2018-2019版高中数学人教A版浙江选修2-2文档：1-3-2函数的极值与导数 含答案 精品

1.2.2组合第1课时组合与组合数公式目标定位 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题.自主预习1.组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示.3.组合数公式C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝n！m！（n－m）！(n，m∈N*，m≤n).即时自测1.思考题(1)区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？提示关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题. (2)一个组合与组合数有什么区别？提示组合数与组合是两个不同的概念，一个组合是具体的一件事，它不是一个数，而组合数是所有组合的个数，它是一个数.(3)在C m n中有m，n∈N*且m≤n，为什么要规定C0n＝1?提示C0n＝1是为了运算需要而规定，没有实际意义.2.已知C2n＝10，则n的值等于()A.10B.5C.3D.2答案 B3.给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中是组合问题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 C4.从10名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数为________.解析不同选法种数即为从10个不同元素中取出3个元素的组合数C310＝120. 答案120类型一组合概念的理解(互动探究)【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？[思路探究]探究点一组合的特点是什么？提示组合的特点：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素自然也是不同的，即“从n个不同的元素中取出m个元素”.探究点二区分某一问题是组合问题与排列问题的关键是什么？提示关键是交换某两个元素的位置对结果是否产生影响，即与选取的顺序是否有关.解(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C 210＝45.(2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C 210＝45.(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C 310＝120.(4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A 310＝720.规律方法 排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序. (2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.【训练1】 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来. (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解 (1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C 37个.(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了A 28个电子邮件.(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A 24种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C 24种票价. 类型二 组合数公式的应用【例2】 (1)计算：C 9799＋C 9899＋C 99100； (2)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1；(3)解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解 (1)C 9798＋C 9899＋C 99100＝C 98100＋C 99100＝C 99101＝C 2101＝5 050.(2)由组合数定义知：⎩⎨⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，∴4≤n ≤5，又∵n ∈N *，∴n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 05＋C 46＝16.(3)由原方程及组合数性质可知3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， ∴n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去. 因此n ＝2.规律方法 (1)公式C m n ＝A mnA m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！，一般用于求值计算；(2)公式C m n ＝n ！m ！（n －m ）！(m ，n ∈N *，且m ≤n )，一般用于化简证明.在具体选择公式时要根据题目特点正确选择.(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质C m n ＝C n －m n ，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n ，能起到简化运算的作用，需熟练掌握.【训练2】 (1)计算：C 98100＋C 199200；(2)求C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n 的值；(3)证明：C m n ＝n n －m C mn －1. (1)解 C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150. (2)解 由组合数定义知： ⎩⎨⎧0≤38－n ≤3n ，0≤3n ≤21＋n .即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤38，0≤n ≤212.∴192≤n ≤212， ∵n ∈N *， ∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466.(3)证明nn－mC m n－1＝nn－m·（n－1）！m！（n－1－m）！＝n！m！（n－m）！＝C m n.类型三组合的简单应用【例3】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种).(2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有C26种方法；第二类，选出的2名是女教师有C24种方法.根据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种).规律方法组合问题的一般解法：(1)判断是否为组合问题；(2)是否分类或分步；(3)根据组合相关知识进行求解.【训练3】一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球.(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？解(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C58＝C38＝8×7×6 3×2×1＝56.(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：第一步，从7个白球中任取4个白球，有C47种取法；第二步，把1个红球取出，有C11种取法.故不同取法的种数是：C47·C11＝C47＝C37＝35.(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是C57＝C27＝7×62×1＝21.[课堂小结]1.排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素.(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序. 2.关于组合数的计算：(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n！