2015湖南公务员考试行测理科题高频考点之容斥问题

公考容斥问题解题技巧
一、理解问题背景
容斥问题在公务员考试中是一种常见的题型，主要考察考生对于集合概念的理解和应用。

在解决这类问题时，首先要明确问题的背景和涉及的集合。

了解题目所给的各个集合的元素以及它们的属性，以便更好地分析问题。

二、识别关键信息
在阅读题目时，要迅速识别出关键信息，尤其是涉及到集合关系和数量关系的语句。

这些信息将有助于确定解题思路和方向，避免在解题过程中出现混乱。

三、使用公式计算
解决容斥问题需要使用到一定的公式进行计算。

考生应熟练掌握基本的公式，如容斥原理公式：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣（∣A∪B∣表示集合A和集合B的并集的元素数量，∣A∣和∣B∣分别表示集合A和集合B的元素数量，∣A∩B∣表示集合A和集合B的交集的元素数量）。

通过合理运用公式，可以快速准确地得出答案。

四、避免重复和遗漏
在解题过程中，要注意避免重复计数和遗漏。

当分析两个集合之间的关系时，要特别小心，确保每个元素只被计算一次，并且所有的元素都被考虑在内。

通过仔细分析集合之间的关系，可以有效地避免重复和遗漏。

五、提高运算速度
在考试中，时间是非常宝贵的。

为了提高解题速度，考生需要熟练掌握各种运算技巧和方法。

通过练习和总结经验，考生可以逐渐提高自己的运算速度，从而在考试中更加从容地应对各种问题。

综上所述，解决公考容斥问题需要考生具备一定的数学基础和逻辑思维能力。

通过理解问题背景、识别关键信息、使用公式计算、避免重复和遗漏以及提高运算速度等技巧，考生可以更加高效地解决这类问题，提高自己的考试成绩。

考公数量容斥问题容斥问题在公务员考试中是一种常见的数学问题，它涉及到集合和计数原理的应用。

在数量关系和资料分析中，容斥问题通常涉及到两个或多个集合，以及它们的交集和并集。

解决容斥问题时，首先需要明确各个集合的元素和范围，然后根据题目要求选择适当的集合运算方法。

常见的集合运算包括并集、交集、差集等。

下面是一个简单的容斥问题示例：一个班里有30个学生，其中10个是数学爱好者，8个是物理爱好者，5个是化学爱好者。

有些学生同时喜欢数学和物理，有些学生同时喜欢数学和化学，有些学生同时喜欢物理和化学。

请问这个班里有多少学生同时喜欢数学、物理和化学？首先，我们可以使用集合的概念来描述这个问题。

设A表示数学爱好者的集合，B表示物理爱好者的集合，C表示化学爱好者的集合。

根据题目，我们有以下信息：A = 10（数学爱好者的人数）B = 8（物理爱好者的人数）C = 5（化学爱好者的人数）A ∩ B（同时喜欢数学和物理的人数）A ∩ C（同时喜欢数学和化学的人数）B ∩ C（同时喜欢物理和化学的人数）我们需要求解的是同时喜欢数学、物理和化学的学生人数，即A ∩ B ∩ C。

根据容斥原理，我们有：A ∩B ∩C = A + B + C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C将已知数值代入公式中，我们得到：A ∩B ∩C = 10 + 8 + 5 - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C由于题目没有给出同时喜欢数学、物理和化学的学生人数，我们需要使用其他方法来求解。

常用的方法是使用韦恩图来直观地表示集合之间的关系，从而得出结果。

[2015公务员考试行测容斥原理解题技巧] 容斥原理行测
[2015公务员考试行测容斥原理解题技巧] 容斥原理行测
发布时间：2019-07-23 09:39:55 影响了：人
2015公务员考试行测容斥原理解题技巧在行测考试中，容斥原理令很多考生头痛不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生一时找不到头绪，但该题型还是有着非常明显的内在规律，只要考生能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解。

下面中公教育专家对该题型分两种情况进行剖析，相信能给考生带来一定的帮助。

一、两集合类型1. 解题技巧题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：A ∪B=A+B-A∩B快速解题技巧：总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数。

2. 真题示例【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有()A 27人B 25人C 19人D 10人【中公解析】B 。

直接带入公式为：50=31+40+4-A∩B ，得A∩B=25，所以答案为B 。

二、三集合类型。

行测数学运算16种题型之容斥原理问题核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C【例1】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A．22人 B．28人 C．30人 D．36人【解析】设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩CC∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）＝148－（100＋18＋16－12）＝26所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22【例2】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。

A.22B.18C.28D.26【解析】设A＝第一次考试中及格的人(26)，B＝第二次考试中及格的人(24)显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32-4＝28，则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝50-28＝22所以，答案为A。

