求出η的可能取值，再求出对应的概率，进而得出分布列. 【详解】（1）1~5,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭,ξ的分布列为5512()C ,0,1,2,3,4,533k kk P k k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ξ的分布列为（2）η的分布列为()P k P η==（前k 个是绿灯，第1k +个是红灯）21,0,1,2,3,433kk ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭ (5)P P η==（5个均为绿灯）523⎛⎫= ⎪⎝⎭故η的分布列为。

超几何分布与二项分布的区别[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --==（0,1,2,,k m =）进行处理就可以了.二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。

将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人, 再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ （Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.3、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.（Ⅰ）试确定a、b的值；（Ⅱ）从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.4、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？15、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E(X).6、张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35． （Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生 从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．7、某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.8、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为123p =，乙的命中率为2p ，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”； （Ⅰ）若212p =,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； （Ⅱ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果5E ξ≥,求2p 的取值范围.9、A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。

超几何分布与二项分布的综合练习1.学校游园活动有这样一个游戏节目，甲箱子里装有3个白球、2个黑球；乙箱子里装有1个白球、2个黑球。

这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在一次游戏中： ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率； （Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望EX . 解：（Ⅰ）设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3)i A i =：①2132322531()5C C P A C C ==；②设“在1次实验中获奖”为事件B ,则23B A A =，则2211113232122222253531()2C C C C C C P A C C C C =+= 故23117()()()2510P B P A P A =+=+=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在1次实验中获奖的概率为710，则在两次试验中获奖次数7(2,)10X B ， 2277()()(1)(0,1,2)1010k kk P X k C k -==-=；所以X 的分布列为：X 的数学期望为921497()012100501005E X =⨯+⨯+⨯=2.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：幸福度7 3 08 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5 5（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 ;（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P （3）ξ的可能取值为0、1、2、3，且1~(3,)4B ξ 6427)43()0(3===ξP ； 6427)43(41)1(213===C P ξ; X 0 1 2 P9100 2150 4910064943)41()2(223===C P ξ； 641)41()3(3===ξP 分布列为ξ0 1 2 3 P64276427 649 641ξE =75.0413=⨯3. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.（Ⅰ）解：由已知，有22222333486()35C C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为635. （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.45348()(1,2,3,4).k kC C P X k k C -=== 所以，随见变量X 的分布列为X 1 2 3 4P114 37 37 114随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=4. 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ， 记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10,)B p ξ，（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，，又，故p=0.001。

1 / 14 专题37 超几何分布、二项分布及其应用一、选择题1．（二项分布概率）设随机变量，若，则的值为（ ）ξ~B (2,p ), η~B (4,p )P (ξ≥1)=59P (η≥2)A ．B ．C ．D ．1127328165811681【答案】A【解析】由于，则，，ξ~B (2,p )P (ξ≥1)=1―P (ξ=0)=1―(1―p )2=59∴p =13所以，，因此， η~B (4,13)P (η≥2)=1―P (η=0)―P (η=1)=1―(23)4―C 14⋅13⋅(23)3，故选：A.=1127二、解答题2．（古典概型与超几何分布）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干()n n N*∈个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为． 415求n 的值；()1若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；()2若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．()3【答案】（1）；（2）；（3）详见解析. n 7=37【解析】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，8n +28n C +28C 故全是小集团的概率是， ()()28285648715n C C n n +==++整理得到即，解得． ()()78210n n ++=2151540n n +-=7n =（2）若2个全是大集团，共有种情况； 2721C =若2个全是小集团，共有种情况；2828C =2 / 14故全为大集团的概率为．21321287=+（3）由题意知，随机变量的可能取值为，X 0,1,2,3,4计算，，， ()04874151039C C P X C ===()13874158139C C P X C ===，， ()228741528265C C P X C ===()3187415563195C C P X C ===； ()40874152439C C P X C ===故的分布列为：XX 0 1 2 3 4P 139 839 2865 56195 239数学期望为． ()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3．