m！（n－m）！计算；(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算.1.给出三个事件：①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个；③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次，其中是组合问题的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 D2.C26＋C57的值为()A.72B.36C.30D.42答案 B3.从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.答案 1∶24.已知C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195，求正整数n 的值.解 已知可化简为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，即C 5n －1＝145C 3n －3.即（n －1）（n －2）（n －3）（n －4）（n －5）5！＝145（n －3）（n －4）（n －5）3！，整理得n 2－3n －54＝0， 解得n ＝9或n ＝－6(舍去)， 所以n ＝9.基 础 过 关1.已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( ) A.3 B.4 C.12 D.24解析 C 34＝4. 答案 B2.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A.A 310种B.C 310种C.C 310A 310种D.30种解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 答案 B3.已知C x －212＝C 2x －412，则x 的值为( )A.2B.6C.12D.2或6解析 由C x －212＝C 2x －412知，x －2＝2x －4或(x －2)＋(2x －4)＝12，解得x ＝2或x ＝6. 答案 D4.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种.解析 甲选2门有C 24种选法，乙选3门有C 34种选法，丙选3门有C 34种选法.∴共有C 24·C 34·C 34＝96(种)选法.答案 965.从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种.解析 根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C 24·C 15＝30；第二类，两台乙型机，有C 14·C 25＝40.根据分类加法计数原理，共有C 24·C 15＋C 14·C 25＝70. 答案 706.设x ∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值.解 由题意可得：⎩⎨⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x ≤4，∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4.当x ＝2时原式的值为4；当x ＝3时原式的值为7； 当x ＝4时原式的值为11. ∴所求的值为4或7或11.7.直线x ＝1，y ＝x ，将圆x 2＋y 2＝4分成A ，B ，C ，D 四个区域，用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解第1步，涂A区域有C15种方法；第2步，涂B区域有C14种方法；第3步，涂C区域和D区域；若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C13种涂法，则D区域有C13种涂法.故共有C15·C14·(4＋C13·C13)＝260种不同的涂色方法.8.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止.(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法.所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种). (2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法C14·(C16·C33)A44＝576(种).能力提升9.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有()A.35B.70C.210D.105解析先从7人中选出3人有C37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C37＝70.答案 B10.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279解析所有三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C19A29＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.答案 B11.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种.(结果用数值表示) 解析 设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜.由题意，得C 25·C 2x ≥200，从而有C 2x ≥20.即x (x －1)≥40. 又x ≥2，所以x 的最小值为7. 答案 712.若对任意x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为________.解析 把－1，1，13与3，12与2看作4个元素，从这4个元素中任取1个，2个，3个，4个所得组合构成的集合即是满足条件的集合，所有具有伙伴关系的集合个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15.答案 1513.第21届世界杯足球赛于2018年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛：2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场.综上，由分类加法计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛.探 究 创 新14.规定C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广.(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C m x (x ∈R ，m 是正整数)的情形；若能推广，请写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由.解 (1)C 5－15＝（－15）×（－16）×（－17）×（－18）×（－19）5！＝－C 519＝－11 628.(2)性质①不能推广.例如，当x ＝2时，有意义，但1无意义；性质②能推广，它的推广形式是C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1，x ∈R ，m 为正整数.证明：当m ＝1时，有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1；当m ≥2时，C m x ＋C m －1x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！＝x （x －1）（x －2）…（x －m ＋2）（m －1）！＝x （x －1）…（x －m ＋2）（m －1）！⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋1m ＋1 ＝（x ＋1）x （x －1）…（x －m ＋2）m ！＝C m x ＋1. 综上，性质②的推广得证.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作函数的极值与导数【教学目标】：知识与技能：掌握函数极值的定义,了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 过程与方法：结合实例，借助几何直观感知并探索函数的极值与导数的关系。