【例3】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57B.73C.130D.69【解析】设A＝会骑自行车的人(68)，B＝会游泳的人(62)显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85-12＝73，则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝130-73＝57所以，答案为A。

公务员行测考试容斥问题速解宝典题集一、两集合类型1.解题技巧题目中所涉及事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式题目，如下：A∪B=A+B-A∩B快速解题：总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数。

2.真题示例【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有：A27人B25人C19人D10人【解析】B。

50=31+40+4-A∩B，得A∩B=25。

二、三集合类型1.解题步骤解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表含义；③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A ∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。

2.解题技巧解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数3.真题示例【例2】某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加任何一种考试的有15人。

问接受调查问卷的学生共有多少人？A.120B.144C.177D.192【解析】A。

填充三个集合公共部分数字24；根据每个区域含义应用公式：总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)｝+24+15=199-{(x+y+z)+24+24+24｝+24+15。

x+y+z只属于两集合数之和，该题所讲只选择两种考试参加人数，所以x+y+z值为46人；得本题答案为120。

【例3】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?A.22人B.28人C.30人D.36人【解析】A。

2015国家公务员考试备考：两集合容斥问题【陕西华图】在2015国家公务员考试备考过程中，很多考生反映在国考行测的数量题中遇到了困难。

的确，数量关系类题目是考生们普遍的难点。

因此陕西华图近期总结了部分数量关系的答题技巧，希望有助于考生们的备考。

容斥原理是行测数学运算中一个常考的题型，出现的频率比较高，这部分题目难度适中，是得分的一个重点。

对于容斥原理我们解题的关键在于排除重复部分，可以利用公式法和图示法解答。

公式法：满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-既满足Ⅰ又满足Ⅱ的个数=总数-两者都不满足的个数【例1】某班有56 名学生，在第一次测验中有24 人得满分，在第二次测验中有33 人得满分。

如果两次测验中都没有得满分的学生有14人，那么两次测验中都获得满分的人数是多少?（）A.13人B.14 人C.15 人D.16人解析：设两次测验中都获得满分的人数是X，代入公式得，24+33-X=56-14，解得X=15，答案选择C项。

对于这种“条件和提问”都可以直接代入公式的题目直接利用公式进行求解即可。

陕西公务员 | 事业单位招聘 | 大学生村官 | 卫生医疗 | 党政公选 | 军转干 | 政法干警考试图示法：【例2】工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。

其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2∶1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。

问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：A.20%B.30%C.40%D.50%解析：不能直接代入公式求解的话就要考虑利用图示法求解。

设只参加周日活动的人数为X，那么两天活动都参加就是2X，参加周日活动的人数就是X+2X=3X，参加周六的人数就是6X，如图所示，只报名参加周日的有2X人，两天都报名的有X，只报名参加周六活动的有5X，所以是X+2X+5X=80%，X=10%，那么未报名的是1-80%=20%，只报名周六的是50%，所以是20%/50%=40%。

【导读】国家公务员考试网为您提供：2015国家公务员考试行测：数量关系——高频考点之容斥问题，更多信息请关注安徽人事考试网容斥问题在历年省考、国考中的出镜频率都很高，预计2015国家公务员考试也会继续采用该题型，考生们需引起足够重视。

中公教育专家认为，对于容斥问题，考生只要认真读题就一定能够正确地解出此题。

接下来，我们一起来看一下有关容斥问题的解法。

一、两者容斥的解法对于容斥问题，解题关键是首先找到各个集合，然后理清各集合之间的关系，然后通过两大核心方法便可解决问题，两大核心方法为：1、将所有区域化为一层2、画文氏图容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型——两者容斥、三者容斥，首先来看两者容斥问题：例：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?A.6B.7C.8D.9中公解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系：第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示：A表示是奥运会自愿者B表示是全运会志愿者I表示是全班人数X表示全运会且奥运会志愿者Y表示非奥运会且非全运会志愿者第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。

I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾数法)。

结论：两者容斥问题，画图之后可知，两个圆相交的地方有1层、2层两种情况，当将两个集合相加的时候，2层部分多计算一次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故两者容斥问题的公式为：全集I=A+B-X+Y(I代表全集，A、B分别代表两个集合，X代表两个集合的交集，Y代表集合之外的部分)二、三者容斥的解法接下来看三者容斥问题，三者容斥问题所给的已知条件不同，导致其公式不同。

首先来看第一种三者容斥问题：例：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?A、69B、65C、57D、46中公解析：第一步：根据题意描述出题中所涉及的几个集合之间的容斥关系第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。

知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。

在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。

无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。

核心点拨1、题型简介容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。

掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。

2、核心知识（1）两个集合容斥关系（2）三个集合容斥关系A、标准型公式???B、图示标数型（文氏图法）画图法核心步骤：1画圈图；2数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)；③做计算。