（独立性检验与超几何分布）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表. 年龄 （单位：岁） ，[1525)，[2535)，[3545)，[4555)，[5565)，[6575]频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数51012721（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使22⨯用微信支付”的态度与人的年龄有关； 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成3 / 14合计（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽[45,65)取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值. 参考数据：20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828，其中.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由频数分布表得列联表如下： 22⨯ 年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成 10 2737不赞成 10 313合计2030502250(3102710)9.979 6.63537301320K ⨯⨯-⨯∴=≈>⨯⨯⨯有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关∴99%（Ⅱ）年龄在中支持微信支付人，不支持微信支付6人[)45,659由分层抽样方法可知：抽取的人中，支持微信支付人，不支持微信支付人 532设人中不支持微信支付的人数为，则所有可能的取值为：3ξξ0,1,2，， ()33351010C P C ξ===()213235631105C C P C ξ====()1232353210C C P C ξ===的分布列为：ξ∴4 / 14ξ 0 12P 110 35 310()00.110.620.3 1.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=4．（正态分布与超几何分布）有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在1至）频数分布表如下（单位：）： 11kg kg 分组[)1,3[)3,5[)5,7[)7,9[)9,11频数 103040155以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.（1）由种植经验认为，种植园内的水果质量近似服从正态分布，其中近似为样本平均数X ()2,N μσμ，.请估计该种植园内水果质量在内的百分比；x 24σ≈()5.5,9.5（2）现在从质量为，，的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果[)1,3[)3,5[)5,7中随机抽取2个.若水果质量在，，的水果每销售一个所获得的利润分别为2元，4元，6[)1,3[)3,5[)5,7元，记随机抽取的2个水果总利润为元，求的分布列和数学期望. Y Y 附：若服从正态分布，则，ξ()2,N μσ()0.6827P μσξμσ-≤<+=.()220.9545P μσξμσ-≤<+=【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 47.725%【解析】解：（Ⅰ） ， ()1210430640815105100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 5.5=由正态分布知，(5.59.5)(2)P X P μξμσ<<=<<+()1222P μσξμσ=-≤<+. 10.95450.477252=⨯=该种植园内水果质量在内的百分比为.()5.5,9.547.725%5 / 14（Ⅱ）由题意知，从质量在，，的三组水果中抽取的个数分别为1，3，4，[)1,3[)3,5[)5,7的取值为6，8，10，12.Y 则； ()1113283628C C P Y C ===； ()21131428718284C C C P Y C +====；()11342812310287C C P Y C ====.()242863122814C P Y C ====所以，的分布列为YY 6 8 10 12P 328 14 37 314. ()3712668101228282828E Y =⨯+⨯+⨯+⨯199.52==5．（直方图与超几何分布）2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组，第二组，第三组，第[30,35)[35,40)[40,45)四组，第五组，第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.[45,50)[50,55)[55,60]（1）求实数的值；a （2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取36 / 14人参加优胜比赛.①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求的分布列和数学期望. ξξ()E ξ【答案】（1）（2）①②见解析 0.036a =310p =【解析】解：（1）直方图中的组距为5，可得， 0.024520.035520.0451a ⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=得.0.036a =（2）从直方图中可得第四组的人数为（人），第五组的人数为（人），0.04520040⨯⨯=0.03520030⨯⨯=第六组的人数为（人），0.03520030⨯⨯=三组共100人，按组用分层抽样法抽取10人，则第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.①三组各有一人参加优胜比赛的概率； 111433310310C C C p C ⋅⋅==②的可能取值为0，1，2，3，ξ，()0346310106C C P C ξ===，()2164310112C C P C ξ===，()21463103210C C P C ξ===，()30463101330C C P C ξ===的分布列为 ξξ0123P 16 12 310 130.()11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=7 / 146．（概率最值与二项分布）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子*()n n N ∈12是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． （1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ n （2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望． 4n =X X 【答案】（1）当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为； （2）见解析. 5n =6n =516【解析】（1）对一个坑而言，要补播种的概率， 330133111222P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有3个坑要补播种的概率为.312nnC ⎛⎫⎪⎝⎭欲使最大，只需， 312nn C ⎛⎫ ⎪⎝⎭1331133111221122nn n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得，因为，所以56n ≤≤*n N ∈5,6,n =当时，；5n =53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，； 6n =63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 5n =6n =516（2）由已知，的可能取值为0，1，2，3，4.， X 14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以的分布列为XX 0 1 2 3 4P 116 14 38 14 1168 / 14的数学期望. X 1422EX =⨯=7．（独立性检验与超几何分布）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表： 同意 不同意 合计 男生 a 5 女生 40 d 合计100（1）求 a ，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.附： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20()P k k ≥0.150.100 0.050 0.025 0.0100k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析. 20,35a d ==【解析】（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%， 所以， =6040=20a -40535d =-=文（2）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关 （2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，故X服从二项分布，即从而X的分布列为X01234X的数学期望为8．（回归分析与二项分布）随着网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如下表所示：年份2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 时间代号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 2 2.3 2.5 2.9 3 2.5 2.1 1.7 1.2 实体店纯利润（千万）x y根据这9年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254；根据后5年的数据，x y对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；（1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案：方案一：选取这9年的数据，进行预测；方案二：选取后5年的数据进行预测.从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适.附：相关性检验的临界值表：小概率n20.05 0.013 0.878 0.9597 0.666 0.7989 / 1410 / 14（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的，既开网店又开实体40%店的占调查总人数的，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只20%开实体店的人数的分布列及期望.【答案】（1）选取方案二更合适（2），分布列见解析 2E ξ=【解析】（1）选取方案二更合适，理由如下：①中介绍了，随着网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，从表格中的数据可以看出从2014年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.②相关系数越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值，r 0.2450.666<我们没有理由认为与具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值，所y x 0.9850.959>以有的把握认为与具有线性相关关系.99%y x （仅用①解释得3分，仅用②解释或者用①②解释得6分）（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位，开网店的概率为，只开实体店的35概率为， 25设只开实体店的店主人数为，则，ξ0,1,2,3,4,5ξ=，， 050523243(0)553125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭141523162(1)55625P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 232523216(2)55625P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭323523144(3)55625P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 41452348(4)55625P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5552332(5)553125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的分布列如下：ξξ0 1 2 3 4 5P 2433125 162625216625 14462543625 32312511 / 14∴，故.25,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2525E ξ=⨯=9．（直方图、正态分布、二项分布）某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表： 每分钟跳绳个数 [145,155)[155,165) [165,175) [175,185)[185,)+∞得分1617181920年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其X ()2,N μσ中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正2225σ≈μ态分布模型，解决以下问题：（i ）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（ii ）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为，求随机变量的分布列ξξ和数学期望与方差.12 / 14附：若随机变量服从正态分布，则，X ()2,N μσ()0.6826P X μσμσ-<<+=，.(22)0.9554P X μσμσ-<<+=3309().974P X μσμσ-<<+=【答案】（1）；（2）（i ）1683；（ii ）. 2955033,24【解析】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件，则事件包括以下四种情况： A A ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得. 221111612612618210029()550C C C C C C P A C +++==所以两人得分之和小于35的概率为. 29550（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：X (0.0061500.0121600.018170X =⨯+⨯+⨯+0.0341800.0161900.008200⨯+⨯+⨯（个）.0.006210)10179+⨯⨯=又由，得标准差，2225σ≈15σ≈所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.X ()2179,15N （i ）因为，所以， 17915164μσ-=-=10.6826(164)10.84132P X ->=-=故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为（人）.20000.84131682.61683⨯=≈（ii ）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为， 12所以，的所有可能的取值为0，1，2，3.1~3,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ所以，033111(0)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，213113(1)1228P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭13 / 14，2123113(2)C 1228P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3330111(3)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故的分布列为：ξξ0 123P 18 383818所以，.13()322E ξ=⨯=113()31224D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭10.（茎叶图与二项分布）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”X 的人数,求的分布列及． X ()E X 【答案】(Ⅰ). (Ⅱ)见解析. 199204【解析】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福{A =31}A 3()()363185199111204204C P A P A C ∴=-=-=-=(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为 23,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭X 0,1,2,314 / 14；；()303110327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2132121339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭； ()2232142339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()333283327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以随机变量的分布列为：XX 01 23P 127 2949827所以的期望 X ()124801232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。