情感态度与价值观：感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质。

【教学过程】： 一、 创设情景：通过上节课的学习，学生已经知道导数和函数单调性的关系，当()0f x '>时，函数在这个区间上是单调递增；当()0f x '<时，函数在这个区间上是单调递减.让学生观察课本图3.3-8，引导学生思考最高点处的导数值，以及最高点附近的图像特点，导数的符号有什么变化规律。

进而引入本课主题。

通过学生分析、探究发现，在最高点处的导数为0，在最高点的左侧导数()0f x '>，图像单调递增，在最高点右侧导数()0f x '<，图像单调递减。

二、引导探究：对于这一事例是这样的，对其他的函数是不是也有这种性质呢？进而通过学生分组讨论，找出共同点，不同点，看是否能得到同样的规律。

用课本的探究试验来验证规律。

三、归纳应用：1．归纳总结以图2为例，通过探究，给出定义，函数()y f x =在点x a =处的函数值()f a 比它在点x a =附近的点的函数值都小，而且在点x a =附近的左侧()f x '<0，右侧()f x '>0。

类似地，函数()y f x =在点x b =处的函数值()f b 比它在点x b =附近的点的函数值都大，而且在点x b =附近的左侧()f x '>0，右侧()f x '<0。

我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值。

点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值。

函数的极值与导数一、教材分析《函数极值>>是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。

二、教学目标1. 教学目标（1） 知识技能目标：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点0x 与)(0x f '=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.（2）过程与方法目标：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（3）情感与态度目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神； 体会数学中的局部与整体的辨证关系. 2．教学重点和难点重点：掌握求可导函数的极值的一般方法. 难点：(1)0x 为函数极值点与)(0x f '=0的逻辑关系 (2)函数的导数与函数最值的区别及联系。

3．教学方法与教学手段师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。

由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率. 4、教学过程(冲浪板近似的理解为曲线的切线) 给出寻找和判断可导函数的极值点的方法： (1) 如果在0x 附近的左侧()f x ﹥0，附 教学设计说明本节课是导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。

选修2-2 第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值 [答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C.2．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表3．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0[答案] D[解析] y ′＝3ax 2＋2bx 由题设0和13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴a ＋2b ＝0.4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．5．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2. 6．(2013·辽宁实验中学期中)函数f (x )＝－x e x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定[答案] C[解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1e x. 当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )． 二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案] 4x －y －3＝0[解析] y ′|x ＝1＝(3ln x ＋4)|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________. [答案] －23[解析] f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.三、解答题10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． [解析] (1)由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. [点评] 若函数f (x )在x 0处取得极值，则一定有f ′(x 0)＝0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f (1)＝－1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数．一、选择题11．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A ．e 2π(1－e 2012π)e 2π－1B ．e π(1－e 2012π)1－e 2πC ．e π(1－e 1006π)1－e 2πD ．e π(1－e 1006π)1－e π[答案] B[解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2011π＝e π[1－(e 2π)1006]1－e 2π＝e π(1－e 2012π)1－e 2π，故选B.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427，0B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.13．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题14．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________________，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3，b ＝－9符合题意． 三、解答题15．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．16．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋ax . (1)当a ＝－3时，求函数y ＝f (x )的极值点；(2)当a ＝－4时，求方程f (x )＋x 2＝0在(1，＋∞)上的根的个数． [解析] (1)f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f ′(x )＝1x ＋2x －3，令f ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝12，由f ′(x )>0得0<x <12，或x >1，∴f (x )在(0，12)和(1，＋∞)上单调递增，在(12，1)上单调递减，∴f (x )的极大值点x ＝12，极小值点x ＝1.(2)当a ＝－4时，f (x )＋x 2＝0，即ln x ＋2x 2－4x ＝0， 设g (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则g ′(x )＝1x ＋4x －4＝4x 2－4x ＋1x ≥0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上有唯一实数根．17．(2014·温州八校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a 、b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a 3)．当a ＝0时，f ′(x )≤0函数f (x )没有单调递增区间； 当a >0时，令f ′(x )>0，得0<x <2a3，函数f (x )的单调递增区间为(0，23a )；当a <0时，令f ′(x )>0，得2a3<x <0， 函数f (x )的单调递增区间为(23a,0)．(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，x 、f ′(x )、f (x )的取值变化情况如下：∴f (x )极小值＝f (0)＝b ，f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，∵对任意a ∈[3,4]，f (x )在R 上都有三个零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (2a 3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b <0，4a 327＋b >0.得－4a 327<b <0.∵对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，∴b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.∴实数b 的取值范围是(－4,0)．。