C、整体重复型A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）；W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）；x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）；y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）；z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。

3、核心知识使用详解（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。

（2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。

（3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。

夯实基础1. 两个集合容斥关系例1：(2007年中央第50题)小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（?? ）。

A. 3道B. 4道C. 5道D. 6道【答案】D【解析】[题钥]由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。

行测容斥问题公式行测中的容斥问题可是个有趣的“家伙”，在考试中时不时就会冒出来，给咱们考生带来点小挑战。

咱们先来说说啥是容斥问题。

简单来讲，容斥问题就是研究集合之间重叠部分的情况。

比如说，一个班级里喜欢数学的有一部分同学，喜欢语文的有一部分同学，那么既喜欢数学又喜欢语文的同学有多少呢？这就是一个典型的容斥问题。

容斥问题有几个常用的公式。

两集合容斥公式：A∪B = A + B -A∩B。

这就好比有两个盒子，一个装苹果，一个装香蕉。

把两个盒子里的水果都放到一个大筐里，总数就是两个盒子里水果数的和，减去两个盒子里都有的那种水果（比如既是苹果又是香蕉的水果）。

再说说三集合容斥公式，标准型：A∪B∪C = A + B + C - A∩B -B∩C - C∩A + A∩B∩C 。

这个公式看起来有点复杂，其实就是把三个集合的数量加起来，然后减去两两重叠的部分，再把三个都重叠的部分加回来。

打个比方，咱就说班级里的兴趣小组，有数学小组、语文小组和英语小组。

数学小组有多少人，语文小组有多少人，英语小组有多少人，这都好算。

但是有些同学既参加了数学又参加了语文，有些既参加了语文又参加了英语，有些既参加了数学又参加了英语，还有些同学三个小组都参加了。

要算出班级里一共参加兴趣小组的人数，就得用这个公式。

还有个非标准型的三集合容斥公式：A∪B∪C = A + B + C - 只属于两个集合的 - 2×属于三个集合的。

这个公式呢，理解起来也不难。

还是拿兴趣小组举例，咱们先把三个小组的人数加起来，然后把重复算的只属于两个小组的人数减掉，但是属于三个小组的人数被多减了一次，所以要再加上两倍的属于三个小组的人数。

我记得之前有个学生，在做容斥问题的时候，那叫一个头疼。

题目是这样的：一个班级有 50 名同学，参加数学竞赛的有 25 人，参加语文竞赛的有20 人，其中有10 人既参加了数学竞赛又参加了语文竞赛，问班级里参加竞赛的总人数是多少。

行测数量关系备考：容斥问题行测数量关系备考：容斥问题容斥问题一直是行测数量关系考试当中的“常客”，而如此“文艺”的名字之下，本质研究的其实就只是集合间关系的一类问题。

那么集合间的关系都有哪些呢?一般来说，我们把容斥问题分成三大类研究，分别是二者容斥、三者容斥和容斥极值，其中以三者容斥问题最为常考，也是相对来说最难理解的一类问题。

今天就为大家解释什么是三者容斥?它又难在哪里?【例2】某研究中心就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进展市场调查，共抽取了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几人?A.1B.3C.5D.7通过以上两道题目，我们不难发现，容斥问题本身难度并不是很大，只要找到题目中数据描绘的特点，对应正确的公式，还是很容易解决的。

比例统一的方法如下：1.找不同比例当中都出现的不变量(某个量、总量、差量等)2.将不变量的份数统一为最小公倍数3.其他量保持比例不变同倍数变化理解完以上相关的方法，我们就详细来看题目感受一下。

【例1】A：B=2：3，B：C=2：3，C比A多10，那么A+B+C=?A.35B.36C.37D.38【解析】答案：D。

根据题干信息可知，给出了一个实际量C比A多10，那么我们就需要找到实际量10所对应的比例份数进展相关的解题，同时我们可以发现题干给出了两个比例，两个比例都出现了B这个不变量，在和A做比的时候是3份，在和C做比的时候是2份，但是B所代表的实际量是一样的，所以把B分成不同的份数每一份所代表的实际量就不一样。

那么我们将B的份数变成一样即可，所以将B统一为最小公倍数6，那么其他量保持比例不变同倍数变化。

得到A:B:C=4:6:9，可以发现C比A多了5份，这5份正是对应的10，题目求A+B+C，通过比例可以知道共有19份，所以答案为38，选D。

【例2】林先生的水果摊销售苹果、芒果、香蕉三种水果，第一天苹果、芒果、香蕉三种水果的收入之比为8:7:5，第二天的收入之比7:9:14.假设第二天苹果的销售收入减少了100元，但这三种水果的总收入不变，问第二天香蕉的收入为多少元?A.180B.200C.280D.360【解析】答案：C。