小练习（4）：二项分布与超几何分布1.某校组织计算机知识竞赛，已知竞赛题目共有10道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，若某一参赛者只能答对其中6道，则他能通过初试的概率为_________2.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X< 2)等于_______)，则P(ξ≤3)等于___________3.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6,124.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少有3人被治愈的概率为(用数字作答)．5.袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：(1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列；(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．二项分布与超几何分布一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1. 某校组织计算机知识竞赛，已知竞赛题目共有10道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，若某一参赛者只能答对其中6道，则他能通过初试的概率为( )A. 23B. 34C. 14D. 13 【答案】A【解析】【分析】本题考查超几何分布，属于基础题．分两种情况：只答对两道和三道都答对，再结合组合数的计算列式可求．【解答】解：通过初试包括两种情况，即答对其中2道或3道题目，所以所求概率为C 62C 41C 103+C 63C 103=23． 故选A ．2. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P(X <2)等于( )A. 715B. 815C. 1415D. 1 【答案】C【解析】【分析】本题考查超几何分布，与互斥事件的概率，解题的关键是找到与每个X 的值相对应的概率P 的值．【解答】解：由题意，知X 取0，1，2，则P(X =0)=C 72C 102=715， P(X =1)=C 71⋅C 31C 102=715，P(X =2)=C 32C 102=115．所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=715+715=1415．故选C．3.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6,12)，则P(ξ≤3)等于()A. 1132B. 732C. 2132D. 764【答案】C【解析】【分析】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，是一个基础题根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式P(ξ≤3)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)可以得出答案．【解答】解：P(ξ≤3)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=C 60×(12)6+C 61·(12)6+C 62·(12)6+C 63·(12)6=2132．故选C．二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）4.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少有3人被治愈的概率为(用数字作答)．【答案】0.9477【解析】【分析】本题考查了n次独立重复试验概率计算，考差了分析问题的能力，属于中档题.病人被治愈的人数X~B(4,0.9).分情况求解,若有3人被治愈,则P1=C430.93×(1-0.9)=0.2916;若有4人被治愈,则P2=C440.94=0.6561,从而可得结果.【解答】解：病人被治愈的人数X ~B (4,0.9).分情况求解,若有3人被治愈,则P 1=C 430.93×(1-0.9)=0.2916;若有4人被治愈,则P 2=C 440.94=0.6561,故至少有3人被治愈的概率P =P 1+P 2=0.9477.三、解答题（本大题共1小题，共12.0分）5. 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：(1)有放回抽样时，取到黑球的次数X 的分布列；(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列．【答案】解：(1)有放回抽样时，取到的黑球的次数X 可能的取值为0，1，2，3．由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X ～B (3,15)，则P(X =0)=C 30×(15)0×(45)3=64125， P(X =1)=C 31×(15)1×(45)2=48125， P(X =2)=C 32×(15)2×(45)1=12125，P(X =3)=C 33×(15)3×(45)0=1125．所以X 的分布列为(2)不放回抽样时，取到的黑球数Y 可能的取值为0，1，2，则P(Y =0)=C 20C 83C 103=715， P(Y =1)=C 21C 82C 103=715， P(Y =2)=C 22C 81C 103=115． 所以Y 的分布列为【解析】本题考查离散型随机变量及其分布列，属于中档题．(1)有放回时，可看做二项分布，由二项分布的知识易得答案；(1)不放回时，可看做超几何分布，由超几何分布的知识易得答案．。

专题05二项分布、超几何分布与正态分布一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次,设X 表示向上一面出现6点的次数,则X 的数学期望()EX 的值为（ ） A ．13 B ．49 C ．59 D ．232．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试,若甲、乙能通过面试的概率都是23,则面试结束后通过的人数X 的数学期望是（ ） A ．43 B ．119 C ．1 D ．893．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））已知~(20,)X B p ,且()6E X =,则()D X =（ ） A ．1.8 B ．6 C ．2.1 D ．4.24．（2021·山东德州市·高二期末）已知随机变量X 服从二项分布(),XB n p ,若()54E X =,()1516=D X ,则p =（ ）A ．14B ．13C ．34D ．45 5．（2020·全国高二课时练习）已知圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为若14,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则使()P X k =的值为（ ） A ．23 B ．35C ．13D ．27646．（2021·辽宁大连市·高三期末）2020年12月4日,中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”,求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒,而目前世界最快的超级计算机要用6亿年,这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”,通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板,但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球,白球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子.如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球,则其落在第③个格子的概率为（ ）A ．1128B ．7128C ．21128D ．351287．（2020·江苏省苏州中学园区校高二月考）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(21)(1)P m P m ξξ<+=>-,则实数m 的值是（ ）A ．23B ．43C ．53D ．28．