第2课时组合的应用目标定位 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题.自主预习1.组合的有关概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.组合数，用符号C m n表示.其公式为C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝n！m！（n－m）！(n，m∈N*，m≤n).特别地C0n＝C n n＝1.2.组合应用题的解法(1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答.(2)有限制条件的组合应用题的解法常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类.即时自测1.思考题(1)满足什么条件的两个组合是相同的组合？提示如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，就是相同的组合，否则就是两个不相同的组合(即使只有一个元素不同).(2)组合数公式的两种形式在应用中如何选择？提示在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择.公式C m n＝A m nA m m常用于n为具体自然数的题目.一般偏向于组合数的计算.公式C m n＝n！（n－m）！·m！常用于n为字母的题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明.2.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是()A.5 040B.36C.18D.20解析最高的同学只能站在中间，它别无选择；从剩下的6名同学中任选3名，有C36种不同的方法，他们由高到低的排列次序唯一；剩下的3名同学由高到低的排列次序也唯一.∴不同的排法共有C36＝20(种).答案 D3.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()A.25种B.35种C.820种D.840种解析分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C35种选法；两人都不参加，有C45种选法.所以共有2C35＋C45＝25(种)不同的选派方案.答案 A4.正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形.解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.答案32类型一分组、分配问题【例1】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.解(1)先从6本书中选2本给甲，有C26种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C24种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C22种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有C26C24C22＝90种.(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A33种方法.根据分步乘法计数原理可得：C26C24C22＝x A33，所以x＝C26C24C22 A33＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C33＝60种方法.(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360种方法.(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C26C24C22＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C16C25C33A33＝360种方法；③“1、1、4型”，有C46A33＝90种方法.所以一共有90＋360＋90＝540种方法.规律方法“分组”与“分配”问题的解法(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益.分清是分组问题还是分配问题是很关键的.(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.【训练1】有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，(1)共有多少种放法？(2)恰有1个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有2个盒内不放球，有多少种放法？解(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256(种).(2)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2、1、1的三组，有C24种分法；然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球，2个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理知，共有放法C14·C24·C13·A22＝144(种).(3)“恰有1个盒内放2个球”，即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外3个盒子中恰有1个空盒.因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法.(4)先从4个盒子中任意拿走2个，有C24种拿法，问题转化为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，从放球数目看，可分为(3，1)，(2，2)两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C34·C12种放法；第2类，有C24种放法.因此共有C34·C12＋C24＝14(种).由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有C24×14＝84(种).类型二与几何图形有关的组合问题【例2】(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法.解(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C35种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C35＋3＝33(种).(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C410种，除去4点共面的取法种数可以得到结果.从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面.有4C46＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C410－(60＋6＋3)＝141(种).规律方法解决与几何图形有关的问题时，要善于利用几何图形的性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题.【训练2】平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？解法一我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C24·C18＝48(个)不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有C14·C28＝112(个)不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C38＝56(个)不同的三角形.由分类加法计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个).法二间接法：C312－C34＝220－4＝216(个).类型三排列、组合的综合应用(互动探究)【例3】有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.[思路探究]探究点一(1)中选法包含几种情况？解决这类问题的一般思路是什么？提示有两种情况：2女3男与1女4男，一般思路：“先选后排”也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.探究点二对(2)、(3)、(4)中“在”与“不在”问题的解题原则是什么？提示按“优先原则”，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子.解(1)先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种.(2)除去该女生后，先取后排，有C47·A44＝840种.(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360种.(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其中3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360(种).规律方法解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：(1)审清题意，区分哪是排列，哪是组合；(2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步.【训练3】有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解法一从0和1这个特殊情况考虑，可分三类：第1类：取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14×C12×C13×22个.第2类：取1不取0，同上分析可得不同的三位数C24×22×A33个.第3类：0和1都不取，有不同的三位数C34×23×A33个.