2012届高考数学步步高第二轮复习训练：题型增分练二、特殊化法、整体法及构造法解填空题

专题二 三角函数、解三角形、平面向量第1讲 三角函数的图象与性质(推荐时间：60分钟)一、填空题1．(2011·福建改编)已知tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值为______． 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝______.3．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝______.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R )的最小值是________． 5．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，则所得图象的函数解析式为______________．6．(2011·大纲全国改编)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．8．如图所示，与函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象相对应的函数的解析式是__________．9．函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．10．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.11．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )图象的对称轴方程为______________．12．给出命题：①函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R )的最小值等于－1；②函数y ＝sin πx cos πx 是最小正周期为2的奇函数； 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调递增的；③若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)二、解答题13．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．(1)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)若点P 、Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ ＝4，求△POQ 面积最大时，点P 、Q 的坐标．14.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．15．已知存在实数ω，φ (其中ω≠0，ω∈Z )使得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)是奇函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数．(1)试用观察法猜出两组符合题意的ω与φ的值，并进行验证； (2)求出所有符合题意的ω与φ的值． 答 案1．6 2.34 3.－354.－15．y ＝sin 4x 6.6 7.－458．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2π3 9.5π2 10.－8 11．x ＝5π12＋k π2 (k ∈Z ) 12.①④13．解 (1)由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝223×32＋13×12＝1＋266. (2)设P (a,0)，Q (b,22b ) (a >0，b >0)． 在△POQ 中，因为PQ 2＝(a －b )2＋8b 2＝16， 即16＝a 2＋9b 2－2ab ≥6ab －2ab ＝4ab ，所以ab ≤4.所以S △POQ ＝2ab ≤4 2.当且仅当a ＝3b ，即a ＝23，b ＝233时取得等号．所以△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标分别为P (23，0)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫233，463.14．解 (1)由图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2·π12＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意得g (x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)．故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin(2x ＋π6)－2cos(2x ＋π6)＝22sin(2x －π12)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6y ＝22sin(2x －π12)得sin(2x －π12)＝32.∴2x －π12＝π3＋2k π或2x －π12＝2π3＋2k π(k ∈Z )，∴x ＝5π24＋k π或x ＝3π8＋k π (k ∈Z )．∵x ∈(0，π)，∴x ＝5π24或x ＝3π8.∴交点坐标为(5π24，6)，(3π8，6)．15．解 (1)猜想：⎩⎪⎨⎪⎧ω＝1，φ＝－π2或⎩⎪⎨⎪⎧ω＝－2，φ＝π2.由⎩⎪⎨⎪⎧ω＝1，φ＝－π2，知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝2sin x ， 而f (x )＝2sin x 为奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数．由⎩⎪⎨⎪⎧ω＝－2，φ＝π2，知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π2＝2sin 2x ，而f (x )＝2sin 2x 为奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数．(2)由f (x )为奇函数，知f (－x )＝－f (x )， ∴2cos(－ωx ＋φ)＝－2cos(ωx ＋φ)． ∴4cos ωx ·cos φ＝0.又x ∈R ， ∴cos φ＝0.解得φ＝k π＋π2 ，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋2n π＋π2＝2sin(－ωx )为奇函数，∵f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数，∴ω<0.由－π2≤－ωx ≤π2⇒π2ω≤x ≤－π2ω，又f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数，故有⎝⎛⎭⎪⎫0，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2ω，－π2ω，π4≤－π2ω，－2≤ω<0，且ω∈Z ， ∴ω＝－1或－2，故⎩⎪⎨⎪⎧ω＝－1或－2，φ＝2n π＋π2，n ∈Z .当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，f (x )＝2cos[ωx ＋(2n ＋1)π＋π2]＝2sin ωx 为奇函数，由于f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数，∴ω>0.由－π2≤ωx ≤π2⇒－π2ω≤x ≤π2ω，又f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，π4≤π2ω，0<ω≤2，且ω∈Z ，∴ω＝1或2， 故⎩⎪⎨⎪⎧ω＝1或2，φ＝(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z .∴所有符合题意的ω与φ的值为⎩⎪⎨⎪⎧ω＝－1或－2，φ＝2n π＋π2，n ∈Z 或⎩⎪⎨⎪⎧ω＝1或2，φ＝(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z .出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

题型六 解析几何中的探索性问题(推荐时间：30分钟)1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，△AF 1F 2为正三角形，且以AF 2为直径的圆与直线y ＝3x ＋2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．2．(2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．答 案1．解 (1)∵△AF 1F 2是正三角形，∴a ＝2c .由已知F 2(c,0)，A (0，b )，∴以AF 2为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，12b ，半径r ＝12a . 又该圆与直线3x －y ＋2＝0相切，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －b 2＋22＝a 2. 由a ＝2c ，得b ＝3c ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －32c ＋22＝a 2. 得a ＝2，∴c ＝1，b ＝ 3.椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 2(1,0)，l ：y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， ∴PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)．由菱形对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，∴(x 1＋x 2－2m )(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0，得k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，得k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 由已知条件k ≠0，且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4. ∵3k 2>0，∴0<m <14. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 2．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4， 解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一．。

（2010-浙江）如图，在矩形ABCD中，点E,第3讲立体几何中的向量方法【高考真题感悟】F 分别在线段AB, A£>±, AE=EB=AF =|FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成EF,使平面《EF丄平面BEF・⑴求二面角"-FD-C的余弦值；⑵点M, N分别在线段FD, BC上，若沿直线MV将四边形MNCD向上翻折，使C与以重合，求线段FM的长.解（1）取线段EF的中点H,连结A' H,・・・4‘ E = A f F及H是EF的中点，••・A‘ H丄EF・又•・•平面2 EF丄平面BEF, A f HU平面A' EF,・・・A‘ H丄平面〃EF・如图，建立空间直角坐标系A-xjz, 则A' (2,2, 2寸2),C(10,8,0), F(4,0,0),D( 10,0,0).故鬲丁=(-2,2,2\2), FD = (6,0,0). 设II= (x, j, z)为平面A' FD的一个法向量, ti'FA^ = 0, ifFl) = 0,.-2x + 2y + 2\{2z = 0,…= 0,取 z =迈,则 n = (0, - 2,、丿2).・•・二面角A' -FD-C 的余弦值为，(2) 设 FM = x,则 M(4 + x,0,0),・・•翻折后C 与屮重合，:.CM^A' M,故(6 - x)2 + 82 + 02 = ( - 2 - x)2 + 22 + (2⑴)2,得 ％ =手, 经检验，此时点N 在直线“C 上・考题分析本题主要考査二面角的求解和线段长度的计算•考 査考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，灵活 选择不同方法解决问题的应变能力•本题可用向量法解决，也 可用传统几何法解决，方法灵活.易错提醒(1)缺少必要的证明.(2) 空间坐标系的建立，缺少必要的说明.建系不规范，叙述不 准确.(3) 建立空间坐标系后，不能正确写出点的坐标或空间向量的 坐标.(4) 计算不正确，书写不规范.主干知识梳理1・直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法又平面CFD 的一个法向量m (0,0,1),故 cos m) mm _ A /3设直线人加的方向向量分别为4 = Si，方1，6), b = (a29 b29 C2)•平面(X、〃的法向量分别为“=(。