（多选）（2021·全国高二课时练习）如城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从如城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是( )A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B ．这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128 9．（多选）（2020·全国高三专题练习）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =（例如10100）其中A 的各位数中()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13,出现1的概率为23,记2345X a a a a =+++,则当程序运行一次时（ ）A ．X 服从二项分布B ．()8181P X ==C ．X 的期望()83E X =D ．X 的方差()83V X =10．（2020·江苏南京市·南京田家炳高级中学高三期中）下列命题中,正确的命题是（ ）A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ,若()30E x =,()20D x =,则23p =B ．已知34n n AC =,则27n =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ,若()1P p ξ>=,则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中,击中目标的次数为X ,()~10,0.8X B ,则当8X =时概率最大.二、填空题11．（2021·江西高三其他模拟（理））已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ,()60.84P ξ≤=,则()0P ξ≤=______.12．（2020·福建三明市·高二期末）已知某批零件的长度误差X 服从正态分布()2,N μσ,其密度函数()()222,12x x e μσμσϕπσ--=的曲线如图所示,则σ=______；从中随机取一件,其长度误差落在()3,6内的概率为______. （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ,则()0.6826P μσξμσ-<≤+=,()220.9544P μσξμσ-<≤+=,()330.9974P μσξμσ-<≤+=.）三、解答题13．（2021·全国高二课时练习）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100],整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人,试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”,从该学校高三年级学生中随机抽取一人,估计该学生不及格的概率；90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记（3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.14．（2020·全国高三专题练习（理））袋子中有1个白球和2个红球．（1）每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球次数X的分布列；（2）每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次,求取球次数X的分布列；（3）每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X的分布列．15．（2021·全国高三其他模拟）某商场举行有奖促销活动,凡10月13日当天消费每超过400元（含400元）,均可抽奖一次,抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个,白球有3个）,抽奖方案设置两种,顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中,一次性摸出2个球,若摸出2个红球,则打6折；若摸出1个红球,则打8折；若没摸出红球,则不打折．方案二：从抽奖箱中,有放回地每次摸取1个球,连摸2次,每摸到1次红球,立减100元．（1）若小方、小红均分别消费了400元,且均选择抽奖方案一,试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．（2）若小勇消费恰好满600元,试比较说明小勇选择哪种方案更划算．16．（2021·全国高二课时练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行,共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ,已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270,25).比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制),最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分,负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队,设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).（1）如果比赛准备了1000个排球,估计质量指标在(260,265]内的排球个数(计算结果取整数).f p.（2）第10轮比赛中,记中国队3:1取胜的概率为()（i）求出f(p)的最大值点0p;（ii）若以0p作为p的值记第10轮比赛中,中国队所得积分为X,求X的分布列.σ),则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826,p(μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.参考数据:ζ ~N(u,2。

9道题分清超几何分布和二项分布（含答案）一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k07．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）步数性别男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k08．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+d P（K2≥k）k9道题分清超几何分布和二项分布参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P （A）=1﹣P．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．X的分布列为：X0123PE（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．【分析】（1）记事件A，这2人健步走状况一致，利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A，这2人健步走状况一致，则．（2）X的可能取值为0，1，2，所以，所以X的分布列为X 0 1 2P所以．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．【分析】（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数．（2）由Y的所有可能取值为0，1，2．分别滶出相应的概率，由此能求出Y的分布列及期望和方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（+）×5]×40=14．（2）Y的所有可能取值为0，1，2．，，．∴Y的分布列为：Y012P期望为：，方差为：．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）估算妹纸生蚝的质量为，由此能估计这批生蚝的数量．（2）任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为：，所以购进500kg，生蚝的数量为500000÷≈17554（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，则，，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4P∴．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k0【分析】（1）由列联表数据求出K2≈＜，从而不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有3人，偶尔或从不进行网购的有2人，由此能求出从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），由此能求出X的期望和方差．