综上所述，不同的三位数共有C14×C12×C13×22＋C24×22×A33＋C34×23×A33＝432(个).法二任取三张卡片可以组成不同的三位数C35×23×A33个，其中0在百位的有C24×22×A22个，这是不合题意的，故不同的三位数共有C35×23×A33－C24×22×A22＝432(个).[课堂小结]1.应用组合知识解决实际问题的四个过程2.注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题.1.凸十边形的对角线的条数为()A.10B.35C.45D.90解析C210－10＝35，所以选B.答案 B2.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有C13·A44＝72.选D.答案 D3.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种(用数字作答).解析分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，因此，共有C23·C14＋C13·C24＝30(种)选法.答案304.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员.解(1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法.第二步：选2名女运动员，有C24种选法.故共有C36·C24＝120(种)选法.(2)法一至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种).法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解. 从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的选法为C510－C56＝246(种).(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48－C45种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种).基础过关1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A.14B.24C.28D.48解析6人中选4人的方案有C46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种.答案 A2.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A.232B.252C.472D.484解析含1张红色卡片，有C14C212＝264(种)不同取法；不含红色卡片有C312－3C34＝208(种)取法，共有264＋208＝472(种)取法.答案 C3.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A.152B.126C.90D.54解析分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C23×A33＝18(种)；若有1人从事司机工作，则方案有C13×C24×A33＝108(种)，所以共有18＋108＝126(种)，故B正确.答案 B4.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种.解析分两类，有4件次品的抽法为C44C146种；有3件次品的抽法有C34C246种，所以共有C44C146＋C34C246＝4 186(种)不同的抽法.答案 4 1865.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________.解析先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C45C12 C12C12C12＝80(种).答案806.空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？解不考虑任何限制，10个点可得C410个四面体.由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有C45种情形.∴构成四面体的个数为C410－C45＝210－5＝205.7.某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅能当钳工又能当车工.现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？解设A，B表示2名老师傅，下面对A，B的选派情况进行分类：(1)A，B都没选上的方法有C45C44＝5(种)；(2)A，B都选上且都当钳工的方法有C22C25C44＝10(种)；(3)A，B都选上且都当车工的方法有C22C45C24＝30(种)；(4)A，B都选上且一人当钳工，一人当车工的方法有A22C35C34＝80(种)；(5)A，B有一人选上且当钳工的方法有C12C35C44＝20(种)；(6)A，B有一人选上且当车工的方法有C12C45C34＝40(种).故共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法.8.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.解(1)C512＝792(种)不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C29＝36(种)不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126(种)不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3(种)选法，再从另外的9人中选4人有C49种选法，共有C13C49＝378(种)不同的选法.(5)法一(直接法)可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有C13C49种；第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有C23C39种；第三类：甲、乙、丙3人均参加，共有C33C29种.共有C13C49＋C23C39＋C33C29＝666(种)不同的选法.法二(间接法)12人中任意选5人共有C512种，甲、乙、丙三人都不参加的有C59种，所以，共有C512－C59＝666(种)不同的选法.能力提升9.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A.60种B.20种C.10种D.8种解析四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C35＝10.答案 C10.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A.36个B.72个C.63个D.126个解析此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C49＝126(个).答案 D11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).解析分三类：①选1名骨科医生，则有C13(C14C35＋C24C25＋C34C15)＝360(种)；②选2名骨科医生，则有C23(C14C25＋C24C15)＝210(种)；③选3名骨科医生，则有C33C14C15＝20(种)，∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590. 答案59012.北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有12名志愿者参加接待工作.若每天排三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为________(用组合数或排列数表示).解析这是分组问题.先从12个人中选4人排早班，再从剩下的8人中选4人排中班，然后剩下的4人都排晚班.答案C412C4813.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解把所选取的运动员的情况分为三类.第一类：甲、乙两人均不参赛，有A44＝24(种)；第二类：甲、乙两人有且只有1人参赛，共有C12C34(A44－A33)＝144(种)；第三类：甲、乙两人都参赛，有C24(A44－2A33＋A22)＝84(种).由分类加法计数原理知，所有的参赛方法共有24＋144＋84＝252(种).探究创新14.现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同.现在要从他们5个人当中选出若干人组成A，B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高，则不同的选法共有多少种？解给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1，2，3，4，5，组成集合M ＝{1，2，3，4，5}.①若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{2，3，4，5}的非空子集，这样的子集有C14＋C24＋C34＋C44＝24－1＝15(个)，所以不同的选法有15(种)；②若A中最高者为2，则这样的小组A有2个：{2}，{1，2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{3，4，5}的非空子集，这样的子集(小组B)有23－1＝7(个)，所以不同的选法有2×7＝14(种)；③若A中最高者为3，则这样的小组A有4个：{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{4，5}的非空子集，这样的子集(小组B)有22－1＝3(个)，所以不同的选法有4×3＝12(种)；④若A中最高者为4，则这样的小组A有8个：{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B中有{5}1个，所以不同的选法有8种.综上，所有不同的选法有15＋14＋12＋8＝49(种).。

1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数目标定位 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).自主预习函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：(2)若函数f(x)在(a，b)内存在导函数且单调递增(递减)，则对一切x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)任一子区间内f′(x)不恒为零.(3)利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，即单调区间一定是定义域的子区间.当函数y ＝f(x)有多个单调区间时，不能用“∪”或“或”把单调区间连起来，而应用“，”或“和”连起来.即时自测1.思考题(1)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？提示如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上为常数函数，不具有单调性.(2)如果函数在某一个范围内变化得快，图象比较“陡峭”，则函数在这一范围内的导数值越大吗？提示 不一定.函数在某一范围内变化得快，图象比较“陡峭”，则函数在这一范围内的绝对值越大，因此函数在这一范围内的导数也可能越小. 2.函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减D.不确定解析 f ′(x )＝2－cos x ＞0. 答案 A3.函数y ＝e x ＋x 在R 上是________函数.解析 y ′＝e x ＋1＞1＞0，故函数y ＝e x ＋x 在R 上是增函数. 答案 增4.函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是________.解析 f ′(x )＝ln x －1ln 2x ，令f ′(x )＜0得ln x －1＜0，且ln x ≠0.∴0＜x ＜或1＜x ＜e ，故函数的单调递减区间是(0，1)和(1，e). 答案 (0，1)，(1，e)类型一 利用导数判断函数的单调性【例1】 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则cos x <0，sin x ＞0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数.规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥(或≤)0.【训练1】 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数.证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln xx 2＝1－ln x x 2. 又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是单调递增函数. 类型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4)f (x )＝x 3－3tx .解 (1)f ′(x )＝ 6x 2＋6x －36， 由f ′(x )>0得6x 2＋6x －36>0， 解得x < －3或x >2； 由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 减区间是(－3，2).(2)f ′(x )＝cos x －1.因为0＜x ＜π， 所以cos x －1＜0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x ＞0，解得－33＜x ＜0或x ＞33.又∵x ＞0，∴x ＞33.令f ′(x )＜0，即2·3x 2－1x ＜0，解得x ＜－33或0＜x ＜33.又∵x ＞0，∴0＜x ＜33.∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33.(4)f ′(x )＝3x 2－3t ，令f ′(x ) ≥0，得3x 2－3t ≥0，即x 2≥t .∴当t ≤0时，f ′(x ) ≥0恒成立，此时函数的增区间是(－∞，＋∞). 当t >0时，解x 2≥t 得x ≥t 或x ≤－t ； 由f ′(x )≤0解得－t ≤x ≤t .此时函数f (x )的增区间是(－∞，－t )和(t ，＋∞)， 减区间是(－t ， t ).综上可知，当t ≤0时，函数f (x )的增区间是(－∞，＋∞)，无减区间；当t ＞0时，函数f (x )的增区间是(－∞，－t )和(t ，＋∞)，减区间是(－t ，t ). 规律方法 求函数的单调区间的具体步骤是：(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；(4)定义域内满足f ′(x )＞0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )＜0的区间为减区间. 【训练2】 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间. 解 (1)f (x )的定义域为R .∵f ′(x )＝e a －x －x e a －x ＋b ＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎨⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎨⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x ，由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号.令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增. 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)， 综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞). 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞).类型三 已知函数单调性求参数的取值范围(互动探究)【例3】 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围. [思路探究]探究点一 函数在某个区间上单调递增(或递减)应满足什么条件？提示 函数f (x )在D 上单调递增(或递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)且f ′(x )在D 任一子区间上不恒为零.探究点二 函数中含有参数问题的一般解题策略是什么？提示 此类问题一般利用分离参数转化为不等式在某区间上的恒成立问题或利用函数性质求解参数范围，注意检验参数取“＝”时是否满足题意.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立.∵x 2>0， ∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16].规律方法 (1)可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ； a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max .(3)若f ′(x )为二次函数，则恒成立问题也可借助图象，利用数形结合思想来处理. 【训练3】 若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，求实数m 的取值范围.解 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立.由于导函数的二次项系数3＞0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立.法一 由上述讨论可知Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有一个点使f ′(x )＝0，符合题意，所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.法二 由上述讨论可知3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立， 即m ≥－3x 2－2x 恒成立.设g (x )＝－3x 2－2x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，故m ≥13，经检验m ＝13符合题意，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.[课堂小结]1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.单调增函数 B.单调减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数解析 ∵x ∈(0，6)时，f ′(x )＝1＋1x ＞0，∴函数f (x )在(0，6)上单调递增. 答案 A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 由导函数的图象可知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，即f (x )为减函数；当x ＞2时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确. 答案 D3.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为________，减区间为________. 解析 y ′＝2x －4，令y ′＞0，得x ＞2； 令y ′＜0，得x ＜2，所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).答案(2，＋∞)(－∞，2)4.若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递减，求k的取值范围. 解因为函数f(x)＝kx－ln x，故f′(x)＝k－1x，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，则f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k－1x≤0在区间(1，＋∞)上恒成立，故k≤1x在区间(1，＋∞)上恒成立，因为在区间(1，＋∞)上0＜1x＜1，故k≤0.即k的取值范围是(－∞，0].基 础 过 关1.