【解答】解：（1）由列联表数据计算K2=≈＜，∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5×=3人，偶尔或从不进行网购的有5×=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），∴E（X）=，D（X）==．【点评】本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）性别男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k0【分析】（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅱ）完成2×2列联表求出k2的观测值k0≈＜．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【解答】解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X0123P则．（Ⅱ）完成2×2列联表如下：积极型消极型总计男9615女41115总计131730k2的观测值=．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人男性录用人男性录用比女性应聘人女性录用人女性录用比数数例数数例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：X012P．（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈%，女性的总录用比例为≈%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．∴这四种岗位是：B、C、D、E．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈＞，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．【点评】本题考查了独立性检验原理、二项分布列的概率计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

一、单项选择题1．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ＝0)＝49，则D (Y )等于()A.23B.43C.49D.892．(2023·福建名校联盟大联考)甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则甲以2∶1获胜的概率为()A.827 B.427 C.49 D.293．(2023·枣庄模拟)某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布N (72,82)，则数学成绩位于(80,88]的人数约为()参考数据：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9973.A ．455B ．2718C ．6346D ．95454．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E (ξ)为()A.45B.910C ．1 D.655．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为13，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为14，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为()A ．24B ．25C ．26D ．276．(2024·赤峰模拟)某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有()A ．1张B ．2张C ．3张D ．4张二、多项选择题7．(2023·莆田模拟)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N (8，σ2)，且P (ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7,9)的个数记为X，则() A．P(7<ξ<9)＝0.8B．E(X)＝1.8C．E(ξ)>E(5X)D．P(X≥1)>0.98．(2023·汕头模拟)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，均值和方差分别为E(X1)，D(X1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，均值和方差分别为E(X2)，D(X2)，则()A．E(X1)＝E(X2)B．E(X1)>E(X2)C．D(X1)>D(X2)D．D(X1)<D(X2)三、填空题9．(2023·石家庄模拟)某市中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．10．(2023·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品．设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出．则至少有3个季度的收益为正值的概率为________．11．(2024·南开模拟)一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品．若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为________；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品________次．12．(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值x i(i＝1,2,3，…，100)，经计算错误!i＝7200，错误!2i＝100×(722＋36)．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ，σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________．(用百分数作答，精确到0.1%)参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.四、解答题13．某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折，其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从均值的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？14．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获得三等奖，得分在[80,90)内的学生获得二等奖，得分在[90,100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)；(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.。

一、单选题1. 某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（）A．27 B．24 C．32 D．282. 从装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于A．B．C．D．3. 1654年，法国贵族德•梅雷骑士偶遇数学家布莱兹•帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（）A．肖恩B．尤瑟纳尔C．酒吧伙计D．酒吧老板4. 甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的数学期望是（）A．1.2 B．1.6 C．1.5 D．25. 将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,那么k的值为()A．0 B．1 C．2 D．36. 如果，那么当X，Y变化时，使P(X=k)=P(Y=r)成立的(k，r)的个数为（）A．21 B．20 C．10 D．0二、多选题7. 下列结论正确的有（）A．若随机变量满足，则B．用相关指数来刻画回归效果，模型1的相关指数，模型2的相关指数，则模型1的拟合效果更好．C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强D．设随机变量服从二项分布，则8. 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（）A．的取值范围为B．C．D．三、填空题9. 已知随机变量，则______.10. 随机变量，若，则___________.11. 一批产品的一等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的一等品件数，则__________。