命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的，则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 f (x )＝x 3在(－1，1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 答案 A2.函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是( ) A.(0，1) B.(0，1)∪(－∞，－1) C.(－∞，1)D.(－∞，＋∞)解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0，即x －1x <0，解得：0<x <1或x <－1. 又∵x >0，∴0<x <1，故选A. 答案 A3.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x e 2 C.y ＝x 3－xD.y ＝ln x －x解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1 (x ＞0).故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0，1)上为增函数.故选B. 答案 B4.函数f (x )＝x ·e －x 的单调递增区间是________，单调递减区间是________. 解析 f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )，由f ′(x )＞0得x ＜1，由f ′(x )＜0得x ＞1. 答案 (－∞，1) (1，＋∞)5.函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)6.已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5，5)，求函数y ＝f (x )的递增区间.解 f ′(x )＝3x 2＋a .∵(－5，5)是函数y ＝f (x )的单调递减区间，则－5，5是方程3x 2＋a ＝0的根， ∴a ＝－75.此时f ′(x )＝3x 2－75，令f ′(x )＞0，则3x 2－75＞0，解得x ＞5或x ＜－5，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞). 7.求下列函数的单调区间： (1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x ， 由y ′＞0，得x ＞1；由y ′＜0，得0＜x ＜1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1). (2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2（2x ＋1）（x ＋1）2x ＋3.当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－12时，函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增； 当y ′＜0，即－1＜x ＜－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减.故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.8.已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x ＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞).①当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＜0时，f ′(x )＝2（x ＋－a ）（x －－a ）x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：由表格可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a ). 单调递增区间是(－a ，＋∞). (2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x 得 g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax ，由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1，2]上恒成立.即a ≤1x －x 2在[1，2]上恒成立.令h (x )＝1x －x 2，在[1，2]上h ′(x )＝－1x 2－2x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ＜0， 所以h (x )在[1，2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－72.能 力 提 升9.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中y ＝f (x )的图象大致是( )解析 当x ＜－1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＞0， ∴当x ＜－1时，函数y ＝f (x )单调递增； 当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＜0， ∴当－1＜x ＜0时，函数y ＝f (x )单调递减； 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0， ∴当0＜x ＜1时，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0， ∴当x ＞1时，函数y ＝f (x )单调递增.综上可知，选项C 正确. 答案 C10.设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A.f (x )＞g (x ) B.f (x )＜g (x )C.f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D.f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b ) 解析 ∵f ′(x )－g ′(x )＞0， ∴(f (x )－g (x ))′＞0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a ＜x ＜b 时，f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a ). 答案 C11.已知函数f (x )＝(mx －1)e x ，若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是________；若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的取值范围是________.解析 因为f ′(x )＝(mx ＋m －1)e x ，由题意知，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝mx ＋m －1，则⎩⎨⎧m ＞0，g （0）≥0，解得m ≥1.由题意知，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，则有m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，g （0）≤0，解得m ≤0.答案 [1，＋∞) (－∞，0]12.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞1－f (x )，f (0)＝6，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )＞e x ＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为________. 解析 设g (x )＝e x f (x )－e x (x ∈R )，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]， 因为f ′(x )＞1－f (x )， 所以f (x )＋f ′(x )－1＞0，所以g ′(x )＞0，所以y ＝g (x )在定义域上单调递增， 因为e x f (x )＞e x ＋5，所以g (x )＞5， 又因为g (0)＝e 0f (0)－e 0＝6－1＝5， 所以g (x )＞g (0)，所以x ＞0， 所以不等式的解集为(0，＋∞). 答案 (0，＋∞)13.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间.解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6. ∴⎩⎨⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎨⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0， 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )＞0， 得x ＜1－2或x ＞1＋2； 令f ′(x )＜0，得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2).探 究 创 新14.证明：当x ＞0时，ln(x ＋1)＞x －12x 2.证明 设f (x )＝ln(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，函数的定义域是(－1，＋∞). 则f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x 2x ＋1.当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(－1，＋∞)上是增函数. ∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，即当x ＞0时，ln(x ＋1)＞x －12x 2.。

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习导数的应用二------函数的极值与最值【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。

2. 会用导数求函数的极大值、极小值。

3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。

4. 掌握函数极值与最值的简单应用。

【要点梳理】 知识点一：函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。